Ш Ш *Ш &>\vdi;fclbi>!«> У TEORETYCZNA ii.stosowana fiuncq i 4, 15 (1977)

Transkrypt

1 8 lc Ш Ш *Ш &>\vdi;fclbi>!«> У TEORETYCZNA ii.stosowana fiuncq i 4, 15 (1977) ki invnkiis unolbiiło t: L*1 oś. и к п э ип и bo vi'jb:>. :.'.. k'isi >q i /j:;"mij',!rio>!! i TENSOR TARCIA COULOMBA*) ALFRED Z M I T R O W I C Z (GDAŃ SK) ' <jy:.u bo Vn.\ 6'! 'У /с! '..V : '.!'!.:!!;', >; i;iv(.';j. ;»jfi'<4'jłóq. w 'J.Ń.I<$I)V/ IJ>;' 1 Wstęp osinc i jswoqoijorio biouv.oqoirb с» nici JA iii v/6ni '/rrrj.wl/ Jufo bxainv/o.ik// i<m'a\ nui.iinu. W zagadnieniach dynamiki ciał stałych nie rozwikłanym do koń ca problemem jest opis matematyczny niezachowawczych sił tarcia w połą czeniach i w miejscach styku elementów konstrukcji. Podstawowymi cechami każ dego takiego opisu winno być oparcie się o wyniki podstawowych badań fizycznych oraz łatwość stosowania tego opisu w badaniach ruchu ciał. Istnienie sił tarcia na powierzchniach styku poruszają cych się ciał pocią ga za sobą konieczność uwzglę dnienia warunków granicznych ruchu, historii przemieszczeń oraz stanu wię zów w styku [1, ]. Niezbę dny jest więc również taki opis tarcia, aby moż liwa była analiza całokształtu zjawisk towarzyszą cych ruchowi. W pracach poś wię conyc h dynamice ciał stałych z udziałem sił tarcia na ogół wykorzystuje się znany model tarcia Coulomba, np.: [1,3, 4]. Ten sam opis tarcia stosowany jest w problemach kontaktowych oraz wytrzymałoś ci połą czeń tarciowych i układów warstwowych przy quasi statycznej zmianie obcią ż enia, п р :. [5]. Do nielicznych należą prace bę dąe c próbą znalezienia, w oparciu o założ enia Coulomba, wygodnego dla dynamiki opisu tarcia [6, 7]. Celem niniejszej pracy jest sformułowanie opisu siły tarcia w postaci tensora uwzglę d niają cego złoż one własnoś ci powierzchni trą cych się..x ni*., c'vou,t) o> (Ł.Ł.). Zagadnienia tarcia suchego og'jj?byw utnsmob OL\\\\,. \ \]ж л >> '. i>«/n! ;;iiinii irncini/^iqwi Д ' ' ^ aisbj;. Tarciem suchym suwnym nazywa się całokształt zjawisk wystę pują cyc h mię dzy stykają cymi się, niesmarowanymi powierzchniami ciał stałych, spowodowanych działaniem siły normalnej dociskają cej te ciała i siły stycznej przemieszczają cej lub usiłują cej je przemieś cić [8]. Zazwyczaj przy omawianiu tarcia przedstawia się dwa jego mechanizmy: tarcie statyczne i tarcie kinetyczne. W niniejszej pracy rozważa się przypadek poruszają cych się wzglę dem siebie ciał znajdują cych w styku. Przyjmuje się, że na powierzchni styku obowią zują prawa tarcia kinetycznego. Wzglę dne przemieszczenie ciał nazywa się poś lizgiem. Siła wzajemnego docisku ciał i prę dkość poś lizgu są tzw. parametrami tarcia, bowiem stanowią one bezpoś rednią przyczynę omawianego zjawiska i wpływają na jego charakter. *> Praca wykonana w ramach planu badań MR I/fi, lemat 09.3.

2 518 A. ZMITROWICZ Dotychczas zdaniem autora nie opracowano ogólnej teorii, która okreś lałaby jednoznacznie współczynniki tarcia lub siłę tarcia w zależ nośi cod własnoś ci ciał i parametrów tarcia. Podstawowa trudność tkwi w duż ej liczbie czynników wpływają cych w sposób istotny na przebieg zjawiska tarcia [8]. W pracy przyję to, że siła tarcia okreś lona jest znanym wzorem Amontonsa i Coulomba. Stały w czasie współczynnik tarcia p zależy od materiału trą cych się ciał i konfiguracji powierzchni styku. Zwykle zakłada się, że chropowatość powierzchni styku trą cych się ciał jest jednorodna i izotropowa. HUBER [9] zauważ ył, że współczynnik tarcia podłuż nego może być róż ny od współczynnika tarcia poprzecznego na skutek п р :. rodzaju obróbki (struganie, toczenie) lub struktury walcowniczej ciał. Moż emy mówić zatem o chropowatoś ci ortotropowej i anizotropowej. 3. Model tarcia ortotropowego Hubera Tarcie odpowiadają ce chropowatoś ci ortotropowej nazywamy tarciem ortotropowym. Kierunek siły tarcia w tym przypadku jest przeciwny kierunkowi poś lizgu przy ruchu w kierunkach ortotropii. Jeś li poś lizg nastę puje w innych kierunkach, kierunek siły tarcia nie pokrywa się z nimi. Mówimy wtedy, że siła tarcia zbacza z kierunku prę dkośi cpoś lizgu. Niech osie х, у układu Oxy pokrywają się z głównymi kierunkami ortotropii na płaszczyź nie styku. Niech p x i p są współczynnikami tarcia wzdłuż osi x i y, natomiast fi x współczynnikiem odpowiadają cym poś lizgowi w kierunku tworzą cym kąt a z osią л. HUBER W [9] przyją ł, że (3.1) /г х COS a.+fi sin a. Postulując zależ ność (3.1) Huber wzorował się na zależ nośi cmię dzy naprę ż eniami normalnymi w płaskim stanie naprę ż eni a (3.) a x = o ^cos a + o'j,sin a, gdzie 0 Х, a x i a y są naprę ż eniami normalnymi na bokach trójką tnego elementu wycię tego z napię tej płaszczyzny. Ką t, o który musi zbaczać kierunek siły tarcia od kierunku poś lizgu przy a e (0, т с /), oznacza się przez fi. Wyznaczając kąt fi HUBER wykorzystał analogię z ką tem, o który zbacza naprę ż eni e całkowite p a okreś lone wzorem (3.3) P a = \/~a* + r, od kierunku naprę ż eni a normalnego a x w płaskim stanie naprę ż enia. Tangens tego ką ta wynosi (3.4) tg/3 = у ( a x + o y) + у {a x óy) cos a

3 TENSOR TARCIA COULOMBA 519 Zgodnie z powyż szymi założ eniami składowe T x i T y siły tarcia dane są wyraż eniami у, (3.5) T x = ^/Vcos(a /S) = f 1 r ^u./vcosa, / (/*, cos a) + («sin a) z (3.6) T y = ^/Vsin(a />) = A»iCO» a «+A» a tin»«_ ]/ (,w i cos a) + (/t sina) Z wzorów (3.5) i (3.6) nie moż na wydzielić czę śi czależ nej tylko od funkcji ką ta a charakteryzują cego kierunek poś lizgu na powierzchni styku. 4. Tensor tarcia suwnego i jego własnoś ci Weź my dwie dwuwymiarowe przestrzenie wektorowe <? i $г Przyjmijmy w & orto 1 i normalną bazę wersorów kj (i = 1,) a w S dowolną bazę wersorów (j = 1,). Niech przestrzeń tensorowa У = S S' bę dzie produktem tensorowym przestrzeni 1 S is Każ dy element tej przestrzeni jest liniową kombinacją polibaz k ( e,. Może być 1 więc zapisany w postaci (4.1) Q = e y k, e,. Niech s4 bę dzie liniowym odwzorowaniem przestrzeni tensorowej У x = w prze strzeń tensorową ST^ = $. i i Wówczas (4.) \у Д j/(a) = Qa, Q e Г a e T, i gdzie ^(a)6^j, [10]. i Niech elementami przestrzeni $ bę dą kontrawariantne wektory t tarcia odpowiadal ją ce jednostkowemu dociskowi, a elementami przestrzeni S bę dą dowolne kontrawa riantne wersory v wektora prę dkośi c poś lizgu. Definicja: Nieosobliwy tensor Q nazywamy tensorem tarcia, jeż eli Q nasunię ty lewostronnie na wersor v wektora prę dkośi cpoś lizgu jest wektorem przeciwnym do wektora siły tarcia Coulomba t przy jednostkowym docisku, tzn. (4.3) t = Qv. Wektor siły tarcia przy dowolnym docisku (4.4) T = Nt. okreś la zależ ność W przypadku tarcia ortotropowego przyję to nieortogonalny układ współrzę dnych 0 r) na płaszczyź nie styku. Ką ty y, e x, e y orientują układ 0 r] wzglę dem prostoką tnego układu Oxy, rys. 1. Kierunek poś lizgu okreś lają a x i a y. Założ ono, że rozkład sił tarcia

4 50 A. ZMITROWICZ w ukoś noką tnym układzie współrzę dnych jest taki jak rozkład naprę żń e na bokach trójką tnego elementu w płaskim stanie naprę ż enia. Element taki wraz z orientacją wzglę dem układu współrzę dnych i kierunku poś lizgu pokazano na rys. 1. Przyję to, że naprę ż eni a p x na boku ds rozkładają się na naprę ż eni a równoległe do linii i r\ na bokach ds^ i ds n. (dl) i ivrdol.'a vi'.iys 'л \'Л \\а н i,r:';o<n jin id.t) i (c.fj / / ÓVA/ / X i л 'jfrivjfa'ju jifi JA ur.,.;, iq ov/ou;irnvwuwb 3iv/b vinvjvv > " " I I =0 ;>i //Oloi'l'JW 9.4j;d Г 1ш П ОП,d,.\0,?> = t\. jw/oio.nai п э г и г эа з пrfosih Rys. 1. Analogia tarcia ortotropowego z płaskim stanem naprę ż eni a bin A Naprę ż eni a p x okreś la wzór (3.3), w którym hr,!?.oą 7/ '/п в г 'щ н х о р и / (4.5) ax = (o ccos dx + <fnsin óy), siny *o mvv/oi(iil 3ij.L?d V, г Ь ЫИ (4.6) 1 r x = ^ (o', cos (3, sin <r { cos sin d x ). gdzie, (5 X = a x e x i ó y = т с / x y + Sy. Niech PY'I р щ współczynnikami tarcia wzdłuż osi i r\, a fi a jest współczynnikiem tarcia przy poś lizgu w kierunku nachylonym do osi x pod ką tem oc x i przez założ oną analogię z Pa okreś lonym wzorem (4.7) p x = ^^y(p l c0s d x + psin 6y) + (^cosdysmdy p 1 cosd x s'md x ). Kąt zboczenia kierunku tarcia od kierunku poś lizgu przy a e (0, т с /) okreś la wzór,. o s a O^COSÓySinÓy fffcosó^sini?* (4 8) tg/s = rr? /, J v <а л»*.v//iłdo/')oi'/f :в (э т П а э o? cos ó x + o ^sin 0j, siotjfóy/ ob rrrfnwiiś STrj г п э т о ь/ Ъ 1г *Д / ussilioq ю г о А Ъ ^а jnoi. b.v v io<nav/ nrt oirtnoik gdzie za i а п należy podstawić odpowiednio ц у i p Zgodnie z przyję tymi założ eniami otrzymano nastę pująe c wzory na składowe siły tarcia w układzie Oxy 'y = ł (4.9) T 1 N(p 1 cose x ds n + p sme y ds i ) = N ii7.ni0v/0b VViq BlOtCJ A\ć 101Ь У / [/ii cos e x cos(a x e x )+/г sm в у cos(a y e y )], siny (4.10) T = N^iSmexdsq+piCoseydse) = _ N_ siny л ; л usqvsiq /7 sin e x cos(a x ej + p cos e, cos(otj, e y )].

5 TENSOR TARCIA COULOMBA 51 (4.11) W powyż szych zwią zkach wykorzystano nastę pująe c zależ noś ci : smóy., cost i ds = siny = 'i siny i 9 I Ł\ Łatwo zauważ yć, że cos(a x x ) i cos(a y e y ) są kosinusami kierunkowymi wektora prę dkośi cpoś lizgu w układzie ukoś noką tnym OĘ TJ,rys.. Kosinusy kierunkowe wektora prę dkośi cw układzie Oxy okreś lają relacje T/l J/ i (4.1) cosa x =, i cost*.. =, у (1/ 1) + (1/ ) v/( F l) + (T/ ) gdzie F 1 i V są składowymi wektora prę dkośi cpoś lizgu w bazie (k x, k )..vs'jwcworfoex isjjinulo j;fii у.ъ и Л irioraol [Э Л Л У /П М Э Г i ii'jj;i_«bi;i woqbo nłi У JQ ululau irnni<o s ianbojjs iiqoilojio о и г л а! uiom i rn/ji;łbi;q/viq nr/nió5j3v.ł.\.1 i к ; 'ю ;п.л ł "jj r/.o V / vjrrjniil:l.( Ł'J.,0) //т о м */?s«d aalbanonołio = :,;\ opicbcwi;s (Cl.fy \ teoiqw onarn/yilo o: Rys.. Wektor prę dkośi cpoś lizgu i jego składowe Zgodnie z wyprowadzonymi wzorami reprezentacją tensora tarcia w powyż ej przypadku tarcia jest nastę pująa c macierz wybranym (4.13) (Q) =(6 ) gdzie JMJCOSSJC +,,) /^1sine x + ej,).0 = ( r 04 0) ' = 4) ix %me y + 6j,) Li cose y + j,) (4.14) /t lt fi e<0, +co> i E x,,, e <0, т с />. Nadto musi być spełniony warunek (4.15) (e x + б,,) 6 <0, т с /). '(il'jiiivi abj.o vj >9 iw Utworzony w ten sposób tensor Q oraz ogólny tensor tarcia mają nastę pująe c własnoś ci: 1. Moc siły pochodzą cej od czę śi cantysymetrycznej tensora tarcia jest równa zeru. Dowód: Reprezentacją macierzową antysymetrycznej czę śi ctensora tarcia jest macierz uia l (4.16) (Q A ) "о ]. gdzie I (4.17) A = T(e l e 1 )

6 5 A. ZMITROWICZ Siłą tarcia przy jednostkowym docisku, pochodzą cą od czę śi cantysymetrycznej tensora tarcia jest (4.18) t A = Q A \. Wersor v w bazie (е ъ e ) może być przedstawiony nastę pująo c (4.19) v = [v l,v ] T. Stą d, otrzymujemy moc siły t A (4.0) M= v r (Q^)= b\* ][ ~o][l ] = Siła odpowiadają ca czę śi cantysymetrycznej tensora tarcia ma charakter zachowawczy.. Szczególnym przypadkiem tensora tarcia o ortotropii zgodnej z osiami układu 0xy jest tensor tarcia ortotropowego (4.1) Q = /г 1 к 1 е 1 +ц к е, i tensor tarcia izotropowego (4.) Q = //(к, e t + k e ). Dowód: W przestrzeni S wybrano ortonormalną bazę wersorów (e,, e ). Elementy reprezentacji tensora tarcia ortotropowego otrzymano wprost z (4.13) zakładając s x = = e y = 0, fi t Ф ц ф 0. Ponadto przy wyznaczaniu reprezentacji tensora tarcia izotropowego z (4.13) przyję to dodatkowo /г х = ix = /л. 3. Każ dy tensor tarcia ortotropowego i izotropowego jest tensorem symetrycznym. Dowód: Ponieważ w przypadku tensora tarcia ortotropowego i izotropowego (4.3) Q T = Q, więc czę ś ą ci symetryczną tensora tarcia jest (4.4) CP = I(Q + Q r ) = Q. Czę ść antysymetryczna tego tensora równa jest zeru. 4. Każ dy tensor tarcia ortotropowego (4.13) którego elementy reprezentacji utworzono przy zachowaniu warunków (4.14) i (4.15) ma dwie rzeczywiste wartoś ci własne i dwa wektory własne. Dowód: Wartoś ci własne tensora tarcia Q okreś la równanie (4.5) det(q *I) = 0. Stąd po łatwych przekształceniach otrzymuje się dla tensora (4.13) równanie kwadratowe postaci (4.6) X cos (e x + s y ) X(fi t + /n ) + Sy) r (JM 1 sinex+jm sine y ) + + OiCos *+^sin y) (/z 1 sin e*+^cos e y ) = 0.

7 TENSOR TARCIA COULOMBA 53 Przy spełnieniu warunków (4.14) i (4.15) wyróż nik tego równania jest nieujemny (A > 0), więc pierwiastki są liczbami rzeczywistymi. 5. Każ dy tensor tarcia ortotropowego (4.1) ma dwie wartoś ci własne, którymi są liczby fi t i fi oraz dwa wektory własne postaci (4.7) m 1 = [ J ] i m = [ ]. Dowód: się do postaci W przypadku tensora tarcia ortotropowego równanie (4.5) sprowadza (4.8) 0"< A)Gu A) = O. Pierwiastkami tego równania są /ц М równanie г Stąd już łatwo okreś lić wektory własne spełniają ce (4.9) Qm = Я ш. 6. Każ dy tensor tarcia izotropowego ma wartość własną podwójną równą współczynnikowi tarcia ju, a jego wektorem własnym jest dowolny wektor. Prosty dowód pominię to. W przypadku tarcia ortotropowego (4.1), współczynnik tarcia odpowiadają cy poś lizgowi w kierunku okreś lonym ką tem a wynika z wzoru (4.7) po podstawieniu s x = s y = 0 i у = n/, (4.30) ц х = ]/( i a 1 cosa) + 0 sina). W przypadku tarcia izotropowego (4.) współczynnik tarcia /л х moż na z (4.7) po podstawieniu e x = s y = 0, у = т с / oraz = ц = М Stąd otrzymać (4.31) ц а = ц. Dla róż nych formuł matematycznych współczynnika ц х (3.1) i (4.30) wynikają róż ne zależ nośi cna składowe wektorów siły tarcia, (3.5) (3.6) i (4.9) (4.10). Sposoby wyznaczenia ką ta В w [9] i niniejszej pracy są identyczne. Dla porównania uzyskanych wyników z pracą [9] przeprowadzono obliczenia błę du wzglę dnego mię dzy formułami matematycznymi ц а okreś lonymi wzorami (3.1) i (4.30). W tym celu utworzono nastę pująą c funkcję błę du (4.3) A(«, *) = rt»b"<0»w«_ ' v '?<cos a + sin a gdzie Ц! = x(i. Wartoś ci współczynników tarcia i fi nie mogą zbytnio róż nić się, jak również róż nica ta z reguły maleje z czasem na skutek np.: docierania się elementów maszyn i urzą dzeń [9]. Porównanie wartoś ci współczynników tarcia podanych w ogólnie dostę pnych poradnikach inż ynierskich pozwala oszacować zmiennoś ci x. Przykładowo rozważ my tarcie: a) stali o stal ц х, ц e <0,18; 0,15> stąd к e <1,; 0,83>, b) stali o ż eliwo ni, ц е <0,17; 0,11> więc x e <1,55; 0,65>, c) skóry o drewno ц 1, fj, e <0,5; 0,3>, *e<l,67;0,6>.

8 54 A. ZMITROWICZ Maksymalny błąd oszacowano przez okreś lenie kresu górnego funkcji błę du przy róż nych przedziałach zmiennoś ci współczynnika x, otrzymując ;iv/'i'jiq ją iw.(u < А ) (4.33) (4.34) (4.35) sup Д (а, к )< 0,061 = 6,1%, а e <0; л /> x. e <0,5; > sup А (а, и ) < 0,343 щ 34,3%, «е (0; я /> Х Е {0,; 5> sup Д (а, и ) < 0,7403 = 74,03%. а <= <0; я /> х е <0,1 ; 10> <j w // o Cl Wyniki te wskazują na małą róż nicę mię dzy przedstawianymi modelami tarcia ortotropowego, gdy к e <0,5; >, co jak wykazano wystarczy dla praktyki inż ynierskiej. Moż na więc stwierdzić, że model tarcia HUBERA i prezentowany w niniejszej pracy, okreś lają zbliż one co do wartoś ci siły tarcia gdy współczynniki i fi nie róż nią się zbytnio. Przyję ty opis sił tarcia na powierzchni styku należy skonfrontować z wynikami doś wiadczalnymi. [J *) n{x3łóqżw pnwói pnjpwboq в г ш ;1/ / 6Ć QJII>W ш ogawoqo'[)o.\i uioiłjj т о гы п (Ь х в Н..d 5. Przykład numeryczny л OJ Л о у / Л ai'j'ioj.'ov/ cmi i;,\v в г л и! iwo>lin W celu sprawdzenia uż ytecznośi cwprowadzonego opisu tarcia wykonano szereg testowych przykładów numerycznych dla ruchu punktu materialnego po chropowatej płaszczyźnie opisanego prostym równaniem (5.1) na = F+T, gdzie m masa punktu, r wektor położ enia, F siła czynna, T opór tarcia. Wektory równania (5.1) moż na przedstawić w nastę pują ce j postaci (5.) gdzie T=[x,yf, V={F x,f y ] T, [ cose sine.l rcosa x l = sine y cos e y J _cos x t J cose,. sine. iwoqoijosi uioibj ujlbsq^siq W T = 7VQv, V(x) +(y) V(x) Stąd wektor siły tarcia moż na przedstawić w postaci in i i J / fij;.j^/.г u eifl,..ы вш ш ш Ь лк п /^cose* /^sinej, + j,) + e y ) cose sine (5.4) T = N /г t sine* fi cose y + e y ) + e v ) sine v cose v У + (y) x i/(*) +(i) j j/(*) +(y) В П I'M (IE.*) в 1 ]..'j*jfil;yh;s <v mo W ( E» Równanie ruchu rozwią zano metodą Rungego Kutty czwartego rzę du. у oiv.bg Na rys. 3 przedstawiono wyniki obliczeń numerycznych równania (5.1) gdy F = const i jest nachylona do osi x pod ką tem 45, a tarcie ma charakter tarcia ortotropowego (ji = = 0,1) ortotropowego (jix = 0,17; ц = 0,1) i anizotropowego (e x = e y 15 ; /л г = = 0,17; (i = 0,1). Punkt materialny porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym po prostej. Odległoś ci mię dzy punktami przedstawionymi na rys. 3 odpowiadają jednakowym odstę pom czasu (At = 0,5 [s]).

9 TENSOR TARCIA COULOMBA 55 u tmaon wtiaq i> UwvAA и Ж У! <>ц t/i* У л ooicrrlew rl'j/'jcnaiis utfiiil и ш и п о Я / о/уч ii'nntrn moi/h; mai>i ' у > < i' /о /r/g izotropowe tarcie ortotropowe tarcie ort ot ropowe е, е и 15' \ / Rys. 3. Tor punktu poruszają cego się po chropowatej płaszczyź nie pod działaniem stałego wektora siły nachylonego do osi x pod ką tem 45 o'ltott) г п э 1э '1Ł1 s wiri fowslq oq,i'jfilji'u;rjo Na rys. 4, 5, 6 podano wyniki rozwią zania równania ruchu, gdy F = kr (k stała), a charakterystyki tarcia izotropowego (rys. 4), ortotropowego (rys. 5) i ortotropowego (rys. 6) są jak w przykładzie poprzednim. Warunki począ tkowe ruchu dobrano tak, aby torem punktu był okrąg w przypadku braku sił oporu. Po chropowatej płaszczyź nie punkt.?.,\ ш,г.ч у. / a '..'H'J/H.1.0! Rys. 4. Tor punktu poruszają cego się pod wpły Rys. 5. Tor punktu poruszają cego się pod wpływem siły centralnej, po płaszczyź nie z tarciem wem siły centralnej, po płaszczyź nie z tarciem izotropowym ortotropowym e x = e y. = 0 porusza się ruchem opóź nionym i ostatecznie zatrzymuje się w miejscu wskazanym na rysunkach. Przedstawione na rysunkach punkty odpowiadają jednakowym odstę pom czasu (At = 0, [s]). Przeprowadzone eksperymenty numeryczne wykazały, że gdy wartoś ci współczynników tarcia na kierunkach głównych znacznie róż nią się, w przykładzie z e x = e y = 15

10 56 A. ZMITROWICZ ponad 3 razy (rys. 6), punkt dą ży do poruszania się po torze o kierunku prawie pokrywają cym się z kierunkiem najmniejszego tarcia. Po wykonaniu kilku gasną cych wahnięć na tym torze, ostatecznie zatrzymuje się. Rys. 6. Tor punktu poruszają cego się pod wph/wem siły centralnej, po płaszczyź nie z tarciem ortotropowym e x = e r = 15 Literatura cytowana w tekś cie 1. S. W. E. EARI «, E. J. WILLIAMS, A linearized analysis for fictionally damped systems, Jour, of Sound Vibr., 4 4, (197) A. ZMITROWICZ, Ruch plaski dwóch bryl sztywnych z prostą styku, Zeszyty Naukowe Inst. Maszyn Przepł. 1 (1977). 3. Z. OSIŃ SKI, Wpływ tarcia suchego na ruchy drgają ceukładów mechanicznych, Arch. Bud. Masz., 7,1 (1960) J. WIĘ CKOWSKI, Dynamika belki warstwowej z tarciem suchym, Biuletyn Inst. Masz. Przepł., 1/6 (1971). 6. W. GRZESIKIEWICZ, Opis tarcia suchego w układach mechanicznych, VII Sympozjum «Drgania w Ukła 9. M. T. HUBER, Opory tarcia i ich rola w niektórych zagadnieniach kolejnictwa, Pisma t. III, PWN, Wa 5. H. Г. К А Л И Н И, НЮ. А. Л Е Б Е Д Е, ВВ. И. Л Е Б Е Д Е, В Ю А. Г. П О Н О Б К, ОГ. И. С т р л х, о вк о н с т р у к ц и о н н до е м п ф и р о в ав н н и е еп о д в и ж н сыо хе д и н е н и яи х з, д а. та к а. д Н а ук Л С С Р, Р и г, а dach Fizycznych)), Blaż ejewko, maj K. WOLSKI, Współczynnik tarcia jako wektor, Arch. Bud. Masz., 3, 11 (1964) P. SOLSKI, S. ZIEMBA, Zagadnienia tarcia suchego, PWN, Warszawa szawa I. RYCHLEWSKI, Tensory i funkcje tensorowe, Biuletyn Instytutu Masz, Przepl., 681 (1968), Р е з ю ме Т Е Н З Р О Т Р Е Н Я И К У Л О М А Б В р а б ое тд а но о п р е д е л е нт еи н з оа рт р е н и. Ся о в м е щ е нэ ит о о г т е н з оа рс е д и н и ч м н ыв е к т о м р о с к о р о и с тс к о л ь ж ея н ди а ет в е к т о, рп р о т и в о п о л ой ж в не ык т оу рс и лы т р е н я и н а п о в е р х н и о ск то н т а к а т т в е р дх ы т е л. П р и в е ды е нс в о й с а т тв е н з оа рт р е н я и и е го о с о б е н н о. ср таиз р а б о т ая нм н аат е м а т и ч е с я к ам о д еь л т р е н я и с р а в н и в ая е с т мс о д е лю ь Г У Б Е А Р [9]. П р и в е ды е нр а с ч ы е т д ля т о ч к, ид в и ж у щ ея й псо ш е р о х о в й а тп ол о с к ои с пт од д е й с т вм и пе о с т о я н й н ои ли з а в и с я й щ ое т п о л о ж е я н ти о ч и к с и л ы.

11 TENSOR TARCIA COULOMBA 57 Summary TENSOR OF COULOMB FRICTION The paper presents a definition of a friction tensor. If that tensor is composed with a versor of a slip speed vector, then vector will be obtained which is reverse to the vector of friction force on the contact surface of solid bodies. The properties of the friction tensor and its particular cases are given. The presented model is compared with the model of Huber [9]. An examplary calculation of a motion of a point on a rough surface with exciting force either constant or position dependent was made. INSTYTUT MASZYN PRZEPŁYWOWYCH PAN GDAŃ SK WRZESZCZ Praca została złoż ona w Redakcji dnia 4 marca 1977 r.