Rozdział 8 Paradoksy i zastosowania Mechaniki Kwantowej

Transkrypt

1 Rozdział 8 Paradoksy i zastosowania Mechaniki Kwantowej 8.1: Interpretacja Kopenhaska 8.2: Paradoks Einsteina- Podolskiego-Rosena 8.3: Stany splątane 8.4: Konsekwencje EPR 8.5: Ukryte założenia: lokalność i realność 8.6: Twierdzenia Bella 8.7: Zastosowania splątania kwantowego Kryptografia kwantowa Komputery kwantowe Kwantowa teleportacja Albert Einstein ( ) The more success the quantum theory has, the sillier it looks. -Albert Einstein Przygotowanie Marek Szopa, na podstawie Rick Trebino, Georgia Tech,

2 8.1: Interpretacja Kopenhaska Mechanika kwantowa jest jednym z najbardziej udanych teorii w historii. Ale podczas gdy jej przewidywania są jasne, ich interpretacja nie jest. W wyniku rozmów między Bohrem i Heisenbergiem silnie wspieranych przez Maxa Borna i Wolfgang Pauliego w 1927 roku powstała Interpretacja Kopenhaska mechaniki kwantowej. Max Born ( )

3 Interpretacja Kopenhaska 1. System jest całkowicie opisany przez funkcją falową Y, która w pełni opisuje wiedzę obserwatora o systemie. (Heisenberg) 2. Opis przyrody jest probabilistyczny. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest kwadratem modułu funkcji falowej z nim związanej. (Max Born) 3. Zasada nieokreśloności Heisenberga mówi, że nie możemy poznać wartości wszystkich właściwości systemu w tym danym czasie; właściwości nie znane precyzyjnie opisane są przez prawdopodobieństwa. 4. Zasada komplementarności: materia wykazuje dualizm korpuskularnofalowy. Eksperyment może pokazać własności materialne cząstek lub ich naturę falową, ale nie jednocześnie. (Bohr) 5. Urządzenia pomiarowe są głównie klasyczne i mierzą one klasyczne właściwości, takie jak położenie czy pęd. 6. Zasada korespondencji Bohra i Heisenberga: w granicy gdy rozmiar układu zbliża się do makroskopowego, opis kwantowo-mechaniczny powinien dawać rezultaty zgodne z wynikami opisu klasycznego.

4 Nieokreśloność składowych spinu Przypomnijmy, że składowe z całkowitego momentu pędu i spinu są jednocześnie poznawalne. Składowe x i y nie są. Można wykazać, że: Korzystając z: Mamy, że: 1 A B 2 Y A, B Y * m S S Y i S Y Y i m Y * 1 * S 1 2 x y 2 z 2 ( S ) 4 Podobnie dla obu pozostałych par składowych. Sx, Sy i Sz Dla elektronów, pozytonów, protonów i neutronów m s = ±1/2 Zatem, tak długo jak dla danej cząstki m S 0, dla składowych x i y jej spinu obowiązuje zasada nieokreśloności. Oznacza to, że możemy zmierzyć jedną składową spinu, powiedzmy S z, (i uzyskamy ±ħ/2), ale pozostałe dwie składowe będą losowe.

5 Obiekcje wobec interpretacji kopenhaskiej Wielu fizyków sprzeciwiło się interpretacji w Kopenhadze z powodu jej niedeterministycznej natury. Były też zastrzeżenia do niejasnego procesu pomiarowego, który konwertuje probabilistyczną funkcję falową w nieprobabilistyczny pomiar. Wśród tych, którzy odrzucił tę interpretację byli Albert Einstein, Max Planck, Louis de Broglie, i Erwin Schrödinger. Einstein powiedział do Borna: Ja, w każdym razie, jestem przekonany, że Bóg nie gra w kości (ze wszechświatem).

6 Obiekcje wobec interpretacji kopenhaskiej Erwin Schrodinger Louis de Broglie Werner Heisenberg Max Planck Paul Dirac Wolfgang Pauli Max Born Niels Bohr Maria Skłodowska Curie Hendrik Lorenz Albert Einstein Konferencja Solvaya 1927 Z 29 osób na zdjęciu 18 uzyskało nagrody Nobla, Maria Skłodowska z fizyki i chemii

7 Energia Superpozycja stanów (przypomnienie) Atom może być w stanie stacjonarnym ale może też być w stanie zwanym superpozycją (sumą) stanów stacjonarnych. Będąc w stanie superpozycji atom porusza się Y( r, t) a ( r)exp( ie t / ) a ( r)exp( ie t / ) gdzie a i 2 jest prawdopodobieństwem, że atom znajduje się w stanie i. Ciekawe jest, że prawdopodobieństwo znalezienia atomu a takim stanie oscyluje w czasie: Y( r, t) a ( r ) a ( r ) Re[ a ( r ) a ( r )]cos[( E E ) t / ] * * E = hn Oscylacje mają częstość proporcjonalną do różnicy energii stanów stacjonarnych. E 2 stan wzbudzony E 1 stan podstawowy

8 Kolaps funkcji falowej Można powiedzieć, że jeśli układ pozostaje w superpozycji stanów to jest to wyrazem braku naszej wiedzy o nim. Y( r, t) a ( r)exp( ie t / ) a ( r)exp( ie t / ) Mierząc energię powyższego stanu dostaniemy albo E 1 albo E 2, z prawdopodobieństwami a 1 2 lub a 2 2 odpowiednio. W interpretacji Kopenhaskiej, superpozycja stanów kolapsuje do stanu mierzonego, a nieobserwowany składnik bezpowrotnie znika. Ten proces nazywa się kolapsem funkcji falowej. Nieobserwowany składnik znika z pola widzenia jak przegrany los na loterii.

9 Kot Schrödingera Aby wykazać absurdalność interpretacji Kopenhaskiej, Schrodinger zaproponował (ale na szczęście nie zrealizował) eksperyment w którym kot zamknięty w szczelnym pudle może być uśmiercony z prawdopodobieństwem ½. Czy przed otwarciem pudła kot jest żywy czy martwy? Choć intuicja mówi, że tylko jedna z tych opcji może być prawdziwa, mechanika kwantowa mówi, że obie! Mamy superpozycję kota żywego z martwym. 1 1 Y( kota) żywy martwy 2 2 Dokonanie pomiaru systemu, sprowadzającego się do otwarcia pudła, kolapsuje kwantowy stan kota, który jest już tylko żywy lub martwy.

10 8.2: Paradoks EPR Wygląda na to, że w mechanice kwantowej istotną rolę odgrywa świadomość obserwatora Einsteinowi nie podobały się takie wnioski i w późniejszych latach sprzeciwiał się tym konsekwencjom mechaniki kwantowej. Jego pytanie: "Czy naprawdę myślisz, że księżyc nie istnieje, jeśli na niego nie patrzysz?" podkreśla głębię niechęci do roli świadomości. Najsilniejszym kontrargumentem był paradoksalna konsekwencja mechaniki kwantowej znany obecnia jako paradoks Einsteina- Podolskiego-Rosena (EPR).

11 Praca Einsteina-Podolskiego-Rosena Einstein był przekonany, że mimo iż mechanika kwantowa może być wykorzystywana do bardzo dokładnych statystycznych przewidywań wyników eksperymentów, to nie jest zupełną teorią opisującą rzeczywistość fizyczną. W 1935 roku Einstein, wspólnie z Borysem Podolskim i Nathanem Rosenem, opublikował pracę "Czy kwantowo-mechaniczny opis rzeczywistości fizycznej może być uznany za kompletny?" W tej pracy, zaproponowali sprytny eksperyment myślowy, który miał powalić" zasadę nieokreśloności. W konkluzji doszli do wniosku, że opis rzeczywistości dany przez funkcję falową nie jest zupełny: Kwantowo-mechaniczny opis rzeczywistości za pomocą funkcji falowej nie jest kompletny, oznacza to, że muszą istnieć ukryte zmienne, których nie znamy i w konsekwencji nie mierzymy, które powodują nieokreśloność.

12 Ukryte zmienne Załóżmy, że planujesz rzut piłką bejsbolową, nie biorąc pod uwagę ruchu powietrza. Ruch powietrza, w połączeniu z rotacją piłki, powoduje zakrzywienie jej lotu który dodatkowo zaburzany zmianami ciśnienia, jest daleki od teoretycznej trajektorii parabolicznej. W wyniku powyższego piłka ląduje w bardzo przypadkowym miejscu. Twoja teoria jest niezupełna, a ciśnienie i prędkość powietrza są ukrytymi zmiennymi. Faktyczne miejsce upadku piłki dla tej samej prędkości poczatkowej Teoretycznie obliczone miejsce upadku piłki dla danej prędkości początkowej Obszar upadku

13 Wyobraźmy sobie układ dwu cząstek kwantowych, o przeciwnych spinach. Równoważnie można przyjąć, że mamy układ cząstek o całkowitym spinie S równym zero. Tak więc jeden spin jest do góry, a drugi w dół, ale nie wiem który jest który. 8.3: Stany splątane Wyodrębnione z układu początkowego cząstki o przeciwnych spinach Początkowy układ dwu cząsteczek o spinie zero Teraz rozdzielmy cząstki i zmierzmy spin jednej z nich. Ponieważ były one powiązane, ich funkcję falową nazywamy splątaną: 1 1 Y A B A B 2 2

14 Stany splątane Mamy swobodę wyboru składowej spinu którą mierzymy. Wybierzmy więc składową prostopadłą do kierunku wybranego poprzednio. W tym przypadku funkcję falową możemy zapisać jako kombinację: 1 1 Y A B A B 2 2 Mechanika kwantowa mówi, że nie można wykonać precyzyjnych pomiarów obu składowych, bo jeden pomiar zaburza drugi. W każdym razie pomiar dowolnej składowej spinu jednej cząstki określa tą składową spinu drugiej. Kiedy pomiar jest wykonywany, funkcja falowa ulega kolapsowi 1 Y 2 A B 1 2 A B lub 1 Y A 2 B 1 A 2 B

15 Paradoks EPR Zróbmy teraz coś bardzo interesującego: zmierzmy pionową składową spinu cząstki A i poziomą składową spinu cząstki B. Ponieważ pomiar pionowej składowej spinu cząstki A określa tą składową dla obu cząstek a pomiar poziomej składowej spinu cząstki B określa tą składową również dla oby cząstek można by przypuszczać, że określiliśmy obie składowe spinu każdej z cząstek!

16 8.4: Konsekwencje paradoksu EPR Gdyby tak było, mechanika kwantowa byłaby niepełna, tzn. dostatecznie sprytny eksperymentator potrafiłby, wbrew zasadzie nieokreśloności, zmierzyć obie składowe spinu. Byłby to argument za istnieniem ukrytych zmiennych, dodatkowych wielkości, które istnieją i mają wpływ na układ, ale my ich jeszcze nie znamy i nie potrafimy mierzyć ani kontrolować. Einstein, gestem zdaje się pokazać, że rozprawił się z mechaniką kwantową

17 A jednak, trik Einsteina nie działa! Pomiar pionowej składowej spinu cząstki A powoduje kolaps stanów splątanych tej składowej obu cząstek. A jednocześnie powoduje nieokreśloność składowych poziomych obu cząstek! Mierząc pionową składową spinu cząstki A mierzymy jednocześnie tą składową cząstki B. Nawet jeśli się do cząstki B nie zbliżymy. Mechanika kwantowa wygrywa! Mechanika kwantowa - Einstein 1:0. Ale teraz można mieć wątpliwość: informacja nie może poruszać się szybciej niż prędkość światła. Załóżmy, że obie cząstki są znacznie od siebie oddalone i wykonujemy na nich pomiary w bardzo krótkim odstępie czasowym, więc nie ma czasu aby informacja, że dokonaliśmy pomiarów na cząstce A, dotarła do cząstki B i zakłóciła jaj pomiar. To powinno obronić pomysł Einsteina. Ale tak nie jest! Informacja w splatanej parze najwyraźniej porusza się nieskończenie szybko. Tak więc szczególna teoria względności Einsteina nie znajduje tu zastosowania! Mechanika kwantowa znów wygrywa! Mech. kwant. - Einstein 2:0.

18 8.5: Ukryte założenia paradoksu EPR Zasada realności: cząstki posiadają określone własności nawet jeśli nie są obserwowane (mierzone). Zasada lokalności: informacja z pomiaru jednaj części dwu izolowanych systemów nie może wpływać na drogą, szczególnie jeśli miałaby się poruszać z prędkością nadświetlną Wzięte razem te dwie, pozornie oczywiste, zasady wyznaczają maksymalny stopień możliwej koordynacji pomiędzy dwoma izolowanymi systemami lub cząstkami. A jednak, obie te zasady są błędne!

19 Splątanie kwantowe W mechanice kwantowej jest możliwa sytuacja, kiedy pomiar stanu jednej cząstki wpływa na stan innej, nawet kiedy cząstki te nie oddziałują z sobą w sposób klasyczny W takiej sytuacji mówimy że cząstki te są w stanach splątanych (entangled states) Enstein nazwał splątanie kwantowe upiornym działaniem na odległość (spooky action at a distance) Stan dwucząstkowy jest splątany, jeśli nie można go przedstawić jako iloczyn dwu stanów jednocząstkowych: 1 1 Y (stan Bella) A B A B 2 2 W przeciwnym przypadku stan nazywamy separowalnym (decomposable) 1 Y A B A B 2 2 A B A B A B A B

20 Niesamowitość Mechaniki Kwantowej EPR zakłada, że cząstki mają spin niezależny od obserwatora (Realność), oraz, że informacja nie może poruszać się z prędkością nadświetlną (Lokalność). Wydaje się, że dopóki ich nie mierzymy, cząsteczki po prostu nie mają właściwości. To nie tylko kwestia naszej niewiedzy. A informacje mogą rozprzestrzeniać się z prędkością nadświeltną. Efekty te są znane jako zachowania nielokalne, dziwactwa (weirdness) mechaniki kwantowej a potocznie upiornym działaniem na odległość.

21 8.6: Lokalność i realność nie działają. John Bell w 1964 roku w pracy "On the Einstein Podolski Rosen paradoks", pokazał, że lokalność i realność prowadzi do szeregu wymagań znanych jako nierówności Bella. John Bell ( ) Alain Aspect (1947-) Alain Aspect przeprowadził wiele pięknych eksperymentów, udowadniając niezbicie, że w naszym wszechświecie nierówności Balla są naruszone a mechanika kwantowa całkiem nieźle to wyjaśnia.

22 Wiedza post-epr Paradoks EPR (który okazał się nie być paradoksem) pogłębił nasze rozumienie mechaniki kwantowej poprzez wykazanie, że pomiar kwantowy ma charakter całkowicie nieklasyczny i nieintuicyjny. Przed EPR, pomiar często przedstawiano jako zaburzenie fizyczne bezpośrednio zadawane mierzonemu układowi. Na przykład, mierząc położenie elektronu, oświeca się go światłem, które powoduje zaburzenie położenia elektronu a w konsekwencji jego nieokreśloność. Takie wyjaśnienia są w niektórych przypadkach nadal aktualne, ale paradoks EPR pokazuje, że "pomiar" może być wykonywany na cząstce bez bezpośredniego naruszania jej, przez wykonanie pomiaru na odległej cząstce z nią splątanej.

23 Interpretacja Kopenhaska trzyma się dobrze! Według interpretacji Kopenhaskiej, prawa fizyki znamy tylko poprzez wyniki pomiarów. Obraz dla jednej szczeliny Obraz dla dwu szczelin Możemy określić w którym miejscu foton dotrze do ekranu obserwując jego błysk. Interpretacja Kopenhaska odrzuca pytania o to, gdzie foton był pomiędzy emisją w aparacie, a momentem kiedy błysnął na ekranie.

24 Alternatywy dla interpretacji Kopenhaskiej Teoria Wieloświatów (Hugh Everett III) Teoria Wieloświatów mówi, że funkcja falowa jest rzeczywista ale zaprzecza rzeczywistości jej kolapsu. Teoria głosi, że wszystkie możliwe alternatywne historie i przyszłe ewolucje są rzeczywiste, każda z nich jest realizowana w odrębnym od naszego, lecz rzeczywistym "świecie" (lub "wszechświecie"). Każdy możliwy wynik każdego pomiaru istnieje w swoim własnym "świecie". Więc jest bardzo dużo, być może nieskończenie wiele wszechświatów. Wszystko, co mogło się stać w przeszłości, ale się nie stało, w rzeczywistości miało miejsce w przeszłości jakiegoś innego wszechświata lub wszechświatów.

25 Alternatywy dla interpretacji Kopenhaskiej Teoria Fali Przewodniej W 1927 roku Louis de Broglie zasugerował, realność funkcji falowej Schrödingera, która miałaby kierować ruchem rzeczywistych cząstek wzdłuż wyznaczanych przez nią ścieżek. W 1952 roku David Bohm zaproponował, że funkcja falowa zawiera formę energii nie znaną fizyce klasycznej, którą nazwał "kwantowym potencjałem" lub "falą przewodnią (guide wave). W eksperymencie z dwiema szczelinami, fala przewodnia mogłaby przechodzić przez obie szczeliny kierowałaby rzeczywistym ruchem cząstek tak, aby uzyskać obraz interferencyjny. Chociaż interpretacja de Broglie a-bohma mówi, że istnieją realne cząstki podążające po prawdziwych trajektoriach, statystyczny charakter funkcji falowej i zasada nieoznaczoności Heisenberga, pozostają w mocy. W interpretacji tej pozostaje jednak kwantowa dziwaczność, polegająca na tym, że zaburzenia fali przewodniej miałyby się propagować natychmiastowo. David Bohm ( )

26 8.7: Zastosowania splątania kwantowego Obecnie rozwija się wiele technologii opartych o splatanie kwantowe. W kryptografii kwantowej, splątane cząstki są używane do przesyłania sygnałów, tak aby że nie można było ich podsłuchać bez śladu. W komputerze kwantowym stany splątane są wykorzystywane do wykonywania obliczeń równoległych, co umożliwia znaczne, w stosunku do komputerów klasycznych, przyspieszenie obliczeń. Kwantowa teleportacja to odtworzenie zadanego stanu kwantowego na odległość.

27 Kryptografia kwantowa Bennett, Brassard (1984), Eckert (1991) Alicja i Bartek chcą wymienić się informacjami w taki sposób aby Ewa nie mogła ich podsłuchać Artur Eckert ur we Wrocławiu pracuje w Cambridge Ewa Alicja Bartek

28 Prawo Moore a

29 Motywacja - Faktoryzacja klasyczna Ważnym problemem jest rozkład dużych liczb całkowitych na czynniki pierwsze tzw. faktoryzacja Klasyczne algorytmy potrafią się uporać z tym problemem w czasie wykładniczym, tzn. rozkład liczby N do zapisu której potrzebujemy n = log 2 (N) bitów wymaga czasu proporcjonalnego do n 2 Na przykład, typowy PC może rozłożyć liczbę 78 cyfrową (n = 256) w 4 godziny 174 cyfrową (n = 576) w 43 dni 617 cyfrową (n = 2048) w lat (taka długość jest obecnie rekomendowana dla kryptografii RSA)

30 Motywacja - Faktoryzacja kwantowa Wykładniczy wzrost czasu obliczeń jest charakterystyczny dla wielu klasycznych problemów obliczeniowych Kwantowy algorytm Shora jest w stanie faktoryzować liczbę o długości n w czasie wielomianowym proporcjonalnym do n 3 Komputer kwantowy z zaimplementowanym algorytmem Shora rozłoży liczbę 78 cyfrową (n = 256) w 4 godziny 617 cyfrową (n = 2048) w 85 dni (a zatem istnienie komputera kwantowego byłoby kresem klasycznej kryptografii opartej na algorytmie RSA)

31 Do czego nam jest potrzebny komputer kwantowy? Wiele praktycznych problemów nie da się obliczyć w sensownym czasie przy pomocy komputerów klasycznych Np. aby rozłożyć na czynniki pierwsze liczbę zawierającą 1000 cyfr potrzeba czasu dłuższego niż czas życia Wszechświata Przyspieszenie tradycyjnych procesorów napotyka na coraz większe trudności obiektywne Teoretycznie, komputer kwantowy powinien umożliwić wielokrotnie szybsze przetwarzanie informacji

32 Komputer kwantowy Komputer kwantowy wykorzystuje własności cząstek w skali mikro (nano) przewidywane przez mechanikę kwantową W tradycyjnych komputerach informacje zapisane są w postaci bitów W komputerach kwantowych informacje są zawarte w kubitach Idea komputera kwantowego jest dobrze opracowana w teorii W praktyce, jego konstrukcja napotyka na duże problemy

33 Qubit jako dwustanowy układ kwantowy Kwantowy Bit (Kubit) to układ w koherentnej superpozycji dwu ortogonalnych stanów: 1> 0> warunek normalizacji Sfera Blocha

34 Algorytmy kwantowe Kwantowym algorytmem nazywamy dowolny algorytm wymagający do zastosowania mechaniki kwantowej Peter Shor (1994) rozkład dużej liczby na czynniki pierwsze w czasie wielomianowym (a nie wykładniczym) Lov Grover (1995) algorytm przeszukiwania bazy danych dowolny algorytm kwantowy W = U i U j U k można zrealizować za pomocą uniwersalnego zestaw bramek {U 1,,U n }

35 Kryteria DiVincenzo realizacji idei komputera kwantowego David DiVincenzo z IBM, sformułował listę 5 warunków które muszą być spełnione aby można było zbudować komputer kwantowy: 1. Możliwość fizycznej realizacji dostatecznie dużej liczby qubitów 2. Możliwość ustalenia stanu początkowego qubitów 3. Istnienie uniwersalnego zestaw bramek wykonujących żądane operacje na qubitach 4. Czas dekoherencji qubitów dużo dłuższy od czasu działania bramek kwantowych (ok razy) 5. Możliwość odczytania stanu końcowego układu qubitów

36 Kwantowa teleportacja Ch.Bennett (1993), A.Zellinger, F.di Martini (1997) A Splątane kubity A i B B C Alicja chce przesłać Bartkowi kubit C (w nieznanym stanie) Teraz Bartek zna stan B Splątuje kubit C z A Kilka transformacji przekształca B w C Mierzy C Taraz Bartek ma qubit C

37 /54