Geometria Różniczkowa I

Transkrypt

1 Geometra Różnczkowa I wykład dzewąty Placek ze ślwkam: Na średnej welkośc blachę należy wząć 5 jajek. Jajka(w skorupkach) zważyć następne przygotować tyle mąk, masła cukru le ważą jajka. Oddzelć bałka od żółtek. Masło z żółtkam cukrem utrzeć na gładką masę. Dodać cuker wanlowy. Ubć sztywną panę z bałek. Panę wyłożyć na przygotowaną wcześnej masę maślano-cukrowo-żółtkową, na werzch przesać mąkę dosypać płaską łyżeczkę proszku do peczena. Całość lekko wymeszać (łyżką! ne mkserem!). Blachę wyłożyć pergamnem lub wysmarować masłem posypać tartą bułką. Casto wyłożyć na blachę równo rozprowadzć. Na werzchu położyć przekrojone na połowy ślwk wnętrzem do góry. Casto pec w tak zwanym średno nagrzanym pekarnku(co zazwyczaj oznacza mnej węcej 180 stopn Celsjusza) na złoty kolor. Wczesnym latem ślwk można zastąpć truskawkam, a neco późnej wśnam. Tuskawk w trakce peczena toną w ceśce, co zmena neco jego wygląd(ale nadal jest smaczne). Osoby dbające o zdrowe mogą dodać neco mnej cukru, nż wynka z przepsu. Masło można równeż zastąpc tłuszczem roślnnym, ale należy wząć pod uwagę, że będze to czuć w smaku casta. Po upeczenu casto można posypać cukrem-pudrem. Rozmatośćzbrzegem:WdalszymcąguEoznaczaćbędzepółprzestrzeńwR n,tzn.zbór E={(x 1,x 2,...x n ) R n : x 1 0} ztopologąndukowanązr n (zboryotwartewetoprzecęcazborówotwartychwr n ze). Hprepłaszczyznę{x 1 =0}oznaczaćbędzemyΠ.Zauważmy,żejeślOUsąotwartewEoraz ϕ:o Ujesthomeomorfzmem,toobcęceϕ O Π jesthomeomorfzmemo ΠU Π.Zbór Esłużyjako standardowa rozmatośćzbrzegem,podobnejak R n jest standardową rozmatoścą(bez brzegu). Każdy kawałek rozmatośc z brzegem pownen wyglądać jak kawałek E. Może to być kawałek brzegowy, albo kawałek z wnętrza. Do zdefnowana struktury gładkej rozmatośc z brzegem potrzebujemy jeszcze pojęca gładkośc odwzorowań obszarów, których przecęcezπjestnepuste.odwzorowaneϕ:o Ujestgładkejeśldasęrozszerzyćdo gładkegoodwzorowanaˆϕ:ô Ûtakego,żeÔ,Û RnsąotwarteO=E Ô,U=E Û. Wtakmprzypadkuϕ O Π teżjestgładke. Defncja 1. Przestrzeń topologczna M jest gładką rozmatoścą z brzegem jeśl dla każdego q Mstnejązboryotwarteq O M,U Ehomeomorfzmϕ:O U.Jeślponadto U U,toodwzorowaneϕ ϕ 1 jestgładke. O O ϕ O ϕ ϕ ϕ 1 O W rozmatośc z brzegem wyróżnamy punkty wewnętrzne, tzn. take, które mają otoczena homeomorfcznezr n pozostałe,którenazywamybrzegowym.zbórpunktówbrzegowych 1

2 2 oznaczamy M nazywamy brzegem rozmatośc. Zauważmy, że brzeg rozmatośc z brzegem samjestgładkąrozmatoścą(bezbrzegu).istotne,jeśl(u,ϕ ) I jestatlasemnam,to (U M,ϕ U M) I jestatlasemnabrzegu. Fakt 1. Nech M będze orentowalną rozmatoścą z brzegem. Wtedy M też jest orentowalna. Jeśl M jest zorentowana, to na M stneje wyróżnona orentacja. Dowód.WyberzmyjednązorentacjnaM.Nech(O,ϕ ) I będzeatlasemzgodnymz orentacją.indukowanyatlasnam,któregodzedznamsązboryo Mjesttakżeatlasem zgodnym, tzn. wyznacznk macerzy przejśca mędzy współrzędnym są dodatne. Zauważmy, żejeślϕ =(x 1,x 2,...,x n )jestukłademwspółrzędnychzdzedznąoto ϕ =(x 2,...,x n )jest układemwspółrzędnychzdzedznąo M.Atlas(O M, ϕ )zadajendukowanąorentację brzegu. Jeśl orentację M oznaczymy ı to orentację ndukowaną M oznaczać będzemy ı Twerdzene 1(Sr George Gabrel Stokes). Nech M będze zwartą zorentowaną powerzchną zbrzegemwymarunnechωbędzen 1-formąnaM,wówczas dω= ( M, ı) ŻebyuzyskaćwglądwsytuacjęzobaczmynajperwjakwyglądacałkowanepokostcewR n. Kostka co prawda, ne jest rozmatoścą z brzegem z powodu kantów(brzeg jest jedyne kawałkam powerzchną), jednak z punktu wdzena całkowana kanty ne są kłopotlwe. Nech D będze n-wymarową kostką, tzn. D=[a 1,b 1 ] [a 1,b 1 ] [a n,b n ]. Brzeg D jest jedyne kawałkam powerzchną, ale to ne bardzo przeszkadza.(n 1)-forma ω do całkowana po brzegu D może zostać zapsana w następujący sposób: ω=ω 1 dx 2 dx 3 dx n ω 2 dx 1 dx 3 dx n + +( 1) n+1 ω n dx 1 dx 2 dx n 1. Różnczkujemy: dω= ω 1 x 1dx1 dx 2 dx 3 dx n ω 2 x 2dx2 dx 1 dx 3 dx n + + ( 1) n+1 ω n dx 1 dx 2 dx n 1 = x 2dxn ω 1 dx 2 dx 3 dx n + ω 2 dx 2 dx 3 dx n + + x 1dx1 x 2dx1 ω n dx 2 dx k 1 dx n = x ndx1 ( ) ω1 x 1+ + ω n dx 1 dx 2 dx 3 dx n x n

3 Oznaczamyterazıorentacjękanonczną R n całkujemy: D,ı dω= ω x dx1 dx 2 dx n = D D b1 dx 2 bez bn a 1 b1 dx 2 bez bn dx n a 1 a n {x =b } a n dx n ω dx 2 dx n = x dx1 b a ω x dx = ( ω (x 1,...,b,...x n ) ω (x 1,...,a,...x n ) ) = (ω )dx 1 bez dx n {x =a } (ω )dx 1 bez dx n = Wpowyższymwzorze{x =b }oznaczaścanękostkdanąrównanemx =b.rozważmywęc paręścanzustaloną-tąwspółrzędną.formaωobcętadoścany{x =b },jestrówna ω {x =b }=( 1) +1 ω (x 1,...,b,...,x k )dx 1 dx 1 dx +1 dx k adoścany{x =a } ω {x =a }=( 1) +1 ω (x 1,...,a,...,x k )dx 1 dx 1 dx +1 dx k Orentacjaścany{x =b }ndukowanaprzezorentacjękanoncznąr n jesttoorentacjazgodna z ( ) (1) x 1,, x 1, x +1,, x k jeśljestneparzysteaprzecwnagdyparzyste.odwrotnejestnaścane{x =b }:orentacja ndukowana jest zgodna z(1) jeśl parzyste przecwna jeśl neparzyste Można węc napsać, że (ω )dx 1 bez dx n =( 1) +1 (ω )dx 1 bez dx n dalej {x =b } {x =a } {x =b } {x =a } (ω )dx 1 bez dx n =( 1) (ω )dx 1 bez dx n =( 1) +1 (ω )dx 1 bez dx n =( 1) Możemy zatem kontynuować perwotny rachunek = ω+ ({x =b }, ı) {x =b }, ı ({x =a }, ı) ({x =b }, ı) ({x =a }, ı) ({x =a }, ı) (ω )dx 1 bez dx n ( 1) +1 ω= ( 1) +1 ω= ω= ( D, ı) ({x =b }, ı) ({x =a }, ı) Twerdzene Stokes a na kostce zostało zatem udowodnone. Z bardzej skomplkowanym obszaram poradzmy sobe używając rozkładu jednośc: ω, 3

4 4 Dowód:NechMbędzejakwzałożenachtwerdzena.Weźmyskończonyatlas(O,ϕ ) I na M zgodny z orentacją. Zbór ndeksów I może być skończony, gdyż rozmatość M jest zwarta. (Õ, ϕ ) I oznaczaćbędzeodpowednatlasna M.Korzystaćbędzemytakżezezwązanego zpokrycem(o ) I rozkładujednośc(α ) I.Zauważmynajperw,że ( ) Z drugej jednak strony ( d ( Iα )ω dω=d(1 ω)=d Podsumowując, skoro zachodz równość form ) ( Iα )ω = d(α ω). I =d( α ) ω+( α )dω=0+ dω). I I I(α dω= d(α ω)= dω), I I(α to zachodz także równość całek I= dω= d(α ω)= (α dω). I I Zajmemy sę środkowym wyrażenem I= d(α ω)= I I d(α ω). Każdazformα ωmanośnkwo,podobned(α ω),całkęmożnawęczapsaćw-tymukładze współrzędnych. I= d(α ω). I (O,ı) α ωjest(n 1)-formą,węcmapostać α ω= f (x 1,...x n )dx 1 (bezk) dx n. d(α ω)= ( 1) k 1 f dx 1 x k dxn Z defncj całk z formy otrzymujemy d(α ω)= ( 1) k 1 f dx 1 (O,ı) ϕ (O ) x dx n = ( 1) k 1 f dx 1 k ϕ (O ) x dx n = k Korzystamy z twerdzena Fubnego b = ( 1) k 1 dx D k 1 (bezk) dx n (x) f a k (x) x k dx k =

5 ObszarD orazgrancecałkowanaa k (x),b k (x)sądobranejakwtwerdzenufubnego,a zależnośćodxwskazujenazależnośćgrancodpunktuwd. ( = ( 1) D k 1 dx 1 (bezk) dx n f (x 1,...,b k (x),...,x n ) f (x 1,...,a k (x),...,x n ) ) Jeślϕ (O )jestotwartywr n,wtedywartoścfunkcjf wpunktachgrancznychsąrównezero, gdyżnośnkf zawerasęwϕ (O ).Docałkwkładdająwęctylkoteukładywspółrzędnych, któresąbrzegowe,tznϕ (O ) E.Takukładwspółrzędnychmaszczególnąpostać,tzn. wyróżnonajestwnmperwszawspółrzędna.wkładdocałkdajejedyneskładnkz, gdyżwpozostałychpunktachgrancznychf takżejestzero.dlagrancagórnacałkowana b 1 (x)=0.wgrancydolnejtakżefunkcjaf znka.całkatakamapostać O,ı d(α ω)= ϕ (O ) E f (0,x 2,...,x n )dx 2 dx n = Zgodne z defncją całk na rozmatośc f (0,x 2,...,x n )dx 2 dx n = ϕ (Õ) I f (0,x 2,...,x n )dx 2 dx n. ϕ (Õ) ( M, ı) gdyż(õ, ϕ )stanowatlasna Mzgodnyzorentacjąaobcęce(α )dobrzegujestrozkładem jednośc na brzegu. ω, 5