Wszystkie znaki występujące w publikacji są zastrzeŝonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli.
|
|
- Karolina Bednarska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1
2 Modele równań i metody ich rozwiązywania dr Kazimierz Nitkiewicz Wydanie pierwsze, Toruń 010 ISBN: Wszelkie prawa zastrzeŝone! Autor oraz Wydawnictwo dołoŝyli wszelkich starań, by informacje zawarte w tej publikacji były kompletne, rzetelne i prawdziwe. Autor oraz Wydawnictwo Escape Magazine nie ponoszą Ŝadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikające z wykorzystania informacji zawartych w publikacji lub uŝytkowania tej publikacji. Wszystkie znaki występujące w publikacji są zastrzeŝonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli. Wszelkie prawa zastrzeŝone. Rozpowszechnianie całości lub fragmentu w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Kopiowanie, kserowanie, fotografowanie, nagrywanie, wypoŝyczanie, powielanie w jakiekolwiek formie powoduje naruszenie praw autorskich. Wydawnictwo Escape Magazine bezpłatny fragment
3 Spis treści Wstęp 5 1. Modele równań trygonometrycznych (Modele T) Model 1T model wzorcowy Model T a sin W + b cosw = Model T a sin W + b cosw = c Model 4T af ( W ) + bf ( W ) + c= Model 5T równania sprowadzalne do modeli poprzednich Model T R (sin x,cosx) = Model 7T R (sin x;cos x;sinx cosx= Model 8T nierówności trygonometryczne 14. Modele równań algebraicznych z parametrem (Modele P) Model 1P równanie pierwszego stopnia 18.. Model P ilość pierwiastków równania kwadratowego 18.. Model P znaki pierwiastków równania kwadratowego 0.4. Model 4P związki między pierwiastkami równania kwadratowego 1.5. Model 5P pozycje pierwiastków równania kwadratowego.. Model P metoda wykresu funkcji.7. Model 7P układy równań z parametrem 5. Modele równań wykładniczych (Modele W) 8.1. Model 1W model wzorcowy 8.. Model W funkcja wymierna R ( a x ) 8.. Model W wielomian jednorodny stopnia 1-go ) W ( a x, b x 9 x x.4. Model 4W wielomian jednorodny stopnia n-tego W ( a, b ) 9.5. Model 5W wielomian n-tego stopnia W ( x ) 0.. Model W model mieszany wykładniczo-potęgowy 0.7. Model 7W model wzorcowy dla nierówności wykładniczych 1 4. Modele równań logarytmicznych (Modele L) 4.1. Model 1L model wzorcowy 4.. Model L jednakowe podstawy, róŝne argumenty Model L jednakowe podstawy i jednakowe argumenty Model 4L róŝne podstawy, jednakowe argumenty Model 5L model potęgowo-wykładniczo-logarytmiczny 5 n a n
4 4 5. Modele mieszane równań z parametrem Równania wykładnicze z parametrem Równania logarytmiczne z parametrem Równania trygonometryczne z parametrem 40. Zadania Odpowiedzi Wskazówki i rozwiązania 55
5 5 Wstęp W ciągu wieloletniej pracy dydaktycznej, zarówno w szkolnictwie średnim, jak i w szkolnictwie wyŝszym, miałem moŝliwość dokonać wielu spostrzeŝeń dotyczących sposobów nauczania matematyki. Obserwacje dotyczące sposobów podawania materiału przez nauczycieli szkół średnich i akademickich na bezpośrednich zajęciach oraz analiza podręczników szkół średnich i wyŝszych skłoniła mnie do opracowania specjalnych metod nauczania pewnych działów matematyki. Wieloletnie stosowanie tych metod w pracy z uczniami upowaŝnia mnie do stwierdzenia wniosku o duŝej skuteczności tych metod. Trudności w opanowaniu materiału z matematyki przez uczniów szkół średnich są na pewno wielorakie i powodowane róŝnymi przyczynami. Niemniej jedną z nich i wcale nie najmniejszą jest brak umiejętności rozpoznania problemu na etapie początkowym i umiejętności wyboru właściwych metod do rozwiązania problemu. Opracowane podręczniki z reguły dają moŝliwości poznania teorii i podstaw merytorycznych matematyki. Niemniej jednak stosowana najczęściej stara zasada powtarzanie jest matką studiów nie zawsze daje najlepsze rezultaty. MoŜe ktoś całymi dniami i całe Ŝycie gonić po boisku za piłką, ale mistrzem od tego biegania nie zostanie. Bez wątpienia lepsze rezultaty osiągnąć moŝna stosując odpowiednie metody treningu. Oczywiście geniusze są wyjątkami. Pogoń za ilością rozwiązywanych zadań, co moŝna obserwować w szkołach, jest często bezsensowna. MoŜna było zauwaŝyć, Ŝe w dawnych liceach matematycznofizycznych i przy realizacji obecnego programu rozszerzonego preferowano często ilość zadań, a nie jakość stosowanych metod. Oczywiście nie we wszystkich szkołach. Analiza tych problemów i bardzo duŝe doświadczenie w pracy dydaktycznej i pedagogicznej skłoniły mnie do próby opracowania wskazówek metodycznych, które z jednej strony ułatwiłyby uczniom rozwiązywanie zadań i ograniczyłyby ich ilość, z drugiej zaś strony moŝe choć dla części nauczycieli byłyby przydatne. W opracowaniu niniejszym nie są przedstawiane problemy teoretyczne. Wręcz przeciwnie, zakłada się znajomość materiału określonego w programach i zawartego w odpowiednich podręcznikach szkolnych na odpowiednim poziomie. W wyjątkowych przypadkach podawane są znane np. wzory celem zwrócenia uwagi na moŝliwości ich odpowiedniej interpretacji i łatwiejszego stosowania. Metody zastosowane w tym opracowaniu wynikają ze spostrzeŝenia, Ŝe w wielu partiach materiału moŝna podać i opracować modele tematycznie grupujące problemy odpowiednich zadań. Modele te ułatwiają rozpoznanie problemu matematycznego postawionego w danym zadaniu i zastosowanie specyficznych dla danego modelu metod ułatwiających rozwiązanie zadania. Operowanie róŝnymi modelami do rozwiązywania zadań nie jest w matematyce nowością. Znana jest dobrze np. klasyfikacja typów równań róŝniczkowych w matema-
6 tyce wyŝszej albo modele problemowe w rozwiązywaniu zadań w statystyce matematycznej. Brak jednak opracowania i stosowania takich modeli w matematyce elementarnej i brak klasyfikacji praktycznych metod rozwiązywania zadań powoduje duŝe utrudnienia dla uczniów. Aby pomniejszyć te trudności i aby rozwiązanie zadania nie było tylko dziełem przypadku, w pracy tej podane zostały modele ułatwiające praktyczne rozwiązywanie zadań w niektórych działach matematyki elementarnej. Poszczególne modele i odpowiadające im metody zostały zilustrowane rozwiązanymi przykładami. Wszystkie rozwaŝane przykłady oraz zamieszczone na końcu opracowania zadania są oryginalnymi zadaniami autorskimi. Przykłady i zadania w zbiorze zostały ułoŝone w taki sposób, Ŝeby moŝliwie w najlepszym stopniu ilustrowały właściwości poszczególnych modeli i zastosowanej metody. Celem ułatwienia Czytelnikowi lepszego zrozumienia poszczególnych modeli i sprawniejszego operowania podanymi metodami zastosowana została jednolita numeracja poszczególnych ustępów, Zadań w zbiorze, Odpowiedzi i Wskazówek. Na przykład, jeŝeli Czytelnik chce pogłębić zrozumienie Modelu T podanego w ust.1.. to pod tym samym numerem 1.. znajdzie Zadania do samodzielnego przerobienia i oczywiście pod tym samym numerem 1.. Odpowiedzi. W przypadku wystąpienia większych kłopotów (albo dla samego sprawdzenia się) moŝe pod tym samym numerem 1.. przejrzeć Wskazówki lub Rozwiązania. W pracy przyjęto następujące oznaczenia: Modele T - modele równań (nierówności) trygonometrycznych, Modele P - modele równań algebraicznych z parametrem, Modele W - modele równań (nierówności) wykładniczych, Modele L - modele równań (nierówności) logarytmicznych. Oznaczenia te mają na celu łatwiejsze korzystanie przez Czytelnika z tego opracowania i po rozpoznaniu typu zadania łatwiejsze dobranie odpowiedniej metody podanej w wybranym modelu. Łatwiejsze teŝ będzie korzystanie ze wskazówek. Warto podkreślić, Ŝe opracowanie to nie moŝe (i nie ma takiego celu) zastąpić podręcznika czy zbioru zadań, ma tylko ułatwić rozwiązywanie wielu późniejszych i bardziej uwikłanych zadań czerpanych z tak licznych, dostępnych na rynku księgarskim i uŝywanych w szkołach zbiorów zadań. I temu właśnie celowi poświęcone jest to opracowanie. Dr Kazimierz Nitkiewicz
7 7 1. Modele równań trygonometrycznych (MODELE T) Uwagi wstępne. Przy rozwiązywaniu np. toŝsamości czy równań trygonometrycznych uczeń często nie umie wybrać odpowiedniego wzoru. RóŜne są tego przyczyny, ale często jest to powodowane brakiem zrozumienia mechanizmu specyficznego dla danego wzoru. Problem ten dobrze moŝe zilustrować następujący przykład. Zadanie: Sprawdzić toŝsamości: sin x 1. = tgx 1+ cos x. sinx 1+ cosx x = tg Często uczeń rozwiązuje zadanie 1, ale drugiego nie potrafi. Tłumaczy to tym, Ŝe pamięta wzór na sin x i cos x, a do zadania drugiego wzorów nie pamięta. Jest to niestety wynikiem formalnego traktowania w szkole tematów lekcji. Dla ucznia inny temat to Funkcje podwojonego kąta, a inny Funkcje połówkowego kąta. Dlatego teŝ wielu uczniów nie zauwaŝa tego, Ŝe oba zadania problemowo są identyczne. W obu przypadkach wystarczy zastosować mechanizm przejścia od dowolnego kąta do kąta dwukrotnie mniejszego! Celowe byłoby zwracanie większej uwagi na mechanizm wzorów, a nie tylko na argumenty alfa, dwa alfa, pół alfa itp. MoŜna np. wzory te traktować jako metody przejścia od dowolnego kąta do dwukrotnie mniejszego kąta lub na odwrót: 1) ) 4) W W sinw = sin cos gdzie W - dowolne wyraŝenie W tg W W cosw = cos sin ) tgw = 1 tg W 1+ cosw = cos W 5) 1 cosw = sin W Umiejętność rozwiązywania równań i nierówności trygonometrycznych, oprócz zrozumienia mechanizmów wzorów, wymaga zdolności do rozpoznania typu postawionego w zadaniu problemu. Analizując róŝnorodność równań trygonometrycznych moŝna wśród nich zauwa- Ŝyć zadania wyróŝniające się specyficzną problematyką. Będzie to wyraźnie pokazane w poniŝej podanych modelach. Trzeba jednak wyraźnie podkreślić, Ŝe wszystkie modele sprowadzają się w końcowym etapie do modelu wzorcowego, z którego (i tylko z tego) moŝna przejść do równań algebraicznych! MoŜemy śmiało stwierdzić, Ŝe nie mamy wzorów na rozwiązanie równania trygonometrycznego. Musimy go zamienić na równanie algebraiczne.
8 MODEL 1T (wzorcowy) Podstawą modelu wzorcowego jest równość tego samego typu funkcji trygonometrycznych. Z równości odpowiednich funkcji wynikają równości ich argumentów, co w konsekwencji daje odpowiednie równanie algebraiczne. 1) sinw 1 = sinw 1*) W = W kπ lub *) W = π W kπ 1 + ) cosw 1 = cosw 1 + 1*) W = W kπ lub *) W = W kπ 1 + ) tgw 1 = tgw ; W W + kπ 1 = 4) ctgw 1 = ctgw ; W W + kπ 1 = 1 + gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Argumenty w zaleŝności od warunków zadania moŝna wyraŝać w mierze stopniowej lub łukowej. Przykład 1a. Rozwiązać równanie: sinx= sin 5 Rozwiązanie: zamieniamy sin 5x na sin( 5x) korzystając z nieparzystości funkcji sin x i otrzymujemy równanie wzorcowe sinx= sin( 5x) Stosując wzory 1.1*) i 1.*) otrzymujemy odpowiednie równania algebraiczne: 1) x= 5 x+ kπ lub ) x= π + 5 x+ kπ z których znajdujemy rozwiązania równania. π π Przykład 1b. Rozwiązać równanie: sin( x + ) = cos(x ) Rozwiązanie: korzystając ze wzorów redukcyjnych zamieniamy np. π π π π sin( x + ) na cos( x) i otrzymujemy równanie: cos( x ) = cos(x ) Stosując wzory.1*) i.*) otrzymujemy równania algebraiczne: π π π π 1) x= x + kπ lub ) x= x+ + kπ z których znajdujemy rozwiązania zadania. Uwaga: JeŜeli równanie ma postać: f (W) = liczba to zamieniając liczbę na funkcję odpowiedniego argumentu otrzymujemy zadanie wg modelu 1T. Oczywiście moŝemy w tym przypadku skorzystać wprost ze znajomości własności danej funkcji. x
9 9 1.. MODEL T a sin W + b cosw = 0 gdzie a i b są róŝne od zera Postacią tego modelu jest kombinacja liniowa funkcji sinus i cosinus tego samego argumentu przyrównana do zera. Najprostszą (lecz nie jedyną) metodą rozwiązania tego typu równania jest podzielenie obu stron równania przez jedną z funkcji np. przez cosw, otrzymując w ten sposób równanie z Modelu 1T typ (lub 4). NaleŜy z naciskiem podkreślić, Ŝe dzielenie to jest w tym modelu dopuszczalne, poniewaŝ Ŝadna z funkcji nie moŝe tu przyjmować wartości zerowej! Łatwo to uzasadnić, sprowadzając do sprzeczności. Przykład. Rozwiązać równanie: sin x cosx= 0 Rozwiązanie: dzieląc np. przez cos x otrzymujemy równanie wzorcowe z modelu 1T tg x= i ze wzoru 1.1. otrzymujemy równanie algebraiczne π π π x = +kπ stąd x = +k Uwaga: W przypadku, gdy a= b= 1, moŝna do równania wzorcowego przejść, teŝ stosując wzory redukcyjne. 1.. MODEL T a sin W + b cosw = c gdzie a, b, c są róŝne od zera Najprostszym sposobem przejścia od Modelu T do modelu wzorcowego jest zastosowanie metody kąta pomocniczego. Polega ona na przyjęciu np. za = tgϕ przy czym b a kąt ϕ moŝe być w prostych przypadkach podany z pamięci, w innych przypadkach z tablic lub kalkulatora albo wyraŝony przez funkcje odwrotne. Zastosowanie tej metody sprowadza lewą stronę równania po łatwych przekształceniach do postaci: a sinw + b cosw = a + b sin( W +ϕ) a stąd otrzymujemy równanie wzorcowe: sin( W +ϕ ) = a c + b Uwagi: 1) JeŜeli c = 0 równanie naleŝy do Modelu T.
10 10 ) Zarówno w Modelu T jak i w Modelu T lewa strona równania jest wielomianem jednorodnym, w którym sin W i cosw występują w pierwszych potęgach. ) JeŜeli a= b= c= 1 równanie moŝna teŝ łatwo rozwiązać stosując odpowiednie wzory (patrz: Model 5T). a b 4) W modelu tym moŝna za lub przyjąć zarówno tg ϕ jak i b a ctg ϕ. 5) W kaŝdym z tych przypadków sprowadzamy tego typu równanie do postaci podanej w modelu wzorcowym. ) Do równania z tego modelu moŝna teŝ zastosować metodę podaną w Modelu T, ale trzeba się liczyć z wystąpieniem czasem bardzo uciąŝliwych rachunków (patrz uwagi do Modelu T). Przykład. Rozwiązać równanie: sin x + cos x= Jest to równanie typu z Modelu T. Najłatwiej moŝna go rozwiązać stosując wzór na przejście z Modelu T do równania wzorcowego. π Podstawiamy np. za =tgϕ, stąd otrzymujemy ϕ =, stosując podany w modelu wzór (lub wykonując samodzielnie przekształcenia) otrzymujemy: sin( + π π π x ) =, stąd sin( x + ) = sin 4 a po zastosowaniu wzorów z Modelu 1T i rozwiązaniu równań algebraicznych otrzymujemy odpowiedź: π 7 1) x = +kπ ) x = π + kπ 4 4 Oczywiście moŝna teŝ, zamiast korzystać z gotowego wzoru przejścia do równania wzorcowego, zastosować przeliczenia, które umoŝliwiły otrzymanie tego wzoru. Sposób ten jest zilustrowany na tym samym przykładzie poniŝej. sin x + cos x= podstawiamy = tgϕ otrzymujemy: π sin x+ tgϕ cos x= gdzie ϕ = po prostych przekształceniach otrzymujemy jak poprzednio równanie wzorcowe: sin( x +ϕ) =
11 11 Pełna wersja:
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ zna i potrafi stosować przekształcenia wykresów funkcji zna i
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Równania i nierówności trygonometryczne
Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko
Tomasz Grębski Matematyka Podstawianie zmiennej pomocniczej w równaniach i nie tylko Zadania z rozwiązaniami Spis treści Wstęp... Typowe podstawienia... 6 Symbole używane w zbiorze... 7. Podstawienie zmiennej
Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
MATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 2, ZAKRES PODSTAWOWY
1 Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań na oceny 2 Trygonometria Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym 3-4 Trygonometria Funkcje trygonometryczne
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Od autorów... 7 Zamiast wstępu zrozumieć symbolikę... 9 Zdania Liczby rzeczywiste i ich zbiory... 15
Spis treści Od autorów........................................... 7 Zamiast wstępu zrozumieć symbolikę................... 9 Zdania............................................... 10 1. Liczby rzeczywiste
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY
MATEMATYKA Klasa TMB Zakres na egzamin poprawkowy w r. szk. 013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Podręcznik klasa 1 ZAKRES PODSTAWOWY i ROZSZERZONY (zakres rozszerzony - czcionką pogrubioną) Hasła programowe Wymagania
K P K P R K P R D K P R D W
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Wymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
MATeMAtyka zakres rozszerzony
MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
OPRACOWANIE MONIKA KASIELSKA
KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI DIAGNOZA UMIEJĘTNOŚCI ZGODNYCH ZE STANDARDAMI WYMAGAŃ MATURALNYCH PRZEDMIOT : Matematyka KLASA: III TEMAT: Rozwiązywanie problemów poprzez stosowanie algorytmów. STANDARDY WYMAGAŃ
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
NIERÓWNOŚCI CYKLOMETRYCZNE
NIERÓWNOŚCI CYKLOMETRYCZNE Wśród wielu typów nierówności rozwiązywanych przez uczniów liceów ogólnokształcących, na uwagę zasługują również nierówności cyklometryczne. W okresie poprzedzającym wprowadzenie
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Scenariusz lekcji diagnozującej z matematyki przygotowującej do sprawdzianu z funkcji kwadratowej
Scenariusz lekcji diagnozującej z matematyki przygotowującej do sprawdzianu z funkcji kwadratowej Temat : Powtórzenie i utrwalenie wiadomości z funkcji kwadratowej Czas trwania : 90 min. Środki dydaktyczne:
MATEMATYKA IV etap edukacyjny
MATEMATYKA IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń uŝywa
8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt
1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019
WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciele uczący Poziom matematyka 3e Łukasz Jurczak rozszerzony 6. Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne.
MATEMATYKA IV etap edukacyjny
MATEMATYKA IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik Uczeń uŝywa
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY TRZECIEJ M. zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY TRZECIEJ M. zakres rozszerzony Trygonometria. wie, co to jest miara łukowa kąta; potrafi stosować miarę łukową i stopniową kąta
Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum. obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017
Przedmiotowe Ocenianie Z Matematyki - Technikum obowiązuje w roku szkolnym 2016 / 2017 1. Rok szkolny dzieli się na dwa semestry. Każdy semestr kończy się klasyfikacją. 2. Na początku roku szkolnego informuję
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
KONSPEKT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH
KONSPEKT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Część organizacyjna: Przedmiot: matematyka Klasa: II technikum poziom rozszerzony Czas trwania: 45 min. Data: Część merytoryczna: Dział programowy: Funkcje trygonometryczne
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Program nauczania przeznaczony dla IV etapu edukacyjnego.
Program nauczania przeznaczony dla IV etapu edukacyjnego. Program nauczania dostosowany do nowej podstawy programowej zgodnie z rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 23 grudnia 2008 r. w sprawie
Matematyka kompendium 2
Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka
Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa I (poziom podstawowy) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury
LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych - na ocenę dopuszczającą (2) uczeń potrafi: zamieniać ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych podać przybliżenie dziesiętne
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 3TI ROK SZKOLNY 2018/2019
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 3TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w sprawie
IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,
Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki
ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli
Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)
IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń
SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Rozkład materiału KLASA I
I. Liczby (31 godz.) Rozkład materiału Wg podręczników serii Prosto do matury. Zakres podstawowy i rozszerzony (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) KLASA I 1. Zapis dziesiętny liczby
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne
Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego
Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym
Rozkład materiału: matematyka na poziomie rozszerzonym KLASA I 105h Liczby (30h) 1. Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej 2. Wzory skróconego mnoŝenia 3. Nierówności pierwszego stopnia 4. Przedziały liczbowe
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych
ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie II A i II B Liceum Plastycznego Zakres podstawowy Przygotowane w oparciu o propozycję wydawnictwa Nowa Era
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie II A i II B Liceum Plastycznego Zakres podstawowy Przygotowane w oparciu o propozycję wydawnictwa Nowa Era Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz
Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Temat (rozumiany jako lekcja) Propozycje środków dydaktycznych. Liczba godzin. Uwagi
Roczny plan dydaktyczny z matematyki dla pierwszej klasy szkoły branżowej I stopnia dla uczniów będących absolwentami ośmioletniej szkoły podstawowej, uwzględniający kształcone umiejętności i treści podstawy
MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY PIERWSZEJ POZIOM ROZSZERZONY. I. Liczby (31 godz.) ( b ) 2
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY PIERWSZEJ POZIOM ROZSZERZONY TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej Wzory skróconego mnoŝenia Nierówności pierwszego stopnia Przedziały liczbowe Działania
In the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.
!" #$ %&' ( +*",-".0/1"3"4"5"67498:"5";=6?,@"A"-B5"-BCD4E?,@"
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 2 1. TRYGONOMETRIA STOPIEŃ UMIEJĘTNOŚCI UCZNIA Dopuszczający Zna i
1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja