Analiza zjawisk fraktalnych w finansowych szeregach czasowych *

Transkrypt

1 Zeszyty Naukowe nr 724 Akademii Ekonomicznej w Krakowie 2006 Katedra Informatyki Analiza zjawisk fraktalnych w finansowych szeregach czasowych * Streszczenie: W artykule zaproponowano ilościową metodę oceny stopnia występowania zjawisk fraktalnych w finansowych szeregach czasowych i weryfikacji hipotezy o fraktalnej naturze szeregu. Metoda wykorzystuje analizę skupień stosowaną dla zbioru wzorców (formacji) obserwowanych w szeregu czasowym przy różnych skalach czasu. Przeprowadzono także badania zjawisk fraktalnych dla indeksu giełdowego WIG 20. Zamieszczono dyskusję zasadniczych wniosków wynikających z tych badań. Słowa kluczowe: chaos deterministyczny, fraktal, szereg czasowy, analiza skupień. 1. Wst p W otaczającej nas rzeczywistości wiele obserwowanych zjawisk (np. przyrodniczych lub ekonomicznych), mających pozornie charakter chaotyczny, podlega w istocie pewnym uporządkowanym i zdeterminowanym prawom. Badaniem i opisem tego typu zjawisk zajmuje się dynamicznie rozwijająca się w ostatnich latach gałąź wiedzy teoria chaosu deterministycznego [Stewart 1999; Peters 1997; Wołoszyn 2000]. Rozwój tej dziedziny wynika z naturalnego dążenia człowieka do uporządkowania i określenia struktury otaczających go zjawisk oraz wydobycia porządku z chaosu. Chaos deterministyczny pojawia się w nieliniowych systemach dynamicznych. Takie systemy, charakteryzujące się zachowaniem pozornie chaotycznym, występują również powszechnie w ekonomii. Typowym ich przykładem są rynki kapitałowe, na których ceny poszczególnych instrumentów finansowych, np. akcji, zmieniają się w taki właśnie na pozór chaotyczny sposób i podlegają trudnym * Niniejsza praca oparta jest na badaniach zrealizowanych w ramach tematu badawczego nr 42/KI/3/2002/S w Akademii Ekonomicznej w Krakowie.

2 22 do zidentyfikowania prawom. Teoria chaosu deterministycznego, pomimo iż nie przyczynia się istotnie do wzrostu możliwości generowania dokładniejszych prognoz tych cen, dostarcza narzędzi do opisu i modelowania zjawisk zachodzących w takich systemach [Peters 1997]. Jedną z charakterystycznych cech systemów chaotycznych jest występowanie zjawisk fraktalnych. Fraktal jest fundamentalnym pojęciem tzw. geometrii fraktalnej, stworzonej i rozwiniętej przez Benoita Mandelbrota [Mandelbrot 1982]. E. Peters [1997] podaje następującą definicję: fraktal jest obiektem, którego części pozostają w pewnej relacji do całości. Fraktale charakteryzują się więc samopodobieństwem ich mniejszych elementów do większych fragmentów. Kształty fraktalne są samopodobne względem przestrzeni. W otoczeniu można obserwować wiele przykładów kształtów fraktalnych. Typowe obiekty tego typu to np.: drzewo, którego drobne fragmenty są podobne do większych fragmentów rozgałęzień, a te z kolei do całości, wybrzeże morskie albo grań górska, której drobne elementy są podobne do większych (obserwując jedynie zarys kształtu trudno jest zidentyfikować skalę obiektu), pewne figury matematyczne, np. trójkąt Sierpińskiego lub płatek śniegu Kocha (zob. [Peters 1997]). Jako typowy przykład kształtów fraktalnych obserwowanych w ekonomii wymienia się wykresy finansowych szeregów czasowych przedstawiające kształtowanie się kursów akcji notowanych na giełdach papierów wartościowych [Peters 1994]. W istocie nietrudno zauważyć, iż niewielkie fragmenty wykresu przypominają formacje wykreślane w dłuższych okresach. Obserwując np. wykresy dziennych, tygodniowych albo miesięcznych zmian kursów akcji można zauważyć, że są one z reguły bardzo podobne i składają się z bardzo podobnych formacji, a w rezultacie nie znając skali na osi czasu trudno zidentyfikować rodzaj wykresu [Peters 1997]. Można więc sformułować hipotezę, że tego typu szeregi czasowe (albo przynajmniej ich duże fragmenty) są fraktalami. W niniejszym opracowaniu zaproponowano ilościową metodę analizy fraktalnego charakteru szeregów czasowych (stopnia występowania w nich zjawisk fraktalnych). Przeprowadzono także badania zmierzające do weryfikacji hipotezy o fraktalnej naturze giełdowych szeregów czasowych na przykładzie analizy indeksu giełdowego WIG 20, notowanego na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. Ponieważ zjawiska fraktalne w tego typu szeregach czasowych można zaliczyć do tzw. fraktali losowych 1, uzasadnione wydaje się przyjęcie metodyki badań opartej na pewnych metodach statystycznych. 1 Generowanych przez pewne zjawiska losowe, w odróżnieniu od fraktali deterministycznych tworzonych przez zastosowanie deterministycznych reguł (np. trójkąt Sierpińskiego).

3 Analiza zjawisk fraktalnych Przyj ta metodyka badaƒ fraktalnego charakteru finansowych szeregów czasowych Rozważmy szereg czasowy C = {c 1, c 2,, c n } stanowiący zbiór uporządkowanych w czasie (ciąg) wartości c t, t = 1, 2,, n. Niech ciąg Z k oznacza podzbiór t, d zbioru C, zawierający uporządkowane wartości {c t, c t + d, c t + 2d,, c t + kd }, gdzie t jest momentem czasu, d można interpretować jako wielkość interwału czasowego pomiędzy dwoma kolejnymi elementami tego podzbioru, natomiast k + 1 określa liczbę jego elementów. Dla określonych wartości d i k istnieje zatem n kd tego typu podzbiorów. Ciąg Z k można jednoznacznie zdefiniować podając wartość początkową c t, d t oraz k kolejnych względnych zmian wartości jego elementów (w finansowych szeregach czasowych interpretowanych jako stopy zwrotu): (c t + d c t )/c t, (c t + 2d c t + d )/c t + d,, (c t + kd c t + (k 1)d )/c t + (k 1)d. Wielkości te stanowią cechy ciągu Z k. Ciąg Z k w zastosowaniach finansowych można interpretować jako ciąg k kolejnych d-dniowych stóp zwrotu (przy t, d t, d założeniu jednostki czasu równej jeden dzień, w którym odbywa się sesja giełdowa). W analizie kształtów fraktalnych wykres wartości tego ciągu jest hipotetycznym elementem fraktala obserwowanym w skali określonej przez wartość d. W celu porównania geometrycznych kształtów wykresów wartości ciągów Z k t, d dla różnych wielkości d (przy założeniu zawsze tych samych wartości odciętych na wykresie, np. 0, 1, 2,, k, oraz zakładając, że interesujące są dla nas jedynie względne zmiany kolejnych wartości elementów zbioru), wielkość początkową c t można pominąć 2, natomiast pozostałe cechy zdefiniować w następujący sposób: f ct + d ct ct + 2d ct + d =, f =,, fk = dc dc 1 2 t t+ d c t+ kd dc c t+ ( k 1) d t+ ( k 1 ) d. (1) Taka definicja pozwala na porównywanie zestawu cech f 1, f 2,, f k dla ciągów Z k przy ustalonej wartości k, ale dla różnych wielkości d; cechy te umożliwiają t, d zatem porównywanie różnej wielkości elementów fraktalnych występujących w szeregach czasowych. Rozważmy m różnych wielkości d oznaczonych przez d 1, d 2,, d m (d 1 < d 2 < < < d m ). Niech D i (i = 1, 2,, m) oznacza zbiór ciągów Z k dla d = d przy ustalonej wartości k. Każdy ze zbiorów D i t, d i reprezentuje zestaw elementów fraktalnych 2 Porównując różne kształty wykresów tych ciągów można przyjąć ten sam element początkowy dla każdego ciągu (np. średnią arytmetyczną wartości zbioru C), sprowadzając porównanie do analizy k względnych zmian wartości ciągu. Jest to w pewnym stopniu uproszczenie, jednak praktycznie nie umniejsza ono walorów opisanej tu metody analizy kształtów fraktalnych.

4 24 określonej wielkości (obserwowanych w określonej skali zależnej od wartości d i ). W opisanej tu analizie przyjęto, że zbiory te są równoliczne, tzn. liczba elementów w każdym z nich wynosi n kd m. Oznaczmy sumę tych zbiorów przez D, tzn. D = D m (oczywiście zbiory D i są wzajemnie rozłączne). W zbiorze D można przeprowadzić grupowanie (analizę skupień) jego elementów Z k przy ustalonej (lub nieokreślonej) liczbie skupień. Zakładamy przy tym, t, d że każdy element Z k jest opisany przez k-elementowy wektor cech [f, f,, f t, d 1 2 k ]T, proces grupowania jest więc realizowany w przestrzeni k-wymiarowej. W przestrzeni tej można przyjąć metrykę euklidesową, chociaż warto także rozważyć celowość wprowadzenia innych typów metryk 3. Niech liczba skupień wynosi p (p m). Jeżeli w każdym ze skupień pojawi się w przybliżeniu taka sama liczba elementów z każdego ze zbiorów,,, D m, można przyjąć hipotezę o fraktalnym charakterze rozważanego szeregu czasowego, gdyż każdy ciąg Z k (element fraktala) dla określonej wartości d posiada odpowiadające mu (podobne, tzn. występujące w tym samym skupieniu) elementy (ciągi) t, d i dla innych pozostałych wartości d poddanych analizie. Z kolei w sytuacji przeciwnej jeżeli każde z otrzymanych skupień będzie zdominowane przez elementy należące do jednego ze zbiorów D i, wówczas ciągi Z k dla różnych wartości d nie t, d są do siebie podobne i hipotezę o fraktalnej naturze szeregu czasowego należy odrzucić. W skrajnym przypadku w każdym z otrzymanych skupień występują elementy należące tylko do jednego ze zbiorów D i i wtedy dowolne dwa ciągi należące do różnych zbiorów D i nie są do siebie podobne, tzn. fragmenty szeregu czasowego obserwowane w różnych skalach (dla różnych d) nie są podobne i szereg nie ma natury fraktalnej. W celu określenia podobieństwa elementów (ciągów) należących do dwóch różnych zbiorów D i, D j zastosowany zostanie wskaźnik w i, j zdefiniowany następująco: p 1 i j wi, j = l h lh, l 2 h= 1 gdzie: p liczba skupień (klas), l i h liczba elementów należących do klasy h pochodzących ze zbioru D i, l liczebność każdego ze zbiorów,,, D m (tu przyjęto, że l = n kd m ). (2) 3 W szczególności dla celów analizy podobieństwa elementów fraktali metrykę można zdefiniować jako sumę kwadratów różnic odpowiadających sobie wartości porównywanych ciągów, w sytuacji maksymalnego dopasowania tych elementów, tzn. przy takim przesunięciu w pionie wykresu jednego ciągu względem drugiego, że ta suma kwadratów osiąga najmniejszą możliwą wartość. W praktyce jednak zwykła metryka euklidesowa dla wartości f 1, f 2,, f k jest wystarczająca dla celów przedstawianej tu analizy.

5 Analiza zjawisk fraktalnych 25 Nietrudno zauważyć, że niezależnie od liczby skupień p, w i, j [0, 1], a ponadto dla każdych i, j zachodzi w i, j = w j, i. Jeżeli w i, j jest bliskie zera, to elementy zbiorów D i oraz D j są równomiernie rozłożone w poszczególnych klasach, są więc wzajemnie podobne; taka sytuacja potwierdza fraktalny charakter szeregu. Przeciwnie, jeżeli wartość w i, j jest bliska jedności, to elementy zbiorów D i w przeważającej większości należą do innych klas niż elementy D j, co zaprzecza fraktalnej naturze szeregu. W niniejszym opracowaniu założono, że fraktalny charakter szeregu czasowego ma miejsce wówczas, gdy w i, j 0,5. Oczywiście im wartość w i, j jest mniejsza, tym fraktalna natura szeregu jest wyraźniejsza, liczbę tę można zatem uznać za wielkość wyrażającą poziom fraktalnego charakteru szeregu. Występujące w literaturze określenie fraktalny szereg czasowy nie jest jednoznaczne. Na potrzeby analizy zamieszczonej w niniejszym opracowaniu przyjmiemy (przy zachowaniu powyższych oznaczeń), że: szereg czasowy C jest szeregiem fraktalnym na poziomie v dla interwałów d i, d j, jeżeli w i, j = v oraz v 0,5, szereg czasowy C nie jest szeregiem fraktalnym dla interwałów d i, d j, jeżeli w i, j > 0,5. Im poziom v fraktalnego charakteru szeregu ma mniejszą wartość, tym wyraźniejsza (mocniejsza) jest fraktalna natura analizowanego szeregu czasowego. W procesie analizy fraktalnego charakteru szeregów czasowych przy wykorzystaniu wyżej opisanej metodyki istotne znaczenie odgrywa procedura bezwzorcowego grupowania elementów zbioru D. Istnieje wiele klasycznych metod statystycznych, zaliczanych do tzw. analizy skupień (cluster analysis), służących do realizacji tego procesu. W niniejszej pracy wykorzystano metodę grupowania opartą na algorytmie k-średnich. 3. Badania fraktalnego charakteru szeregu notowaƒ indeksu WIG 20 W niniejszym rozdziale zaprezentowano rezultaty badań fraktalnej natury szeregu czasowego indeksu giełdowego WIG 20, obejmującego notowania od 14 kwietnia 1994 r. (pierwsze notowanie wartość indeksu 1000,00) do 8 listopada 2002 r. (wartość indeksu 1137,94). W badaniach zastosowano metodykę opisaną powyżej, przyjmując następujące wartości parametrów: liczba cech (analizowanych stóp zwrotu): k = 6, liczba zbiorów D i : m = 6, wartości interwałów dla zbiorów,,,,, przyjęto odpowiednio: d 1 = 1, d 2 = 2, d 3 = 4, d 4 = 8, d 5 = 16, d 6 = 32, liczba elementów w szeregu czasowym WIG 20: n = 2107,

6 26 liczba elementów w każdym ze zbiorów D i : l = n kd 6 = 1915, grupowanie występujących w szeregu wzorców (formacji) zrealizowano metodą k-średnich 4, przy czym analizę przeprowadzono dla czterech przypadków: przy założonej liczbie skupień kolejno 6, 10, 14 oraz 18. Rezultaty badań, przedstawiające wyniki grupowania zawierające liczby elementów z poszczególnych zbiorów D i należących do poszczególnych skupień (klas), podano w tabelach 1, 3, 5, 7 (odpowiednio dla 6, 10, 14 i 18 skupień). Na podstawie danych zawartych w tych tabelach obliczono wskaźniki w i, j (por. wzór (2)) dla i, j = 1,, 6 (i j) 5. Wartości wskaźników w i,j zaprezentowano w tabelach 2, 4, 6, 8 oraz w formie wykresu na rys. 1. Tabela 1. Liczby elementów z poszczególnych zbiorów,,, D m przyporządkowanych do poszczególnych skupień (klas) uzyskanych przez zastosowanie metody k-średnich przy założeniu sześciu skupień Zbiór D i Oznaczenie skupienia (klasy) I II III IV V VI d = d = d = d = d = d = Suma Tabela 2. Wartości wskaźników w i, j reprezentujących fraktalne właściwości szeregu czasowego indeksu WIG 20, otrzymane przy grupowaniu wzorców metodą k-średnich przy założeniu sześciu skupień. Wartość wskaźnika dla pary dwóch różnych zbiorów D i podano na przecięciu odpowiadających tym zbiorom kolumny i wiersza Zbiór d ,0956 0,2590 0,4783 0,5974 0, ,1634 0,3828 0,5018 0, ,2193 0,3384 0, ,1191 0, , Obliczenia zrealizowano przy wykorzystaniu programu Statistica Wskaźniki te mogą posiadać wartości z zakresu [0, 1], przy czym w i, j = w j, i.

7 Analiza zjawisk fraktalnych 27 Tabela 3. Liczby elementów z poszczególnych zbiorów,,, D m przyporządkowanych do poszczególnych skupień uzyskanych w wyniku zastosowania metody k-średnich przy założeniu dziesięciu skupień Zbiór D i Oznaczenie klasy I II III IV V VI VII VIII IX X d = d = d = d = d = d = Suma Tabela 4. Wartości wskaźników w i, j reprezentujących fraktalne właściwości szeregu czasowego indeksu WIG 20, otrzymane przy grupowaniu wzorców metodą k-średnich przy założeniu dziesięciu skupień Zbiór d ,1243 0,3211 0,5770 0,7274 0, ,1969 0,4527 0,6031 0, ,2559 0,4063 0, ,1504 0, , Tabela 5. Liczby elementów z poszczególnych zbiorów,,, D m przyporządkowanych do poszczególnych skupień uzyskanych w wyniku zastosowaniu metody k-średnich przy założeniu czternastu skupień Zbiór D i Oznaczenie klasy I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV d = d = d = d = d = d = Suma

8 28 Tabela 6. Wartości wskaźników w i, j otrzymane przy grupowaniu wzorców metodą k-średnich przy założeniu czternastu skupień Zbiór d ,1441 0,3332 0,5436 0,6883 0, ,2078 0,4423 0,5869 0, ,2475 0,3922 0, ,1446 0, , Wartość wskaźnika w i, j (w %) D6 D5 D D1 6 D D Liczba skupień D D5 D3 D2 Rys. 1. Wykres prezentujący wyrażone w procentach wartości wskaźników w i, j (podanych w tabelach 2, 4, 6 i 8 dla poszczególnych par zbiorów (D i, D j )), otrzymanych w procesie analizy skupień przy założeniu kolejno 6, 10, 14 i 18 skupień Źródło: opracowanie własne.

9 Analiza zjawisk fraktalnych 29 Tabela 7. Liczby elementów z poszczególnych zbiorów,,, D m przyporządkowanych do poszczególnych skupień uzyskanych w wyniku zastosowania metody k-średnich przy założeniu osiemnastu skupień Oznaczenie klasy Zbiór D i I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII d = d = d = d = d = d = Suma

10 30 Tabela 8. Wartości wskaźników w i, j otrzymane przy grupowaniu wzorców metodą k-średnich przy założeniu osiemnastu skupień Zbiór d ,1896 0,4089 0,5598 0,6569 0, ,2193 0,3708 0,4794 0, ,1687 0,2950 0, ,1692 0, , Analiza rezultatów przedstawionych w tabelach 1 8 oraz na rys. 1 prowadzi do następujących wniosków: w sensie definicji podanej w rozdziale 2 szereg czasowy WIG 20 jest szeregiem fraktalnym, ale nie dla wszystkich par badanych interwałów d; ogólnie fraktalna natura szeregu została potwierdzona dla par interwałów (d i, d j ), gdzie d i > d j, spełniających warunek: log 2 (d i /d j ) < 3, a w pewnych przypadkach również dla log 2 (d i /d j ) = 3. Jeżeli log 2 (d i /d j ) > 3, to dla takich par interwałów (d i, d j ) WIG 20 nie jest szeregiem fraktalnym w sensie przyjętej definicji; poziom w i, j fraktalnego charakteru szeregu WIG 20 jest tym niższy (mocniejszy), a fraktalna natura szeregu tym wyraźniejsza, im wartość log 2 (d i /d j ) (przy d i > > d j ) jest mniejsza, tzn. im analizowane zbiory wzorców D i, D j są bardziej zbliżone do siebie w sensie kolejności wartości interwałów d i, d j ; powyższe obserwacje tylko w niewielkim stopniu zależą od liczby skupień przyjętej w algorytmie k-średnich. 4. Graficzna analiza elementów fraktalnych Rys. 2 prezentuje wykresy typowych ciągów (elementów fraktalnych) pochodzących ze zbiorów,,,,, i należących do tego samego przykładowo wybranego skupienia (skupienie nr 2 dla grupowania przy założeniu 18 skupień). Wykresy ciągów, przedstawiające zmiany indeksu przy różnych interwałach czasowych d (tzn. jednostkach czasu wynoszących tu odpowiednio 1, 2, 4, 8, 16 i 32 dni), zostały pokazane (celem porównania) w tej samej skali. Uwzględniając występujące duże zakłócenia mające wpływ na rzeczywisty kształt wykresów indeksów giełdowych, wzorce przedstawione na wykresie (rys. 2) można uznać za podobne. Tego typu analiza wizualna potwierdza występowanie wzajemnie podobnych formacji dla różnych skal czasowych na wykresie

11 Analiza zjawisk fraktalnych Wartość indeksu WIG Kolejne punkty czasu Rys. 2. Przykładowe wykresy ciągów fraktalnych pochodzących ze zbiorów,, należące do tego samego (wybranego) skupienia (skupienie nr 2 w przypadku 18 skupień) Źródło: opracowanie własne. indeksu WIG 20 i może być potwierdzeniem fraktalnej natury badanego szeregu czasowego. 5. Podsumowanie W opracowaniu zaproponowano metodę ilościowej analizy fraktalnej natury finansowych szeregów czasowych. Metoda ta oparta jest na analizie skupień przeprowadzonej dla całego zbioru występujących w szeregu wzorców (formacji), otrzymanych dla różnych skal czasowych. W pracy wykorzystano algorytm grupowania k-średnich. Metoda może okazać się przydatna w badaniach zjawisk fraktalnych występujących w szeregach czasowych. Analiza szeregu czasowego indeksu giełdowego WIG 20 przy zastosowaniu podanej metodyki potwierdziła hipotezę o jego fraktalnej naturze jedynie w określonym przypadku. Wyraźne zjawiska fraktalne zostały bowiem zaobserwowane tylko przy pewnych (podobnych w sensie wartości) interwałach czasowych (skalach obserwacji) takich, że różnica logarytmów (o podstawie 2) tych interwałów zawiera się w przedziale ( 3, 3). Poza tym przypadkiem w zasadzie nie można mówić o fraktalnym charakterze badanego szeregu czasowego.

12 32 Literatura Inteligentne systemy w zarządzaniu teoria i praktyka [2000], red. J.S. Zieliński, PWN, Warszawa. Jajuga K. [1990], Statystyczna teoria rozpoznawania obrazów, PWN, Warszawa. Kudrewicz J. [1993], Fraktale i chaos, WNT, Warszawa. Lula P., Morajda J. [2002], Klasyfikacja wzorców występujących w finansowych szeregach czasowych przy użyciu sieci neuronowych Kohonena, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, nr 604, Kraków. Mandelbrot B. [1982], The Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman, New York. Peitgen H., Richter P. [1986], The Beauty of Fractals, Springer, New York. Peters E. [1994], Fractal Market Analysis, Wiley, New York. Peters. E. [1997], Teoria chaosu a rynki kapitałowe, WIG-Press, Warszawa. Stewart I. [1996], Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, PWN, Warszawa. Wołoszyn J. [2000], Elementy teorii chaosu deterministycznego w badaniach systemów ekonomicznych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, nr 551, Kraków. Fractal Phenomena Analysis in Financial Time Series The paper proposes a quantitative method that enables an evaluation of fractal phenomena occurrences rate in financial time series, and also a verification of hypothesis concerning the fractal character of the series. The method utilises cluster analysis that is applied to the set of patterns (shapes) observed in time series with use of various time scales. The research regarding fractal phenomena in stock index WIG 20 has been executed and described. The main results of the research have been discussed. Key words: deterministic chaos, fractal, time series, cluster analysis.