Matematyka ubezpieczeń maj atkowych i osobowych (MUMIO) Ryszard Szekli

Transkrypt

1 Matematyka ubezpieczeń maj atkowych i osobowych (MUMIO) Ryszard Szekli Skrypt do wykładu - Uniwersytet Wrocławski -213/214

2 2

3 Spis treści 1 Wprowadzenie 9 2 Rozkłady wielkości portfela Rozkład wielkości portfela w modelu prostym Rozkłady w modelu złożonym Własności ogólne Zmienne losowe liczące ilość szkód Złożony rozkład dwumianowy Złożony rozkład Poissona Złożony rozkład ujemny dwumianowy Wzory rekurencyjne Panjera Aproksymacje Aproksymacja rozkładem dwumianowym i Poissona Aproksymacja rozkładem normalnym Aproksymacja rozkładów złożonych rozkładem normalnym Aproksymacja Edgewortha rozkładów złożonych Aproksymacja przesuniȩtym rozkładem Gamma Aproksymacja niejednorodnego modelu prostego Poissonowskim modelem złożonym Składki Składka netto Składka z ustalonym poziomem bezpieczeństwa Składki oparte o funkcję użyteczności Reasekuracja, podział ryzyka Wycena kontraktu stop-loss Własności kontraktu stop-loss Wpływ inflacji na kontrakt stop-loss

4 4 SPIS TREŚCI 3.5 Reasekuracja w portfelu złożonym Stochastyczne porównywanie ryzyk Miary ryzyka Modelowanie zależności przez funkcje copula Modele bayesowskie Model portfela niejednorodnego Model liniowy Bühlmanna (Bayesian credibility) Składka wiarogodności: metoda wariancji Estymatory najwiȩkszej wiarogodności (NW) dla modeli bayesowskich Porównanie modeli bayesowskich Prawdopodobieństwo ruiny: czas dyskretny Proces ryzyka jako błądzenie losoweprawdopodobieństwo ruiny Współczynnik dopasowania Prawdopodobieństwo ruiny - lekkie ogony Prawdopodobieństwo ruiny - model autoregresyjny Reasekuracja a prawdopodobieństwo ruiny *Prawdopodobieństwo ruiny: czas ciągły Proces zgłoszeń - teoria odnowy Prawdopodobieństwo ruiny: proces zgłoszeń Poissona Prawdopodobieństwo ruiny dla rozkładów fazowych Prawdopodobieństwo ruiny dla rozkładów ciȩżkoogonowych Techniki statystyczne dla rozkładów ci agłych Dopasowanie rozkładu do danych Dystrybuanta empiryczna Wykres kwantylowy (Q-Q plot) Średnia funkcja nadwyżki Rozkład Pareto *Rozkłady typu Pareto Rozkłady z ciȩżkimi ogonami Klasy podwykładnicze Dodatek Funkcje specjalne Parametry i funkcje rozkładów Estymacja momentów Rozkłady dyskretne Rozkład dwumianowy Bin(n, p) Rozkład Poissona P oi(λ)

5 SPIS TREŚCI Rozkład ujemny dwumianowy Bin (r, p) Rozkłady ci agłe Rozkład normalny Rozkład odwrotny normalny IG(µ, σ 2 ) Rozkład logarytmiczno-normalny LN(µ, σ) Rozkład wykładniczy Exp(λ) Rozkład Gamma Gamma(α, β) Rozkład Weibulla W ei(r, c) Rozkład Pareto P ar(α, c) Literatura 182

6 6 SPIS TREŚCI

7 Wstȩp Skrypt jest przeznaczony dla studentów kierunku matematyka na Wydziale Matematyki i Informatyki UWr. Udział w kursie MUMIO wymaga wcześniejszego zaliczenia kursu rachunku prawdopodobieństwa A lub B. Dla wygody wiele używanych faktów znajduje się w Dodatku. Rozdziały oznaczone * wymagaj a znajomości bardziej zaawansowanych narzȩdzi rachunku prawdopodobieństwa spoza kursu rachunku prawdopodobieństwa A. Kursyw a podana jest terminologia angielska. Kurs zawiera matematyczne podstawy i klasyczne metody używane w zawodzie aktuariusza. Specjalistą w zakresie oszacowania ryzyka jest aktuariusz. Miejscem pracy aktuariusza mogą być wszystkie instytucje finansowe, w których zarządza się ryzykiem. W Polsce istnieje duże zapotrzebowanie na aktuariuszy, ze względu na ich małą liczbę. Aktuariusz to specjalista ubezpieczeniowy, który oszacowuje za pomocą metod matematyki aktuarialnej, wysokość składki, świadczeń, odszkodowań, rezerw ubezpieczeniowych. Aktuariusze w oparciu o dane historyczne, regulacje prawne i prognozy dokonują kalkulacji prawdopodobieństw zdarzeń losowych. Oszacowują również ryzyko powstania szkód majątkowych. Aktuariusz przypisuje finansową wartość przyszłym zdarzeniom. Korzenie zawodu aktuariusza sięgają przełomu XVII i XVIII w. i były powiązane przede wszystkim z rozwojem ubezpieczeń na życie, ale głównego znaczenia profesja ta nabrała dopiero w XIX w. Matematykę aktuarialną zapoczątkowały pod koniec XVII w. prace angielskiego astronoma E. Halleya dotyczące wymieralności w wybranej populacji, a w 1948 r. w Londynie powstał Instytut Aktuariuszy - pierwsza placówka naukowa prowadząca prace z zakresu matematyki aktuarialnej. W Polsce za początek zawodu aktuariusza można uznać rok 192, w którym działalność rozpoczął Polski Instytut Aktuariuszy. Środowisko aktuariuszy w 1991 r. powołało Polskie Stowarzyszenie Aktuariuszy. Zadaniem Stowarzyszenia jest wspieranie tej grupy zawodowej, a także uczestnictwo w pracach legislacyjnych w zakresie ubezpieczeń. Stowarzyszenie jest członkiem Międzynarodowego Stowarzyszenia Aktuariuszy. Sektor towarzystw ubezpieczeniowych, zarówno na życie jak i majątkowo-osobowych, nie może funkcjonować bez aktuariuszy, którzy w większości właśnie tam pracują. Zgodnie z 7

8 8 SPIS TREŚCI art. 159 ust. 1 ustawy z 22 maja 23 r. o działalności ubezpieczeniowej (Dz. U. Nr 124, poz. 1151) do zadań aktuariusza w Polsce należy: - ustalanie wartości rezerw techniczno-ubezpieczeniowych, - kontrolowanie aktywów stanowiących pokrycie rezerw techniczno-ubezpieczeniowych, - wyliczanie marginesu wypłacalności, - sporządzanie rocznego raportu o stanie portfela ubezpieczeń, - ustalanie wartości składników zaliczanych do środków własnych. Aktuariusze mogą pracować we wszystkich instytucjach finansowych zarządzających ryzykiem. Mogą pracować w firmach konsultingowych, udzielając porad w zakresie podejmowania decyzji finansowych. W szczególności pomagają zaprojektować programy emerytalne, a w trakcie ich działania wyceniają ich aktywa i zobowiązania. Aktuariusze mogą również oszacowywać koszt różnego rodzaju ryzyk w działalności przedsiębiorstw. Mogą pracować również w instytucjach państwowych związanych np. z systemem ubezpieczeń społecznych czy zdrowotnych. Ponadto aktuariusze mogą znaleźć zatrudnienie wszędzie tam, gdzie konieczne jest rozwiązywanie problemów finansowych i statystycznych - banki i firmy inwestycyjne, duże korporacje, związki zawodowe. Zgodnie z art. 161 ust. 1 ustawy o działalności ubezpieczeniowej, aktuariuszem może zostać osoba fizyczna, która: - ukończyła studia wyższe, - przez okres co najmniej 2 lat wykonywała czynności z zakresu matematyki ubezpieczeniowej, finansowej i statystyki, pod kierunkiem aktuariusza, - złożyła z pozytywnym wynikiem egzamin aktuarialny, - posiada pełną zdolność do czynności prawnych, - korzysta z pełni praw publicznych, - nie była prawomocnie skazana za umyślne przestępstwo przeciwko wiarygodności dokumentów, przestępstwo przeciwko mieniu lub za przestępstwo skarbowe. Jednym z powyższych wymogów dla uzyskania licencji aktuariusza jest zdanie egzaminu aktuarialnego. Zgodnie z rozporządzeniem Ministra Finansów z 2 listopada 23 r. w sprawie zakresu obowiązujących tematów egzaminów aktuarialnych oraz trybu przeprowadzania tych egzaminów (Dz. U. Nr 211, poz. 254) zakres tego egzaminu obejmuje cztery działy: - matematykę finansową, - matematykę ubezpieczeń na życie, - matematykę pozostałych ubezpieczeń osobowych i majątkowych, - prawdopodobieństwo i statystykę. Egzaminy są organizowane co najmniej 2 razy w roku kalendarzowym. Każda część egzaminu składa się z 1 pytań. Każde pytanie oceniane jest według następującej skali:

9 SPIS TREŚCI 9 - dobra odpowiedź: 3 punkty, - błędna odpowiedź: -2 punkty, - brak odpowiedzi: punktów. Egzamin uważa się za zaliczony po uzyskaniu 13 punktów z jednej części. Zaliczenie wszystkich działów nie może trwać dłużej niż 2 lata. Aktuariuszem najczęściej mogą zostać osoby w wykształceniem matematycznym lub ekonomicznym. Jednym z głównych zadań w działalności firm ubezpieczeniowych jest dbałość o wypłacalność. Na firmy ubezpieczeniowe nałożone jest wiele wymogów zapewniających bezpieczeństwo działalności ubezpieczeniowej. Działalność ubezpieczeniowa ze względu na swoje społeczne i gospodarcze znaczenie została poddana nadzorowi wyspecjalizowanego organu administracji państwowej. Wypłacalność to zdolność firmy do spłaty zobowiązań w terminie. Jest podstawowym kryterium oceny kondycji finansowej zakładu ubezpieczeń. Jeden z podstawowych wymogów działalności ubezpieczeniowej dotyczy marginesu wypłacalności. Margines wypłacalności jest to określona przepisami prawa wielkość środków własnych zakładu ubezpieczeń, która ma na celu zapewnienie wypłacalności i nie może być niższa od minimalnej wysokości kapitału gwarancyjnego. Wymogi dotyczące marginesu wypłacalności dla zakładów ubezpieczeń zostały wprowadzone w 1973 roku. Wraz z rozwojem rynku ubezpieczeniowego, pojawieniem się nowych produktów oraz ryzyk istniejące wymogi przestały w pełni odzwierciedlać wszystkie ryzyka, na które były narażone firmy ubezpieczeniowe. Dotyczyło to głównie ryzyk finansowych np. ryzyka zmiany stóp procentowych. Pomimo spełniania istniejących wymogów wypłacalności przez firmy ubezpieczeniowe, kondycja finansowa tych firm pogarszała się. Obowiązujące wymogi wypłacalności nie spełniały już oczekiwań związanych z zapewnieniem bezpieczeństwa działalności ubezpieczeniowej. Nie bez znaczenia był również fakt coraz większego skupienia działalności ubezpieczeniowej wokół międzynarodowych grup kapitałowych. Pierwszym krokiem w kierunku poprawienia systemu badania wypłacalności było wprowadzenie Solvency I. W prawie polskim Solvency I zwiększyło wysokość minimalnego kapitału gwarancyjnego dla spółek akcyjnych z grupy I (ubezpieczenia na życie) z 8 tys. euro do 3 mln euro, dla działu II (ubezpieczenia majątkowe) grup 1-9 oraz z 3 tys. euro i 2 tys. euro do 2 mln euro. Wprowadzono również coroczną indeksację minimalnego kapitału gwarancyjnego. Zmieniająca się rzeczywistość finansowa i gospodarcza wymusiła debatę nad zmianami w nowym systemie wypłacalności zakładów ubezpieczeń. Wykonano szereg analiz ryzyk działalności ubezpieczeniowej, analiz bankructw, analiz istniejących modeli wypłacalności wdrożonych w innych krajach. Wynikiem tych działań miało być powstanie nowego systemu badania wypłacalności Solvency II. Został on zapoczątkowany w 21 roku przez Komisje Europejską w ramach Komitetu Europejskiego. U podstaw dyskusji nad koniecznością wprowadzenia Solvency II leży szereg niedoskonałości w istniejących regulacjach dotyczących wypłacalności. Spośród nich należy tu chociażby wymienić metody bazujące na składce, które nie uwzględniają istotnych ryzyk; brak

10 1 SPIS TREŚCI uwzględnienia kompletnych form transferu ryzyka, brak uwzględnienia zależności pomiędzy aktywami i pasywami oraz zakresem prowadzonej działalności. Nowo powstający system Solvency II ma być uniwersalny i ma objąć wszystkie firmy ubezpieczeniowe prowadzące działalność na terenie UE. Jest on wzorowany na Bazylei II, która określa zasady wypłacalności dla banków. Nowy system oceny wypłacalności zgodny z Solvency II ma być dopasowany do rzeczywistych ryzyk, na jakie narażony jest zakład ubezpieczeń. W przypadku instytucji ubezpieczeniowej potencjalne ryzyka są specyficzne dla typów zawieranych umów ubezpieczenia w zakresie ubezpieczeń na życie lub ubezpieczeń majątkowych. Umiejętność skutecznej identyfikacji, oceny i monitorowania ryzyk może uchronić przed znacznymi stratami. Kluczową rolę odgrywają tu przyjęte metodologie zarządzania ryzykiem, służące eliminacji ich negatywnego wpływu na wyniki finansowe. Ryzyka, na które jest narażony zakład ubezpieczeń można podzielić na ryzyka aktuarialne związane z przyszłymi wynikami technicznymi zależnymi od czynników losowych częstości, intensywności szkód, kosztów operacyjnych, zmian w składzie portfela wypowiedzeń bądź konwersji umów ubezpieczenia oraz ryzyka finansowe ryzyka, na które jest narażona każda instytucja finansowa, (np. bank), do tej grupy zaliczają się ryzyka takie jak: ryzyko zmian stopy procentowej, ryzyko kredytowe, ryzyko rynkowe, ryzyko walutowe. Większa uwaga nadzoru ubezpieczeniowego ma skupić się na kontroli sposobów zarządzania ryzykiem przez firmy ubezpieczeniowe, jak również na poprawności przyjętych w tym zakresie założeń. Idea Solvency II polega na ściślejszym uzależnieniu wysokości kapitału od wielkości ryzyka podejmowanego przed firmy ubezpieczeniowe. Ujednoliceniu mają być poddane sposoby raportowania firm ubezpieczeniowych w różnych krajach. Solvency II ma mieć o wiele większy zakres od Solvency I, ma uwzględnić, bowiem wpływ nowych tendencji z zakresu metodologii zarządzania ryzykiem w ubezpieczeniach, szeroko pojętej inżynierii finansowej oraz standardów sprawozdawczości zgodnych z wymogami IASB (International Accounting Standard Board). Pierwszorzędnymi zamierzeniami projektu jest znalezienie wymogu marginesu wypłacalności oraz osiągnięcie większej synchronizacji w ustalaniu poziomu rezerw technicznych. Dużą rolę techniczną w ramach Solvency II odgrywają miary ryzyka takie jak VaR, TVaR, CVaR itp. oraz kopuły (copulas), które będą omówione w obecnym skrypcie.

11 Rozdział 1 Wprowadzenie Zawód aktuariusza jest jednym z najstarszych w świecie finansów. Historia tego zawodu rozpoczyna sie w połowie dziewietnastego wieku wraz z ubezpieczeniami na życie i aż do lat sześćdziesiatych dwudziestego wieku matematyczne metody aktuariusza zwiazane były z wycena kontraktów ubezpieczeniowych, tworzeniem tablic przeżycia na podstawie danych statystycznych oraz z wyliczniem rezerw pienieżnych firmy. W latach sześćdziesiatych rozpoczeto stosowanie matematycznych metod do stworzenia teorii ryzyka na użytek ubezpieczeń majatkowych i osobowych. Punktem wyjścia był standardowy złożony proces Poissona, którego pomysł pochodzi od Filipa Lundberga z 193 roku, a który matematycznie został opracowany przez Haralda Cramera w latach trzydziestych. Do lat dziewiećdziesi atych był on rozwijany na różne sposoby. Proces Poissona został zastapiony przez proces odnowy oraz przez proces Coxa, nastepnie użyto procesów Markowa kawałkami deterministycznych, wreszcie wprowadzono losowe otoczenie pozwalajace na modelowanie losowych zmian w intensywności zgłoszeń szkód i wielkości szkód. Pojawia sie wiele ksiażek z teorii ryzyka, na prykład Bowers et al., Buhlman, Daykin, Pentakainen i Pesonen, Embrechts, Kluppelberg i Mikosch, Gerber, Panjer i Willmot, Rolski et al., Assmussen. Jednym z najbardziej matematycznie interesujacych zagadnień w teorii ryzyka jest zagadnienie ruiny, gdzie czasy pierwszego przekroczenia wysokiego poziomu rezerwy kapitałowej sa w centrum uwagi. Stare i nowe rezultaty na tym polu moga być wytłumaczone przez teorie martyngałów i użyte do pokazania nierówności Lundberga dla bardzo ogólnych modeli dowodzac, iż dla małych szkód prawdopodobieństwo ruiny daży do zera wykładniczo szybko wraz z rezerwa poczatkow a. Specjalna teoria pojawia sie dla szkód potencjalnie dużych. Warunkowe twierdzenia graniczne pozwalaja zrozumieć trajektorie prowadzace do ruiny. Interesujacy rozkwit metod matematycznych w latach dziewiećdziesi atych dokonał sie głównie z dwóch przyczyn: wzrostu szkód zwiazanych z katastrofami oraz z gwałtownego rozwoju rynków finansowych. Wielkie katastrofy i szkody lat siedemdziesiatych i osiemdziesiatych spowodowały przekroczenia rezerw na rynku ubezpieczeń pierwotnych i wtórnych. Szybko rosnacy rynek finansowy w tym czasie poszukiwał nowych możliwości inwestycyjnych również w zakresie przyjmowania zakładów w zakresie naturalnych katastrof takich jak trzesienia ziemi i huragany. Czestość wystepowania i rozmiary wielkich szkód stworzyły potrzebe wprowadzenia 11

12 12 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE wyszukanych modeli statystycznych do badania procesu szkód. Teoria wartości ekstremalnych dostarcza niezbednych matematycznych narzedzi do wprowadzenia nowych metod. Pojawiaja sie ksiażki w zakresie teorii wartości ekstremalnych w kontekście problematyki ubezpieczeniowej, na przykład Embrechts et al., Reiss and Thomas. W latach osiemdziesiatych banki inwestycyjne dostrzegaja, iż zabezpieczanie sie przed ryzykiem finansowym nie jest wystarczajace ze wzgledu na dodatkowe ryzyka rynkowe. Tak zwany traktat z Bazylei z roku 1988 z poprawkami z lat , wprowadza tradycyjne metody ubezpieczeniowe budowania rezerw do sfery ryzyka bankowego. Rezerwy musza być tworzone na pokrycie tzw. earning at risk, to znaczy różnicy miedzy wartościa średnia a kwantylem jednoprocentowym rozkładu zysku/straty (profit/loss). Wyznaczenie tak małego kwantyla wymaga bardzo specjalnych metod statystycznych. Metody aktuarialne stosowane sa również do modelowania ryzyka kredytowego. Portfele kredytowe sa porównywalne z portfelami ryzyk ubezpieczeniowych. Przyszły rozwój metod ubezpieczeniowych zwiazany jest z powstawaniem złożonych rynków ubezpieczeniowych, firmy ubezpieczeniowe oczekuja elastycznych rozwiazań zapewniajacych pomoc w całościowym podejściu do zarzadzania ryzykiem. Całkiem naturalnie na tym tle wprowadzane sa metody pochodzace z teorii stochastycznej optymalizacji. Wiele zmiennych kontrolnych takich jak wielkość reasekuracji, dywidendy, inwestycje sa badane łacznie w sposób dynamiczny prowadzac do równań Hamiltona- Jakobiego-Bellmana, rozwiazywanych numerycznie. Po tym krótkim nakreśleniu historii rozwoju metod matematycznych w ubezpieczeniach wracamy do podstawowego modelu. Pomyślmy o konkretnej sytuacji. Przegl adaj ac wszystkie polisy ubezpieczeniowe, zakupione w jednej firmie ubezpieczeniowej, które ubezpieczaj a skutki pożaru mieszkań w pewnej dzielnicy dużego miasta, najprawdopodobniej natkniemy siȩ na porównywaln a wartość ubezpieczanych dóbr oraz możemy przyj ać, iż szanse na pożar w poszczególnych budynkach s a podobne. Taki zbiór polis tworzy jednorodny portfel ubezpieczeniowy. Wiȩkszość firm ubezpieczeniowych używa tego rodzaju portfeli jako podstawowych cegiełek swej działalności. Cegiełki takie, odpowiednio ułożone, tworz a wiȩksze bloki działalności takie jak ubezpieczenia od ognia, ubezpieczenia ruchu drogowego, ubezpieczenia przed kradzieżami, ubezpieczenia maj atkowe itd. Blok ubezpieczeń od ognia zawiera wtedy wiele portfeli różni acych siȩ rodzajami ryzyka, na przykład dla: wolno stoj acych domów, domów szeregowych, budynków wielomieszkaniowych, sklepów, marketów itd., które wymagaj a osobnego określenia ryzyka ubezpieczeniowego dla każdego rodzaju i wyliczenia innej składki ubezpieczeniowej, choćby z tego tylko powodu, iż rozmiar szkody w poszczególnych portfelach może być nieporównywalny. W dalszym ci agu skupiać bȩdziemy nasz a uwagȩ na analizie pojedynczych portfeli, które składać siȩ bȩd a z wielu elementów natury losowej lub deterministycznej. Podstawowym parametrem portfela jest czasokres w którym ubezpieczone ryzyka mog a generować szkody. Zwykle dane odnosz ace siȩ do danego portfela obejmuj a okres jedengo roku. Kluczowym parametrem jest rezerwa pocz atkowa (kapitał pocz atkowy), wyznaczany na pocz atku czasokresu w celu pokrycia kosztów wynikaj acych ze zgłoszonych szkód w portfelu. Same zgłoszenia wyznaczone s a przez chwile zgłoszeń T 1 < T 2 < T 3 <..., przy czym wygodnie jest przyj ać iż T = < T 1. Liczbȩ zgłoszeń do chwili t > definiujemy przez N(t) = max{n : T n t}.

13 13 Każde zgłoszenie zwi azane jest z wielkości a zgłaszanej szkody oznaczanej przez X n, dla n tego zgłoszenia. Przy tych oznaczeniach całkowita wartość szkód zgłoszonych do chwili t równa siȩ S(t) = N(t) X i. (Przyjmujemy S(t) =, gdy N(t) = ). Oznaczmy przez H(t) wartość składek zebranych w portfelu do chwili t. Zwykle przyjmujemy, że H(t) = ct, dla pewnej stałej wartości c >. Wtedy rezerwa kapitału w portfelu, przy założeniu, że kapitał pocz atkowy wynosi u, wyraża siȩ wzorem R(t) = u + H(t) S(t). Zakładaj ac, że momenty zgłoszeń oraz wielkości szkód s a zmiennymi losowymi, możemy interpretować kolekcjȩ zmiennych (R(t), t > ) jako proces stochastyczny. (Jest to tak zwany proces ryzyka). Badanie procesu ryzyka jest centralnym zagadnieniem tak zwanej teorii ryzyka, która z kolei stanowi niew atpliwie j adro matematyki ubezpieczeniowej poświȩconej ubezpieczeniom majatkowym i osobowym. Nakreślimy teraz bliżej zestawy założeń przyjmowanych o zmiennych losowych tego modelu, które umożliwiaj a dokładniejsz a analizȩ portfeli. Rozpoczniemy od podania detali dotycz acych ci agu zgłoszeń. O zmiennych losowych T 1, T 2,...można przyj ać wiele różnych założeń. W pewnych szczególnych przypadkach użytecznym i odpowiednim założeniem jest to, iż ci ag ten tworzy proces odnowy, tzn. ci ag zmiennych losowych odstȩpów miȩdzy zgłoszeniami W i = T i T i 1, i = 1, 2,..., jest ci agiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach. Taki proces zgłoszeń jest elementem składowym modelu Sparre Andersena, który bȩdzie opisany detalicznie później. Klasycznym przykładem procesu odnowy jest proces Poissona, w którym odstȩpy miȩdzy zgłoszeniami maj a rozkład wykładniczy. Ponieważ rozkład wykładniczy jako jedyny ma własność braku pamiȩci, proces Poissona ma wiele strukturalnych własności odróżniaj acych go od innych procesów. (Własność braku pamiȩci rozkładu wykładniczego jest zdefiniowana przez równość P (W > x + y W > y) = P (W > x), dla x, y > lub równoważnie P (W > x + y) = P (W > x)p (W > y)). Na przykład, dla procesu Poissona P (N(t) = k) = e λt (λt) k k!, k =, 1,..., gdzie < λ = (EW ) 1, przy tym, EN(t) = λt = V arn(t). Ponadto liczby zgłoszeń w rozł acznych przedziałach czasowych w procesie Poissona tworz a kolekcjȩ niezależnych zmiennych losowych. W praktyce aktuarialnej zauważono już dawno, iż stosunek wartości oczekiwanej do wariancji w procesach zgłoszeń (N(t), t > ) bardzo czȩsto nie jest równy jeden (tak jest w procesie Poissona). Można to wytłumaczyć tym, że indywidualne szkody w portfelu s a zgłaszane zgodnie z procesem Poissona o pewnej wartości średniej, lecz wartość średnia ilości indywidualnych zgłoszeń może być różna dla każdej z polis w portfelu. Takie założenie prowadzi do procesu zgłoszeń dla którego P (N(t) = k) = e λt (λt) k k! df (λ), gdzie F jest pewn a dystrybuant a określaj ac a rozkład parametru λ w zbiorze możliwych wartości w danym portfelu (zakładamy zawsze, że λ > ). Wygodnie jest przyj ać, że istnieje zmienna losowa Λ określajaca losow a wartość parametru λ, spełniaj aca P (Λ λ) = F (λ). Zakładamy przy tym, że Λ jest zmienn a losow a niezależn a od indywidualnych procesów Poissona. Proces (N(t), t > ) spełniaj acy te założenia jest tak zwanym mieszanym Procesem Poissona. Szczególny przypadek, gdy Λ ma rozkład gamma, odpowiada tak zwanemu procesowi Polya. Inna użyteczna klasa procesów zgłoszeń jest wyznaczona zwi azkiem rekurencyjnym postaci

14 14 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE P (N(t) = k) = (a + b k )P (N(t) = k 1),dla k = 1, 2,... oraz pewnych stałych a, b (być może zależnych jedynie od t). Rozkład geometryczny, dwumianowy i Poissona znajduj a siȩ w tej klasie, przy odpowiedniej specyfikacji stałych a, b. Dla takich procesów Panjer pokazał użyteczn a rekurencjȩ pozwalaj ac a wyznaczyć rozkład całkowitej wartości szkód w portfelu. Wspomniana wcześniej własność procesu Poissona, iż liczby zgłoszeń w rozł acznych przedziałach czasowych tworz a kolekcjȩ niezależnych zmiennych losowych stanowi punkt wyjścia do teorii procesów o niezależnych przyrostach. Procesy zgłoszeń posiadaj ace tȩ własność s a procesami, dla których P (N(t) = k) = i= e λt (λt) i, gdzie p i oznacza i! p i k i krotny splot funkcji prawdopodobieństwa (p k, k =, 1,...). Oznacza to, że liczbȩ zgłoszeń można zapisać w postaci N(t) = K(t) Y i, gdzie (K(t), t > ) jest Procesem Poissona niezależnym od ci agu zmiennych (Y i, i = 1, 2,...), które s a z kolei wzajemnie niezależne o jednakowym rozkładzie (p k, k =, 1,...) Takie procesy s a złożonymi procesami Poissona. Podstawowym założeniem o wielkościach zgłaszanych szkód w portfelu jest to, iż tworz a one ci ag X 1, X 2,... niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach. W zasadzie każda dystrybuanta skoncentrowana na [, ) może być użyta do określenia rozkładu wielkości szkód, jednakże czȩsto odróżnia siȩ dystrubuanty o lekkich i cieżkich ogonach. Dystrybuanty o lekkich ogonach s a asymptotycznie równoważne rozkładowi wykładniczemu. Dystrybuanty o ciȩzkich ogonach służ a do modelowania szkód, które mog a osi agać wartości relatywnie bardzo duże z istotnymi prawdopodobieństwami (tak jak siȩ zdarza w przypadku portfeli ubezpieczeń od pożarów). Typowym rozkładem ciȩżkoogonowym używanym w praktyce jest rozkład Pareto. Łatwo wyobrazić sobie sytuacje, w których proces zgłoszeń (N(t), t > ) i ci ag wielkości zgłaszanych szkód (X n, n = 1, 2,...) s a zależne, jak na przykład w przypadku szkód wynikaj acych z wypadków drogowych, kiedy to intensywność zgłoszeń jak również rozmiar szkód zależ a od warunków drogowych zwi azanych z por a roku. Obliczenie rozkładu całkowitej wartości szkód jest w tym przypadku możliwe jedynie w bardzo specjalnych przypadkach. Dlatego przyjmuje siȩ bardzo często, że (N(t), t > ) oraz (X n, n = 1, 2,...) s a niezależne. Nawet przy tym założeniu wyliczenie rozkładu S(t) nie jest łatwym zadaniem. Podstawowym wzorem w tym przypadku jest P (S(t) x) = i= P (N(t) = i)fx i(x), gdzie F X (x) = P (X 1 x). Jak widzimy potrzebne s a sploty FX i, dla których proste wzory s a znane jedynie w nielicznych przypadkach. Z tego powodu musimy zdać siȩ czȩsto na aproksymacje. W przypadku, gdy liczba zgłoszeń jest duża a rozkłady maj a skończone wariancje można bȩdzie zastosować Centralne Twierdzenie Graniczne (CTG) i wtedy x ES(t) P (S(t) x) Φ( ). Aproksymacja tego rodzaju jest bardzo niedokładna, gdy (V ars(t)) 1/2 tylko niewielka ilość szkód wyznacza wartość całego portfela (tak jak w przypadku szkód o ciȩżkich ogonach). Wyznaczenie dobrych aproksymacji w takich przypadkach jest bardzo trudne. Użyliśmy oznaczenia H(t) dla oznaczenia wielkości składek zebranych w portfelu do chwili t. Zwykle składki pobierane s a raz do roku od indywidualnych posiadaczy polis, jednakże wygodniej jest założyc, iż napływ składek odbywa siȩ jednorodnie w ciagu całego roku. Wy- k

15 15 znaczenie wielkości H(t) jest jedn a z niewielu rzeczy na jakie może wpłyn ać ubezpieczaj acy i musi być dokonane w taki sposób, aby pokryć zobowi azania w portfelu wynikaj ace ze zgłaszanych szkód. Z drugiej strony zawyżanie wysokości składek jest ograniczane konkurencj a na rynku ubezpieczeń. Najbardziej popularn a form a składki jest H(t) = (1 + θ)en(t)ex, dla pewnej stałej θ odzwierciedlajacej narzut gwarantuj acy bezpieczeństwo działania (safety loading). Taki sposób naliczania składki nie odzwieciedla losowej zmienności portfela, dlatego alternatywnie używa siȩ wzorów uwzglȩdniaj acych wariancje składowych zmiennych losowych. Jeszcze innym aspektem w trakcie naliczania składek jest fakt, że nie wszyscy indywidualni posiadacze polis w danym portfelu powinni płacić składki w tej samej wysokości oraz składki powinny zależeć od historii indywidualnej polisy. Rezerwa kapitału R(t) = u + H(t) S(t) przybiera szczególnie prost a postać, gdy przyjmiemy iż parametr czasu przebiega zbiór liczb naturalnych. Oznaczaj ac wtedy przez H n składki zebrane w n jednostkach czasu oraz przez S n sumaryczne szkody zgłoszone w n jednostkach czasu otrzymujemy rezerwȩ w n tej chwili R n = u + H n S n (przyjmujemy S =, H = ). Przy dodatkowym założeniu, że przyrosty H n H n 1 oraz S n S n 1 s a wzajemnie niezależne dla n = 2, 3,..., otrzymujemy ci ag (R n, n =, 1, 2,...) zwany bł adzeniem losowym (random walk). Ogólnie trajektorie przebiegu w czasie wartości R(t) obrazuj a zachowanie siȩ losowego procesu, w którym trend dodatni reprezentuje H(t),a trend ujemny S(t). Przedmiotem intensywnych badań teoretycznych jest tak zwane prawdopodobieństwo ruiny w procesie (R(t), t > ). Jesli przez τ = inf{t > : R(t) < } oznaczymy pierwsz a chwilȩ, gdy rezerwa przyjmie wartość ujemn a (tak zwana chwila ruiny), to prawdopodobieństwem ruiny jest ψ(u) = P (τ < ). W przypadku, gdy wielkości szkód maj a rozkład lekkoogonowy, można podać aproksymacje i ograniczenia na ψ(u) (bȩd a to wzory oparte o funkcjȩ wykładnicz a). W przypadku ciȩżkich ogonów aproksymacje istniej a dla tak zwanych rozkładów podwykładniczych (subexponential). Ostatnim zagadnieniem omówionym w tym wprowadzeniu bȩdzie reasekuracja. Reasekuracja jest podstawow a aktywności a ubezpieczycieli. Firmy ubezpieczeniowe podpisuj a kontrakty reasekuracyjne w celu zmniejszenia szansy na odpowiedzialność za szkody tak duże, że mogłyby zagrozić wypłacalności firmy. Taka sytuacja może nast apić na przykład w sytuacji, gdy zgłoszone zostan a szkody o nadzwyczaj dużej wielkości lub gdy ilość zgłoszeń skumuluje siȩ tworz ac nadzwyczaj duże skupiska lub gdy nastapi a nadzwyczajne zmiany w trakcie zbierania składek (niespodziewana inflacja, nagły wzrost kosztów działania itp.). Reasekuracja zwiȩksza możliwości firmy ubezpieczeniowej i jej elastyczność pozwalaj ac na oferowanie szerszego zakresu usług ubezpieczeniowych. Wiȩkszość ze stosowanych kontraktów reasekuracyjnych mieści siȩ w nastȩpuj acym zbiorze możliwości. Niech Z(t) = S(t) D(t) oznacza czȩść szkód podlegaj acych reasekuracji, gdzie D(t) oznacza wielkość własnej odpowiedzialności firmy (deductible). Oczywiście, firma ubezpieczeniowa za przekazanie odpowiedzialności za Z(t) musi czȩść zebranych składek przekazać firmie reasekuracyjnej. Ta z kolei może post apić podobnie rozpoczynaj ac cały łańcuch reasekuracyjny. Reasekuracja proporcjonalna odpowiada sytuacji, gdy Z(t) = as(t), dla pewnej stałej a (, 1). Reasekuracja excess-loss wynika z zasady Z(t) = N(t) (X i d) +, gdzie d jest dodatnim poziomem retencji oraz x + = max(, x). Oznacza to, iż do reasekuracji przekazywane s a sumaryczne nadwyżki indywidualnych szkód ponad poziom retencji d.

16 16 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE Taki kontrakt, przy dużej ilości zgłoszeń prowadzi do dużych kosztów administracyjnych. Reasekuracja stop-loss wyznaczona jest przez Z(t) = (S(t) D) +, dla poziomu retencji D wyznaczonego dla całego portfela. Taka reasekuracja zabezpiecza przed nadzwyczaj duż a ilości a niewielkich szkód. Istniej a liczne inne sposby reasekuracji oraz ich kombinacje, jednakże ze wzgladu na ich złożoność nie s a powszechnie akceptowane.

17 Rozdział 2 Rozkłady wielkości portfela Portfelem nazywamy zbiór ryzyk X = {X 1,..., X N } określonego typu, które są zmiennymi losowymi. Podstawow a wielkości a zwi azan a z portfelem jest wielkość portfela, czyli suma zmiennych losowych składaj acych siȩ na portfel S N = X X N. Mówimy o modelu prostym, gdy N jest ustaloną liczbą. Gdy S = X X N, gdzie N jest zmienn a losow a całkowitoliczbow a, to mówimy o modelu złożonym. Podstawowym założeniem jest to, że zmienne losowe (X i ) 1 i N s a niezależne oraz N jest niezależne od (X i ) i Rozkład wielkości portfela w modelu prostym Dla prostoty przyjmijmy najpierw N = 2 oraz X 1 = X, X 2 = Y, wtedy S := S 2 = X + Y gdzie X, Y s a niezależnymi indywidualnymi szkodami. Przyjmijmy na chwilȩ założenie, że X, Y przyjmuj a jedynie wartości ze zbioru liczb naturalnych N = {, 1,...} z prawdopodobieństwami P (X = i) = f X (i), P (Y = i) = f Y (i), i N. Przyjmujemy f X (s) = f Y (s) = dla s / N. Stosuj ac wzór na prawdopodobieństwo całkowite, dla s R otrzymujemy F S (s) = P (S s) = P (X + Y s Y = i)p (Y = i) = P (X s i Y = i)p (Y = i). i= Korzystaj ac z niezależności X i Y otrzymujemy F S (s) = F X (s i)f Y (i) (2.1.1) i= oraz f S (s) = f X (s i)f Y (i). (2.1.2) 17

18 18 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Zauważmy, że wartości f S (s) mogą być dodatnie jedynie dla s N, dla s spoza zbioru N są równe. Tak samo możemy argumentować w celu otrzymania wzorów w przypadku, gdy zmienne losowe przyjmują wartości w dowolnym przeliczalnym zbiorze kratowym {d i : i Z}, gdzie d > (zmienne losowe o rozkładach kratowych). Ustawiając dopuszczalne wartości zmiennych w ciąg, załóżmy, że X, Y przyjmują przeliczaln a ilość wartości y 1, y 2,..., ze zbioru {d i : i Z} z dodatnimi prawdopodobieństwami f X (y i ) i f Y (y i ), odpowiednio. Otrzymujemy wtedy dla s R oraz F S (s) = F X (s y i )f Y (y i ) (2.1.3) f S (s) = f X (s y i )f Y (y i ). (2.1.4) Mówimy, że dystrybuanta F S jest splotem F X i F Y i oznaczamy F S (s) = F X F Y (s). Podobnie dla funkcji prawdopodobieństwa oznaczamy f S (s) = f X f Y (s) jeśli zachodzi (2.1.4). Wygodnie jest wprowadzić oznaczenia na potęgi splotowe. fx 2 = f X f X oraz fx n = f (n 1) X f X, dla n 1. Dla n =, fx (s) = I {}(s), FX (s) = I [, )(s). Dla zmiennych X, Y typu absolutnie ci agłego, czyli dla dystrybuant postaci F X (s) = s f X(x)dx, F Y (s) = s f Y (x)dx, dla s R można zastosować analogiczne rozumowanie używając ogólnych prawdopodobieństw warunkowych. Można też zastosować inne metody. Metoda I. Przejście graniczne. Niech dla n 1, Y (n) będzie zmienną losową przyjmującą wartości w zbiorze { 1 2 i : i Z}, zdefiniowaną przez Y (n) = n i Z i 2 I n { i 2 n Y < i+1 2 n }. Funkcja prawdopodobieństwa tej zmiennej jest określona przez P (Y (n) = i 2 ) = F n Y ( i+1 2 ) F n Y ( i 2 ). n Stosując (2.1.3) otrzymujemy F X+Y (n)(s) = i Z = = F X (s i 2 n )f Y (n)( i 2 n ) i Z i Z F X (s i 2 n )(F Y ( i n ) F Y ( i 2 n )) F X (s i 2 n )f Y (ξ i,n ) 1 2 n, dla pewnych ξ i,n [ i 2, i+1 n 2 ) wybranych na podstawie twierdzenia o wartości średniej. Przechodząc w ostatniej równości z n, z lewej strony mamy F X+Y (n)(s) n F X+Y (s), n bo zbieżność zmiennych losowych (prawie wszędzie) pociąga zbieżność dystrybuant (tutaj dystrybuanta graniczna jest ciągła). Z prawej strony ostatniej równości mamy sumę aproksymacyjną całki Riemanna, więc otrzymujemy w granicy

19 2.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 19 F S (s) = oraz różniczkując f S (s) = F X (s y)f Y (y)dy = F X F Y (s) (2.1.5) f X (s y)f Y (y)dy = f X f Y (s). (2.1.6) Metoda II. Wartość oczekiwana. Dla pary zmiennych losowych X, Y o rozkładach absolutnie ciągłych możemy użyć następującego lematu (który natychmiast można uogólnić na większą liczbę zmiennych). Lemat Niech X, Y będą zmiennymi losowymi o łącznej dystrybuancie wtedy F (X,Y ) (x, y) = P (X x, Y y) = E(ψ(X, Y )) = gdzie ψ : R 2 R jest dowolną mierzalną funkcją. x y f (X,Y ) (x, y)dydx, ψ(x, y)f (X,Y ) (x, y)dydx, Dowód. Dla ψ(x, y) = I (,x] (,y] (x, y), teza wynika natychmiast z równości E(I (,x] (,y] (X, Y )) = P (X x, Y y) i z założenia lematu. Ponieważ dowolna funkcja ψ może być przybliżona kombinacjami liniowymi indykatorów takiej postaci, teza jest natychmiastowa. Przyjmując teraz ψ(x, y) = I {x+y s} (x, y) otrzymujemy z powyższego lematu P (X + Y s) = = I {x+y s} (x, y)f (X,Y ) (x, y)dydx I {x+y s} (x, y)f X (x)f Y (y)dxdy, gdzie ostatnia równość wynika z niezależności zmiennych X, Y. Ponieważ I {x+y s} (x, y) = I {x s y} (x) otrzymujemy (2.1.5). Przykład Niech X ma gȩstość f X (x) = 1 2 I (,2)(x) oraz niezależnie, Y ma gȩstość f Y (x) = 1 3 I (,3)(x). Wtedy ze wzoru (2.1.5) 1 dla s 5 1 (5 s)2 12 dla 3 s < 5 F S (s) = s 1 3 dla 2 s < 3. s 2 12 dla s < 2 dla s <

20 2 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Rzeczywiście, mamy dla < x < 2, F X (x) = x f X(u)du =.5 x du =.5x, a st ad dla x F X (x) =.5x dla < x < 2. 1 dla x 2 Dla s < 2 dostajemy F S (s) = s 1 2 (s y)1 3 dy = 1 12 s2. Dla 2 s < 3 mamy: jeżeli s y > 2 (czyli < y < s 2), to F X (s y) = 1. Jeżeli < s y < 2 (czyli s 2 < y < s), to F X (s y) = 1 2 (s y), st ad F S (s) = = 1 3 s 2 s 2 = s s 3 I (,3)(y)dy + dy + s s 2 Dla 3 s < 5, podobnie jak wyżej, F S (s) = = = s 2 s 2 s 2 = 1 s (s y)1 3 dy 1 2 (s y)1 3 I (,3)(y)dy I (,3)(y)dy dy + 1 (s y) 2 3 I (,3) (s 2,s)(y)dy dy (s y) s dy (5 s)2. 12 I (s 2,s) (y) 1 1 (s y) 2 3 I (,3)(y)dy Ten sam wynik otrzymamy licząc wielkości odpowiednich pól na rysunku przedstawiającym łączną gęstość (tak jak na wykładzie). Niech X będzie zmienną o rozkładzie mieszanym, tzn. F X (s) = αfx d (s)+(1 α)f X c (s), dla pewnego α (, 1), gdzie FX d jest częścią dyskretną dystrybuanty F X, a FX c jest częścią absolutnie ciagłą dystrybuanty F X. Niech Y będzie zmienną o rozkładzie mieszanym, tzn. F Y (s) = βfy d (s) + (1 β)f Y c (s), dla pewnego β (, 1), gdzie F Y d (s) = i P (Y = y i )I [yi, )(s) jest częścią dyskretną dystrybuanty F Y, a FY c (s) = s f Y c (y)dy jest częścią absolutnie ciagłą dystrybuanty F Y. Wygodnie jest wprowadzić ogólne oznaczenie na splot dystrybuant następująco, F X F Y (s) = F X (s y)df Y (y),

21 2.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 21 gdzie h(y)df Y (y) = β i h(y i)p (Y = y i )/β + (1 β) h(y)f Y c (y)dy, dla dowolnej funkcji całkowalnej h(s). Możemy więc bezpośrednio określić F S (s) = F X F Y (s) = i F X (s y i )P (Y = y i ) + (1 β) F X (s y)fy c (y)dy, gdzie β = i P (Y = y i). Przykład Niech X ma rozkład z atomami P (X = ) =.2, P (X = 1) =.7 i gȩstości a f X (x) =.1 dla x (, 1). Zmienna losowa Y ma rozkład z atomami P (Y = ) =.3, P (Y = 1) =.2 i gȩstości a f Y (x) =.5, x (, 1). Zakładaj ac, że X i Y s a niezależne obliczymy P (X + Y [1, 1.5)). Metoda I (wyliczenie bezpośrednie poprzez analizę zdarzeń sprzyjających). Mamy {X + Y [1, 1.5)} = = {X = 1, Y = } {X =, Y = 1} {X (, 1), Y (, 1), X + Y [1, 1.5)} {X = 1, Y (, 1), X + Y [1, 1.5)} {Y = 1, X (, 1), X + Y [1, 1.5)} Stąd P (X + Y [1, 1.5)) = P (X = 1, Y = ) + P (X =, Y = 1)+ +P (X (, 1), Y (, 1), X + Y [1, 1.5)) +P (X = 1, Y (, 1), X + Y [1, 1.5)) +P (Y = 1, X (, 1), X + Y [1, 1.5)) = f Y (x)dx +.2 = P (Y (, 1), X + Y (1, 1.5) X = x)f X (x)dx f X (x)dx P (Y (1 x, 1.5 x) (, 1))dx = (.5 1 ) +.1 P (Y (1 x, 1))dx + P (Y (1 x, 1.5 x))dx = (.5 1 ) xdx +.5dx = Metoda II (graficzna).5.5

22 22 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Podobnie jak w poprzednim przykładzie, alternatywną metodą rozwiązania tego zagadnienia jest geometryczne przedstawienie masy łącznego rozkładu (ćwiczenia). Metoda III. (Sploty dla rozkładów mieszanych). Dla zmiennej Y mamy, F d Y (s) = (.3I [, )(s) +.2I [1, ) (s))/.5, F c Y (s) = s I (,1)(y)dy, β =.5 oraz P (X + Y [1, 1.5)) = P (X + Y < 1.5) P (X + Y < 1). P (X + Y < 1.5) = P (X + Y 1.5) = F S (1.5), bo P (X + Y = 1.5) =. P (X + Y < 1) = P (X + Y 1) P (X + Y = 1) = F S (1) P (X + Y = 1). Czyli P (S [1, 1.5)) = F S (1.5) F S (1) + P (X + Y = 1). Używając definicji splotu F S (s) = F X (s )P (Y = ) + F X (s 1)P (Y = 1) +.5 Wstawiając znane wartości, otrzymujemy oraz 1 F S (s) = F X (s).3 + F X (s 1) F X (s y)dy, F S (1.5) = Podobnie otrzymujemy = F X (y)dy.5 = = F S (1) = = F X (y)dy = =.465. F X (1.5 y)dy F X (1 y)dy F X (s y)i (,1) (y)dy. Ostatecznie P (X + Y [1, 1.5)) = = Niech teraz S = S n = X X n, gdzie (X i ) i 1 s a niezależnymi zmiennymi losowymi. Policzenie rozkładu sumy S bezpośrednio ze wzorów (2.1.3)-(2.1.4) jest zazwyczaj pracochłonnym zadaniem. Rzeczywiście, w przypadku, gdy wartości X i s a naturalne, maj ac P (S 1 = k) = P (X 1 = k), liczymy P (S n = k) w sposób rekurencyjny: k P (S n = k) = P (S n 1 = k m)p (S 1 = m). (2.1.7) m=

23 2.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 23 W przypadku rozkładów dyskretnych o skończonym nośniku wzory te moga być użyte, jest to jednak (oprócz przypadku, gdy n jest bardzo małe, np. n = 1, 2, 3) bardzo nieefektywne. Aby obliczyć rozkład np. sumy trzech zmiennych losowych niezależnych X 1 +X 2 +X 3 najpierw ze wzoru (2.1.4) obliczamy rozkład f S2 sumy S 2 = X 1 +X 2, a nastȩpnie zastosujemy powyższy wzór do obliczenia rozkładu S 3 = S 2 + X 3. Widać, że w przypadku dowolnego n w celu obliczenia rozkładu S n bȩdziemy musieli zastosować takie postȩpowanie rekurencyjne n 1 razy. Przykład Trzy niezależne ryzyka maj a rozmiary szkód jak w tabeli: i P (X 1 = i) P (X 2 = i) P (X 3 = i) Policz rozkład zmiennej S = S 3 = X 1 + X 2 + X 3. Najpierw obliczymy rozkład f S2 f S2 () = f X1 ()f X2 () =.18, f S2 (1) = f X1 ()f X2 (1) + f X1 (1)f X2 () =.15, dla S 2 = X 1 + X 2. Ze wzoru (2.1.4) otrzymujemy f S2 (2) = f X1 ()f X2 (2) + f X1 (1)f X2 (1) + f X1 (2)f X2 () =.35,... f S2 (5) = f X1 (3)f X2 (2) =.3. Nastȩpnie w ten sam sposób obliczymy rozkład S 3 f S3 () = f S2 ()f X3 () =.72, f S3 (1) = f S2 ()f X3 (1) + f S2 (1)f X3 () =.96,.... Wyniki te przedstawimy w tabeli. x f X1 (x) f X2 (x) f X3 (x) f S2 (x) f S (x)

24 24 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Dla zmiennych całkowitoliczbowych (oraz dla zmiennych o wartościach w zbiorze wielokrotności {dn : n N} dla d > ) o wiele efektywniejsze jest użycie funkcji tworz acych, a dla dowolnych zmiennych, funkcji tworzących momenty. Definicja Dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych (a n ) n funkcję nazywamy funkcją tworzącą tego ciągu. A(t) = a n t n, n= Jeśli (a n ) n jest ograniczony, to funkcja tworząca przyjmuje wartości skończone dla t < 1. Dla zmiennej losowej X przyjmującej wartości ze zbioru liczb naturalnych definiujemy funkcję [ P X (t) = E t X], jest to funkcja tworz aca prawdopodobieństwa. Jeśli oznaczymy przez p n := P (X = n), to funkcja tworząca ciągu (p n ) n równa się P X ( ). Zauważmy, że P X (t) przyjmuje wartości skończone przynajmniej dla t 1. Funkcję ogona rozkładu określamy przez q n := p n+1 + p n+2 +. Funkcja tworząca ciągu (q n ) n, Q X (t) = n= q n t n jest skończona przynajmniej dla t < 1. Łatwo zauważyć, że Ponadto Q X (t) = 1 P X(t). 1 t P X(t) = kp k t k 1, k=1 i funkcja ta jest skończona przynajmniej dla t < 1. Ponadto, jeśli wartość oczekiwana zmiennej X jest skończona, to EX = P X(1). Zauważmy, że funkcję Q X możemy zapisać jako iloraz różnicowy Q X (t) = P X(1) P X (1 h) dla h := 1 t. Gdy t 1, to h i mamy Q X (1) = P X (1) = EX, co daje Podobnie możemy otrzymać EX = q + q 1 + q 2 +. P X(1) = 2Q X(1) = E(X(X 1)). h,

25 2.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 25 Dla wariancji zmiennej X zachodzi więc równość V arx = P X(1) + P X(1) (P X(1)) 2. Podobne rozumowania możemy powtórzyć dla wyższych momentów zmiennej losowej X. Funkcje tworzące prawdopodobieństwa, oprócz przydatnosci do liczenia momentów, przydają się do liczenia rozkładów sum zmiennych losowych. Funkcja tworząca sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa iloczynowi funkcji tworzących składników. Lemat Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o wartościach w zbiorze liczb naturalnych, o funkcjach tworzących prawdopodobieństwa, odpowiednio P X, P Y. Wtedy zmienna losowa X + Y ma funkcję prawdopodobieństwa daną splotem (2.1.4) oraz funkcję tworzącą prawdopodobieństwa P X+Y równą iloczynowi P X P Y. Wynika to bezpośrednio z porównania współczynników w szeregach potęgowych - po wymnożeniu i z równości (2.1.4). Funkcje tworzące prawdopodobieństwa są przydatne również do badania zbieżności ciągu rozkładów (zob. Feller (1981), rozdz. ). Lemat Niech (X n ) n 1 będzie ciagiem zmiennych losowych przyjmujących wartości naturalne, o funkcjach prawdopodobieństwa p Xn i funkcjach tworzących prawdopodobieństwa P Xn. Wtedy następujące warunki są równoważne 1. p Xn (k) n p Y (k), dla każdego naturalnego k i dla pewnej zmiennej losowej Y, 2. P Xn (t) n P Y (t), dla każdego t [, 1) i dla pewnej zmiennej losowej Y. Przykład Funkcja tworząca prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego (binomialnego). Rozkład dwumianowy jest rozkładem liczby sukcesów w próbach Bernoulliego, tzn. rozkładem sumy S n = X X n, dla n prób, gdzie {X i, i = 1,..., n} są niezależne o rozkładzie (funkcji prawdopodobieństwa) p Xi () = 1 p Xi (1) = 1 p = q, gdzie p (, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu. Ponieważ P Xi (t) = q + pt, z definicji, więc P Sn (t) = (q + pt) n. Przykład Zbieżność ciągu rozkładów dwumianowych do rozkładu Poissona. Rozkład Poissona jest dany przez p Y (k) = e λ λk k!, dla k =, 1, 2,.... Z definicji liczymy natychmiast P Y (t) = e λ(1 t).

26 26 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Rozważmy ciąg zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych p Sn (k) = P (S n = k) = ( n) k p k n qn n k, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu jest zależne od n, w taki sposób, że np n n λ >. Dla funkcji tworzących prawdopodobieństwa mamy P Sn (t) = (q n + p n t) n = (1 np n(1 t) ) n, n stąd P Sn (t) n e λ(1 t) = P Y (t). Z lematu otrzymujemy p Sn (k) p Y (k), tzn. dla dużych n prawdopodobieństwa dwumianowe możemy przybliżać rozkładem Poissona, o ile zachodzi np λ. Inne transformacje zmiennej losowej X zdefiniowane s a jako: [ M X (t) = E e tx], funkcja tworz aca momenty, funkcja tworz aca kumulanty. [ C X (t) = log E e tx], Mamy wtedy ogólnie dla niezależnych zmiennych (X i ) i 1 n M Sn (t) = M Xi (t), (2.1.8) n P Sn (t) = P Xi (t), n C Sn (t) = C Xi (t). Rzeczywiście, z niezależności ] M Sn (t) = E [e tsn = E [ e tx 1 = E [e ] t(x X n) ] [e txn ] E i analogicznie dla pozostałych funkcji. = M X1 (t) M Xn (t) Przykład Liczba porażek przed uzyskaniem pierwszego sukcesu w kolejnych próbach Bernoulliego jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym P (X = k) = p X (k) = q k p, k =, 1, 2,.... Z definicji (szereg geometryczny) otrzymujemy P X (t) = p 1 qt.

27 2.1. ROZKŁAD WIELKOŚCI PORTFELA W MODELU PROSTYM 27 Liczba porażek przy oczekiwaniu na r-ty sukces jest więc sumą r niezależnych zmiennych losowych o rozkładach geometrycznych S r = X 1 + +X r. Zmienna ta ma funkcję tworzącą prawdopodobieństwa p P Sr (t) = ( 1 qt )r. Rozkład ten nazywamy rozkładem Pascala (szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego). Twierdzenie Załóżmy, że X 1,..., X n s a niezależne. Wtedy 1. Jeżeli X i P oi(λ i ) to S n P oi(λ), gdzie λ = n λ i. 2. Jeżeli X i Bin (r i, q) to S n Bin (r, q),gdzie r = n r i. 3. Jeżeli X i Bin(m i, p) to S n Bin(m, p),gdzie m = n m i 4. Jeżeli X i Γ(α i, β) to S n Γ(α, β), gdzie α = n α i. 5. Jeżeli X i N(µ i, σ 2 i ) to S n N(µ, σ 2 ), gdzie µ = n µ i, σ 2 = n σ 2 i. Korzystaj ac z transformat możemy wyliczyć momenty zmiennych losowych. Oznaczmy [ µ k (X) = E X k], [ m k (X) = E (X E [X]) k], k >. W przypadku, gdy wiadomo o jak a zmienn a losow a chodzi piszemy m k i µ k. Parametr µ k nazywany jest k-tym momentem zwykłym, m k - k-tym momentem centralnym. W szczególności µ 1 (X) =: µ X jest średni a, m 2 (X) =: σ 2 X jest wariancj a, a σ X jest odchyleniem standardowym. Pomijamy indeks X w powyższych oznaczeniach, jeśli z kontekstu jasno wynika jakich zmiennych losowych dotyczą rozważania. Parametr jest nazywamy skośności a, a nazywamy kurtoz a. Iloraz nazywamy indeksem dyspersji, a γ 3 := m 3 σ 3 γ 4 := m 4 σ 4 3 γ 1 := σ2 µ γ 2 = σ µ

28 28 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA współczynnikiem zmienności. Przy założeniu niezależności zmiennych M (1) S n () = C (1) S n () = E [S n ], C (2) S n () = Var [S n ], C (3) S n () = m 3 (S n ), a st ad na przykład n µ 1 (S n ) = µ 1 (X i ), n µ 2 (S n ) = µ 2 (X i ). Dla niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie dostajemy µ 1 (S n ) = nµ 1 (X), µ 2 (S n ) = nµ 2 (X). Rozwijając w szereg Taylora funkcję C X otrzymujemy C X (t) = k n (X)t n /n!, n=1 gdzie współczynniki k n (X) = C (n) X () nazywamy kumulantami zmiennej losowej X. Łatwo sprawdzamy, że k 1 (X) = µ X, k 2 (X) = σx 2, k 3(X) = γ 3 σx 3 = m 3(X), k 4 (X) = γ 4 (X)σX 4 = m 4 (X) 3σX 4. Zachodzą następujące własności ogólne k n (X+c) = k n (X), dla n 2,, k n (cx) = c n k n (X), c R. Dla niezależnych zmiennych losowych X, Y, k n (X + Y ) = k n (X) + k n (Y ). Jako ilustrację metody liczenia rozkładu przy użyciu funkcji tworzących przedstawimy jeszcze raz wyliczenia z przykładu Przykład Funkcje tworz ace prawdopodobieństwa zmiennych X 1, X 2, X 3 maj a postać P X1 (t) =.3 +.2t +.4t 2 +.1t 3, P X2 (t) =.6 +.1t +.3t 2, P X3 (t) =.4 +.2t +.4t 3, i po wymnożeniu otrzymujemy funkcjȩ tworz ac a rozkładu sumy P S (t) = t +.17t t t t 5 +.7t t t 8,

29 2.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 29 a st ad odczytuj ac współczynniki przy t k, k =, 1,..., 8, odczytujemy rozkład: i P (S = i) Metoda ta jest bardzo efektywna przy użyciu komputera, bo łatwo można funkcje tworzące rozwinąć w szereg potęgowy Taylora, automatycznie otrzymując rozkład prawdopodobieństwa z funkcji tworzącej prawdopodobieństwa danej w postaci szeregu (por. zadania na ćwiczeniach). 2.2 Rozkłady w modelu złożonym Własności ogólne Rozważmy model złożony S N = N X i dla niezależnych (X i ) i 1 o jednakowych rozkładach F X i wartościach naturalnych oraz dla niezależnej od nich zmiennej licz acej N. Rozkład sumy S = S N można przedstawić nastȩpuj acym wzorem: a st ad F S (x) = P (S x) = f S (x) = n= n= F n X (x)p (N = n), f n X (x)p (N = n). Znalezienie rozkładu sumy losowej bezpośrednio z powyższych wzorów, podobnie jak w przypadku sumy deterministycznej ilości składników, jest zazwyczaj trudnym zadaniem. Dlatego też bȩdziemy używali funkcji tworz acych. Zaczniemy od przypomnienia podstawowych wzorów dla sum losowej długości. Wzór na wartość oczekiwana łacznych roszczeń w złożonym modelu, gdzie zmienne losowe X 1, X 2,..., maja wartość oczekiwana E[X] i wariancję V ar[x] ma postać E[S] = E[X] E[N]. (2.2.1) Mówi on, że przeciętna wysokość ł acznych roszczeń jest równa iloczynowi przeciętnej liczby roszczeń i przeciętnej wysokości pojedyńczego roszczenia.

30 3 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Korzystajac z lematu E[S] = E[X X N ] = E[E[X 1 + X X N N]] = E[X X n N = n] Pr[N = n] n=1 = E[X X n ] Pr[N = n] = ne[x] Pr[N = n] n=1 n=1 = E[X] n Pr[N = n] = E[X]E[N] n=1 Wzór na wariancję łacznych roszczeń jest następujacy V ar[s] = E[N] V ar[x] + (E[X]) 2 V ar[n]. (2.2.2) Z powyższego wzoru wynika, że wariancja składa się z dwóch składników; pierwszy z nich odnosi się do zmienności liczby roszczeń, drugi zaś do zmienności wysokości pojedynczego roszczenia. Rzeczywiście, bezpośrednio z definicji: V ar[s] = E[S 2 ] (E[S]) 2 = E[E[(X X N ) 2 N] (E[X]E[N]) 2 = = E[(X X N ) 2 N = n] Pr(N = n) (E[X]E[N]) 2 = n=1 = E[(X X n ) 2 ] Pr(N = n) (E[X]E[N]) 2 = n=1 n n = E[ X i X j ] Pr(N = n) (E[X]E[N]) 2 = n=1 j=1 n n = E[ (X i ) 2 + X i X j ] Pr(N = n) (E[X]E[N]) 2 = n=1 i=j=1 i j=1 n n = E[ (X i ) 2 ] Pr(N = n) + E[ X i X j ] Pr(N = n) (E[X]E[N]) 2 = n=1 i=j=1 n=1 i j=1 = ne[x 2 ] Pr(N = n) + (n 2 n)(e[x]) 2 Pr(N = n) (E[X]E[N]) 2 = n=1 n=1 = E[X 2 ]E[N] + (E[X]) 2 E[N 2 ] (E[X]) 2 E[N] (E[X]E[N]) 2 = = E[N]V ar[x] + (E[X]) 2 V ar[n]. Używaj ac funkcji tworz acych, dostajemy szybciej zwi azek pomiȩdzy rozkładem S N a N i X, a także między momentami.

31 2.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 31 Fakt Zachodz a nastȩpuj ace wzory M SN (t) = M N (log M X (t)), C SN (t) = C N (C X (t)), P SN (t) = P N (P X (t)) a stąd, dla momentów E [S N ] = E [N] E [X], (2.2.3) Var [S N ] = E [N] Var [X] + Var [N] (E [X]) 2, (2.2.4) [ E (S N E [S N ]) 3] [ = E (N E [N]) 3] (E [X]) 3 (2.2.5) [ + 3Var [N] E [X] Var [X] + E [N] E (X E [X]) 3]. Dowód: Udowodnimy najpierw tożsamość dla funkcji tworz acych momenty. Mamy [ ] [ [ ]] E e ts N = E E e ts N N = n [ ] E e tsn N = n P (N = n). Korzystaj ac z niezależności zmiennych X i od S otrzymujemy [ ] E e ts N = n = n = n ] E [e tsn P (N = n) = n [ n ] E exp(tx i ) n P (N = n) E [exp(tx i )] P (N = n) = n [ ] E e t(x 1+ +X n) P (N = n) n M Xi (t)p (N = n), gdzie w przedostatniej równości skorzystaliśmy z niezależności zmiennych losowych X i. Ponieważ X i maj a ten sam rozkład wiȩc M Xi (t) = M X (t), a st ad [ ] E e ts N = n (M X (t)) n P (N = n) = n e un P (N = n), gdzie u = log M X (t). Ostatnia suma jest równa z definicji M N (u), a st ad otrzymujemy tezȩ. Tożsamość dla funkcji tworz acych kumulanty i funkcji tworz acych prawdopodobieństwa wynika bezpośrednio z definicji. Dla wartości oczekiwanej mamy C (1) S N (t) = C (1) N (C X(t))C (1) X (t)

32 32 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA i wstawiaj ac t = otrzymujemy Dla drugiej pochodnej mamy i wstawiaj ac t = otrzymujemy E[S N ] = C (1) S N () = C (1) N ()C(1) X () = E [N] E [X]. C (2) S N (t) = C (2) N (C X(t))[C (1) X (t)]2 + C (1) N (C X(t))C (2) X (t) V ar[s N ] = C (2) S N () = C (2) N ()[C(1) X ()]2 + C (1) N ()C(2) X (), co daje tezȩ. Obliczaj ac trzecia pochodn a dostajemy C (3) S N (t) = C (3) N (C X(t))[C (1) X (t)]3 + 2C (2) N (C X(t))C (1) X (t)c(2) X (t) + C (2) N (C X(t))C (1) X (t)c(2) X (t) + C(1) N (C X(t))C (3) X (t) = C (3) N (C X(t))[C (1) X (t)]3 + 3C (2) N (C X(t))C (1) X (t)c(2) X (t) + C (1) N (C X(t))C (3) X (t) i bior ac t = otrzymujemy wynik. Przykład Rozważmy portfel ubezpieczeń, w którym ilość pojawiaj acych siȩ roszczeń opisuje i rozkład wysokości pojedynczego roszczenia opisuj a tabele poniżej. Szukamy rozkładu zmiennej losowej S N = X X N. Rozkład zmiennej N. n p n Rozkład wysokości pojedynczego roszczenia. x f X (x) Obliczymy funkcjȩ tworz ac a zmiennej losowej N wiȩc P N (t) =.5 +.1t +.15t 2 +.2t t t 5 +.6t 6 +.3t 7 +.1t 8, P S (t) =.5 +.1P X (t) +.15(P X (t)) 2 +.2(P X (t)) (P X (t)) (P X (t)) 5 +.6(P X (t)) 6 +.3(P X (t)) 7 +.1(P X (t)) 8. Funkcja tworz aca zmiennej losowej X ma postać P X (t) =.15t +.2t t t t 5 +.5t 6 +.5t 7 +.5t t t 1.

33 2.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 33 Łącząc oba wzory otrzymujemy P S (t) = t t t t t t t Teraz, wartości P (S = k) odczytujemy jako współczynniki przy t k, k =,..., Zmienne losowe liczące ilość szkód Sposób wyboru zmiennej liczącej w modelowaniu portfela złożonego zależy od modelowanego portfela. Pewne podstawowe cechy dobieranych rozkładów można rozpoznać z próbki używając (próbkowej) średniej i wariancji. Ponieważ dla zmiennej losowej N o rozkładzie dwumianowym Bin(n, p) mamy E [N] = np > Var [N] = np(1 p), wiȩc rozkłady dwumianowe można stosować wtedy, gdy średnia próbkowa jest dużo wiȩksza niż wariancja próbkowa. Ponieważ dla zmiennej losowej N o rozkładzie Poissona P oi(λ), mamy E [N] = λ = Var [N], wiȩc rozkład ten jest odpowiedni, gdy średnia próbkowa ilości szkód jest w przybliżeniu równa wariancji próbkowej. Założenie Poissonowskości ilości szkód jest zazwyczaj bardziej realistyczne niż założenie o dwumianowości rozkładu z innych względów, lecz sytuacja równości średniej i wariancji wystȩpuje dość rzadko. Ilość szkód modeluje siȩ często mieszanymi rozkładami Poissona. Rozważmy portfel ubezpieczeń składaj acy siȩ z polis dla których liczba roszczeń jest zmienn a losow a N o rozkładzie Poissona z parametrem Θ. Jeżeli przyjmiemy, że Θ jest zmienn a losow a, to rozkład zmiennej N ma parametr, który też jest zmienn a losow a Θ przyjmuj ac a wartości dodatnie i posiadaj ac a dystrubuantȩ U. Taka modyfikacja prowadzi do tzw. mieszanego rozkładu Poissona, dla którego P (N = n) = P (N = n Θ = θ)df Θ (θ) = e θ θ n df Θ (θ). n! Mieszany rozkład Poissona będziemy oznaczać przez M P oi(θ). Uwaga Symbole E[X Y ] oraz V ar[x Y ] oznaczaja zmienne losowe ( warunkowa wartość oczekiwana i warunkowa wariancję ), które sa zdefiniowane przez równości E[X Y ] = ϕ(y ), V ar[x Y ] = ψ(y ), dla rzeczywistych funkcji ϕ, ψ takich, że dla prawie każdego (wzgl. rozkładu zmiennej Y ) y E[X Y = y] = ϕ(y), V ar[x Y = y] = ψ(y).

34 34 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Lemat Dla dowolnych zmiennych losowych X, Y zachodzi następujacy zwiazek E[X] = E[E[X Y ]]. (2.2.6) Podamy uzasadnienie powyższego wzoru dla zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym ( w przypadku zmiennej losowej ciagłej dowód przebiega analogicznie, tylko sumy należy zamienić na całki, alternatywnie, dowolny rozkład możemy przybliżyć rozkładami dyskretnymi monotonicznie) E[E[X Y ]] = k = k = k = i E[X Y = y k ] Pr(Y = y k ) x i Pr(X = x i Y = y k ) Pr(Y = y k ) i Pr(X = x i, Y = y k ) x i Pr(Y = y k ) Pr(Y = y i k ) x i Pr(X = x i, Y = y k ) = x i Pr(X = x i ) = E[X] k i Korzystając z (2.2.6), P N (t) = E [ [ ]] [ E t N Θ = E e Θ(t 1)] = M Θ (t 1). Ponadto oraz C N (t) = log M N (t) = log P N (e t ) = log M Θ (e t 1) E [N] = E [Θ] Var [N] = E [Θ] + Var [Θ] = E [N] + Var [Θ], [ E (N E [N]) 3] [ = E (Θ E [Θ]) 3] + 3Var [Θ] + E [Θ]. Z powyższych wzorów wynika, że model taki bȩdziemy stosowali wtedy, gdy dla próbki danych średnia próbkowa ilości szkód jest mniejsza niż wariancja próbkowa. Przykład Załóżmy, że zmienna losowa N ma mieszany rozkład Poissona, a Θ ma rozkład Γ(α, β). Ponieważ funkcja tworz aca momenty dla rozkładu Γ(α, β) dana jest wzorem ( ) β α M Θ (t) = dla t < β, β t wiȩc podstawiaj ac r = α, p = β β + 1, q = 1 p,

35 2.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 35 dostajemy M N (t) = ( ) M Θ (e t β α 1) = β (e t = 1) = ( p ) r. 1 qe t β β+1 ( 1 1 β 1+β α ) e t Jest to funkcja tworz aca rozkładu ujemnego dwumianowego Bin (r, p). Mamy więc MP oi(gamma(α, β)) = Bin β (α, β+1 ). Funkcja prawdopodobieństwa tego rozkładu zadana jest wzorem ( ) r + n 1 P (N = n) = p r q n, n N (2.2.7) n Jeżeli r = 1, to otrzymujemy rozkład geometryczny, N Geo(p), co oznacza, że randomizacja rozkładem wykładniczym parametru wartości średniej w rozkładzie Poissona daje w rezultacie rozkład geometryczny, MP oi(exp(β)) = Geo( β β+1 ). Przekształcajac gęstość (2.2.7) możemy ja zapisać w postaci { ( 1) n ( r) P (N = n) = n p r q n dla n =, 1, 2,..., dla pozostałych wartości n, (2.2.8) gdzie ( ) r = n ( r)( r 1)...( r n + 1). n! Dla tego rozkładu E[N] = rq p, V ar[n] = rq p 2. (2.2.9) (2.2.1) (2.2.11) Oznaczmy skrótowo funkcję prawdopodobieństwa zmiennej N przez p k = f N (k) = P (N = k), k N. Załóżmy, że p k = ( a + b ) p k 1, k 1, (2.2.12) k

36 36 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA dla pewnego doboru parametrów a i b. Zapisuj ac to inaczej dostajemy k p k p k 1 = ka + b =: l(k). (2.2.13) W szczególności, dla rozkładu dwumianowego Bin(n, p) a := Poissona P oi(λ), p p(n + 1), b := 1 p 1 p, a :=, b := λ oraz ujemnie dwumianowego Bin (r, p), a := q, b := (r 1)q. Jeżeli wiȩc dla próbki N 1,..., N n, z rozkładu zmiennej N zdefiniujemy licznik n k := # {i : N i = k}, to wykres funkcji ˆl : k k n k n k 1 powinien być w przybliżeniu liniowy na podstawie (2.2.13). Punkt przeciȩcia linii ˆl(k) z osi a OY jest przybliżeniem parametru b, natomiast z osi a OX, ilorazu b a. Metodȩ t a nazwiemy metod a Panjera. Jeśli wykres nie jest w przybliżeniu liniowy, to rozkład nie należy do klasy rozkładów spełniających rekurencję (2.2.12). Okazuje się, że tylko te trzy wymienione rozkłady spełniają tę rekurencję. Twierdzenie Przypuśćmy, że rozkład (p k ) k spełnia rekurencjȩ p k = ( a + b ) p k 1, k 1. k Wtedy (p k ) k jest rozkładem Poissona, dwumianowym lub ujemnym dwumianowym. Dowód: Gdy a = wtedy, aby rekurencja miała sens, przyjmujemy b >. Z zależności rekurencyjnej mamy p k = p b k k!, co natychmiast implikuje, że (p k ) jest rozkładem Poissona z parametrem λ = b. Załóżmy, że a. Zauważmy, że p k = ak k! ( + k 1)( + k 2) ( + 1) p, k N,

37 2.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 37 gdzie = (1 + b a ). Sumuj ac obie strony względem k mamy 1 = p ( + k 1)( + k 2)... ak k! k= ( ) = p ( a) k = p (1 a). k k= a st ad p = (1 a) oraz ( ) ( ) + k 1 p k = ( a) k (1 a) = a k (1 a), k N. (2.2.14) k k Zauważmy, że dla < a < 1 prawa strona wyrażenia (2.2.14) jest dodatnia dla każdego k N, gdy > (tzn. b > a). W tym przypadku (p k ) ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrem p = 1 a oraz r =. Ponieważ a > 1 wykluczamy, rozpatrujemy w końcu a <. W tym przypadku liczby p k są nieujemne, gdy N. W tym przypadku otrzymujemy rozkład dwumianowy. Inna metoda graficzna bȩdzie oparta na funkcji hazardowej zdefiniowanej dla n należących do nośnika rozkładu zmiennej N przyjmującej wartości ze zbioru liczb naturalnych, r N (n) = P (N = n) P (N n). W szczególności, dla rozkładu Poissona P oi(λ) jest ona rosn aca dla λ >, (rys ); ujemnie dwumianowego Bin (r, p) jest ona malej aca dla r < 1, rosn aca dla r > 1 i stała dla r = 1, tzn. dla rozkładu geometrycznego (rys 2.2.1). Przybliżeniem funkcji r N (n) jest # {i : N i = n} # {i : N i n}. Nanosz ac powyższe wartości na wykres dostaniemy przybliżon a funkcjȩ hazardow a, na podstawie której możemy stawiać hipotezy dotycz ace typu rozkładu.

38 38 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Rysunek 2.2.1: Funkcje hazardowe: Poi(1), Geo(.5). Przykład Rozważmy portfel składaj acy siȩ z n = polis samochodowych. W tabeli, w drugiej kolumnie przedstawiono ilość polis n k, które wygenerowały k szkód. Chcemy znaleźć rozkład szkód najlepiej opisuj acy nasze dane. k Obserwowane n k P oi(.131) r k Bin MixedP oi Wykres dla rekurencji Panjera nie jest liniowy, funkcja hazardowa nie jest monotoniczna. Sugeruje to, że rozkład ilości szkód nie bȩdzie ani Poissona, ani dwumianowy ani ujemny dwumianowy. Liczymy teraz średni a, wariancjȩ i skośność próbkową ilości szkód i dostajemy: N = 1 n knk =.131 S 2 = 1 n (k N) 2 n k =.138 A := 1 n (k N) 3 n k =.153

39 2.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 39 Średnia jest wiȩc mniejsza od wariancji. Odrzuca to ponownie możliwość dopasowania rozkładu dwumianowego. Spróbujmy dopasować rozkład mieszany Poissona, gdzie zmienna mieszaj aca Θ przyjmuje dwie wartości: P (Θ = θ 1 ) = p = 1 P (Θ = θ 2 ). Średnia, wariancja i trzeci centralny moment Θ liczymy wiȩc ze wzorów: E [Θ] = pθ 1 + (1 p)θ 2 ; Var [Θ] = p(θ 1 E [Θ]) 2 + (1 p)(θ 2 E [Θ]) 2 ; m 3 (Θ) = p(θ 1 E [Θ]) 3 + (1 p)(θ 2 E [Θ]) 3. Korzystaj ac teraz ze wzoru (2.2.7) otrzymujemy, estymuj ac E [N] = N, Var [N] = S 2, m 3 (N) = A, układ trzech równań z trzema niewiadomymi, który po rozwi azaniu daje: p =.4633, θ 1 =.2243, θ 2 =.537. Można przyjąć, że nasze dane pochodz a właśnie z takiego mieszanego rozkładu Poissona Złożony rozkład dwumianowy Załóżmy, że portfel składa siȩ z niezależnych ryzyk Y 1,..., Y n. Każde roszczenie pojawia siȩ z prawdopodobieństwem p, niezależnie od jego wielkości X i. Roszczenie ma wiȩc strukturȩ: Y i = I i X i, gdzie (X i ) i 1, (I i ) i 1 s a niezależnymi od siebie ci agami niezależnych zmiennych losowych o tych samych rozkładach z P (I i = 1) = p = 1 P (I i = ). Ł aczna szkoda ma wtedy postać S = N X i, gdzie P (N = k) = ( n k) p k q n k, gdzie p (, 1), q = 1 p, k =, 1,..., n, tzn. N ma rozkład dwumianowy. Mówimy wtedy, że S N ma złożony rozkład dwumianowy i zapisujemy wtedy S N CBin(n, p, F X ). Mamy M N (t) = (q + pe t ) n C N (t) = n log(q + pe t ), M SN (t) = (q + pm X (t)) n, C SN (t) = n log(q + pm X (t)), a st ad E [S N ] = npe [X], Var [S N ] = npvar [X] + npq(e [X]) 2, [ E (S N E [S N ]) 3] = npe [ X 3] 3np 2 E [ X 2] E [X] + 2np 3 (E [X]) 3.

40 4 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA W szczególności, dla deterministycznej szkody o wielkości x dostajemy: > dla p < E [(S 1 N E [S N ]) 3] 2 = dla p = 1 2. < dla p > 1 2 Złożone rozkłady dwumianowe mog a wiȩc służyć do modelowania portfeli o dowolnym znaku skośności. Złożony rozkład dwumianowy ma bardzo ważn a cechȩ: suma niezależnych CBin(m (i), p, F ) jest znowu złożonym rozkładem dwumianowym. Twierdzenie Jeśli S (1), S (2),..., S (n) s a niezależnymi zmiennymi losowymi i S (i) ma rozkład złożony CBin(m (i), p, F ) to n S = S (i) ma rozkład złożony ujemny dwumianowy CBin(m, p, F ) dla Złożony rozkład Poissona n m = m (i). Niech P (N = n) = λn n! e λ, λ >, n =, 1,.... Jeżeli S N = N X i, dla ciągu niezależnych zmiennych losowych (X i ) i o dystrybuancie F X, niezależnego od N, to mówimy, że S N ma złożony rozkład Poissona i zapisujemy S N CP oi(λ, F X ). Dla złożonego rozkładu Poissona mamy M N (t) = e λ(et 1), C N (t) = λ(e t 1), M SN (t) = e λ(m X(t) 1) C SN (t) = λ(m X (t) 1), co daje C (k) S N () = λm (k) X () i dalej E [S N ] = λe [X], [ X 2], Var [S N ] = λe [ E (S N E [S N ]) 3] = λe [ X 3].

41 2.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 41 Przykład Rozważmy portfel ubezpieczeń, w którym pojawiaj ace siȩ roszczenia maj a rozkład Poissona z parametrem λ = 1, natomiast rozkład wysokości pojedyńczego roszczenia jest jak w tabeli. Policzymy rozkład zmiennej losowej S = X , X N. Rozkład wysokości pojedynczego roszczenia. i P (X = i) Znaj ac funkcjȩ tworz ac a zmiennej losowej N, P N (t) = e 1(t 1) dostajemy P S (t) = e 1(PX(t) 1). Funkcja tworz aca zmiennej losowej X ma postać P X (t) =.1t +.35t 2 +.5t t t 18. (2.2.15) Wstawiaj ac (2.2.15) do wzoru na P S otrzymujemy funkcjȩ tworz ac a rozkładu złożonego P S (t) = e 1(.1t+.35t2 +.5t t t 18 1). Rozwijaj ac powyższe równanie w szereg Taylora, możemy odczytać rozkład zmiennej S P S (t) = t +.18t t 3 + Przykład Niech S = N X i, gdzie X i tworz aca prawdopodobieństwa jest postaci P oi(β), a N P oi(λ). Funkcja P S (t) = exp (λ (exp(β(t 1)) 1)) Rozkład taki nazywamy rozkładem Neymanna typu A. W szczególnych przypadkach rozkład ten aproksymujemy: Jeżeli λ jest duże i λβ >, to S λβ λβ(1+β) N(, 1); Jeżeli λ (, 1), to S ma przesuniȩty rozkład Poissona, tzn. P (S = ) = (1 λ) + λe β, P (S = k) = λe β β k /k!, k 1. Jeżeli β jest małe, to S przybliżamy za pomoc a rozkładu P oi(λβ).

42 42 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przykład Niech S = N X i, gdzie X i Exp(α), a N P oi(λ). Stosuj ac wzór na prawdopodobieństwo całkowite, λ n F SN (x) = exp( λ) n! P ( n X i x). n= Wiemy jednak z Twierdzenia , że S n = n X i ma rozkład Gamma o gȩstości f Sn (x) = αn (n 1)! exp( αx)xn 1. St ad, różniczkuj ac F SN (x), λα f SN (x) = exp( (λ + αx))2 x B 1(2 λαx), gdzie B 1 (x) = k= (x/2) 2k+1 k!(k+1)! jest zmodyfikowan a funkcj a Bessela. Przykład Niech S = S N = X X N, gdzie N P oi(λ). Załóżmy, że X i maj a rozkład logarytmiczny P (X = k) = p k, p (, 1), k 1. k ln(1 p) Wtedy S N ma rozkład ujemny dwumianowy. Policzymy w tym celu najpierw funkcjȩ tworz ac a dla X. Dla t < ln(1 p) mamy 1 M X (t) = exp(tk) pk ln(1 p) k k=1 1 p exp(t) = u k 1 du ln(1 p) k=1 1 p exp(t) = u k 1 du ln(1 p) k=1 1 p exp(t) 1 = ln(1 p) 1 u du ln(1 p exp(t)) =, ln(1 p) a st ad (patrz wzór (2.2.4)) ( ( )) M S (t) = exp λ ln(1 p exp(t)) ln(1 p) 1 ( ( )) λ = exp ln(1 p) ln 1 pe t 1 p ( ) = 1 p r 1 pe, t

43 2.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 43 λ gdzie r = ln(1 p). Jest to funkcja tworz aca dla rozkładu Bin ( ln(1 p), 1 p). λ Sumy niezależnych zmiennych o rozkładach złożonych Poissona są zawsze zmiennymi o złożonym rozkładzie Poissona. Twierdzenie Jeśli S (1), S (2),..., S (n) s a niezależnymi zmiennymi losowymi i S (i) ma rozkład złożony Poissona z parametrem λ (i) i dystrybuancie składników F (i) (CP oi(λ (i), F (i) ), dla i = 1,..., n), to n S = S (i) ma rozkład złożony Poissona CP oi(λ, F ) dla n λ = λ (i), n λ (i) F (x) = λ F (i) (x). Z założenia M S (i)(t) = exp(λ (i) (M X (i)(t) 1)), gdzie zmienna losowa X (i) ma rozkład F (i). Z niezależności dostajemy ( n n ) M S (t) = M S (i)(t) = exp λ (i) (M X (i)(t) 1) ( ( n λ (i) )) = exp λ λ M X (i)(t) 1 co jest funkcj a tworz ac a ż adanego rozkładu złożonego. Przykład Niech x 1,..., x n bȩd a wartościami wypłat w K portfelach, których wielkości s a losowe, niezależne N 1,..., N K o rozkładach Poissona z parametrami λ 1,..., λ K odpowiednio. Wtedy z powyższego twierdzenia S = x 1 N x K N K = x ma rozkład złożony Poissona CP oi(λ, F ) dla N 1 λ = λ λ K, N n x n

44 44 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA F (x) = K λ i λ I ([x i, )(x). Przykład Przypuśćmy, że S (1) ma złożony rozkład Poissona z parametrem λ (1) =.5 i wielkościami szkód 1, 2, 3, 4, 5 z prawdopodobieństwami.15,.3,.3,.5,.2, odpowiednio. S (2) ma rozkład złożony Poissona z λ (2) =.8 oraz rozkładem szkód o wielkościach 1, 2, 3 z prawdopodobieństwami.25,.5,.25, odpowiednio. Ponadto S (3) ma rozkład złożony Poissona z λ (3) = 1.2 oraz rozkładem szkód o wielkościach 3, 4, 5 z prawdopodobieństwami.15,.5,.35, odpowiednio. Jeśli S (1), S (2), S (3) s a niezależne, policzymy rozkład S = S (1) +S (2) + S (3). Z Twierdzenia mamy zatem λ = λ (1) + λ (2) + λ (3) = = 2.5, f X (x) = λ(1) λ f λ(2) X (1)(x) + λ f λ(3) X (2)(x) + λ f X (3)(x), f X (x) =.2f X (1)(x) +.32f X (2)(x) +.48f X (3)(x). f X (x) =.11 dla x = 1.22 dla x = dla x = 3.25 dla x = 4.28 dla x = 5 Otrzymujemy złożony rozkład Poissona z parametrem λ = 2.5 i rozmiarem szkód podanym powyżej.. Twierdzenie Jeżeli zmienna S = X X N ma złożony rozkład Poissona CP oi(λ, F ), z dyskretnym rozkładem indywidualnych roszczeń o dystrybuancie F i funkcji prawdopodobieństwa π i = P (X = x i ), i = 1,..., K, to (i) zmienne losowe N 1, N 2,..., N K, zdefiniowane przez N i = card{k : X k = x i }, i = 1,..., K s a wzajemnie niezależne, (wtedy S = x 1 N x K N K ) (ii) zmienne losowe N i mają rozkłady Poissona z parametrami λ (i) = λπ i, i = 1, 2,..., K.

45 2.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 45 Dowód. Załóżmy, że N = K N i = k. Wtedy [ ( K )] [ ( K ) ] E exp t i N i = E exp t i N i N = k Pr(N = k) k= = (π 1 e t 1 + π 2 e t π K e t K ) k e λ λ k (2.2.16) k! k= ( ) K = exp( λ) exp λ π i e t i K = exp[λπ i (e t i 1)]. (2.2.17) Rzeczywiście, rozkład wektora (N 1,..., N K ) pod warunkiem N = k jest wielomianowy, tzn. k! P (N 1 = k 1,..., N K = k K N = k) = k 1!... k K! πk πk K K, a st ad co zostało użyte w (2.2.16). [ ( K ) ] E exp t i N i N = k = [ π 1 e t π K e t K ] k, W równaniu (2.2.17) otrzymaliśmy wiȩc iloczyn K funkcji, z których każda jest innej zmiennej t i. Powyższa formuła pokazuje wzajemn a niezależność zmiennych losowych N i. Dalej, podstawiaj ac t i = t i t j = dla j i otrzymujemy E [exp(tn i )] = exp[λπ i (e t 1)]. (2.2.18) Wzór (2.2.18) jest funkcj a tworz ac a rozkładu Poissona z parametrem λπ i Złożony rozkład ujemny dwumianowy Rozkład łacznych roszczeń jest rozkładem złożonym ujemnym dwumianowym, jeśli jego dystrybuanta jest postaci ( ) r + n 1 F S (x) = Pr(S x) = p r q n G n (x). (2.2.19) n n= Wartość oczekiwana, wariancja i skośność zmiennej losowej S w tym przypadku dane są przez

46 46 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Ponadto E[S] = rq p E[X], V ar[s] = rq p E[X2 ] + rq2 (E[X])2 E [(S N E [S N ]) 3] = rq [X p E 3] + 3 rq2 [ p 2 E X 2] E [X] + 2 rq3 p 3 (E [X])3. p 2 ( ) r p M S (t) =. (2.2.2) 1 qm X (t) Przykład Załóżmy, że szkoda S ma złożony rozkład ujemny dwumianowy, z parametrami r = 5 i p =.6 i rozkładem szkód jak w poniższej tabeli. Wyliczymy Pr(S = x). Rozkład pojedynczego roszczenia. x f X (x) Mamy więc ( ) 5.6 P S (t) =, (2.2.21) 1.4P X (t) gdzie funkcja tworzaca zmiennej losowej X jest równa P X (t) =.5t +.1t t 3 +.2t t t 6. (2.2.22) Wstawiajac (2.2.22) do (2.2.21) otrzymujemy ( ) 5.6 P S (t) = 1.4(.5t +.1t t 3 +.2t t t 6. (2.2.23) ) Rozwijajac powyższe równanie w szereg Taylora, możemy odczytać rozkład zmiennej S P S (t) = t +.16t t t t t t t t

47 2.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 47 W szczególności, gdy r = 1 otrzymujemy złożony rozkład geometryczny z atomem w zerze i piszemy S N CGeo(p, F ). Jeśli dla złożonego rozkładu geometrycznego X ma rozkład standardowy wykładniczy F X (x) = 1 e x, x >, to M X (t) = 1 1 t oraz p M SN (t) = p + q p t, (2.2.24) co oznacza, że rozkład sumy jest mieszank a atomu w zerze wielkości p i rozkładu wykładniczego z parametrem p, tzn. F SN (x) = pi (, ) (x) + q(1 e px ). Powyższy fakt można zobaczyć w bardziej ogólnym kontekście. Przykład Rozkłady złożone ujemne dwumianowe można czasem utożsamić z rozkładami złożonymi dwumianowymi. Niech S = S N = X 1 + +X N, gdzie N Bin (r, p), r N, X i maj a rozkład Exp(λ), tzn. S N CBin (r, p, Exp(λ)). Porównanie funkcji tworz acych momenty daje jednak również, że S N CBin(r, 1 p, Exp(λp)). Jeżeli natomiast X i maj a rozkład Geo(λ), tzn. S N CBin (r, p, Geo(λ)) to zachodzi również S N CBin(r, 1 p, Geo(λ)). Warto tu zauważyć, że wyjściowy rozkład ujemny dwumianowy ma nośnik nieskończony, a rozkład dwumianowy ma nośnik {,..., r}. Używaj ac funkcji tworz acych momenty, jak w Twierdzeniu , otrzymujemy zamkniȩtość na operacjȩ splotu klasy rozkładów złożonych ujemnych dwumianowych. Twierdzenie Jeśli S (1), S (2),..., S (n) s a niezależnymi zmiennymi losowymi i S (i) ma rozkład złożony CBin (r (i), p, F ) to n S = S (i) ma rozkład złożony ujemny dwumianowy CBin (r, p, F ) dla n r = r (i).

48 48 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Wzory rekurencyjne Panjera Przypomnijmy wzór rekurencyjny dla rozkładu licznika ilości szkód wprowadzony w równaniu (2.2.12). Oznaczmy znowu funkcję prawdopodobieństwa zmiennej N przez p k = f N (k) = P (N = k), k N. Załóżmy, że p k = ( a + b ) p k 1, k 1, k dla pewnego doboru parametrów a i b. Zapisuj ac to inaczej dostajemy k p k p k 1 = ka + b =: l(k). W szczególności, dla rozkładu dwumianowego Bin(n, p) a := Poissona P oi(λ), p p(n + 1), b := 1 p 1 p, a :=, b := λ oraz ujemnie dwumianowego Bin (r, p), a := q, b := (r 1)q. Twierdzenie Jeśli S = X X N jest sumarycznym roszczeniem w portfelu, g k :== p X (k) = P (X i = k), k N oznacza rozkład pojedynczego roszczenia, to { i= g i P (S = k) = p i dla k = 1 k 1 ag (a + b i k )g ip (S = k i) dla k 1 oraz E [S n ] = 1 1 a ( ) n n n (a + b k [S k n )E n k] E k=1 [ X k], n 1. Dowód: Niech f k := P (S = k). Rezultat dla k = wynika bezpośrednio ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Dla pozostałych k zauważmy najpierw, że dla jednakowo rozłożonych X 1, X 2,... mamy, dla S n = X X n, n ne(x 1 S n = k) = E(X m S n = k) =E(S n S n = k) =k, m=1

49 2.2. ROZKŁADY W MODELU ZŁOŻONYM 49 Korzystając z tego, że 1 n = E( X 1 k S n = k) mamy f k = P (S = k N = n)p n = = = n=1 n=1 n=1 p n g n k = p n 1 E[a + b X 1 k (a + b n )p n 1gk n = n=1 n X i = k]gk n. Licząc wprost z definicji, otrzymujemy dla n > 1 E[a+b X 1 k n oraz dla n = 1 X i = k] = (a+b /k) gg k n 1 gk n +(a+b 1/k) g1g k 1 n 1 gk n + +(a+b k/k) gkg n 1 gk n, E[a + b X 1 1 k X i = k] = a + b. Wstawiając te wyrażenia do sumy względem n, skracając gk n i wyodrębniając wyraz n = 1 mamy f k = p (a + b)g k + = p (a + b)g k + k n=2 i= k i= = p (a + b)g k + ag o p n 1 (a + b i k )g ig (n 1) k i = (a + b i k )g i n=1 n=1 p n g (n) k i = k 1 p n gk n + (a + b i k )g i k 1 = ag f k + (a + b i k )g if k i + (a + b)g k f = ag f k + k (a + b i k )g if k i. Wyliczając f k z tego równania otrzymujemy tezę. n=1 p n g n k i + (a + b)g k n=1 p n g n Uwaga Przewaga rekurencji Panjera nad postȩpowaniem rekurencyjnym bezpośrednio z definicji (wzór (2.1.7)) polega na różnicy w złożoności obliczeniowej. W celu obliczenia P (S n = j) potrzebujemy w pierwszym przypadku O(j 2 ) operacji, podczas gdy w drugim przypadku algorytm wymaga O(j 3 ) obliczeń. Przykład Niech N P oi(λ) i X >. Wtedy { exp( λ) dla k = P (S = k) = λ k k ig i P (S = k i) dla k 1

50 5 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przykład Niech N Geo(p) i X >. Wtedy k P (S = k) = p g i P (S = k i), k Aproksymacje Aproksymacja rozkładem dwumianowym i Poissona. Przykład Niech X i Bin(1, p i ), i = 1,..., n, S n = X X n. Wtedy nie można użyć Twierdzenia Ponieważ E [S n ] Var [S n ], aproksymacja zmienn a losow a N o rozkładzie dwumianowym (dla której E [N] Var [N]) jest dopuszczalna. Niech n p i N Bin(n, p), gdzie p = n. Ponieważ E [N] = np, wiȩc E [N] = E [S n ]. Mamy jednak Var [N] Var [S n ] = n p 2 i (1 1 n ). Przykład Niech X i Bin(1, p i ), i = 1,..., n. Można przybliżyć rozkład S n rozkładem Poissona tak, aby została zachowana średnia. Mamy E [S n ] = p i, Var [S n ] = pi (1 p i ). Niech N P oi(λ), λ = p i. Wtedy E [N] = E [S n ]. Nastȩpuje jednak przeszacowanie wariancji: mamy Var [N] Var [S n ] = p 2 i. Stosowanie aproksymacji Poissonowskiej ma sens w przypadku, gdy E [S n ] Var [S n ], tzn., gdy p 2 i jest małe. W przeciwnym przypadku aproksymacja ta jest gorsza niż w przypadku aproksymacji dwumianowej. Przykładowo, niech n = 19, p i =.5i, i = 1,..., 19, wtedy p 2 i = Przykład Jeżeli S n ma rozkład Bin(n, p n ) oraz p n jest małe, to rozkład S n przybliża siȩ w praktyce rozkładem Poissona. Sytuacja taka nast api np. wtedy, gdy w portfelu mamy n ryzyk, każde generuj ace szkodȩ X i, i = 1,..., n i interesuj a nas te szkody, które przekrocz a poziom u. Wtedy K = n I(X i > u) ma rozkład Bin(n, p), p = P (X i > u). Jeżeli u jest duże, to p jest małe i aproksymacja ma sens.

51 2.3. APROKSYMACJE Rysunek 2.3.1: Przybliżanie sumy niejednorodnych rozkładów dwumianowych rozkładami Poissona i dwumianowym: wartości dokładne (linia ci agła), aproksymacja Poissona (krzyżyki), aproksymacja dwumianowa (kółka)

52 52 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Rysunek 2.3.2: Aproksymacja Poissonowska dla rozkładu dwumianowego Bin(n, p n ): Rysunek lewy - n = 2, p n =.1; rysunek prawy - n = 2, p n =.4. Linia ci agła - wartości dokładne Aproksymacja rozkładem normalnym. Jeśli X 1, X 2,... s a zmiennymi losowymi niezależnymi o jednakowym rozkładzie, skończonej wartości średniej µ = E [X] < i wariancji σ 2 = Var [X] <, to z Centralnego Twierdzenia Granicznego, dla S n = X X n mamy P ( Sn E [S n ] Var [Sn ] x ) n Φ(x) = x 1 2π e u2 2 du. Wartości Φ(x) s a zawarte w tablicach rozkładu normalnego i można je wykorzystać do przybliżenia rozkładu S n. Mamy mianowicie (dla dużych wartości n ) ( ) y E [Sn ] P (S n y) Φ, Var [Sn ]

53 2.3. APROKSYMACJE 53 przy czym E [S n ] = nµ oraz Var [S n ] = nσ 2. Tego rodzaju przybliżenie stosuje siȩ również w przypadku, gdy (X i ) s a niezależne, ale być może o różnych rozkładach. Wtedy kładziemy E [S] = n µ i, Var [S] = n σ 2 i, gdzie µ i = E [X i ], σ 2 i = Var [X i]. Przykład (cd. Przykładu 2.1.4) Zastosujemy najpierw aproksymacjȩ normaln a w przypadku, gdy n jest małe (n = 3). Jeżeli prawdziwy rozkład S jest typu dyskretnego wtedy poprawiamy aproksymacjȩ poprzez dodanie.5 do wartości S. Zatem dla S = X 1 + X 2 + X 3 mamy E [S] = 3.4, Var [S] = 3.66 oraz P (S x) = P = P ( S +.5 E [S] Var [S] ) x +.5 E [S] Var [S] ( ) ( ) S x x Φ Dla poszczególnych x odczytujemy rozkład z tablic. Poniżej w tabeli oraz na rysunku został przedstawiony rozkład zmiennej S obliczony przy pomocy wzoru dokładnego (lub równoważnie, funkcji tworz acej) i aproksymacji normalnej. Dokładne wyliczenie Aproksymacja rozkł. normalnym ( ) x fs(x) FS(x) fs(x) Φ x Obliczenia powyższe pokazuj a, że dla małego rozmiaru portfela przybliżenie rozkładem normalnym nie jest dobre. Przykład Chcemy policzyć rozkład zmiennej S n = X X n, gdzie (X i ) i 1 maj a ten sam rozkład i P (X = i)

54 54 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Rysunek 2.3.3: Wartości dokladne (kółka) i aproksymacja normalna (linia ci agła) dla sumy trzech zmiennych losowych.

55 2.3. APROKSYMACJE Rysunek 2.3.4: Przybliżenie rozkładem normalnym: wartości dokładne (kółka) i aproksymacja (linia ci agła) dla n = 3 i n = 1. Funkcja tworz aca prawdopodobieństwa ma postać P X (t) =.3 +.2t +.4t 2 +.1t 3, a st ad P S (t) = (.3 +.2t +.4t 2 +.1t 3 ) n. Otrzymujemy wiȩc szereg potȩgowy i odczytuj ac współczynniki przy t m, m N, dostajemy rozkład S. Analogicznie jak w poprzednim przykładzie stosujemy aproksymacjȩ normaln a (E [S] = n 1.3, Var [S] = n 1.1) i dla n = 3 oraz n = 1 sporządzamy przybliżenia (rysunek) Widzimy, że dla n = 1 mamy lepsz a zgodność z rozkładem normalnym. Przykład Jezeli zmienna losowa X ma rozkład Bin(n, p) oraz n, to z Twierdzenia Moivre a-laplace a mamy X np npq d n Z N(, 1). Lepsze wyniki daje zastosowanie czynnika koryguj acego.5, tzn. przybliżamy ( ) x +.5 np P (X x) Φ. npq

56 56 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przykład Załóżmy, że zmienna losowa N ma rozkład P oi(λ). Zauważmy, że jeśli λ jest całkowite, to N można przedstawić (co do rozkładu) jako N N λ, gdzie składniki s a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie P oi(1). Centralne Twierdzenie Graniczne można wiȩc stosować w ogólnym przypadku i otrzymać przybliżenie (dla dużych λ) ( ) k λ P (N k) Φ. λ Przybliżenie to jest jednak niedokładne dla małych wartości λ. Intuicyjnie jest to jasne: rozkład normalny bȩd acy symetrycznym nie może dawać dobrych przybliżeń dla Poissona z małym λ, a wiȩc z duż a skośności a 1 λ. Przykład Załóżmy, że X 1,..., X n s a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym ze średni a 1. Wtedy zmienna losowa S n = n X i ma rozkład Γ(n, 1) (patrz Twierdzenie ). Rozkład standaryzowanej zmiennej losowej Sn = (S n nµ X )/(σ X n), k = 1,..., n, ma wtedy postać ( F S n (u) = P (Sn Sn nµ X u) = P σ X n = P ( ) S n σ X nu + nµx = F Sn (σ X nu + nµx ), ) u a st ad (uwzglȩdniaj ac µ X = σ X = 1), f S n (u) = nf Sn ( nu + n). Ponieważ dla rozkładu Γ(n, 1) mamy f Sn (x) = xn 1 exp( x) (n 1)!, wiȩc kład ac x = nu + n dostajemy f S n (u) = n ( nu + n) n 1 exp( nu) exp( n). (n 1)! Zauważmy, że zmienne losowe S n przyjmuj a wartości w przedziale ( nµ X /σ X, ). Z Centralnego Twierdzenia Granicznego zmienna losowa S n ma dla dużych n rozkład w przybliżeniu normalny. Na jednym rysunku przedstawimy wykresy gȩstości zmiennej S n dla różnych wartości n oraz gȩstość rozkładu N(, 1). Dobre dopasowanie mamy już od n = 3.

57 2.3. APROKSYMACJE u Rysunek 2.3.5: Aproksymacja rozkładu Gamma rozkładem normalnym. Rozkład normalny (linia ci agła) i przesuniȩte rozkłady Gamma: k = 2 (kółka) i k = 3 (krzyżyki).

58 58 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Przykład Towarzystwo ubezpieczeniowe oferuje roczne kontrakty w wysokości 1 i 2, w grupach osób, gdzie w pierwszej grupie prawdopodobieństwo śmierci równa sie.2, a w drugiej.1: k q k b k n k gdzie n k oznaczaj a liczebności konkraktów. Towarzystwo to zamierza za 18 powyżej opisanych kontraktów zebrać tyle składek, aby z prawdopodobieństwem.95 sumaryczna szkoda S = X X 18 była mniejsza od zebranej sumy. Przy tym wymaga siȩ, aby składka każdego osobnika była proporcjonalna do wartości oczekiwanej jego szkody, tzn. ma być postaci (1 + θ)e[x j ], dla pewnej stałej θ > (składka wartości oczekiwanej). Zmienne X i s a niezależne o rozkładach P (X i = b k ) = q k, P (X i = ) = 1 q k, przy czym rozkłady zależ a od typu kontraktu ( np. dla i = 1,..., 5, k = 1). Należy wiȩc znaleźć θ takie, że P (S (1 + θ)e [S]) =.95, co jest równoważne P ( S E [S] Var [S] ) θe [S] =.95, Var [S] i korzystaj ac z przybliżenia rozkładem normalnym ( ) θe [S] Φ =.95. Var [S] Z tablic odczytujemy θe [S] Var [S] = Pozostaje wiȩc policzyć E [S] i Var [S]. k q k b k E[X k ] V ar[x k ] n k n k E[X k ] Sumuj ac odpowiednio otrzymujemy E [S] = 16 oraz Var [S] = 256. Wstawiaj ac te wartości wyżej otrzymujemy θ =.1645 (czyli narzut na skladkȩ netto powinien wynosić 16.5%, aby zapewnić 95% pewność, że składki pokryj a szkody).

59 2.3. APROKSYMACJE 59 Przykład Portfel X 1,..., X n jest dwuwarstwowy, dla n = n 1 + n 2 ryzyk postaci X i = I i B i, gdzie P (I i = 1) = q i. Inaczej mówiąc, ubezpieczenia wypadkowe s a dwojakiego rodzaju (k = 1, 2) i mają taka samą strukturę. Rozkład wypłaty (pod warunkiem, że szkoda nastȩpuje) tzn. X k I k = 1 jest rozkładem obciȩtym wykładniczym. Rozkład obciȩty wykładniczy zadany jest dystrybuant a dla x < F B (x) = 1 e λx dla x < L, 1 dla x L dla pewnego L >. Specyfikuj ac różne wartości parametrów skali i poziomu obciȩcia, zakładamy nastȩpuj ace dane Wyliczaj ac momenty otrzymujemy k n k q k λ k L k E [X k I k = 1] = 1 e λ kl k λ k, [ ] E Xk I 2 k = 1 = 2 λ 2 (1 e λ kl k ) 2L k e λ kl k, k λ k Var [X k I k = 1] = 1 2λ kl k e λ kl k e 2λ kl k λ 2. k Zbieraj ac wyniki dla poszczególnych typów kontraktów mamy Ostatecznie i szukamy θ takiego, że k q k µ k σk 2 E[X k ] V ar[x k ] n k E [S] = = 95.89, Var [S] = = P (S (1 + θ)e [S]) =.95 Stosuj ac tablice rozkładu normalnego i przybliżenie rozkładem normalnym, znajdujemy dla S = X X n, θe [S] Var [S] = 1.645

60 6 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA St ad θ =.1846, to znaczy, że należy przyj ać narzut ponad osiemnastoprocentowy na wartość średnią, aby z prawdopodobieństwem.95 składki (z narzutem) pobierane jako wartość średnia z narzutem pokryły wartość zgłoszonych szkód Aproksymacja rozkładów złożonych rozkładem normalnym Centralne Twierdzenie Graniczne jest prawdziwe również dla sum losowych. Twierdzenie Jeśli S = X X N ma rozkład złożony Poissona CP oi(λ, F ), to S λe [X] λe [X 2 ] d λ N(, 1) Dowód: Niech Y = S λe [X] λe [X 2 ]. (2.3.1) Pokażemy, że lim M Y (t) = exp(t 2 /2), t R. λ Mamy [ ] [ ( )] ( ) M Y (t) = E e ty S = E exp λe [X 2 ] t λte [X] exp λe [X 2 ] ( ) ( ) t λte [X] = M S exp λe(x 2. ) λe [X 2 ] Używaj ac wzoru (2.2.4) otrzymujemy ( ( ) ] ) t λte [X] M Y (t) = exp λ [M X 1 λe [X 2. ] λe [X 2 ] Korzystaj ac z rozwiniȩcia funkcji tworz acej momenty w szereg Taylora M X (t) = 1 + te [X] 1! + t2 E [ X 2] 2! +... oraz podstawiaj ac t/ λe [X] w miejsce t otrzymujemy ( 1 M Y (t) = exp 2 t E [ X 3] ) λ E [ X 3/2]t λ exp(t2 /2).

61 2.3. APROKSYMACJE Rysunek 2.3.6: Przykład Rozważmy złożony rozkład Poissona dla parametrów λ = 5 i λ = 15. Szkoda przyjmuje piȩć wartości jak w Przykładzie Dla parametru λ = 15 mamy dobr a zgodność z rozkładem normalnym. Podobnie jak dla rozkładów CP oi zachodzi Centralne Twierdzenie Graniczne dla rozkładów złożonych ujemnych dwumianowych.

62 62 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Twierdzenie Jeśli S = X X N ma rozkład złożony ujemny dwumianowy Bin (r, p), to S rqe [X] /p (rqvar [X])/p + rq(e [X]) 2 /p 2 d r N(, 1) Aproksymacja Edgewortha rozkładów złożonych Udoskonaleniem przybliżenia przy użyciu Centralnego Twierdzenia Granicznego, takim, że uwzględniona jest w nim skośność, jest tzw. aproksymacja Edgewortha. Dla rozkładu złożonego S niech S = S E[S]. Rozwijaj ac funkcjȩ tworz ac a kumulanty Var[S] zmiennej losowej S w szereg w otoczeniu dostajemy C S (r) = k i r i i!, gdzie k i jest i-t a kumulant a zmiennej S. Mamy: k 1 = E [S ] =, k 2 = Var [S ] = 1, k 3 = E [ (S E[S ]) 3] = E [ (S ) 3], k 4 = E [ (S ) 4] 3. Aproksymujemy funkcjȩ C S (r) dla małych r w nastȩpuj acy sposób: a st ad C S (r) 4 ( r 2 M S (r) exp 2 + k r k r 4 ) 4 24 ( ) ( r 2 r 3 exp 1 + k k r 4 ) r i ( r 2 k i i! = 2 + k r k 4 r 4 ) 24, Funkcja exp(r 2 /2) jest funkcj a tworz ac a standardowej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym. Z drugiej strony, całkując przez części widzimy, że r n exp(r 2 /2) = (e rx ) (n) φ(x)dx = ( 1) n e rx Φ (n+1) (x)dx, a st ad r n exp(r 2 /2) jest funkcj a tworz ac a momenty funkcji ( 1) n Φ (n) (x). Otrzymujemy wiȩc nastȩpuj ace przybliżenie Edgewortha dla rozkładu zmiennej S : F S (x) Φ(x) k 3 6 Φ(3) (x) + k 4 24 Φ(4) (x)

63 2.3. APROKSYMACJE 63 lub uwzglȩdniaj ac tylko trzy kumulanty F S (x) Φ(x) k 3 6 Φ(3) (x). (2.3.2) Bezpośrednie obliczenia daj a Φ (3) (x) = 1 2π (x 2 1) exp( x 2 /2), Φ (4) (x) = 1 2π ( x 3 + 3x) exp( x 2 /2). Przybliżenie Edgewortha obarczone jest tym wiȩkszym błȩdem, czym wolniej malej a kumulanty. W szczególności, przybliżenie to stosuje siȩ, gdy k 3 jest małe. Mamy dla złożonego rozkładu Poissona [ k 3 (S ) = E (S E [S]) 3] /σs 3 = E [(S ) 3] = λe [ X 3] ( λe [X 2 ]) 3 = 1 λ E [ X 3] ( E [X 2 ]) 3. Trzecia kumulanta k 3 (S ) jest wiȩc proporcjonalna do λ.5. Przykład Rozważmy dwa przypadki dla złożonego rozkładu Poissona CP oi(λ, F X ). Niech najpierw X Exp(β). Ponieważ k-ty moment zmiennej losowej X jest postaci k! i przy dużym rozmiarze portfela możemy stosować aproksymacjȩ. Niech wiȩc k 3 (S ) = λ teraz X P ar(α, ν). Wtedy k-ty moment jest postaci β k, k!ν k k α > k. Dla α < 3 mamy (α i), k 3 (S ) =. Co wiȩcej, gdy α < 2, to k 2 (S ) = i wtedy nie można nawet stosować Centralnego Twierdzenia Granicznego. Aby uchronić siȩ przed takimi kłopotami (a także w celu unikniȩcia skutków wielkich ż adań) stosuje siȩ limitowanie maksymalnych wypłat. Rozważmy w tym celu rodzinȩ dystrybuant (F (d), d > ) zadanych przez F (d) X F (d) X (x) = { FX (x) x d 1 x > d. X jest wiȩc dystrybuant a zmiennej losowej min(x, d). Zmienne losowe takiej postaci pojawiają siȩ w przypadku reasekuracji. Rozważmy teraz rodzinȩ (S (d) N losowych o rozkładach CP oi(λ, F (d) ). Wtedy X k 3 ((S (d) ) ) = 1 E [ (min(d, X)) 3] λ ( ) 3 1 de [ (min(d, X)) 2] E [(min(d, X)) 2 ] λ ( 3. E[(min(d, X)) ]) 2, d > ) zmiennych Jeżeli wiȩc dla rozkładu Pareto mamy 2 < α < 3 (nie ma trzeciego momentu, istnieje wariancja), to w celu kontroli k 3 wystarczy kontrolować poziom obciȩcia d.

64 64 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Twierdzenia graniczne dla sum losowych pozwalaj a oszacować kwantyle s α zmiennej losowej S. Jeżeli S ma w przybliżeniu rozkład standardowy normalny, to s α = E [S] + s α Var [S] E [S] + z α Var [S] gdzie z α jest kwantylem standardowego rozkładu normalnego. Niech δ = k 3 /6. Kład ac w rozwiniȩciu Edgewortha (2.3.2) x := s α, gdzie s α jest kwantylem zmiennej S, dostajemy α Φ(s α) δ(1 (s α) 2 )φ(s α) Φ(s α) δ(1 z 2 α)φ(s α) Φ(z α ) + (s α z α )φ(z α ) δ(1 z 2 α)φ(s α) = α + (s α z α )φ(z α ) δ(1 z 2 α)φ(s α) co po podstawieniu δ = k 3 /6 = E[(S ) 3 ] 6 (gdyż E [S ] = ) daje s α z α + 1 [ 6 (z2 α 1)E (S ) 3], a st ad s α E [S] + z α Var [S] + 1 [ ] (S E [S]) 3 6 (z2 α 1)E. Var [S] W szczególności, dla złożonego rozkładu Poissona s α λe [X] + z α λe [X 2 ] (z2 α 1) E [ X 3] E [X 2 ] Aproksymacja przesuniȩtym rozkładem Gamma Niech teraz G(x; α, β) = x β α Γ(α) tα 1 e βt dt, H(x; α, β, x ) = G(x x ; α, β). Funkcja G( ; α, β) jest dystrybuantą rozkładu gamma Gamma(α, β) o parametrze kształtu α i parametrze skali β,. Sumaryczn a szkodȩ S można przybliżyć rozkładem gamma zachowuj ac zgodność trzech pierwszych centralnych momentów, tzn. E [S] = x + α β,

65 2.3. APROKSYMACJE 65 Var [S] = α β 2, E [(S E [S]) 3] = 2α β 3. Zauważmy, że aproksymacja gamma wymaga, by skośność była dodatnia. St ad należy dobrać parametry x, α, β w nastȩpuj acy sposób (Var [S]) 3 α = 4 (E [(S E [S]) 3 ]) 2, Var [S] β = 2 E [(S E [S]) 3 ], (Var [S])2 x = E [S] 2 E [S E [S]] 3. W szczególności dla rozkładu złożonego Poissona α = 4λ (E [ X 2] ) 3 (E [X 3 ]) 2, (2.3.3) β = 2 E [ X 2] E [X 3 ], x = λe [X] 2λ (E [ X 2] ) 2 E [X 3 ]. (2.3.4) (2.3.5) Uwaga Powstaje naturalne pytanie: kiedy stosować aproksymacjȩ normaln a, a kiedy Gamma? Jeżeli S współczynnik skośności jest mały, to należy stosować aproksymacjȩ normaln a, w przeciwnym razie - Gamma. Regułȩ tȩ należy stosować ostrożnie. Przykład (cd. Przykładu 2.2.9) Rozważmy złożony rozkład Poissona z parametrem λ = 1 i szkod a o rozkładzie i P (X = i) Zastosujemy najpierw aproksymacjȩ normaln a. W złożonym rozkładzie mamy E [S] = E [N] E [X] = 94, [ Var [S] = λ(e X 2] ) = Otrzymujemy wiȩc x Pr(S x) Φ( ). 1397

66 66 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Aby skorzystać przybliżenia Gamma trzeba dla danych w powyższym przykładzie obliczyć parametry x, α, β. Dla złożonego rozkładu Poissona mamy ze wzorów (2.3.3)-(2.3.5) (139.7) 3 α = 4 1 (2278.3) 2 = 21.1, β = =.12, x = (139.7) = W naszym przypadku skośność wynosi.44. Widzimy lepsze dopasowanie rozkładem Gamma niż normalnym. Rozpatrzmy jednak inne dane: i γ ξ P (X = i) P (X = i) P (X = i) W pierwszym przypadku aproksymacja normalna, ze wzglȩdu na duż a skośność (.44) nie jest dopuszczalna, przybliżenie Gamma jest dobre tylko w ogonie rozkładu. W drugim, skośność wynosi.9, w trzecim Aproksymacja niejednorodnego modelu prostego Poissonowskim modelem złożonym Rozważmy portfel S = S n = X X n, gdzie X j = I j B j. Zakładamy, że zmienne losowe I j maj a rozkład dwupunktowy, q j = P (I j = 1). Wtedy E [S] = n j=1 q j µ j, Var [S] = nj=1 q j (1 q j )µ 2 j + n j=1 q j σj 2, gdzie q j = P (I j = 1) = 1 P (I j = ), µ j = E [B j ], σj 2 = Var [B j ]. Jeżeli teraz F j jest dystrybuantą zmiennej losowej B j, to ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite wprowadzimy dystrybuantę typowej szkody w portfelu poprzez równość n q j F j (x) P (Y x) =. q q n j=1

67 2.3. APROKSYMACJE Rysunek 2.3.7: Aproksymacja Gamma (linia gruba) i normalna (linia cienka) wraz z wartościami dokładnymi (linia łamana)

68 68 ROZDZIAŁ 2. ROZKŁADY WIELKOŚCI PORTFELA Bȩdziemy rozkład S aproksymowali złożonym rozkładem Poissona W N = N j=1 Y j, gdzie N ma rozkład Poissona z parametrem λ = q 1 + +q n, Y j maj a taki sam rozkład jak zmienna [ losowa Y. Takie podejście gwarantuje, że E [S N ] = E [W N ]. Rzeczywiście, E Y k] = [ ] nj=1 q j λ E Bj k, a st ad E [W N ] = E [N] E [Y ] = E [S]. Z drugiej strony Var [W N ] = λe [ Y 2] = nj=1 q j (µ 2 j + σ2 j ) i st ad n Var [W N ] Var [S N ] = qj 2 µ 2 j. j=1 Zmienna losowa aproksymuj aca ma wiȩc wiȩksz a wariancjȩ niż S. Aproksymacja ta bierze siȩ z nastȩpuj acego przybliżenia funkcji tworz acej kumulanty zmiennej S. Mamy n C S (u) = log(1 + q i (M Bi (u) 1)), a st ad korzystaj ac z przybliżenia log x x mamy dla małych u: C S (u) λ n ( ) qi λ (M B i (u) 1), co jest funkcj a tworz ac a kumulanty złożonego rozkładu Poissona.

69 Rozdział 3 Składki 3.1 Składka netto Składka jest opłat a, któr a podmiot narażony na ryzyko płaci ubezpieczycielowi za przejȩcie czȩści ryzyka zwi azanego ze swoj a działalności a. Składkȩ wylicza ubezpieczyciel bazuj ac na zasadzie, że losowe, sumaryczne roszczenia ubezpieczonych klientów w danej grupie działalności (w danym portfelu) powinny być skompensowane przez ustalone z góry opłaty (składki). Wartość składki H powinna zależeć od dystrybuanty F S zmiennej S, która oznacza ubezpieczana wielkość. Tak wiȩc H = H(F S ) ( piszemy również H = H(S)). Składka netto. Podstawową składk a jest H = E[S]. Składka taka nazywana jest składk a netto. Wycena szkody jedynie poprzez wartość oczekiwan a nie gwarantuje jednak bezpiecznego pokrycia wielkości szkody. Rzeczywiście, załóżmy bowiem, że portfel składa siȩ z n niezależnych, jednakowo rozłożonych ryzyk X 1,..., X n. Mamy S n = X X n. Oczywiście, składka dla całego portfela powinna być równa sumie pojedynczych składek, tzn. H(S n ) = H(X 1 ) H(X n ) = nh(x 1 ), gdyż ryzyka maj a ten sam( rozkład. Z Prawa ) Wielkich Liczb, dla każdego ε > S i dostatecznie dużych wartości n, P n n E [X 1 ] > ε =, a st ad otrzymujemy lim P n ( n X i > nh(x 1 ) ) = { 1 dla H(X1 ) < E [X 1 ] dla H(X 1 ) E [X 1 ]. (3.1.1) W przypadku, gdy H(X 1 ) < E [X 1 ] prawdopodobienstwo, że suma wypłaconych odszkodowań przekroczy zebrane składki d aży do 1. Dlatego dla dowolnego portfela S poż adan a własności a składki jest by H(S) > E [S], czyli H(S) = (1 + ρ)e [S] ρ > 69

70 7 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI Wartość ρ nazywamy narzutem bezpieczeństwa. Wyliczenie wartości ρ w konkretnym portfelu jest zwiazane z zagadnieniem bezpieczeństwa pokrycia szkody przez składke. 3.2 Składka z ustalonym poziomem bezpieczeństwa Równość (3.1.1) wskazuje, że dla dużego rozmiaru portfela i składki przewyższaj acej E [X 1 ], prawdopodobieństwo niewypłacalności d aży do zera. W praktyce jednak mamy do czynienia z portfelami skończonego rozmiaru, dlatego stawiamy nastȩpuj ace pytanie: jak duża powinna być składka (lub jak duży powinien być narzut bezpieczeństwa), aby prawdopodobieństwo niewypłacalności było równe z góry zadanej (małej) liczbie α (, 1)? Inaczej mówiąc: szukamy takiego H(S), by P (S > H(S)) = α. Wartość ta nazywana jest kwantylem rzȩdu 1 α rozkładu zmiennej S (wartość H(S) jest nazywana Value-at-Risk (VaR) i jest jedn a ze standardowych miar oceny wypłacalności instytucji finansowych). W przypadku S n = X X n, gdy nie znamy rozkładu pojedynczej szkody X i, a rozmiar portfela jest dostatecznie duży (n 3) możemy posłużyć siȩ Centralnym Twierdzeniem Granicznym, aby otrzymać ( Sn E [S n ] P (S n > H(S n )) = P > H(S ) n) E [S n ] σ(s n ) σ(s n ) ( P Z > H(S ) n) E [S n ], σ(s n ) gdzie zmienna ( losowa Z ma rozkład normalny N(, 1) ze średni a i wariancj a 1. Przyjmuj ac P Z > H(Sn) E[Sn] ) σ(s n) = α otrzymujemy H(S n ) E [S n ] σ(s n ) = z 1 α, gdzie z α = FZ 1 (α), α (, 1). Mamy wiȩc H(S n) = (1 + ρ)e [S n ] z ρ = z 1 ασ(s n ). E [S n ] Powyższy wzór można zapisać inaczej w postaci H(S n ) = E [S n ] + z 1 α σ(s n ) (3.2.1) lub ogólniej H(S) = E [S] + δσ(s), δ >. Powyższy wzór definiuje tak zwan a składkȩ odchylenia standardowego.

71 3.2. SKŁADKA Z USTALONYM POZIOMEM BEZPIECZEŃSTWA 71 Powyżej podaliśmy sposób wyliczenia składki dla portfela S n złożonego z niezależnych ryzyk X 1,..., X n o tym samym rozkładzie. Z formuły na składkȩ H(S n ) dla całego portfela łatwo można uzyskać składkȩ dla pojedynczego ryzyka: H(X i ) = E [X i ] + z 1 α σ(s n )/n, i = 1,..., n. (3.2.2) Zauważmy, że składka ta jest identyczna dla każdego i. Ogólniej, jeżeli X 1,..., X n maj a inne rozkłady, ale s a niezależne i maj a równe wariancje, to składkȩ indywidualn a można skalkulować według wzoru (3.2.2). Cz esto postuluje siȩ, by dla dowolnych dwóch ryzyk S i S zachodziła nierówność H(S + S ) H(S) + H(S ). Powyższa nierówność może być ostra jak pokazuje poniższy przykład. Przykład [EA: (8)] Ł aczenie ryzyk dwóch różnych portfeli może mieć wpływ na wielkość składki. Rozważmy w tym celu dwie grupy ryzyk: pierwsza składa siȩ z 9 niezależnych ryzyk X 1,...X 9 z t a sam a średni a 1 i wariancj a 4, druga składa siȩ z 8 niezależnych (nawzajem i od ryzyk z pierwszej grupy) ryzyk Y 1,..., Y 8 ze średni a 2 i wariancj a 8. W obu grupach ustalono składki netto z narzutem H 1 i H 2 tak, by prawdopodobieństwo, iż suma szkód przekroczy sumȩ składek wyniosło.13. W tym celu przyjȩto, że ryzyka ł aczne w obu portfelach można przybliżyć rozkładem normalnym. Powstaje pytanie o ustalenie nowych składek z narzutem H1 i H 2 tak, by po poł aczeniu portfeli został zachowany standard bezpieczeństwa stosowany w pojedynczych portfelach. Jaki jest dopuszczalny zbiór wartości dla H1 i H 2? Ustalmy najpierw pocz atkow a wielkość składek. Z warunków zadania oraz P P ( 9 ( 8 X i > 9H 1 ) =.13 Y i > 8H 2 ) =.13 i z aproksymacji normalnej dostajemy (9H 1 9)/ 9 4 = z oraz (8H 2 16)/ 8 8 = z , gdzie z 1.13 jest kwantylem rzȩdu 1.13 standardowego rozkładu normalnego. St ad H 1 6 5, H Chcemy teraz znaleźć takie H1 i H 2, by ( 9 ) 8 P X i + Y i > 9H1 + 8H2 =.13, czyli (9H1 + 8H )/ oraz by zmiana stawek była korzystna, tzn. H1 H 1, H2 H 2. Rozwi azujemy wiȩc, dla składek z narzutem, zagadnienie 9H1 + 8H 2 28 H1 H 1. H2 H 2

72 72 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI Otrzymujemy st ad dopuszczalny przedział dla H2 : (2.15, 2.3). Zauważmy, że przed zmian a taryfy ł aczna zebrana składka wyniosła 9H 1 + 8H 2 = 292., a wiȩc była wyższa niż po zmianie stawek. Ł aczenie niezależnych portfeli ryzyk może obniżyć wielkośc składek. 3.3 Składki oparte o funkcję użyteczności Funkcją użyteczności będziemy nazywać dowolną niemalejącą funkcję, która mierzy użyteczność kwoty (losowej) X. Jeśli kwota X przyjmuje wartości w przedziale [m, M], to wygodnie jest unormować taką funkcję, przyjmując u(m) = i u(m) = 1. Jeżeli kontrahent posiada kapitał w i posługuje siȩ funkcj a użyteczności u to wysokość składki, którą gotowy jest zapłacić za zabezpieczenie ryzyka zależy od funkcji u. Graniczną wysokością składki jest kwota H wyznaczona równaniem balansującym oczekiwany efekt ryzyka mierzony wartością oczekiwaną względem u z efektem deterministycznym zabezpieczenia po opłaceniu H, E [u(w S)] = u(w H) Przyjęcie warunku w = H w powyższym wzorze prowadzi do równania E [u(h S)] = u(). Wyliczona z tego równania składka H nazywana jest składk a funkcji użyteczności (zero utility principle). Rozpoznanie kształtu funkcji użyteczności jest możliwe w wyniku analizy potencjalnych decyzji dotyczących zabezpieczania się i gotowości płacenia składki. Przykład Załóżmy, że M = w = 2 oraz P (X = ) = 1/2 = P (X = M). To znaczy posiadając kapitał w wysokości 2 jesteśmy narażeni na ryzyko X polegające na stracie całego kapitału z prawdopodobieństwem 1/2. Określając teraz maksymalną składkę, powiedzmy H = 12, za ubezpieczenie takiego ryzyka, automatycznie wyznaczamy wartość u(8) = 1/2, bo E(u(M X)) = 1/2 (zakładając, że wyznaczamy unormowane u). Zob. rys Intuicyjne zrozumienie roli funkcji użyteczności możliwe jest również poprzez interpretację w języku prowadzenia gry.

73 3.3. SKŁADKI OPARTE O FUNKCJĘ UŻYTECZNOŚCI 73 Rysunek 3.3.1: Pierwsze przybliżenie funkcji użyteczności. Oś OX razy 1.

74 74 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI Przykład Załóżmy, że dla dowolnego ustalonego w z przedziału [m, M], i funkcji użyteczności u takiej, że u(m) =, u(m) = 1 mamy następujący wybór: akceptujemy kwotę w lub otrzymujemy kwotę wynikajacą z losowania, gdzie otrzymujemy M z prawdopodobieństwem p (sukces) lub m z prawdopodobieństwem 1 p (porażka). Każdy się zgodzi, że wyboru nie możemy dokonać nie znając wartości p. Oznaczmy przez X zmienną losową taką, że P (X = M) = p = 1 P (X = m). Wtedy Eu(X) = p. Jesli p jest tą wartością prawdopodobieństwa sukcesu, która spowoduje, że będziemy chcieli otrzymać kwotę wynikającą z losowania X zamiast pewnej kwoty w, to możemy przyjąć, że u(w) = p. Kształt funkcji u będzie zależał od indywidualnej skłonności do podjęcia ryzyka (wybrania opcji losowania). Mówimy, że decydent ma awersję do ryzyka jeśli jego funkcja użyteczności jest wklęsła. Przypomnijmy, że u jest wklęsła jeśli u(w + h) u(w) u(w + h) u(w ), dla każdego h > oraz w w, tzn. gdy u ma przyrosty malejące. Dla gładkich u, jest to równoważne z warunkiem, że pochodna u jest malejąca (słabo). Funkcja u o przyrostach rosnących (równoważnie o pochodnej rosnącej) nazywana jest funkcją wypukłą. Własności wklęsłości i wypukłości odnoszą się zawsze do konkretnego zbioru argumentów (zwykle rozważa się przedziały otwarte, niekoniecznie skończone). Ponieważ dla funkcji wklęsłej u styczna w dowolnym ustalonym punkcie w leży ponad wykresem u, zob. rys , to u(w) u (w )(w w ) + u(w ). Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej EX, podstawiając w := EX, w := X i biorąc wartość oczekiwaną obustronnie w powyższej nierówności otrzymujemy natychmiast E [u(x)] u(e [X]). Nierówność ta jest tak zwaną nierównością Jensena dla funkcji wklęsłych (dla u wypukłych zachodzi nierówność odwrotna). Podstawiając w nierówności Jensena dla u wklęsłej, X := w S, otrzymujemy E [u(w S)] u(w E [S]). Jeśli teraz H jest taka, że spełnia równowagę E [u(w S)] = u(w H), to u(w H) u(w E [S]), z czego wynika (u jest niemalejąca), że H E [S]. Oznacza to, że decydent mający awersję do ryzyka jest gotowy płacić składkę większą od wartości średniej ryzyka. Wielkość tej składki zależy jednak wyraźnie od rodzaju u i może zależeć od kapitału w, który posiada decydent.

75 3.3. SKŁADKI OPARTE O FUNKCJĘ UŻYTECZNOŚCI 75 Rysunek 3.3.2: Ilustracja nierówności Jensena. Linia prosta styczna w punkcie (1,1) leży nad wykresem krzywej wklesłej.

76 76 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI Przykład Niech u(w) = e αw, α >. Nie przyjmując dokładniejszych założeń o X, jedynie istnienie skończonej wartości M X (α), z równania E [u(w S)] = u(w H) otrzymujemy natychmiast H = C X (α)/α. Przy takim u, składka wyliczona na podstawie u nie zależy od w! Przykład Niech u(w) = w γ, γ (, 1). Jeśli w = 2, S ma rozkład jednostajny na [, 2] i γ = 1/2, to E [u(w S)] = u(w H) sprowadza się do równości 2 H = 2 xfs (x)dx dla f S (x) = I [,2] (x)/2. Wyliczając składkę otrzymujemy H = 11, Widzimy, że H > ES = 1. Przykład Niech u(w) = w αw 2, w < 1/2α, α >. Załóżmy, że w = 1, P (S = 1) =.5 = 1 P (S = ), α =.1, wtedy H = Gdy w = 2, to dla tej zmiennej S, H = 5.37, co pokazuje, że dla kwadratowej funkcji użyteczności składka zależy od posiadanego kaptału w. 3.4 Reasekuracja, podział ryzyka Reasekuracja jest przekazaniem przez ubezpieczyciela (cedenta) czȩści ryzyka do ubezpieczenia w innym towarzystwie ubezpieczeniowym. Ogólnie bior ac dla ryzyka X, wartość X r = X h(x) przekazuje siȩ do ponownego ubezpieczenia, gdzie h(x) jest pewn a funkcj a (funkcja retencyjna) o własnościach: h(x) jest niemalej aca, x h(x) jest niemalej aca, h(x) x oraz h() =. Funkcja kompensacji k(x) wyznaczona jest przez równość k(x) = x h(x). Udział własny oznaczamy przez X c = h(x). Typowymi kontraktami reasekuracyjnymi s a: 1. Reasekuracja proporcjonalna a) reasekuracja z udziałem procentowym (quota-share), X r = αx, α (, 1), X c = (1 α)x. Wady kontraktu proporcjonalnego:

77 3.4. REASEKURACJA, PODZIAŁ RYZYKA 77 Rysunek 3.3.3: Wykres unormowanych funkcji użyteczności ( exp( w) + 1)/( exp( 1) + 1)- zielona, czerwona, (w.5 w 2 )/.5- żółta (w)-

78 78 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI - małe szkody dzielone s a pomiȩdzy cedenta i reasekuratora. Dominuj a wtedy koszty administracyjne likwidacji szkody. b) reasekuracja nadwyżkowa (surplus) { (1 s X r = I )X, I > s, I s, { s X c = I X, I > s X, I s, gdzie s jest poziomem retencji, czyli górnym limitem odpowiedzialności towarzystwa ubezpieczeniowego, a I górn a wartości a szkody. 2. Reasekuracja nieproporcjonalna a) reasekuracja nadwyżkowa (kontrakt stop-loss) X r = (X d) +, X c = min(x, d) Uwaga: Jeżeli reasekurujemy szkody kolektywne, tzn. ł aczna szkoda ma postać X := S N = N X i, to rozróżniamy dwa typy reasekuracji nadwyżkowej: (Z oznacza wartość przekazan a do reasekuracji) N Z = (X i b) + (excess-of-loss), b >, Z = (X b) + (stop-loss), b >, b) reasekuracja r najwiȩkszych wypłat: Niech X (1) X (n) bȩd a uporz adkowanymi stratami w portfelu. Umowa reasekuracyjna mówi, że r najwiȩkszych wypłat pokrywa reasekurator, tzn. r X r = X (n i+1), X c = n r X (i). c) reasekuracja ECOMOR Niech X (1) X (n) bȩd a uporz adkowanymi stratami w portfelu. Reasekurator pokrywa nadwyżkȩ ponad poziom X (n r) dla ustalonego r, a wiȩc X r = X c = r (X (n i+1) X (n r) ), n r X (i) + rx (n r).

79 3.4. REASEKURACJA, PODZIAŁ RYZYKA Wycena kontraktu stop-loss Zajmiemy siȩ teraz bliżej własnościami składki netto kontraktu stop-loss. Przyjmujemy oznaczenie I d (s) = (s d) + (tutaj udział własny jest wyznaczony funkcją h(s) = min(s, d)). Natychmiast możemy wyliczyć wartość netto ryzyka części ryzyka S przekazywanego do reasekuracji: E [I d (S)] = d (s d)df S (s) = d (1 F S (s))ds. Zauważmy, że jest to pole pod ogonem dystrybuanty ryzyka na przedziale [d, ). Przy założeniu, że dystrybuanta F S jest różniczkowalna, różniczkuj ac E[I d (S)] wzglȩdem d otrzymujemy E[I d (S)] = (1 F S (d)), różniczkujac ponownie otrzymujemy E[I d (S)] = f S (d). Ponieważ (1 F S (d)) oraz f S (d), wnioskujemy, że E [I d (S)] jest funkcj a nierosn ac a i wypukł a zmiennej d. W szczególności, dla ryzyka wykładniczego S Exp(β) mamy E [I d (S)] = d (exp( βs))ds = e dβ β. Niech teraz L(d) = E [min(s, d)]. Funkcja ta jest wypukła i rosn aca zmiennej d, bo L(d) = d 1 F S (s)ds, gdyż jak wiadomo E [I d (S)] + L(d) = E [S] = 1 F S (s)ds. Przykład [EA:2.6.21(3)] Wielkość szkody S jest zmienn a losow a o rozkładzie U[, 1]. Poza pytaniem [ o ] wartość netto warto wiedzieć ile wynosi wariancja V ari 5 (S). Zauważmy, że E (S 5) k + = (x 5)k +dx = (x 5)k 1 dx = 1(k+1) 5k+1. W szczególności, dla k = 1 i k = 2 mamy, odpowiednio, 5 4 i 25 6, a st ad Var [(S 5) +] = 125 [ Z drugiej strony mamy E min(s, 5) k] = 5 k P (S > 5) xk dx = 1 2 5k + 1 i w szczególności E [min(s, 5)] = 15 4, Var [min(s, 5)] = 1 ( ) = k+1 5k+1 Obliczaj ac współczynnik zmienności γ 2 (Y ) = σ Y µ Y dla zmiennych losowych Y := S, (S 5) +,

80 8 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI 3 3, 15 3, 15 min(s, 5) dostajemy odpowiednio 9. Kontrakt stop-loss zmniejsza wiȩc współczynnik zmienności posiadacza ryzyka min(s, d), podczas, gdy analogiczna wielkość dla (S d) + jest wiȩksza niż dla wyjściowej zmiennej losowej S. Przykład [EA: (6)] O rozkładzie pewnego ryzyka S wiemy, że: E[(S 2) + ] = 8 E[S 1 < S 2] = 13 P (S 2) = 3 4 P (S 1) = 1 4. Obliczymy E [(S 1) + ]]. Mamy E [(S 1) + ] = E [(S 1)I(S > 1)] = E [SI(S > 1)] 1P (S > 1) = E [SI(2 S > 1)] + E [SI(S > 2)] 1P (S > 1) = E [SI(2 S > 1)] + E [(S 2)I(S > 2)] +2P (S > 2) 1P (S > 1) = E [S 1 < S 2] P (1 < S 2) + E [(S 2) + ] +2P (S > 2) 1P (S > 1) = = 12. Przykład [EA:15.1.2(4)] Zmienna losowa S przyjmuje wartości nieujemne. Mamy nastȩpuj ace dane i d i F (d i ) E [(S d i ) + ] Obliczymy E [S 5 < S 7]. Mamy E [S 5 < S 7] = E [SI(5 < S 7)] P (5 < S 7) = E [(S 5) +] E [(S 7) + ] + 5P (S > 5) 7P (S > 7) P (5 < S 7) = 6.5

81 3.4. REASEKURACJA, PODZIAŁ RYZYKA Własności kontraktu stop-loss Zajmiemy siȩ teraz wyborem najodpowiedniejszego (dla cedenta) sposobu reasekuracji. Poniższe twierdzenie pokazuje, że sposród wszystkich kontraktów o ustalonej składce netto E [h(s)] wariancjȩ minimalizuje kontrakt stop-loss. Twierdzenie Niech S bȩdzie ustalonym ryzykiem oraz C ustalon a wartością netto udziału własnego, wtedy min Var [h(s)] = Var {h:e[h(s)]=c} [min(d, S)], przy czym d wyznaczone jest przez E [min(d, S)] = C. Dowód. Licząc wariancję udziału własnego widzimy, że dla dowolnego ryzyka X i dowolnego udziału własnego h(x) takiego, że E [h(x)] = C i dla każdego d zachodzi Var [h(x)] = = = = (h(x) C) 2 df X (x) (h(x) d + d C) 2 df X (x) (h(x) d) 2 2 (h(x) d) 2 df X (x) (d C) 2. Wstawiając w szczególności h(x) := min(d, S), mamy Var [min(s, d )] = d = (d h(x))(d C)dF X (x) + (d C) 2 (min(x, d ) d ) 2 df S (x) (C d ) 2 (x d ) 2 df S (x) (C d ) 2. Dla h(x) x d zachodzi (x d ) 2 (h(x) d ) 2, stąd d (x d ) 2 df S (x) d (h(x) d ) 2 df S (x) (h(x) d ) 2 df S (x), a więc wykorzystując ogólny wzór na wariancję z d = d i X = S widzimy, że Var [h(s)] Var [min(s, d )], dla każdego h takiego, że E [h(x)] = C, co kończy dowód. Niech X = h(x) + k(x) będzie podziałem ryzyka X, takim, że jak zwykle h(x) x, k(x) x oraz E [k(x)] = P E [X] jest ustalone. Niech d będzie poziomem odpowiedzialności w kontrakcie stop-loss takim, że E [I d (X)] = P. Zauważmy, że jest ta sama wartość d, która wcześniej spełniała warunek E [min(x, d )] = C, dla C = E [X] P.

82 82 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI Twierdzenie Dla ustalonego kapitału pocz atkowego w, wklȩsłej funkcji użyteczności u oraz P E [X], max E [u(w + k(x) X P )] = E [u(w + I d (X) X P )], k(x):e[k(x)]=p gdzie d spełnia d (x d )df X (x) = P. Dowód. Zauważmy, że dla dowolnej różniczkowalnej funkcji wklȩsłej i a < b mamy u (b) u(b) u(a) b a u (a). (3.4.1) Z (3.4.1) natychmiast otrzymujemy dla każdego x u(w x P + k(x)) u(w x P + I d (x)) u (w x P + I d (x)) (k(x) I d (x)). Korzystając z faktu, że I d (x) x d i z monotoniczności u mamy u(w x P + k(x)) u(w x P + I d (x)) u (w P d ) (k(x) I d (x)). Ponieważ nierówność ta jest prawdziwa dla każdego x, więc jest również prawdziwa, gdy wstawimy zamiast zmiennej x zmienną losową X, a następnie po obu stronach nierówności nałożymy wartość oczekiwaną. W rezultacie otrzymujemy dla każdego k(x) takiego, że E [k(x)] = E [I d (X)] = P E [u(w X P + k(x)) u(w X P + I d (X))], co dowodzi tezy twierdzenia Wpływ inflacji na kontrakt stop-loss Załóżmy, że szkoda jest likwidowana na koniec roku. Jeżeli ryzyko ma w chwili wartość S to po roku, przy rocznej stopie inflacji i, jego wartość wynosi Z ( = S(1+i). ) Dystrybuaty zmiennych losowych Z i S zwi azane s a zależności a F Z (x) = F x S 1+i. Ponieważ wypłata nastȩpuje po roku, składka netto ma postać d E [(Z d) + ] = (1 + i)e [(S d) + ] + (1 + i) F d S (x)dx, 1+i d E [min(z, d)] = (1 + i)e [min(s, d)] (1 + i) F d S (x)dx. 1+i Widać wiȩc, że składka netto kontraktu rośnie szybciej niż czynnik inflacyjny (1 + i). Oznacza to, że w przypadku inflacji kontrakty takie s a ryzykowne.

83 3.5. REASEKURACJA W PORTFELU ZŁOŻONYM 83 Dla rozkładu Pareto P ar(α, c) o dystrybuancie F (x) = 1 ( c x) α, x c, mamy dla α > 1 E [(Z d) + ] E [(S d) + ] = (1 + i)α. Zauważmy, że powyższy iloraz nie zależy od d. Dla rozkładu wykładniczego Exp(β) dostajemy ( E [(Z d) + ] E [(S d) + ] = (1 + i) exp d βi ). 1 + i 3.5 Reasekuracja w portfelu złożonym Dla rozkładu złożonego, czyli rozkładu ryzyka postaci S = N X i rozważamy dwa rodzaje reasekuracji: globaln a i lokaln a. Pierwsza polega na tym, ( że dla funkcji kompensacyjnej k wartość przekazana do reasekuracji jest postaci k X i. W drugim N ) przypadku, dla ci agu funkcji kompensacyjnych (k i ) i 1 wartość przekazana jest postaci ( N N k i (X i ). W szczególności, gdy k(x) = k i (x) = (x d) + otrzymujemy X i d) (kontrakt stop-loss) i N (X i d) + (kontrakt excess-of-loss). Powstaje pytanie, czy reasekuracja lokalna może być zastapiona reasekuracją globalną o tej samej wartości netto. Następująca własność sugeruje istnienie takiej możliwości, nie dając jednak kompletnej odpowiedzi. Ponadto, przy awersji do ryzyka, reasekurator preferujejeśli to możliwe - reasekurację globalną. + Twierdzenie Niech S = N X i i H r (S) bȩdzie składk a przekazan a reasekuratorowi, który ma wklęsłą funkcję użyteczności u. Dla lokalnej reasekuracji z funkcjami kompensacyjnymi k i, i 1 istnieje funkcja k taka, że [ N ] E [k(s)] = E k i (X i ). (3.5.1) [ ( )] N E u H r (S) k i (X i ) E [u (H r (S) k(s))]. (3.5.2) Dowód. Niech [ N ] k(x) := E k i (X i ) S = x. (3.5.3)

84 84 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI [ [ N ]] Wtedy E [k(s)] = E E k i (X i ) S [ N ] = E k i (X i ), co daje (3.5.1). Funkcja x u (H r (S) x) jest wklęsła, bo u jest wklęsła, st ad warunkując i korzystając z warunkowej wersji nierówności Jensena [ ( )] [ [ ( ) ]] N N E u H r (S) k i (X i ) = E E u H r (S) k i (X i ) S E [ u ( H r (S) E [ N = E [u (H r (S) k(s))]. k i (X i ) S Podstawowym problemem na który napotykamy siȩ stosuj ac powyższe twierdzenie jest fakt, że k(x) określona wzorem (3.5.3) nie musi spełniać warunków funkcji kompensacyjnej, bo nie musi być niemalej aca. Przy pewnych dodatkowych założeniach na rozkład X i wzór (3.5.3) daje funkcjȩ kompensacyjn a. Jest to bezposrednią konsekwencją tak zwanego lematu Efrona. Lemat Niech X 1,..., X n bȩd a niezależnymi, nieujemnymi zmiennymi losowymi o gȩstościach f 1,..., f n, takimi, że logf i, i = 1,..., n są funkcjami wklęsłymi. Wtedy funkcja zmiennej x zdefiniowana przez E [g(x 1,..., X n ) S = x] ])] jest niemalejąca jeśli g : R n R jest niemalejąca względem każdej współrzędnej. Przyjmując g(x 1,..., x n ) = n k i (x i ) widzimy, że jest to funkcja niemalejąca względem każdej współrzędnej, bo funkcje k i są niemalejące jako funkcje kompensacyjne. Stąd k(x) zdefiniowana przez (3.5.3) jest przy założeniu logarytmicznej wklęsłości gestości ryzyka funkcją kompensacyjną jako mieszanka (względem wag P (N = n)) funkcji niemalejących. Przykład Rozkładem o gęstości logarytmicznie wklęsłym jest na przykład rozkład wykładniczy. Sploty gęstości o tej własności również zachowują tę własność, stąd rozkłady Erlanga są logarytmicznie wklęsłe (co widać również bezpośrednio). Rozkłady takie mają rosnacą intensywność awarii (funkcję hazardową) r(x) = f(x)/(1 F (x)), a wykresy ich gęstości posiadają tylko jeden wierzchołek. Uwaga Reasekuracja globalna jest czȩsto preferowana nad lokaln a nie tylko ze wzglȩdu na jej własności wynikaj ace z powyższych twierdzeń. Rozważmy dla ustalenia uwagi S = N X i i reasekuracjȩ nadwyżki. Sumaryczna szkoda S może być duża ze wzglȩdu na duż a ilość szkód, a nie ze wzglȩdu na wystȩpowanie wielkich szkód. Lokalna reasekuracja nie daje wtedy zabezpieczenia przed wypłat a dużych odszkodowań, w przeciwieństwie do globalnej.

85 3.6. STOCHASTYCZNE PORÓWNYWANIE RYZYK Stochastyczne porównywanie ryzyk Dwa ryzyka X, Y możemy porównać poprzez odpowiadające im wartości netto udziału własnego w kontraktach stop-loss. Wprowadza się nastepującą relację X < icv Y E [min(x, d)] E [min(y, d)], d R Proponowany sposób porównywania ryzyk można opisać następująco Twierdzenie Następujące warunki są równoważne (i) X < icv Y, (ii) dla wszystkich wklęsłych niemalejących funkcji g, E [g(x)] E [g(y )], (iii) max(,t) 1 F X (s)ds min(,t) F X (s)ds max(,t) 1 F Y (s)ds min(,t) F Y (s)ds, t R. Dowód. Z definicji X < icv Y, nierówność E [g(x)] E [g(y )] zachodzi dla funkcji g(x) = min(d, x), gdzie d R, które oczywiście są niemalejące wklęsłe. Łatwo zauważyć, że dowolną funkcję niemalejącą wklęsłą możemy punktowo w sposób monotoniczny przybliżyć kombinacjami liniowymi funkcji postaci min(d, x). Stąd po nałożeniu wartości oczekiwanych i przejściu do granicy w aproksymacji dostajemy E [g(x)] E [g(y )] dla dowolnych wklęsłych niemalejących funkcji g. Ostatni warunek jest bezpośrednią konsekwencją użycia wzoru na wartość oczekiwaną dowolnej zmiennej losowej Z E [Z] = 1 F Z (x)dx F Z (x)dx oraz postaci ogona dystrybuanty zmiennej min(t, X), 1 F min(t,x) (x) = (1 F X (x))i (,t) (x). Modyfikując definicję składki wyznaczonej funkcją użyteczności definiujemy wartość π u (w, X) poprzez równość E [u(w + X)] = u(w + E [X] π u (w, X)). Jak widać z warunku E [u(w S)] = u(w H) używanego do wyznaczenia składki H za ryzyko S, tutaj podejście jest bardziej ogólne, gdyż X jest dowolnym ryzykiem. Gdy S = X, to mamy H = π u (w, S) + E [S]. Tak wprowadzona wartość π u (w, X) może posłużyć do porządkowania funkcji użyteczności. Wprowadzamy nastepującą relację dla funkcji użyteczności u, v:

86 86 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI u v π u (w, X) π v (w, X), w, X. Okazuje się (Mueller, Stoyan (22), Tw ), że tak zdefiniowana relacja może byc interpretowana jako porządkowanie awersji do ryzyka zdefiniowanej dla każdej dostatecznie gładkiej (różniczkowalnej dwa razy) funkcji użyteczności u poprzez r u (x) := u (x) u (x), x R. Twierdzenie Dla dwukrotnie różniczkowalnych funkcji użyteczności u, v nastepujące warunki są równoważne (i) v u (ii) u(x) = g(v(x)) dla pewnej niemalejącej wklęsłej funkcji g( ) (iii) r v (x) r u (x), x R Jeśli oznaczymy klasę wszystkich funkcji użyteczności o większej awersji do ryzyka niż ustalona funkcja v przez F v := {u : v u}, to możemy wprowadzić następną relację porządkującą ryzyka X, Y : Okazuje się, że X Fv Y E [g(x)] E [g(y )] g F v. X Fv Y E [min(v(x), t)] E [min(v(y ), t)] t R. Jeśli v jest niemalejąca i wypukła, to X Fv Y pociąga E [X] E [Y ]. Jeśli v(x) = x, to relacja X Fv Y redukuje się do X < icv Y. Łatwo sprawdzić, że stałą awersję do ryzyka mają następujące funkcje użyteczności: u(x) = exp(αx), α >, u(x) = exp( αx), u(x) = x. Wprowadzone stochastyczne metody porządkowania ryzyk są ogólniejszym spojrzeniem na klasyczny sposób porządkowania ryzyk poprzez reguły decyzyjne. Klasyczna reguła decyzyjna Markowitza jest określona przez porównywanie wartości U(X) := E [X] αvar [X], α >. Jeśli ryzyka X, Y mają rozkłady normalne, to X < icv Y wtedy i tylko wtedy, gdy E [X] E [Y ] i Var [X] Var [Y ], z czego wynika, że zgodnie z regułą Markowitza U(X) U(Y ) wtedy i tylko wtedy, gdy X < icv Y, dla ryzyk o rozkładzie normalnym. Powstaje naturalne pytanie o inne rozkłady i ich zgodność z regułami podobnymi do reguły Markowitza. Zachodzi następująca zgodność, która nie wymaga założeń o typie rozkładu, ale dotyczy reguły mierzącej rozrzut inaczej niż w regule Markowitza:

87 3.6. STOCHASTYCZNE PORÓWNYWANIE RYZYK 87 Twierdzenie Jeśli U 1 (X) := E [X] αδ (1) (X), gdzie α (, 1), δ (1) (X) = E [ X E [X] ] /2, to X < icv Y U 1 (X) U 1 (Y ). Dowód. Zauważmy najpierw, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a, możemy dokonać rozkładu na dwie części a = a + a, gdzie a + = max(, a), a = min(, a). Wtedy a = a + + a. Stąd, jeśli E [X] =, to E [X + ] = E [X ] oraz E [(X E [X]) + ] = E [(X E [X]) ], co daje Wystarczy więc pokazać, że E [ X E [X] ] = 2E [(X E [X]) ]. E [X] E [(X E [X]) ] E [Y ] E [(Y E [Y ]) ]. Nierówność ta wynika z nastepujących nierówności E [(Y E [Y ]) ] E [(X E [X]) ] E [(X E [Y ]) ] E [(X E [X]) ] E [Y ] E [X]. Pierwsza z nich zachodzi ponieważ z warunku X < icv Y wynika, że E [(X t) ] E [(Y t) ], t R, ponieważ funkcja określona przez x (x t) jest niemalejąca i wklęsła. Wstawiając t := E [Y ] i monożąc obustronnie przez 1 otrzymujemy pierwszą nierówność. Druga nierówność wynika z nastepującej relacji E [(X (t + )) ] E [(X t) ],, gdy wstawimy t := E [X], := E [Y ] E [X]. Ostatnia relacja jest oczywista w świetle tożsamości E [(X (t + )) ] = E [min(x t, )] E [(X t) ] = E [min(x t, )]. Oprócz prostej zawartości portfela S n = X X n interesujące są kombinacje liniowe portfela S n (a) = a 1 X a n X n, dla wekotora a = (a 1,..., a n ) o nieujemnych współrzędnych. Klasycznym zagadnieniem jest wycena wartości S n (a) oraz wyznaczenie optymalnego wyboru a o ustalonej sumie współrzędnych n a i = m >. Wyznaczenie max E [u(s n n (a))], {a: a i=m}

88 88 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI można zinterpretować jako zagadnienie optymalnej alokacji środków wielkości m względem funkcji użyteczności u. Jeśli u jest wklęsła, to zagadnienie to sprowadza się do poszukiwania maksimum względem porządku < icv w klasie zmiennych losowych {S n (a) : n a i = m}. Okazuje się, że jeśli rozkład łączny portfela (X 1,..., X n ) jest niezmienniczy na permutacje, to optymalną alokacją jest rozkład równomierny (zob. Tw , Mueller, Stoyan (22)). Twierdzenie Jeśli (X π(1),..., X π(n) ) ma taki sam rozkład łączny jak (X 1,..., X n ), dla dowolnej permutacji π(n) indeksów portfela, to dla u wklęsłej max E [u(s n n (a))] {a: a i=m} jest osiagnięte w punkcie a = (m/n,..., m/n). Szczególnym przypadkiem portfela spełniającego warunek permutowalności jest portfel prosty niezależnych ryzyk o jednakowym rozkładzie. Dwa ryzyka X, Y możemy porównać również poprzez odpowiadające im wartości netto wielkości przekazywanej do reasekuracji w kontraktach stop-loss. Wprowadza się nastepującą dualną relację X < icx Y E [(X d) + ] E [(Y d) + ], d R Łatwo z definicji widać, że X < icx Y wtedy i tylko wtedy, gdy Y < icv X, stąd własności tych relacji można wzajemnie tłumaczyć z jednej na drugą. Natychmiast otrzymujemy analogiczne charakteryzacje. Twierdzenie Następujące warunki są równoważne (i) X < icx Y, (ii) dla wszystkich wypukłych niemalejących funkcji g, E [g(x)] E [g(y )], (iii) t 1 F X (s)ds t 1 F Y (s)ds, t R. Nastepujące przykłady są wzięte z książki Muellera i Stoyana (22). Przykład Dla zmiennych X, Y o rozkładach Gamma(α 1, β 1 ), Gamma(α 2, β 2 ) odpowiednio, X < icx Y jeśli α 1 α 2 i α 1 /β 1 α 2 /β 2. Dla zmiennych X, Y o rozkładach Weibulla W ei(r 1, c 1 ), W ei(r 2, c 2 ) (rozkłady zadane przez ogon dystrybuanty 1 F (x) = exp( cx r ), dla r, c > ), X < icx Y jeśli r 1 r 2 i µ 1 (X) µ 1 (Y ). Dla zmiennych X, Y o rozkładach log-normalnych LN(µ 1, σ 1 ), LN(µ 2, σ 2 ), X < icx Y jeśli σ 1 σ 2 i µ 1 (X) µ 1 (Y ).

89 3.6. STOCHASTYCZNE PORÓWNYWANIE RYZYK 89 Przykład W klasie wszystkich zmiennych losowych, które mają ustaloną wartość średnią, powiedzmy µ, najmniejszą zmienną względem relacji < icx jest zmienna X µ. Nie istnieje element maksymalny w tej klasie. Jeśli jednak zawężymy klasę zmiennych o ustalonej wartości średniej µ przez dodatkowe wymaganie, aby wartości zmiennych leżały w skończonym przedziale [a, b], to rozkładem maksymalnym względem < icx w takiej klasie jest rozkład o dystrybuancie F max (x) = b µ b a I [a, )(x) + µ a b a I [b, )(x). Przykład W klasie wszystkich zmiennych losowych, które mają ustaloną wartość średnią, powiedzmy µ oraz ustalona wariancję σ 2 nie istnieje element maksymalny wzgledem < icx. Istnieje jednak dystrybuanta, która jest ograniczeniem górnym dla tej klasy, najmniejszym z możliwych (tzn. jest ona kresem górnym tej klasy, lecz do niej nie należy). Jest to dystrybuanta F sup (x) = F ( x µ σ ), F x (x) = 1/2 + 2(x 2 + 1) 1/2. Skutecznym kryterium do otrzymywania relacji < icx jest tak zwane kryterium Karlina- Novikowa. Twierdzenie Jeśli E [X] E [Y ] oraz istnieje x takie, że F Y (x) F X (x), x < x F Y (x) F X (x), x > x, to X < icx Y. Dowód. Korzystajc z faktu, że E [X] = 1 F X (u)du F X (u)du,

90 9 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI otrzymujemy E [Y ] E [X] = F X (u) F Y (u)du. (3.6.1) Wystarczy pokazać, korzystając z twierdzenia 3.6.5, (iii), że x F X (u) F Y (u)du, x R. Gdy x > x wynika to założenia pierwszego. Gdy x < x, zauważmy, korzystając z (3.6.1), że x x F X (u) F Y (u)du = E [Y ] E [X] + F Y (u) F X (u)du, gdzie nierówność wynika z założenia o uporządkowaniu wartości oczekiwanych oraz z warunku drugiego na liście założeń. Kolejną relację stochastycznego uporządkowania między ryzykami, z której relacje < icx oraz < icv wynikają, jest X < st Y E [g(x)] E [g(y )], dla wszystkich niemalejących funkcji g, dla których wartości oczekiwane istnieją. Wstawiając indykatory półprostych w miejsce g natychmiast widzimy, że X < st Y implikuje, że F X F Y. Implikacja w drugą stronę jest również prawdziwa, co widać przy użyciu odpowiedniej aproksymacji funkcjami prostymi (tzn. kombinacjami liniowymi indykatorów). Ta metoda porównywania zwykle stosowana jest do zawartości portfela S n. Zamiast porównywania dystrybuant, można porównywać odpowiednie funkcje kwantylowe, które w tym kontekście oznaczamy symbolem V ar(s n, p) := F 1 S n (p) = inf{t : F Sn (t) p}, p (, 1). Symbol V ar pochodzi od określenia tej wielkości w języku angielskim - Value at Risk. Mamy więc równoważność V ar(s n, p) V ar(s n, p) p (, 1) S n < st S n Porównywanie wartości V ar różnych ryzyk zwykle jest interesujące dla wartości parametru p bliskiej 1, a do tego celu nie musi zachodzić tak mocna relacja między ryzykami jak < st. Zauważmy, że kryterium Karlina-Novikowa implikuje nierówność dla V ar dla dostatecznie dużych p (bliskich 1). Stochastyczny wzrost wielkości portfela może nastąpić oczywiście wtedy, gdy zmienią się parametry rozkładów składowych w portfelu (zwiększając np. rozkład wzgledem relacji < icx lub nawet < st i prowadząc do zwiększenia V ar). Wartą podkreślenia jest obserwacja,

91 3.6. STOCHASTYCZNE PORÓWNYWANIE RYZYK 91 że wzrost zawartości portfela mierzony relacją < icx może nastąpić w wyniku zmiany typu zależności składowych portfela przy ustalonych indywidulanych rozkładach składowych. Jest to dość ogólna prawidłowość związana z konkretnymi typami zależności stochastycznej, którą najpierw zilustrujemy prostym przykładem. Przykład Portfel ubezpieczeniowy pewnej firmy składa się z n = 1 6 kontraktów ubezpieczających dom na następny rok. Przyjmuje się, że szansa zniszczenia domu wynosi 1 4. Przyjmujemy P (X i = 1) = 1 4 = 1 P (X i = ). Wtedy E [S n ] = 1. Niech d = 15 i załóżmy najpierw, że X 1,..., X n są niezależne. Wtedy Var [S n ] = 1(1 1 4 ) 1. Z CTG można użyć aproksymacji S n N(1, σ 2 = 1). Wartość netto nadwyżki nad d wynosi E [(S n d) + ] = 15 1 Φ N(1,1) (u)du Co oznacza, że składka za reasekurację powinna być bardzo mała. Założenie o niezależności ryzyk przy ubezpieczaniu domów jest jednak bardzo mało realistyczne. Szczególnie w rejonie huraganów, gdzie wiele domów jednocześnie jest niszczonych (zdarzenia te powodowane są jedną przyczyną). Można więc założyć, że istnieje jedna losowa przyczyna, którą będziemy modelować zakładając istnienie zmiennej losowej Θ indykującej zajście huraganu. Niech P (Θ = 1) = 1/1 = 1 P (Θ = ). Załóżmy teraz, że zmienne X i, i = 1,..., n nie są niezależne, lecz, że są niezależne warunkowo, tzn. P (X 1 = x 1,..., X n = x n Θ = θ) = P (X 1 = x 1 Θ = θ) P (X n = x n Θ = θ). Przyjmijmy, że dla i = 1,..., n P (X i = 1 Θ = 1) = 1 3 P (X i = 1 Θ = ) = 1/11. Wtedy P (X i = 1) = 1 4, czyli rozkłady pojedynczych ryzyk są takie same jak poprzednio, przy założeniu niezależności. Łatwo znajdujemy, że dla i j Corr(X i, X j) = E [ (X i E [ X i] )(X i E [ X i] ) ] /σx i σ X j = 1 4, czyli sądząc jedynie po wartości korelacji można by przypuszczać, że nowe zmienne nie są mocno zależne. Warunkując względem Θ i pod warunkiem ustalonej wartości stosując przybliżenie CTG, mamy S n.1n(1, 1) +.99N(1/11, 1/11). Licząc dla tej mieszanki wartość netto nadwyżki nad d = 15, otrzymujemy E [ (S n d) + ] 8.5. Widać więc wyraźny wzrost wartości netto w kontrakcie stop-loss, w wyniku wprowadzenia zależności między ryzykami. Powtarzając rachunki dla innych wartości d widzimy, że taki wzrost następuje dla każdego d, a stąd S n w przypadku zależności jest większe w relacji < icx od wartości portfela S n w przypadku niezależności.

92 92 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI Istnieje wiele możliwości zdefiniowania zależności między zmiennymi losowymi. Przypomnijmy kilka z nich. (A). Mówimy, że rozkład wektora (X 1,..., X n ) jest MT P 2 jeśli istnieje gęstość tego rozkładu f X = f (X1,...,X n) spełniająca dla każdego x, y R n. f X (min(x, y))f X (max(x, y)) f X (x)f X (y), (B). Mówimy, że rozkład wektora (X 1,..., X n ) jest CIS jeśli dla każdego i = 2,..., n, funkcja argumentów x 1,..., x i 1 zdefiniowana przez E [g(x i ) X 1 = x 1,..., X i 1 = x i 1 ] jest niemalejąca dla każdej niemalejącej funkcji g. (C). Mówimy, że rozkład wektora (X 1,..., X n ) jest stowarzyszony (lub wektor jest stowarzyszony) jeśli Cov(g(X), h(x)) dla wszystkich funkcji g, h : R n R niemalejących po współrzędnych. (D). Mówimy, że rozkład wektora (X 1,..., X n ) jest W AS jeśli dla każdego i = 2,..., n Cov(I (t, ) (X i ), g(x i+1,..., X n )) t R (E). Mówimy, że rozkład wektora (X 1,..., X n ) jest P SMD jeśli E [g(x )] E [g(x)] dla wszystkich supermodularnych funkcji g : R n R, tzn. funkcji dla których, i < j, gdzie X jest wektorem o współrzędnych niezależnych, takim, że X i ma identyczny rozkład z rozkładem Xi. 2 g x i x j Powyższa relacja jest szczególnym przypadkiem tak zwanego porządku supermodularnego X < sm X, który odzwierciedla porządkowanie parametrów zależności między współrzędnymi wektorów posiadających współrzędne o tych samych rozkładach. Powyższe definicje typów zależności są ustawione od najmocniejszej do najsłabszej w tym sensie, że jeśli wektor X spełnia (A), to spełnia (B) itd. tzn. symbolicznie (A) (B) (C) (D) ( Każdy z tych typów zależności składowych portfela implikuje, że zawartość portfela z zależnościami jest większa w sensie relacji < icx od zawartości w portfelu o składowych niezależnych. Twierdzenie Jeśli X spełnia (E), to S n < icx S n.

93 3.7. MIARY RYZYKA 93 Ryzyka w portfelu (X 1,..., X n ) wzajemnie się wyłączają, gdy P (X i >, X j > ) =, i < j. Ryzyka wzajemnie wyłączające się generują najmniejszą w pewnym sensie zawartość portfela (zob. Mueller, Stoyan [17], 8.3). Twierdzenie Jeśli (X 1,..., X n ) wzajemnie się wyłączają, to ich suma jest ograniczeniem dolnym w relacji < icx w klasie wszystkich portfeli o tych samych rozkładach pojedynczych ryzyk, tzn. X X n < icx Y Y n, dla dowolnego wektora (Y 1,..., Y n ), dla którego F Xi = F Yi, i = 1,..., n. 3.7 Miary ryzyka Ogólna idea miary ryzyka opiera się o założenie, że miarą ryzyka powinna być funkcja, powiedzmy ϱ, która każdemu ryzyku X przyporządkowuje wartość ϱ(x) (, ], która odpowiada wartości kwoty, którą trzeba dodać do X, aby ryzyko X + ϱ(x) było akceptowalne. Ponieważ akceptowalność można określić na różne sposoby istnieje wiele możliwości precyzyjnego określenia takiej miary, która w pewnym sensie zabezpiecza ryzyko. Często wymagania dotyczące zabezpieczania wynikają z konkretnych regulacji prawnych, takich jak na przykład zawartych w układzie Solvency II, wspomnianym we wstępie skryptu. Na pojęcie zabezpieczania można spojrzeć w następujący sposób. Ryzyko X jest zabezpieczone przez ϱ(x), gdy zdarzenie {X > ϱ(x)} zachodzi z ustalonym, małym, prawdopodobieństwem. Inną miarą zabezpieczenia może być wartość E [(X ϱ(x)) + ], która powinna być dostatecznie mała. Istnieje cały szereg porządanych własności, które powinna miara ryzyka posiadać. 1. (no-ripoff) ϱ(x) max ω Ω (X(ω)), 2. (non-negative loading) ϱ(x) E [X], 3. tranzytywność ϱ(x + c) = ϱ(x) + c, c R, 4. (neutral position) ϱ(x ϱ(x)) =, 5. brak narzutu ϱ(c) = c, c R, 6. podaddytywność ϱ(x + Y ) ϱ(x) + ϱ(y ), 7. jednorodność ϱ(cx) = cϱ(x), c R, 8. monotoniczność P (X Y ) = 1 ϱ(x) ϱ(y ).

94 94 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI Ryzyko X może być mierzone nie tylko w oparciu o jedną, wyjściową miarę prawdopodobieństwa, na danej przestrzeni próbkowej. Można przyjąć, ϱ(x) = sup{ xdf (x), F P X }, R gdzie klasa rozkładów P X jest w pewnej relacji do rozkładu wyjściowego F X zmiennej X, na przykład będąc klasą rozkładów spełniających pewne ograniczenia. Klasę P X można interpretować jako klasę opisującą różne secenariusze realizujące ryzyko, a miara ryzyka jest wtedy wyborem wartości oczekiwanej najgorszego scenariusza. Dla ryzyka X o dystrybuancie F X często używaną miarą ryzyka jest wspomniana już miara ϱ(x) = V ar[x, p] := FX 1 (p), dla p (, 1). Używanie tej miary motywowane jest częściowo przez następującą własność Lemat Dla każdego X i ɛ > oraz dla każdej funkcji ϱ(x) E [(X V ar[x, 1 ɛ]) + + V ar[x, 1 ɛ]ɛ] E [(X ϱ(x)) + + ϱ(x)ɛ] Dowód. Niech g(d) := E [(X d) + ]+dɛ, będzie funkcją zmiennej d na R. Wtedy, ponieważ g(d) = d 1 F X(u)du + dɛ, istnieje g (d) = (1 F X (d)) + ɛ. Przyrównując pochodną do zera i zauważając, że funkcja osiąga minimum otrzymujemy, że punktem minimum jest d taki, że F X (d ) = 1 ɛ, co oznacza, że d = V ar[x, 1 ɛ]. Wielkość E [(X ϱ(x)) + + ϱ(x)ɛ] reprezentuje średnią nadwyżkę nad wielkość zabezpieczenia (wielkość rezerwy) plus koszt utrzymania rezerwy ϱ(x). Jak widać wielkość ta jest najmniejsza jeśli rezerwa jest wyliczona na podstawie V ar, która jako miara ryzyka ma większość pożądanych własności, ale niestety nie wszystkie. V ar posiada własność no-ripoff, bo V ar[x, p] = F 1 X 1 (p) FX (1) = max (X(ω)). ω Ω Dla p > F X (E [X]) zachodzi V ar[x, p] E [X], czyli własność non-negative loading zachodzi dla dostatecznie dużych p. Tranzytywność V ar[x + c, p] = V ar[x, p] + c jest oczywista. Zachodzi jednorodność V ar[cx, p] = cv ar[x, p]. Rzeczywiście V ar[cx, p] = FcX 1 (p) = inf{t : F X( t c ) p} = inf{t : t 1 c FX (p)} = c inf{t : t FX 1 (p)} = c inf{t : F X(t) p} = cfx 1 (p) = cv ar[x, p]. Zachodzi też własność braku narzutu V ar[c, p] = c. Nie zachodzi jednak własność podaddytywności. Inne częściej używane miary ryzyka:

95 3.7. MIARY RYZYKA 95 (Tail Value at Risk) (Conditional Tail Expectation) (Conditional Value at Risk) T V ar[x, p] := 1 1 V ar[x, u]du, 1 p p CT E[X, p] := E [X X > V ar[x, p]], CV ar[x, p] := CT E[X, p] V ar[x, p] = E [X V ar[x, p] X > V ar[x, p]], (Expected Shortfall) ES[X, p] := E [(X V ar[x, p]) + ] Zachodzą następujące związki między wprowadzonymi miarami ryzyka. Twierdzenie Dla p (, 1) ES[X, p] T V ar[x, p] = V ar[x, p] + 1 p, ES[X, p] CT E[X, p] = V ar[x, p] + 1 F X (V ar[x, p]), ES[X, p] CV ar[x, p] = 1 F X (V ar[x, p]). Dowód. Licząc odpowiednie pola pod krzywą ogona rozkładu X mamy ES[X, p] = 1 p (F 1 X (u) V ar[x, p])du = (1 p)t V ar[x, p] (1 p)v ar[x, p], co daje pierwszą zależność. Ponieważ resztowy rozkład ma ogon dany przez P (X > u + d X > d) = 1 F X(u + d), 1 F X (d) więc wstawiając d := V ar[x, p] i całkując otrzymujemy CV ar[x, p] = E [X V ar[x, p] X > V ar[x, p]] 1 F X (u + V ar[x, p])du = 1 F X (V ar[x, p]) ES[X, p] = 1 F X (V ar[x, p]),

96 96 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI co daje ostatnią równość. Kombinując dwie uzyskane równości otrzymujemy trzecią. Zauważmy, że gdy F X jest dystrybuantą ciągłą, to T V ar[x, p] = CT E[X, p]. Warto zauważyć, że T V ar ma porządane własności: T V ar ma własność no-ripoff, gdyż Oczywiście Ponieważ T V ar[x, p] 1 1 max(x(ω))du = max 1 p (X(ω)). p ω Ω ω Ω T V ar[x, ] = T V ar[c, p] = c. 1 FX 1 (u)du = E [X], wystarczy pokazać, że funkcja p T V ar[x, p] jest niemalejąca, aby zobaczyć, że T V ar[x, p] E [X]. Monotoniczność funkcji T V ar[x, p] zmiennej p (, 1) sprawdzamy różniczkując ją i korzystając z faktu, że T V ar[x, p] V ar[x, p]. Oczywiście Zachodzi również podaddytywność T V ar[x + c, p] = T V ar[x, p] + c. T V ar[x + Y, p] T V ar[x, p] + T V ar[y, p]. Związek między oceną ryzyka X poprzez funkcję użyteczności u oraz miarą V ar[x, p] dany jest poprzez E [u(x)] = 1 u(v ar[x, p])dp, bo zmienna losowa V ar[x, U] = FX 1 (U) = X uzyskana przez podstawienie zmiennej losowej U o rozkładzie jednostajnym na (, 1) w miejsce [ argumentu p jest zmienną o tym samym rozkładzie co zmienna X, stąd E [u(x)] = E u( X) ] i zachodzi powyższa równość. Istnieje też możliwość oceny ryzyka przez tak zwaną funkcję zniekształcającą g : [, 1] [, 1] o własnościach g() =, g(1) = 1 i g jest niemalejąca. Używa się jej do obliczenia zniekształconej (distorted) wartości oczekiwanej H g [X] = g(1 F X (x))dx 1 g(1 F X (x))dx.

97 3.8. MODELOWANIE ZALEŻNOŚCI PRZEZ FUNKCJE COPULA 97 Gdy g(x) := x, to H g [X] = E [X]. Jeśli X, to H g [X] = g(1 F X (x))dx = = = = 1 FX (x) Dla g(x) = I [1 p,1] (x) mamy H g [X] = V ar[x, p]. = dg(p)dx = I [,1 FX (x)](p)dg(p)dx = I [,F 1 (1 p)](x)dxdg(p) = V ar[x, 1 p]dg(p). Jeśli g(x) = 1 (1 x) k, to H g [X] = E [max{x 1,..., X k }] dla niezależnych X i o rozkładzie F X. Jeśli g(x) = min{x/(1 p), 1}, to H g [X] = T V ar[x, p]. Wartość H g [X] dla X nazywana jest miarą ryzyka Wanga (the Wang risk measure). Przykład Jeśli X N(µ, σ 2 ), to V ar[x, p] = µ + σφ 1 (p), T V ar[x, p] = µ + σ Φ (Φ 1 (p)). 1 p Dla X LN(µ, σ 2 ) V ar[x, p] = exp(µ + σφ 1 (p)), T V ar[x, p] = exp(µ + σ 2 /2) Φ(σ Φ 1 (p)). 1 p 3.8 Modelowanie zależności przez funkcje copula Rozpoczniemy od klasycznych rozkładów dwuwymiarowych.

98 98 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI Przykład (Rozkład Marshalla-Olkina) Niech X Exp(λ X ), Y Exp(λ Y ), Z Exp(λ Z ) będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Niech X 1 = min(x, Z), Y 1 = min(y, Z). Wtedy X 1 i Y 1 nie są niezależnymi zmiennymi losowymi. Łączny rozkład (X 1, Y 1 ) nazywamy rozkładem Marshalla-Olkina. Natychmiast widać, że X 1 Exp(λ X + λ Z ) oraz Y 1 Exp(λ Y + λ Z ). Stąd P (X 1 > x, Y 1 > y) = P (min(x, Z) > x, min(y, Z) > y) = P (X > x, Y > y, Z > max(x, y)) = exp( λ X x) exp( λ Y y) exp( λ Z max(x, y)) = exp( λ X x) exp( λ Y y) min(exp( λ Z x, exp( λ Z y)). F (X1,Y 1 )(x, y) = 1 P (X 1 > x) P (Y 1 > y) + P (X 1 > x, Y 1 > y) = = 1 exp( (λ X + λ Z )x) exp( (λ Y + λ Z )y) + exp( λ X x) exp( λ Y y) min(exp( λ Z x), exp( λ Z y)). Przykład (Rozkład Pareto) Losujemy parametr θ zgodnie z rozkładem Gamma(α, λ). Następnie losujemy niezależnie zmienne X, Y o rozkładzie wykładniczym Exp(θ). Mamy więc P (X > x, Y > y Θ = θ) = exp( θx) exp( θy). Licząc rozkład bezwarunkowy otrzymujemy P (X > x, Y > y) = exp( θx) exp( θy) exp( λθ)θ α 1 λ α /Γ(α)dθ = = (x/λ + y/λ + 1) α. Stąd F (X,Y ) (x, y) = 1 (1 + x/λ) α (1 + y/λ) α + (x/λ + y/λ + 1) α. Dystrybuanty wielowymiarowe o brzegowych rozkładach jednostajnych na (, 1) nazywamy funkcjami copula. Przypomnijmy, że C(x, y) jest dystrybuantą dwuwymiarową jeśli

99 3.8. MODELOWANIE ZALEŻNOŚCI PRZEZ FUNKCJE COPULA 99 C : R 2 [, 1], jest niemalejąca po współrzędnych, C(, ) =, C(, ) = 1 (przy iterowanym przejściu do granicy w dowolnej kolejności) C jest supermodularna, tzn. C(min(x, y)) + C(max(x, y)) C(x) + C(y), dla dowolnych x, y R 2 (minimum i maksimum brane są po współrzędnych). W przypadku funkcji copula zakładamy, że C(x, ) = x, x (, 1) i C(, y) = y, y (, 1), tzn. dystrybuanty brzegowe są jednostajne na (, 1). Twierdzenie (Sklar) Jeśli F (X,Y ) jest dystrybuantą zmiennych losowych (X, Y ) o dystrybuantach brzegowych F X i F Y ciągłych, to istnieje wyznaczona jednoznacznie funkcja copula C (X,Y ) taka, że F (X,Y ) (x, y) = C (X,Y ) (F X (x), F Y (y)). Dowód. Przyjmijmy C (X,Y ) (x, y) := P (F X (X) x, F Y (Y ) y). Wtedy C (X,Y ) (x, y) = F (X,Y ) (F 1 (x), F 1 (y)) i przez odpowiednie podstawienie otrzymujemy tezę. Przyjmuje się, że funkcja C jest odzwierciedleniem sposobu w jaki współrzędne X i Y wektora losowego (X, Y ) są stochastycznie zależne. Warto podkreślić, że zależność opisywana przez C (X,Y ) nie musi odpowiadać intuicjom związanym z wielkością współczynnika korelacji. Następujące funkcje copula zasługują na szczególną uwagę: C (x, y) = min(1, x) min(1, y)i (, ) (, ) (x, y), rozkład jednostajny na (, 1) (, 1), który odpowiada niezależnym X i Y, C + (x, y) = min(min(1, x), min(1, y))i (, ) (, ) (x, y), rozkład jednostajny na przekątnej (, 1) (, 1), który odpowiada maksymalnie dodatnio zależnym zmiennym X i Y, C (x, y) = max(, min(1, x) + min(1, y) 1)I (, ) (, ) (x, y), rozkład jednostajny na przeciwprzekątnej (, 1) (, 1), który odpowiada maksymalnie ujemnie zależnym zmiennym X i Y.

100 1 ROZDZIAŁ 3. SKŁADKI Rysunek 3.8.1: Wykresy C, C +, C.