ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ I C DRGAŃ WŁASNYCH I AMPLITUD BOHDAN KOWALCZYK, TADEUSZ RATAJCZAK (GDAŃ SK) 1. Uwagi ogólne

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2 14 (197Й ) ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ I C DRGAŃ WŁASNYCH I AMPLITUD UKŁADU O SKOŃ CZONEJ LICZBIE STOPNI SWOBODY BOHDAN KOWALCZYK TADEUSZ RATAJCZAK (GDAŃ SK) 1. Uwagi ogólne Jednym z najbardziej istotnych a jednocześ nie pracochłonnych zagadnień numerycznej analizy drgań układów liniowych o duż ej liczbie stopni swobody jest wyznaczanie czę stośi c drgań własnych i amplitud układu drgają cego. Z matematycznego punktu widzenia zagadnienie to sprowadza się do wyznaczania wartoś ci własnych i wektorów własnych macierzy układu. Metody wyznaczania wartoś ci własnych i wektorów własnych macierzy moż na w zasadzie podzielić na dwie grupy [5]: a) metody bezpoś rednie b) metody iteracyjne. Metody bezpoś rednie (dokładne) pozwalają na znalezienie dokładnego rozwią zania Po wykonaniu skoń czonej liczby działań przy czym liczba tych działań zależy od rodzaju metody obliczeniowej a nie od ż ą dane j dokładnoś ci rozwią zania. Przy stosowaniu metod bezpoś rednich wyznaczamy współczynniki tzw. wielornianu charakterystycznego macierzy a nastę pnie znajdujemy pierwiastki tego wielomianu. Wektory własne wyznaczamy rozwią zując układy jednorodnych równań liniowych Wyznaczone przez macierz współczynników i każ dą wartość własną [4]. Metody bezpoś rednie praktycznie biorą c nadają się do rozpatrywania układów 0 małej liczbie stopni swobody. Przy badaniu układów o duż ej liczbie stopni swobody stosujemy z reguły metody iteracyjne [5]. W iteracyjnych metodach wyznaczania wartoś ci własnych i wektorów własnych za począ tkowe przybliż enie rozwią zania przyjmujemy pewien parametr p i0) (wektor własny wartość własną) i według okreś lonego schematu tworzymy ciąg p< 2).../? (n)... tak aby wielkość p < " +1) lepiej aproksymowała szukane rozwią zanie od wielkoś ci p in). Wynika stą d że w metodach iteracyjnych liczba wykonywanych działań zależy od wymaganej dokładnoś ci rozwią zania. Przedstawiona w niniejszym opracowaniu metoda iteracyjnego wyznaczania wartoś ci własnych i wektorów własnych może znaleźć zastosowanie np. w metodzie odkształcalnych elementów skoń czonych metodzie hybrydowej (jednoczesnego zastosowania sztywnych 1 odkształcalnych elementów skoń czonych) oraz w metodzie sztywnych elementów skończonych w przypadku gdy osie układu odniesienia w kierunku których odmierzane są współrzę dne uogólnione nie pokrywają się z głównymi osiami bezwładnoś ci SES [ ].

2 238 В. KOWALCZYK Т. RATAJCZAK Omawiana metoda jest metodą ogólną w tym sensie że nie stawiamy innych założ eń odnoś nie macierzy sztywnoś ci К i macierzy bezwładnoś ci M jak tylko takich aby macierze te były symetryczne i dodatnio okreś lone (co wynika z założ eń fizycznych). Jak wiadomo [1] drgania swobodne zachowawczego układu holonomicznego i skleronomicznego o n stopniach swobody moż na opisać za pomocą równań Lagrange'a drugiego rodzaju ( ) dt\ 8 q ) dq t + d~q t U' i = 12.../?. W równaniach tych oznaczono: <7i uogólniona współrzę dna q t pochodna wzglę dem czasu uogólnionej współrzę dnej T energia kinetyczna układu dana wzorem (2) 1=1 7=1 (3) gdzie (4) q = col(?i q 2...q ) w l t m m in (5) M = m 21 m m 2n m nl m a2... m n potencja Macierz symetryczną M nazywamy macierzą bezwładnoś ci układu. V energia lna układu dana wzorem (6) V = i=i J=I (7) P =lq r Kq gdzie (8) q = colfo^...q ) ku k k ln (9) к = k 2i k k 2n Macierz symetryczną К nazywamy macierzą sztywnoś ci układu.

3 ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚI CDRGAŃ 239 Moż na wykazać [1] że obie macierze M i К są macierzami okreś lonymi dodatnio. Ponieważ (10) r = 0 = Mq 5ą ć >q więc podstawiając zwią zki (10) do (1) otrzymujemy (11) Mq + Kq = 0. d I8T\ ev ~. Rozwią zań szczególnych układu (11) szukać bę dziemy w postaci (12) <7i 4i Ч 2 = Ч 2 sin(cot + cp) = qsin(cor+<p). (13) Po zróż niczkowaniu (12) 9i Я п. Я п. 4i q = 42 = CO : sin(cot + cp) = w 2 qsin(co/ + c?) Я п. 4n_ i podstawieniu (13) do (11) otrzymujemy: (14) Mq + Kq = (K w 2 M)q = 0 ponieważ ostatnia równość powinna zachodzić dla każ dego / to zwią zek (14) moż emy napisać w postaci (15) (16) (K w 2 M)q = 0 Kq = w 2 Mq. 2. Sprowadzenie równania (16) do postaci standardowej Zgodnie z twierdzeniem BANACHIEWICZA symetryczne macierze К oraz M moż na przedstawić w postaci (17) K = H[H 1 ( (18) M = G[G 1 gdzie macierze H i G x są górnymi macierzami trójką tnymi. Podstawiając (17) i (18) do zwią zku (16) mamy (19) HfHiq = w'gjdq H 1 q = c 0 2 (HD 1 G 1 rg 1 q

4 240 В. KOWALCZYK Т. RATAJCZAK ч wzglę dnie (20) H ł 4 = «) 2 (Hr 1 ) r G 1 rg 1 q. Oznaczmy (21) x = H l 4 stąd (22) q = Hr x x. Podstawiając (21) i (22) do zwią zku (20) otrzymujemy (23) x = ft) 2 (G 1 Hr 1 ) r (G 1 Hr 1 )x. Oznaczmy (24) A = (G 1 H7 1 ) T (G 1 Hi J ). Ze zwią zków (23) i (24) mamy (25) x = w 2 Ax (26) Ax = Xx gdzie (27) А = Д f. 3. Algorytm metody iteracyjnej W zagadnieniu (26) szukamy x oraz X. Ponieważ: macierz A jest kwadratową macierzą rzeczywistą stopnia n; A = A r ; macierz A jest macierzą dodatnio okreś loną to wynika stą d że wszystkie wartoś ci własne macierzy A są rzeczywiste i dodatnie. Oznaczmy te wartoś ci własne przez Xf(i = 1 2 ri) i niech (28) Я > X 2... > X > 0. Oznaczmy (29) G x Hi 1 = B. Macierz A na podstawie (24) i (29) moż emy przedstawić w postaci (30) A = B T B gdzie В jest górną macierzą trójką tną. Macierze B 7 B oraz BB r mają te same wartoś ci własne. Ze wzglę du na symetrię macierzy B r B i BB r te wartoś ci własne są rzeczywiste zaś ze wzglę du na dodatnią okreś loność macierzy A są one dodatnie. Oznaczmy wartoś ci własne macierzy B r B ( BB T ) przez (31) к k\ /с з... к 2.

5 ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚI CDRGAŃ 241 Mamy więc (32) B r B U i = kfui (i =12...n). Okreś lmy dla wszystkich kf (i = 1 2 n) i odpowiadają cym tym wartoś ciom własnym ortonormalnym wektorom u* nowe wektory ą t przy pomocy zależ nośi c (33) Bn l =k i q i (/=12...»). (34) Mnoż ąc lewostronnie zwią zek (33) przez B r na podstawie (32) stąd В /с ( В mamy г В и г = /V ; B T q ; (i = 12...n) г а = kfui (i = 1 2 n) (35) B r q ; = /с ( и (i = 12...л ). Mnoż ąc lewostronnie zwią zek (35) przez macierz В mamy (36) BB T q; = / C;BU; (l = ). Podstawiając (33) do (36) otrzymujemy (37) BB r q = kfq (i = ). Ostatni zwią zek ś wiadczy że zdefiniowane zwią zkiem (33) wektory q(i = /*) są wektorami własnymi macierzy В В Г. Wektory q tworzą układ ortonormalny wektorów. Istotnie dla dwóch liczb k t Ф kj mamy na podstawie (32) i (33) kikją lą j = UTB T BUJ (38) kikją fą j = njkjuj (39) kią fą j = kjufuj. Stą d ze wzglę du na ortonormalność wektorów u ; mamy: ^ = I 0 dla i Ф j (ldlai=/ Otrzymaliś my więc dwa układy wektorów z których każ dy składa się z 77 ortonormalnych wektorów u oraz q ; (i = 12...n). Utwórzmy dwie macierze U oraz Q których kolumnami są odpowiednio wektory Ui oraz qj: U = [u u 2 u ] ( 4 ) г л r 1 Za pomocą macierzy U i Q oraz macierzy diagonalnej (41) К ~k y ~ 0 k k moż emy zwią zki (33) i (35) przedstawić w notacji macierzowej: (42) BU = QK (43) B r Q = UK. 4 Mechanika Teoretyczna

6 242 В. KOWALCZYK Т. RATAJCZAK (44) (45) Utwórzmy nastę pująy c ciąg macierzy: B = Q 1 T 1 B T QI = ur BU = Q 2 T 2 B T Q 2 = U 2R 2 (46) BU. = Q P T P B r Q p = U P R P gdzie Q; oraz U są macierzami ortogonalnymi zaś T oraz R f są górnymi macierzami trójką tnymi o dodatnich elementach diagonalnych. Rozkład podany w zwią zkach (44) (46) jest zawsze moż liwy gdyż lewe strony tych zwią zków są (na każ dym kroku iteracyjnym) znanymi macierzami zaś wiadomo że każ da rzeczywista dodatnio okreś lona macierz może być przedstawiona jednoznacznie w postaci iloczynu macierzy ortogonalnej i górnej macierzy trójką tnej o dodatnich elementach diagonalnych. W dalszej czę śi cpracy wykaż emy że jeż eli p» co to U p» U Q p * Q T p R p > К oraz BU = QK B r Q = UK gdzie elementy diagonalne k' t (i = ń )macierzy К = diag {/c k 2... k } są pierwiastkami kwadratowymi wartoś ci własnych k t (i 12...n) macierzy B r B macierzy BB T zaś kolumny macierzy U oraz Q są wektorami własnymi macierzy B T B i macierzy BB T. 4. Metodyka obliczeń w przypadku kolejnego wyznaczania wartoś ci własnych i wektorów własnych 4.1. Oznaczenia. (PA) ta kolumna (wektor) macierzy U p otrzymana przy p tej iteracji A tej wartoś ci własnej macierzy A Q P С (Р Л ) \ /(р л ) '" ta ' с о ш т п а (wektor) macierzy C p otrzymana przy p tej iteracji A tej wartoś ci własnej l h s \ Phy I wektory pomocnicze dla wyzna I fli" ' g\ pl j czania wektorów uj p) '/i**' \ elementy górnych macierzy I T p rlf hi \ trójką tnych = col { } wektor kolumnowy w którym jedynka wystę puje na miejscu tym.

7 ITERACYJNAMETODAWYZNACZANIACZĘ STOŚ IDRGAŃ C Wzory ci " 1 "' = В и р ' 1 '' 0 (1 >< / < A < И ). J t sj"") = cf 1 *' V» I f ) s/" ) (l^j^h^ n) <#»*> = /(в { р» ss p) ) (1 < * < A < л ) а Г = щ (1</<Л <и ) = ffl ( r (1 </<*<«./ <j) ej5*> l ć fl*> = 0 gdy />/ = <//**> (/ = 12...n) fjf> = г #*>й Г /'*> fj =12... и / <j) f.'p i.«) = B T ql ph \ (1 < i < A < и ) g/*» = f'" 1 "). V Mif g*. (1 <y < A < «) J/ p *> = l/(gf TgP0 (1 < / < h < и ) ц {^ = ~ (1 < / ** Л < и ). </«*> /f(p i«> 5<Р "П 4 2 1? w(p"> ' s ' i Cl < i < h ś.n l < Л v J t.z.iz. w u (g(p«5 g<p»)) ' U fsj i<-jh wfp = 1 wif> = 0 gdy / >j / //*> = 5/"*? (i = 12...n) r#*> 0' = U 2 i <;) 4.3. Przypadki szczegуlne Przy wyznaczaniu wartoś ci własnej Л я jako wektor począ tkowy obieramy е (я ) tzn. u pa > = e (n) Jeż eli p > oo to и я р Л )» и» qf*> q» fe 4 0 (i < Д 4 k rjji h ) > 0 (i < j) gdzie А и : jest pierwiastkiem kwadratowym z А я wartoś ci własnej macierzy B r B i BB T zaś и д jest wektorem własnym macierzy B r B q k wektorem własnym macierzy BB r odpowiadają cym wartoś ci własnej X h.

8 .244 В.KOWALCZYK Т.RATAJCZAK Przy iteracji /г tej wartoś ci własnej przyjmujemy: JM) = up 2 > =. ii<p.'' l) i S(P1) = ss p ' _I) _ e(p'0 nr = nr = _ tir = # 2 ) = q(pd *(P'I D 'ii _ Л Р.А 1) 1 ij _ (P'0 u i > (i = 12.. h~l) (/ = 12. Jt l). /(P'D Łii (' = 12. łtp/o 1 O' ' (i < i У = = =. = Й 7""> (/ = 12...h \) = q! p2) = = q(p.'' D 0' = 12. h \) Й Г = g7 2) = _ S(P.A I) Si = i?' 0 (/ = 12../2 1) rjpi) _ r(p2) _. _ (p/; l) ' i 'i э 0 = 12.. h \) = df^ =. = JfP.' D = df'\ 0' = 12.. h \). 5. Dowód zbież nośi cmetody iteracyjnej Z pierwszego równania w zwią zku (46) mamy (47) T^Qj'BU (U 0 = E) z drugiego równania w zwią zku (46) (48) R p = Up 1 B r Q p. 5.1 Wykaż emy indukcyjnie że słuszny jest wzór (49) (RpTpKRp^T^)... (R 2 T 2 )(R 1 T 1 ) = U P 4B r B)'. Sprawdzamy słuszność wzoru (49) dlap = 1. RjT = Ur'B^Q^BUo = Ur^B. Zakładamy że wzór (49) jest słuszny dla liczby naturalnej r > 1 tzn. (50) (R r T r )(R r _!:_)... (R 2 T 2 )(R 1 T 1 ) = U;r 1 (B T B) r. Teza. Wzór (49) jest słuszny dla liczby naturalnej r+1 tzn. 1 (51) (R r + it r + 1 )(R r T r )... (R 2 T 2 )(R 1 T 1 )*= Ur + 1(B T B/+ 1. Dowód. Z (47) (48) i (50) mamy: (52) (R^T^JUr^By = и г Л в ^г ^д г Л в ^и у г = Ч в ^ = и г + 11(в Г в )(в Г в г = и г Л (в г в )' +1. A więc na podstawie zasady indukcji matematycznej stwierdzamy że wzór jest słuszny dla każ dej liczby naturalnej p > Oznaczmy (53) S<"> = R P T P (p=l2...).

9 ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ I CDRGAŃ 245 Ponieważ K p i T p są górnymi macierzami trójką tnymi więc i macierz S (p) macierzą trójką tną. Uż ywając oznaczeń (53) moż emy zapisać zwią zek (49) w postaci jest górną (54) S (W S< p 1)... S' 2 >S< 1 > = Vp 1 (B T B) P oznaczając (55) So» S (P i) _ s^s' 1 ' = a и ч в г в ) р = o to znaczy (56) (B T B) p =U p a. W zwią zku (56) macierz U p jest macierzą ortogonalną zaś macierz a p górną macierzą trójką tną. Zwią zek (56) na podstawie (30) moż emy zapisać w postaci (57) A" = V p a Ze wzglę du na fakt iż wszystkie wartoś ci własne macierzy A są róż ne macierz ta ma tylko liniowe dzielniki elementarne a więc istnieje takie przekształcenie przez podobień stwo że (58) A p = Xdiag {A p A P... ф Х " 1. Oznaczmy (59) diag{a A 2 A } = D (60). X = CH gdzie С jest macierzą ortogonalną zaś H górną trójką tną. (61) X '=LW gdzie L jest macierzą dolną trójką tną o elementach / = 1 zaś W macierzą trójką tną. Ze zwią zku (58) na podstawie (59) (60) i (61) mamy A p = CHD P LW górną (62) A p = CH(D p LD p )D"W. Jest jasne że macierz (63) G = D p LD p jest macierzą dolną trójką tną o elementach: (64) / V gij = hj[jj> gu =b i= 1» 2. > >" Macierz G moż emy więc zapisać w postaci d l a ł> J> (65) G = E + F p / = 2. n.

10 246 В. KOWALCZYK Т. RATAJCZAK gdzie macierz F p jest macierzą istotnie dolną trójką tną i taką że (66) limf p = 0 gdyż na podstawie (43) p >00 * (67) lim ( A = 0 dla i > j i = n. p co \ Aj I Ze zwią zku (62) mamy na podstawie (63) i (65) A p = CH(E + F P )D P W = C(H + HF P )D P W = C(E + HF P H 1 )HD"W (68) A p = C(E + Z p )HD p W gdzie (69) Z p = HF p H ł ; oraz na podstawie (66) (70) limzp = 0. P CO Macierz E + Z p przedstawmy w postaci (71) E + Z p = Ć P H P gdzie Ć p jest macierzą ortogonalną zaś H p macierzą górną Na podstawie (70) i (71) mamy: trójką tną. (72) limć p = E (73) limh p = E. p CO Ze zwią zków (68) i (71) mamy: (74) A p = (CĆ P )(H HD P W). Macierz CĆ P jest macierzą ortogonalną macierz H P HD P W jest macierzą górną trójką tną. Ponieważ rozkład macierzy A p na iloczyn macierzy ortogonalnej i macierzy górnej trójką tnej jest jednoznaczny więc na podstawie (57) mamy: (75) CC P = TJ P (76) H P HD P W = o p. Ze zwią zków (75) i (72) mamy (77) limu p = C. p >CO Wniosek l. Przy p > oo istnieje skoń czona granica cią gu macierzy {U p }. Ze zwią zku (49) mamy (78) (R P T P )(R P _ XT P _ x)... (R 2 T 2 )(R 1 T 1 ) = U; 1 A' oraz (79) (Rp itp J... (R 2 T 2 )(R 1 T 1 ) = V^A' K

11 Stąd z (78) i (79) wynika że ITERACYJNA METODAWYZNACZANIACZĘ STOŚ IDRGAŃ C 247 (RpT^Ujj.A" 1 = Up 'A" to znaczy (80) (RpTp)Up _ I = Up 1 A U^AU. = RpT p. Wniosek 2. W granicy przy p > co macierz R P T P jest ortogonalnie podobna do macierzy A. Ze wzorów (47) i (48) mamy Tp r R P r = Up^B^pOjBU a więc (81) to znaczy (82) (83) Gdy p» oo TJRJ = Up^.B^BUp Tp Rj = Up'_AUp (RpTp) 1 ' = U;_ AU P. i (84) (RT) r = U T AU. Wniosek 3. W granicy przy p > oo macierz (RpTp) 7 " jest ortogonalnie podobna do macierzy A. Ze zwią zku (53) mamy że (85) R T P = S<"> gdzie (86) S'» = (P).(P) o(p> C(P) c(p) л J 'U л 14. Jln 0 sfs sfs 3&...4B o o sjs 4"2... s% s&..:a%} _ s ( n?_ Na podstawie wniosków 2 i 3 mamy: (87) S/>[(RT) r RT] = SpA 2 = X\ +X\ X 2. Z drugiej strony n n n (88) ^[(RpTp) r RpTj = 2 W i 2 = 2 ш 1= м г т.

12 24S В. KOWALCZYK Т. RATAJCZAK Wniosek 4. Ponieważ przy p > oo 2 (89) У ^М Р ] > + (=1 n to wszystkie naddiagonalne elementy macierzy S (p) a tym samym i macierzy R p oraz T p dą żą do zera. Ze zwią zków (47) i (48) mamy: T P R = Qp'BU^.Up'B'Qp (90) T P R P = Q p 'BB r Q p. Na podstawie wniosku 4 macierz R p i T p przy p * oo są macierzami diagonalnymi. Ponieważ na podstawie (84) istnieje lim (R P T P ) T więc przy p > oo istnieje również p->co skoń czona granica iloczynu T P R P. Wniosek 5. Przy p» oo istnieje skoń czona granica cią gu {Q p } [wynika to z (90)]. Wniosek 6. Na podstawie wniosku 1 i wniosku 5 oraz zwią zków (47) i (48) wynika że przy p > co istnieją granice cią gów macierzy {T p } oraz {R p }. Ze zwią zków (46) i (47) oraz (42) i (43) wynika że limt p = limr p = K p *0O p *CQ gdzie macierz К dana jest wzorem (41). Algorytm obliczania czę stośi cdrgań własnych i amplitud układu opisany w rozdziałach 2 i 3 został zaprogramowany w ję zyku FORTRAN IV (patrz rozdział 7) i wytestowany na elektronicznej maszynie cyfrowej ICL System 4. Dla umieszczenia wszystkich tablic (macierze i wektory) niezbę dnych dla realizacji algorytmu program wymaga 2я 2 + я komórek pamię ci operacyjnej i 05 n(n+v) komórek na dysku roboczym. Instrukcje programowe w EMC ICL System 4 zajmują około komórek pamię ci operacyjnej. Podaną w pracy metodą numeryczną obliczamy jednocześ nie pierwiastki kwadratowe wartoś ci własnych i wektory własne (czę stośi cdrgań własnych i amplitudy układu) zagadnienia (16). Z tego wzglę du jest ona bardziej ogólną i znacznie szybszą od najczę ś cie j stosowanych w praktyce metod QR i LR przy pomocy których wyznaczamy tylko wartoś ci własne (kwadraty czę stośi c własnych). 6. Nowa metoda odwracania macierzy trójką tnych Z rozdziału 2 niniejszego opracowania wynika że aby zwią zek (16) doprowadzić do postaci standardowej Ax = źx należy macierze К oraz M przedstawić w postaci (17) a nastę pnie (zwią zek (24)) znaleźć macierz odwrotną do górnej macierzy trójką tnej. Poniż ej przedstawimy nową metodę wyznaczania macierzy odwrotnej do górnej macierzy trójką tnej metodę opartą na poję ciu macierzy istotnie górnej trójką tnej.

13 ITEKACVJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ I CDRGAŃ 249 Macierz M nazywamy macierzą istotnie górną trójką tną jeż eli jest ona postaci: 0 m 12 '«13 m l4.. mun i mi 0 0 m 23 m 24. "h.n i m '«34 «3.. 1 m «n l.il Moż na wykazać że macierz M jest macierzą nilpotentną to znaczy (92) M r = 0 gdy r > n. Wykaż emy nastę pująe c twierdzenie: jeż eli M jest macierzą istotnie górną trójką tną to (93) [D + M] 1 = [Е P + P 2 P ( l)" 1 P" 1 ]D 1. gdzie (94) D = diag{d i d 2 d } d t Ф 0 (/=12... n). (95) P = D J M. Dowód. Oznaczamy przez G nastę pująą c macierz (96) G = [D + M 4D. Prawą stronę zwią zku (96) moż na przedstawić w postaci (97) G = [D + M _ 1 ][D 1 ]~ I = {D ^D + M]}" 1 = [E + D _ 1 M] _ 1 na podstawie zwią zku (95) (98) G = [E+P] 1. Ze zwią zku (95) jest oczywiste iż macierz P jest również macierzą istotnie górną trójką tną a więc (99) P r = 0 gdy / 5* n. Z łatwoś cią moż na się przekonać iż zachodzi nastę pująa c toż samoś: ć (100) (E + P)[E P + P 2 P ( l)" 'P" 1 ] = E+( l)"p" = E gdyż P" = 0. Ze zwią zku (100) mamy wię c: (101) (E + P)" 1 = E P + P 2 P ( 1)"» P" 1 na podstawie (97) (102) [E + D 'M] 1 = E P + P 2 P ( 1)" ' P" 1. Mnoż ąc zwią zek (102) prawostronnie przez macierz D _ 1 otrzymujemy wzór (93).

14 250 В. KOWALCZYK Т. RATAJCZAK 7. Schemat blokowy programu UZOWVV Niż ej zamieszczamy ogólny schemat blokowy programu UZOWW który realizuje algorytm opisanej metody. W schemacie blokowym uż yto nastę pują cyc h dodatkowych oznaczeń. n stopień macierzy sztywnoś ci К i bezwładnoś ci M e dana liczba rzeczywista wystę pująa cw nierównoś ci (*) patrz schemat blokowy programu UZOWW stanowią ca kryterium zakoń czenia cyklu iteracyjnego H G macierze górne trójką tne U Q macierze B ortonormalne T R macierze górne trójką tne r kj elementy macierzy T (k = 12...n 1; / = k+1 и ). (" START J 1 WYKONAJ mnoż enie BU L I WCZYTAJ z kart I n \ e I WCZYTAJ z kart macierz sztywnoś ci К OBLICZ macierze QT ze zwią zkubu QT WYKONAJ mnoż enie WYKONAJ ROZKŁAD K H T H OBLICZ macierze UR ze zwią zkub T Q UR ODWRÓĆ macierz H ZAPISZ na dysku macierz U'' 7 WCZYTAJ z kart I macierz bezwlcdnoici M 1 WYKONAJ ROZKiAD M C T G OBLICZ iloczyn fi G/ Г 1 i-i i\ CI N I WCZYTA] z dysku I / macierz U'' I 1 WYKONAJ mnoż enie U' U DRUKUJ czę stoś ci [ drgań własnych I i formy drgań własnych UTWÓRZ w pamię ci operacyjnej macierz jednostkową U > Rys. 1

15 ITERACYJNA METODAWYZNACZANIACZĘ STOŚ IDRGAŃ C 251 Literatura cytowana w tekś cie 1. S.KALISKI Drgania i fale w ciałach stałych PWN Warszawa J.KRUSZEWSKI Metoda sztywnych elementów skoń czonych w zastosowaniu do obliczeń czę stoś ci drgań własnych złoż onych liniowych Zeszyty Naukowe Politechniki Gdań skiej Mechanika 12 (1971). 3. J.KRUSZEWSKI W.GAWROŃ SKI E.WITTBRODT Metoda sztywnych elementów skoń czonych w obliczeniach konstrukcji okrę towych Rozpr. Inż (1974). 4. A. P.MISZINA I. W.PROSKURIAKOW Algebra wyż sza PWN Warszawa A.RALSTON Wstę p do analizy numerycznej PWN J.TELEGA Metoda elementów skoń czonych w mechanice cial odksztalcalnych Prace IPPT 46/1973 Warszawa E.WITTBRODT Hybrydowa metoda elementów skoń czonych w zastosowaniu do obliczeń drgań urzą dzeń okrę towych Rozpr. Inż (1974). 8. O. C.ZIENKIEWICZ Metoda elementów skoń czonych Arkady R.ZURMUHL Matrizen Springer Verlag Berlin Gottingen Heidelberg Р е з ю ме И Т Е Р А Ц И О Н Й Н ЫМ Е Т ОД В Ы Ч И С Л Е НЯ И С О Б С Т В Е Н НХ Ы К О Л Е Б А НЙ И И А М П Л И ТД У С И С Т Е МЫ С К О Н Е Ч Н М Ы Ч И С Л ОМ С Т Е П Е НЙ Е С В О Б О Ы Д В р а б ое т п р е д с т а вн л не о в ый и т е р а ц и о нй н мы е т д о р а с ч еа т ч а с тт о и а м к о л е б а й н ид ля с и с тм е с к о н е ч нм ы ч и с л м о с т е п е й н ес в о б о д. ы М а т р и ч е н оу р а в н е е н иkq = co 2 Mq (п о л у ч е не н ио х у р а в н е я н ил п л и д т у с о б с т в е н х н ы а г р а на ж в т о р о г р о д а) п р е о б р а з у ея т к с с т а н д а р т у н ов ми ду А х = А х. И с х о я д и з р а с п р е д е л я е нб иа н а х е ва и дч ля м с т р о и я т сп о с л е д о в а т е л ь нм оасттр и цэ л е м е н ти а км о т о рй о я в л я ю а т р иы ц А я т сп р о и з в е д я е ноир т о г о н а л х ь н ы и в е р х н е т р е у г о х л мь на ты р и. цд о к а з а н чо то п р е д е лм от а к й о п о с л е д о в а т е л и ь ня ов сл тя е я т сп р о и з в е д е н ие о р т о г о н а л й ь и н од и а г о н а л й ь нм оа т р и. цс т о л бы ц о р т о г о н а л й ь мн оа т р иы ц я в л я ю я т си с к о м м и а м п л и т у д а ма иэ л е м е ны т д и а г о н а л й ь н о ч а с т о т и а мс о б с т в е н х н кы о л е б а й н ис и с т е м. ы П р е д л а г а ей м мы е т д о м о ж но п р и м е н ь и дт ля р а с ч еа тр е а л ь нх ы к о н с т р у кй ц в и с о ч е т а и н ис м е т о д а и м д е ф о р м и р у е м ыж ех с т кх и и ли г и б р и д нх ы к о н е ч нх ы э л е м в о з м о жо нл и шь с п о м о щ ю ь э л е к т р о н х н вы ы м е т д о о б р а щ н о му в и д. у е н т. о Рв е ш е не и т а к их ы з а д ч а ч и с л и т е л х ь мн аы ш и. нв р а б ое т п р и в е н д ет а к же н о в ый е я н ти р е у г о л ьх н мы а т р и цк о т о р й ы о б л е г ч т а пе р и в е д ее н ии с х о д нй оз а д а и ч к с т а н д а р т Summary AN ITERATIVE METHOD TO DETERMINE NATURAL FREQUENCIES AND MODES OF A MULTIDEGREE OF FREEDOM SYSTEM The paper presents a new iterative method to determine the natural frequencies and modes of a multidegree of freedom system. The matrix equation Kq = co 2 Mq (obtained from the second form Lagrange equation) is transformed to the standard form Ax = Ax. Applying the Banachiewicz decomposition to the A matrix a series of matrices is generated. Every element of this series is represented as a product of two matrices: an orthogonal matrix and an upper triangular matrix. It is proved in the paper that the limit of the series is a product of orthogonal and diagonal matrices. The columns of the orthogonal matrix are

16 252 В. KOWALCZYK Т. RATAJCZAK the natural modes and the non zero elements of the diagonal matrix are the natural frequencies of the system. This method can be applied to calculate vibrations of structures by means of the finite element method the rigid finite element method or the hybrid method. The method presented is a computer oriented one. A new method of inverting triangular matrices is also presented; this method makes the transformation of equations to the standard form easy. POLITECHNIKA GDAŃ SKA Praca została złoż ona w Redakcji dnia 16 maja 1975 r.