WYKŁAD 2 INDUKOWANIE SIŁY ELEKTROMOTORYCZNEJ

Transkrypt

1 WYKŁAD DUKOWA SŁY KTOMOTOYCZJ.. Źródłowy i odbiornikowy syste oznaczeń. ozpatrzy eleentarny obwód elektryczny prądu stałego na przykładzie ładowania akuulatora saochodowego przedstawiony na rys... Przypuśćy, że w jedny saochodzie oznaczony indekse o jest akuulator częściowo rozładowany a drugi saochód określony indekse z a sprawny akuulator. Siły elektrootoryczne akuulatorów są równe różnicy odpowiednich potencjałów e z = V z V b > e o = V o V b (.) Dla uproszczenia zapisu ustala się V b =0 oraz dodatnie wartości V z i V o. atężenie prądu płynącego poiędzy akuulatorai jest więc równe = V z V o z + o (.) gdzie z, o są rezystancjai wewnętrznyi obu akuulatorów. Zauważy, że zależność (.) definiuje również dodatni kierunek obiegu obwodu - tu zgodnie z ruche wskazówek zegara. V a > 0 V z V o e z z U ab o e o 0 0 V b = 0 ys... leentarny obwód prądu stałego bez udziału pola agnetycznego. apięcie poiędzy przewodai łączącyi oba akuulatory U ab wyznaczyć ożna z dwu zależności opisujących prawo Kirchhofa dla części powyższego obwodu z + U ab = +e z o U ab = e o (.3)

2 Prowadzi to do wzorów dających oczywiście ten sa wynik U ab = V z U ab = +e z z U ab = +e o + o (.4) o z + V z + o (.5) o z + o Pierwsze z równań (.4) definiuje napięcie na zaciskach dwójnika elektrycznego w źródłowy systeie oznaczeń, a drugie w odbiornikowy. Zauważy tu, że w źródle prąd płynie zgodnie z działającą w ni siłą elektrootoryczną a w odbiorniku przeciwnie. To sao rozuowanie ożna przeprowadzić w bardziej ogólny sposób. Całkowa postać prawa Maxwella przy braku pola agnetycznego jest w postaci dl l = 0 (.6) atężenie pola elektrycznego w tych warunkach oże być przedstawione za poocą potencjału jako = V = d dl V (.7) Całkę skierowaną (.6) zastępujey suą składników po poszczególnych częściach obwodu. Dla źródła ay co daje z V dl + V dl + V dl = 0 (.8) b z a a b (V z V b ) + (V a V z ) + (V b V a ) = 0 (.9) Uwzględniając (.) otrzyujey ostatecznie pierwsze z równań (.4) Dla obwodu odbiornika otrzyuje się kolejno oraz b e z z = U ab (.0) V dl + V dl + V dl = 0 (.) o b a a o

3 (V b V o ) + (V a V b ) + (V o V a ) = 0 (.) Ostatecznie otrzyujey zależność e o + U ab o = 0 (.3) będącą drugi równanie (.4). Wykonajy teraz analizę bardziej złożonego obwodu izolowanej sieci elektrycznej pokazanej na rys., w której ay prądnicę (prądu stałego lub przeiennego) napędzaną silnikie spalinowy i odbiornik elektronarzędzie napędzane silnikie elektryczny. V a > 0 z e z 0 0 i U ab o e o V b = 0 0 ys... okalna sieć elektryczna składająca się z elektroaszynowego źródła i odbiornika energii. Zasadniczą różnicą w stosunku do wcześniej analizowanego przypadku jest inne usytuowanie źródeł/upustów energii. Poprzednio akuulatory były galwanicznie włączone w obwód elektryczny. Obecnie źródłe energii jest wirujący silnik spalinowy wytwarzający na wale oent napędowy a odbiornikie jest obrabiany przez wirującą tarczę eleent, który wytwarza odpowiedni oent haujący elektronarzędzie. Siły elektrootoryczne, zarówno w obwodzie źródła jak i odbiornika, są indukowane poprzez pole agnetyczne o pewnej indukcji 0. ch obecność w scheacie obwodu a więc charakter syboliczny, równoważny stwierdzeniu występowania pola agnetycznego. W obszarze, gdzie znajdują się przewody łączące (o poijalnej rezystancji), zakładay brak pola agnetycznego i napięcie U ab jest równe jak poprzednio różnicy potencjałów. Drugie prawo Maxwella w postaci całkowej zapisuje się jako l dl = dψ (.4)

4 Dla obwodu źródła całka po zaknięty konturze skierowany wzdłuż 0 oże być rozbita na dwa składniki: wzdłuż uzwojeń prądnicy na drodze l z i na zewnątrz poiędzy jej zaciskai. l z dl + U ab = dψ z (.5) atężenie pola elektrycznego w przewodniku jest powiązane z gęstością prądu J zależnością = ρj = ρ i S (.6) gdzie jest rezystywnością, S przekroje przewodnika, i wartością chwilową prądu elektrycznego. Podstawiając to do (.5) uzyskuje się l z ρ i S dl + U ab = z i + U ab = dψ z = e z (.7) Uzyskaliśy więc wzór (.0), w który pojęcie SM powiązano ze ziennością struienia agnetycznego skojarzonego wziętą z ujeny znakie. Pojęcie to będzie dalej szczegółowo oówione. Wykonując analogiczne działania dla obwodu odbiornika ay l o dl U ab = dψ o (.8) co prowadzi do zależności o i + dψ o = oi + e o = U ab (.9) Otrzyaliśy wzór (.3), w który SM odbiornika e o jest równa pochodnej czasowej struienia skojarzonego ze znakie plus przeciwnie niż w przypadku źródła. Podsuowując, stwierdzay, że zależność wiążąca chwilowe wielkości obwodowe, to jest ierzone na zewnątrz danego urządzenia napięcie u i natężenie prądu elektrycznego i z całkową wielkością agnetycznego struienia skojarzonego opisującego wewnętrzny rozkład pola agnetycznego, a postać zależną od przyjętego systeu oznaczeń. Dla opisu źródłowego ay u = i dψ a dla opisu odbiornikowego zachodzi u = +i + dψ (.0) (.)

5 .. ozwinięcie prawa Faraday a ozpatrujey układ M cewek skupionych, każda o zwojności zwojów dowolnie rozieszczonych w przestrzeni i połączonych szeregowo. Wypadkowa siła elektrootoryczna e w (w opisie odbiornikowy) takiego układu nazywanego w aszynach elektrycznych pase cewkowy jest równa M d e w = + = gdzie S - powierzchnia -tej cewki, Wyrażenie to zapisuje się zazwyczaj jako ds S (.) M M e w = + d ds = + d Ψ = S = (.3) gdzie - struień skojarzony z -tą cewką. Zwojności w poszczególnych cewkach uzwojenia są zazwyczaj takie sae =, =,,..., stąd wyrażenie określające składowe struienie skojarzone ( t) S ds (.4) oże ieć różny znak w zależności od połączenia cewek, kierunku nawinięcia i rozkładu przestrzennego pola indukcji rys..3. ds > 0 ds awinięcie w lewo Koniec obwodu ds < 0 e ds Wypadkowe pole indukcji agnetycznej awinięcie w prawo e Początek obwodu Początek cewki Koniec cewki ys..3. Wpływ położenia cewek względe pola indukcji agnetycznej na znak struienia skojarzonego

6 Załóży, że indukcja pokazana na rys..3 jest identyczna w obydwu cewkach i rośnie, ty say indukowane siły elektrootoryczne e ieć będą zwrot jak na rysunku gdyby obwód był zwarty to wywołały by prąd tworzący pole agnetyczne przeciwdziałający powstawaniu tych SM (znak inus we wzorze (.4)). W obwodzie, którego początek i koniec zaznaczono zielonyi strzałkai, sua tych SM jest równa zeru. Wynik ten ożna uzyskać również w inny sposób. Każda cewka a dowolnie wybrany początek i koniec. Ustalając, że dodatni prąd płynie w cewce od jej początku do końca, to wytwarza on zgodnie z prawe Maxwell a natężenie pola agnetycznego H=/, którego zwrot wewnątrz cewki określa jej oś agnetyczną oznaczoną tu jako ds. Widziy, że struienie agnetyczne skojarzone z obydwoa cewkai ds są przeciwnych znaków, co oznacza, że ierzone na zaciskach indukowane napięcie w ten sa sposób np. od końca cewki do jej początku również będzie przeciwnego znaku. Mówiy niekiedy, że cewki ogą być nawijane w prawo bądź w lewo, co skutkuje zianą biegunowości indukowanego napięcia. W typowych uzwojeniach (gdzie S =S, =,...) ożna zastosować uproszczoną zależność M ds M S S ds (.5) gdzie jest nazywany współczynnikie uzwojenia wynikający z połączenia szeregowego cewek przesuniętych wzajenie w przestrzeni, a iloczyn e M (.6) określa tzw. efektywną liczbę zwojów szeregowych w uzwojeniu (paśie uzwojenia). Zienność w czasie struienia skojarzonego (t) z pewny obwode o powierzchni S oże być wywołana: - ziennością w czasie prądu i(t), który wywołał ten struień; - ruche tego obwodu z prędkością d/ względe ziennego w przestrzeni pola agnetycznego. Współrzędna jest najczęściej współrzędną kątową w ruchu obrotowy. Stąd siła elektrootoryczna (.3) wynosi e w d ( i, ) d i d ( t) (.7) d t i d t d t Pierwszy składnik nazywa się SM transforacji a drugi SM rotacji. ozpatrzy kilka przykładów związanych z indukowanie SM rotacji

7 ds Ψ = ds = S S = const u(t) a. ds Ψ = ds = Scos( (t)) S t b. Uzwojenie wytwarzające pole agnetyczne Ψ = ds = ds S 0A 0 A r ds 0 A c. ys..4. Skojarzenie agnetyczne cewek ruchoych względe pola agnetycznego a. przeieszczenie liniowe w polu jednorodny, b. obrót w polu jednorodny c. obrót w polu niejednorodny okresowy.

8 W pierwszy przypadku pokazany na rys..4.a cewka o zwojach, powierzchni S i osi ds przeieszcza się ruche liniowy w jednorodny polu agnetyczny o indukcji. Struień skojarzony jest równy Ψ = ds = S S (.8) i a wartość niezienną w czasie. Ty say w cewce nie oże się zaindukować siła elektrootoryczna. Znak inus w (.8) wynika z iloczynu skalarnego wektorów i ds. W kolejny wariancie (rys..4.b) ay do czynienia z obrote cewki w jednorodny polu agnetyczny. Wówczas wartość iloczynu skalarnego wektorów i ds zienia się w czasie i struień skojarzony wyniesie Ψ = ds = Scos(α(t)) S Siła elektrootoryczna powstająca w ruchoej cewce będzie równa e(t) = dψ = Ssin(α(t)) dα (.9) (.30) Ostatni analizowany przypadek dotyczy ruchu cewki względe okresowego w przestrzeni pola agnetycznego. Struień skojarzony z cewką o poosiowej długości obliczay jako α(t)+π Ψ = δ ds = δ rdα (.3) S 0A α(t) Poinięcie zapisu wektorowego ds przy całkowaniu po powierzchni S 0A wynika z faktu, że w szczelinie wektor indukcji jest prostopadły do ferroagnetycznych powierzchni stojana i wirnika. óżniczkując (.3) względe czasu otrzyujey e(t) = dψ = d dα ( α(t)+π δrdα α(t) ) dα dα = r α(t)+π δ α(t) (.3) Uwzględniając, że ((t))=-((t+) oraz d/=n (n prędkość obrotowa) otrzyuje się e(t) = dψ = 4πrn δ(α(t)) (.33) Wprowadzając pojęcie podziałki biegunowej równej obwodowi wirnika dzieloneu przez liczbę par biegunów agnetycznych p otrzyuje się τ = πr p (.33) e(t) = dψ = nτ δ(α(t)) (.34)

9 Zależność (.34) prowadzi do następujących wniosków: - Czasowy przebieg siły elektrootorycznej rotacji indukowanej w pojedynczej cewce o rozpiętości średnicowej jest przeskalowany rozkłade przestrzenny indukcji w szczelinie aszyny wzdłuż obwodu aszyny; - Wartość skuteczna siły elektrootorycznej rotacji oże być określona ogólny gdzie c wzore i rodzaju uzwojeń. = c Φn (.35) jest stałą zależną od typu aszyny elektrycznej, jej wyiarów geoetrycznych Składowe wypadkowego struienia skojarzonego k ogą ieć stałe przesunięcie fazowe (w stosunku do ) rys..4, lub nie - rys..5, w zależności od tego, czy kolejne cewki są uieszczone na ty say fragencie obwodu agnetycznego (np. na wybranej kolunie transforatora) czy też są przesunięte w przestrzeni jak to występuje w aszynach elektrycznych. e 3 3 ys..4. Struienie skojarzone wybranych cewek transforatora jednofazowego

10 3 e 3 ys..5. Struienie skojarzone wybranych cewek aszyny synchronicznej W typowych uzwojeniach (gdzie S =S, =,...) ożna zastosować uproszczoną zależność Te składowe siły elektrootorycznej występują zarówno oddzielnie jak i jednocześnie, zależnie od typu urządzenia. W transforatorze gdzie kształt pola jest wyuszony poprzez geoetrię rdzenia, ay do czynienia wyłącznie z SM transforacji. W przypadku aszyny synchronicznej pole wirnika jest wytworzone przez prąd stały, stąd indukowana w stojanie SM powstaje wyłącznie w wyniku ruchu wirnika względe stojana. ależy zwrócić tu uwagę, że struienie skojarzone i w konsekwencji SM w kolejnych cewkach pasa uzwojenia są przesunięte w czasie, ponieważ cewki te są przesunięte w przestrzeni... ndukcyjność własna i wzajena. Struień w kolunie transforatora o powierzchni S (rys..4) a praktycznie stałą gęstość w przestrzeni, czyli S 0 r H S (.8) Stosując prawo Apere a dla konturu l w chwili gdy sinusoidalny prąd w uzwojeniu wzbudzający pole (oznaczany dalej indekse ) osiąga aksiu ay 0 r S (.9) l reluktancja obwodu agnetycznego. Struienie skojarzone z obydwoa uzwojeniai wynoszą więc

11 (.30) indukcyjność własna uzwojenia (); indukcyjność wzajena uzwojenia () względe (). Siły elektrootoryczne indukowane w obydwu uzwojeniach wynoszą (.3) gdzie pulsacja sieci zasilającej. ależy zwrócić uwagę, że SM w uzwojeniu wtórny (tutaj G) została obliczona przy poocy prądu płynącego po stronie pierwotnej. Łącząc (.9) i (.0) Otrzyujey wzór na przekładnię zwojową (fazową) (.3) Koplet wyrażeń dla indukcyjności jest następujący (.33) W liniowych układach zasilanych napięcie sinusoidalny pojęcie siły elektrootorycznej odpowiada (w odbiornikowy systeie oznaczeń) spadkowi napięcia na reaktancji obwodu j e j e d t d d t d t j t j (.3)

12 .3. Poiar siły elektrootorycznej ozpatrzy poiar siły elektrootorycznej indukowanej po stronie wtórnej transforatora, którą tworzy zwarty zwój zawierający skupioną, dość dużą rezystancję. ezystancja przewodów jest poijalna. Uzwojenie pierwotne wytwarza w rdzeniu struień o aplitudzie. V u(t) i(t) V Fig..3. Poiar siły elektrootorycznej w transforatorze a. układ poiarowy b. scheat połączeń. a podstawie prawa Faraday a dla strony wtórnej ożna napisać d dl i( t) (.4) l apięcie woltoierza () oże być określone całkując po dwóch konturach: - zawierający rezystancję i nieskojarzony ze struienie (t); - zawierający praktycznie zerową rezystancję przewodów łączących ale skojarzony ze struienie (t) Otrzyay w pierwszy przypadku u ( t) i( t) 0 (.5a) a w drugi d u ( t) i( t) 0 (.5b) iezależnie które z równań (.5ab) będzie wykorzystane, wartość skuteczna wskazywana przez ten woltoierz jest równa U (.6)

13 Woltoierz () jest w odiennej sytuacji ożliwe są kontury: - zawierający rezystancję i skojarzony ze struienie (t); - zawierający praktycznie zerową rezystancję przewodów łączących i nieskojarzony ze struienie (t) W pierwszy przypadku otrzyay a w drugi d u ( t) i( t) (.7a) u ( t) i( t)0 0 (.7b) Ponownie obydwa równania (.7ab) dają ten sa wynik, lecz ty raze wartość skuteczna wskazywana przez woltoierz jest równa U 0 (.8) W zagadnieniach dotyczących napięć indukowanych ich wartość usi być wyznaczana na drodze całkowania uwzględniającej rzeczywisty kształt obwodu, a nie poprzez prostą różnicę potencjałów jak w zagadnieniach elektrostatycznych.