PLAN WYNIKOWY DLA KLASY PIERWSZEJ POZIOM ROZSZERZONY. I. Liczby (31 godz.) ( b ) 2

Transkrypt

1 PLAN WYNIKOWY DLA KLASY PIERWSZEJ POZIOM ROZSZERZONY TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej Wzory skróconego mnoŝenia Nierówności pierwszego stopnia Przedziały liczbowe Działania na zbiorach Liczba godzin I. Liczby ( godz.) TREŚCI PODSTAWOWYCH przedstawiać liczby rzeczywiste w róŝnych postaciach (na przykład ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z uŝyciem symboli pierwiastków, potęg) zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny podać przykłady liczb niewymiernych odróŝnić liczbę wymierną od niewymiernej podać przybliŝenie dziesiętne liczby (na przykład korzystając z kalkulatora) z zadaną dokładnością porównać liczby rzeczywiste zapisać wyraŝenie algebraiczne postaci ( a + b), ( a b), ( a + b)( a b) w postaci sumy algebraicznej z zastosowaniem wzorów skróconego mnoŝenia zapisać sumę algebraiczną w postaci ( a + b), ( a b) lub ( a + b)( a b) rozwiązać nierówność pierwszego stopnia sprawdzić, czy dana liczba jest rozwiązaniem nierówności pierwszego stopnia zaznaczyć zbiór rozwiązań nierówności pierwszego stopnia na osi liczbowej rozwiązać zadanie tekstowe prowadzące do nierówności pierwszego stopnia ułoŝyć nierówność pierwszego stopnia do zaleŝności opisanej słownie stosować prawidłowo pojęcie zbioru stosować prawidłowo definicje przedziałów liczbowych zaznaczać na osi liczbowej przedziały liczbowe wyznaczyć część wspólną, sumę i róŝnicę zbiorów skończonych oraz przedziałów liczbowych TREŚCI PONADPODSTAWOWYCH zamienić ułamek dziesiętny okresowy na ułamek zwykły zapisać w postaci iloczynu wyraŝenie typu ( b ) c a + stosować prawa działań na zbiorach

2 Pierwiastki Powtórzenie Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej wskazać róŝnicę między definicją pierwiastka stopnia parzystego a definicją pierwiastka stopnia nieparzystego wykonać działania na pierwiastkach wyłączyć czynnik spod pierwiastka włączyć czynnik pod pierwiastek usuwać niewymierność w mianowniku wyraŝenia typu: d a ± b wykorzystać geometryczną interpretację wartości bezwzględnej do rozwiązywania równań i nierówności typu: wykorzystywać w zadaniach równość x = x x a = b, x a < b, x a > b c porównywać pierwiastki (bez stosowania kalkulatora) rozwiązywać zadania tekstowe wymagające zastosowania pierwiastków wyŝszych stopni wykorzystywać w zadaniach równości typu: a + ab + b = a + b Równania i nierówności z wartością bezwzględną rozwiązać równanie (nierówność) z wartością bezwzględną typu: x + = rozwiązać równanie (nierówność) z wartością bezwzględną typu: rozwiązać niestandardowe równanie (nierówność) z wartością bezwzględną, np. x + = x x + + x 5 > Równania i nierówności liniowe z parametrem O ile procent więcej? 4 rozwiązać proste równanie liniowe z parametrem rozwiązać trudniejsze równanie liniowe z parametrem rozwiązać równanie liniowe z kilkoma parametrami rozwiązać nierówność liniową z parametrem obliczać p% danej wielkości w obliczać wielkość w, gdy dany jest jej procent obliczać, jakim procentem wielkości w jest wielkość a obliczać, ile jest równa dana wielkość, jeśli wzrosła (zmalała) o pewien procent wykonywać w pamięci proste obliczenia typu: o 50% więcej niŝ 0, o 00% więcej od 5, o 0% mniej od 50 itp. obliczać, o ile procent wielkość a jest większa (mniejsza) od wielkości b odróŝniać pojęcia o p% więcej i o p punktów procentowych więcej rozwiązać zadania dotyczące procentów typu: pewna wielkość wzrosła o p%, oblicz o ile % naleŝy ją zmniejszyć, aby powróciła do poziomu wyjściowego swobodnie operować pojęciem punktu procentowego rozwiązać złoŝone zadania tekstowe prowadzące do równania (układu równań) z wykorzystaniem obliczeń procentowych

3 Błąd przybliŝenia Powtórzenie obliczyć wartość bezwzględną danej liczby obliczyć błąd bezwzględny przybliŝenia obliczyć błąd względny przybliŝenia wyznaczyć liczbę, znając jej przybliŝenie i błąd przybliŝenia ocenić dokładność zastosowanego przybliŝenia. II. Funkcje (0 godz.) TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Liczba godzin TREŚCI PODSTAWOWYCH TREŚCI PONADPODSTAWOWYCH Funkcja i jej dziedzina rozpoznać funkcje wśród przyporządkowań podać przykład zaleŝności funkcyjnych w otaczającej nas rzeczywistości określać funkcje na róŝne sposoby (diagram, tabela, wzór, wykres, opis słowny) obliczać wartości funkcji dla róŝnych argumentów wyznaczać dziedzinę funkcji na podstawie diagramu, tabeli, opisu słownego wyznaczać dziedzinę na podstawie wzoru funkcji typu f ( x) =, g ( x) wyznaczać dziedzinę na podstawie wzoru funkcji w trudniejszych przypadkach znaleźć na podstawie zadania tekstowego zaleŝność funkcyjną między dwiema wielkościami i wyznaczyć dziedzinę otrzymanej funkcji f ( x) = g( x), f ( x) =, gdzie g(x) jest funkcją liniową g ( x) Zbiór wartości funkcji Wykres funkcji znaleźć, w prostych przypadkach, zbiór wartości funkcji określonej opisem słownym znaleźć, w prostych przypadkach, zbiór wartości funkcji o danej dziedzinie i wzorze swobodnie operować układem współrzędnych rozpoznać wykresy funkcji na płaszczyźnie kartezjańskiej; sporządzić wykres funkcji o kilkuelementowej dziedzinie, np. na podstawie wykonanych pomiarów róŝnych zjawisk sporządzić wykres funkcji określonej prostym przepisem wyznaczać zbiór wartości funkcji definiowanych w bardziej złoŝony sposób

4 Odczytywanie argumentów oraz wartości funkcji z wykresu Miejsce zerowe funkcji Znak i monotoniczność funkcji Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu WaŜna funkcja proporcjonalność odwrotna Powtórzenie Przesunięcie wykresu wzdłuŝ osi na podstawie wykresu funkcji odczytać jej dziedzinę na podstawie wykresu funkcji odczytać zbiór jej wartości na podstawie wykresu funkcji wskazać największą wartość funkcji i najmniejszą wartość funkcji (w całej dziedzinie lub w podanym przedziale) szkicować wykresy funkcji o zadanej dziedzinie i zbiorze wartości na podstawie wykresu funkcji określać liczbę rozwiązań równania f ( x) = m w zaleŝności od wartości m na podstawie wykresu funkcji odczytać jej miejsca zerowe znajdować miejsca zerowe funkcji w przypadku, gdy prowadzi to do rozwiązywania równań liniowych odczytać z wykresu funkcji rozwiązania nierówności typu f ( x) < m dla ustalonej wartości m (w szczególności dla m = 0 ) określić przedziały monotoniczności funkcji na podstawie jej wykresu określać na podstawie wykresu, czy dana funkcja jest monotoniczna określać przedziały monotoniczności funkcji na podstawie jej wykresu określać przedziały monotoniczności funkcji np. publikowanych w gazetach odczytywać wszystkie omawiane wcześniej własności z wykresów funkcji zaprojektować wykres funkcji o zadanych własnościach (w prostych przypadkach) odczytywać z wykresów funkcji rozwiązania równań i nierówności typu f x = < g x ( ) ( ) ( ) szkicować wykres funkcji ( x) a f = dla danego a, korzystać ze wzoru i wykresu tej x funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi przesunąć wykres funkcji wzdłuŝ osi x zgodnie z podanym wzorem y = f ( x a) przesunąć wykres funkcji wzdłuŝ osi y zgodnie z podanym wzorem y = f ( x) + b podać własności funkcji y f ( x a) + b funkcji y = f ( x) = na podstawie odpowiednich własności znajdować miejsca zerowe funkcji o dziedzinie ograniczonej określonymi warunkami uzasadnić, Ŝe funkcja np. rosnąca na dwóch przedziałach liczbowych nie musi być rosnąca na sumie tych przedziałów zaprojektować wykres funkcji o zadanych własnościach (w trudniejszych przypadkach) a f = do x interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi korzystać ze wzoru i wykresu funkcji ( x) 4

5 Przekształcanie wykresu funkcji przez symetrie Wektory Wektory w układzie współrzędnych Wektory zastosowanie w zadaniach Powtórzenie 4 przekształcić wykres funkcji przez symetrię względem osi y zgodnie z podanym y = f x wzorem ( ) przekształcić wykres funkcji przez symetrię względem osi x zgodnie z podanym y = f x wzorem ( ) narysować wykres funkcji y = f ( x) y = f ( x) podać własności funkcji y f ( x) = oraz y f ( x) własności funkcji y = f ( x), mając dany wykres albo wzór funkcji = podstawie odpowiednich dodać i odjąć wektory oraz pomnoŝyć wektor przez liczbę zinterpretować geometrycznie działania na wektorach przedstawiać wektor w postaci kombinacji liniowej danych wektorów obliczyć współrzędne wektora obliczyć współrzędne końca (początku) wektora znając współrzędne jego początku (końca) oraz współrzędne wektora obliczyć długość wektora wykonywać działania na współrzędnych wektorów zastosować wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji korzystać w zadaniach ze wzoru na środek odcinka wykorzystywać w zadaniach własności działań na wektorach wykorzystywać współrzędne wektorów w zadaniach na dowodzenie. korzystać w zadaniach ze wzoru na środek cięŝkości trójkąta wykorzystywać własności wektorów w zadaniach na dowodzenie 5

6 III. Figury na płaszczyźnie (0 godz.) TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Okręgi i proste Kąty w kole Wielokąt wpisany w okrąg Wielokąt opisany na okręgu Twierdzenie Talesa Jednokładność Podobieństwo Liczba godzin Powtórzenie TREŚCI PODSTAWOWYCH określić wzajemne połoŝenie dwóch okręgów określić wzajemne połoŝenie okręgu i prostej korzystać z własności stycznych do okręgu i własności okręgów stycznych w prostych zadaniach geometrycznych wskazać kąty środkowe i wpisane oparte na danych łukach zastosować twierdzenie o zaleŝności między kątem środkowym, kątami wpisanymi i kątem między styczną a cięciwą (wyznaczonymi przez ten sam łuk) sprawdzić, czy na danym czworokącie moŝna opisać okrąg stosować w prostych zadaniach twierdzenie charakteryzujące czworokąt wpisany w okrąg sprawdzić, czy w dany czworokąt moŝna wpisać okrąg stosować w prostych zadaniach twierdzenie charakteryzujące czworokąt opisany na okręgu zastosować twierdzenie Talesa do obliczania długości odcinków; zastosować twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa do ustalania równoległości prostych znaleźć obraz figury w jednokładności sprawdzić, czy dane figury są jednokładne rozpoznać trójkąty podobne i wykorzystać (takŝe w kontekście praktycznym) cechy podobieństwa trójkątów poprawnie zapisać proporcje boków w trójkątach podobnych obliczyć długości boków figur podobnych, wykorzystując skalę podobieństwa oszacować rzeczywistą odległość między punktami, znając odległość między tymi punktami na mapie i skalę mapy zastosować w zadaniu twierdzenie o stosunku pól figur podobnych. TREŚCI PONADPODSTAWOWYCH korzystać z własności stycznych do okręgu i własności okręgów stycznych w wieloetapowych zadaniach geometrycznych stosować zaleŝności między kątami środkowymi i wpisanymi w zadaniach o podwyŝszonym stopniu trudności, np. w zadaniach wymagających dorysowania dodatkowych cięciw albo dostrzeŝenia kąta prostego opartego na średnicy stosować w trudniejszych zadaniach (np. na dowodzenie) twierdzenie charakteryzujące czworokąt wpisany w okrąg stosować w trudniejszych zadaniach (np. na dowodzenie) twierdzenie charakteryzujące czworokąt opisany na okręgu rozwiązywać zadania wymagające wielokrotnego zastosowania twierdzenia Talesa wykorzystywać w zadaniach własności figur jednokładnych stosować podobieństwo trójkątów w zadaniach wieloetapowych, np. wymagających poprowadzenia dodatkowych odcinków i dostrzeŝenia trójkątów podobnych swobodnie operować skalą map 6

7 TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Funkcje trygonometryczne kąta ostrego Związki między funkcjami trygonometrycznymi Liczba godzin Zastosowania funkcji Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta IV. Trygonometria (6 godz.) TREŚCI PODSTAWOWYCH wyznaczyć wartości funkcji (sinus, cosinus, tangens) w trójkącie prostokątnym o danych bokach obliczyć długości boków i miary kątów trójkąta prostokątnego, mając dany jeden bok i wartość funkcji trygonometrycznej jednego z kątów ostrych podać wartości funkcji (sinus, cosinus, tangens) kątów: 0, 60, 45 korzystać z przybliŝonych wartości funkcji (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora) obliczyć miarę kąta, dla którego funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo korzystając z tablic lub kalkulatora przybliŝoną) stosować podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi: sin α + cos α =, ( 90 α ) cosα sin = sinα tg α = oraz cos α znając wartość funkcji trygonometrycznej sinus lub cosinus kąta ostrego, wyznaczać wartości pozostałych funkcji tego kąta korzystać z własności funkcji w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi prawidłowo umieścić kąt w układzie współrzędnych obliczyć wartości funkcji dowolnego kąta skonstruować dowolny kąt znając wartość jednej z jego funkcji TREŚCI PONADPODSTAWOWYCH rozwiązać zadanie wymagające zastosowania związku między funkcjami trygonometrycznymi, na przykład znając wartość sin α + cosα, obliczyć sinα cosα korzystać z własności funkcji w trudniejszych obliczeniach geometrycznych, np. w zadaniach o okręgach. 7

8 Własności funkcji Wzory redukcyjne Miara łukowa kąta Wykresy funkcji Wykresy funkcji y = c f ( x) i y = f ( c x) Powtórzenie Twierdzenie sinusów 4 znając wartość funkcji trygonometrycznej sinus, kosinus lub tangens dowolnego kąta, wyznaczać wartości jego pozostałych funkcji podać własności funkcji dowolnego kąta udowodnić prostą toŝsamość trygonometryczną i podać dotyczące jej załoŝenia wyznaczyć wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyraŝonej w stopniach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego) korzystać z własności funkcji we wzorze na pole trójkąta rozwartokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi zamieniać miarę łukową kąta na miarę stopniową i odwrotnie; wyznaczyć wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyraŝonej w radianach wykorzystywać w zadaniach okresowość funkcji narysować wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens przekształcać wykresy funkcji przez przesunięcia równoległe i symetrie rozwiązać elementarne równanie trygonometryczne w oparciu o wykres rozwiązać elementarną nierówność trygonometryczną w oparciu o wykres narysować wykresy funkcji y = c f ( x) oraz y f ( c x) dany wykres funkcji y = f ( x) =, mając zastosować twierdzenie sinusów do obliczania długości boków i miar kątów trójkąta zastosować twierdzenie sinusów do obliczania długości promienia okręgu opisanego na trójkącie udowodnić toŝsamość trygonometryczną wymagającą przekształcenia wyraŝeń wymiernych dowodzić wzory redukcyjne swobodnie operować funkcjami trygonometrycznymi zmiennej rzeczywistej. rysować wykresy funkcji w trudniejszych przypadkach (np. y = sin x + sin x ) rozwiązać trudniejsze równanie trygonometryczne (nierówność trygonometryczną), np. z wartością bezwzględną rozwiązać zadanie z parametrem dotyczące wykresów funkcji na podstawie własności funkcji f ( x) funkcji y = c f ( x) oraz y = f ( c x) y = określać własności wykorzystać twierdzenie sinusów w trudniejszych zadaniach (np. na dowodzenie) 8

9 Twierdzenie cosinusów Związki miarowe w figurach płaskich 4 Powtórzenie zastosować twierdzenie cosinusów do obliczania długości boków i miar kątów trójkąta rozstrzygnąć, czy trójkąt o danych bokach jest ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny obliczać pole trójkąta na podstawie podstawowych wzorów wykorzystywać w zadaniach róŝne wzory na pole trójkąta do obliczania potrzebnych wielkości wykorzystać twierdzenie cosinusów w trudniejszych zadaniach (np. na dowodzenie) zastosować w zadaniu twierdzenie o dwusiecznej rozwiązać wieloetapowe zadanie z planimetrii wymagające kilkakrotnego zastosowania twierdzeń sinusów i cosinusów V. Funkcja liniowa ( godz.) TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Od proporcjonalności prostej do funkcji liniowej Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty Liczba godzin Rysowanie wykresów funkcji przedziałami liniowych TREŚCI PODSTAWOWYCH rozpoznać wielkości wprost proporcjonalne podać zaleŝność funkcyjną między wielkościami wprost proporcjonalnymi opisanymi w zadaniu tekstowym narysować wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru i omówić jej własności podać wzór funkcji liniowej na podstawie jej wykresu sprawdzić rachunkowo, czy dany punkt leŝy na danej prostej interpretować współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej rozwiązać proste zadanie z parametrem dotyczące własności funkcji liniowej wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty sprawdzić współliniowość punktów (na płaszczyźnie kartezjańskiej) rozwiązać zadanie tekstowe wymagające znalezienia wzoru funkcji liniowej na podstawie wartości dwóch jej argumentów narysować wykres funkcji liniowej określonej w róŝnych przedziałach róŝnymi wzorami podać wzór funkcji kawałkami liniowej na podstawie jej wykresu TREŚCI PONADPODSTAWOWYCH przeanalizować, jak w zaleŝności od współczynników (zapisanych w postaci parametrów) funkcji liniowej zmieniają się jej własności podać wzór i narysować wykres kawałkami liniowej na podstawie zadania osadzonego w kontekście praktycznym (np. o podatku progresywnym) 9

10 Geometryczna interpretacja układów równań PołoŜenie dwóch prostych na płaszczyźnie Powtórzenie rozstrzygnąć, czy układ dwóch równań liniowych jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny rozwiązać układ dwóch równań liniowych metodą podstawiania i metodą przeciwnych współczynników podać interpretację graficzną danego układu równań liniowych rozwiązać zadanie tekstowe prowadzące do układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi wyznaczyć równanie prostej równoległej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt rozwiązać zadanie z parametrem dotyczące równoległości lub prostopadłości wykresów funkcji liniowych przeprowadzić dyskusję liczby rozwiązań układu dwóch równań liniowych z parametrem 0