OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI DYNAMICZNEJ KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J ZA POMOCĄ METODY SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH* > 1.

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 15 (1977) OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI DYNAMICZNEJ KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J ZA POMOCĄ METODY SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH* > JERZY STELMARCZYK (ŁÓDŹ) 1. Wstęp, Wzrost mocy jednostkowych i szybkobież nośi c maszyn spowodował konieczność dokładniejszej znajomoś ci cech dynamicznych układów podpierają cych maszyny, traktowanych dotychczas jako idealnie sztywne. Własnoś ci dynamiczne podparcia zawiera jego charakterystyka macierz dynamiczna, której elementy receptancje są to wielkoś ci okreś lają ce, dla widma czę stoś, ci stosunek przemieszczeń punktów podparcia wywołanych harmonicznymi siłami wymuszają cymi do tych sił, przy założ eniu liniowoś ci układu [2]. Receptancje podatnoś ci dynamiczne podparcia są funkcjami parametrów układu i czę stośi c wymuszenia. Podatne podparcie maszyny moż na podzielić na konstrukcję podpierają cą i fundament. Konstrukcję podpierają cą stanowią elementy, poprzez które mocuje się maszynę na fundamencie. Mogą to być róż ne elementy: podkładki izolują ce, np. gumowe, sprę ż yny, skomplikowane układy kratownic, ram lub płyty podparte spręż yś cie. Konstrukcja podpierają ca stanowi czę sto układ cią gły, masowy, anizotropowy, zawierają cy tłumienie. Moż na tu przytoczyć przykład mocowania silnika napę dowego na statku, gdzie konstrukcję 'podpierająą c stanowi płyta lub konstrukcja spawana z kształtowników i zespół elementów sprę ż ystych. Podobne konstrukcje podpierają ce stosowane są też dla maszyn energetycznych. Konstrukcja podpierają ca izoluje drgania maszyny od podłoża i jednocześ nie modyfikuje wartoś ci czę stośi c rezonansowych układu maszyna podparcie. Okreś lenie charakterystyki dynamicznej konstrukcji podpierają cej pozwala na okreś lenie stanu dynamicznego układu i stanowi jeden z głównych problemów dla konstruktora. Charakterystykę dynamiczną konstrukcji moż na uzyskać w wyniku obliczeń i badań doś wiadczalnych Okreś lenie charakterystyki dynamicznej w wyniku eksperymentu musi być przeprowadzone na obiekcie rzeczywistym i pozwala stwierdzić w jaki sposób bę dzie się zachowywał już wykonany układ. W przypadku, gdy szkodliwe efekty dynamiczne są wyż sze od dopuszczalnych, wykonanie poprawek na obiekcie rzeczywistym jest ż mudne i kosztowne. Jednakż e, prowadząc badania wielu konstrukcji podpierają cych i katalogując ich charakterystyki dynamiczne, konstruktor, w fazie projektowania, może dobrać kon *' Praca nagrodzona na konkursie na prace z mechaniki teoretycznej i stosowanej, zorganizowanym przez Łódzki Oddział PTMTS w 1975 r.

2 58 J. STELMARCZYK strukcję podpierają cą, zapewniają cą właś ciwą pracę układu. W duż ej liczbie przypadków konstrukcji jest to jedyna moż liwoś, ćponieważ matematyczny model obliczeniowy, z uwagi na wierność odtworzenia układu rzeczywistego, uniemoż liwi obliczenie charakterystyki lub bę dzie modelem uproszczonym, wnoszą cym znaczne błę dy. Klasyczne metody obliczeniowe z zadowalają cą dokładnoś cią pozwalają na okreś lenie charakterystyk dynamicznych w stosunkowo prostych przypadkach konstrukcji, tzn. wtedy, gdy mamy do czynienia z konstrukcjami podpierają cymi, dla których obliczeniowy dyskretny układ zastę pczy dobrze odtwarza układ rzeczywisty. Duże nadzieje w dziedzinie obliczeń charakterystyk dynamicznych złoż onych konstrukcji prę towych i płytowych rokuje metoda elementów skoń czonych [1, 3, 4, 7, 9], w szczególnoś ci metoda sztywnych elementów skoń czonych [6], jednakże stosowanie ich do obliczeń zwią zane jest z maszynami cyfrowymi o bardzo duż ych pojemnoś ciach pamię ci i szybkoś ciach obliczeń. Poza tym, stosowanie tych metod w zagadnieniach dynamicznych stanowi dla każ dej konstrukcji osobne, skomplikowane zadanie. W dalszej czę śi copracowania wykonane bę dą obliczenia charakterystyki dynamicznej konstrukcji płytowo sprę ż ynowe j przy uż yciu metody sztywnych elementów skoń czonych oraz dokonana zostanie weryfikacja tych obliczeń na stanowisku modelowym. 2. Obliczenie charakterystyki dynamicznej konstrukcji Analizowana konstrukcja (rys. 1) złoż ona jest z płyty podpartej na czterech płaskich sprę ż ynac h mocowanych do fundamentu. Poczynione zostały nastę pująe c założ enia upraszczają ce: s. 777Z Rys. 1 i l'. Brak tłumienia w układzie, 2. fundament, do którego są mocowane sprę ż yny, jest sztywny, 3. podparcie płyty przyję to jako punktowe, 4. sprę ż yn y pracują tylko na zginanie w płaszczyź nie x t x 3. Układ ten moż na przedstawić schematycznie (rys. 2), jako złoż ony z dwóch podukładów płyty В i sprę żn y C, które są scharakteryzowane receptancjami [/?] i [у ]. Macierze te zostaną zapisane w dalszej czę śi ctak, aby wskaź niki przy receptancjach miały ozna

3 OBLICZANIE KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J 59 В Rys. 2 czenia wynikają ce z podziału płyty na sztywne elementy skoń czone. Dlatego też najpierw zostanie wyznaczona macierz dynamiczna płyty. Do obliczenia receptancji płyty metodą SES zostanie ona podzielona na dziewięć sztywnych elementów skoń czonych połą czonych elementami sprę ż ystymi. Schemat podziału i przyję te układy osi pokazano na rys. 3. o/ł_ b/2 П IV m VI VIII vn V6I, i. IX X XI XIV XV XI! ' I *, 9 Rys. 3 Sztywnoś ci elementów sprę ż ystych, którymi połą czone są SES, oblicza się ze wzorów wytrzymałoś ciowych [5] dla płyty o wymiarach axb (podział liniami przerywanymi). Począ tek układu współrzę dnych przyję to w ś rodku masy każ dego SES. Przemieszczenia <fn 4i> <t9»odpowiadają współrzę dnym x\, x 2, x r s. Równania ruchu wyprowadzono w oparciu o równania Lagrange'a drugiego rodzaju i mają postać: Щ dt \dq'j d(f t + dq' s Y'* Energia kinetyczna wyraża się wzorem u 6 "

4 60 J. STELMARCZYK Natomiast energię potencjalną oblicza się z zależ nośi c \ (3) u = 1 J 2 ^~ p ' '( J к *~"' ') 2 p=l /=1 Uż yte we wzorach oznaczenia wyraż ają: r,p numer SES (r = 1, 2,n, p = = 1,2,л ),.V wskaź nik oznaczają cy ukierunkowanie oznaczonego parametru względem układu osi s = 1, 2, 3, 6, / numer elementu sprę ż ysteg o w połą czeniu mię dzy r tym i p tym SES Odkształcenia elementów sprę ż ystyc h w układzie osi zwią zanych z tymi elementami są równe (4) Л V r ~ p ' = V r s p ' К Г' Dla uzależ nienia energii potencjalnej od współrzę dnych uogólnionych, przemieszczenia elementów sprę ż ystyc h należy wyrazić w układzie osi zwią zanych z SES: (5) {» / r p, '}i 3 = [C' ' 'Hw' * *}^, {v ' 'U e = [c r ' l ]{w r " l }^6. Wystę puje w nich macierz cosinusów kierunkowych: (6) cosc/^f '; cos<p r f, p,l \ cosy\~$ J cosc>2tf''; cos^tf' 1 ; cosę?^' 1 cosc^f 1 '; cos95371''; cosą TfJ" Zależ nośi c okreś lająe c przemieszczenia, wyraż one w układzie osi zwią zanych z SES, w funkcji współrzę dnych uogólnionych, wyglą dają nastę pują co : (7) Macierz współrzę dnych zamocowania elementu sprę ż ysteg o do r tego SES jest: (8) [z' ' '] = Z3 ^ o zr p,l _ 7 r r p,l Z2 zt' 1 ' 0 Uwzglę dniając.zależ nośi c (2)ч (8) w równaniach Langrange'a (1), uzyskuje się 6n jednorodnych równań róż niczkowych opisują cych ruch układu. Równania te moż na zapisać (9) [M]{ij} + [H]{q} = { }. Macierz [H] złoż ona z bloków [H r P ] jest macierzą symetryczną wzglę dem głównej przeką tnej. Sposób wyznaczania bloków [H r P ] oraz usystematyzowane wzory podane są w pracy [6]. Rozpatrywany przypadek konstrukcji płytowo sprę ż ynowe j przedstawia sobą układ przestrzenny o osiach równoległych. Uwzglę dniają c, że dla takiego przypadku oraz dla takiej konstrukcji stosuje się elementy o trzech stopniach swobody ruch wzdłuż osi x 3,

5 OBLICZANIE KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J 61 oraz obroty X4. i x 5, otrzymujemy wzory (9) w formie znacznie uproszczonej. I tak macierz cosinusów kierunkowych ma postać: "1, o, O" (10) [c r p 1 ] = o, 1, o o, o, 1. a macierze mas i współrzę dnych uogólnionych dla / tego SES są: ~m r (11) [M r ] = 0 m\ m\ (12) Ч ъ Bloki [H r,p ] okreś lone są zależ noś ciami : (13) [#"] = = (14) 9 I p = \ /=1 9 P=i /=1 9 _P=\ 1=1 1=1 1=1 /=1 9 I I p=l /=1 9 I I p=l 1=1 9 I I p=\ 1=1 r p.l z P r.l. [H rp ] = 9 p=l 1=1 9 'i I I * p=l /=1 9 i 2 г ** p=i /=1 /=1 2 k'b* l z\ * l k\ ^zv 2 ' 1 z r 2 p l k'f pj z\ ra /=1 1=1 xvi 2 zi "''^ " '; Vyf*'/^ *''z?f 4, /=1 /=1 Siły uogólnione okreś lone są zwią zkami: /=1 _ kr p,l_ zr p,l kr p,l zp r,l (15) {Q r } = (16) Równania ruchu mają postać: [M 1 ] o o 0 [M 2 ]... o + Q5 1 [Я 1 ], [H 1 2 ]... [H 1 9 ] [Н 2Л ], [H 2,2 ]... [H 2 9 ] Ш 1 } {<7 2 } {6 2 } [M 9 ] [Н 9,1 ],[Н 9,г ]... [Я 9 ' 9 ] _{<7 9 } Ш 9 }

6 62 j. STELMARCZVK lub (17) M q + H q=q. Ponieważ siły wymuszają ce są siłami harmonicznymi (18) Q = Qe iat, to rozwią zanie ma też postać harmoniczną (19) ą = qe imt. Uwzglę dniając (18) i (19) w (17) otrzymujemy (20) (H M«) 2 )q = Q lub V (21) q= (H Mco 2 ) 1 Q. Charakteryzują ca płytę macierz receptancji В jest równa (22) В = (H Mw 2 ) 1. Do dalszych obliczeń korzystnie jest wybrać tylko te elementy macierzy, które mają znaczenie przy łą czeniu podukładu płyty z innymi podukładami. Dlatego np. do połączenia z podukładem sprę żn y С wystarczają ca jest nastę pująa c postać macierzy: (23) В = Р г л; Д з.з; Pi.i; Р з.9 Р т.ъ ' ftl,9 $9.1 i ^9,3 i $9.1 l $9,9 _ gdzie każ dy ze składników jest stosunkiem przemieszczenia ś rodka masy SES w kierunku x 3 do siły działają cej w tym kierunku. Oczywiś cie, każ da z receptancji obliczona jest z uwzglę dnieniem własnoś ci dynamicznych płyty i obcią ż eni a na nią działają cego i charakteryzuje ją dynamicznie. Ponieważ podukład sprę żn yс jest połą czony z płytą w punktach bę dą cyc h ś rodkami mas SES, macierz płyty w postaci (23) całkowicie wystarcza do uzyskania charakterystyki dynamicznej układu płyta sprę ż yny i nie komplikuje dalszych obliczeń. Należy tu dodać, że dla każ dej czę stośi cwymuszenia w macierz płyty w postaci (23) uzyskiwana jest w wyniku obliczeń prowadzą cych do postaci (22), a nastę pnie wybrania tylko interesują cych nas wartoś ci. Charakterystyka dynamiczna sprę ż yn, a więc macierz ich receptancji С ma postać: (24) У н С = 0 У з У Wskaź niki przy receptancjach zwią zane są z punktami mocowania sprę żn y do płyty. Charakterystyka dynamiczna układu płyta sprę ż yny okreś lona zostanie w oparciu o warunki składania charakterystyk podukładów [2, 8]. Zgodnie z oznaczeniami na rys. 4 warunki cią głośi csą:

7 OBLICZANIE KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J 63 o) b) VI В в / / / / / / / / Ч г ч, natomiast warunki równowagi (26) (27) (28) Wiedzą c, ż e: 41 of ч с, 4$ с / Т Т С TT T Rys. 4 QB + QC = Q* = Q i в О Д q c = C Q c, uwzglę dniając (26) i (28) w równaniu (25) i biorąc pod uwagę (27), otrzymujemy ostatecznie (29) q, = (B ' + C ^ Qi. W ten sposób została wyznaczona charakterystyka konstrukcji podpierają cej płytowo sprę ż ynowej, okreś lająa c receptancje bę dąe cstosunkami przemieszczeń na poziomie 1 do sił wymuszają cych, wywołują cych te przemieszczenia, działają cych na poziomie 1. Czyli, że (30) A, = (B '+C 1 ) 1. W podobny sposób moż na wyznaczyć pozostałe receptancje konstrukcji podpierają cej. Obliczenia macierzy dynamicznej zostały zaprogramowane i wykonane na maszynie cyfrowej Odra Płyta. Obliczenia wykonano dla płyty prostoką tnej o wymiarach 400 x 600 x 3 mm (2a x 2b x /;) wykonanej ze stali ST5 (E = 2,1 х N/m 2 ; G = 8,1 х N/m 2 ;» = 0,3). Dane do obliczeń: 1. Sztywnoś ci elementów sprę ż ystych : Elementy spręż yste I, IV, V, VIII, IX, XII, XIII,. ki Eha = N/m ~2b~ к, = Gh\ \2b Gha 2xb = N/m (x = 121 Nm Ч в г 1,2) 4 s, QS

8 64 J. STELMARCZYK Elementy sprę ż yst e II, III. VI, VII, X, XI, XIV, XV ki k 3 = = 152 О О О О О О N/m 2xa k 2 ICą Ehb 2a = 472 О О О 000 N/m Eh 3 b 24(1 v 2 )a = 380 Nm Gh 3 b = 274 Nm. 12a Tablica 1 Numer SES Masy uogólnione ml ml 10 6 mj 10 6 kg Nms 2 Nms ,36 300,27 675,27 2 0,72 600, ,54 3 0,36 300,27 675,27 4 0, , ,54 5 0, , ,08 6 0, , ,54 7 0,36 300,27 675,27 8 0,72 600, ,54 9 0,36 300,27 675,27 2. Masy uogólnione podano w tablicy Współrzę dne zamocowania elementów. sprę ż ystyc h do SES podano w tablicy 2. Sprę ż yny. Płyta została podparta czterema płaskimi sprę ż ynami wykonanymi z brą zu krzemowego CuSi3Mn E = 1,2x10" N/m 2 i Q = 8800 kg/m 3 o wymiarach 40x3 x x 80 mm. Traktując sprę ż yn y jak belki według [2], obliczamy receptancję ze wzoru (31) gdzie (32) (sin X1+sin hxl) (cos Xl cosh Xl) (cos Xl+cos/г A/) (sin Xl sin Xhl) У = 2 /A 3 (l+cosa/cos/;a/) Xl j AQI*CO 2 1 El j' Oczywiś cie, wszystkie receptancję y l x, y 33, y in, y 99 są sobie równe.

9 OBLICZANIE KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ ZYNOWEJ 65 Tablica 2 Współrzę dne zamocowania Wartoś ci współrzę d nych Współrzę dne zamocowania Wartoś ci współrzę d nych m 2r p.i m ^1.1 2,1., Z,1 4,11. x, 7* 5,IX. Zi,,4 7,X z l 7 4, X».7 8, XII zf l.h z l» ^1 0,075 Z1 2,I. Z 1,I. 21 4,II. Z 5,III Z2 3,V. Z3 2.V. Zf 5.VI. Z3 6,VII 0,05.3 2,V. 3 6, VII.,6 5,VIII. 1, z l, z l > Z6 5,XIII ; Z 6 9.XV. Z9 6.XV. Z9 8, 0,075 Zl~ 4 X ; Z! 3 >XIV. Z 5,XI Z 6.XV. Z7 8,XII; Z8 7,XII Z 9. X VI. Z 8, 0,05 z? 5 ' 1 "; zf 2, «v ; z? 4,, v ZS 4,IX; Z5 8, X I. Z8 5,XI. Z» 7,XII 0,15 z4 l.,, ; Z 5 2,,H. Z5 2.VI Z6 3,VII ; Z * S.IV, Z5 4,IV Z5 6.VIII. Z 5,VI1I 0,1,2 3,V.,2 5.VI.,5 2,VI. ^1, ^1 > z l» Z5 6,VIII. 25 6,XIII; Z5 8,XIV z.8 5, l XIII >.,8 9, * 1 0,15 Z4 5,IX. Z 4,IX; Z4 7, X Z5 6,XIII ; Z 6 5,XIII; Z5 8.XIV Z5 8.XI; 4 9.XV 0,1. 0 Korzystając z podanych wzorów zaprogramowano, dla przedstawionych danych, obliczenia receptancji na maszynę cyfrową. Weryfikację metody wyznaczania charakterystyki dynamicznej przeprowadzono dla wyznaczonych czę stośi crezonansowych układu płyta sprę ż yny, uzyskanych jako rozwią zanie równania czę stoś. ci Równanie czę stośi c układu otrzymuje się z warunku rezonansu układu tzn. równoś ci (33) = 0, gdzie <x ik jest dowolnym elementem macierzy A!. Warunek ten sprowadza się do poszukiwania miejsc zerowych wyznacznika macierzy ponieważ w wyniku jej odwrócenia otrzymujemy macierz А д (30). W wyniku przeprowadzonych obliczeń otrzymano nastę pująe c wartoś ci czę stośi crezonansowych: co ie7 = 185; 246; 389; 644 s" Doś wiadczalne sprawdzenie metody obliczeniowej Badania doś wiadczalne, przeprowadzone dla sprawdzenia przedstawionej metody obliczeniowej, zawierały test rezonansowy konstrukcji płytowo sprę ż ynowe j z rys. 1, zamocowanej sztywno do fundamentu, bę dą ceg o konstrukcją spawaną z kształtowników. Schemat blokowy układu pomiarowego przedstawia rys. 5. / 5 Mechanika Teoretyczna 1/77

10 66, J. STELMARCZYK x 7 Rys. 5 Na rys. 5 oznaczono: 1 konstrukcja płytowo sprę ż ynowa, 2 piezoelektryczny czujnik przyś pieszeń typ KD 12/ RFT Dresden, 3 miernik drgań SM 231 RFT Dresden, 4 elektrodynamiczny wzbudnik drgań PR 9270/01 Philips, 5 generator akustyczny 12xGO!7 Tesla, 6 czę stoś ciomier z liczą cy PFL 4 Zopan Rys co Na podstawie wykonanych pomiarów sporzą dzono wykres rezonansowy przedstawiony na rys. 6. ze Wyniki obliczeń czę stośi c rezonansowych wraz z ich wartoś ciami zmierzonymi stawiono w tablicy 3. Tablica 3 Czę stość obliczona to rad/s Czę stość zmierzona co* rad/s Błąd co* co T 1П iuu/ П 0 / 0 co* , , , ' 5,8,,; ,4

11 OBLICZANIE KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J Ocena wyników i wnioski Zgodność wyników otrzymanych na drodze obliczeniowej i z pomiarów należy ocenić jako bardzo dobrą. Rozbież nośi cmię dzy wartoś ciami co i w* są wynikiem przede wszystkim założ enia punktowego podparcia płyty i wynikają cego z tego założ enia sposobu wyznaczenia sztywnoś ci sprę ż yn. W rzeczywistoś ci połą czenie to znacznie zwię ksza sztywność konstrukcji w stosunku do konstrukcjljplfeyję tej do obliczeń. Duży wpływ na dokładność wyników obliczeń ma liczba SES, na które zostanie podzielona płyta. Przy podziale płyty na SES decydują ce znaczenie mają moż liwośi cmaszyny cyfrowej, którą moż na uż yć do obliczeń, ponieważ wymiar macierzy receptancji płyty jest okreś lony iloczynem: mxn = (liczba SES x liczba stopni swobody) x (liczba SESx x liczba stopni swobody). W obliczanym przypadku macierz ta miała wymiar 27 x 27. W oparciu o przeprowadzone obliczenia i badania moż na stwierdzić, że zastosowana do obliczeń metoda SES rokuje duże nadzieje przy analitycznym wyznaczaniu charakterystyki dynamicznej pewnych rodzajów konstrukcji podpierają cych, co ma szczególnie istotne znaczenie w praktyce inż ynierskiej. Istotnym momentem jest duża dokładność wyników uzyskanych dla analizowanej konstrukcji przy znacznych uproszczeniach modelu obliczeniowego. Jakkolwiek wyznaczenie charakterystyki dynamicznej dla każ dej konstrukcji stanowi tu oddzielne zagadnienie, zresztą trudne, to łatwość zaprogramowania i wykonania obliczeń na maszynie cyfrowej całkowicie uzasadnia stosowanie tej metody. Literatura cytowana w tekś cie 1. I. A. ARGYRIS, A. S. L. CHAN, Application of finite elements in space and time, Ing. Archiv., 41, (1972). 2. R. E. D. BISHOP, D. C. JOHNSON, The Mechanics of Vibration, Cambridge University Press, Cambridge I. W. CLOUGH, I. L. TOCHER, Finite Element Stiffness Matrices for Analysis of Plate Bending, First Conf. on Matrix Method in Structural Mechanics, Wright Patterson, AFB, (1965). 4. L. R. HERRMANN, Finite Element Bending Analysis for Plates, J. Eng. Div., ASCE, EM5, (1967). 5. M. T. HUBER, Stereomechanika techniczna, PWN, Warszawa 1958, 6. J. KRUSZEWSKI MAJEWSKI, Metoda sztywnych elementów skoń czonych w zastosowaniu do obliczeń czę stoś ci drgań własnych złoż onych układów liniowych, Zesz. Nauk., Pol. Gdań ska, Nr 165, Mechanika z. XII (1971). 7. S. NEMAT NASSER, K. N. LEE, Finite Element Formulations for Elastic Plates by General Variationa Statement with Discontinious Fields, DCAMM Reports No. 39 (January 1973). 8. J. STELMARCZYK, Analiza drgań maszyn wirnikowych metodą składania charakterystyk dynamicznyc zespołów, Praca doktorska, Łódź O. C. ZIENKIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych, Arkady, Warszawa Р е з ю ме О П Р Е Д Е Л Е Е Н ДИ И Н А М И Ч Е С Й К ХО А Р А К Т Е Р И С И Т И П К Л И Т Н О П Р У Ж И Н НЙ О К О Н С Т Р У К И Ц ИМ Е Т О Д М О Ж Е С Т К Х И К О Н Е Ч Н Х Ы Э Л Е М Е Н ТВ О Д и н а м и ч ей с кх ао р а к т е р и сй т ип ко од а т л ий в ко о н с т р у ки ця ив л я е я т см а т р иа ц к о э ф ф и ц и ев н т о д и н а м и ч ей с пк о д а т л и в о, сн та из ы в а е х м ры е ц е п т а н ц и, як мо ти о ре ы я в л я ю я т сф у н к ц и и я мч а с т оы т в о з б у ж д я е ни и п а р а м е тв р к о о н с т р у к. ц Си ои в р е м е не нк ыо н с т р у ки цо ит л и ч а юя тп с о д а т л и в о с, т ь ю

12 68 J. STELMARCZYK с л о ж нй ок о н ф и г у р а ц, си ле ой ж н м ы р а с п р е д е л м е нм и а ес ы с и ж е с т к ои с а т т а к же д е м п ф и р о в а. н и е м П о э т оу мд и н а м и ч ее с хк аи р а к т е р и и с т иа к х и к о н с т р у кй цо иб ы ч о н о п р е д е л я я ю от пс ы т нм ы п у т е. м В д а н нй о р а б ое тп р е д с т а н в лм е т д о р а с ч а е тд и н а м и ч ей с хк ао р а к т е р и и с тп ил ки т н о п р у ж й и н н о к о н с т р у ки цп ири п о м о и щ ж е с т кх ик о н е ч нх ыэ л е м е н т. оэ вт от м е т д о и с п о л ь з н о вд аля о п р е д е л я е н и р е ц е п т а нй цп ил и т. ы С и с п о л ь з о в м а нр ие ец е п т а нй цп ио л у ч а е нм а т р иа цд и н а м и ч ех с кп ио д а т л и в о с т ей к о н с т р у к. ц Ви ыи ч и с л ея н пи р о в е ды е н а Э В М и п р о в е р ы е нэ к с п е р и м е н т. а л ь н о Summary THE RIGID FINITE ELEMENT METHOD OF DETERMINING THE DYNAMIC CHARACTERISTIC OF A PLATE SPRING STRUCTURE Characteristics of a flexible structure is represented by a matrix of dynamic flexibility coefficients i.e. receptances, which are functions of the excitation frequency and the structure parameters. The present day constructions are characterized by their high flexibility and intricate shapes, complex distribution of masses and stiffnesses, and by their damping properties. In general, it is proposed to use an experimental method to find dynamic characteristics of structures. The paper presents a rigid finite element method of determining the dynamic characteristics of plate spring structures. The method is used to determine the matrix of receptances of the plate. The construction is dynamically characterized by means of rece.ptances. The dynamic characteristics of the construction was calculated by a digital computer. The results of calculations were verified experimentally, and the results seem to be very promising. INSTYTUT MECHANIKI STOSOWANEJ POLITECHNIKA ŁÓDZKA Praca została złoż ona w Redakcji dnia 12 marca 1976 r.