POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI WODY I WYZNACZENIE KRYTYCZNEJ LICZBY REYNOLDSA METODĄ BADANIA SZYBKOŚCI WYPŁYWU WODY RURKĄ KAPILARNĄ

Transkrypt

1 POMIA WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI WODY I WYZNACZENIE KYTYCZNEJ LICZBY EYNOLDSA METODĄ BADANIA SZYBKOŚCI WYPŁYWU WODY UKĄ KAPILANĄ I. Cel ćwiczenia: zapoznanie z cechami turbulentnego i laminarnego wypływu wody z naczynia, zaobserwowanie zmiany charakteru przepływu cieczy rzeczywiste przez kapilarę wraz ze zmianą prędkości (przeście z przepływu turbulentnego w laminarny). Wyznaczenie dynamicznego współczynnika lepkości wody η w oparciu o wykres zaleŝności natęŝenia przepływu od wysokości słupa wody w naczyniu dla te części zaleŝności, która odpowiada wyłącznie wypływowi laminarnemu. II. Przyrządy: cylinder ze skalą, kapilary, stoper, suwmiarka III. Literatura: 1. Encyklopedia fizyki, PWN Warszawa, 1973 r., str Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna, cz.1, PWN Warszawa, J. A. Zakrzewski, A.K. Wróblewski, Wstęp do fizyki, PWN Warszawa, t.1, 1984 r., str. 300 i t.2, cz.1, 1989, str M. Grotowski, Wykłady fizyki, t.1, Czytelnik, 1949, str H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa, IV. Charakterystyka laminarnego i turbulentnego przepływu cieczy. Oddziaływania między cząsteczkami cieczy (których natura est w zasadzie elektryczna) powoduą, Ŝe w kaŝde cieczy rzeczywiste, w odróŝnieniu od e modelowego odpowiednika - cieczy idealne - występue tarcie wewnętrzne, zwane teŝ lepkością. Lepkość charakteryzue opór cieczy przeciw płynięciu pod działaniem sił zewnętrznych. Wpływ lepkości w cieczach uawnia się w całe ich obętości. ozwaŝmy warstwę cieczy o grubości h, zawartą między dwiema płaskimi i równoległymi płytkami np. P i P' (o powierzchni S kaŝda), z których P spoczywa, a P' przemieszcza się z prędkością v o pod wpływem styczne siły zewnętrzne F r o ( rys.1 ). Tarcie wewnętrzne powodue powstanie między dwiema sąsiednimi warstwami cieczy, poruszaącymi się z nieednakową prędkością, sił stycznych do powierzchni tych warstw i skierowanych odwrotnie do ich prędkości względne. Prędkość płytki P' - vo, est stała, o ile siła tarcia wewnętrznego cieczy T (tzw. opór lepki), występuąca między drobinami cieczy, a w szczególności w warstwie przylegaące do płytki P', równowaŝy siłę zewnętrzną: F T. Cząsteczki cieczy przy- r r legaące do płaszczyzny P' przesuwaą się wraz z nią z prędkością v o, natomiast cząsteczki cieczy przylegaące do płytki P (spoczywaące) maą prędkość zerową. W te sytuaci, i pod warunkiem, Ŝe odkształcenie postaciowe cieczy est ednorodne, w kierunku prostopadłym do powierzchni płytek (np. w kierunku osi z), w polu przekrou poprzecznego strugi ustala się prze- 1/8

2 pływ cieczy o róŝnych lokalnych prędkościach, zmieniaących się liniowo w przedziale od 0 (dla z 0) do v r o v o ( dla z h ). z v r o F r o P ' v r o h ys.1 ozkład wektora prędkości cieczy rzeczywiste (lepkie) zawarte między dwiema płytkami równoległymi P i P', z których płytka P spoczywa. Stan taki opisue się gradientem prędkości o edne nie znikaące wartości w kierunku osi z : dv/dz v o /h. W przypadku gdy odkształcenie postaciowe cieczy, pod wpływem styczne siły zewnętrzne F o est ednorodne, współczynnik lepkości cieczy η, będący miarą oporu lepkiego cieczy, wylicza się ze wzoru Newtona [1]: F η o ( 1 ) dv S dt W układzie SI ednostką lepkości est 1 Pa s (paskalosekunda). We wzorze (1) wyraŝenie t F o /S oznacza działaące na płytę napręŝenie styczne. Takie napręŝenie działa teŝ na kaŝdą równoległą do płytki warstwę cieczy, która porusza się z prędkością róŝną od prędkości warstwy sąsiednie. Wobec tego, Ŝe cząsteczki płynące cieczy rzeczywiste (lepkie), w sąsiednich warstwach, poruszaą się z róŝnymi prędkościami, przepływ e wygodnie est scharakteryzować podaąc średnią prędkość ruchu. Przy małych średnich prędkościach, tory cząsteczek cieczy są liniami gładkimi, linie prądu są równoległe i nie mieszaą się. Taki przepływ nazywa się regularnym, warstwowym lub laminarnym. Ze wzrostem średnie prędkości przepływu tory cząsteczek cieczy nabieraą charakteru nieuporządkowanego, burzliwego. W cieczy tworzą się zawirowania i występuą nieregularności przepływu strug cieczy. Taki ruch cieczy nazywany est turbulentnym. W przypadku gdy przepływ cieczy est laminarny, współczynnik lepkości η ma charakter stałe fizyczne cieczy. Nie zaleŝy on od grubości warstwy ośrodka lepkiego ani od rozmiarów płytek. Nie zaleŝy teŝ od napręŝenia stycznego. Ze wzrostem średnie prędkości przepływu i w warunkach ego złoŝone geometrii, moŝe nastąpić zmiana charakteru przepływu z laminarnego w turbulentny. W takie sytuaci poęcie oporu lepkiego naleŝy zastąpić poęciem oporu turbulentnego. V. Prawa przepływu cieczy V.1 Ciecz idealna. Podstawową zasadą fizyczną, rządzącą przepływem cieczy idealne (nielepkie, nieściśliwe, niewaŝkie) przez przewody o róŝnych przekroach poprzecznych est "zasada ciągłości strugi". Jeśli w miescu gdzie przekró strugi est A, prędkość płynące cieczy est v, a w innym miescu P 2/8

3 strugi odpowiednio przekró poprzeczny wynosi A' i prędkość przepływu wynosi v', to zasada ta pozwala zapisać równanie: v A v A ( 2 ) Prawo to, akkolwiek sformułowane dla cieczy idealne, moŝna stosować do przepływu cieczy rzeczywiste, eśli przez v i v' rozumieć będziemy średnie prędkości przepływu w obszarach strugi cieczy o przekroach odpowiednio A i A ' oraz o ile moŝna uznać, Ŝe prędkość cieczy est stała. Drugim podstawowym prawem przepływu cieczy idealne est "zasada Bernoulliego", którą dla określone strugi, wyodrębnione w płynącym płynie, umue równanie: 1 p + ρv 2 + ρgh const. 2 gdzie ρ est gęstością cieczy, h - wysokością wybranego przekrou poprzecznego strugi cieczy ponad poziom odniesienia, v - lokalną prędkością przepływu, p - ciśnieniem w danym przekrou poprzecznym strugi cieczy, g - wartością przyspieszenia ziemskiego. V.2 Ciecz rzeczywista przepływaąca przez kapilarę. Podczas laminarnego wypływu cieczy rzeczywiste przez kapilarę (o długości l, które promień wewnętrzny przekrou kołowego est ), spowodowanego róŝnicą ciśnień na e końcach (p 1 - p ), tory cząsteczek cieczy są prostoliniowe i równoległe do osi rurki. JednakŜe prędkości 2 ich, w punktach wzdłuŝ średnicy kapilary ( pokrywaące się np. z osią r ), są zróŝnicowane co do wartości. Nawiększą prędkość maą cząsteczki na osi kapilary ( r 0 ), natomiast drobiny przylegaące do ścianek wewnętrznych rurki ( r ) maą prędkość równą zeru. Symetria zagadnienia pozwala wyodrębnić w płynie współśrodkowe cylindry o promieniu r ( dla 0 < r < ) i grubości dr na tyle małe, Ŝe prędkość drobin cieczy w zakresie wybranego cylindra est stała i wynosi v(r) (rysunek 2). ( 3 ) r r + dr r v( r) l p 1 p 2 ys.2 ozkład prędkości przepływu cieczy lepkie w rurce o promieniu pod wpływem róŝnicy ciśnień p 1 - p 2. JeŜeli przepływ est laminarny, to edynie ruch cieplny cząsteczek powodue wymianę pędu zachodzącą poprzez ścianki tak pomyślanych walców. Ten ruch cieplny ma tendencę do wyrównywania prędkości cząsteczek z sąsiednich obszarów. Ilościowo proces ten opisue się siłą tarcia wewnętrznego T, proporconalną do powierzchni boczne walców oraz do gradientu prędkości: dv( r ) T η S ( 4 ) dr 3/8

4 gdzie η est współczynnikiem lepkości. W warunkach przepływu laminarnego, siła tarcia T i siła zewnętrzna F wynikaąca (w tym przypadku) z róŝnicy ciśnień na końcach kapilary ( F πr 2 (p 1 - p 2 ) ), równowaŝą się: r r T + F 0 ( 5 ) Odpowiednie przekształcenia równania (5), przeprowadzone dla warunków brzegowych: v(r 0) v o i v(r ) 0, pozwalaą wyprowadzić funkcę opisuącą zaleŝność prędkości drobin cieczy od promienia cylindra: ( p1 p2 ) 2 2 v ( r ) ( r ) ( 6 ) 4ηl ysunek 2 ilustrue tę zaleŝność (kwadratową) dla omawianego przypadku. Wzór (6) umoŝliwia obliczenie średnie prędkości laminarnego wypływu cieczy przez rurkę. Jeśli przez V oznaczymy obętość cieczy wypływaące w czasie t, to natęŝenie prądu cieczy opisue wzór zwany teŝ równaniem Hagena-Poiseuille'a: Natomiast średnia prędkość wypływu wody przez kapilarę wynosi: V t 4 ( p1 p2 ) ð ( 7 ) 8ηl 1 v ð 2 V t NaleŜy podkreślić, Ŝe równanie (7) ma zastosowanie wyłącznie do przepływu laminarnego. W przepływie cieczy lepkie energia kinetyczna E k cieczy est mniesza od pracy W siły zewnętrzne F poruszaące płyn ( E k < W ). Obliczenia energii kinetyczne cieczy prowadzą do wyniku [2]: We wzorze (9) wyraŝenie: E k ( 8 ) ρv ð 2 ( p1 p2 ) ( 9 ) η 12 ρv e ( 10 ) η nazywa się liczbą eynoldsa. Jest to wielkość bezwymiarowa. Wprowadził ą w 1883 r. O. eynolds. Znaczenie te liczby nie ogranicza się tylko do analizowanego w tym opracowaniu przypadku. Je stałość dla róŝnych przepływów równowaŝna est tzw. podobieństwu przepływu. Na podstawie doświadczeń nad ruchem płynów, eynolds stwierdził, Ŝe eśli mamy róŝne ciecze płynące z róŝnymi prędkościami w róŝnych przewodach, to charakter ruchu tych cieczy będzie ednakowy przy ednakowych wartościach liczby e dla tych przepływów. Koryguąc nieco wyraŝenie dla e podane np. w [2], moŝna zapisać: praca zuŝyta na przyspieszenie zadane obętości cieczy do prędkości v e (11) praca zuŝyta na pokonaniesil oporu lepkości przy przemieszczeniu te ob. cieczy 4/8

5 Z powyŝszego wyraŝenia wynika, Ŝe wzrost liczby e oznacza zwiększenie roli pracy zuŝyte na przyspieszenie cieczy, natomiast spadek e wartości oznacza zwiększenie roli pracy zuŝyte na pokonanie oporu lepkości. Laminarnym przepływom cieczy rzeczywistych przez przewody odpowiada wartość liczby e mniesza od pewne wartości krytyczne e. Przy wzroście prędkości przepływu cieczy następue przekroczenie krytyczne wartości liczby eynoldsa. Odpowiada to zmianie charakteru wypływu cieczy, z laminarnego w turbulentny. O ile ruch laminarny odpowiada stanowi pewne równowagi dynamiczne, i przy wartościach e mnieszych od minimalne wartości krytyczne równowaga ta est trwała, to przy e większych od nie powstae stan równowagi chwiene. Przy minimalnym zaburzeniu zostae on zniszczony, co powodue przeście ruchu laminarnego w turbulentny. JeŜeli natomiast nie ma zaburzenia, to stan równowagi chwiene moŝe się utrzymywać. Doświadczalnie stwierdzono, Ŝe wartość e zaleŝy od sposobu przeprowadzenia doświadczenia, między innymi od nierówności powierzchni rury, sposobu wpływania cieczy do rury. JeŜeli ciecz wpływaąca do rury est słabo zaburzona, to ruch przedzie z laminarnego w turbulentny przy duŝe wartości ek sięgaące kilkudziesięciu tysięcy i odwrotnie, zaburzenia ruchu pociągaą za sobą małe wartości ek [3]. VI. Zestaw doświadczalny do badania turbulentnego i laminarnego wypływu cieczy i metoda pomiaru. 1 Zestaw składa się z pionowego cylindra kończącego się przewęŝeniem, połączonego węŝami gumowymi z dwoma kapilarami umieszczonymi poziomo. óŝnica ciśnień na końcach kapilary równa est ciśnieniu hydrostatycznemu słupa cieczy w pionowym cylindrze o polu przekrou poprzecznego A ( A π 2 A, gdzie A est wewnętrznym promieniem przekrou kołowego cylindra). ys. 3 Schemat układu pomiarowego. W chwili t 0 poziom lustra cieczy sięga wysokości h o (odpowiednio obętość cieczy est V h A). Wysokość h o podzielona est na szereg odcinków równe długości d h o o 1 ozdziały VI i VII zostały w pewnym zakresie zmienione w stosunku do pierwotne wersi z 1995 r. przez mgr Jerzego Wiśniewskiego. 5/8

6 ( piszemy moduł, poniewaŝ poziom w rurze obniŝa się, a h zdefiniowane est ako h h i - h i-1 est mniesze od zera; traktuąc równe odcinki d ako dodatnie piszemy d h lub moŝemy napisać d - h ). Podczas wypływu cieczy z kapilary, e obętość równa est obętości cieczy wypływaące z pionowego cylindra. Wobec tego, Ŝe długość kaŝdego odcinka h est ednakowa, poddawana obserwaci obętość cieczy est stała i wynosi V A h - A h, a odpowiadaący e czas wypływu t i +1 - t i (wskaźnik i + 1), gdzie t i est czasem mierzonym od chwili t 0 (gdy h h o ) do chwili prześcia lustra cieczy przez i -tą kreskę na cylindrze. W doświadczeniu tym na skutek wypływu cieczy z całego układu obniŝa się róŝnica ciśnień na końcach kapilary wraz ze zmnieszaniem się ciśnienia hydrostatycznego. Dla tego przypadku, z równania (7) otrzymuemy (uwzględniamy, Ŝe p 1 - p 2 ρ g h(t) oraz Ŝe obętość V wypływaące cieczy z kapilary w czasie est równa obętości cieczy V wypływaące z pionowego cylindra w tym samym czasie): V A h g 4 π ρ h( t i ) (12) 8 l η lub ( ) h g 4 π ρ 8 l η A h t i. (12a) 4 π ρ g Oznaczaąc przez λ const, (13) 8 l η A przy h 0 (co odpowiada 0) otrzymamy równanie opisuące charakter zmian wysokości słupa w cylindrze a ednocześnie prędkość obniŝania się lustra cieczy, poniewaŝ mamy: dh v λ h( t). (14) dt Stąd otrzymue się funkcę wykładniczą h( t) ho exp( λ t) (15) opisuącą czasową zmienność h(t). Dla warunków naszego doświadczenia równanie (12) zapiszemy w postaci V λ A H α H, (16) gdzie α λ A, H - wysokość słupa wody odpowiadaąca środkowi przedziału (h i, h i +1 ). Idea ninieszego doświadczenia opiera się na wykorzystaniu zapisu równania Hagena- Poiseuille a w postaci wzoru (16). Wynika z niego, Ŝe pomiędzy natęŝeniem przepływu y V, a wysokością poziomu wody w cylindrze x H, istniee zaleŝność wprost proporconalna i α est współczynnikiem nachylenia linii proste przedstawiaące tę zaleŝność. Lewa strona równania (16), ak wynika ze wzoru (8), określa wielkość proporconalną do szybkości v wypływu wody z cylindra przez rurkę kapilarną. Współczynnik α est związany ze współczynnikiem lepkości wody η wzorem: 4 π ρ g η (17) 8 l α (wynika to ze związku współczynnika α z równania (16) z wielkością λ daną równaniem (13) ). Liczbę eynoldsa znadziemy z wyraŝenia (10), po uwzględnieniu wzoru (8): 6/8

7 ρ e v η 1 π 2 V ρ η ρ V π η (18) VII. Pomiary i opracowanie wyników 1 a) Pomiary. W ćwiczeniu naleŝy wykonać pomiary wysokości słupa wody h w funkci czasu t czyli h h(t), przymuąc np. stałą zmianę h 5 cm wysokości słupa wody w cylindrze. Do tych pomiarów naleŝy wykorzystać właściwą kapilarę (w zestawie - tę o większe średnicy wewnętrzne). Wobec stałości przekrou poprzecznego A, wykonane pomiary ( h i, t i ) moŝna zastosować do zbadania zaleŝności (16), dla stałe wartości V A h i obliczonych na podstawie pomiarów wielkości przedziałów czasowych t i +1 - t i (wskaźnik i + 1 ). Wyniki pomiarów moŝna zebrać w tabelach I i II. Tabela I l [m] wew [m] 2 A [m] d h [m] V A h [m 3 ] Tabela II i h i [m] ln h i t i [s] t i +1 - t i H ( h i + hi+1 ) / 2 V 3 i 0, 1 i 0, 1, [ m s] i 0, 1 i 0, 1, 2 i 0, 1, ; i + i h o ln h o t o 0 1 h 1 ln h 1 t 1 1 H 1 V/ 1 gdzie: l - długość kapilary, - promień kapilary, 2 A - średnica cylindra, d h - długość wybranego odcinka na rurze, V A h - odpowiadaąca odcinkowi h obętość cieczy, i - nr kreski na cylindrze, h i - wysokość słupa wody, H (h i + h i + 1 )/2 - środek przedziału (h i, h i + 1 ), b) Opracowanie wyników. 1. Sporządzić dwa wykresy: wykres 1 zaleŝności y ln h i w funkci x t i (tabela II, kolumny 3 i 4); wykres 2 zaleŝności y V w funkci x H (tabela II, kolumny 6 i 7). 1 ozdziały VI i VII zostały w pewnym zakresie zmienione w stosunku do pierwotne wersi z 1995 r. przez mgr Jerzego Wiśniewskiego. 7/8

8 2. Na obu wykresach zaznaczyć połoŝenie punktu, w którym przebieg odchyla się od linii proste. Dla wykresu 2 podać współrzędne tego punktu ( H, V/ ). W punkcie tym następue zmiana charakteru wypływu wody: wypływ turbulentny przechodzi w laminarny (w miarę zmnieszania h). 3. Dla te części wykresu 2, która odpowiada laminarnemu wypływowi wody (wykres est liniowy) znaleźć współczynnik nachylenia proste α metodą namnieszych kwadratów (lub graficznie). Następnie ze wzoru (17) wyznaczyć współczynnik lepkości η. 4. Znaleźć krytyczną wartość liczby eynoldsa ek ze wzoru (18) wykorzystuąc wartość V/ odczytaną z wykresu 2, w punkcie odchylenia się przebiegu od linii proste (patrz punkt 2 ). 5. Ocenić błędy zmierzonych wielkości η i ek. UWAGA Opracowanie wyników pomiarów zamieszczone w te instrukci dotyczy tylko kapilary o większe średnicy (kapilary są dwie). Dla drugie kapilary o mniesze średnicy pomiary wykonuemy podobnie (mierzymy wysokość h w funkci czasu t ). Następnie wykonuemy wykres y ln h w funkci x t, znaduemy współczynnik nachylenia te proste a tym samym współczynnik λ (dla te kapilary ta zaleŝność powinna być liniowa w całym zakresie wartości t). Obliczamy współczynnik lepkości wody η i przeprowadzamy rachunek błędów. Dokładny opis wykonania ćwiczenia dla drugie kapilary daące tylko przepływ laminarny zamieszczony est w I pracowni fizyczne J.L. Kacperski Pomiar współczynnika lepkości wody. Badanie funkci wykładnicze. 8/8