W pracy rozpatrzymy osobliwość naprę żń e siłowych i naprę żń e momentowych w półprzestrzeni. ): Xi ^ 0, co < x 2

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 11 (1973) OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ ŻŃ E W LINIOWYM OŚ RODKU MIKROPOLARNYM SPOWODOWANA NIECIĄ GŁYMI OBCIĄ Ż ENIAM I (II) JANUSZ DYSZLEWICZ, STANISŁAW MATYSIAK (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie W pracy rozpatrzymy osobliwość naprę żń e siłowych i naprę żń e momentowych w półprzestrzeni mikropolarnej Q (1.1) Q = {(*!, x ): Xi ^ 0, co < x < oo}, spowodowaną niecią głymi obcią ż eniami statycznymi Pi(x ), (/=1,,3) rozłoż onymi na jej brzegu. Rozważ ania dotyczą płaskiego stanu odkształcenia (w ramach liniowej teorii niesymetrycznej sprę ż ystoś) cireprezentowanego przez wektor przemieszczenia u i wektor obrotu «p postaci [1]. (1.) n( Xl,x ) s (W,,H,0), <p(.v,,x ) = (0,0, c> 3 ). 0 funkcjach obcią żń e pi(x ) zakładać bę dziemy, że są nieparzyste, przedziałami cią głe 1 bezwzglę dnie całkowalne w przedziale ( oo, oo): (1.3) Pi( x ) = Pi(x ), (1.4) limi Pi (x ) = pf Ф 0, * > 0 0 5) / \pt(x )\dx < oo, (i = 1,,3). W pracy korzystać bę dziemy z naszych poprzednich wyników [10], gdzie badając wpływ naprę żń e momentowych na osobliwoś ci naprę żń e pochodzą ce od skupionych obcią żń e podaliś my, w oparciu o [1] i [], podstawowe równania i ogólne rozwią zanie dla stanu naprę ż eni a w półprzestrzeni. W ramach teorii naprę żń e momentowych zagadnienie rozwią zań osobliwych posiada bogatą literaturę (patrz [1], [3]). Obecna praca, jak również praca [10], zrodziły się niejako na podstawie prac [4] i [5].. Ogólne rozwią zanie dla składowych stanu naprę ż eni a Na podstawie [10] dwuwymiarowy stan naprę ż eni a w półprzestrzeni wyznaczamy ze wzorów (.1) a ab = a' a p + a 'a'fi, 033 = « , ( ) /Л я 3 = /4>+/^'з, i"3a = /4а + <«3«(CC, в = 1,).

2 г 394 J. DYSZLEWICZ, St. MATYSIAK Dla wyznaczenia rr 3J, а ' 33, а 33 oraz ц 3х, /л ' 3х, ц 3х pozostają słuszne wzory (.3) С Т 3 Щ Щ <. " + ^> ^ = у + ^ з, («=1,). Wielkoś ci a'a!i, a' 3i są składowymi tensora naprę żń e dla odpowiedniego klasycznego. «Primowane» naprę ż eni a momentowe /u'x3 wyliczamy ze wzorów rozwią zania (.4) A*i3 \ а 1г л ~ \ 1, + ^33,) /«3 = (0,1 ^з з,1 01,) /ł Dla rozwią zania uzupełniają cego obejmują cego składowe naprę żń e siłowych а ' я 'р, a 33 i naprę żń e momentowych /л ' х 3, /i 3x pozostają słuszne wzory w postaci całek Fouriera a,, =?L / l[ < A <0),l+ra + a 0 C I \e p-pxi JIL e 1*1*1) e-* x *d f (.5) Q e iix *dś,,/л Г.' Ill Д о (1) (l A 0(f)) f.v 1 e!^' + + e f (e < w» e ł *0 e-'^dt, Q i 1 у л С О oraz e U e,ix *ds (.6) /«13 = Г I^TtO Ao(0)e ^ e " x ']e ^di, \/л J Д о («я 0 r ^ 3 " ^ J ДAо(0 0 ( (1 A o (0) e i«i*._ JH e " x 'je ' fxj^, i4!łv\ = «E»,

3 OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ ŻŃ EW OŚ RODKU MIKROPOLARNYM 395 gdzie wprowadzono oznaczenia (.7), li 1 r 4i] ', A o(f) = l+a 0 l (l Щ,, _ (У + «)(Р + а ). _ (у + е )(Я + //> (.8) / = v,, ^, ^ Symbole ot, Я, y, oznaczają stałe materiałowe. Wielkość />*( ) oznacza wykładniczą transformację Fouriera [7] wykonaną na funkcji p*(x ), (.9) p4 ) = L Г p*(x )e^*di. v л J oo 3. Półprzestrzeń pod działaniem rozłoż onych obcią żń enormalnych (1), stycznych () i momentowych (3) Przypadek 1. Obcią ż eni e normalne (/'=1). Warunki brzegowe zapisujemy tu w postaci (3.1) О ц(0, x ) = Pi{x ), o l (0,x ) = O, (i 13 (0, x ) = 0. Ponadto od rozwią zania okreś lają ceg o o I/?, <У 33, / г а 3, ц 3а wymaga się, aby dla (xf + xl) 11 * > co odpowiednie składowe dą ż ył do zera. Warunek w nieskoń czonośi c uwzglę dniony jest w rozwią zaniu ogólnym (.1) ь (.9), wobec czego przy formułowaniu brzegowych bę dziemy go pomijać. warunków Rozwią zanie klasyczne cr^ spełnia dwa pierwsze warunki (3.1). Z uwagi na nieparzystość funkcjiр { (х ) ma ono postać [por. [6], 87] У л J (3.) a ' = ~~i?wf ^i(l)(1 ~^i)e ~ fx,sin^)^! 0 д г, 1 = ~ I ^(D^'cos^x,)^. /TE J ' о «Primowane» naprę ż eni a momentowe wyznaczamy z (.4) przy uż yciu (.3) i (3.) (3.3) fi\ 3 = oo _ Г u(f)& f *«cos( jc )rf, 1/7Г J ' о /"3 = 4 а f^,(dfe «Xl sin(f* )rff. 1/з г J ' о Rozwią zanie okreś lająe c (т я д i /z^ uzyskujemy ze wzorów (.5), (.6) podstawiając ( 3 4 ) /3*(1) = /5,(1)

4 396 J. DYSZLEWICZ, St. MATYSIAK i uwzglę dniając (1.3). W ten sposób otrzymamy г Щ ) VT7 J Ao(sł)L + a 0 e \er~* «" *"«jj sin( x )ds, 0" = ]/я Г w i / Јщ [о л о (1))( 1+^) е ^+ (35) +a 0 f ^"''' tl e fjc 'jjsin( x )^, ' о ' о oraz (3.6) + я ( т е "* 1 e fx ') cos (f*) rf с о ''""W / A7(f K 1 A <>( f )) e ' te, e "' x '] cos <^>*' ' d ' o Przypadek. Obcią ż eni a styczne (i = ). Warunki brzegowe mają tu postać (3.7) a (0, x ) = 0, <x 1 (0, x ) = p (* ), p 13 (0, * ) = 0. CO Rozwią zanie klasyczne [[6] s. 90] ma postać o,', = = Г # (D*ie fa, cos(fx )</, 1/л J ' o (3 8) ff = == Г p (D( l*i)e «x»cos(fx )</f? I я J o CTl' = o 1= i Г ^(Da f^e ^sin^)^. /я r J o

5 OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ ŻŃ EW OŚ RODKU MIKROPOLARNYM 397 «Primowane» naprę ż eni a momentowe (3.9) 4a 0 л /л J Podstawiając do wzorуw (.5) i (.6) [i 3 = ^ = Г 1л ( )е * я, с о 8( * ) /. у л J (3.10) uzyskujemy dla a' 'p i /л ' а ' 3 г +a 0 S e pxl e~ Sx cos (Јx )dc, Г ~p (t) = l==r "Г (1 Д о( ))( 1+ х,)^' + Д /я " У Д 0(I) 0 (3.11) о 1 j/^ ' ~ Г + а 0 Ј е "* 1 e~ (Xl cos(јx )dc, + + a o l (e p X l e ^0 sin (fx )tf"f, 4 T i r / Ш Р ^"** + а 0 1 * е " 1 ' е **') sin (fx )rff oraz (3.1) /^3 j/rt J Д о (I) t' cos( x )rf.

6 398 J. DYSZLEWICZ, St. MATYSIAK Przypadek 3. Obcią ż eni a momentowe (/ = 3). Warunki brzegowe są przyję te w postaci (3.13) or u (0,x ) = 0, <r 1 (0, x ) = 0, ri l3 (0,x ) = p 3 (x ). Rozwią zanie «primowane», jak łatwo się przekonać, znika, (3.14) O ^EEO, ^ = 0 (a, P =1,). Ostateczna postać rozwią zania wynika ze wzorуw (.5), (.6) po uwzglę dnieniu warunku (1.3) i podstawieniu (3.15) Dla naprę żń e siłowych otrzymamy 1 г a 0 \n J ML (l A 0 ( ))(l+fx,)e ^' + + tf 0 f (e '" c ' ~e f *') cos( x )dc, 1 p 3 (S) Ao(f) a 0 \ r n (l A 0 (l))( l + ^i)^ { X l + (3.16) CO + a 0 C (e p^ ^e ^ cos(&c )rf, 0*1 = 7 / a 0 yn Q fao(d (1 Д о(0) + + a 0 l (e p x ' e ^') sin(fx )u?, Г в о l/ т s Se + a 0 ^ \±z e " x ' е *" ] I sin (fv ) rff, dla naprę żń e momentowych zaś mamy (3.17) /я 0* o / loit [(1 ~^))e ^ e " x qsin(ix )di, CO y«3 = cos (Cx )dc.

7 OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ ŻŃ EW OŚ RODKU MIKROPOLARNYM Osobliwość naprę żń espowodowana obcią ż eniami pi(x ) ((' = 1,, 3) Badanie osobliwoś ci naprę żń e dla obcią żń e niecią głych pi(x ) (/ = 1,,3) sprowadza się do badania funkcji podcałkowych we wzorach (3.5), (3.6), (3.11), (3.1), (3.16), (3.17) w punkcie (0,0; ) przy» oo, o ile niecią głośpi(x ć ) zjawia się tylko w punkcie x = 0. Całki we wzorach (3.), (3.3), (3.8), (3.9), jak się przekonamy, dadzą się wyrazić w postaci zamknię tej. W celu wyznaczenia charakteru osobliwoś ci naprę żń e wykorzystamy następują ce rozwinię cia asymptotyczne: (4.1) Q = J/V + ~ = + +0(Г 3 ) dla ^ cc oraz (4.) \is) : i i :«= ' ( i 4) = i + ^+o(c : >. I / 1 dla L / 8f / U j -* co. Transformantę sinusową obcią ż eni a p t ( ) przedstawiamy w postaci wzoru [8]»? (4.3) Ш = j= f + 0(f" 3 ), dla co. Symbol 0(f"") oznacza wyraż enie, które przy -* co zachowuje się jak ~". Wykorzystując rozwinię cia (4.1) +(4.3) i biorąc pod uwagę tylko te czę śi c funkcji podcałkowych, które przy x t = x = 0 i przy > co są rzę du 0(f 1 ) lub wię kszego [por. [3 + 5], [7]], oraz korzystając z [9], otrzymamy Przypadek 1. /7?/ _ x x t x \ 4/?? a 0 л,л = " (tan i + 7TTJ+ + T a +). cr (x 1,X )= Mltan ' ] + 7Г ^ _ XjX \ Xi (4.4) + M $ 7 T ^ ) + 0 ( D, r J Naprę ż eni e momentowe (4.5) ^1з (х и х ) = " tyl QQ, x,logr + 0(l), я а 0 + / * ) = M ^ t a n ^ +0(1).

8 4 J. DYSZLEWICZ, St. MATYSIAK Przypadek. Naprę ż eni e siłowe On(x l,x ) p xj =, 4p a 0 xi, ~r +0(1), n r n a 0 + i r V i % (4. 6 ),<* *,) _М ( м.^ ^)_М ^_^ + 0 ( 1 ), ps Xl 1 x * cr, (x,,.v ) = I tan 1 ' I + *1 r x. 4p a 0 I. x x t x I tan л ; а 0 + г \ Xi r z (4.7) p a 0 x t x > (*,.«,) = +), Przypadek 3. ffn(x,, * ) = A_ z i _, t *ilogr+0(l), я a 0 +f <4.8) e (Xi,x )= pg 1 J г T^"^! logr + 0(l), Л a 0 + / o 1 (x lt x )= p l L v,tan ^+0(l), n a 0+l Xi o 1 ( Xl,x ) = L v l t an ^+0(l). (4.9) f i3 (xi,x )= Mtan '^+0(l),. Л ] f* 3 (xi,x ) = ^ logr + 0(l). We wzorach (4.4)(4.9) symbol 0(1) oznacza czę ść regularną rozwią zania. Ponadto zachodzi ^<tan '* < * г = >/л Т +Т Г. Xi

9 OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ ŻŃ EW OŚ RODKU MIKROPOLARNYM 401 W przypadku 1 ze wzorów (4.4) i (4.5) widać, że dla r» 0 osobliwość rzę du O(logr) wykazuje składowa cr 1. Pozostałe naprę ż eni a są rzę du 0(1). W przypadku osobliwość logarytmiczną wykazują składowe a, a 33 (wzory (.3) i (4.6) ). Natomiast pozostałe składowe pozostają skoń czone. W przypadku 3 (wzory (4.8) i (4.9)) składowe naprę żń e siłowych oraz fi l3 są rzę du 0(1), natomiast dla r * 0 fi 3 i fi 3 wykazują osobliwość logarytmiczną (wzór (.3) i (4.9) ). Wprowadź my biegunowy układ współrzę dnych (г, в ): (4.10) x 1 =rs'md, х = г с о &в, tan" 1 = ~ в (0 < 0 ^ л ) i zapiszmy wzory (4.4) " (4.9) w tym układzie. Przypadek 1. а ы (г, в ) = ^(^ 6 + sin0)+ ^ ^T sine+0(l), л л a 0 + l~ (4.11) a a {r, 0) = ^ fa g sin0) +,, (7r fl sin0)+o(l), л л а 0 + г ffl(r, 0) = M s i n e _ M _ ^ _ s i n 6 + o ( 1 ), a ai (r, 0) = ^ s i 0 M_^_( l o g r + s i n e ) + o ( 1 ). (4.1) Przypadek. f*i 3 (r, 0) = / > 1 "1, rsineiogr+0(l), ^ е ) = 1 ^ ( т ) " 1 п е + 0 ( 1 ) ffu(r, 0) = M 8 i n fl_m_f ^i n 0 + o(l), Ti л a 0 + l (4.13) <r (r, 0) = M(l O gr+i sin 0) + M^ 7 (log/ + sin 6) + 0(l). o i (r, 0) = ^ ( C T fl sin6) ^ g, sin0 + O(l), <*i(r, 0) = P (7t e sinr3) Jfeg, (i sing g + e)+0(l).

10 40 J. DYSZI.EWICZ, St. MATYSIAK (4.14) Przypadek 3. /««(г, б ) = ^ 5^6 +0(1), р \ а 0 /»з (г, 9) = ^_..». s in 0 + O(l). 7Г О 0 + / (4.15) Z i a 0 + l ff,,(r, 6) = r i rrsineiogr+0(l) i л A _ J»(r, 0) = ~ _ 3, rsinelogr + 0(1), г a 0 +/ ^ 1 л ff, (r, 0) = elrsinfl + OO), я a 0 +/ \ (4.16) Ou(r, в )= _ Т 7г 1^ е rsinfl + OO). "Г a 0 + l \ A* 13 (r,0) = ~ Ц у «) + 0(1), /*з (Л 0) = i 3 logr + 0(l). CT Rozpatrzmy przypadki graniczne (a» 0 i a» co) korzystając ze zwią zkуw (4.П ) H m_fo = 0, lim^o (i_ r) a o a 0 + / a^co a 0 + / (3 v) Dla a > 0, zarуwno dla przypadku (i = 1) jak i dla (/ = ) zachodzi (4.18) <# >0, ^з ^О (a,/3=1,). We wzorach (4.4), (4.6), (4.11), (4.13) pozostają tylko naprę ż eni a a'^ reprezentują ce odpowiednie rozwią zania klasyczne (por. [6]). Gdy <x * co otrzymujemy wyniki teorii ze zwią zanymi obrotami [por. [4]]: Przypadek 1 (a = 0). o,,(r, 0) = Щ п В А ^sine)+0(l), Л \ 3» / (4.19) o"(r, 6) = <т 1 (г, 0) = O i л ~V ( CT+9+sin(9)+0(l), 7Г 3 v ^J^sin 0+O(l), Ti 3 v О г Л г,0) = %P l 1 ~ У logr+ofl). 7Г 3 v

11 OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ ŻŃ EW OŚ RODKU MIKROPOLARNYM 403 (4.0) f* l3 (r, 0) = 0(1), ц 3 (г, 0) = 0(1). Przypadek (a = oo). *U(', 6)= ~ P 1 л 1 " [п в + 0 ( 1 ) > i Lv (4.1) ff» (r ' fi)= 4p7 logf+0(,) ' ffi (r, 0) = ^j ^ 0+~ ^sin f3j+0(1), ff i(r, в ) = l~l V ( 7g+e+sine)+0(l). (4 ) Pisfr, в ) = 0(1), p (r, 0) = 0(1). Dyskusja wzorów (4.15) i (4.16) dotyczą ca przypadku (3) wymaga zanotowania granic (4 3) lim pr = 0, lim = *. : a o a 0 + l a oo a 0 + l (3 v)(/*) ' /* oznacza tu wymiarową stałą sprę ż ystośi cz teorii ze zwią zanymi obrotami. Dla a + 0 otrzymujemy oś rodek mikropolarny przenoszą cy tylko naprę ż eni a momentowe (wzory (4 16)). Podstawiając (4.3) do wzorów (4.15) otrzymujemy, w połą czeniu z niezmienionymi wzorami (4.16), rozwią zanie teorii ze zwią zanymi obrotami w układzie (r, 6) lub wzory (4.8), (4.9) w układzie (JC,, x ). 5. Uwagi koń cowe W klasycznej teorii sprę ż ystośi cw punkcie niecią głośi c obcią ż eni a p x (x ) (a = 1,) wszystkie składowe naprę żń e są skoń czone dla przypadku 1, natomiast dla przypadku tylko składowe a i a 33 wykazują osobliwość logarytmiczną przy r * 0. Wszystkie składowe natomiast (w obu przypadkach) są niecią głe w począ tku układu współrzę dnych w tym sensie, że przy ustalonych 0 dla r» 0 otrzymujemy róż ne wartoś ci naprę ż eń. W teorii mikropolarnej, analizując przypadek 1 i, oprócz niecią głośi c naprę żń e w punkcie skoku obcią ż eni a p x (x ) i osobliwoś ci logarytmicznej składowych a, a 33 (przypadek ), zwraca uwagę logarytmiczna osobliwość składowej cr i (przypadek 1) przy r > 0. Stanowi to istotną róż nicę w odniesieniu do rozwią zania klasycznego. Pozostałe składowe naprę żń e zarówno siłowych jak i momentowych są rzę du 0(1). W stosunku do teorii ze zwią zanymi obrotami teoria mikropolarnej sprę ż ystoś c i nie wnosi ż adnych róż nic odnoś nie rzę du osobliwoś ci składowych naprę ż eń. Róż nica tkwi we współczynnikach intensywnoś ci i w moż liwoś c i otrzymania przypadków granicznych (a = 0, a = oo). Jak widać ze wzorów (4.4) н (4.7) oraz ze wzorów (4.11)н (4.14), współ

12 404 J. DYSZLEWICZ, St. MATYSIAK czynniki intensywnoś ci osobliwoś ci teorii mikropolarnej odpowiadają ce naprę ż eniom а Ф /4'з są bezwymiarowe i zależą od stałych materiałowych. Nie moż na tego powiedzieć o osobliwoś ciach teorii ze zwią zanymi obrotami, gdzie współczynniki intensywnoś ci osobliwoś ci naprę żń e zależą (przypadek 1,) od wymiarowej stałej sprę ż ystośi c/* (por. [3 : 5]). W teorii tej przejś cie z /*» 0 nie prowadzi do rozwią zania klasycznego. Szczegółowe omówienie i wyjaś nienie tego faktu znaleźć moż na w pracy [3] na 41. Oddzielnego omówienia wymaga przypadek 3. Nieklasyczny charakter obcią ż eni a (warunki brzegowe (3.13)) powoduje, że rozwią zanie klasyczne jest toż samoś ciowe równe zeru i rozwią zanie teorii mikropolarnej jest okreś lone przez naprę ż eni a z dwiema kreskami. Rozwią zanie to dla a > 0 nie dą ży do zera jak w przypadku 1 i (pozostają naprę ż eni a momentowe róż ne od zera) i nie prowadzi do rozwią zania dla klasycznego oś rodka Hooke'a, lecz do pewnego oś rodka hipotetycznego, w którym moż liwe są tylko obroty cp 3. Rezultat ten jest usprawiedliwiony tym, że obcią ż eni e momentowe na brzegu pólprzestrzeni powinno być zrównoważ one pewnym polem naprę żń e momentowych w jej wnę trzu. Zwraca tu również uwagę fakt, że współczynnik intensywnoś ci osobliwoś ci naprę żń e momentowych [wzory (4.9) lub (4.16)] jest bezwymiarowy i nie zależy od stałych materiałowych, natomiast dla naprę żń e siłowych współczynnik ten [wzory (4.8) lub (4.15)] zależy od stałych materiałowych i przestaje być bezwymiarowy. Przejś cie do teorii ze zwią zanymi obrotami (a + oo) daje dla naprę żń e siłowych współczynnik intensywnoś ci zależ ny od stałej sprę ż ystośi c/*. Zauważ my wreszcie, że dla r > 0 wzory (4.15) i (4.16) implikują osobliwość logarytmiczną dla ц г з i JU3 oraz osobliwość rzę du 0(1) dla ц 13 i /u 3l. Literatura cytowana w tekś cie 1. W. NOWACKI, Teoria niesymetrycznej sprę ż ystoś ci,pwn, Warszawa W. NOWACKI, Plane problems of micropolar elasticity, Arch. Mech. Stos., 5, 3 (1971), M. SOKOŁOWSKI, O teorii naprę ż eńmomentowych, PWN, Warszawa D. B. BOGY and ELI STERNBERG, The effect of couple stresses on singularities due to discontinuo loadings, Int. J. Solids Structures, 3, 757 (1967). 5. ROKURO MUKI and ELI STERNBERG, The influence of couple stresses on singular stress concentrati in elastic solids, Z. angew. Math. Phys., 16, 611 (1965). 6. W. NOWACKI, Teoria sprę ż ystoś ci,pwn, Warszawa I. N. SNEDDON, Fourier transforms, Mc Graw Hill Book Company, Inc. New York Toronto London A. ERDELYI, Rozwinię cie asymptotyczne, PWN, Warszawa И. С. Г Р А Д Ш Т Е, Й И Н. M. Р И Ж И, К Т а б л и ц ыи н т е г р а л ос в у, м м,р я д о в,п р о и з в е д е н Ии й з, д. Н а у к, а М о с к а в J. DYSZLEWICZ, S. MATYSIAK, Osobliwoś ć naprę ż eńsiłowych i naprę ż eńmomentowych w ciele mikropolarnym wywołana obcią ż eniamiskupionymi (I), Mech. Teor. i Stos., 4, 11 (1973), Р е з ю ме С И Н Г У Л Я Р Н ОИ С ТН А П Р Я Ж Е НЙ И В Л И Н Е Й Н Й О М И К Р О П О Л Я РЙ Н ОС Р Е Д, Е В Ы З В А Н НЕ Ы Р А З Р Ы В АИ М Н А Г Р У ЗК О (II) В р а м х а л и н е й й н ом и к р о п о л яй р нс ро е ы д р а с с м о т а р ес нт а т и ч е я с кз а д аа ч о б у п р у гм о п о л у п р о с т р а н се т в в п л о с км о д е ф о р м и р о в м а н с но ос т о я н, ио ип и с ы в а м е м в ое к т о р и а мu(«i, и, 0) и <р (0, 0, <р 3 ) н а к р ай п о л у п р о с т р аа н св то вз д е й с т т в у сют а т и ч е е с к ри а с п р е д е л ее н нр ыа з р ы в е н ын а г р у и з к (к а с а

13 OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ ŻŃ EW OŚ RODKU MIKROPOLARNYM 405 т е л ь н ы, не о р м а л ь е н и ы м о м е н т н. ы Де ) ан а н а л з и х а р а к та е ор с о б е н н ой с в т ес и л о вх ы и м о м е н т х н ы н а п р я ж е нх ив ят о ч е к р а з р ыа вн а г р у з. о Рк а с с м о т ы р еп н р е д е л ь е н сы л у чи а к л а с с и ч ей с ук по р у г ои с т (а = 0) и с в я з а н х н ыв р а щ е й н и(а = о о.) Summary STRESS SINGULARITY IN A LINEAR MICROPOLAR MEDIUM PRODUCED BY DISCONTINUOUS LOADS The static problem of a micropolar elastic half space in a plane state of strain (represented by the vectors u (MJ, u, 0) and cp (0,0, q> 3 ) due to discontonuous (normal, tangential and couple) loadings at the boundary is considered. For these loadings, the singularites of stresses and couple stresses are discussed. Two limiting cases are considered: а > 0 (classical theory of elasticity) and а > oo (couple stress theory of elasticity). INSTYTUT MECHANIKI UNIWERSYTETU WARSZAWSKIEGO Praca została złoż ona w Redakcji dnia 5 marca 1973 r. 5 Mechanika Teoretyczna 4/73