CAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO ROZWIĄ ZUJĄ CEG O WALCOWE. 1. Wstęp

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2,14 (1976) CAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO ROZWIĄ ZUJĄ CEG O POWŁOKI WALCOWE STANISŁAW BIELAK (GLIWICE) 1 Wstęp W pracach autora [1, 2, 3, 4] rozwią zanie powłok prostokreś łnych rozwijalnych zostało sprowadzone do jednego równania róż niczkowego czą stkowego rzę du ósmego, ze wzglę du na niewiadomą funkcję przemieszczeń promieniowych iv 3 Przedstawione w tych pracach równanie róż niczkowe rozwią zująe c obejmuje dowolny sposób obcią ż eni a i podparcia powłoki Przyję ty matematyczny model, opisują cy pracę zgię ciową powłoki, oparty został ha liniowej teorii powłok odniesionej do oś rodka HOOKE'A Poszukiwane rozwią zanie bę dzie przedstawione w postaci sumy złoż onej z całki ogólnej, rozwią zują ce j równanie róż niczkowe jednorodne i całki szczególnej spełniają cej równanie niejednorodne Całka szczególna może być w prosty sposób wyznaczona, gdyż jest ona rozwią zaniem stanu bezmomentowego, (por pracę [1]) Istotnym problemem przedstawionym w tej pracy bę dzie podanie rozwią zania czę śi c jednorodnej równania róż niczkowego czą stkowego ósmego rzę du Równanie róż niczkowe jednorodne opisuje pracę powłoki w stanie zgię ciowym z dokładnoś cią do wielkoś ci małych wyż szego rzę du taką interpretację fizyczną moż na mu przypisać Wprowadzając pewne wielkoś ci mają ce charakter tensorowy ze wzglę du na sumowanie, mianowicie funkcje trygonometryczne, hiperboliczno kołowe z odpowiednio dobranymi argumentami, całce ogólnej równania jednorodnego moż na nadać kształt szeregu hipertrygonometrycznego 2 Ogólny układ równań Opis geometryczny powłoki walcowej oraz zwią zki geometryczne i fizyczne, podane są dla parametryzacji naturalnej w oparciu o pracę [1] 21 Opis geometryczny Równanie wektorowe powierzchni ś rodkowej powłoki walcowej (21) 7= fl(/cosm 2 +7'sinM 2 ) + M ł A:, gdzie u 1, u 2 oznaczają współrzę dne krzywoliniowe na powierzchni, (rys 1), przy czym u 1 okreś la położ enie punktu na tworzą cej, u 2 wskazuje tworzą cą, na której leży punkt

2 230 S BIELAK Współczynniki pierwszej i drugiej formy róż niczkowej, ich wyróż niki oraz ich krzywizny gaussowska i ś rednia są nastę pują ce : gil = 1, bu = 0, #12 = #21 = o, b 12 = *21 = 22 = g = a 2, = a, (22) b = o, К = o, H = 1 ~2a Symbole Christoffela drugiego rodzaju dla powierzchni walcowej są równe zeru Rys 1 22 Zwią zki geometryczne powłoki Zwią zek składowych przemieszczenia z tensorem odkształcenia błonowego przyjmuje postać (23) w,i = Yn, a 2 wf t +w} 2 = 2y l2, a 2 w 2 2 aw 3 = y 22 Przecinek uż yty w wyraż eniach (23) oznacza odpowiednią pochodną wzglę dem zmiennej u 1 lub u 2 23 Zwią zki fizyczne Zwią zki fizyczne wią ż ąe cnaprę ż eni a z odkształceniami, dla wersji uproszczonej mają postać (24) N ij = N ij + 6HM IJ, M ij ш M'J + ih 2 HN ij, gdzie: IFh (25) M lj = 1 V 2 4Eh 3 3(1 v 2 ) gdzie f oznacza parametr stały Niezmienniki A i В wystę pująe cw (25) są sumami А ш ć > Vu,

3 CAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO 231 przy czym tensor odkształcenia błonowo zgię ciowego Q i} moż na zastą pić zależ noś ą ci (2 6) Qu = y wfij Dla powłoki walcowej zwią zki (25) napiszemy w uję ciu dostosowanym do dalszego wykorzystania Z pierwszego wyraż enia (25) wyznaczymy składowe tensora błonowego y tj w postaci nastę pują cej : (27) У 12 = У 2 =4ź /r a2^12 ' Wielkoś ci M ij opisane drugim wyraż eniem (25), po podstawieniu (26), przyjmą postać М П = Eha 2 ^ 1 ^ 1 + ^ ^ 2 (28) M 1 2 = Л / 21 = Щ 1 v) 2a 4 M 2 2 = 2<x 4 Wprowadzony w (28) parametr a jest równy (29) «"У ^И О ^) Tensory sił tną cych g' napiszemy w oparciu o pracę [3] w postaci ( 2 Л 0 ) Eha FAa 2 ' ~2Ó? e 2 = ^ fv 2 +ih 2 (HN i2 \, Niezmiennik W wystę pująy c w (210) jest sumą (211) W = g'jwftj, Przejś cia do współrzę dnych fizycznych, to znaczy odniesionych do bazy jednostkowej dokonujemy za pomocą, wzorów: (212) = \ g" V g" _ /К Я 11 Af/j = j/c^ i 2 _ / Tl VC3 1 es IV 3 Р г >= Z^1 «P 3 (po //' nie sumować ) Symbol «~» oznacza współrzę dną fizyczną

4 232 S BIELAK 3 Rozwią zanie równania róż niczkowego powłok walcowych Równanie róż niczkowe, rozwią zująe c powłoki walcowe dowolnie obcią ż on e i podparte posiada kształt (por [4]) (31) «^ д а + 4 ( ^ 1 Ш = 2* ( l)v Wielkoś ci a i W są opisane wyraż eniami (29), (211), a daną funkcję obcią żń e P opisuje zależ ność (32) P = agt'gupfjjtt+gu^ PMu il +v)p? kil Rozwią zanie równania (31) moż emy przedstawić jako sumę złoż oną z całki ogólnej w 3 równania jednorodnego i całki szczególnej w 3 równania niejednorodnego, (33) w 3 = w 3 + w 3 Całka szczególna w 3 jest rozwią zaniem stanu bezmomentowego i może być w prosty sposób wyznaczona w oparciu o pracę [1] Całkę ogólną równania (31) moż na przedstawić jako sumę odpowiednio dobranego szeregu złoż onego z iloczynów utworzonych z funkcji hiperbolicznych i kołowych Sumę takiego szeregu trygonometrycznego, hiperboliczno kołowego, moż na zapisać w uję ciu tensorowym, co bę dzie szczególnie korzystne dla przeprowadzenia potrzebnych obliczeń Wprowadź my nastę pująe c wielkoś ci mają ce charakter tensorowy ze wzglę du na sumowanie Argumenty funkcji trygonometrycznych: hiperbolicznej (34) 4 = «^i + /j* 2, kołowej (35) [ i u 1 li m + ntr a Funkcje trygonometryczne: hiperboliczne (36) pochodna funkcji (36') kołowe (37) H l W = K' sh dla i = 1 ch dla i = 2; ch dla 1=1 sh dla i = 2; sin dla j = 1 cos dla j = 2;

5 CAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO 233 pochodna funkcji K J (37') Tensory trygonometryczne: hiperboliczne (38) I cos dla i K J = \ ( sin dla j Aik _ ui 7 к А Л i}i 7 k kołowe (39) Ą n» = &z l K, Blin = KJ Z ' K Całce ogólnej równania (31) moż na nadać kształt (З Л О) w 3 = CWj4LBi!n m, n= 1 Wskaź niki к, l, i, j mają znaczenie tensorowe i przyjmują wartoś ci 1, 2, natomiast m, n są liczbami naturalnymi i oznaczają sumowanie nieskoń czone Wielkoś ci CHUJ są stałymi, które mogą być wyznaczone z warunków brzegowych W wyraż eniu (310) nie znamy wielkoś ci a k i (3 k, wiemy natomiast, że są one zwią zane z m 1, n l, lub odwrotnie Moż emy je obliczyć w dwojaki sposób: albo rozwią zując odpowiednie równanie algebraiczne ósmego stopnia uzyskane ze spełnienia toż samoś cioweg o równania (31) po podstawieniu (310), albo też proś ciej wykorzystując zwią zek siły N 22 Л z przemieszczeniem w 3 Okazuje się bowiem, że całka ogólna N 2 2 może być obliczona z częsci jednorodnej równania (31), jeś li w miejsce w 3 podstawimy N 22 Moż liwość taką uzyskamy, jeś li czę ść jednorodną równania (31) odpowiednio zróż niczkujemy i utworzymy sumę, w której wykorzystamy zwią zek (por [3]) aeh л (З П ) N 22 = ^=ivf*v д Całka ogólna N 22 przyjmie więc postać wyraż enia (310) z dokładnoś cią do stałej wyniesionej przed znak sumy Suma (211) po wykorzystaniu (310) przyjmie postać OO (3 12) W = Ł C^jl^AtBiL + E^J^} mn=l Wielkoś ci Et 41 i E kl są równe D kl = (4i) 2 (^,i) 2 +4 [(4 2 ) 2 (^,2) 2 ], ( З Л З ) в г Г ( 1 E kl 2 4, i + ^F 2^, 2 z 'K 2

6 234 S BIELAK Obliczając odpowiednie pochodne z wyraż eń (34) i (35) moż emy napisać (3 14) D u = [(а *) 2 + (^) 2 (т ') 2 (и ') 2 ], a 2 [<x*m'+/?v] Przejdź my teraz do obliczenia sumy (315) W=g l >W Ai Róż niczkując wyraż enie (312) wzglę dem odpowiednich zmiennych i wykorzystując wielkoś ci (313), otrzymamy (316) W= С Щ [{В к ), 2 (Е к 1 ) 2 ]А * В ^ + 2^ m, «= 1 Podstawiając (316) do (311) oraz doprowadzając do toż samośi cz rozwią zaniem w kształcie (310) otrzymamy D kl = 0, 00 ( З Л 7 ) * 2 2 = a^r У (E^CLUjAtBL leć Д skąd po uwzglę dnieniu (314) dojdziemy do wyraż enia na siłę N22 22 : (318) N 22 = 2J CWjAtBXn 00 oraz uzyskamy układ równań, z którego wyznaczymy wielkoś ci a k i (i k, mianowicie (a k ) 2 + (fi k ) 2 (m l ) 2 (n 1 ) 2 =0, gdzie e może przybierać wartoś ci ±1 Przyjmują c, dla uproszczenia zapisu w dalszych rozważ aniach, m l = m i n l = n, bę dziemy mogli rozwią zanie układu równań (319) podać w postaci (320) gdzie ( ) e t = m ki s i /1 i " 2 ~ <* = k l " I/ 1 H >/,, 5V, т 2 2 +и / m 2 (m 2 + n 2 ) в ы = e Ł ^ r + ó,mi/ 1 I ",, ł, ^»i 2 + n 2 / т 2 (т + п 2 ) 2 f + 1 dla* = dla/= 1 \ ldla/c = 2, ó ' = ( ldla/=2 Jak więc widzimy, wielkoś ci tensorowe oc k, 0 к dla rozwią zania ogólnego muszą przyjąć wartoś ci tensorów o walencji 2, aby wyczerpać wszystkie moż liwe rozwią zania, czyli a k przejdzie w ct kl, a fi przejdzie w /3*' k

7 CAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO 235 W niektórych szczególnych przypadkach, na przykład dla powłoki zamknię tej, uzyskamy prostsze rozwią zanie, jeś li przyjmiemy /S Ł = 0 Przyję cie takie prowadzi do zwią zku mię dzy wielkoś ciami m l i n Przy tym założ eniu rozwią zanie układu równań (319) daje (322) m ' *»]/r[la+5 'l Przyjmując w wyraż eniach (322) n = 0, otrzymamy rozwią zanie dla powłoki walcowej obcią ż one j osiowo symetrycznie (323) a k = s k, m l = d, 4 Zestawienie wyników 41 Rozwią zanie ogólne Argumenty funkcji trygonometrycznych: 2g «Tensory trygonometryczne: Całka ogólna A ikl = H l z k l BL = K'z l k, At = H l z% B mn = f>zl Całka poszukiwana 0,3 _ V f m " 4'" R W ^ l^kuja mnti, m,n = l W 3 = R' 3 + VV 3 42 Rozwią zanie szczególne powłoka zamknię ta Argumenty funkcji trygonometrycznych: ZJJ = aor, Tensory trygonometryczne: Całka ogólna I TI" 1 z K а I m L a A ik = H% Bi 1 = Kh l K, A* = H'z k H, M L = K J z l K 00 w Ь ы ц А щ D N n = l Całka poszukiwana 3 A 3 i 3

8 236 S BIELAK Literatura cytowana w tekś cie 1 St BIELAK, Ogólna teoria powłok prostokreś lnych pracują cych w stanie zgię ciowym, Zeszyty Naukowe Pol Ś lą skiej, Budownictwo, 33 (1973) 2 St BIELAK, A general scheme of equations covering recttlinearly drawn shell structures, Zastosowania Matematyki, 14, 2 (1974) 3 St BIELAK, Solution of a general system of equations of rectilinear evolvable shells in the bending state, Bull, de 1'Acad Polon, des Sci Ser des sci techn, 22, 2 (1974) 4 St BIELAK, Kształt równania róż niczkowego czą stkowego rozwią zują cego klasę powłok prostokreś lnych rozwijalnych, Mech Teor i Stos, 12, 3 (1974) Р е з ю ме И Н Т Е Г РЛ А Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь О Н ОУ ГР А В Н Е НЯ И В Ч А С Т Н ЫХ П Р О И З В О Д НХ ЫД Л Я Ц И Л И Н Д Р И Ч Е СХ К ОИ Б О Л О ЧК Е В р а б ое т п р е д с т а вн л ие н т е г л р а д и ф ф е р е н ц и а ло ь ун ро аг в н е я н ив о с ь м я в л я е я т ср а з р е ш а ю м щ уи р а в н е нм и ед ля ц и л и н д р и ч ех с ко иб о л о ч е к и о б щ Р е ш о гп о р я д к, ак о т о ре о е не ип о л у ч о е нв в и де д в ух и н т е г р а л: оч ва с т н о, гоот в е ч а ю що еб ге з м о м е н т у н ос мо с т о я н, и ю е г, оо т в е ч а ю що емг о м е н т к у о мс о с т о я н и Ню а й д е н нй ы и н т е г л р ад а ет в о з м о ж н ь о с рт е ш а н а л и т и ч и е сц ки л и н д р и ч е сокбио л о ч, к ри а б о т а ю е щ ниа и з г и, бп ри л ю б й о н а г р у е з ки л ю б ых у с л о в и ях о п и р а н и Чя а с т н м ы с л у ч ам е п р и в е д е н о н ор ге ш л о ч е, к з а м к н у х т ып о в с е му п е р и м е т р у е ня и я в л я е я т ср а с чт е ц и л и н д р и ч ех с ок би о аь т Summary THE INTEGRAL OF A PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF CYLINDRICAL SHELLS The paper shows the integral of the eighth order partial differential equation solving the problem of cylindrical shells The solution obtained is composed of two integrals: the particular integral, equivalent to the momentless work, and the general integral describing the moment work The integral derived solves the general equation of cylindrical shells working in moment state under arbitrary loads and clamped at the edges The problem of closed cylindrical shells represents a particular case of the solution given above POLITECHNIKA Ś LĄ SKA Praca została złoż ona w Redakcji dnia 7 maja 1975 r