Autor prof. dr hab. inż. Marian Mokwa. Opiniodawca dr hab. inż. Jarosław Mirski, prof. nadzw.

Transkrypt

1

2

3

4 utor pro. r h. inż. Mrin Mokw Opiniow r h. inż. Jrosłw Mirski, pro. nzw. Rktor mrytoryzny r h. inż. Krzyszto Pulikowski, pro. UP Oprowni rkyjn mgr lżit Winirsk-Grosz Korkt r w Jworsk Łmni lin Gl Projkt okłki Jonn Skrzypi-Żuhowsk Monogri XIV opyright y Uniwrsytt Przyronizy w Wrołwiu, Wrołw 2010 ISN WYWNITWO UNIWRSYTTU PRZYRONIZGO W WROŁWIU Rktor Nzlny pro. r h. nrzj Kotki ul. Sopok 23, Wrołw, tl mil: wy@up.wro.pl Nkł gz. rk. wy. 4,2. rk. ruk. 7,0 ruk i oprw:.p.h. LM

5 Monogrię tę poświęm mojmu nuzyilowi Prosorowi Jkowi ulińskimu, który zsynowł mni pięknm gomtrii wykrślnj. utor

6 6

7 Surow piękno gomtrii zsz się n jj prostoi (zh L. 1995) 7

8 8

9 SPIS TRŚI 1. WPROWZNI NIKTÓR WŁSNOŚI KRZYWYH STOŻKOWYH KOLINYJN PRZKSZTŁNI SZŚIOOKU PŁSKIGO W SZŚIOOK PRZSTRZNNY PRZKSZTŁNI RZUTOW SZŚIOOKU PRZSTRZNNGO WYZNZJĄGO KWRYKĘ SKOŚNĄ TWORZNI KWRYK SKOŚNYH WYZNZONYH SZŚIOOKIM PRZSTRZNNYM Hiproloi skośn Hiproloi orotow Proloi hiprolizn PWN SZZGÓLN WŁSNOŚI KWRYK SKOŚNYH W ZSTOSOWNIH PIŚMINNITWO... 53

10 10

11 Wykz niktóryh symoli,, punkty,, prost α, β, płszzyzny prost równolgł m n prost prostopł oink o końh i s ϕ symol przynlżnośi (s lży n ϕ) l(,) prost l przhozą przz punkty i M = punkt wspólny prostyh i (przięi) < > wilokąt,, punkty, wirzhołki < > wilook,, prost, oki kwryk nizniksztłon powirzhni stopni rugigo K 2 {} g ziór prostyh { P } 3 trójwymirow przstrzń rzutow S[, ] lu [ S] ( 128 ) konigurj, K wiązk prostyh o śroku S 11

12 12

13 PRZMOW Inspirją o pojęi tmtu kwryk skośnyh ył synj możliwośimi wykorzystni powirzhni prostokrślnyh w uownitwi, główni w uownitwi wonym, któr jst przmiotm moih szzgólnyh zintrsowń. Znzn zęść nikonwnjonlnyh oiktów uownitw m ksztłt powirzhni stopni rugigo (sr, lipsoi, hiproloi jno- i wupowłokow, proloi i proloi hiprolizn). Znn są n świi wspnił oikty uownitw ksztłtown z zstosownim powirzhni skośnyh, któr n trwł wszły o historii rhitktury. Przykłm tgo mogą yć projkty rhitkt i inżynir lix nli, tki jk kośiół Snt Mri Mirulos w Mksyku zy rsturj w Xohimilo. o orm oprtyh n powirzhnih prostokrślnyh sięgło wilu wyitnyh rhitktów: L orusir, Sntigo ltrv, Pir Luigi Nrvi i inni. Ni rkuj tkż przykłów zstosowń powirzhni prostokrślnyh w krjowyh konstrukjh rhitktoniznyh; np. worz Wrszw-Ohot projktu. Romnowiz przykryty proloią hiprolizną. W Ktowih świtny rhitkt W. Zlwski z ztrh proloi hiproliznyh zuowł kilih z powstłyh kilihów olrzymią hlę lu osttnio projkt Nowkih zkłjąy przykryi mittru w Opolu zsznim w ksztłi proloiy hiproliznj. Tyh kilk przykłów świzy o tym, ż powirzhni prostokrśln wprowziły ksprsyjn, jk równiż unkjonln ksztłty o nowozsnj rhitktury. Możn śmiło powizić, ż ormy rhitktonizn otrzymn w rzulti twórzj inspirji ormmi gomtryznymi mogły powstć i rozwijć się zięki postępowi nuki. Gomtri rzutow jst stosunkowo młoą ziziną gomtrii. Jj twórą jst mtmtyk rnuski Jn Vitor Pnlt ( ), który stworzył torię igunów i igunowyh orz zsę igunowj woistośi. Tylko nio pon sto lt tmu poznno jną z njwspnilszyh kwryk skośnyh proloię hiprolizną. ltgo ni i nlizowni orm gomtryznyh oprtyh n powirzhnih prostokrślnyh jkimi są kwrygi skośn, moż z jnj strony przyzynić się o lpszgo ih poznni, możliwośi tworzni i przksztłń, z rugij o rozwiązywni prolmów konstrukyjnyh w współzsnj rhitkturz. Mm nziję, ż ninijsz monogri poszrzy zkrs rozwiązń tortyznyh onosząyh się o przksztłń rzutowyh kwryk skośnyh orz związków gomtryznyh, jki zhozą pomięzy ih lmntmi. Skłm srzn poziękowni Rnzntowi Prosorowi Jrosłwowi Mirskimu z wnikliw prznlizowni, punkt po punki, utworzonyh konstrukji kwryk skośnyh orz z uwgi mrytoryzn, któr pozwoliły mi n nni osttzngo ksztłtu monogrii. Mgr. inż. Piotrowi Kłuz ziękuję z pomo w oprowniu rysunków. 13

14 14

15 1. WPROWZNI Kwryką lu powirzhnią stopni rugigo nzywmy ziór punktów, który kż płszzyzn przin w stożkowj (zgnrownj lu ni). o postwowyh powirzhni stopni rugigo zlizmy mięzy innymi: powirzhnię stożkową, powirzhnię wlową, srę, hiproloię jnopowłokową orotową. Pirwsz wi, to powirzhni prostokrśln rozwijln. Opróz tyh powirzhni rugigo stopni znn są trzy kwryki ęą rzutowymi orzmi sry: lipsoi, proloi, hiproloi wupowłokow, orz wi kwryki ęą rzutowymi orzmi hiproloiy jnopowłokowj orotowj: hiproloi jnopowłokow, proloi hiprolizn. T wi osttni nzywmy kwrykmi skośnymi lu wihrowtymi, hrktryzująymi się tym, ż przz kży ih punkt przhozą wi tworzą (iliński i in. 2002). Kż owoln prost przij kwrykę w wóh punkth. Jżli punkty przii są różn, to prost nzyw się sizną. Jżli punkty przii są rzzywist i pokrywją się, to prost nzyw się styzną. W szzgólnym przypku, gy punkty przii są urojon sprzężon, to prost nzyw się zwnętrzną wzglęm kwryki. Kwryk m w kżym punki swojj powirzhni płszzyznę styzną, któr przin tę kwrykę w wóh tworząyh. Jżli tworzą przinją się w tym punki, to nzywmy go punktm hiproliznym. W przypku gy tworzą pokrywją się, punkt tn nzywmy proliznym. W szzgólnym przypku, gy tworzą są urojon, punkt tn nzywmy liptyznym. Kwryki o punkth hiproliznyh, przz któr przhozi niskońzni wil prostyh rzzywistyh tworząyh tę powirzhnię i ęąyh prostymi skośnymi nlżąymi o wóh ukłów, nzywmy prostoliniowymi skośnymi (kwrykmi skośnymi). Kż płszzyzn rzzywist moż yć wzglęm kwryki skośnj płszzyzną sizną i tką kwrykę nzywmy hiproloią skośną (hiproloią jnopowłokową) lu moż yć płszzyzną styzną i w tkim przypku nzyw się proloią skośną (proloią hiprolizną), (Ślusrzyk 1976). Kwrykę skośną wyznzją trzy owoln prost skośn t 1, t 2, i t 3 nlżą o jnj roziny lu tę smą kwrykę wyznzją trzy inn prost skośn q 1, q 2, i q 3 nlżą o rugij roziny, z któryh kż prost przin trzy prost pirwszj roziny. Tkih szść prostyh, nlżąyh n przmin o pirwszj i rugij roziny, tworzy zmknięty szśiook przstrznny mjąy tę włsność, ż kży jgo ok przin trzy inn, to znzy, ż wi prost nlżą o kwryki skośnj przinją się tylko wty, gy nlżą o różnyh rozin. Ziór niskońzonyh ilośi prostyh lżąyh n kwry skośnj i nlżąyh o ou rozin (nzywnyh tworząymi) tworzy tę powirzhnię. Rzut tworząyh n płszzyznę okrśl zrys kwryki, ęąy stożkową. Tworzą, któr powłózyły tę stożkową, są o nij styzn; zyli szśiook przstrznny stł się w wyniku przksztłni rzutowgo szśiookim płskim, którgo oki są styzn o stożkowj. 15

16 16

17 2. NIKTÓR WŁSNOŚI KRZYWYH STOŻKOWYH Krzywymi stożkowymi (lu krzywymi stopni rugigo) nzywmy ziór punktów otrzymnyh w wyniku przkroju stożk owolną płszzyzną. Tk wię, przkrojm kżj powirzhni stożkowj moż yć kż krzyw stopni rugigo (okrąg, lips, hiprol, prol), występują zsm w posti zgnrownj o wóh prostyh, jnj prostj lu punktu (Otto 1971). lm okrślni pwnyh szzgólnyh włsnośi krzywyh stożkowyh, ęąyh lmntmi kwryk skośnyh, posłużymy się zpism koniguryjnym. Konigurją płską nzywmy igurę skłjąą się z niozownj lizy p punktów i g prostyh lżąyh n płszzyźni, hrktryzująyh się tym, ż przz kży punkt (p) igury przhozi t sm ilość γ prostyh z zioru {} g i ż n kżj prostj g nj igury lży jn i t sm ilość π punktów. Konigurję tką oznzmy lizą (symolm) (p γ g π ). T ztry lizy są z soą w zlżnośi p γ = g π. Oirzmy szść owolnyh różnyh o sii punktów stożkowj (okręgu), oznzją j koljno litrmi ltu < > (rys. 1). Tki ukł punktów i prostyh tworzy konigurję. Rys. 1. Szśiokąt wpisny w stożkową tworząy konigurję ( ) ig. 1. Hxgon insri in oni, orming onigurtion o typ ( ) Rozwżn punkty stożkowj wyznzją szśiokąt wpisny w tę stożkową. Łązą kży wirzhołk szśiokąt z pozostłymi, otrzymmy ukł punktów i prostyh tworząyh konigurję ( ), tzn. ż n kżj prostj (oku szśiokąt) lżą w punkty i przz kży punkt (wirzhołk szśiokąt) przhozi pięć prostyh. l szśiokąt wpisngo w stożkową możmy ułożyć 60 różnyh shmtów nstępstw wirzhołków (rys. 2). ęą to wszystki prmutj z powtórzni l szśiu lmntów. Otrzymmy wię 6!/12 możliwyh przypków. Kży z rozwżnyh szśiokątów m 3 pry oków prziwlgłyh. Pry t przinją się w 3 punkth lżąyh n jnj prostj. Włsność t znn jst jko twirzni Psl 1 : Szść punktów stożkowj wyznz szśiokąt, którgo oki prziwlgł przinją się w 3 punkth lżąyh n jnj prostj (prostj Psl) (Szrszń 1963). Wźmy po uwgę szść owolnyh punktów lżąyh n stożkowj (okręgu) < > (rys. 3). Połązmy prziwlgł wirzhołki otrzymngo szśiokąt. Otrzymmy ziór ziwięiu prostyh przhoząyh po 3 prost przz kży punkt. W tk otrzymnj igurz możmy uzyskć 6 kominji nstępstw wirzhołków szśiokąt: 1 Twirzni to zostło uowonion w 1639 r. przz szsnstoltnigo wówzs mtmtyk rnuskigo lis Psl. 17

18 1.<> 2.<> 3.<> 4.<> 5.<> 6.<> 7.<> 8.<> 9.<> 10.<> 11.<> 12.<> 13.<> 14.<> 15.<> 16.<> 17.<> 18.<> 19.<> Rys. 2. Shmty nstępstw wirzhołków szśiokątów wpisnyh w stożkową ig. 2. Shm o vrtx squns o hxhron insri intu oni 20.<> 18

19 19 37.<> 33.<> 29.<> 25.<> 21.<> 38.<> 34.<> 30.<> 26.<> 22.<> 39.<> 35.<> 31.<> 27.<> 23.<> 40.<> 36.<> 32.<> 28.<> 24.<> Rys. 2.. Shmty nstępstw wirzhołków szśiokątów wpisnyh w stożkową ig. 2. ont. Shm o vrtx squns o hxhron insri intu oni

20 20 57.<> 53.<> 49.<> 45.<> 41.<> 58.<> 54.<> 50.<> 46.<> 42.<> 59.<> 55.<> 51.<> 47.<> 43.<> 60.<> 56.<> 52.<> 48.<> 44.<> Rys. 2.. Shmty nstępstw wirzhołków szśiokątów wpisnyh w stożkową ig. 2 ont. Shm o vrtx squns o hxhron insri intu oni

21 J p 1 M s p 2 N p 3 x z t r v I P 1 G H y u L w K Rys. 3. Szśiokąty o nstępstwi wirzhołków I, II, III tworząyh konigurję ( ) ig. 3. Hxgons with vrtx squns I, II, III orming onigurtion o typ ( ) O I <> IV p 1 <> p 4 II <> V p 2 <> p 5 III <> p VI <> p 3 6 Rozwiązni n jnym szśiokąi < > wszystkih możliwyh nstępstw wirzhołków I, II, III, IV, V, VI j 6 prostyh Psl. Trzy prost p 1, p 2, p 3 przinją się w punki P I, trzy prost p 4, p 5, p 6 w punki P II. Rlizj 3 szśiokątów (I, II, III lu III, IV, V) wrz z trójką prostyh Psl przhoząyh przz wspólny punkt (P I lu P II ) tworzy konigurję ( ). W uzysknj z nstępstw wirzhołków I, II, III konigurji (rys. 3) prost spłniją nstępują rol: prost < rstuwv > są okmi szśiokąt wpisngo w stożkową, prost xyz są prostymi łąząymi prziwlgł wirzhołki, prost p 1, p 2, p 3 są prostymi Psl. 21

22 Punkty konigurji to szść wirzhołków szśiokąt < >, ziwięć punktów przięi trzh pr prziwlgłyh oków GHIJKLMNO orz punkt P I przięi prostyh Psl. N konigurję skł się wię: p = 16 punktów g = 12 prostyh orz zhozą mięzy nimi inynj: γ = 3; prost przhozą przz kży punkt, π = 4; punkty lżą n kżj prostj. Otrzymnyh 48 znków przynlżnośi (12x4 = 16x3) przstwmy w griznym shmi ujętym w zstwiniu przynlżnośi. G H I J K L M N O P r s t u w v x y z p 1 p 2 p 3 Rys. 4. Grizny shmt konigurji ( ) ig. 4. igrm o onigurtion o typ ( ) Nrysujmy shmt (rys. 4) skłjąy się z g = 12 kolumn rprzntująyh prost i z p = 16 wirszy rprzntująyh punkty. Nstępni w kżym wirszu oznzmy krzyżykim przhozą przz ny punkt prost. iorą jko punkt wyjśi grizny shmt konigurji, możmy przprowzić jgo gomtryzną rlizję. Oirzmy n płszzyźni owolną prostą konigurji, np. s i nniśmy trzy inyntn z nią punkty N (rys. 3). Przz kży punkt przprowźmy lsz wi prost r x =, z t =, u p2 = N. Ustliliśmy w tn sposó położni simiu prostyh i trzh punktów lżąyh n jnj z nih. T złożni wystrzą o wyznzni rkująyh punktów i prostyh. W lszj rlizji wyznzmy punkty przięi prostyh r p2 = L, x u =, z p2 = I, t u =. Znjują punkty przięi prostyh y r =, w z =, otrzymmy nstępn wirzhołki szśiokąt. Szśiokąt < > nlży uzupłnić pozostłymi wom trójkmi punktów MHK lżąyh n prostj p 3 orz JGO lżąyh n prostj p 1. wi spośró trzh prostyh p okrślją położni rkujągo punktu P I, przz który zgoni z shmtm musi przjść trzi prost. Inynj t jst zwsz spłnion, nizlżni o wyoru prostj i trzh lżąyh n nij punktów. Przz jn z trzh przyjętyh punktów zwsz przhozi przynjmnij jn prost, któr jst prostą Psl, to owozi, ż otrzymny szśiokąt jst wpisny w stożkową (twirzni Psl). Z powyższj konigurji wynik nstępują twirzni: Trzy trójki punktów przięi prziwlgłyh oków szśiokąt wpisngo w stożkową, tworzągo konigurję ( ) lżą n 3 prostyh przinjąyh się w jnym punki. 22

23 o tgo twirzni możn npisć twirzni owrotn: Szśiokąt płski, którgo żn trzy wirzhołki ni lżą n jnj prostj i którgo oki prziwlgł wyznzją trzy trójki punktów lżąyh n trzh prostyh przinjąyh się w jnym punki jst wilokątm wpisnym w stożkową, tworząym konigurję ( ). W zlżnośi o wyoru nstępstw wirzhołków trzh szśiokątów I, II, III lu IV, V, VI możmy zrlizowć wi konigurj ( ) o różnyh shmth. N rysunku 3 zrlizowno konigurję opirją się n szśiokąth I, II, III. Tką smą prourę, jko zgnini woist, możn przprowzić l szśiooku opisngo n stożkowj (okręgu). Oirzmy szść owolnyh różnyh o sii prostyh styznyh o stożkowj (okręgu), oznzją j koljno litrmi ltu < > (rys. 5). Rys. 5. Szśiook opisny n stożkowj tworząy konigurję ( ) ig. 5. Hxgon irumsri roun oni, orming onigurtion o typ ( ) Rozwżn styzn stożkowj wyznzją szśiook opisny n tj stożkowj. Przłużją kży ok szśiooku o przięi z pozostłymi, otrzymmy ukł prostyh i punktów tworząyh konigurję ( ), tzn. ż przz kży punkt (wirzhołk szśiooku) przhozą wi prost i n kżj prostj (oku szśiooku) lży pięć punktów. l szśiooku opisngo n stożkowj możmy ułożyć 60 różnyh shmtów nstępstw oków (rys. 6). Kży z rozwżnyh szśiooków posi 3 pry wirzhołków prziwlgłyh. Pry t wyznzją 3 prost, któr przinją się w jnym punki. Włsność t znn jst jko twirzni rinhon 2 : Szść styznyh stożkowj wyznz szśiook, którgo wirzhołki prziwlgł wyznzją 3 prost przhozą przz jn punkt (punkt rinhon) (Szrszń 1973). 2 rinhon mtmtyk rnuski ur r. Uowonił pon sto lt po Pslu twirzni woist o jgo twirzni. 23

24 24 <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> Rys. 6. Shmty nstępstw oków szśiooków opisnyh n stożkowj ig. 6. Shm o si squns o hxhron sri on ono

25 25 <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> Rys. 6.. Shmty nstępstw oków szśiooków opisnyh n stożkowj ig. 6 ont. Shm o si squns o hxhron sri on ono

26 26 <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> <> 54 <> 55 Rys. 6.. Shmty nstępstw oków szśiooków opisnyh n stożkowj ig. 6 ont. Shm o si squns o hxhron sri on ono

27 Wźmy po uwgę szść owolnyh prostyh styznyh o stożkowj (okręgu) < > (rys. 7). Y h k S o R n r 4 T V g j m r 5 r 6 W P II U i l Z X Rys. 7. Szśiooki o nstępstwi oków IV, V, IV tworząyh konigurję ( ) ig. 7. Hxgons with si squns IV, V, VI, orming onigurtion o typ ( ) Przłużmy prziwlgł oki otrzymngo szśiooku. Otrzymmy ziór 9 punktów lżąyh po 3 n kżj prostj. W tk powstłj igurz możmy uzyskć 6 kominji nstępstw oków szśiooku: I II III <> r 1 <> r 2 <> r 3 IV V VI <> r 4 <> r 5 <> r 6 Rozwiązni n jnym szśiooku < > wszystkih możliwyh nstępstw oków I, II, III, IV, V, VI j 6 punktów rinhon. Trzy punkty r 1, r 2, r 3 lżą n jnj prostj p I, trzy punkty r 4, r 5, r 6 n prostj p II. Rlizj 3 szśiooków (I, II, III lu IV, V, VI) wrz z trzm punktmi rinhon lżąymi n jnj prostj (p I lu p II ) tworzy konigurję ( ). W uzysknj z nstępstw oków III, IV, V konigurji (rys. 7) punkty spłniją nstępują rol: punkty < RSTUWV > są punktmi styznośi szśiooku opisngo n stożkowj, punkty XYZ są punktmi przięi prziwlgłyh oków, punkty r 4, r, 5, r 6 są punktmi rinhon. N konigurję skł się wię: p = 12 punktów, g = 16 prostyh orz zhozą mięzy nimi inynj: γ = 4 prost przhozą przz kży punkt, π = 3 punkty lżą n kżj prostj. 27

28 R S T U W V X Y Z g h i j k l m n o p II r4 r5 r6 Rys. 8. Grizny shmt konigurji ( ) ig. 8. ( ) onigurtion igrm Nrysujmy shmt (rys. 8) skłjąy się z g = 16 kolumn rprzntująyh prost i z p = 12 wirszy rprzntująyh punkty. Nstępni w kżj kolumni oznzmy krzyżykim opowiją nj prostj punkty. Oirzmy n płszzyźni owolny punkt konigurji, np. Y i poprowźmy trzy inyntn z nim prost h (rys.7). N kżj prostj przyjmijmy w lsz punkty RV =, Sr 4 = h, TU =. Ustliliśmy w tn sposó położni simiu punktów i trzh prostyh przinjąyh się w jnym z nih. T złożni wystrzą o wyznzni rkująyh prostyh i punktów. W lszj rlizji połązmy przyjęt punkty SR i r 4 V otrzymn prost i g prztną się w punki X. Prost i prost uzyskn przz połązni punktów ST i r 4 U prztną się w punki Z. Łązą punkt Z z V orz X z U otrzymmy w nstępn oki szśiooku,. Szśiook < > nlży uzupłnić pozostłymi wom trójkmi przkątnyh jkl przinjąyh się w punki r 5 orz mno przinjąyh się w punki r 6. w spośró trzh punktów r okrśl położni rkująj prostj p II, któr zgoni z shmtm musi przjść przz trzi punkt. Inynj t jst zwsz spłnion, nizlżni o wyoru punktu i trzh przhoząyh przz nigo prostyh. N jnj z trzh przyjętyh prostyh zwsz znjuj się przynjmnij jn punkt, który jst punktm rinhon, to owozi, ż otrzymny szśiook jst opisny n stożkowj (twirzni rinhon). Wynikją stą nstępują twirzni: Trzy trójki przkątnyh szśiooku opisngo n stożkowj, tworzągo konigurję ( ) przinją się w trzh punkth lżąyh n jnj prostj. i twirzni owrotn: Szśiook płski, którgo żn trzy oki ni przinją się w jnym punki i którgo wirzhołki prziwlgł wyznzją trzy trójki prostyh przinjąyh się w trzh punkth współliniowyh jst wilookim opisnym n stożkowj, tworząym konigurję ( ). W zlżnośi o wyoru nstępstw oków trzh szśiooków I, II, III lu IV, V, VI możmy zrlizowć wi konigurj ( ) o różnyh shmth. N rysunku 7 zrlizowno konigurję z zstosownim szśiooków IV, V, VI. Nrysujmy tki szśiokąt, którgo wirzhołki <> lżą n stożkowj w punkth styznośi szśiooku <>. Nih nstępstw wirzhołków szśiokąt I, II, III opowiją nstępstwom oków szśiooków III, IV, V (rys. 9). 28

29 Y h k J S p 1 o N s T M r r 4 y t R H r 6 I u P n r5 m v G 5 p p x 3 U 2 z K w V P L W l g j O i Z X Rys. 9. Szśiokąty I, II, III wpisn w stożkową i szśiooki IV, V, VI opisn n stożkowj, tworzą konigurję (28 4 ) ig. 9. Hxgons I, II, III insri in oni stion n IV, V, VI irumsri roun it, orming onigurtion o typ (28 4 ) Nstępni nrysujmy tki szśiook, którgo oki < > są styzn o stożkowj w wirzhołkh szśiokąt < >. Nih nstępstw oków szśiooków III,IV,V opowiją nstępstwom wirzhołków szśiokątów I,II,III (rys. 10). L X r 3 H G O P II T S U o R m n W V P 4 Y N r 2 z P 5 I J P 6 Z r 1 Rys. 10. Szśiokąty IV, V, VI wpisn w stożkową i szśiooki I, II, III opisn n stożkowj, tworzą konigurję (28 4 ) ig. 10. Hxgons IV,V,VI insri in oni stion n I,II,III irumsri out it, orming onigurtion o typ (28 4 ) 29

30 Możn uowonić, ż otrzymn konigurj ( ) i ( ) w przypku gy wirzhołki szśiokąt wpisngo w stożkową są punktmi styznośi szśiooku opisngo n tj stożkowj, mją wspóln znki przynlżnośi. Punkty GHI szśiokąt lżą n prostyh mon szśiooku, punkty JKL n prostyh hig, punkty MNO n prostyh jkl. Inynję tę możmy uowonić, opirją się n konigurji Mlurin (Ślusrzyk 1976): zworokąt zupłny wpisny w stożkową i zworook zupłny o okh styznyh o stożkowj w punkth, któr są wirzhołkmi zworokąt mją tn sm trójkąt przkątny. Wźmy po uwgę zworokąt wpisny w stożkową i zworook opisny n stożkowj (rys. 10). Wspólnym okim trójkąt przkątngo l ou igur jst prost g wyznzon mięzy innymi przz wirzhołk L trójkąt przkątngo zworokąt < >. W poony sposó możn wykzć przynlżność pozostłyh lmntów. Otrzymny ukł punktów i prostyh tworzy konigurję (28 4 ). 28 punktów i 28 prostyh skłjąyh się n konigurję (28 4 ) z zhownim zhoząj mięzy nimi inynji ujęto w kwrtową tlę przynlżnośi (rys. 11) przstwijąą grizny shmt tj konigurji. Grizny shmt konigurji (28 4 ) możn zpisć w posti przypominjąj mirz kwrtową. G H I J K L M N O P R S T U W V X Y Z g h i j k l m n o p r s t u w v x y z p 1 p 2 p 3 r4 r5 r6 Rys. 11. Grizny shmt konigurji (28 4 ) ig. 11. igrm o onigurtion o typ (28 4 ) Kż mirz posi tę włsność, ż możn rzęy i kolumny tk uporząkowć, y znki inynyjn ugrupowły się w wymgny sposó. Jżli w wyniku uporząkowni rzęów i kolumn lmnty mirzy są położon symtryzni wzglęm głównj przkątnj (tl przynlżnośi jst sm w soi symtryzn) konigurję nzywmy inwoluyjną. To znzy, ż kż zwórk punktów przynlżn o kolumny jst zwórką hrmonizną XRS=VRY...=-1. Możn tgo owiść n rysunku 9, n którym jn prost są okmi zworokątów wpisnyh w stożkową, inn okmi zworooków opisnyh n stożkowj w wirzhołkh zworokątów, pozostł okmi ih trójkątów przkątnyh, wię wszystki wyznzon zwórki punktów i prostyh są zwórkmi hrmoniznymi. 30

31 Gomtryzną rlizję (rys. 9) grizngo shmtu konigurji (28 4 ) (rys. 11) przprowzimy w nstępująy sposó: oirmy n płszzyźni owolny punkt, np. Y i prowzimy 3 inyntn z nim prost, np. k. N kżj z prostyh oirmy 3 lsz punkty, np. RV, r 5 WO, TU. Ustliliśmy w tn sposó położni 10 punktów i 3 prostyh przinjąyh się w jnym z nih. W lszj rlizji połązmy przyjęt punkty R z U, R z r 5 it., tzn. ż przz kży z przyjętyh punktów poprowzimy 3 prost. Przy połązniu wszystkih punktów wg shmtu (rys. 11) otrzymmy konigurję. Tn sm shmt możn zrlizowć, oirją n płszzyźni owolną prostą (np. ) i trzy inyntn z nią punkty YRV (rys. 10). Przz kży punkt prowzimy 3 lsz prost, np. hk, nl, gn... W otrzymnj konigurji (28 4 ) punkt P przynlży o prostj p. Wynik stą nstępują twirzni: Punkt P przięi trzh prostyh Psl szśiokąt wpisngo w stożkową tworzągo konigurję ( ), lży n prostj p wyznzonj przz trzy punkty rinhon szśiooku tworzągo konigurję ( ) opisngo n stożkowj w wirzhołkh szśiokąt. K O X r 3 P II N T S J t p 3 w U x y z s GH I P r R M V L u p 1 v W i p 2 Y g r 2 Z r 1 Rys. 12. Szśiokąty I, II, III wpisn w stożkową i szśiooki I, II, III opisn n stożkowj ig. 12. Hxgons I, II, III insri in oni n I, II, III irumsri roun it Nrysujmy tki szśiook < >, którgo oki są styzn o stożkowj w wirzhołkh szśiokąt wpisngo < > (rys. 12). Nih nstępstw oków szśiokątów I, II, III opowiją nstępstwom oków szśiooków I, II, III (orz IV, V, VI IV, V, VI). Otrzymny ukł punktów i prostyh ni tworzy konigurji (28 4 ), punkt P ni lży n prostj p. Uowonijmy, ż prost p jst igunową punktu P z wzglęu n tę stożkową. owó sprowz się o wykzni, ż przynjmnij w punkty prostj Psl są igunowo sprzężon z opowinimi wom punktmi rinhon, to punkt przięi P tyh prostyh jst igunm prostj p wyznzonj przz punkty rinhon. 31

32 X H p 6 j g p 4 P G O T S U r 4 r 5 r6 6 h k R N W V p L p 5 Y i l I K J Z M Rys. 13. Szśiokąty IV, V, VI wpisn w stożkową i szśiooki IV, V, VI opisn n stożkowj ig. 13. Hxgons IV, V, VI insri in oni n IV, V, VI irumsri roun it o przprowzni owou posłużymy się zworokątm < > (rys. 13). W zworokąi tym prost g przhozą przz punkt r 4 jst okim trójkąt przkątngo, punkt J lżąy n prostj Psl p 4 jst jgo wirzhołkim. Z włsnośi zworokąt zupłngo wynik, ż punkt J jst igunowo sprzężony z prostą g przhoząą przz punkt r 4. Tki sm owó możn przprowzić l pozostłyh punktów, wykzują słuszność nstępujągo twirzni: Jżli punkty styznośi szśiooku opisngo n stożkowj, tworzągo konigurję ( ), są wirzhołkmi szśiokąt wpisngo w stożkową tworzągo konigurję ( ) i istnij nstępstwo oków zgon z nstępstwm wirzhołków, to prost n którj lżą punkty rinhon jst igunowo sprzężon z punktm, przz który przhozą prost Psl. 32

33 3. KOLINYJN PRZKSZTŁNI SZŚIOOKU PŁSKIGO W SZŚIOOK PRZSTRZNNY S ' 1'=1 4'=4 12' 3' 8' 7' 9' 11' 6' 10' Rys. 14. Kolinyjn przksztłni konigurji płskij ( ) w konigurję przstrznną (12 6 ) ig. 14. ollintory trnsormtion o plnr onigurtion o typ( ) into th sptil onigurtion o typ(12 6 ) hą zrlizowć przstrznną konigurję opowijąą płskij, nlży wykzć, ż kżą płską igurę możn uzyskć jko rzut pwnj przstrznnj igury. y to przprowzić, połązmy wszystki punkty i prost, z ornym poz płszzyzną rysunku punktm [S], który uwżć ęzimy z śrok rzutu (rys. 14). Njmy wszystkim punktom płskij konigurji przstwionj n rysunku 14 znki 1`, 2`, 3`. Nih punkty 1, 4, 5 jnoznzn z 1`, 4`, 5` pozostną n rzutni. Przz punkty np. 4 i 5 poprowźmy owolną płszzyznę niprzhoząą przz [S]. Promini okrślon punktmi S, 8 S, 10 i S, 3 przijją tę płszzyznę w opowinih punkth 8, 10, 3. Punkt 6 wyznzony przz wi prost przinją się 3, 5 i 4, 10 lżą n tj płszzyźni, przynlży o tj płszzyzny. Koljn płszzyzn wyznzon punktmi 1, 5, 8 zostj przit przz promiń S, 12 w punki 12. Punkt 11 lżąy n tj płszzyźni otrzymmy jko punkt przięi prostyh 1, 10 i 5, 12. N trzij płszzyźni wyznzonj punktmi 1, 4, 8 lży punkt 2 wspólny l prostyh 1, 3 i 4, 12. Trzy nrysown w tn sposó płszzyzny przinją się w wspólnym punki 8 5'=5 33

34 ęąym wirzhołkim ostrosłup o postwi 1, 4, 5. Otrzymny szśiook przstrznny < 2, 3, 6, 10, 11, 12 >, którgo oki lżą n śinh ostrosłup śiętgo, jst przksztłnim rzutowym szśiooku płskigo < 2`, 3`, 6`, 10`, 11`, 12` >. Trzy punkty 7, 8, 9 są punktmi przięi przkątnyh szśiooku i lżą n jnj prostj. Wynik stą nstępują twirzni: Trzy trójki przkątnyh zmkniętgo szśiooku przstrznngo hrktryzujągo się tym, ż kży ok przin trzy inn, przhozą przz trzy punkty, któr są współliniow. o tgo twirzni możn npisć twirzni owrotn: Szść punktów przięi trzh niwspółpłszzyznowyh trójk prostyh o współliniowyh punkth przięi, z któryh kż prost przin trzy inn, wyznz zmknięty szśiook przstrznny lżąy n kwry. Uowonijmy to twirzni: N otrzymny szśiook przstrznny skł się szść jgo wirzhołków orz trzy punkty przięi pr prziwlgłyh oków. Prziwlgł oki tworzą pry opowijąyh soi prostyh w wóh przstrznih kolinyjnyh. Kolinj śrokow wu przstrzni okrślon jst mięzy innymi przz śrok kolinji orz trzy pry homologiznyh punktów tyh przstrzni, nilżąyh n jnj płszzyźni II 3 2 I k I t 6 K 6 III II Rys. 15. Kolinj śrokowo-inwoluyjn szśiooku przstrznngo ig. 15. ntrl n involutionl ollintion o sptil hxgon W nszym przykłzi (rys. 15) śrokim kolinji jst wirzhołk 8 ostrosłup śiętgo, punktmi homologiznymi punkty lżą n krwęzih wyhoząyh z tgo wirzhołk. Punkty 3 i 4, 10 i 5, 12 i 1 są wirzhołkmi trójkątnyh postw ostrosłup śiętgo. Prost homologizn wyznzon tymi punktmi 3, 5 III 34

35 4, 10 prztną się w punki 6, prost 5, 12 i 10, 1 prztną się w punki 11, prost 1, 3 i 12, 4 prztną się w punki 2. T trzy punkty wyznzą płszzyznę kolinyjną. Kolinj śrokow posi tę włsność, ż wi różn płszzyzny homologizn wóh przstrzni przinją się w prostj lżąj n płszzyźni kolinji. Wszystki lmnty homologizn lżą n wóh różnyh płszzyznh homologiznyh tyh przstrzni tworzą ukły płski śrokowo-kolinyjn, w któryh osią kolinji jst ih krwęź przięi, śrokim śrok kolinji tyh przstrzni. w homologizn ukły płski wyznzon wom postwmi < 3, 10, 12 > i < 4, 5, 1 > ostrosłup śiętgo przinją się wzłuż wspólnj krwęzi t, któr jst osią kolinji płskij tyh ukłów i lży n płszzyźni π kolinji przstrznnj, o którj t w ukły nlżą. Poprowźmy przz wszystki trzy krwęzi ostrosłup śiętgo wyhozą z wirzhołk 8 orz przz punkty przięi 11, 6, 2 przkątnyh prziwlgłyh śin płszzyzny α 11, α 6, α 2. Wykżmy, ż trzy płszzyzny prztną się wzłuż wspólnj krwęzi k. W tym lu połązmy punkty 2 i 11 lżą n płszzyźni kolinji. Prost w tn sposó wyznzon przjzi przz punkt III lżąy n osi kolinji wóh ukłów płskih. Prost 2, 11 jst krwęzią przięi wóh płszzyzn 1, 3, 10 orz 12, 4, 5. Płszzyzny t przhozą przz prost 3, 10 i 4, 5 mją wspólny punkt III, wię muszą tkż przz tn punkt przhozić. Prost 2, 11 jko krwęź przięi oywu płszzyzn musi przhozić przz ih wspólny punkt III. Punktowi 2 opowi punkt 2, punktowi 11 11, przto prost łązą punkty 2 i 11 musi przjść przz punkt III. Pooni możn uowonić, ż prost 2, 6 przhozi przz punkt II, prost 11, 6 przhozi przz punkt I. N płszzyźni postwy otrzymliśmy ukł, który tworzy kolinję o śroku III i osi I, 6. W tym kolinyjnym ukłzi punktowi 11 opowi punkt 2, punktowi 5 opowi punkt 4. T ztry punkty wyznzją zworook zupłny, którgo przkątn przinją się w punki K lżąym n osi kolinji. zyli ż wszystki trzy prost ęą krwęzią przięi płszzyzn α 11, α 6, α 2 z postwą ostrosłup przinją się w wspólnym punki K. rugim wspólnym punktm przięi się tyh płszzyzn jst punkt 8, przz który t płszzyzny prowziliśmy. w punkty 8 i K wyznzją prostą ęąą krwęzią przięi płszzyzn α 11, α 6, α 2. W koljnośi musimy owiść, ż punkty 9 i 7 lżą n prostj k. W tym lu zuwżmy, ż płszzyzn wyznzon punktmi 4, 10, 1 prztni płszzyzny α 11 i α 6 wzłuż krwęzi 6, 1 i 11, 4 mjąyh wspólny punkt 9 lżąy n krwęzi k przięi płszzyzn α 11 i α 6. Pooni płszzyzn wyznzon punktmi 3, 12, 5 prztni płszzyzny α 11 i α 6 w krwęzih 12, 6 i 3, 11 mjąyh wspólny punkt 7 lżąy n k. Trzy punkty 7, 8, 9 są punktmi lżąymi n wspólnj prostj. Wyznzmy hę okrślonj powyżj kolinji śrokowj wu przstrzni (rys. 15). hą kolinji nzywmy wustosunk ztrh współliniowyh punktów np. (8, I π, 3, 4), n któr skłją się: śrok kolinji 8, owolny punkt lżąy n płszzyźni kolinji I π orz pr punktów homologiznyh 3 i 4 oywu przstrzni. Łtwo zuwżyć, ż ztry opowiją soi punkty 3, 4 i 5, 11 wyznzją płski zworook zupłny. W zworooku tym zhozi równość wustosunków (3 4 I π 8) (4 3 I π 8). Stą liz (3 4 I π 8) = (4 3 I π 8) = -1, zyli ż punkty 3 i 4 są hrmonizni sprzężon z I π i 8. W przstrzni rzutowj punkty I π II π III π są punktmi lżąymi n płszzyźni kolinji. Punkty soi opowiją 3, 4 jk i 11, 5 orz 12, 1 są punktmi lżąymi n kwry. Wszystki t punkty wrz z punktm 8 tworzą grupy hrmonizn o sz -1, ztm kolinj śrokow tyh przstrzni jst homologią hrmonizną nzywną kolinją śrokowo- -inwoluyjną. W inwoluji opowiją soi lmnty nzywmy igunowo sprzężonymi. Płszzyzn kolinji π jst płszzyzną igunową śrok 8 wzglęm kwryki. Rysunk 16 przstwi konigurję przstrznną otrzymną w wyniku rzutowgo przksztłni konigurji płskij, o uwiozniono n rysunku 14. Kżą płską konigurję możmy przksztłić przy złożniu śrok rzutu w owolną konigurję przstrznną równowżną rzutowo. Konigurją przstrznną nzywmy tki ukł p punktów i płszzyzn, ż kży punkt jst inynty z tą smą ilośią ε płszzyzn, kż płszzyzn jst inyntn z t smą ilośią π punktów. Jko konigurję przstrznną możmy tż rozwżć ukł punktów i prostyh z zhownim inynji jk w igurz płskij. Nsz konigurj przstrznn skł się z wunstu punktów i wunstu płszzyzn. N punkty konigurji skł się: szść nroży trójkątngo ostrosłup śiętgo, jgo wirzhołk, trzy punkty przięi przkątnyh śin, któr połązon z prziwlgłymi nrożmi utworzą wi trójki prostyh przinjąyh się w wóh pozostłyh punkth. Jko płszzyzny konigurji wyoręnimy: trzy śiny ostrosłup, szść płszzyzn przkątnyh wyznzonyh przz krwęzi ozn i punkt przięi przkątnyh śiny prziwlgłj. W tk uzysknym utworz n kżj płszzyźni lży szść punktów i przz kży punkt przhozi szść płszzyzn. Jst to konigurj typu punkt płszzyzn i nosi symol (12 6 ). Możn tż zuwżyć, ż przz kżą prostą przhozą trzy płszzyzny i n kżj płszzyźni lżą ztry prost, któr tworzą zworook zupłny. 35

36 8 3 VII 10 7 VIII IX XI II V XII 1 X I IV IV III 5 Rys. 16. Gomtryzn rlizj grizngo shmtu konigurji (12 6 ) ig. 16. Gomtril rliztion o onigurtion igrm o typ (12 6 ) I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Rys. 17. Grizny shmt konigurji (12 6 ) ig. 17. igrm o onigurtion o typ (12 6 ) 36

37 wnśi punktów i wnśi płszzyzn skłjąyh się n konigurję (12 6 ) z zhownim zhoząj mięzy nimi inynji ujęto w kwrtową tlię przynlżnośi (rys. 17), przstwijąą grizny shmt tj konigurji. Pony zpis grizny konigurji możmy równiż ująć w prostokątnym shmi lizowym. W shmi tym kolumny rprzntują płszzyzny oznzon I, II, III XII, im przynlżn punkty oznzono 1, 2, Wypłniją shmt, musimy spłnić nstępują wrunki: ) w jnj kolumni ni mogą powtrzć się wi jnkow lizy, gyy to nstąpiło n płszzyźni, ęzi lżło mnij niż szść punktów; ) w wóh kolumnh ni moż wystąpić więj niż trzy t sm lizy, w prziwnym wypku miliyśmy o zynini z zjnozonymi płszzyznmi; ) kż liz musi igurowć w shmi szśiokrotni, poniwż przz kży punkt musi przhozić szść płszzyzn. Są to wrunki niozown, zkolwik niwystrzją. Z istnini shmtu ni wynik, ż konigurj tk moż yć zrlizown. Konigurję (12 6 ) możn zpisć w nstępująy sposó: I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII W otrzymnym zpisi okonujmy pwnyh zmin, któr ni wpływją n konigurję, wię możmy: ) w kżj kolumni zminić koljność liz; ) zminić koljność kolumn; ) ponumrowć inzj punkty konigurji. Grizny shmt konigurji (12 6 ) przstwiony n rysunku 17 przypomin mirz kwrtową. Kż mirz posi tę włsność, ż możn rzęy i kolumny tk uporząkowć, y znki inynyjn ugrupowły się w wymgny sposó. Rysunk 18 przstwi tlę inynyjną otrzymną w wyniku uporząkowni rzęów i kolumn w tki sposó, y lmnty mirzy yły położon symtryzni wzglęm głównj przkątnj. Jżli tl przynlżnośi jst sm w soi symtryzn, konigurję nzywmy inwoluyjną. Oyw shmty grizn (rys. 17 i 18) są shmtmi kwiwlntnymi. I II VIII VI XII VII IV IX V III XI X Rys. 18. Grizny shmt konigurji (12 6 ) w ukłzi inwoluyjnym ig. 18. igrm o onigurtion o typ (12 6 ) 37

38 38

39 4. PRZKSZTŁNI RZUTOW SZŚIOOKU PRZSTRZNNGO WYZNZJĄGO KWRYKĘ SKOŚNĄ N szśiooku przstrznnym < > hrktryzująym się tym, ż kży jgo ok przin trzy inn rozpięty jst ostrosłup śięty Δ o postwh < >, < KLM > i wirzhołku W. Jk wiomo istnij i jst jnoznzni okrślon przksztłni rzutow przstrzni przprowzją opowinio piątkę płszzyzn (w którj żn ztry płszzyzny ni nlżą o jnj wiązki), w owolną inną piątkę płszzyzn (w którj równiż żn ztry płszzyzny ni przhozą przz jn punkt). Istnij wię tki przksztłni rzutow przstrzni przprowzją pięć śin ostrosłup Δ o wirzhołku W rozpiętgo n szśiooku < >, w płszzyzny poporząkownyh im śin ostrosłup Δ` o wirzhołku W` rozpiętgo n szśiooku < `````` >. ztm szśiook < > wrysowny n śinh ostrosłup śiętgo Δ możn przksztłić w kży owolny szśiook < `````` > lżąy n śinh ostrosłup Δ`. W=W' K K' L L' S2 S1 ' ' ' ' ' Rys. 19. Kolinyjn przksztłni śiny KL ostrosłup śiętgo Δ w śinę ``K`L` ostrosłup Δ` ig. 19. ollintory trnsormtion o KL wll o rustum o pyrmi Δ into th wll K L o pyrmi Δ W przstrzni rzutowj, trójwymirowj wźmy w różn ostrosłupy śięt Δ i Δ` wrz z wrysownymi n ih śinh przkątnymi, któr tworzą zmknięty szśiook przstrznny < > i < `````` >. Przksztłćmy płszzyzny śin ostrosłup Δ wrz z wrysownymi przkątnymi w płszzyzny poporząkownyh im śin przkątnyh ostrosłup Δ`. W tym lu przyjmijmy tki położni ostrosłup Δ w stosunku o ostrosłup Δ`, w którym jn z śin pirwszgo i jn z śin rugigo ostrosłup lży w tj smj płszzyźni, jnk tk, y przkątn śin ni pokrywły się, jyni wirzhołki yły wspóln (rys. 19). Przy tkim położniu śin możmy wyznzyć w związki kolinyjn ϕ 1 i ϕ 2. wi kolinj przstrznn ϕ 1 i ϕ 2, któr mją lmnty pwnj wiązki śrokowj [S] orz lmnty pwngo ukłu płskigo opowinio wspóln, nzywmy przstrznimi śrokowo kolimyjnymi. Kolinj ϕ 1 okrśln jst śrokim kolinji otrzymnym w wyniku połązni punktów K, K` i, ` orz osią, L. W tk otrzymnj kolinji prost i przją opowinio w prost o i o, punkty K i w punkty K` i `. Otrzymn prost o i o wrz z opowijąymi im prostymi ` i ` wyznzą kolinję ϕ 2 39

40 o śroku [S 2 ] (L,L`) i (,`) orz osi K``. W kolinji tj prost o i o przją w prost ` i `, punkty L i w punkty L` i `. Oi kolinj ϕ 1 i ϕ 2 pozwoliły n przjśi prostyh i w prost ` i `. W tn sposó oi śiny zjnozyły się. Rysunk 20 przstwi koljn przksztłni kolinyjn ϕ 3, prowzą o końowgo przksztłni jngo ostrosłup w rugi. W przksztłniu tym przyjęto tki wzjmn położni ostrosłupów, w którym n skutk przprowzonj kolinji ϕ 1 i ϕ 2 jn z śin ostrosłup Δ i Δ` pokryw się. w ukły płski śin < W > i < W`` >` złązon n płszzyźni rysunku wyznzją kolinję ϕ 3 o śroku [S 3 ] okrślonym punktmi M, M ` i, ` i osią W,`. W tk wyznzonj kolinji krwęź M, przhozi w M ', ', tym smym śiny < W > i < W > w śiny < W``` > i < W``` >. Powyższ przksztłni prowzą o przjśi ostrosłup śiętgo Δ w ostrosłup śięty Δ`, wię punkt W przhozi w W`, prost,,,,, w prost `,`,`,`,`,``. S 3 W=W' M M' K=K' =' =' =' L=L' =' ' ' ' ' =' Rys. 20. Kolinyjn przksztłni śin LM i KM ostrosłup Δ w śiny ``L`M` i ``K`M` ostrosłup Δ` ig. 20. ollintory trnsormtion o LM n KM wlls o pyrmi Δ into wlls L M n K M o pyrmi Δ. Kwrykę prostokrślną 2 wyznz zmknięty szśiook przstrznny, którgo kży ok przin trzy inn. Ztm przy kżym przksztłniu rzutowym przprowzjąym zny szśiook < > w owolny szśiook <``````> powirzhni Φ 2, ęą kwryką, przhozi w inną powirzhnię Φ 2` równowżną rzutowo. 40

41 5. TWORZNI KWRYK SKOŚNYH WYZNZONYH SZŚIOOKIM PRZSTRZNNYM 5.1. Hiproloi skośn Wźmy trzy owoln płszzyzny ω 1, ω 2, ω 3 przinją się w wspólnym punki 0 i tworzą z soą krwęzi x = ω 1 ω 2, y = ω 1 ω 3, z = ω 2 ω 3 (rys. 21). N kżj z tyh płszzyzn przyjmijmy prostą owolną niprzinjąą pozostłyh wóh prostyh. Otrzymmy trzy prost skośn. Kż prost przin krwęzi x, y, z w wóh punkth, minowii: prost t 1 ω 1 przin krwęź x w punki, krwęź y w punki, prost t 2 ω 2 przin krwęź x w punki, krwęź z w punki, prost t 3 ω 3 przin krwęź z w punki, krwęź y w punki. Połązmy otrzymn punkty, tzn. punkt z, z i z, wyznzymy w tn sposó inn trzy prost skośn q 1, q 2, q 3, lżą opowinio n płszzyznh ω 1, ω 2, ω 3. Skonstruowliśmy szśiook przstrznny o wirzhołkh < >. Szśiook tym się hrktryzuj, ż kży jgo ok przin trzy inn. Wykżmy słuszność tgo twirzni. Zgoni z złożnim prost t 1 ω 1 m wspóln punkty i z prostymi q 3 i q 2, w któryh to punkth prost t przijją płszzyznę ω 1. Prost q 1 i t 1 lżą n płszzyźni ω 1 są prostymi przinjąymi się w punki K. Pokzliśmy, ż prost t 1 przin prost q 1, q 2, q 3 w punkth K,,. To smo możmy wykzć l kżgo inngo oku. W otrzymnj konigurji przstrznnj kż prost nlżą o zioru prostyh t przin wszystki prost zioru q i owrotni, kż prost nlżą o zioru q przin wszystki prost nlżą o zioru t, ntomist prost nlżą o jngo zioru są wzglęm sii skośn. z q q 3 y t3 M t 1 0 x K 1 L q 1 t 2 Rys. 21. Szśiook przstrznny wyznzjąy hiproloię skośną ig. 21. Sptil hxgon trmining th urv hyproloi hą wyznzyć koljn prost zioru q zy t, musimy wykonć nstępują konstrukj. Wyznzją np. prostą t 4 (rys. 22), poprowźmy przz owolny punkt T 4 prostj q 2 i przz prostą q 1 płszzyznę α 4 orz przz tn sm punkt i prostą q 3 płszzyznę β 4. Płszzyzn α 4 prztni płszzyznę ω 3 wzłuż krwęzi k α 4 ω 3, lżąą n nij prostą q 3 w punki R 4. Płszzyzn β 4 m wspólną krwęź k β 4 ω 1 z płszzyzną ω 1, któr prztni prostą q 1 w punki Q 4. Punkty T 4, R 4, Q 4 lżą n prostj t 4, któr jst krwęzią przięi płszzyzn α 4 i β 4. 41

42 z ''=''' q'' Z 4 t''' 3 k 4 3 T'' k T''' 4 t''' 4 ''=''' t'' 4 k 4 2 y ''' q''' 3 k X' Q''' 4 M''' ''' Q'' 4 R''' 4 R'' 4 R' 4 R' 4 0 t' 4 q' 1 t'' 2 T' 4 k 4 1 L'' '='' K' x '='' ' Q' 4 t' 1 k ' y Rys. 22. Sposó znjowni tworząyh hiproloiy skośnj wyznzonj szśiookim przstrznnym t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3 ig. 22. Th trmining wy o gnrtris or urv hyproloi tht is trmin y sptil hxgon t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3 Z powyższgo rozwżni wynik konstrukj uproszzon polgją n znlziniu tylko punktu R 4. Poprowzon płszzyzn α 4 przz prostą q 1 m wspóln krwęzi z płszzyznmi ω 2 i ω 3 przhozą przz punkty i. Jżli poprowzimy z punktu prostą k α 4 ω 2 przhoząą przz punkt T 4, to prztni on krwęź z w punki I 4. Prost k α 4 ω 3 przhozą przz punkty I 4 i prztni prostą q 3 w punki R 4. Punkty T 4 i R 4 wyznzą szukną prostą t 4, któr m wspólny punkt Q 4 z prostą q 1. Jżli punkt T przsuw się po prostj q 2 poprzz położni T 4, T 5, T 6 T n, wówzs ziór tk wyznzonyh prostyh t 4, t 5, t 6 t n utworzy powirzhnię prostokrślną stopni rugigo, którą nzywmy hiproloią skośną. Wszystki prost w tn sposó powstł są tworząymi powirzhni. o zioru tworząyh hiproloiy skośnj zlizmy równiż t prost, któr przinją wi, są równolgł o trzij prostj. Wźmy tki szśiook przstrznny mjąy wirzhołki < >, którgo w oki q 3 i t 2 są o sii równolgł i mją z krwęzią wspólny punkt (rys. 23, rys. 24), pozostł oki t 1, t 3, q 1,q 2 utworzą zworokąt przstrznny < K >, którgo rzutm o kirunku z n płszzyznę ω 1 jst zworokąt płski < KO >. Ztm pęk płszzyzn przhoząyh przz prostą q 3 pozwoli z pomonizyh konstrukji wyznzyć ziór prostyh t przinjąyh pozostł w oki z zioru q. W tym lu poprowźmy przz owolni orny punkt T 4 n prostj q 1 i przz prostą q 3 płszzyznę α 4. Prztni on płszzyznę ω 1 wzłuż krwęzi k α 4 ω 1 i płszzyznę ω 2 wzłuż krwęzi k α 4 ω 2. Otrzymn krwęzi mją z prostymi q 1 i q 2 wspóln punkty T 4 i R 4, któr wyznzją tworząą t 4. Tworzą t 4 jko lżą n płszzyźni α 4 przin prostą q 3, przz którą przprowzono tę płszzyznę. Pooni postępujmy, wyznzją tworzą roziny q. 42

43 ''' 3 ''=''' 2 k 4 3 z '' t''' 3 q'' 2 q''' 3 N''' 4 k 4 2 t'' 2 N'' 4 q''' 4 R''' 4 q'' 4 R'' 4 I''' I'' y '=''' '=''' T''' 4 t''' 4 Y 0 Y T''' 4 k q' t'' 4 M'' 4 ' T'' 4 R' 4 M' 4 I' t' 4 K' ' x q' 1 T' 4 ' t' 1 k ' y Rys. 23. Wyznzni tworząyh hiproloiy skośnj okrślonj przz szśiook przstrznny o wóh okh równolgłyh ig. 23. Th trmining wy o gnrtris or urv hyproloi tht is trmin y sptil hxgon with two prlll sis 3 z 2 q 2 t 2 q 3 t 3 0 x y t 1 K 1 q 1 Rys. 24. Szśiook przstrznny o wóh okh równolgłyh wyznzjąy hiproloię skośną ig. 24. Sptil hxgon with two prlll sis trmining th urv hyproloi 43

44 5.2. Hiproloi orotow W szzgólnym przypku hiproloi skośn moż yć powirzhnią orotową. Wówzs kż płszzyzn przhozą przz oś orotu l hiproloiy orotowj jst płszzyzną prostokątnj symtrii tj powirzhni i przin ją w połunikh, któr są hiprolmi. Kży przkrój płszzyzną owolną jst lipsą, płszzyzną prostopłą o osi l okręgim. Próz tyh płszzyzn istnij jszz jn płszzyzn prostokątnj symtrii ε l, przinją hiproloię w okręgu szyjnym. Hiproloię orotową utworzy tki szśiook przstrznny o wirzhołkh < KLM >, którgo prziwlgł oki są o sii równolgł, tzn. t 1 q 2, t 2 q 3, t 3 q 1 i przinją krwęzi x, y, z płszzyzn n któryh lżą, opowinio w punkth, i (rys. 25). Nrysowny w tn sposó szśiook przstrznny m oś l prostokątnj symtrii. Oś l wyznzon jst przz punkt O przięi przkątnyh x, y, z szśiooku orz przz punkt P przięi przkątnyh x 1, y 1, z 1. Nrysujmy tki szśiook przstrznny o wirzhołkh < KLM >, którgo oki są krwęzimi romoru o przkątnj l O,P prostopłj o rzutni (rys. 27). Rzutm o kirunku l szśiooku przstrznngo jst szśiook płski ormny < `K``L``M` >. Jżli przkroimy szśiook płszzyznmi prostopłymi o osi l przhoząymi przz punkty O i P orz punkt, który jst polową oink O,P, otrzymmy punkty lżą n trzh współśrokowyh okręgh k 1, k 2, k 3. Kży ok szśiooku przin okręgi k 1, k 2, k 3. Ztm kż płszzyzn prostopł o osi l prztni przyjęty szśiook w punkth, któr lżą n okręgh o śroku przynlżnym o osi l. Stą wniosk: jżli oróimy szśiook wokół osi l, to kży punkt jgo oków zkrśli okrąg, lżąy w płszzyźni prostopłj o osi l. Okrąg k 3 zkrślony przz punkt, którgo olgłość o osi l jst njmnijsz, nzywmy okręgim szyjnym. Wszystki inn okręgi są równolżnikmi. Hiproloię orotową wyznzją wię wi prost skośn, z któryh jn jko tworzą or się wokół rugij, któr jst osią orotu. t 3 x 1 z q 2 l y 1 2 L M 3 t 2 q 3 y t K z 1 q 1 Rys. 25. Szśiook przstrznny wyznzjąy hiproloię orotową ig. 25. Sptil hxgon trmining th hyproloi o rvolution Mją ny szśiook przstrznny (rys. 26) i hą wyznzyć lsz tworzą, postępujmy jk przy hiproloizi skośnj. Oirmy n oku t 1 owolny punkt Q 4. Przz orny punkt Q 4 i prostą t 3 prowzimy płszzyznę α 4 orz przz tn sm punkt i prostą t 2 płszzyznę β 4. Płszzyzn α 4 prztni płszzyznę ω 2 w krwęzi k α 4 ω 2, lżąą n nij prostą t 2 w punki T 4. Ntomist płszzyzn ω 1 m z płszzyzną α 4 krwęź k α 4 ω 1. Oywi krwęzi mją wspólny punkt Q 4 z osią x. Płszzyzn β 4 mją wspólną krwęź k β 4 ω 1 z płszzyzną ω 1 i k β 4 ω 3 z płszzyzną ω 3 prztni prostą t 3 w punki R 4. Wszystki trzy punkty Q 4, T 4, R 4 lżą n prostj q 4, któr jst krwęzią przięi płszzyzn α 4 i β 4. Prost t w rzui pokryw się z tworząą t 1, poniwż m wspóln punkty R 4 i T 4 z tworząymi t 3 i t 2, ltgo musi mić to smo nhylni i prziwny zwrot o prost t 1. Wynik stą konstrukj uproszzon wyznzni tworząj, minowii, hą wykrślić przz punkt Q 5 tworząą q 5, rysujmy przz tn punkt prostą k α 5 ω 1 równolgłą o y i przinjąą x w punki V. Przz otrzymny punkt V z punktu rysujmy prostą k α 5 ω 2, któr przin ok t 2 w punki T 5. Punkty Q 5 i T 5 wyznzją tworząą q 5 przinjąą tworząą t 3 w punki R 5. Postępują lj, możmy powizić, ż wszystki prost lżą w płszzyznh styznyh, prostopłyh o poziomgo okręgu szyjngo i mjąyh jnkow nhylni, wyznzją hiproloię orotową. x 44

45 3 2 ''' z ''' R''' 5 R''' 4 ''' M''' t''' 3 ''' '' q'' 2 L'' '' q''' 5 q''' 4 q''' 3 q'' 5 k 4 2 t'' 2 y 4 3 k Y ''' Q''' =Q''' k 4 2 Q'' q'' 4 4 Q'' 5 T' 5 Q'' 4 T' 4 x 4 1 k q' 4 q' 1 ' T''' 5 t' 1 T'' 5 K' ' Q' 4 Q' 5 ' R' 4 k 4 1 T''' 4 Y q' 5 T'' 4 R' 5 y 1 Rys. 26. Sposó znjowni tworząyh hiproloiy orotowj wyznzonj szśiookim przstrznnym <t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3> ig. 26. Th trmining wy o gnrtris or hyproloi o rvolution in y sptil hxgon t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3 l k 2 k 3 R 1 k 1 Q 1 t 1 P 1 t 2 t 3 Rys. 27. Hiproloi orotow ig. 27. Hyproloi o rvolution 45

46 5.3. Proloi hiprolizn z 2 3 k q 3 t 3 0 q 1 k t 2 K U q 2 t 1 1 k x k X Y Rys. 28. Szśiook przstrznny wyznzjąy proloię hiprolizną ig. 28. Sptil hxgon trmining th hyproli proloi Z rozwżń o hiproloizi skośnj wynikło, ż wyznzją ją trzy prost skośn, jżli ni są wszystki trzy równolgł o tj smj płszzyzny ni ęą równolgł o sii. Gy kirują są równolgł o jnj płszzyzny, wówzs wyznzją powirzhnię prostokrślną stopni II zwną proloią hiprolizną. hą nrysowć szśiook przstrznny (rys. 28), którgo trzy oki t 1, t 2, t 3 yłyy równolgł o ornj płszzyzny α orz trzy inn oki q 1, q 2, q 3 o płszzyzny β, nlży: przyjąć owolną płszzyznę α, któr m krwęzi k α ω 1 z płszzyzną ω 1, k α ω 3 z płszzyzną ω 3 i k α ω 2 z płszzyzną ω 2 orz przyjąć płszzyznę β mjąą krwęzi k β ω 1 z ω 1, k β ω 2 z ω 2 i k β ω 3 z ω 3. Wykrślmy z punktu przięi krwęzi k β ω 1 z krwęzią y, prostą q 1 równolgłą o krwęzi kα ω 1, zyli o płszzyzny α. Prost q 1 prztni oś x w punki. Z punktu tgo krślimy prostą t 2 równolgłą o krwęzi k β ω 2, zyli o płszzyzny β. ''' z 3 ''=''' 2 k 4 3 '' t''' 3 q'' 2 q''' 3 N''' 4 k 4 2 t'' 2 N'' 4 q''' 4 R''' 4 q'' 4 R'' 4 I''' I'' y '=''' '=''' T''' 4 t''' 4 Y 0 Y T''' 4 k q' t'' 4 M'' 4 ' T'' 4 R' 4 M' 4 I' t' 4 K' ' x q' 1 T' 4 ' t' 1 k ' y Rys. 29. Wyznzni tworząyh proloiy hiproliznj oprtj n szśiooku przstrznnym < t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3> ig. 29. Th trmining wy o gnrtris or th hyproli proloi on th sptil hxgon t 1, t 2, t 3, q 1, q 2, q 3 46

47 Prost t m wspólny punkt z krwęzią z. Prowzą w poony sposó lsz prost t 3, t 1, q 2, q 3 jko równolgł lu przynlżn n przmin o płszzyzny α i β, nrysujmy zmknięty szśiook o wirzhołkh < >. owó n to, ż szśiook jst zmknięty, przprowzimy w nstępująy sposó. Nrysujmy płszzyznę ω 1 ną prostymi x, y, n nij prost: t 1 równolgłą o k α ω 1 i q 1 równolgłą o k β ω 1 (rys. 30). Jżli połązymy opowinio punkty Y β, X α,, i,, otrzymmy w zworokąty, któr mją trzy oki wspóln i przkątn równolgł. Wynik to z twirzni Tlls. Ukłją proporj: O O = O OX i O = O O α OY β O O = O OX O O = O OY β α O OX = O α OY β O = OY O β OX α Potwirzmy równolgłość oków i Y β,x α. Jżli przz powyższ wi prost równolgł i Y β,x α lżą n ω 1 (rys. 30) poprowzimy płszzyzny o sii równolgł w tki sposó, y jn z płszzyzn przięł ω 2 i ω 3 w krwęzih k β ω 2 i k β ω 3, to rug płszzyzn prztni ω 2 i ω 3 w krwęzih q 2 i t 3. Stą wniosk, ż szśiook o wirzhołkh < > jst zmkniętym szśiookim. 0 y x t 1 q K 1 U k k Y X ig. 30. Rysunk n owó ż szśiook przstrznny jst szśiookim zmkniętym ig. 30. Th proo tht th sptil hxgon trmining th hyproli proloi is hxgon los l wyznzni owolnj prostj (tworząj) lżąj n proloizi hiproliznj oirmy np. n oku q 3 punkt T 4 (rys. 29). Przz tn punkt prowzimy prostą lżąą n płszzyźni β równolgłą o krwęzi k α β. Prost t przij płszzyznę ω 1 w punki IV lżąym n krwęzi k β ω 1. Rysują z punktu IV prostą równolgłą o k α ω 1, otrzymmy punkt Q 4 przięi z prostą q 1. Punkty T 4 i Q 4 wyznzją krwęź t 4, któr jst równolgł o płszzyzny α, poniwż lży n płszzyźni x równolgłj o α. Możmy uowonić, ż owolni orny punkt T 4 zili oink w tj smj proporji o punkt Q 4 oink K. Z twirzni Tlls wynik równość proporji: T 4 T4 = UIV IV Z koli prost równolgł o k α ω 1 i równolgł o t 1 oin n prostyh równolgłyh k β ω 1 i q 1 oinki przystją. Ztm kży zworokąt przstrznny (np. < K >) wyznz proloię hiprolizną (o tworząyh K, i K, ). 47

48 48

49 6. PWN SZZGÓLN WŁSNOŚI KWRYK SKOŚNYH W ZSTOSOWNIH Powirzhni prostokrśln o powójnj krzywiźni (nirozwijln), nzywn tkż kwrykmi skośnymi lu wihrowtymi, mją uż zstosowni w prkty inżynirskij, szzgólni w konstrukjh uowlnyh jko: sklpini, pokryi how użyh oiktów (stionów, hl) (iliński i in.). Nikwstionown oność gomtrii w rhitkturz, uownitwi, rogownitwi, konstrukjh zostł już wilokrotni w litrturz utrwlon i jst tk ozywist, ż nioml... nizuwżln (zh 2001). Postwowym znim kżgo konstruktor jst zprojktowni konstrukji o rjonlnyh ksztłth. ormy powirzhniow wykorzystywn w uownitwi powinny yć ostosown o wymgń thniki uowlnj, ztm ih gomtri powinn yć możliwi prost, y ni powoowć zyt użyh trunośi pozs rlizji przy stosowniu śroków i mto ostępnyh n plu uowy. ormy konstrukji powirzhniowyh powinny yć oirn w zlżnośi o: unkji jką mją spłnić, grytów oiktu, rozju mtriłu uowlngo, wrunków sttyznyh, wzglęów sttyznyh, Z nwnim ormom stosownym w uownitwi ksztłtów powirzhni prostokrślnyh przmwi mięzy innymi kt, ż ih rlizj prktyzn jst ułtwion, poniwż większość otyhzsowyh stosownyh konstrukji żltowyh wykonuj się n rusztownih z sk. Prostokrślność konstrukji ułtwi ułożni szlowni, w którym kirunki sk pokrywją się z tworząymi powirzhni. Spośró wszystkih powirzhni skośnyh szzgólną przytność w uownitwi wykzują konoiy prost krzywyh mtmtyznyh (okręgu, lipsy, proli, sinusoiy) orz konoi linii prostj nzywn powszhni proloią hiprolizną (Przwłoki 1997). Z ih stosownim w uownitwi przmwi kt, ż są to powirzhni: ) powójni zkrzywion, ) ziniown mtmtyzni, ) łtw o zuowni, ) osttzni ktown. Mimo ż są to powirzhni wukrzywiznow, mogą yć tworzon z linii prostyh, o m uż znzni prktyzn. Szzgólną uwgę nlży poświić konoizi linii prostj, zyli proloizi hiproliznj. Intrsują plstyzni orm posi uż możliwośi różnorongo jj stosowni, korzystn włśiwośi sttyzn wprowziły ją n stł o uownitw. Swoistą hą proloiy hiproliznj jst to, ż rzgi tj powirzhni mogą yć ogrnizon linimi prostymi (rys. 33). Lini przkroju powirzhni płszzyzną jst zwykl linią krzywą płską lu igurą skłjąą się z kilku krzywyh płskih. W szzgólnym przypku lini przkroju moż yć linią prostą. Płszzyzn niwłśiw przin proloię hiprolizną w prz prostyh jną z nih jst tworzą t, rugą tworzą q. Prost niwłśiw t i q wyznzon płszzyznmi kirownizymi α i β przinją się w punki niwłśiwym R. Punkt R przięi się ou tworząyh t i q m rzo wżn włśiwośi (Otto, Otto 1988). Kż płszzyzn przhozą przz punkt R przin proloię hiprolizną po proli, poniwż m z nią jn punkt niwłśiwy R (rys. 31). Ntomist płszzyzn, któr ni przhozi przz R, przin rozwżną powirzhnię w hiproli lu wóh tworząyh, poniwż m z tą powirzhnią w punkty niwłśiw wspóln (przięi z t i przięi z q ) (rys. 32). 49

50 S 2 l S 1 W Rys. 31. Przkroj proloiy hiproliznj w prolh ig. 31. ross-stions o hyproli proloi in prols l W Rys. 32. Przkroj proloiy hiproliznj w hiprolh ig. 32. ross-stions o hyproli proloi in hyprols 50

51 l W q t Rys. 33. Wyink proloiy hiproliznj ogrnizony zworookim przstrznnym, którgo oki są tworząymi ig. 33. Th prt o hyproli proloi limit y sptil qurngl t 1 t n q n q 1 ' t' 1 t' n ' Rys. 34. zworook przstrznny wyznzjąy proloię hiprolizną ig. 34. Sptil qurngl trmining hyproli proloi Linią prznikni kwryk skośnyh jst krzyw przstrznn rzęu zwrtgo (Otto, Otto 1988). W szzgólnym przypku moż występowć w posti zgnrownj o krzywj stożkowj lu prostj (rys. 35). K K 2 4 = 51