O OPERATOROWYM PODEJŚ CIU DO FORMUŁOWANIA ZASAD WARIACYJNYCH DLA OŚ RODKÓW PLASTYCZNYCH. 1. Wstęp

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4 14 (1976) O OPERATOROWYM PODEJŚ CIU DO FORMUŁOWANIA ZASAD WARIACYJNYCH DLA OŚ RODKÓW PLASTYCZNYCH JÓZEF JOACHIM TELEGA (RADOM) 1 Wstęp W ostatnich latach ukazały się prace w których konsekwentnie zastosowano operatorowe podejś cie do zagadnień wariacyjnych mechaniki i fizyki matematycznej [1 4] Sformułowano również dualne zasady ekstremalne co jest bardzo istotne w zastosowaniach gdyż pozwala oszacować rozwią zania W niniejszej pracy przedstawimy moż liwośi c zastosowania metody zaproponowanej przez SEWELLA [3] do: 1) przyrostowych zagadnień brzegowych dla oś rodka sprę ż ysto plastycznego z uwzglę dnieniem geometrycznej nieliniowoś ci 2) płaskiego stanu odkształcenia sztywno idealnie plastycznego oś rodka ś ciś liwego o niestowarzyszonym prawie płynię cia W czę śi c drugiej omówimy istotę tzw swobodnej zasady wariacyjnej zaproponowanej przez SEWELLA [3] Podstawowe równania sprę ż ysto plastyczneg o oś rodka ze wzmocnieniem przy uwzglę dnieniu geometrycznej nieliniowoś ci podane zostały w czę śi c trzeciej Zasady ekstremalne dla tego oś rodka podane zostały w czę śi cczwartej W czę śi c pią tej podane zostały podstawowe równania płaskiego stanu odkształcenia oś rodków plastycznych o niestowarzyszonym prawie płynię cia w czę śi czaś szóstej sformułowano zasadę minimum dla tego typu oś rodków 2 Swobodna zasada wariacyjna SEWELL [3] operuje poję ciem swobodnej zasady wariacyjnej która jest wygodnym formalizmem pozwalają cym formułować zasady wariacyjne dla operatorów potencjalnych Podamy obecnie te elementy teorii SEWELLA które wykorzystamy w czę śi cczwartej i szóstej 21 Niech E F bę dą przestrzeniami prehilbertowskimi z iloczynami skalarnymi oznaczonymi odpowiednio przez () <> Niech E' F' bę dą podprzestrzeniami przestrzeni odpowiednio E F Na E' działa operator liniowy T: E'» F T* jest operatorem sprzęż onym T*: F' * E Operator sprzę ż on y T* okreś la się ze zwią zku (por [5]) (21) V 'ty (xt*u) = <и И с > xee' uef' Zakładamy ponadto że!t** = T

2 558 J J TELEGA Weź my równania operatorowe (22) T*u = у Т х = v gdzie у е Е v е F są nie okreś lonymi na razie elementami Równania (22) moż na zapisać w formalnie macierzowej postaci: 0 T*' (23) T 0 1 V gdzie 0 T* T o :E'xF' > ExF Przestrzeń Ex Z 7 jest produktem kartezjań skim przestrzeni E F Symbolem {} oznaczamy iloczyn skalarny na ExF Jeś li to Л = г * л 2 = *2 [щ u 2 Л 1т Л 2 e Ex F (24) [A lf Л 2 } = (х 1 л : 2 ) + <м 1 1/ 2 > Poję cia te moż na uogólnić na przypadek dowolnej skoń czonej liczby przestrzeni Istotnym poję ciem bę dzie dla nas róż niczka Gateaux Niech f[x] bę dzie funkcjonałem na E' f: E' * R R zbiór liczb rzeczywistych Róż niczkę Gateaux okreś la się następują co : (25) df[xh] = daf[x+d7]\ a=0 hee W przypadku gdy bf[x h] jest dla ustalonego x e E' i hee i ograniczonym to operatorem liniowym (26) df[x h] = ' df д х h hee gdzie df/dx nosi nazwę gradientu funkcjonału / Łatwo wykazać że (27) gdzie Q[x и ] jest funkcjonałem biliniowym Г О Г *1 x] \x Г 0 \[u\ = dqi8 l Q[x u] = j[(x T*u) + <[u Tx}]= (x T*u) = (u Tx> Przedstawienie (27) jest moż liwe ponieważ operator liniowy Г О Г *т [T 0 jest operatorem symetrycznym [4]

3 O FORMUŁOWANIU ZASAD WARIACYJNYCH 559 W (22) elementy r v były dowolne Do dalszych rozważ ań przyjmiemy że elementy te są okreś lone przez gradient funkcjonału H[x u] tzn (28) Równania (22) mają teraz postać i:l 4:i Przykładem równań (29) są równania Hamiltona mechaniki analitycznej dp 8H dq _ 8H dt ~~ dq ' dt ~ dp ' Z (27) i (28) otrzymujemy swobodną zasadę wariacyjną (210) 8(Q H)/d Zależ ność (210) jest równoważ na nastę pują cym wzorom (211) d(q H) = 0 i i (212) r*«^ dxj+^tx^ ^ du) = 0 Przyjmijmy oznaczenie (213) L[xu] = Q H Swobodną zasadę wariacyjną moż na wówczas zapisać nastę pująo c (214) dl/d у = 0 <^ ÓL = 0 о ( Ц óxj + ( ^ <5и ) = 0 gdzie в jest elementem zerowym przestrzeni ExF Swobodna zasada wariacyjna pozostaje słuszna w przypadku gdy funkcjonał nie jest dany zależ noś ą ci (213) Rozpatrzmy sens swobodnej zasady wariacyjnej (w pracy [3] wyjaś nienia takiego nie ma) Załóż my że dane zagadnienie opisywane jest równaniem operatorowym P[x u\ = в Jeś li dla tego zagadnienia moż na stosować swobodną zasadę wariacyjną to fakt ten oznacza iż operator P jest potencjalny tzn istnieje funkcjonał L taki że (por [5]) P[x u] = dl/d

4 560 J J TELEGA Zapiszmy swobodną zasadę wariacyjną w postaci równań operatorowych (215a) f = 0 E (215b) lr = 6 f ' gdzie 0 E 6 F są elementami zerowymi odpowiednio w przestrzeniach E F 22 Ciekawy jest przypadek gdy funkcjonał L[x w] jest funkcjonałem siodłowym tzn wklę słym ze wzglę du na x a wypukłym ze wzglę du na u Ś cisł a definicja brzmi nastę pują co : funkcjonał L jest funkcjonałem siodłowym jeż li (216) L[x l u l } L[x 2 u 2 ] ^Ą ^x l x 2^ (^~ ^Ui u^lt 0 gdzie przez [x x и ] eex F [x lf u 2 ] e Ex Poznaczono pary róż nych elementów «Siodłowoś ć» jest słaba lub silna w zależ nośi cod tego czy w (216) mamy słabą czy silną nierównoś ć Jeś li funkcjonał L jest funkcjonałem siodłowym to słuszne są nastę pująe c twierdzenia: Twierdzenie 21 Dowolne rozwią zanie układu równań (215) minimalizuje funkcjonał (217) J = L ~ ( > X w klasie rozwią zań równania (215a) Twierdzenie 22 Dowolne rozwią zanie układu równań (215) maksymalizuje funkcjonał (218) K=L {^u) w klasie rozwią zań równania (215b) Twierdzenie 23 min/ т г \К = L[x* u*] gdzie [x* u*] jest rozwią zaniem równań (215) Twierdzenie 24 a) Rozwią zanie ze wzglę du na x jest jednoznaczne jeś li funkcjonał L jest wzglę dem x ś ciśe lwklę sły (w (216) mamy silną nierównoś ć gdy x x ф x 2 ) b) Rozwią zanie ze wzglę du na u jest jednoznaczne jeś li funkcjonał L jest ś ciśe l wypukły wzglę dem u czyli w (216) dla u t ф u 2 nierówność jest silna Przedstawione powyż ej rozważ ania łatwo uogólnić na przypadek dowolnej skoń czonej liczby przestrzeni z iloczynami skalarnymi Praktyczne zastosowania podane zostaną w punktach czwartym i szóstym Uwaga Twierdzenia pozostają słuszne i wtedy gdy równanie (215a) zastą pimy trzema warunkami (219a) (219b) x > в Е (219С ) ^ '( H = 0

5 O FORMUŁOWANIU ZASAD WARIACYJNYCH 561 zachowując równanie (215b); moż na również postą pić tak: zostawiamy równanie (215a) a (215b) zastę pujemy przez: (220a) ~ > 0 (220b) u>q F (220C) (Ж '")" Siodłowość funkcjonału pozwala sformułować dwa ekstremalne twierdzenia dualne Odbywa się to bez badania drugiej wariacji funkcjonału 3 Zwią zki podstawowe w opisie Eulera 31 Niech A A = 123 oznacza ustalony krzywoliniowy układ odniesienia Współrzę dne Lagrange'a wzglę dem Ł A oznaczmy przez a % współrzę dne Eulera przez x'; ia= 123 W aktualnej konfiguracji tensory: prę dkośi c odkształceń е ц i prę d koś ci obrotów Wy okreś lone są nastę pująo c (por [6]): (3 1) e 0 = j (Pu+Vj) = * (dji + dij) (3 2) mu = (Vij v jti ) gdzie d n = Vj_ ( v t współrzę dne kowariantne wektora prę dkośi cprzemieszczeń v t = = Vi(x k ); przecinek oznacza róż niczkowanie kowariantne wzglę dem współrzę dnych x\ Niech a' J bę dzie tensorem naprę ż eni a Eulera Q gę stoś ą ci oś rodka w konfiguracji odkształconej a f J jednostkową siłą masową Równania równowagi mają postać (33) a\\ + efj = 0 Zapiszmy równania te w formie przyrostowej (34) o$ + aytf k o{ k + Qf J = 0 przy czym kropka oznacza pochodną materialną Wprowadzając nominalny tensor prę dkośi cnaprę ż eni a (35) s ij = a ij + o ij v\ a ik v\ k i uwzglę dniając tę zależ ność w (34) mamy (36) ś ' J i + Qf = 0 J Prę dkość sił działają cych na element ds powierzchni ciała odkształconego wynosi wówczas (37) dp J = F J ds = ni's i3 ds 32 Niech T' J bę dzie tensorem naprę ż eni a Kirchhoffa odniesionym do aktualnej konfiguracji 8 Mechanika Teoretyczna *

6 562 J J TELEGA (38) Pochodna Jaumanna tego tensora dana jest wzorem Dr ij Dt przy czym pochodna Jaumanna tensora naprę ż eni a Eulera ma postać [7] Da ij Dt (39) Da ij Dt Przyjmujemy równanie konstytutywne podane przez HILLA [8 9] dla sprę ż ysto pla stycznych oś rodków ze wzmocnieniem przy uwzglę dnieniu geometrycznej nieliniowoś ci (310) DT'' = *y «( e u eb) gdzie K' Jkl jest tensorem stałych sprę ż ystych a czę ś ą ci plastyczną tensora prę dkośi c odkształceń przy czym (311) j m {J m kl 0 DT Dt' g d y m DT IJ v^bt > 0 ' gdy E>r ij n m u ^ ^0 W ostatniej zależ nośi ch jest skalarną funkcją bę dąą c miarą wzmocnienia zaś nty oznaczają współrzę dne normalnej zewnę trznej do aktualnej powierzchni plastycznoś ci w sześ ciowymiarowej przestrzeni naprę ż eń Korzystając z (311) moż na przekształcić (310) do postaci (312) Dr ij Dt = K i m e u m ki h + m pą K p * rs m r 0 gdy Powyż szy zwią zek fizyczny moż na przedstawić w postaci [12] m i} fjf > Dr li n gdy ntij ^ «S 0 Dt (313) gdzie (314) Ł(d) MI 5 Ł ( D ) 3d 1 1 DT' J 1 4 Zasada wariacyjna w opisie Eulera Dla oś rodka którego równanie konstytutywne podane zostało w punkcie poprzednim sformułujemy zasadę wariacyjną bę dąą c analogonem znanej z teorii sprę ż ystośi czasady HU WASHIZU [6 10] Zastosujemy aparat przedstawiony w czę śi cdrugiej Niech V bę dzie obszarem otwartym w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej Brzeg tego obszaru składa się z dwóch czę ś : cis S F Do rozważ ań wprowadzamy dwie powierzchnie niecią głoś : ciź t S 2 (rys 1) Symbolem Voznaczamy domknię cie obszaru V

7 O FORMUŁOWANIU ZASAD WARIACYJNYCH 563 czyli V to poprostu obszar domknię ty reprezentują cy oś rodek w konfiguracji aktualnej Wprowadzamy przestrzeń prehilbertowską E złoż oną z elementów ś d (tensorów niesymetrycznych) Elementy te mają postać (41) s = s ij (x) xev ś ij (x) x e S v s ij (x) x e S F ś ij (x) x e 27i s ij (x) X 6 27 V VuS v us F uzius2 Rys 1 Zakładamy ponadto że funkcje s(x) d(x) х e V są całkowalne Iloczyn skalarny na Ł definiujemy nastę pująo c (42) (ś d) = js'jdijdv r { 's ij djds e + j ^d l} ds F + f i%rf /s^d^d^ Przestrzeń F budujemy z elementów v w postaci Vj(x) x e V Vj(x) x e 5 (43) v= vj(x) xes F Vj(x) x e 27j _Vj(x)Jx e27 2 Zakładamy że funkcje \(x) w(x) skalarny x e V są całkowalne Wprowadzamy na F iloczyn (44) <v w> = jvjw ] dv+ jvjw J ds v + f VjW J ds F + f v J w ) de l + f v } w J dz 2 Podprzestrzeń E' składa się z tych funkcji ś(v) x e V które mają nastę pująe c własnoś ci (oprócz całkowalnoś ci): 1) są jednowartoś ciowe i cią głe w F\27 2 = KuS us f u27 1 2) są niecią głe na 27 2 tak że skok na27 2 wynosi (45) ś J (x) = lim i^oo lim i y (z) y +x* z >x~~

8 564 J J TELEGA gdzie у z e V\Z 2 przy czym у dą ży do x od strony 27J zaś z od strony 27j; 27j 27 2 oznaczają strony powierzchni ) funkcje te posiadają w podobszarach obszaru V cią głe pochodne s\\ Podprzestrzeń F' tworzą te elementy przestrzeni F które są: a) jednowartoś ciowe i cią głe w b) niecią głe na powierzchni 27j przy czym skok na powierzchni E t wynosi (46) Vj(x) = limvj(y) lim w/z) j'er'xa z e K ^ ; c) posiadają cią głe w podobszarach obszaru V pochodne v Jt k Wprowadź my operator T: E' > F oraz operator sprzę ż on y T*: F' * E (47) T*\ Vji К n t Vj s 0 ntivj К 27i gdzie n(n) jest wektorem normalnym do S v u SV zaś m(m ; ) wektorem normalnym do 27 u 27 2 skierowanym od strony " do + " Równanie (21) ma teraz postać (48) (ś J*v) = <v Ts> Po rozpisaniu otrzymujemy (49) J ś ij Vj t dv j i lj ń t VjdS c j Pm^jdŻ t = $ю /У У + Rozpatrzmy operator + j\>jfiiś ij ds F + j VjniiS ij di; 2 dany zwią zkami (410а ) (410b) (410с ) gdzie 0 T* 0 Г 0 0 О О О :E'xF'xE'» ExFxE T*\ = д Н /д к Ts = д Н /8\ о = д н /д й (411) H[s v d)] = f[s ij dij E(d) +pf J Vj]dV fns ij vjds v + + j F Jt VjdS F jm i 'ł'h i dz 1 + f F J VjdZ 2 W ostatniej zależ nośi ce(d) jest funkcją okreś loną wzorem (314); f J vj F J hj F J są danymi wektorami

9 O FORMUŁOWANIU ZASAD WARIACYJNYCH 565 Równania (410) po uwzglę dnieniu (47) (411) przyjmują postać (412) (413) (414) (415) (416) v jt = d D v rtjf = F J ' w V na S v na 27j w V na S F (417) m t s lj = F J na 27 2 (418) 0 s' J de 3d t Sens zwią zków (412) (418) jest oczywisty i nie wymaga komentarzy Zgodnie z zależ noś ą ci (212) budujemy funkcjonał [11] (419) L[ś v d] = Q H = (ś r*v) #[ś v d] = = J [s j (v Jii d i j) + E(d) pf i Vj]dV+ J&niivj vjds JF J *VjdS F + js'jimihj v^dz! JF J Vjdi: 2 Ze swobodnej zasady wariacyjnej SL = 0 czyli ze zwią zku [por (213)] (420) otrzymujemy równania (412) (418); mówiąc inaczej równania te są równaniami Eulera dla funkcjonału (419) W rozpatrywanej zasadzie wariacyjnej mamy trzy niezależ ne pola: ś d v Problem moż na zredukować do dwu niezależ nych pól Zgrupujmy w tym celu w (419) wyrazy zawierają ce tensor d i zastosujmy transformację Legendre'a (421) W(s) = s ij dij E(u) Funkcjonał (419) przechodzi wówczas w (422) Ldś v] = f [i*4i W(s) ftf J Vj]dV+ JPnffl vj)ds v JF j 'vjds F + f immahj viids^ f F J vjdz 2 Funkcjonał typu (422) rozpatrywał również NEALE [12] ale bez uwzglę dnienia niecią głoś ci Powróć my do funkcjonału (419) Załóż my że funkcja E(d) jest wypukła Wówczas funkcjonał L jest funkcjonałem siodłowym wklę słym ze wzglę du na ś i wypukłym ze wzglę du na v i d przy czym zmienne v i d traktujemy łą cznie Ś ciśe l rzecz traktują c funkcjonał L jest liniowy wzglę dem ś Funkcjonał liniowy moż na traktować jako słabo wklę sły Warunek na siodłowość funkcjonału przyjmuje postać [por (216)] (423) Ltś vdj L[ś 2 v 2 d 2 ] IdL \ ds s 1 s 2

10 566 J J TELEGA Z twierdzeń otrzymujemy parę zadań dualnych co ujmiemy w postaci wniosków: Wniosek 41 Dowolne rozwią zanie równania (410) czyli równań (412) (418) minimalizuje funkcjonał (424) J = L śj = / [E(u) Q fvj]dv JFJ VjdS F jpvjdz 2 w klasie rozwią zań równania (410a) [równanie to jest równoważ ne równaniom (412) (414)] Wniosek 42 Dowolne rozwią zanie równania (410) maksymalizuje funkcjonał (45 * = i < Ł v > < a ) -/ E(u) dj de 8di 'J i dv+ w klasie rozwią zań równań (410b) (410c) [równania (410b) (410c) są równoważ ne równaniom (415) (418)] df Wiemy że r r = ś i J stosując ponadto transformację Legendre'a przekształcamy ódij (425) do postaci (426) К = / W(ś )dv+ jn i s i JvfdS + j m i s!j h J di: i Jeś li w opisie materialnym zastosować niesymetryczny tensor naprę ż eni a Lagrange'a to otrzyma się formalnie takie same zasady jak w opisie Eulera Uwaga Potencjał F(i) jest wypukły jeś li Jt7(d 1 ) J &(d 2 ) [gradit(d 2 )](d 1 d 2 ) > 0 j nis ij vfds v + Jm i ś ij hjdi: i 5 Zwią zki podstawowe płaskiego stanu odkształcenia oś rodków ś ciś liwych W pracy [13] zostały wyprowadzone równania opisują ce płaski stan odkształcenia oś rodków ś ciś liwych Równania te otrzymano z teorii trójwymiarowej zaproponowanej w [14] Ogólny zwią zek fizyczny dla izotropowego idealnie plastycznego oś rodka ma w przypadku trójwymiarowym postać 3G So (51) о = w(d) przy warunku ^jj D = 0 ^g Ф 0 gdzie o = (tfy) jest tensorem naprę ż enia a D = (Z) y ) tensorem prę dkośi c odkształcenia Wystę pująy c w (51) warunek jednorodnoś ci implikuje istnienie warunku plastycznoś ci (52) F(a) = 0 Wystę puje powią zanie mię dzy warunkiem plastycznoś ci a prawem płynię cia

11 1 trd<5( O FORMUŁOWANIU ZASAD WARIACYJNYCH 567 W przypadku płaskiego stanu odkształcenia prawo płynię cia ma postać (53) «в у = 12 3 tr 1 ^2 E 2 gdzie: fi = jg + hy ' ^ 0 ; a r g u m e n t e m funkcji g h cp jest a ax E = (E a/) E 33 ) Naprę ż eni e a 33 wyraża się wzorem ^з з = у (<7««+ jhcp 2 gcp h) '«o Warunek plastycznoś ci (52) ma postać nastę pują cą : (54) F(cv) = 2^^ (0 2 (g 2 + ^+ ^v)(2 у 9 2 ) = 0 Prawo płynię cia (53) nie jest stowarzyszone z warunkiem plastycznoś ci (54) Łatwo wykazać że potencjał plastyczny dany jest zależ noś ą ci (55) G(a alt ) = 2o af> a fi (o M ) 2 +2 j Igcp + j hep 2 / r f < o przy czym Gj jest stałą całkowania Przykłady podano w [13] 6 Zasada wariacyjna dla płaskiego płynię cia oś rodków ś ciś liwych Sformułujemy zasadę minimum która charakteryzuje mnoż nik plastyczny fi z poprzedniego punktu Oznaczmy przez Q rozpatrywany obszar płaski o brzegu dq Niech brzeg ten składa się z dwu czę ś : cisi i S 2 ; przez l lt l 2 oznaczmy linie niecią głoś ciodpowiednio pola prę dkośi cprzemieszczeń i pola naprę ż enia Przestrzeń E składa się z elementów o o postaci (61) o«p(x) x e Q X G S x e S 2 x 6 lx _ V(*)J x e l 2 Iloczyn skalarny ma postać podobną do (42) Bę dziemy nadal oznaczać go przez ( ) Przestrzeń F składa się z elementów V o postaci (62) V(x) x e Q V x (x) x e S y V = V(x) x es 2 V(x) X 6 / t V a (x)_ x e l 2

12 568 J J TELEGA Iloczyn skalarny w tej przestrzeni oznaczać bę dziemy symbolem < > ma on postać podobną do (44) Łatwo jest teraz podać definicje podprzestrzeni E' F' więc nie bę dziemy ich powtarzać Wprowadź my jeszcze trzecią przestrzeń G składają cą się z funkcji skalarnych ц okreś lonych na Q Podprzestrzeń G' składa się z funkcji klasy C' W przestrzeni G wprowadzamy nastę pująy c iloczyn skalarny: (63) {ц X] = f (ixdq fi A e G Ponieważ obecnie tensor naprę ż eni a jest symetryczny więc operatory T T* bę dą miały nieco inną postać niż w (47); mianowicie mamy (64) 1 '1 V *+JEA Q 2 \ д х р д х J s t 0 s 2 >Щ Х У Р > U 0 h 7o = dx x 0 П <х <Г <х /> 0 _ т *0а р J gdzie n(n x ) jest wektorem jednostkowym normalnym do dq zaś m(m x ) wektorem jednostkowym normalnym do Л и / Weź my dwa funkcjonały Q S s 2 ' h и (65) H 1 [av/x] = f \ p(g{a) + F(a))+X x V x dq jn I a p V*dS l + (66) H 2 [oiu] = j + f P x V x ds 2 f m x <7 xp h fi dl l + JP a V x dl 2 jp[g(o) F(a)]dQ i rozpatrzmy rуwnanie operatorowe (67) 0 0 'a a' " 8H 2 /da ' T 0 0 V = д Н /д V д Н 2 \д ц _ Prawa strona rуwnania (67) nie jest gradientem jednego funkcjonału Wynika to stą d że mamy do czynienia z niestowarzyszonym prawem płynię cia Po rozpisaniu rуwnanie (67) przyjmuje postać: д Н у д Н 2 д а д а т д Н 1 (dv д у Л _ 2 \ д х р + 11 д х ) д а д х д Н у д Н 2 ; п V x = т а а Я Р р S 2 dg(a) d<j x fs У * Si К = h x /

13 O FORMUŁOWANIU ZASAD WARIACYJNYCH 569 Ostatnie równanie oznacza że oś rodek jest uplastyczniony w każ dym punkcie Pełny układ zależ nośi copisują cych począ tkowe płynię cie plastyczne dla rozpatrywanych oś rodków o niestowarzyszonym prawie płynię cia moż na zapisać nastę pują co : (68) 4 J 7*V = 8H t dh i ' д а s da (69) Т а 'W' д Н у 8H 2 ( 6Л 0 > > 8 8' (611) /и >0 (6Л 2) Г ч ^г 0 ' Z przeprowadzonych przez SEWELLA [3] rozważ ań wynika że na dowolnym rozwiązaniu układu (610) (612) funkcjonał (6Л З) { ^ _ ^ } _ Г д а osią ga minimum w klasie rozwią zań dopuszczalnych okreś lonych przez (610) (611) Funkcjonał (613) charakteryzuje więc tylko mnoż nik plastyczny^ (por [15]) Powstaje problem budowania ogólniejszych i bardziej praktycznych zasad wariacyjnych dla oś rodków o niestowarzyszonym prawie płynię cia Zagadnienie to zostanie rozpatrzone w przyszłoś ci przy zastosowaniu aparatu rozwinię tego w pracach [4 5] Literatura cytowana w tekś cie 1 A M ARTHURS Complementary variational principles Clarendon Press Oxford J T ODEN J N REDDY On dual complementary variational principles in mathematical physics Int J Eng Sci 12 (1974) M J SEWELL The governing equations and extremum principles of elasticity and plasticity generated from a single functional J Struct Mech Part 1: 2 (1973) 1 32 Part 2: 2 (1973) E TONTI On the variational formulation for linear initial value problems Ann Mat Р и га Appl 95 (1972) M M В А Й Ц 6Е Р ГВ а р и а ц и о н н мы е т о д ыи с с л е д о в а н ни ея л и н е й н ыо пх е р а т о р о Мв 6 Y С FUNG Podstawy mechaniki ciała stałego PWN Warszawa 1969 о с к а в W PRAGER An elementary discussion of stress rate Quart Appl Math 18 (1963) R HILL A general theory of uniqueness and stability in elastic plactic solids J Mech Phys Solids 6 (1958) R HILL Some basic principles in the mechanics of solids without a natural time J Mech Phys Solids 7 (1959) K WASHIZU Vaiational methods in elasticity and plasticity Pergamon Press Oxford J J TELEGA Variational principles for rate boundary value problems in finite plasticity Euromech 54 «Finite deformations in plasticity)) Warszawa К W NEALE A general variational theorem for the rate problem in elasto plasticity Int J Solids Struct 8 (1972)

14 570 J J TELEGA 13 J J TELEGA On plane plastic motion of compressible solids ZAMM (w druku) 14 A SAWCZUK P STUTZ On formulation of stress strain relations for soils at failure ZAMP 19 (1968) Q S NGUYEN H D BUI Sur les materiaux elastoplastiques a ecrouissage positif ou negatif J Mec 13 (1974) Р е з ю ме О Б О П Е Р А Т О Р М Н О П О Д Х О Е Д К Ф О Р М У Л И Р О В АЮ Н ИВ А Р И А Ц И О Н Х Н Ы В р а б ое т п р е д с т а в о л пе нр и м П Р И Н Ц И ПВ О Д Л Я П Л А С Т И Ч Е С Х К ИС Р ЕД е н ее н сив о б о д но овга р и а ц и о но н по рг и н ц иа пк : 1) и н к р е м к р а е вй о з а д а е ч д ля у п р у г о п л а с т и чй ессрк еод ы с у ч е тм о г е о м е н т а й л ь н о е т р и ч ей с нк ео л и н е й н о с2) т ип л о с к о му д е ф о р м и р о в а у н нс о см т о я ю н и д е а л ь н о п л а с т ий ч се рс ек ды о с у ч е тм о о б ъ е м нх ы д е ф о р м а ц и й Summary AN OPERATOR APPROACH TO THE FORMULATION OF VARIATIONAL PRINCIPLES FOR PLASTIC SOLIDS In the paper the application of a «free variational principle» is considered with regard to: 1) rate boundary value problem of elastic plastic solids; geometrical nonlinearity is taken into account; 2) plane flow of perfectly plastic compressible solids POLITECHNIKA Ś WIĘ TOKRZYSK A OŚ RODEK W RADOMIU Praca została złoż ona w Redakcji dnia 5 stycznia 1976 r