MODELE FENOMENOLOGICZNE OŚ RODKA CIEKŁOKRYSTALICZNEGO CZESŁAW R Y M A R Z (WARSZAWA) 1. Wstęp

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 14 (1976) MODELE FENOMENOLOGICZNE OŚ RODKA CIEKŁOKRYSTALICZNEGO CZESŁAW R Y M A R Z (WARSZAWA) 1 Wstęp Molekuły niektórych zwią zków organicznych posiadają wydłuż ony kształt Gdy pozostają w stanie odpowiedniego zbliż enia (zagę szczenia), mogą wówczas tworzyć strukturę ciekłego kryształu lub inaczej cieczy anizotropowej Jest to oś rodek, który posiada zarówno cechy cieczy, jak i ciała stałego Przejawia więc on anizotropię zjawisk elektrycznych, magnetycznych, mechanicznych, a stąd również anizotropię zjawisk optycznych Anizotropie takie, jak wiadomo, wystę pują czę sto w ciałach stałych szczególnie krystalicznych, lecz nie są obserwowane w cieczach Są to bowiem zjawiska makroskopowe stanowią ce uś rednienie skomplikowanych zjawisk mikroskopowych i dlatego wystę pują tylko w oś rodkach wykazują cych dalekozasię gowe uporzą dkowanie Uporzą dkowanie takie nie wystę puje w klasycznych cieczach Wynika stą d, że stan ciekłokrystaliczny jest odmienny od stanów skupienia ciecz lub ciało stałe, gdyż łą czy w sobie cechy obydwu tych stanów Dlatego jego opis makroskopowy wymaga nowych teorii modelowych Ponieważ ciekłe kryształy mogą mieć róż ną budowę wewnę trzną, dlatego modele takie mogą również mieć zróż nicowaną strukturę w zależ nośi cod typu opisywanego kryształu Wyróż nia się zasadniczo trzy podstawowe typy ^kryształów ciekłych Kryształy nematyczne charakteryzują się uporzą dkowaniem kierunkowym wydłuż o nych molekuł Natomiast ś rodki cię ż kośi ctych molekuł zajmują położ enie przypadkowe (rys la) > b) t, c ) i: 11! :!'! I! 11 ' 'i i I I / / T W\M ^ \ \ \ / / Rys 1 Kryształy cholesterolowe posiadają wyż szy poziom uporzą dkowania niż nematyczne Moż na je traktować jako zbiór płaszczyzn o strukturze kryształu nematycznego, w których kierunki uporzą dkowania zmieniają się ś rubowo przy przejś ciu od płaszczyzny do płaszczyzny W ten sposób posiadają one przestrzenną ś rubową strukturę okresową (rys Ib)

2 452 Cz RYMARZ Kryształy smektyczne wykazują najwyż szy poziom uporzą dkowania W tym przypadku są uporzą dkowane nie tylko molekuły lecz również ś rodki ich cię ż koś, ciktóre tworzą szereg równoległych płaszczyzn (rys lc) Teorie modelowe tych kryształów pomimo istotnych róż nic powinny zawierać również pewne ogólne cechy wspólne i te bę dą głównie przedmiotem naszych zainteresowań Chodzi bowiem o poznanie zasadniczych własnoś ci ich konstrukcji Niemniej rozpatrywane modele, poza ich aspektem ogólnym, bę dą dotyczyły głównie kryształów nematycznych Należy podkreś lić, że WANG prowadząc klasyfikację materiałów w oparciu o grupy symetrii materiałowej (z punktu widzenia ogólnych koncepcji teorii równań konstytutywnych) wykazał moż liwość istnienia materiałów nie bę dą cyc h ani cieczami, ani ciałami stałymi [1] Do podobnego wniosku doszedł również COLEMAN [2] Stanowi to interesują cy przykład uzasadnienia istnienia pewnego typu materiału na podstawie rozważ ań czysto teoretycznych Stan ciekłokrystaliczny zwany mezofazą został doś wiadczalnie odkryty dość dawno (REINITZER 1888), jednak przez wiele lat był głównie przedmiotem badań doś wiadczalnych [6] Brak było bowiem teoretycznych ś rodków modelowych, zarówno w zakresie molekularnym, jak i fenomenologicznym Z jednej bowiem strony, trzeba było opracować odpowiednie ś rodki opisu cech fizycznych cieczy, a z drugiej ś rodki modelowe opisu (na poziomie fenomenologicznym) cią głych pól mikrostrukturalnych, w których moż na było ująć własnoś ci złoż onej wewnę trznej budowy ciał fizycznych Okres właś ciwego rozwoju modeli fenomenologicznych, które nas głównie interesują, przypada na lata Wtedy to sformułowano zasadnicze koncepcje opisu oś rodków z mikrostrukturą, a więc oś rodków z dodatkowymi (poza przemieszczeniem lub prę dkoś cią ) stopniami swobody Są to prace TOUPINA [3], MINDLINA [4], ERINGENA [5] i innych autorów Stworzyły one podstawy do efektywnego modelowania zjawisk w oś rodku ciekłokrystalicznym, który stał się przedmiotem zainteresowań takich badaczy, jak FRANK, ERICKSEN, ERINGEN, de GENNES, LESLIE i inni Wymieniamy tu oczywiś cie tylko nazwiska autorów, którzy zajmowali się aspektami fenomenologicznymi tej teorii Obecnie moż na wyróż nić nastę pująe c modele oś rodka ciekłokrystalicznego: model zgię ciowo sprę ż ysty, modele hydrodynamiczne, modele elektrohydrodynamiczne, modele magnetohydrodynamiczne Nie są to wszystkie moż liwe modele, lecz jedynie podstawowe ich grupy Poza nimi istnieją modele molekularne mają ce czę sto charakter półfenomenologiczny (ze względu na stosowane ś rodki modelowe) lub inne, które powstają na podstawie rozważ ań molekularnych (patrz np praca LTJBENSKY'EGO [9]) Ogólną sytuację z tego zakresu przedstawia rys 2 Celem niniejszego opracowania, które posiada charakter przeglą dowo konfrontacyjny, jest ogólna prezentacja pojęć i ś rodków modelowych, którymi operują powyż sze teorie, ocena zakresu ich stosowalnoś ci oraz przyję tych uproszczeń i przybliż eń Modele te są na ogół niekonsystentne, a niektóre z nich prowadzą do paradoksów i zjawisk niefizycznych Chodzi również o ocenę modeli pod tym ką tem widzenia Powinno to stanowić bazę do dalszych prac w tym zakresie, a głównie do uś ciś leni a stosowanych, modeli i wyeliminowania wystę pują cyc h niejednoznacznoś ci W ostatnich latach obserwuje się znaczny wzrost zainteresowania ciekłymi kryształami ze wzglę du na ich bardzo obiecują ce zastosowania na skalę przemysłową (rzutniki obrazów, ekrany telewizyjne, bardzo czułe mierniki temperatury, modulatory ś wiatła oraz inne

3 MODELE FENOMENOLOGICZNE 453 nie zbadane moż liwośi caplikacyjne) Jest to bowiem stan materiału, w którym za pomocą stosunkowo niewielkich oddziaływań zewnę trznych moż na zmienić istotnie jego makroskopowe cechy fizyczne Nic też dziwnego, że wiele zwią zków ciekłokrystalicznych odkryto i odkrywa się w materii biologicznej, która bardzo elastycznie reaguje na warunki otoczenia Rozszerza to znacznie zakres zainteresowań ciekłymi kryształami i wymaga pogłę bionego ich badania 1881 Reinitzer 1933 Zocher, Oseen Toupin, Mindlin, Ericksen, Eringen Modele ciektego krysztatu Modele molekularne ł Modele fenomenologiczne ł * \ Krzywiznowy model Modele hydrodynamiczne sprę ż ystoś ci Model Ericksena Leslie Model Eringen Lee Model Lubensky ego ł Model elektrohydrodynamiczny Rys 2 W rozdziale drugim przedstawiamy mikrostrukturalny opis kinematyki oś rodka ciekłokrystalicznego W rozdziale trzecim dyskutujemy cechy modelu krzywiznowego FRANKA, a w czwartym modeli hydrodynamicznych 2 Opis mikrostrukturalny kinematyki oś rodka ciekłokrystalicznego Przy budowie modeli cią głych korzysta się z zasad zachowania masy, pę du, momentu pę du, energii, ładunku oraz z zasady wzrostu entropii, biorąc pod uwagę onsagerowską postać termodynamiki procesów nieodwracalnych Ponadto uwzglę dnia się: niezależ ność relacji fizycznych od układu odniesienia i od wyboru układu jednostek Nie oznacza to bynajmniej, że wszystkie modele skonstruowane w myśl powyż szych zasad i założ eń modelują realne sytuacje fizyczne Należy bowiem uwzglę dniać jeszcze cechy indywidualne

4 454 Cz RYMARZ materiału przez okreś lenie odpowiednich równań konstytutywnych, a ponadto skonfrontować wyniki uzyskane dla modelu z wynikami eksperymentu Ruch oś rodka ciekłokrystalicznego opisuje się mię dzy innymi za pomocą funkcji ruchu (21) x» =f\x*,t), gdzie x k jest położ eniem czą stki X" w chwili t Najwygodniej jednak ruch takiego oś rodka opisywać za pomocą pola prę dkośi c v(x, t) Jest to znana własność cieczy, dla której w równaniu konstytutywnym wystę pują gradienty prę dkośi c (model cieczy Stokesa) Przy modelowaniu dynamiki oś rodka o złoż onej strukturze wewnę trznej każ dy punkt traktowany jest jako odkształcalna czą stka W takim przypadku funkcje f k (X a, t), bą dź składowe pola prę dkoś ci, opisują ruch oś rodka masy takiej czą stki Specyfikacja tych lub innych cech czą stki prowadzi do okreś lenia mikrostruktury oś rodka, co oznacza, że poza polem prę dkośi cuwzglę dnia się istnienie innych pól mikrostrukturalnych stopni swobody Dla kryształów ciekłych okreś la się nastę pująe c pola mikrostruktury: 1 Mikrostruktura oś rodka mikropolarrtego [5] Oznacza się (22) h = е *«(х, 027 я, gdzie f A, E" są odpowiednio wektorami promieniami punktów czą stki mikrostrukturalnej po deformacji i przed deformacją, zaczepionymi w ś rodku jej masy Q kx jest macierzą ortogonalną, co oznacza, że jedyną deformacją jakiej doznaje czą stka (przypisana punktowi X) jest jej sztywny obrót Przyję cie tej koncepcji oznacza, że molekuły kryształu ciekłego są traktowane jako nieodkształcalne, przy czym czą stka materialna modeluje na ogół zachowanie się nie jednej molekuły, lecz pewnego duż ego ich zespołu, który doznaje obrotu jako całoś ć Tak zdefiniowana mikrostruktura jest bardzo ogólna Nie uwzglę d nia ona faktu, że kryształ ciekły zbudowany jest z wydłuż onych molekuł Okreś lona jest ona w opisie materialnym 2 Pole direktorów n i uporzą dkowań S ERICKSEN przedstawia własnoś ci mikrostrukturalne kryształu ciekłego za pomocą pola wektorów jednostkowych n, które nazywa «direktorami» [7] Modelują one skierowanie osi wydłuż onych molekuł lub ich grup Długość «direktorów» pozostaje stała w czasie ruchu Założ enie to podyktowane jest głównie wzglę dami wygody opisu, lecz ogranicza moż liwośi cmodelowe tak zdefiniowanego poła mikrostruktury, gdyż traci się moż liwość uwzglę dnienia zmian ewentualnego ruchu obrotowego molekuł wzglę dem osi wydłuż enia Należy również podkreś lić, że «direktory» opisują tylko uś rednione uporzą dkowanie oś rodka ciekłokrystalicznego bez indywidualizacji zachowania się molekuł (bez ich ruchu cieplnego), a więc są to ś rodki modelowe, wyraź nie fenomenologiczne Celem wzbogacenia ś rodków opisu wprowadza się ponadto skalarne pole parametru uporzą dkowania zdefiniowanego nastę pują co : (23) S = <sin0>, gdzie 0 jest ką tem odchylenia molekuły od kierunku n, a < > znakiem uś rednienia przy uwzglę dnieniu statystyki kierunkowej odchyleń f(6) osi molekuł od ś redniego kierunku n, co moż na zapisać w nastę pująy c sposób (por rys 3): (24)

5 MODELE FENOMENOLOGICZNE 455 Gdy S = 0 wówczas mamy do czynienia z cieczą, natomiast S = 1 oznacza idealne uporzą dkowanie wszystkich molekuł otoczenia punktu X wzdłuż wektorów n Sytuacja ostatnia na skutek ruchów czą stek nigdy w rzeczywistoś ci nie wystę puje i dlatego w realnych kryształach ciekłych 0 < 5 < 1 Rys 3 3 Pole tensorowe uporzą dkowań Wprowadzone pole «direktorów» n prowadzi do kłopotliwych sytuacji, gdy kierunki n i n traktowane są jako ekwiwalentne Dlatego DE GENNES [8] zaproponował, aby mikrostrukturę oś rodka ciekłokrystalicznego opisywać za pomocą pola tensorów bezś ladowych Ł?,;(r) LUBENSKY [9] przedstawił sposób wyznaczania tego tensora, wychodząc z nastę pują ceg o tensora okreś lonego dla molekuły a: (25) &j = v!vf jd Po wprowadzeniu tensora uś rednionego RiJ = at ytqfj(t,t)<4r r*(t)], definiujemy pole tensora makroskopowego Qy(r, /) w sposób nastę pują cy : (26) Q u (r, t) = </?, 7 (r, ф т <Q(r, 0> gdzie m jest masą molekuły, a <p(r, /)> wartoś cią ś rednią gę stośi c rozkładu molekuł (gę stość masy oś rodka ciekłokrystalicznego) Tensorowy sposób opisu mikrostruktury staje się porównywalny z opisem za pomocą «direktorów» i pola S, jeś li zauważ yć, że dla jednoosiowego kryształu nematycznego tensor Qij(r, t) wyraża się nastę pują co : (27) Q u (r,t) = S^nj jdtj], gdzie Sjest parametrem uporzą dkowania, a n t, itj składowymi «direktorów» LUBENSKY [9] dyskutuje równoważ ność tych opisów, lecz nie wszystkie kwestie zostały wyjaś nione (tensor Qij posiada 5 róż nych składowych, a wektor n trzy) Są to podstawowe opisy mikrostruktury kryształów ciekłych

6 456 Cz RYMARZ 3 Krzywiznowa teoria sprę ż ystośi c W krysztale ciekłym istnieje uporzą dkowanie dalekiego zasię gu, co powoduje, że kryształ wykazuje sztywność na odkształcenia zgię ciowo skrę ceniowe Teoria opisują ca te zjawiska została zapoczą tkowana przez ZOCHERA [10] i OSEENA w 1933 [11], a nastę p ' nie rozwinię ta przez FRANKA W 1958 [12] Przedstawimy przybliż enie liniowe tej teorii, zakładając małe odkształcenia krzywiznowe Rozróż niamy trzy rodzaje takich odkształceń (por rys 4): a) odkształcenia typu wachlarz, b) odkształcenia skrę ceniowe, c) odkształcenia zgię ciowe Rys 4 Jeż eli wymiarowy parametr charakterystyczny odkształcenia (promień krzywizny) jest dużo wię kszy od długoś ci molekuł, to do opisu procesu deformacji moż na stosować model cią gły Oznacza to, że molekuły zmieniają swoje kierunki przestrzenne bardzo powoli w porównaniu np z wymiarami ciała Jeż eli oś z układu współrzę dnych skierować zgodnie z kierunkiem osi molekuł, to składowe stanu deformacji dla poszczególnych jej rodzajów przyjmują postać: a, = 8п х /д х, a 2 = 8n y /8y dla wachlarza, (31) a 3 = д /Г у/д х, a 4 = д п х /д у dla skrę cania, a s = dn x jdz, a 6 = 8n y j8z dla zginania Ponieważ powyż sze rodzaje deformacji są sprę ż yste, stąd w przybliż eniu liniowym energia swobodna ma postać nastę pują cą : 6 б (32) F = Ł k i a '+ 'E k U a i a J> = 1 i,j=i gdzie k t, k^ są stałymi materiałowymi, które należy wyznaczyć doś wiadczalnie Wyraż enie (32) na energię swobodną upraszcza się, gdy uwzglę dniamy jej niezmienniczość wzglę dem przekształceń charakteryzują cych symetrie oś rodka 1 Energia F nie powinna zmieniać się przy sztywnym obrocie oś rodka wzglę dem osi z, gdyż nie ulegają zmianie położ enia molekuł Z warunku tego wynika, że k 3 = 0,

7 MODELE FENOMENOLOGICZNE 457 a ponadto róż ne są od zera tylko nastę pująe cskładowe tensora к и : к, l t k 22, k 33, k i2, k 24 2 Gdy molekuły są niepolarne lub polarne, lecz rozłoż one z równym prawdopodobień stwem w obydwu przeciwnych kierunkach, wówczas wybór znaku wektora n jest dowolny i energia nie powinna zmieniać się przy przekształceniu (z zachowaniem skrę t noś ci) co daje nastę pująy c warunek: n» n lub x' = x, y' = y, z' x, (33) k x = k i2 = 0 Symetria przy n > n wystę puje powszechnie w kryształach ciekłych 3 Gdy w krysztale ciekłym wystę pują symetrie zwierciadlane, czyli gdy kryształ nie jest enancjomorficzny (co może zachodzić czę sto w skali makroskopowej, chociaż poszczególne molekuły nie wykazują takich symetrii), wówczas zachodzi zależ ność (34) k 2 = k i2 = 0 Ogólnie wyraż enie na energię sprę ż yst ą zapisane w formie niezmienniczej (niezależ nej od kierunku osi z) posiada postać (35) F= ~/c u (V n v 0 ) 2 +i A: 22 (nrotn + ro) 2 + ya:33(nv«) 2 Ar J2 (Vn)(nrotn), gdzie л о ' = к х /к ц, t 0 = k 2 \k 22 Wynika stą d, że energia F zależy od я, oraz я, р / Ponieważ F przy stałych deformacjach stanowi potencjał dla sił wewnę trznych, stąd otrzymujemy nastę pująe c równanie konstytutywne: df (36) Я ;j = ^7 = Ae ijk n k k 33 (n Vndnj Bdj, gdzie е,д jest całkowicie antysymetrycznym tensorem, a A = fc 22 (arotn + * 0 ) fc 12 (V n), В = ^lt (V n ^ 0) ^ i2n rotn, zaś dla wektora krzywiznowych sił wewnę trznych (37) fi = dfjdib = Ae ijk n k j + k 33 (n Vn J )rtj, i Zakłada się, że stan równowagi dla kryształu ciekłego osią gany jest przy minimum energii swobodnej (38) G = J dvf( ni,n,,j), co oznacza, że ÓG = 0 Prowadzi to do nastę pują ceg o równania równowagi: (39) dn,j/dxj+fi = yn t, gdzie у jest mnoż nikiem Lagrange'a, który wyznacza się z warunku n 2 1 Analizując to równanie dochodzimy do wniosku, że ż ą danie, aby wektor n pozostawał jednostkowy, równoważ ne jest ż ą daniu, aby wewnę trzne siły krzywiznowe h t =n ijtj +fi były równo

8 458 Cz RYMARZ ległe do pola «direktorów» Sens fizyczny tego ż ą dani a nie jest zbyt jasny, a ponadto okazuje się, że rozwią zania zagadnień granicznych dla równania (39) niekonieczne są stabilne (patrz [13]) Ż ą dani e to wynika z ograniczeń (wię zów) kinematycznych Należy również podkreś lić [13], że przedstawiony model zawiera człon diwergencyjny w gę stośi c energii F, który może być zawsze zamieniony na człon powierzchniowy i dlatego został on opuszczony w (35) Sytuacja taka stwarza jednak moż liwośi c niejednoznacznego zdefiniowania tensora 77y (310) n' u = n tj +da Wt /dx t, gdzie tensor /i ijk jest antysymetryczny wzglę dem indeksów j, k Dodanie tensora /l ijk do IIij nie zmienia jednak postaci równania (39) Pomimo to interpretacja fizyczna członu powierzchniowego jest konieczna, gdyż inaczej struktura teorii staje się niejasna Należy zająć się tym w oddzielnym opracowaniu Efekty krzywiznowe w kryształach ciekłych są bardzo niewielkie (stałe materiałowe są rzę du 10" 6 dyn) w porównaniu z efektami zmiany obję toś, cilecz należy je uwzglę d nić, gdyż mogą one powodować znaczne zmiany jakoś ciowe ich zachowania się 4 Modele hydrodynamiczne Poza sztywnoś cią zgię ciowo skrę ceniową, właś ciwą dla ciał stałych, kryształy ciekłe zachowują się jak ciecze Molekuły wydłuż one mogą bowiem poruszać się dość łatwo wzglę dem siebie wzdłuż wydłuż onych osi Temu przepływowi uporzą dkowanemu przeciwstawiają się ruchy cieplne w kierunku poprzecznym, a zatem należy rozpatrywać łą cznie efekty krzywiznowe z efektami hydrodynamicznymi Teorię uwzglę dniająą c połą czone efekty opracowali ERICKSEN i LESLIE [14, 15] Przedstawimy jej zarys i ocenę Bę dziemy operować nastę pują cymi polami cią g łymi: polem gę stośi cmasowej Q, polem prę dkośi cv, polem «direktorów» n, polem temperatur T Zachowanie się tych pól opisuje nastę pująy c układ równań: 1 Równanie cią głośi cmasy (41) ^ fdivfev) = 0 Bę dziemy zakładać, że oś rodek jest nieś ciś liwy Założ enie to dla stanu ciekłego jest w pełni uzasadnione Zatem równanie cią głośi cprzyjmuje postać (42) diw = 0 2 Równanie ruchu wynikają ce z zasady zachowania pę du (43) _^ ( /,) +^ ( Г, +, ; ) = 0, gdzie /; = QVI jest gę stoś ą ci pę du, а Ty i fy są odpowiednio tensorami naprę żń e odwracalnych i dysypacyjnych Tensor 7y okreś lony jest w sposób nastę pują cy : (44) Tu = QViVj pdij n kj n k,i, gdzie p jest ciś nieniem hydrodynamicznym

9 MODELE FENOMENOLOGICZNE 459 Tensor ty okreś lony jest nastę pują co : (45) ty = а 1 и 4и л4 л П 1П ; а 2 и ;Л Г г а з И г Л г / а 4^ gdzie (46) dij = v (ij), (47) N t = ń i (u), 7 xn ; ) b (48) i = ^+vv(«0> (49),fi)y = v [ U ] Jak wynika z (47) wektor N okreś la prę dkość ruchu wzglę dnego «direktorów» (wzglę dem cieczy) Z (45) wynika natomiast, że naprę ż eni a dyspacyjne zależą w sposób łą czny od gradientów prę dkośi cdy, od kierunków «direktorów» /?; oraz prę dkośi cich ruchu wzglę d nego Ni а, są stałymi materiałowymi Stałą <x 4 moż na utoż samić z klasyczną stałą lepkoś ci postaciowej /л, a pozostałe są stałymi lepkoś ciowymi ciekłego kryształu Jest ich pię ć, lecz tylko trzy z nich są niezależ ne Stałe te są nastę pują ce : у, = a 3 a 2, a 2 = a 6 a 5, oc 3 Wynika to z warunku niezmienniczoś ci obrotowej energii oraz z relacji symetrii Onsagera Wyznaczeniem trzech stałych lepkoś ci zajmował się w Polsce w 1935 r M MIĘ SOWICZ, były one zgodne z wartoś ciami stałych wyznaczonymi ostatnio Równania konstytutywne (44) i (45) wyprowadził LESLIE [15] 3 Równanie dla «direktorów» (4 10) ~ (/«,) + A (Ihinj) +n ijj+ fi +f'i = у щ, gdzie / jest momentem bezwładnoś ci wydłuż onej (pałeczkowatej) molekuły TTy i/ ; zostały okreś lone uprzednio [patrz (36), (37)], a/,'jest wektorem lepkoś ciowych sił wewnę trznych okreś lonym nastę pują co : (411) Л = (a 3 <x 2 ) Ni + (a 3 + <x 2 )d,jnj 4 Równanie transportu entropii (4 12) ^ ( e s ) + v ( Q s y + T i ą ) = ^ gdzie s jest gę stoś ą ci entropii, q strumieniem ciepła Prawo Fouriera dla kryształu ciekłego przyjmuje postać (413) q,= toinjtj Р г Т,,, a produkcja entropii wyraża się w nastę pująy c sposób: (414) TR = tydij njinij+f'ini T 'qtti Zasada zachowania momentu pę du prowadzi do nastę pują ce j relacji symetryzują cej: (415) T oij T 0 ji+ni k iij ik n jk n Lk + nifj njfi = 0, gdzie Toy jest tensorem naprę żń e odwracalnych (w oś rodku bez dysypacji)

10 460 Cz RYMARZ Należy stwierdzić, że w modelu powyż szym równanie «direktorów» nie posiada charakteru zasady zachowania Wią że się z tym fakt, że nie istnieje lokalny niezmiennik odpowiadają cy obrotowi «direktorów» Prowadzi to w konsekwencji do paradoksu istnienia skoń czonej prę dkośi cpropagacji zaburzeń nieskoń czenie długiej fali Ponadto, pojawiają się inne trudnoś ci natury modelowej Założ enie п р, że «direktory» nie zmieniają długoś ci w czasie ruchu oznacza nieuwzglę dnianie zmiany momentu pę du molekuły wzglę dem jej wydłuż onej osi, a więc pominię cie jej rotacji wzglę dem tej osi Porównajmy model ERICKSENA LESLIE Z modelem LUBENSKY'EGO [9], który jest wynikiem rozważ ań na poziomie molekularnym oraz przeprowadzonych uś rednień Równania wynikają ce z zasad zachowania masy, energii, pę du i momentu pę du przybierają postać: (416) (417) (418) + л, о de dt dp i dt +J,i = o, + = o, (419) 8Lj dt + dm, ~d7 + TJIJ = > gdzie pi = ovj jest gę stoś ą ci pę du, z gę stoś ą ci energii wewnę trznej, /, jest gę stoś ą ci strumienia energii, L,, są gę stoś ciami orbitalnego i lokalnego momentu pę du, а т,, tensorem naprę żń e momentowych Wszystkie powyż ej przedstawione wielkoś ci makroskopowe są uś rednieniami odpowiednich wielkoś ci mikroskopowych Mianowicie (420) Q(X, t) = < e (x,?)> = Z a m a d(x x'<t)), gdzie a jest numerem molekuły, а m, jej masą, (421) Pi = < Л (х, /)> = Z api d(x x a (t)), (422) U = Г,(х х р ),й (х х «(0), (423) Mi = Zj(f х v"),d(x x"(t)) = Q/mlijQj, gdzie / jest momentem bezwładnoś ci wydłuż onych molekuł, v wektorem kierunkowym molekuły, /у makroskopowym tensorem momentów bezwładnoś ci, a Qj wektorem uś rednionej prę dkośi c ką towej obrotu zespołu molekuł Tensor /у okreś lony jest w sposób nastę pują cy : (424) /у (х, г ) = Z a(d u v?vj)d(x x\t)) 0 lub po uwzglę dnieniu (24) i (26): (425) hj{x, t) = d,j S(x,t) л,(х, t)nj(x, t)

11 MODELE FENOMENOLOGICZNE 461 Jeż eli bierzemy pod uwagę tylko ruch sztywny molekuł, wówczas składowa prostopadła SI do n wyrazi się w sposób nastę pują cy : (426) Q ±i = (nxń )i W przypadku ruchów niesztywnych relacja ta nie*jest ś cisła Jednak gdy zmiany przestrzenno czasowe n są niewielkie moż na uznać ją za zadowalają cą Ponieważ założ enie n 2 = 1 w czasie ruchu oznacza, że składowa O równoległa do n jest w przybliż eniu równa zeru, zatem zasada zachowania momentu pę du (419) przyjmuje postać (427) [nx ń ],+ Щ + TJ,,J = 0, gdzie / = Ql/m^ j + ~Sj Po wyeliminowaniu za pomocą (418) otrzymamy (428) J j [n x ń ]i+ e ijk o Jk + r JtJ = 0, gdzie (429) TJ, = Т л е ш х к О ц Porównajmy równanie (427) z równaniem «direktorów» (410) modelu ERICKSENA LESLIE Jeż eli przyją ć, że mamy do czynienia z opisem przestrzennym, zdefiniować moż na siłę gi w sposób nastę pują cy : gi =fi+f't yni oraz założ yć, że / = const, wówczas otrzymamy równanie (430) fń i+gi+iijij = 0 Po założ eniu, ż ej = I, pomnoż eniu (430) przez e m n k i wprowadzeniu nastę pują cyc h okreś leń (431) e klj o,j = e ki j(ttig J: TIjint,i), (432) Ty = e ak nin k j, otrzymamy równanie (427) Moż na jednak łatwo zauważ yć, że brak jest jednoznacznej relacji pomię dzy g it TIji oraz o y Po zdefiniowaniu bowiem g t, TIji w sposób nastę pują cy : 8F (433) gi = g^ yni + PjMi,j, (434) Щ ^j hn,, df gdzie Rj są dowolnymi stałymi, у wyznacza się z warunku n 2 = 1, a F jest gę stoś ą cienergii swobodnej Franka, nie zmieniają się zależ nośi cpomię dzy zasadą zachowania momentu pę du i równaniem «direktorów»

12 462 Cz RYMARZ Inny model hydrodynamiczny kryształu ciekłego uzyskali ERINGEN i LEE [16] Jest on przykładem modelu mikropolarnego Równania tego modelu są nastę pują ce : (435) +div( e v) = 0, (436) 7Л ( 4, ) + Jest to równanie mikroinercji stanowią ce wyż sze przybliż enie momentowe zasady zachowania masy (przybliż enie drugiego stopnia) (437) tju + efi = QV T, (438) mjij + ei^t^ + gli = с >Ь (, (439) Q'B = qh + #;,; + hj(pij s i}k v k ) + т ц г и ; Są to równania odpowiadają ce zasadom zachowania pę du, momentu pę du i energii Wystę pująe c tutaj wielkoś ci to i ki gę stość momentów bezwładnoś ci (molekuł), v wektor prę dkośi cką towej, rrij, tensor naprę żń emomentowych, /, gę stośi cmomentów sił, с, gę stośi c momentów pę du, które wyraż ają się nastę pują co : (440) o, = (i mm di k i lk )v k W modelu tym wystę puje opis materialny Ruch punktu materialnego, zgodnie z koncepcją mikrostruktury podaną w (21), (22) przedstawia się nastę pują co : (441) 4 = x k (X\ i) = Q kci {X\ t)e x Z modelu ERINGENA LEE istnieje również przejś cie do modelu ERICKSENA LESLIE (patrz [17]) Wystarczy założ yć, że wektor jest jednostkowy oraz równoległy do «direktora» n w konfiguracji odniesienia (chodzi tutaj o opis materialny) Wtedy (442) щ = f, = (2, 27 A, (443) In^t = Qi kl Równanie «direktorów» staje się równoważ ne zasadzie zachowania momentu pę du, gdy zachodzą relacje podobne do relacji mię dzy modelem LUBENSKY'EGO i ERICKSENA LESLIE Wystę puje tu również wyż ej wspomiana niejednoznacznoś ć Równanie mikroinercji przybiera przy tych założ eniach postać zasady zachowania momentów bezwładnoś ci (444) I+Iv Ui = 0 W ten sposób moż na powiedzieć, że modele LUBENSKY'EGO i ERINGENA LEE są równoważ ne, chociaż pierwszy z nich jest przybliż ony Pełne badanie ich równoważ nośi cbę dzie przedmiotem osobnych rozważ ań 5 Zakoń czenie Przedstawiliś my oś rodki kinematyczne oraz modele opisują ce zachowanie się kryształów ciekłych Podaliś my przy tym tylko niezbę dne i podstawowe wiadomoś ci z tego zakresu Istnieją bowiem obszerne opracowania przeglą dowe zawierają ce pełniejsze prezen

13 / MODELE FENOMENOLOGICZNE 463 tacje teorii fenomenologicznych oraz szereg głę bokich rozważ ań fizycznych Szczególnie wartoś ciowa jest najnowsza, obszerna praca przeglą dowa z tego zakresu STEPHENA i STRA LEYA [13] Uwagę naszą skoncentrowaliś my raczej na krytycznej ocenie istnieją cych ś rodków modelowych Wystę pująe c niejednoznacznoś ci w modelu ERICKSENA LESLIE przy definicji tensora П 1} oraz w relacji pomię dzy modelami ERICKSENA LESLIE, LUBENSKY'EGO i ERINGENA LEE wymagają odrę bnego badania Kryształy ciekłe wykazują niezwykle interesują ce efekty powierzchniowe dopasowania struktury uporzą dkowań w warstwie przylegają cej do ś cianek (do geometrii ś cianek) Są one bardzo silne Zagadnieniu temu poś wię con o również zbyt mało uwagi (patrz [18]) Niezwykle waż ne praktycznie są rozważ ania z zakresu efektów optyczno elektrycznych, optyczno akustycznych itp Zagadnienia te bę dą przedmiotem dalszych badań teoretycznych i eksperymentalnych Niezbę dne do tego celu modele elektro i magnetohydrodynamiczne zostaną przedyskutowane w oddzielnym opracowaniu Literatura cytowana w tekś cie 1 C C WANG, A general theory of superfluids, ARMA, 6, 20 (1965) 2 В D COLEMAN, Simple liquid crystals, ARMA, 6, 20 (1965) 3 R A TOUPIN, Theory of elasticity with couple stresses, ARJVIA, 17 (1964) 4 R D MINDLIN, Microstructure in linear elasticity, ARMA, 16 (1964) 5 A C ERINGEN, Theory of micromorphic media, Int J Eng Sci, 2 (1964) G H BROWN, W G SHOW, The mesomorphic state of liquid crystals, Chem Rev, 6, 57 (1957), J L ERICKSEN, Anisotropic fluids, ARMA, 4 (1960), P G de GENNES, Phenomenology of short range order effects in the isotropic phase of nematic materials, Phys Lett, 8, 30Ą (1969), Т C LUBENSKY, Molecular description of nematic liquid crystals, Phys Rev, 2, 6 (1970) H ZOCHER, Anisotropy effects in liquid crystals, Trans Faraday Soc, 29 (1933) 11 C W' OSEEN, The theory of liquid crystals, Trans Faraday Soc, 29 (1933), F C FRANK, On the theory of liquid crystals, Discussion Faraday Soc, 25 (1958), M J STEPHEN, J P STRALEY, Physics of liquid crystals, Rev Mod Phys, 4, 46 (1974), JL ERICKSEN, Hydrostatic theory of liquid crystals, ARMA, 9 (1962), F M LESLIE, Some constitutive equations for liquid crystals, ARMA, 4, 28 (1968), A C ERINGEN, J D LEE, Wave propagation in nematic liquid crystals, J Chem Phys, 12, 54 (1971), A C ERINGEN, J D LEE, Theories of liquid crystals and ordered fluids, 2, (1973), J L ERICKSEN, Liquid crystals and Cosserat surfaces, Quart J Mech Appl Math, 2,22 (1974), Р е з ю ме Ф Е Н О М Е Н О Л О Г И Ч ЕЕ С МК ОИ Д Е ЛИ Ж И Д К ИХ К Р И С Т А Л ЛВ О д е н ия ж м В р а б ое т п р е д с т а в ы л е он с н о в не ы ф о р м а л ь е н ыс р е д с а т вм а к р о с к о п и ч ео с ок по иг с а ня и п о в е и д к х и к р и с т а л л оо вб с у ж д а е нт а к же с т р у к т а у рф е н о м е н о л о г и чх е гс ик ди р о д и н а м о д е л, е пй р и чм е в ы н ы м о б р а зм о з а в и с и м я в л еы н с л у ч и а и х н е э к в и в а л е н ти н и о нс те е д и н с т в е н н оэ сто т ик а с а е я т сг л а в и о см те ж ду м о д е лю ь Э р и к с е н а Л и е и с лм в о б л а си т п р и н ц иа пс о х р а н ея н ми о м е на т к о л и ч е са т вд в и ж и чх е с к и о д е л яи мл ю б е н с ко ои г Э р и н г е н аи Л е н и я

14 464 Cz RYMARZ Р а б оа т и м л о в», к о т о ря аб у д т е п р е д м г и д р о д и ц а м о б с у ж е т е о б з о р нй ы х а р а к р т еи я в л я е я т св в е д е н м и ев т е м а т иу к«м о д е и л ж и д к х и к р и с т а л ем т од а л ь н е й х ш ии с с л е д о в а н Эи лй е к т р о г и д р о д и н а м е и и ч ем са кг ин и т о и че е мс ко ид е л, ип р е д с т а в л я юе щс ои б й о р а з в и те иг и д р о д и н а м д ы е н в о т д е л ь й н оп у б л и к а ц и и и чх е мс ко ид е л, е йб у д т у Summary PHENOMENOLOGICAL MODELS OF A LIQUID CRYSTALLINE MEDIUM Fundamental formal means have been presented of a macroscopic behaviour of liquid crystals The structure of phenomenological hydrodynamic models has also been discussed, attention being attracted to their non equivalence and ambiguity This refers mainly to the relation between the Ericksen Leslie's model and those of Lubensky and Eringen Lec within the conservation principle of the angular momentum The work is both a review and a comparison and constitutes an introduction into the subject «Models of liquid crystals* to which further study will be devoted Electrohydrodynamic and magnetohydrodynamic models, which are developed from hydrodynamic models, will be discussed in a separate publication WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA Praca została złoż ona w Redakcji dnia 21 listopada 1975 r