STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ PRACUJĄ CEJ W STANIE ZGIĘ CIOWYM. 1. Wstęp

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 14 (1976) STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ PRACUJĄ CEJ W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK (OPOLE) 1. Wstęp Przedstawione w tym opracowaniu rozwią zanie, ilustrowane przykładem liczbowym, bazuje na pracy autora [5], podają cej całkę równania róż niczkowego czą stkowego rozwiązują cego powłoki walcowe. Materiał zawarty w tym artykule nawią zuje do pracy [5] od strony zastosowań do pewnych przykładów obliczeń inż ynierskich. Rozpatrzono powłokę walcową zamknię tą, obcią ż on ą powierzchniowo, dla której siły wewnę trzne i przemieszczenia opisano wyraż eniami ogólnymi zależ nymi od sposobu obcią ż eni a i warunków podparcia. Wyraż enia opisują ce pracę powłoki są sumami złoż o nymi z całek szczególnych, odpowiadają cych pracy błonowej, i całek ogólnych dają cych pracę zgię ciową. Całki szczególne uzyskuje się w bezpoś rednim procesie całkowania funkcji obcią żń e powierzchniowych, natomiast całki ogólne posiadają kształt szeregów hipertrygonometrycznych. ' 2. Ogólny układ równań powłok walcowych Wszystkie wzory i zależ nośi cpodane w tym rozdziale bę dą napisane na podstawie prac autora [1, 2, 3, 4]. Również całka równania róż niczkowego rozwią zują ceg o bę dzie podana w gotowej postaci wzię tej z pracy [5] Opis i zwią zki geometryczne powłoki. Współczynniki pierwszej i drugiej formy różniczkowej, ich wyróż niki oraz krzywizny gaussowska i ś rednia wynoszą: gu = l, 12 = 21 = 0, g 22 = g = a 2, b tl = 0, b 12 = b 2i = 0, b 22 = a, 6 = 0, к = о, H = L. 2a Symbole Christoffela drugiego rodzaju dla powierzchni walcowej są równe zeru. Zwią zki składowych przemieszczenia z tensorem odkształcenia błonowego mają postać: (2.2) wjt = у ц, a 2 w 2 i+wl 2 = 2y, 2, a 2 w 2 2 aw 3 = y 22. Przecinek uż yty w wyraż eniach (2.2) oznacza odpowiednią pochodną zmiennej w 1 lub u 2. wzię tą wzglę dem

2 384 S. BIELAK 2.2. Zwią zki fizyczne. Siły i momenty / у У = N'J +6HM ij, (2.3) M tj = M ij + ih 2 HN u, Q J = 3 ( 2 E l * v2 )g, J W,t+& 2 %, gdzie f jest parametrem stałym oraz jest sumą (2.4) ^ = g'vy Zwią zki odkształceń z siłami dla parametryzacji naturalnej У м =2^ [Л 7 " ш 2 У У 2 2 ], (2.5) У 12 = У г у= 4ё Г а 2^ 1 2 ' Zwią zki momentów z przemieszczeniami dla parametryzacji naturalnej M = /;a 2 2a 4 (2.6) м» = М = ^ Л M 1 2 = Л / 21 = " T" К "' ~ "2а *" 1 " 2 ", 2 2 Wystę pująy c w (2.6) parametr а jest równy (2.7) а = /^3(Г =й )\ 2.3. Całka równania rozwią zują cego. Całka równania rozwią zują ceg o jest sumą złoż oną z całki ogólnej iv 3 i całki szczególnej w 3, (patrz praca [5]) (2.8) w 3 =»v 3 + vv 3. Całka szczególna iv 3 bę dzie rozwią zaniem stanu bezmomentowego, a całka ogólna może być przedstawiona jako suma szeregu hipertrygonometrycznego. Wielkoś ci pomocnicze Argumenty funkcji trygonometrycznych Z* = а а*, a (2 9) г, Z l K = aim' Н и м 2.

3 STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ 385 Parametr a jest okreś lony przez (2.7), natomiast wielkoś ci a* i m 1 są równe (2.10) nr Wprowadzając oznaczenia: napiszemy (2.10') &=»y / }v/>+4 1. a k = e k a m l = d,p n. Tensory trygonometryczne (2.11) Bi l = K j Z' K, Bi l = KJZ' K. Wielkoś ci #' i Л У są symbolami funkcji trygonometrycznych, hiperbolicznych i kołowych, a H' oraz K J symbolami odpowiednich pochodnych, H 4 sh dla i 1, _. 1 ch dla i = 1, ch dla i = 2, H sh dla i = 2, (2.12), sin dla J = 1, 4 cos dla j = 1, H; cos dla j = 2, 4 sin dla J = 2. Całka ogólna (rozwią zanie podano w pracy [5]) (2.13) & 2с Ь ц А *В *. n Przejś cie do współrzę dnych fizycznych, sprowadzonych do bazy jednostkowej, umoż liwiają wzory: N«=]/f N>J ' a 1 (2.14) M /7= /^^, M^ = ^ic M\ w? = wjl = iv 3, P? = \/gup l, = P 3 Uwaga: po ij nie sumować. Symbol ~1" oznacza współrzę dną fizyczną.

4 386 S. BIELAK 3. Wyraż enia opisują ce pracę powłoki 3.1. Stan błonowy. Stan ten jest całką szczególną rozwią zania ogólnego powłok pracują cych w stanie zgię ciowym. Wyraż enia opisują ce wielkoś ci sił, momentów i przemieszczeń bę dą napisane na podstawie pracy [1]. Siły błonowe 1 N22 (3.1) N 12 P 3 2 P 2 du' + C^u 2 ), du'~u 1 C U2 + C 2 (u 2 ). Wystę pująe c w (3.1) funkcje d i C 2 zależ ą tylko od zmiennej u 2 i bę dą wyznaczone z warunków brzegowych, a wielkoś ci P 1, P 2, P 3 są danymi funkcjami obcią ż eń. Składowe przemieszczenia wyznaczymy z wyraż eń (2.2) po podstawieniu składowych odkształcenia ze zwią zków (2.5) przy równoczesnym wykorzystaniu sił błonowych opisanych w (3.1): U'? = fy lt du l + C 3 (u 2 ), (3.2) 2Yl2 W,2 du l + C 4 (u 2 ), [y 2 2 a 2 w 2 2]. Uż yte w (3.2) kreski iv' deklarują przynależ ność do stanu błonowego, a funkcje C 3, C 4 zmiennej u 2 zależą tylko od warunków brzegowych Stan zgieciowy. Całka równania rozwią zują ceg o jednorodnego podana w pracy [5] umoż liwia rozwią zanie ogólnego układu równań powłok walcowych opisują cych wszystkie wielkoś ci charakteryzują ce pracę zgię ciową powłoki. Przeprowadzając odpowiednie operacje matematyczne zwią zane z całkowaniem i róż niczkowaniem wyraż eń szeregu hipertrygonometrycznego znajdziemy poszukiwane wielkoś ci sił, momentów i przemieszczeń. Siły N22 n $12 (3.3) fili A Q 2 n Eh V aa 2 Z i ne kd,ctujabl l.

5 STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ 387 Momenty (3.4) M 11 = M 12 = _ IL_ V <,.[(! v)n 2 A*Bi 1 + 2s k 6,A ik B{ 1 ], 2oe 2 Z i (l v)eh 2aa 2 i ]?п С п к Щ [о ф п AJ, k Bt l e k <x A*Bi l ], M 22 = Eh 2a 2 a 2 2 У с 1щ [{\ г )п А *В» 2г кд е,а *В 1 }. 1 AJ Przemieszczenia У '..Chij[b k *na*bi! <5,MM, (3.5) i,2 = (2 + v) у n 3 aa ZJ 4 + n* Ł A ^ + 2 e 4 Ai k Bi, 1 n = ZcZuj AfBi 1. Dla wersji uproszczonej moż na przyjąć (3.6) w 2 = 0, N 11 = 0, ponieważ wielkoś ci te są małymi wyż szego rzę du w porównaniu z wielkoś ciami wywołanymi stanem błonowym. 4. Przykład Dana jest powłoka walcowa zamknię ta o promieniu a i wysokoś ci /, rys. 1, zamocowana tylko u swej podstawy i obcią ż on a parciem wiatru W. Rys. l Obcią ż eni e przyję to nastę pują ce : (4.1) P 1 = 0, P 2 = 0, P 3 = Wsmu 2.

6 388 S. BIELAK 4.1. Stan błonowy. Wyraż enia (3.1) i (3.2) po podstawieniu (4.1) i uwzglę dnieniu warunków podparcia (zamocowany dolny brzeg), dadzą: N 11 = N 12 = Wl 2 2a ll y l sinw 2, Wl COSH 2, a N 22 = W sin w 2, a (4.2) w 1 = 3Eh sin и 2, Wa COS и 2, gdzie Wa 2 Eh ш Fsinu 2, F = 4.2. Stan zgię ciowy. Wyraż enia (3.3) (3.5) dla, rozpatrywanego przykładu znacznie się uproszczą, a sumowanie tensorowo nieskoń czone przejdzie w sumowanie tensorowe i to tylko ze wzglę du na wskaź niki /', / д ги TV 22 AEh (A" A 21 )C ul jd,bi l, Eh aa" (Л» Л ")С ш Л Л В " Я у 1, 2Ј/г a Е й (Л aa 11 А 21 ) С Ш, [В " + д, В ' 1 ], (4.3) (aa) 2 Eh м 1 2 (Л v) Eh 2aa 3 (^П ^21 )С Ш Л <5/ ^'+^'], М 2 2 = ^т М 1 1, 2a (Л» Л )С Ш Д ^ + С.,У З Ч, 2 1 w 2 _ 2+v 2a 2 a = (А " А 21 )С Ш ] В *.

7 STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ 389 Wystę pująe c w wyraż eniach (4.3) stałe C Uij brzegowych, np. dla u 1 = 0 jest (4.4) 4.3. Zestawienie wyników Wielkoś ci tensorowe w 3 = w 3 + w 3 = 0. 'j N ij = N ij +Ń ij + M ij, a e' = e', M ij = M ij +Ą r N ij, 2a w' w l +w l. wyznaczymy z odpowiednich warunków Wielkoś ci fizyczne. Znając wielkoś ci tensorowe (4.4) moż emy wzorami (2.14) przetransformować je do współrzę dnych fizycznych zwią zanych z bazą jednostkową = JV 1 1, a/y л д = 12, ae 2, e? = es ep = (4.5) = am 12, a 2 M = Л / 1 1, am 21, w^l = w\ и Л = aw 2, /У Н = a 2 N 22, R^l = W Przykład liczbowy W przykładach szczegółowych przyję to nastę pująe c dane wyjś ciowe dla stali i ż elbetu: h = 1,0 cm, a = 1,0 m, l = 10,0 m, V = 0,3, E = 2, kg/cm 2, W = 100 kg/m 2. h = 10,0 cm, a = 1,0 m, / = 10,0 m, V = 0,2, E = 2, kg/cm 2, W = 100 kg/m 2. Wyniki obliczeń niektórych wielkoś ci charakterystycznych przedstawiono na rys. 2a, b, c, d, przy czym linie przerywane obrazują powłokę stalową, a linie cią głe odpowiadają powłoce ż elbetowej. Wykresy М П, Q~\ t AQ, N 2 ~], wj, w~} sporzą dzono dla u 2 = n/2, natomiast i (3P dla u 2 = 0.

8 [390]

9 mm mm Rys. 2d [391]

10 392 S. BIELAK Literatura cytowana w tekś cie 1. St. BIELAK, Ogólna teoria powłok prostokreś lnych pracują cych w stanie zgię ciowym, Politechnika Ś lą ska, Budownictwo, 33, (1973) St. BIELAK, A general scheme of equations covering rectilinearly drawn shell structures, Zastosowania Matematyki 2, 14, (1974) St. BIELAK, Solution of a general system of equations of rectilinear evolvable shells in the bending state, Bull. Ac. Pol. Sci., Ser., Sci. techn., 2, 22, (1974) St. BIELAK, Kształt równania róż niczkowego czą stkowego rozwią zują cego klasę powłok prostokreś lnych rozwijalnych, Mech. Teoret. i Stos. 3, 12, (1974), St. BIELAK, Całka równania róż niczkowego czą stkowego rozwią zują cego powłoki walcowe, Mech. Teoret. i Stos., 2, 14, (1976) (w druku). Р е з ю ме В с у м С Т А Т И Ч Е С Й К ИР А С Ч Т Е З А М К Н У ТЙ О Ц И Л И Н Д Р И Ч Е СЙ К О Б О Л О ЧИ К В р а б ое т п р е д с т а вн л ре а с чт е з а м н у т р е н е н си и лы и п е р е м е щ ея н ои п и с аы н о б щ П РИ Р А Б О Е Т Н А И З Г ИБ к н у й т оц и л и н д р и ч ей с ок бо о л о ч, к ир а б о т а ю й щ не а и з г и. б и и м в ы р а ж е н и я, мк ио т о р е ы п р е д с т а в лт я сю о б й о мы ч а с т н х ы и н т е г р а л, оо вт в е ч а ю х щ би е з м о м е ц т у н ос мо с т о я н, и и ю о б щ их и н т е г р а л, оо вп р е д е л я ю щх ир а б оу т о б о л о чи кп ри и з г и б. ео б щ ие и н т е г р ы а лп р е д с т а в лт яс юо б й о г и п е р т р и г о н о м ч е с к е и р я д ы. В к о н це р а б оы т п р и в е н д еч и с л е н нй ып р и м в е л и ч и. н е, рп о я с н я е й м ыг р а ф и к и а мн е к о т о рх ых а р а к т е рх н ы е т р и Summary STATICS OF A CLOSED CYLINDRICAL SHELL IN THE MOMENT STATE The paper presents the solution of closed cylindrical shell structures working in the moment state. Internal forces and deformations were described by general expressions which are sums composed of particular integrals representing the momentless state and of a general integral representing the moment state. The general integrals have a form of hypertrigonometric series. An example given in the latter part of the paper is illustrated by diagrams of some characteristic quantities. WYŻ SZA SZKOŁA INŻ YNIERSKA W OPOLU Praca została złoż ona w Redakcji dnia 22 paź dziernika 1975 r. I