OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO PRZY DUŻ YCH UGIĘ CIACH METODĄ PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO*) 1. Wstęp
|
|
- Daria Mróz
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ' ' 1 t I ) MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 15 (1977) i OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO PRZY DUŻ YCH UGIĘ CIACH METODĄ PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO*) ' JAN TATJ BBi.Ar.H4T Ł A C H U T fkuatrń (KRAKÓW) wl 1. Wstęp Rozwój komputerów o duż ej pojemnoś ci pamię ci operacyjnej i krótkim czasie dostę pu do pamię ci stałej sprawia, że na nowo pojawiają się dawniej niepraktyczne metody obliczeniowe. Coraz bardziej rozwijają się nowe, bezpoś rednie metody obliczeń numerycznych. Coraz bardziej skuteczne stają się narzę dzia analizy numerycznej, za pomocą których pokonano wiele nierozwią zywalnych uprzednio problemów i zadań. Moż liwośi c współczesnej techniki obliczeniowej pozwalają efektywnie rozwią zać szereg zagadnień teorii optymalnego sterowania. Jedną z metod tej teorii jest programowanie dynamiczne, które pojawiło się jako ogólna metoda rozwią zywania zagadnień wariacyjnych. Metody tej uż ywa się również przy rozwią zywaniu innych zagadnień teorii optymalnego sterowania. Ogólnie przez programowanie dynamiczne rozumie się optymalne sterowanie procesami, czyli takimi zjawiskami, na których przebieg mamy wpływ. Oddziaływanie to nazywane sterowaniem musimy tak dobrać, aby otrzymany rezultat był ekstremalny przy spełnieniu wszystkich ograniczeń nałoż onych na proces. Idea programowania dynamicznego tkwi w zamianie jednego zadania z wieloma zmiennymi na ciąg zadań, kolejno rozwią zywanych, o mniejszej liczbie zmiennych. Optymalizację takiego wieloetapowego procesu prowadzi się na podstawie zasady optymalnoś ci BELLMANA, która jest szczególnie wygodna, jeż eli rozpatrywany proces cią gły może ulec dyskretyzacji (kwantyzacji). Zwią zane to jest z przyję ciem odmiennych metod rachunkowych, z wykorzystaniem EMC, w których proces cią gły zastę puje się układem dyskretnym. Funkcje opisują ce proces mogą być niecią głe łub dane w postaci tablic. Niektóre zadania teorii sprę ż ystośi rozwią c zuje się tą metodą. W szczególnoś ci elementy konstrukcyjne z jedną współrzę dną stanu moż na, uż ywając programowania dynamicznego, rozwią zywać na dwa róż ne sposoby. W pierwszym, numerycznie całkuje się równanie Hamiltona Jacobiego Bellmana. W drugim, numerycznie rozwią zuje się formułę rekurencyjną zwaną równaniem funkcyjnym Bellmana. Ten drugi sposób uż ycia idei programo *' Praca wykonana została w ramach problemu wę złowego pt. «Wytrzymałość i optymalizacja konstrukcji maszynowych i budowlanych» koordynowanego przez IPPT PAN.
2 376 J. BŁACHUT wania dynamicznego nosi nazwę dyskretnej wersji programowania dynamicznego i z powodzeniem stosowany był w celu rozwią zania jednowymiarowych elementów konstrukcyjnych, w uję ciu wariacyjnym, przez POCZTMANA w pracach [1, 2]. Metoda ta pozwala przy uż yciu współczesnych EMC rozwią zywać również równanie funkcyjne Bellmana z dwiema zmiennymi stanu. BARANENKO [3] uż ył dyskretnej metody programowania dynamicznego do wyznaczenia ugięć sprę ż ystej, prostoką tnej membrany, utwierdzonej na brzegu i obcią ż one j równomiernie na całej powierzchni, przy równoczesnym ograniczeniu ugię ć. W pracy [4] ta sama metoda przeniesiona została na inne dwuwymiarowe zadania teorii sprę ż ystoś. ci ANGEL i BELLMAN [5] podają dalsze moż liwośi cstosowania tej metody z równoczesnym dołą czeniem niektórych procedur numerycznych w ję zyku fortran. Autorzy podają mię dzy innymi literaturę dotyczą cą rozwią zań szeregu dwuwymiarowych elementów konstrukcyjnych omawianą metodą. Również w podejś ciu do optymalnego kształtowania elementów konstrukcyjnych tą metodą wskazać moż emy na dwa odrę bne sposoby. Pierwszy, polegają cy na całkowaniu równania Hamiltona Jacobiego Bellmana [6], oraz drugi, z wykorzystaniem równania funkcyjnego. Jak dotąd tylko kilka prac poś wię conyc h jest zastosowaniu równania funkcyjnego Bellmana do optymalnego kształtowania w zadaniach teorii sprę ż ystoś. ciposzuki wanie minimum obję tośi cwspornika o przekroju prostoką tnym, jednostronnie sztywno utwierdzonego, z materiału pełzają cego, przy ograniczeniach geometrycznych przedstawiono w artykule [7]. Tą samą metodę wykorzystano w pracy [8], gdzie jako kryterium przyję to minimum obję tośi c prę ta sprę ż ysteg o poddanego zginaniu, z uwzglę dnieniem duż ych przemieszczeń i nałoż eniu dodatkowych ograniczeń. Algorytm programowania dynamicznego otrzymany dla procesu dyskretnego na podstawie zasady optymałnoś ci moż na stosować wykorzystując metody analityczne, z tym, że na ogół jest to niemoż liwe, a w przypadkach kiedy to się udaje, postę powanie analityczne jest ucią ż liwe przy wię kszej liczbie etapów [9]. W niniejszej pracy posługiwać się bę dziemy wyłą cznie bezpoś rednią metodą numeryczną. Posługiwanie się dyskretną wersją programowania dynamicznego ma wiele zalet, które wynikają z odmiennego sposobu wyznaczania ekstremum, polegają cego na przeszukiwaniu skoń czonego zbioru wartoś ci. Taki sposób wyznaczania ekstremum umoż liwia w naturalny sposób wprowadzenie wielu ograniczeń lokalnych, z którymi spotykamy się w realnych przypadkach. Mię dzy innymi, ograniczenie dopuszczalnych naprę ż eń, wymiarów, ugię ć. Czę sto te dodatkowe warunki upraszczają obliczenia, gdyż eliminują z procesu «przeszukiwania» te wartoś ci zmiennej stanu i sterowania, które nie spełniają na danym etapie nałoż onych ograniczeń. Moż liwe są również globalne warunki ograniczają ce wartość energii czy też obję toś. ci Cytowane powyż ej prace nie zawierają szczegółów obliczeń maszynowych, wspólnych dla wszystkich jednowymiarowych elementów konstrukcyjnych. Po sformułowaniu problemu i odwołaniu się do równania funkcyjnego podano wyniki koń cowe. Celem tej pracy bę dzie pełniejsze przytoczenie szczegółów obliczeń maszynowych uż ytej metody w odniesieniu do sformułowanego poniż ej zadania optymalnego kształtowania ś ciskanego słupa, przy duż ych ugię ciach. Czę ść pierwsza poś wię con a bę dzie obcią ż eni u siłą skupioną, w drugiej zaś uwzglę dnimy dodatkowo cię żr awłasny słupa.
3 OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO Sformułowanie problemu Rozważ ać bę dziemy sprę ż yst y prę t. o przekroju prostoką tnym, długoś ci /, obcią ż on y stałą siłą skupioną P taką, że P > P kr, zachowują cą kierunek działania (rys. 1). Sztywność prę ta a = El bę dzie opisana nastę pują co : x t = Ł/, dla odcinka [0,/J, cc, = EI 2 dla odcinka (/,, / 2 ]. Poszukiwać bę dziemy takiej wartoś ci д = a 2 fa i, która zapewni minimum odchylenia koń ca prę ta x k od stanu nieodkształconego. (1) gdzie и г = {<5:0 < ó ^ 1}. mm x k, deu l Równocześ nie przyjmiemy nastę pująe c warunki ograniczają ce zwią zane z: ograniczeniem obję tośi c V 0 prę ta (2) l 7 o = const, a 2 ' * ć О С, Rys. 1. Sposób obcią ż eni a prę ta zapewnieniem warunku równowagi, poprzez minimalizację energii potencjalnej E odkształconego prę ta [10]: (3) min.e, gdzie U2 = {<p:0 < <p(s) ^Я Л С Р (О) = 0}, 0 < s*s 1. Sposób rozwią zania. Energię potencjalną odkształcenia prę ta przy wyboczeniu oraz potencjał siły zewnę trznej zapiszemy w postaci całek: (4).4, = ją ((p') 2 (ls'; A 2 = Pj coscfds'. Energia potencjalna E układu przedstawionego na rys. 1 ma postać (5) E = j ^ (<p') 2 + PcosĄ cis'+ j ^(<p') 2 + PcosĄ ds'. Minimum wyraż enia (3) jest równoznaczne z przyję ciem pełnego, nieliniowego równania róż niczkowego linii ugię cia. 6 Mechanika teoretyczna 3/77
4 378 J. BŁACHUT Wprowadzając oznaczenia: (6) s', Р Г = /; c L = д = 1 dcp l ds ' otrzymujemy nastę pująą c postać funkcjonału E (7) Si S 2 E=a f{f ^(<r, y + c^ą cls+ j' (cp') 2 + c 1 co&cp\ds Zastę pując w (7) całkowanie sumowaniem, mamy, opuszczając czynnik a,/7, M. N (8) E= У (С 'к ) 2 +c L coscpn A + I ^ (cp' R ) 2 + C[cosci R A. Porzą dek numeracji pokazano na rys. 2 M ш т. Rys. 2. Numeracja etapów Pochodną cp' R zastą pimy dalej ilorazem róż nicowym (9) <PR = <PR <PR~I W miejsce wyjś ciowego funkcjonału (5) otrzymujemy jego wartość przybliż oną (10) M 2 R=N+\ 4>R <PR I + c, cos (<p R ) A + R)\ + 2 [T( R = 1 <PR <PR \ + c v cos (cp R ) A. Minimum sumy (10) poszukiwać bę dziemy bezpoś rednio wykorzystując EMC, na podstawie zasady optymalnoś ci Bellmana, według której «koń cowy odcinek trajektorii optymalnej jest sam dla siebie optymalny». W wyniku jednokrotnej realizacji tej procedury wyznaczona zostanie linia ugię cia odkształconego prę ta, a zatem i położ enie koń ca x' k, dla jednej wartoś ci d t e I/,, przy spełnieniu ograniczenia (2). Nastę pnie procedura ta zostaje powtórzona dla innej wartoś ci 6 2 e. Jej realizacja daje inny stan równowagi oraz nowe położ enie koń ca odkształconego prę ta xl. Każ demu elementowi d t e ŁĄ odpo
5 OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO 379 wiada jedno położ enie koń ca x' k. Spoś ród elementów zbioru X = {x' k }, i 1, / wybiera się element minimalny. Wskaź nik / równy jest liczbie elementów zbioru t/, i mówi o iloś ci powtórzeń równania funkcyjnego. Najbardziej pracochłonne, w sensie potrzebnego nakładu obliczeń, jest wyznaczanie kolejnych stanów równowagi na podstawie (10). Poniż ej przedstawione zostaną najważ niejsze elementy tych obliczeń. Równanie funkcyjne Bellmana dla (10) ma postać (U) /R(<PR) = min^ j T r j + C] cos(^r) A +/R_ I ((p R _,) gdy 0 < Л < : /V, TV, lub (12) {[т (~~~A*~' ) + c ' c o s 7* ' A +/* L(^.)}> gdy 7V+ 1 < R < M. Obliczenia rozpoczynamy od swobodnego koń ca przesuwając się ku utwierdzeniu, gdzie dodatkowo musi być spełniony warunek c?(0) = 0. Dla N = 1 z (11) otrzymujemy (13) Л Ы = min {^J^_^)" + C I C 0 S Y I J A. Podzielmy cały zbiór U 2 na ii równych czę ś. cielementy tego zbioru oznaczać bę dziemy <p(i), gdzie i =t 1, ii. Odpowiedni indeks oznaczać bę dzie kolejny etap i tak na przykład <p 0 (i) bę dzie i tą wartoś cią sterowania na etapie pierwszym. Nadajmy więc sterowaniu pierwszą wartość <p 0 0) Zmieniając zmienną sterowania <p 0 (l) na 9?o(2) porównujemy wartość wyraż enia (13). Mniejszą z nich zapamię tuje się. Sterowaniu nadaje się kolejną wartość <po(3), a obliczoną wartość (13) porównuje się z uprzednio zapamię taną. Mniejszą z nich zachowuje się w pamię ci w miejsce poprzedniej. Wyczerpując cały zbiór sterowań dopuszczalnych (p 0 (\), (p 0 (2), <?> 0 (/') otrzymujemy w koń cu najmniejszą wartość wyraż enia (13) dla zmiennej stanu <p,(l). W dalszym cią gu zmienimy stan na c>i(2) i z (13) wyznaczamy wartość podstawiając kolejno za sterowanie <p 0 (l), najmniejszą, 7>o('') ze zbioru U 2. Obliczenia w tym etapie koń czą się z chwilą stablicowania funkcji f t (<Pi). Dyskretne wartoś ci tej funkcji zapisuje się w pamię ci maszyny, w formie tablicy f[i, k\, gdzie к oznacza numer etapu, i zaś wartość zmiennej stanu. Elementy f[i, k] należy teraz zachować w pamię ci EMC, gdyż bę dą potrzebne przy odtwarzaniu «ś cież i koptymalnej)). Te same operacje wykonujemy po cofnięciu się o jeden krok do tyłu i ustaleniu к = 2. Z (11) otrzymujemy (14) f 2 (p) = min {[^ [ У 2 ~ У 1 j +C,cos(<pĄД К Л (?,)} Organizacja obliczeń na tym etapie jest podobna, z tym, że w miejsce fi(<pi) podstawia się elementy macierzy /[/', 1], to jest: (15) M<p 2 ) = W [ A ( y2 "J l(0 ) + c, cos( n (i))] A +/[i, 1]}.
6 380 J. BŁACHUT Stablicowanef 2 (cp 2 ) oznaczamy/[/, 2]. Elementy/[/, 2], gdzie i = 1, ii bę dą potrzebne do stablicowania / 3(^ 3) w etapie trzecim, a cała macierz /[/', к ] o iixm elementach wykorzystana bę dzie przy odtwarzaniu «ś cież i koptymalnej*. W etapie trzecim mamy: (16) = min + C[COs(<r 2(/ )) A+/[/,2]j. Po Л Г krotnym cofnię ciu się znajdujemy się w punkcie R = /V. Dla Л Г+ 1 ^ /? < M operację minimum przeprowadza się tak samo, poprzez wielokrotne porównywanie, z tym, że należy posługiwać się wyraż eniem (12) w miejsce (11). W szczególnoś ci w ostatnim etapie otrzymamy (17) f M (0) = min VM 'loet/ j 1 0 <р м _Л П г, с о, (0) д +/[/, Rysunek 3 przedstawia schematycznie sposób tablicowania ficpi), f 2 (cp 2 ) oraz f M (0). Na dowolnym etapie R zmienna sterowania cp k (i) przyjmuje zawsze tę samą, skoń czoną liczbę ii wartoś ci dyskretnych z przedziału [0,. т ]. Z chwilą osią gnię a ci przeciwległego / 1 ffrio 0 Ч Р о О О Rys. 3. Sposób tablicowania funkcji celu brzegu (sztywne utwierdzenie prę ta), należy odtworzyć tak zwaną «ś cież ę k optymalną» przy ruchu do przodu, to znaczy okreś lić te wartoś ci ką ta cp k {i) (k. l, dały najmniejszą wartość energii E w M etapach. Oznaczmy te ką ty cp* (k = 1. Współrzę dne punktów linii ugię cia okreś limy: M), które M). к R (18) Aś ihcjf У Acos?*. i = м 1 = Af l Wyznaczenie ś cież i koptymalnej koń czy obliczenia dla danej, jednej wartoś ci parametru ё e Ui. Dla innej wartoś ci parametru б e U t rozwią zuje się równania (11) i (12) według tego samego schematu na nowo. Każ de kolejne rozwią zanie (11) i (12) daje odpowiednie położ enie koń ca. Minimalną wartość л * okreś limy na podstawie wykresu x k = f(d). Wyniki. Obję tość prę ta V o przekroju prostoką tnym, płaskozbież nego, o przekroju zmieniają cym się skokowo, moż emy zapisać nastę pują co : (19) V = [Fis.+Fzisr gdzie F t, F 2 oznaczają przekroje prę ta.
7 OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO 3S1 Po wprowadzeniu parametru ó obję tość V wynosi (20) V = 12a,/ Eb 2 [*i+a(łjt*i)], lub korzystając z (6) (21) v= к + 5(5, 5,)], gdzie Ci jest bezwymiarową stałą. Niech V 0 oznacza bezwymiarową obję tość (22) VEb 2 12PP Wtedy wyraż enie (21) zapiszemy Ci Vo = s l + b(s 2 s l ). Konkretne obliczenia przeprowadzono dla parametrów zestawionych w tablicy 1, wykorzystując EMC Odra 1204 oraz Cyber 72. Tablica 1 Rysunek Si V 0 <5 <f A 4, 5 0,5 0,5 0, П 0,05 6, 7 0,5 0,5 0,300 0 ^1 0,05 8,9 0,5 0,5 0, П 0,05 Na rysunkach 4, 6, 8 pokazano zależ ność odchylenia.y* koń ca prę ta w funkcji d, dla ustalonej w każ dym przypadku stałej obję tośi c V 0. Rysunki 5, 7, 9 przedstawiają linie ugię cia jakie otrzymano dla wybranych wartoś ci parametru 6, oznaczonych literami a, b, c. Przyjmując «małą» obję tość prę ta (V 0 = 0,180) cały pręt ulega odkształceniu niezależ nie od rozkładu masy w przedziałach [0,5 X] i (5 1 ;5 2]. Przy odpowiednim zwię kszeniu obję tośi c (K 0 = 0,300, rys. 6) pręt przy właś ciwym sposobie rozłoż enia masy nie traci statecznoś ci. Dwa minimalne odchylenia л * zaznaczono na rys. 6 punktami b i c. Punkt a odpowiada przypadkowi, który nie ma znaczenia z technicznego punktu widzenia, gdyż górna czę ść prę ta doznaje bardzo duż ych przemieszczeń (krzywa a rys. 7). Dalsze zwię kszanie obję tośi c poszerza obszar statecznego zachowania się prę ta, (rys. 8 i 9). Wyznaczono również zależ ność ką ta odchylenia koń ca prę ta <p k od stanu pierwotnego, dla rozpatrzonych wcześ niej przypadków. Otrzymaną zależ ność pokazano na rys. 10. Wydaje się, że przyję cie kryterium optymalnoś ci w postaci min <p k daje bardziej syntetyczny obraz form odkształcenia przy róż nym sposobie rozkładu masy w przedziałach [0, s t ] oraz (Si, s 2 ].
8 Y 0,4 V 0~ 0,180 3,3 0,2 A 1 0,1 \ i i \ i \ 0 0,2 0,4 0,6 \0,8 Rys. 5. Linie ugię cia prę ta przy oznaczonych na rys. 4 przez a, b, с wartoś ciach parametru Ó У 0,2 0,4 0,6 0,8 Rys. 6. Zależ ność odchylenia koń ca x k w funkcji ó przy K 0 = 0,300 Rys. 7. Linia ugię cia prę ta przy oznaczonych na rys. 6 przez a, b, c, d wartoś ciach parametru '5 0 Г 0,2 0,4 0,6 0,8 Rys. 8. Zależ ność odchylenia koń ca x k w funkcji <5 przy V 0 = 0,370 Rys. 9. Linie ugię cia prę ta dla dowolnie wybranych punktów a, b, с z rys. 8 [382]
9 OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO Rys. 10. Zależ ność ką ta odchylenia koń ca prę ta q> k 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 w funkcji д dla trzech róż nych wartoś ci V 0 3. Wpływ cię ż ar u własnego W dalszym cią gu rozpatrywać bę dziemy optymalne kształtowanie prę ta z uwzglę d nieniem jego cię ż u ar własnego. Wszystkie poprzednie założ enia pozostają w mocy, z tym, że w miejsce kryterium optymalnoś ci (1) przyjmiemy minimum ką ta odchylenia koń ca cp k. (24) mm cp k. Funkcjonał (7) przyjmie postać (25) sdzie Sl г (cp') / I 2 + (cł + c 2 ) cos cp C/.S+ j «2 o (У ) 2 +(c1+,c3)cos cp cis, Si S 2 = q,ds r ; c 3 = q ds v, (26) q, = \2y 2 0CL dla 0 ^ s ^.Vj, Eb q Eb S l < S ^ * 2 ' у oznacza cię żr awłaś ciwy., Po podstawieniu (26) do (25) otrzymamy z dokładnoś cią do stałego czynnika (27) E= f ~(v') 2 +(cc+c 2 j ds v с о м, \ds+ j J 2 ( 1 r gdzie + >2 (c 1+ c 3 j ds v I cos cp I ds, (28) c, = 12/ 3 Eb 2 y; c 3 = dc 2.
10 384 J. BŁACHUT Postę pując tak samo jak w czę śi cpierwszej otrzymujemy nastę pująą c postać równania funkcyjnego Bellmana: (29) а д *)= min ) +(Д 1 + с 3 а Д Л )с о 8у > к д +/,. 1 (у к _ 1 ) ; gdy 0 «с Л «S W, lub m i n (30) = y J {[y( У *~д *~' ) +(с 1 + С 2 /?Д )с о 5^]д +Л _ 1 (у «1)}, gdy 7V+ 1 ^ R M. Obliczenia prowadzono według schematu przedstawionego w czę śi c pierwszej dla parametrów zestawionych w tablicy 2. Tablica 2 Lp. i Rysunek 'i Si Cl 6 <p Л i ( : 1 11,12 0, , rl 1 K/7 0, , 12 0,5 0,5 0, ,05 3! 11,12 0,5 0,5 0, И 1 /7 0,05 i 4 ; п.» 0,5 0,5 0, ~ , ] ,5 0,5 0, Я 0, , 12 0,5 0,5 0, т Л 0,05 Rysunek 11 przedstawia zależ ność ką ta odchylenia koń ca q> k od ó dla róż nych, stałych wartoś ci obję tośi cv 0. Na rys. 12 pokazano linie ugię cia jakie otrzymuje się dla punktów a, b, c, d, e z rys. 11. Krzywa a odpowiada cią głemu rozkładowi masy (Ó = 1). Kolejne krzywe b, c, d, e odpowiadają pogrubianiu dolnej czę śi cprę ta (to jest przedziału [0, jj). Rys. 11. Wykres zależ nośi cką ta odchylenia koń ca Rys. 12. Wybrane linie ugię cia dla punktów a, b, prę ta qp k w funkcji S dla 6 róż nych wartoś ci V 0, c, d, e z rys. 11 przy uwzglę dnieniu cię ż ar u własnego prę ta
11 OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE PRĘ TA Ś CISKANEGO 385 Literatura cytowana w tekś cie 1. IO. M. П О Ч Т М А, Б Н. А. Б А Р А Н Е Н, КП О р и м е н е нм ие ет о д да и н а м и ч е с кп ор го ог р а м м и р о вк а ни ис ся л е д о в а н и бю о л ь ш ип хр о г и б со жв а т ы сх т е р ж н е Пй р, и к. лм е х,. 5, 3 (1969), Ю. М. П О Ч Т М А, Б Н. А. Б А Р А Н Е Н, КД О и н а м и ч е сп кр оо ег р а м м и р о и в ан не ил еи н е й нз ыа де а ч и с, т а т и к и т о н к и сх т е р ж н е Дй, А Н, 182, 5 (1968), Б. А. Б А Р А Н Е Н, К Ю О. М. П О Ч Т М А, НИ с с л е д о в а дн еиф е о р м а цу ип ир у г и мх е м б р а н,с т е с н ё он гн ры а х н и ч е н и я мм и е, т о д о дм и н а м и ч е с кп ор го ог р а м м и р о в ап н ри ия к,. л м а т. м е х,. 5 (1969), Б. А. Б А Р А Н Е Н, К Б О. К. Ж У Р А К О, В Л А. А. Ф и л и п, о Дв и н а м и ч е сп к ро ое г р а м м и р о в ад нв иу ме е р н ы х з а д а ч а тх е о р иу ип р у г о с т Пи р, и к. лм е х,. 7, 11 (1971), Е. ANGEL, R. BELLMAN, Dynamic programming and partial differential equations, NY M. MAKOWSKI, Optymalizacja belek na podłoż u sprę ż ystymjako problem teorii sterowania, piaca do torska, Kraków Ю. М. П О Ч Т М А, НД и н а м и ч е спк ро ое г р а м м и р о вв а зна ид еа ч а ох п т и м и з а цк ио ни с т р у к цп ио ид в е р ж с н н ы пх о л з у ч е с тс и о, в т е Ф и з к и Д о к л а д, ы16, 1 (1970), J'. BŁACHUT, Optymalne kształtowanie prę ta metodą programowania dynamicznego, MTiS, 1,15(1977) 9. W. FINDEISEN, J. SZYMANOWSKI, A. WIERZBICKI, Metody obliczeniowe optymalizacji, Warszawa T. KOZŁOWSKI, S. PIECHNIK, Z. STOJEK, Zastosowanie rachunku wariacyjnego do zagadnień mechani budowli, Warszawa Р е з ю ме О П Т И М А Л Ь Е Н ПО Р О Е К Т И Р О В Е А НС ИЖ И М А Е М О О ГС Т Е Р Ж Я Н П РИ Б О Л Ь Ш Х И П Р О Г И БХ А М Е Т О Д М О Д И Н А М И Ч Е С КО О Г П Р О Г Р А М М И Р О ВЯ А Н И Р а с с м а т р и вя а ео тп ст и м а л е ь н р о а с п р е д е ле е нм иа с ы с д ля д в ух у ч а с т в к о с т е р жя н р а в нй о д л и ы н п ри з а д а н м н оо б ъ е м. ес е ч е не ис т е р жя н п р я м о у г о л. ь Кн ор еи т е рм и ое п т и м а л ь ни о яс вт л я е т ся м и н и м уп е р е м е щ я е нк ио н а ц с т е р жя ни ли м и н и м уу г ла н а к л оа нк а с а т е л й ь нк оо си с т е р жя н в э т ой т о ч к. е С о с т о я е н ир а в н о в ея с ди ля п о с л е к р и т и чй е дс ке фо о р м аи ц ои п р е д е ло е мн е т о дм о д и н а м и ч е со к по рг о г р а м м и р оя в иа з н иу с л о вя и м и н и м а у м п о т е н ц и а лй ь эн но е р г. и ио п т и м а л е ь н о р а с п р е д е ле е мн аи с ы с н а й д ео нн а о с н о в а и н пи о л у ч е х н ык р и в х ы п р о г и. б а Summary OPTIMAL DESIGN OF A COMPRESSED ROD WITH LARGE DEFLECTIONS BY MEANS OF DYNAMIC PROGRAMMING In this paper the method of determining the optimal ratio of the rigidities of two parts of the rod is presented. The rectangular cross section is discussed. The flat tapered rod compressed by a constant axial force or by an axial force and own weight at a fixed volume was considered. The aims of this paper are to minimize the displacement of the free end (in the first case) or to minimize the angle of deflection at that point (in the second case). The post buckling equilibrium state has been found by minimizing the potential energy by means of the dynamic programming, Bellman's functional equation being used. The optimal mass diatribution is obtained by analyzing the deflection lines. POLITECHNIKA KRAKOWSKA Praca została złoż ona w Redakcji dnia 29 grudnia 1976 r. 7 Mechanika teoretyczna 3/77
OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M Z UWZGLĘ DNIENIEM OGRANICZEŃ NAPRĘ ŻŃ MACIEJ MAKOWSKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1.
M ECHAN IKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3, IS (1977) OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE BELKI NA PODŁOŻU SPRĘ Ż YSTY M Z UWZGLĘ DNIENIEM OGRANICZEŃ NAPRĘ ŻŃ E NORMALNYCH MACIEJ MAKOWSKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1. Wstęp
ECHANIKA METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
Z E S Z Y T Y NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ TADEUSZ BURCZYŃSKI METODA ELEMENTÓW DRZEGOWYCH W WTBRANTCH ZAGADNIENIACH ANALIZT I OPTYMALIZACJI OKŁADOW ODKSZTAŁCALNYCH ECHANIKA Z. 97 GLIWICE 1989 POLITECHNIKA
WYTRZYMAŁOŚĆ STALOWYCH PRĘ TÓW Z KARBEM PRZY ROZCIĄ W PODWYŻ SZONYCH TEMPERATURACH KAROL T U R S K I (WARSZAWA) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4. 15 (1977) WYTRZYMAŁOŚĆ STALOWYCH PRĘ TÓW Z KARBEM PRZY ROZCIĄ W PODWYŻ SZONYCH TEMPERATURACH GANIU KAROL T U R S K I (WARSZAWA) 1. Wstęp Teoretyczne rozwią zanie uzyskane
ANDRZEJ MŁOTKOWSKI (ŁÓDŹ)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, (1970) PRZYBLIŻ ONE OBLICZANIE PŁYTY KOŁOWEJ, UŻ EBROWANEJ JEDNOSTRONNIE, OBCIĄ Ż ONE J ANTYSYMETRYCZNIE ANDRZEJ MŁOTKOWSKI (ŁÓDŹ) Oznaczenia stale, a promień zewnę
WYZNACZANIE ZMIAN STAŁYCH SPRĘ Ż YSTOŚI CMATERIAŁU WYSTĘ PUJĄ CYC H GRUBOŚ CI MODELU GIPSOWEGO. JÓZEF W R A N i к (GLIWICE) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) WYZNACZANIE ZMIAN STAŁYCH SPRĘ Ż YSTOŚI CMATERIAŁU WYSTĘ PUJĄ CYC H GRUBOŚ CI MODELU GIPSOWEGO NA JÓZEF W R A N i к (GLIWICE) 1. Wstęp Wartoś ci naprę żń
CZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA, 7 (1969) SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA SPRĘ Ż YSTEG O KLINA I STOŻ KA ZBIGNIEW WESOŁOWSKI (WARSZAWA) W nieliniowej teorii sprę ż ystoś i znanych c jest dotychczas zaledwie
STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ PRACUJĄ CEJ W STANIE ZGIĘ CIOWYM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 14 (1976) STATYKA POWŁOKI WALCOWEJ ZAMKNIĘ TEJ PRACUJĄ CEJ W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK (OPOLE) 1. Wstęp Przedstawione w tym opracowaniu rozwią zanie, ilustrowane
NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANIE ZAGADNIENIA STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ PŁYTY PIERŚ CIENIOWEJ*' 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA, (9) NUMERYCZNE ROZWIĄ ZANIE ZAGADNIENIA STATECZNOŚ CI ORTOTROPOWEJ PŁYTY PIERŚ CIENIOWEJ*' ANDRZEJ STRZELCZYK, STANISŁAW WOJCIECH (BIELSKO BIAŁA). Wstęp Problem statecznoś
GRANICZNA MOC DWUFAZOWEGO TERMOSYFONU RUROWEGO ZE WZGLĘ DU NA KRYTERIUM ODRYWANIA KONDENSATU BOGUMIŁ BIENIASZ (RZESZÓW) Oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) GRANICZNA MOC DWUFAZOWEGO TERMOSYFONU RUROWEGO ZE WZGLĘ DU NA KRYTERIUM ODRYWANIA KONDENSATU BOGUMIŁ BIENIASZ (RZESZÓW) Oznaczenia A pole powierzchni poprzecznego
INWERSYJNA METODA BADANIA MODELI ELASTOOPTYCZNYCH Z WIĘ ZAMI SZTYWNYMI ROMAN DOROSZKIEWICZ, JERZY LIETZ, BOGDAN MICHALSKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 15 (1977) i INWERSYJNA METODA BADANIA MODELI ELASTOOPTYCZNYCH Z WIĘ ZAMI SZTYWNYMI ROMAN DOROSZKIEWICZ, JERZY LIETZ, BOGDAN MICHALSKI (WARSZAWA) W artykule tym przedstawimy
NUMERYCZNA ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Z NIESYMETRYCZNYM ROZSZERZENIEM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) NUMERYCZNA ANALIZA PRZEPŁYWU MHD W KANALE Z NIESYMETRYCZNYM ROZSZERZENIEM EDWARD WALICKI, JERZY SAWICKI 1. Wstęp Przepływy MHD w kanałach płaskich i okrą
CAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO ROZWIĄ ZUJĄ CEG O WALCOWE. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2,14 (1976) CAŁKA RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO ROZWIĄ ZUJĄ CEG O POWŁOKI WALCOWE STANISŁAW BIELAK (GLIWICE) 1 Wstęp W pracach autora [1, 2, 3, 4] rozwią zanie
WPŁYW WARUNKÓW ZRZUTU NA RUCH ZASOBNIKA W POBLIŻU NOSICIELA I PARAMETRY UPADKU. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4 22 (1984) WPŁYW WARUNKÓW ZRZUTU NA RUCH ZASOBNIKA W POBLIŻU NOSICIELA I PARAMETRY UPADKU JERZY MARYNIAK KAZIMIERZ MICHALEWICZ ZYGMUNT WINCZURA Politechnika Warszawska
WPŁYW CZĘ STOTLIWOŚ I CWIBRACJI NA PROCES WIBROPEŁZANIA 1 ) ANATOLIUSZ JAKOWLUK (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 4, 7 (1969) WPŁYW CZĘ STOTLIWOŚ I CWIBRACJI NA PROCES WIBROPEŁZANIA 1 ) ANATOLIUSZ JAKOWLUK (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp W pracy [1] autor przedstawił wyniki badań nad wpływem
STATECZNOŚĆ POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ Z OBWODOWYM ZAŁOMEM PRZY Ś CISKANIU OSIOWYM. 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4. 15 (1977) STATECZNOŚĆ POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ Z OBWODOWYM ZAŁOMEM PRZY Ś CISKANIU OSIOWYM STANISŁAW ŁUKASIEWICZ, JERZY TUMIŁOWICZ (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie Celem pracy
ELEKTRYCZNY UKŁAD ANALOGOWY DLA GEOMETRYCZNIE NIELINIOWYCH ZAGADNIEŃ PŁYT O DOWOLNEJ GEOMETRII MIECZYSŁAW JANOWSKI, HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW)
I MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) ELEKTRYCZNY UKŁAD ANALOGOWY DLA GEOMETRYCZNIE NIELINIOWYCH ZAGADNIEŃ PŁYT O DOWOLNEJ GEOMETRII MIECZYSŁAW JANOWSKI, HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW) Modelowanie
IDEALNIE SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA O PROFILU HIPERBOLICZNYM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) IDEALNIE SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZN A TARCZA O PROFILU HIPERBOLICZNYM KRZYSZTOF SZUWALSKI (KRAKÓW) 1. Wstęp Ogólne zagadnienie teorii plastycznoś ci polega na
DOŚ WIADCZALNA ANALIZA EFEKTU PAMIĘ CI MATERIAŁU PODDANEGO PLASTYCZNEMU ODKSZTAŁCENIU*) JÓZEF MlASTKOWSKI (WARSZAWA) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 11 (1973) DOŚ WIADCZALNA ANALIZA EFEKTU PAMIĘ CI MATERIAŁU PODDANEGO PLASTYCZNEMU ODKSZTAŁCENIU*) JÓZEF MlASTKOWSKI (WARSZAWA) 1. Wstęp Rozwój techniki, zwłaszcza w
UGIĘ CIE OSIOWO SYMETRYCZNE PŁYTY REISSNERA O ZMIENNEJ GRUBOŚ CI ANDRZEJ G A W Ę C KI (POZNAŃ) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 11 (1973) UGIĘ CIE OSIOWO SYMETRYCZNE PŁYTY REISSNERA O ZMIENNEJ GRUBOŚ CI ANDRZEJ G A W Ę C KI (POZNAŃ) 1. Wstęp Celem niniejszej pracy jest wyprowadzenie równań podstawowych
OBSZAR KONTAKTU SZTYWNEJ KULI Z PÓŁPRZESTRZENIĄ LEPKOSPRĘ Ż YST Ą JADWIGA HALAUNBRENNER I BRONISŁAW LECHOWICZ (KRAKÓW) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 7 (1969) OBSZAR KONTAKTU SZTYWNEJ KULI Z PÓŁPRZESTRZENIĄ LEPKOSPRĘ Ż YST Ą JADWIGA HALAUNBRENNER I BRONISŁAW LECHOWICZ (KRAKÓW) 1. Wprowadzenie Badaniem narastania
с Ь аё ффсе о оýои р а п
гат т ТО Л Ш Л ПЮ ОВ О С тем к лк е еп е р пу Н ОЬ оппу оь отчо пущ п л е по у е о оппу К Т ццв Ф щцшчьц ц Ро ф вф ц уш Н е о е ф ч лп е ю Н З е оёе ю п ч р по п еш ш Ф р НчЬе ро о у о ш ц оь оё рц ц цр
OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI DYNAMICZNEJ KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J ZA POMOCĄ METODY SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH* > 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 15 (1977) OBLICZANIE CHARAKTERYSTYKI DYNAMICZNEJ KONSTRUKCJI PŁYTOWO SPRĘ Ż YNOWE J ZA POMOCĄ METODY SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH* > JERZY STELMARCZYK (ŁÓDŹ) 1.
O SFORMUŁOWANIU I POPRAWNOŚ CI PEWNEJ KLASY ZADAŃ Z NIELINIOWEJ DYNAMIKI LIN ROZCIĄ GLIWYCH ANDRZEJ BLINOWSKI (WARSZAWA) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 15 (1977) O SFORMUŁOWANIU I POPRAWNOŚ CI PEWNEJ KLASY ZADAŃ Z NIELINIOWEJ DYNAMIKI LIN ROZCIĄ GLIWYCH ANDRZEJ BLINOWSKI (WARSZAWA) 1. Wstęp i W pracy [1] autor niniejszej
JERZY MARYNIAK, WACŁAW MIERZEJEWSKI, JÓZEF KRUTUL. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 11 (1973) DRGANIA ŁOPAT Ś MIGŁA* JERZY MARYNIAK, WACŁAW MIERZEJEWSKI, JÓZEF KRUTUL (WARSZAWA) 1. Wstęp Na przykładzie łopaty ś migła ogonowego ś migłowca (rys. 1) przedstawiono
ZDERZENIE W UKŁADZIE O WIELU STOPNIACH. 1. Wstęp
MEC;HAN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2/3, 21 (1983) ZDERZENIE W UKŁADZIE O WIELU STOPNIACH SWOBODY WIESŁAW G R Z E S I K I E W I C Z Politechnika Warszawska ANDRZEJ W А К U L I С Z Instytut Matematyczny
ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ I C DRGAŃ WŁASNYCH I AMPLITUD BOHDAN KOWALCZYK, TADEUSZ RATAJCZAK (GDAŃ SK) 1. Uwagi ogólne
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2 14 (197Й ) ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ I C DRGAŃ WŁASNYCH I AMPLITUD UKŁADU O SKOŃ CZONEJ LICZBIE STOPNI SWOBODY BOHDAN KOWALCZYK TADEUSZ RATAJCZAK (GDAŃ
NIEJEDNORODNOŚĆ PLASTYCZNA STOPU PA2 W PROCESIE. 1, Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) NIEJEDNORODNOŚĆ PLASTYCZNA STOPU PA2 W PROCESIE WYCISKANIA JAN PIWNIK (BIAŁYSTOK) 1, Wprowadzenie Rozwój zaawansowanych metod obliczeniowych procesów obróbki
ZREDUKOWANE LINIOWE RÓWNANIA POWŁOK O WOLNO ZMIENNYCH KRZYWIZNACH. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) ZREDUKOWANE LINIOWE RÓWNANIA POWŁOK O WOLNO ZMIENNYCH KRZYWIZNACH ZENON RYCHTER (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp Zginanie sprę ż ystych, izotropowych powłok o małej
NUMERYCZNE OBLICZANIE KRZYWOLINIOWYCH Ś CIEŻ K E RÓWNOWAGI DLA JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW SPRĘ Ż YSTYC H
MEGHAN IK Л TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 2/3, 21 (1983) NUMERYCZNE OBLICZANIE KRZYWOLINIOWYCH Ś CIEŻ K E RÓWNOWAGI DLA JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW SPRĘ Ż YSTYC H ZYGMUNT K A S P E R S K I WSI Opole W pracy podaje
OPTYMALIZACJA PARAMETRYCZNA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH O NIECIĄ GŁYCH CHARAKTERYSTYKACH. 1. Wstęp
MECHANIК Л TEORETYCZNA I STOSOWANA 2/3, 21 (1983) OPTYMALIZACJA PARAMETRYCZNA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH O NIECIĄ GŁYCH CHARAKTERYSTYKACH JERZY Ł U С Z К O Politechnika Krakowska 1. Wstęp Zagadnienie doboru
NOŚ NOŚ Ć GRANICZNA ROZCIĄ GANYCH PRĘ TÓW Z KARBAMI KĄ TOWYMI O DOWOLNYCH WYMIARACH CZĘ Ś CI NAD KARBAMI. 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 7 (1969) NOŚ NOŚ Ć GRANICZNA ROZCIĄ GANYCH PRĘ TÓW Z KARBAMI KĄ TOWYMI O DOWOLNYCH WYMIARACH CZĘ Ś CI NAD KARBAMI JÓZEF MlASTKOWSKI (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie Nagłe
SPRAWOZDANIE Z DZIAŁALNOŚ CI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MECHANIKI TEORETYCZNEJ I STOSOWANEJ ZA I KWARTAŁ 1976 ROKU
B I U L E T Y N I N F O R M A C Y J N Y SPRAWOZDANIE Z DZIAŁALNOŚ CI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MECHANIKI TEORETYCZNEJ 1. Zebrania naukowe I STOSOWANEJ ZA I KWARTAŁ 1976 ROKU W okresie sprawozdawczym odbyło
JERZY MARYNIAK, MARWAN LOSTAN (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 8 (1970) WPŁYW ODKSZTAŁCALNOŚ CI GIĘ TNEJ SKRZYDŁA NA STATECZNOŚĆ PODŁUŻ NĄ SZYBOWCA JERZY MARYNIAK, MARWAN LOSTAN (WARSZAWA) 1. Wstęp Przedmiotem niniejszej pracy
MACIERZOWY ZAPIS NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RUCHU GENEROWANYCH FORMALIZMEM LAGRANGE'A ZDOBYSŁAW G O R A J (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) MACIERZOWY ZAPIS NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RUCHU GENEROWANYCH FORMALIZMEM LAGRANGE'A ZDOBYSŁAW G O R A J (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie W wielu zagadnieniach mechaniki
STAN SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZNY I PEŁZANIE GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ POWŁOKI STOŻ KOWEJ HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW) 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA I, 7 (1969) STAN SPRĘ Ż YSTO PLASTYCZNY I PEŁZANIE GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ POWŁOKI STOŻ KOWEJ HENRYK К О P E С К I (RZESZÓW) 1. Wstę p Reologiczne zagadnienia geometrycznie
0 WYZNACZANIU NAPRĘ ŻŃ ECIEPLNYCH WYWOŁANYCH RUCHOMYMI OBCIĄ TERMICZNYMI. Oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 15 (1977) 0 WYZNACZANIU NAPRĘ ŻŃ ECIEPLNYCH WYWOŁANYCH RUCHOMYMI OBCIĄ TERMICZNYMI Ż ENIAM I JÓZEF KUBIK (POZNAŃ) Oznaczenia a, współczynnik liniowej rozszerzalnoś
ANALIZA OBROTU POWIERZCHNI PŁYNIĘ CIA Z UWZGLĘ DNIENIEM PAMIĘ CI MATERIAŁU. 1. Wstęp
MECHANIK A TEORETYCZNA t STOSOWANA 2/3, 21 (1983) ANALIZA OBROTU POWIERZCHNI PŁYNIĘ CIA Z UWZGLĘ DNIENIEM PAMIĘ CI MATERIAŁU HENRYK S К R О С К I Uniwersytet Warszawski Filia w Białymstoku 1. Wstęp Materiały
па ре по па па Ьо е Те
ц с р г р су Ё Д чсу ю г ц ц р ус ф р с у г с рр й Ы Р с р с ц ус М т ч с Ф Сру ф Ьу с Ы Ьу р у рь м Д ц с ю ю г Ы г ч с рр р Н р у С с р ч Ф р м р уш с К ц г В з зз с у Г с у с у Д Ы ус О Ьу р ус А Ь
IN ŻYNIE R IA S R O D O W IS K A
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ JANUARY BIEŃ KONWENCJONALNE I NIEKONWENCJONALNE PRZYGOTOWANIE OSADÓW ŚCIEKOWYCH DO ODWADNIANIA IN ŻYNIE R IA S R O D O W IS K A Z. 27 A GLIWICE 1986 POLITECHNIKA ŚLĄSKA
ZAŃ KINEMATYCZNIE DOPUSZCZALNYCH DLA ZAGADNIENIA NAPORU Ś CIAN O RÓŻ NYCH KSZTAŁTACH* WiESLAw\ TRĄ MPCZYŃ SK I. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA I, 15 (1977) ANALIZA ROZWIĄ ZAŃ KINEMATYCZNIE DOPUSZCZALNYCH DLA ZAGADNIENIA NAPORU Ś CIAN O RÓŻ NYCH KSZTAŁTACH* WiESLAw\ TRĄ MPCZYŃ SK I (WARSZAWA) 1. Wstęp Wyraź ny
ŁOŻ YSKA WIEŃ COWEGO TERESA GIBCZYŃ SKA, MICHAŁ Ż YCZKOWSKI (KRAKÓW) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 7 (1969) RÓWNANIA STATYKI DWURZĘ ŁOŻ YSKA WIEŃ COWEGO DOWEGO KULKOWEGO TERESA GIBCZYŃ SKA, MICHAŁ Ż YCZKOWSKI (KRAKÓW) 1. Wstęp Konstrukcja łoż ysk wień cowych znacznie
NIELINIOWE DRGANIA ELASTYCZNIE POSADOWIONYCH SILNIKÓW TŁOKOWYCH PRZY SZEROKOPASMOWYCH WYMUSZENIACH STOCHASTYCZNYCH JANUSZ K O L E N D A (GDAŃ SK)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 14 (1976) NIELINIOWE DRGANIA ELASTYCZNIE POSADOWIONYCH SILNIKÓW TŁOKOWYCH PRZY SZEROKOPASMOWYCH WYMUSZENIACH STOCHASTYCZNYCH JANUSZ K O L E N D A (GDAŃ SK) 1. Wstęp
PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ DYSKRETYZOWANYCH CZESŁAW WOŹ NIAK (WARSZAWA) 1. Ciała dyskretyzowane
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ DYSKRETYZOWANYCH CZESŁAW WOŹ NIAK (WARSZAWA) 1. Ciała dyskretyzowane Spotykane w przyrodzie odksztalcalne ciała stałe opisujemy w
SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA WIOTKICH OBROTOWO SYMETRYCZNYCH POWŁOK PRZY UWZGLĘ DNIENIU KINEMATYCZNEGO WZMOCNIENIA MATERIAŁU JÓZEF W I L K (KRAKÓW)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) SKOŃ CZONE ODKSZTAŁCENIA WIOTKICH OBROTOWO SYMETRYCZNYCH POWŁOK PRZY UWZGLĘ DNIENIU KINEMATYCZNEGO WZMOCNIENIA MATERIAŁU JÓZEF W I L K (KRAKÓW) 1. Założ enia
WPŁYW SZCZELINY PROSTOPADŁEJ DO BRZEGU NA ROZKŁAD NACISKÓW I STAN NAPRĘ Ż Ń E W KONTAKCIE. Wstęp
MECHAN1 К A TEORETYCZNA I STOSOWANA 2/3, 21 (1983) WPŁYW SZCZELINY PROSTOPADŁEJ DO BRZEGU NA ROZKŁAD NACISKÓW I STAN NAPRĘ Ż Ń E W KONTAKCIE RYSZARD W Ó J C I K Politechnika Warszawska \ JACEK S T U P
WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW GŁÓWNYCH NIELINIOWYCH UKŁADÓW DRGAJĄ CYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) WSPÓŁRZĘ DNE NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW GŁÓWNYCH NIELINIOWYCH UKŁADÓW DRGAJĄ CYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY WANDA SZEMPLIŃ SKA STUPNICKA (WARSZAWA) W
1. Organizowanie regularnych zebrań naukowych w Oddziałach PTMTS
B I U L E T Y N I N F O R M A C Y J N Y S P R A W O Z D A N I E Z DZIAŁALNOŚ CI POLSKIEGO TOWARZYSTWA TEORETYCZNEJ I STOSOWANEJ ZA ROK 1968 MECHANIKI I. ROZWIJANIE DZIAŁALNOŚ CI W DZIEDZINIE MECHANIKI
KRZYSZTOF G R Y s A (POZNAŃ)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 15 (1977) O SUMOWANIU PEWNYCH SZEREGÓW FOURIERA BESSELA KRZYSZTOF G R Y s A (POZNAŃ) Przy rozważ aniu zagadnień termosprę ż ystoś, cidotyczą cych wyznaczania pól mechanicznych
PEWIEN SPOSÓB ROZWIĄ ZANIA STATYCZNYCH ZAGADNIEŃ LINIOWEJ NIESYMETRYCZNEJ SPRĘ Ż YSTOŚI JANUSZ D Y S Z L E W ICZ (WARSZAWA) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 11 (1973) PEWIEN SPOSÓB ROZWIĄ ZANIA STATYCZNYCH ZAGADNIEŃ LINIOWEJ NIESYMETRYCZNEJ SPRĘ Ż YSTOŚI C JANUSZ D Y S Z L E W ICZ (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie W liniowym oś
MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU ZGINANEJ PŁYTY
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 11 (1973) MACIERZ SZTYWNOŚ CI ELEMENTU ZGINANEJ PŁYTY TRÓJWARSTWOWEJ HENRYK MIKOŁAJCZAK, BOGDAN W o S I E W I С Z (POZNAŃ) 1. Uwagi wstę pne Płyty trójwarstwowe, z
BADANIE TEORETYCZNE WŁASNOŚ CI DYNAMICZNYCH LOTU OBIEKTÓW ZRZUCANYCH Z SAMOLOTU
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 15 (1977) BADANIE TEORETYCZNE WŁASNOŚ CI DYNAMICZNYCH LOTU OBIEKTÓW ZRZUCANYCH Z SAMOLOTU JERZY MARYNIAK, KAZIMIERZ MICHALEWICZ, ZYGMUNT W I N С Z U R A (WARSZAWA)
OPTYiMALNE KSZTAŁTOWANIE NIERÓWNOMIERNIE NAGRZANYCH TARCZ WIRUJĄ Z UWAGI NA NOŚ NOŚĆ SPRĘ Ż YST Ą I GRANICZNĄ
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) OPTYiMALNE KSZTAŁTOWANIE NIERÓWNOMIERNIE NAGRZANYCH TARCZ WIRUJĄ Z UWAGI NA NOŚ NOŚĆ SPRĘ Ż YST Ą I GRANICZNĄ CYCH TADEUSZ LISZKA, MICHAŁ Ż Y C Z K O W S
STATECZNOŚĆ BOCZNA SAMOLOTU I DRGANIA LOTEK Z UWZGLĘ DNIENIEM ODKSZTAŁCALNOŚ CI GIĘ TNEJ SKRZYDEŁ I SPRĘ Ż YSTOŚI CUKŁADU STEROWANIA
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) STATECZNOŚĆ BOCZNA SAMOLOTU I DRGANIA LOTEK Z UWZGLĘ DNIENIEM ODKSZTAŁCALNOŚ CI GIĘ TNEJ SKRZYDEŁ I SPRĘ Ż YSTOŚI CUKŁADU STEROWANIA JERZY M A R Y N I A K,
Znaki alfabetu białoruskiego Znaki alfabetu polskiego
ROZPORZĄDZENIE MINISTRA SPRAW WEWNĘTRZNYCH I ADMINISTRACJI z dnia 30 maja 2005 r. w sprawie sposobu transliteracji imion i nazwisk osób należących do mniejszości narodowych i etnicznych zapisanych w alfabecie
W pracy rozpatrzymy osobliwość naprę żń e siłowych i naprę żń e momentowych w półprzestrzeni. ): Xi ^ 0, co < x 2
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 11 (1973) OSOBLIWOŚĆ NAPRĘ ŻŃ E W LINIOWYM OŚ RODKU MIKROPOLARNYM SPOWODOWANA NIECIĄ GŁYMI OBCIĄ Ż ENIAM I (II) JANUSZ DYSZLEWICZ, STANISŁAW MATYSIAK (WARSZAWA) 1.
Fonetyka kaszubska na tle fonetyki słowiańskiej
Fonetyka kaszubska na tle fonetyki słowiańskiej (szkic i podpowiedzi dla nauczycieli) prof. UG dr hab. Dušan-Vladislav Paždjerski Instytut Slawistyki Uniwersytetu Gdańskiego Gdańsk, 21 marca 2016 r. Fonetyka
WYZNACZENIE STANU NAPRĘ Ż ENI A W OSIOWO SYMETRYCZNYM POŁĄ CZENIU KLEJONYM OBCIĄ Ż ONY M MOMENTEM SKRĘ CAJĄ CY M
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 15 (1977) WYZNACZENIE STANU NAPRĘ Ż ENI A W OSIOWO SYMETRYCZNYM POŁĄ CZENIU KLEJONYM OBCIĄ Ż ONY M MOMENTEM SKRĘ CAJĄ CY M KAROL GRUDZIŃ SKI, TADEUSZ BURDA, LEON Ł
DYNAMIKA PŁASKIEJ WIĄ ZKI PRZEWODÓW PRZY PRĄ DACH ZWARCIOWYCH MARIA RADWAŃ SKA, ZENON WASZCZYSZYN (KRAKÓW) 1. Uwagi wstę pne, założ enia i oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) DYNAMIKA PŁASKIEJ WIĄ ZKI PRZEWODÓW PRZY PRĄ DACH ZWARCIOWYCH MARIA RADWAŃ SKA, ZENON WASZCZYSZYN (KRAKÓW) 1. Uwagi wstę pne, założ enia i oznaczenia Przy
DRGANIA GRUBOŚ CIENNEJ RURY PRZY WEWNĘ TRZNYM I ZEWNĘ TRZNYM PRZEPŁYWIE CIECZY (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 7 (1969) DRGANIA GRUBOŚ CIENNEJ RURY PRZY WEWNĘ TRZNYM I ZEWNĘ TRZNYM PRZEPŁYWIE CIECZY JACEK SAMBORSKI (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia a,b e Qw, Qz uw, uz Cw, Cz
HYDROMAGNETYCZNY PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ W SZCZELINIE MIĘ DZY WIRUJĄ CYMI POWIERZCHNIAMI OBROTOWYMI EDWARD WALICKI (BYDGOSZCZ) Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 14 (1976) HYDROMAGNETYCZNY PRZEPŁYW CIECZY LEPKIEJ W SZCZELINIE MIĘ DZY WIRUJĄ CYMI POWIERZCHNIAMI OBROTOWYMI EDWARD WALICKI (BYDGOSZCZ) Wstęp Laminarny przepływ cieczy
LESZEK JARECKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 14 (1976) TERMODYNAMIKA DEFORMACJI KRYSTALITÓW POLIMERU ZANURZONYCH W NAPRĘ Ż ONYM OŚ RODKU AMORFICZNYM LESZEK JARECKI (WARSZAWA) Szeroko stosowane kalorymetryczne,
O OPERATOROWYM PODEJŚ CIU DO FORMUŁOWANIA ZASAD WARIACYJNYCH DLA OŚ RODKÓW PLASTYCZNYCH. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4 14 (1976) O OPERATOROWYM PODEJŚ CIU DO FORMUŁOWANIA ZASAD WARIACYJNYCH DLA OŚ RODKÓW PLASTYCZNYCH JÓZEF JOACHIM TELEGA (RADOM) 1 Wstęp W ostatnich latach ukazały się
NA POZIOMIE B1 TEST PRZYK 0 9ADOWY. Za ca 0 0y egzamin mo 0 4esz uzyska 0 4 120 punkt w
1 3EGZAMIN CERTYFIKACYJNY Z J 0 0ZYKA HINDI NA POZIOMIE B1 TEST PRZYK 0 9ADOWY Za ca 0 0y egzamin mo 0 4esz uzyska 0 4 120 punkt w Egzamin trwa 120 minut Do wszystkich cz 0 1 0 2ci egzaminu do 0 0 0 2czone
WPŁYW POZIOMU NAPRĘ Ż ENI A I WSPÓŁCZYNNIKA NAPRĘ Ż ENI A NA PROCES WIBROPEŁZ ANI A') 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 7 (1969) WPŁYW POZIOMU NAPRĘ Ż ENI A I WSPÓŁCZYNNIKA NAPRĘ Ż ENI A NA PROCES WIBROPEŁZ ANI A') AMPLITUDY ANATOLIUSZ JAKOWLUK (BIAŁYSTOK) 1. Wstęp Przedstawiana praca
WPŁYW ZASTOSOWANIA KONDENSACJI KROPLOWEJ W POJEDYNCZYM DWUFAZOWYM NA WSPÓŁCZYNNIK PRZENIKANIA CIEPŁA PRZEZ Ś CIANKĘ SKRAPLACZA. 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) WPŁYW ZASTOSOWANIA KONDENSACJI KROPLOWEJ W POJEDYNCZYM DWUFAZOWYM NA WSPÓŁCZYNNIK PRZENIKANIA CIEPŁA PRZEZ Ś CIANKĘ SKRAPLACZA BOGUMIŁ BIENIASZ (RZESZÓW)
UPROSZCZONA ANALIZA STATECZNOŚ CI BOCZNEJ SZYBOWCA HOLOWANEGO NA LINIE JERZY M A R Y N I А К (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 7 (1969) UPROSZCZONA ANALIZA STATECZNOŚ CI BOCZNEJ SZYBOWCA HOLOWANEGO NA LINIE JERZY M A R Y N I А К (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia 6, [m] rozpię toś ć skrzydeł
OPTYMALIZACJA POŁOŻ ENIA PODPÓR BELKI SZTYWNO- PLASTYCZNEJ OBCIĄ Ż ONEJ IMPULSEM PRĘ DKOŚ CI. 1, Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, lfi (978) OPTYMALIZACJA POŁOŻ ENIA PODPÓR BELKI SZTYWNO- PLASTYCZNEJ OBCIĄ Ż ONEJ IMPULSEM PRĘ DKOŚ CI JAAN LELLEP (WARSZAWA), Wstę p Optymalizacji poł oż enia podpory
ZAMKNIĘ TE ROZWIĄ ZANIE PROBLEMU PROPAGACJI NIESTACJONARNEJ PŁASKIEJ FALI UDERZENIOWEJ W SUCHYM GRUNCIE PIASZCZYSTYM. 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 4, 22 (1984) ZAMKNIĘ TE ROZWIĄ ZANIE PROBLEMU PROPAGACJI NIESTACJONARNEJ PŁASKIEJ FALI UDERZENIOWEJ W SUCHYM GRUNCIE PIASZCZYSTYM EDWARD WŁODARCZYK (WARSZAWA) Wojskowa
PROGRAM ZAJĘĆ POZALEKCYJNYCH
PROGRAM ZAJĘĆ POZALEKCYJNYCH PN: Zajęcia TEATR ROSYJSKI realizowany w roku szkolnym 2017/2018 w Szkole Podstawowej nr 43 im. Simony Kossak w Białymstoku w ramach projektu współfinansowanego z Europejskiego
polska ludowa tom Vll PAŃSTWOWE WYDAWNICTWO NAUKOWE
polska ludowa PAŃSTWOWE WYDAWNICTWO NAUKOWE tom Vll INSTYTUT HISTORII POLSKIEJ AKADEMII NAUK POLSKA LUDOWA MATERIAŁY I STU D IA TOM VII PA Ń STW O W E W YDAW NICTW O NAUKOW E W ARSZAW A 1968 1 K O M IT
PŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 10 (1972) PŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI KAROL H. BOJDA (GLIWICE) W pracy wykorzystano wł asnoś ci operacji T a [1] do rozwią zania równania
O PEWNEJ METODZIE WYZNACZANIA KRYTERIUM ZNISZCZENIA POLIMERÓW. 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 7 (1969) O PEWNEJ METODZIE WYZNACZANIA KRYTERIUM ZNISZCZENIA POLIMERÓW ANDRZEJ DRESCHER (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie Stosowane coraz szerzej w konstrukcjach inż ynierskich
DYNAMICZNE BADANIA WŁASNOŚ CI MECHANICZNYCH POLIAMIDU TARLON X A. 1. Wstę p
MECHAN IKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 7 (1969) DYNAMICZNE BADANIA WŁASNOŚ CI MECHANICZNYCH POLIAMIDU TARLON X A STANISŁAW MAZURKIEWICZ (KRAKÓW) 1. Wstę p Własnoś ci mechaniczne tworzyw sztucznych zależ
Ш Ш *Ш &>\vdi;fclbi>!«> У TEORETYCZNA ii.stosowana fiuncq i 4, 15 (1977)
8 lc Ш Ш *Ш &>\vdi;fclbi>!«> У TEORETYCZNA ii.stosowana fiuncq i 4, 15 (1977) ki invnkiis unolbiiło t: L*1 oś. и к п э ип и bo vi'jb:>. :.'.. k'isi >q i /j:;"mij',!rio>!! i TENSOR TARCIA COULOMBA*) ALFRED
Wyświetlacze tekstowe jednokolorowe
Wyświetlacze tekstowe jednokolorowe Wyświetlacz tekstowy służy do wyświetlania tekstu informacyjno-reklamowego w trybie jednokolorowym (monochromatycznym) z wykorzystaniem różnorodnych efektów graficznych.
WYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA
MECHANIKA. TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 2 (1964) WYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA WOJCIECH SZCZEPIKJSKI (WARSZAWA) Dla peł nego wyznaczenia na drodze doś
~г в +t *( ' (p ' w^'
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 2/3, 21 (1983) EQUATIONS OF THE SPHERICAL SHELL WITH AXIALLY STOCHASTIC IMPERFECTIONS SYMMETRIC, GRAŻ YNA B R Y C Politechnika Warszawska 1. Introduction Realization of
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
NIEKTÓRE PROBLEMY MODELOWANIA UKŁADÓW MECHANICZNYCH AGNIESZKA M U S Z Y Ń S KA (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 14 (1976) NIEKTÓRE PROBLEMY MODELOWANIA UKŁADÓW MECHANICZNYCH AGNIESZKA M U S Z Y Ń S KA (WARSZAWA) W dobie dokonują cej się rewolucji naukowo technicznej niezwykle
JAN GRABACKI, GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1 U (1973) PRZYKŁADY ULTRADYSTRYBUCYJNYCH ROZWIĄ ZAŃ PASMA PŁYTOWEGO JAN GRABACKI GWIDON SZEFER (KRAKÓW) 1. Wstęp W pracy przedstawione bę dą rozwią zania wybranych zadań
SYSTEM PRZERWA Ń MCS 51
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY Zakład Cybernetyki i Elektroniki LABORATORIUM TECHNIKA MIKROPROCESOROWA SYSTEM PRZERWA Ń MCS 51 Opracował: mgr inŝ. Andrzej Biedka Uwolnienie
- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy
ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VI (1961) F. Barański (Kraków) O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy 1. F. Leja w pracy zamieszczonej
ROCZNIKI BIESZCZADZKIE 22 (2014) str wskazówki dla autorów
Wskazówki dla autorów 409 ROCZNIKI BIESZCZADZKIE 22 (2014) str. 409-414 Roczniki Bieszczadzkie wskazówki dla autorów Roczniki Bieszczadzkie wydawnictwo Bieszczadzkiego Parku Narodowego utworzono dla publikowania
WYBOCZENIE UDERZENIOWE PRĘ TA O DUŻ EJ SMUKŁOŚ CI RYSZARD G R Y В O Ś (GLIWICE) 1. Sformułowanie problemu i cel pracy
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) WYBOCZENIE UDERZENIOWE PRĘ TA O DUŻ EJ SMUKŁOŚ CI RYSZARD G R Y В O Ś (GLIWICE) 1. Sformułowanie problemu i cel pracy Utratę statecznoś ci prę ta, wywołaną
DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU Z UWZGLĘ DNIENIEM JEGO SZTYWNOŚ CI NA ZGINANIE JÓZEF NIZIOŁ, ALICJA PIENIĄ Ż EK (KRAKÓW) 1.
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 14 (1976) DRGANIA CIĘ GNA W PŁASZCZYŹ NIE ZWISU Z UWZGLĘ DNIENIEM JEGO SZTYWNOŚ CI NA ZGINANIE JÓZEF NIZIOŁ, ALICJA PIENIĄ Ż EK (KRAKÓW) 1. Wstęp Zagadnienia dynamiki
Oferta ważna od r.
Oferta ważna od 01.11.2016r. Wyświetlacze tekstowe 15-kolorowe Wyświetlacz tekstowy służy do wyświetlania tekstu informacyjno-reklamowego w 15 wyrazistych kolorach z wykorzystaniem różnorodnych efektów
11. 11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI
11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 1 11. 11. OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI 11.1. Wprowadzenie 1. Optymalizacja potocznie i matematycznie 2. Przykład 3. Kryterium optymalizacji 4. Ograniczenia w zadaniach optymalizacji
- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Wyświetlacze tekstowe jednokolorowe SERIA B
WYŚWIETLACZE TEKSTOWE JEDNOKOLOROWE HERMETYCZNE Wyświetlacze tekstowe jednokolorowe SERIA B Wyświetlacz tekstowy służy do wyświetlania tekstu informacyjno-reklamowego w trybie jednokolorowym (monochromatycznym)
ZASTOSOWANIE ELASTOOPTYKI DO KSZTAŁTOWANIA GŁOWICY ZAPORY FILAROWEJ*) ROMAN S. D O R O S Z K I E W I C Z, JERZY L I E T Z, BOGDAN M I C H A L S K I
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 11 (1973) ZASTOSOWANIE ELASTOOPTYKI DO KSZTAŁTOWANIA GŁOWICY ZAPORY FILAROWEJ*) ROMAN S. D O R O S Z K I E W I C Z, JERZY L I E T Z, BOGDAN M I C H A L S K I (WARSZAWA)
przyrostem naprę ż eń, а А ц и stanowi macierz funkcji materiałowych, którą wyznacza się doś wiadczalnie, przy czym
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 14 (1976) I O OPISIE FIZYCZNIE NIELINIOWEJ SPRĘ Ż YSTOŚI CMATERIAŁÓW SYPKICH TOMASZ H U E C K E L (WARSZAWA) 1 Wstęp Materiały sypkie wykazują cechy sprę ż yst e i plastyczne
WYŚWIETLACZE TEKSTOWE 15 KOLOROWE
$ WYŚWIETLACZE TEKSTOWE 15 KOLOROWE OBSŁUGA ; W STANDARDZIE KLAWIATURA USB - PRZEWODOWO OPCJA PŁATNA - KLAWIATURA BEZPRZEWODOWA Wyświetlacze tekstowe 15-kolorowe Wyświetlacz tekstowy służy do wyświetlania
Systemy liczbowe Plan zaję ć
Systemy liczbowe Systemy liczbowe addytywne (niepozycyjne) pozycyjne Konwersja konwersja na system dziesię tny (algorytm Hornera) konwersja z systemu dziesię tnego konwersje: dwójkowo-ósemkowa, ósemkowa,
ci trwałej modułu steruj cego robota. Po wł niami i programami. W czasie działania wykorzystywane w czasie działania programu: wy robota (poło
ci trwałej modułu steruj cego robota. Po wł niami i programami. W czasie działania wykorzystywane w czasie działania programu: wy robota (poło W systemie AS robot jest sterowany i obsługiwany w trznych
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
ANALIZA JEDNOWYMIAROWYCH FAL UDERZENIOWYCH I PRZYSPIESZENIA. WITOLD KOSIŃ SKI (WARSZAWA) 1. Wstęp
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 14 (1976) ANALIZA JEDNOWYMIAROWYCH FAL UDERZENIOWYCH I PRZYSPIESZENIA W OŚ RODKU NIESPRĘ Ż YSTY M WITOLD KOSIŃ SKI (WARSZAWA) 1. Wstęp Liczne badania eksperymentalne
Wyświetlacze tekstowe jednokolorowe
RGB Technology RGB Technology Sp. z o.o. jest wiodącym polskim producentem wyświetlaczy w technologii diod LED. Siedziba firmy oraz zakład produkcyjny zlokalizowane są w miejscowości Tymieo (woj. zachodniopomorskie).
Ć w i c z e n i e K 4
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
Ruch w potencjale U(r)=-α/r. Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań. Wykład 7 i 8
Wykład 7 i 8 Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań Ruch w potencjale U(r)=-α/r RozwaŜ my ruch punktu materialnego w polu centralnym, o potencjale odwrotnie proporcjonalnym do odległo ś ci r od