Ćwiczenie nr 1 : Statystyczny charakter rozpadów promieniotwórczych

Transkrypt

1 Ćwiczenie nr 1 : Statystyczny charakter rozpadów promieniotwórczych Oskar Gawlik, Jacek Grela 26 stycznia 29 1 Wstęp 1.1 Podstawy teoretyczne Detektor Geigera-Müllera Jest to jeden z podstawowych liczników gazowych, jego działanie polega na jonizacji gazu w objętości czynnej co skutkuje powstaniem impulsu elektrycznego. Schemat urządzenia przedstawiono na Rys.1 poniżej: Rys.1 Detektor gazowy. Charakterystyczne dla licznika Geigera-Müllera jest powstanie lawinowych jonizacji wtórnych z jonów powstałych z jonizacji pierwotnej (pokazanej schematycznie na Rys.1 ). Efekt ten uzyskuje się poprzez odpowiednio duże napięcie między katodami - jony posiadają odpowiednio dużą energię do rozpoczęcia kolejnych jonizacji. Detektor tego rodzaju uniemożliwia wykrycie energii cząstki oraz jej rodzaju Rozkłady Gaussa i Poissona, wagowa wartość oczekiwana W ćwiczeniu jest potrzebne przypomnienie dwóch podstawowych rozkładów statystycznych - Gaussa i Poissona. Rozkład Gaussa - zwany także normalnym lub dzwonowym, jest najczęściej spotykanym rozkładem występującym w przyrodzie. Funkcja gęstości wyraża się wzorem: G(x; σ, µ) = 1 ( (x µ) 2 ) σ 2π exp 2σ 2 σ odchylenie standardowe, µ wartość oczekiwana. Są to charakterystyczne parametry rozkładu wyznaczane według standardowych wzorów. Wykres jest symetryczny względem prostej wyznaczonej przez wartość oczekiwaną. Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym, wszystkie pozostałe rozkłady statystyczne pochodzą od krzywej dzwonowej (poprzez konkretne przejścia graniczne). (1) 1

2 P(x) Rys.2 Funkcja gęstości (dyskretna) rozkładu Poissona przy λ = 4. x Rozkład Poissona - dyksretny rozkład używany często gdy badamy zachodzenie zjawiska w danym przedziale wielkości (np. czasu) przy znanej gęstości występowania (jest to wartość oczekiwana λ) tego zjawiska (np. częstości) w tym przedziale. Funkcja gęstości wyrażana jest wzorem: P (x; λ) = λx e λ x! Gdzie λ to wartość oczekiwana. Odchylenie standardowe określa się jako pierwiastek z λ: (2) σ p = λ (3) Przybliżenie normalne uzyskuje się poprzez opis zjawisk częstych (zwiększane λ). Wagowa wartość oczekiwana - w ćwiczeniu, z racji występowania częstości (liczebności), będzie używany następujący, mniej standardowy, wzór (dla obydwu rozkładów) na wartość średnią: N i=1 µ = x iw i N i=1 W i (4) µ wartość średnia (u Poissona oznaczana jako λ), N wielkość próby, x i wynik pomiaru, W i waga pomiaru, tożsama z liczebnością (częstością) występującą w histogramie oraz w trakcie całego ćwiczenia. 2

3 1.1.3 Histogram i test χ 2 Histogram to sposób przedstawienia danej wielkości (widoczny już na Rys.2 ) charakteryzujący się ustaleniem przedziałów (binów) dzielących badaną cechę i przypisywania pomiarów do konkretnego binu. Dzięki tej operacji można wykonać wykres liczebnościowy danego binu (ile wystąpiło wyników) i porównywać z odpowiednimi rozkładami teoretycznymi. Test χ 2 to test statystyczny umożliwiający rozstrzyganie o tym, czy wyniki uzyskane w doświadczeniu są zgodne z tymi postulowanymi przez teorię. Całość testu przeprowadza się na tzw. poziomie istotności α co daje nam rozeznanie na ile wyniki są pewne. Wedle wzoru: χ 2 = n (O i E i ) 2 n liczba pomiarów (także liczebność binu), O i wartości eksperymentalne wielkości, E i hipotetyczne wartości wielkości (teoretyczne), χ 2 zmienna decydująca o tym, czy test został pozytywnie zweryfikowany. i=1 E i () Weryfikacja testu jest zależna od n 1 (tzw. stopnie swobody) oraz poziomu istotności α. 2 Przeprowadzenie eksperymentu 2.1 Cel Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze stochastycznym charakterem przemian promieniotwórczych oraz sposobami opracowywania takich zjawisk. 2.2 Pomiar Wykonano dwa pomiary bez źródła promieniowania (16 punktów pomiarowych po 1 sekunda każdy) oraz jeden ze źródłem 137 Cs - w tym przypadku uzyskano 2 pomiarów po 1 sekund każdy. Do detekcji użyto licznika Geigera-Müllera na który podano napięcie U = 14 [V ] Pierwszy eksperyment: średnio jeden impuls Celem pierwszego eksperymentu było uzyskanie średnio 1 impulsu w jednej sekundzie. Taką serię pomiarową zapisano przy wyciągniętym źródle promieniowania i zamkniętym domku pomiarowym. Jak wspomniano wcześniej, próba wyniosła 16 punktów. Wyniki częstościowe zestawiono w Tab.1 : Tab.1 Tabela z pomiarem pierwszym. Impulsy I Liczebność L Impulsy liczba zliczonych impulsów, odczytana z przelicznika, będziemy używać na jej oznaczenie litery I, Liczebność inaczej częstość impulsów 1, zamiennie będziemy używać litery L. 1 ile uzyskano pomiarów o danej liczbie impulsów - patrz wprowadzenie teoretyczne 3

4 Na podstawie wyników z Tab.1 wyliczono wartość średnią I wraz z odchyleniem (wzory (3) i (4), wagi W i to odpowiednie liczebności L) : µ 1 = 2.3 ± 1. Założono przy tym, że zdarzenie jest opisywane przez rozkład Poissona (co jest prawdziwe tylko dla małej liczby I!). Na podstawie Tab.1 wykonano histogram pomiarowy oraz wyznaczono (ze znajomości średniej µ 1 ) histogram teoretyczny. Całość przedstawiono poniżej: liczebnosc L 4 4 Teoria Pomiar impulsy I Wyk.1 Histogram pomiaru pierwszego wraz z teoretycznym histogramem dla µ 1 = 2.3. Gdzie oznaczenia konsekwentnie są niezmienne Drugi eksperyment: średnio cztery impulsy W drugim pomiarze lekko uchylono drzwiczki do domku tak, aby uzyskać większą średnią (około 4 impulsów) w pomiarze. Próba, podobnie jak wcześniej, wyniosła 16 punktów. Czas nie uległ zmianie i nadal trzymamy się założenia o rozkładzie Poissona. W tym przypadku procedura obliczeniowa była identyczna jak w pomiarze pierwszym, dlatego poniżej ograniczono się do zestawienia danych, przytoczenia średniej µ 2 i pokazaniu histogramu. Jeśli inaczej nie jest napisane, oznaczenia nie ulegają zmianie. Tab.2 Tabela z pomiarem drugim. Impulsy I Liczebność L Średnia wyniosła: µ 2 = 4. ± 2.1 4

5 Histogram teoretyczny oraz doświadczalny: liczebnosc L 3 3 Teoria Pomiar Wyk.2 Histogram pomiaru drugiego wraz z teoretycznym histogramem dla µ 2 = 4.. impulsy I Trzeci eksperyment: źródło 137 Cs W tym wariancie umieszczamy źródło cezu w domku pomiarowym, zwiększamy czas pojedynczego pomiaru do 1 sekund i wielkość próby do 2. Uzyskujemy dosyć duże (oscylujące wokół 1) liczby impulsów. Są to warunki odpowiednie do zastosowania rozkładu Gaussa. Aby ocenić poprawność naszego założenia użyjemy testu chi-kwadrat 2. Czyste dane nie zostaną tutaj wprowadzone z powodu objętości. Wyliczamy z nich jedynie średnią z odchyleniem, później operujemy na danych liczebnościowych: µ 3 = 971 ± 29 Zamiast tego w Tab.3 umieszczono liczebności L pomiarów w danym binie: Tab.3 Tabela z pomiarem trzecim - wykonano interpretację przedziałową dla histogramu. Zakres impulsów I Liczebność w binie L Gdzie wszystkie wcześniejsze oznaczenia są analogiczne. Szerokość binu oszacowano 3 z odchylenia standardowego, rozmiaru próby oraz wartości maksymalnej i minimalnej. Ustalono ostatecznie, że szerokość ta wyniesie B = 16 zliczeń i uzyskamy przez to 1 przedziałów histogramowania. 2 wprowadzenie w sekcji teoretycznej 3 starano się, aby przedziały dobrać w sposób, który da jakieś wyobrażenie o rozkładzie przy jednoczesnym braku zębów i nieznikaniu wykresu.

6 Do histogramu i testu χ 2 potrzebne są wartości teoretyczne które wyznacza się ze wzoru: L t = G(σ, µ; I s ) N B (6) G(σ, µ; I s ) funkcja gęstości rozkładu Gaussa, wspominana we wstępie teoretycznym wraz z odchyleniem standardowym σ oraz wartością oczekiwaną µ, I s wartość środkowa z danego przedziału impulsów I (np. dla zakresu jest to 892), B szerokość binu szacowana wcześniej, N całkowita liczba pomiarów (u nas 2). Histogram ostatecznie prezentuje się następująco: liczebnosc L 4 Teoria Pomiar Wyk.2 Histogram pomiaru trzeciego wraz z teoretycznym histogramem Gaussa. impulsy I Ostatnią rzeczą pozostałą do obliczenia jest test χ 2, wykonanego według wzoru (). Przy n = 1 (stopnie swobody = 9) zmienna przyjęła wartość: χ 2 = 9.77 Według wartości tabelarycznych 4 dane spełniają kryterium dla poziomu istotności α 3 =.3 (9.77 < 1.66). Dokładniejsze dane uzyskane w programie OpenOffice Calc wskazują na poziom istotności α 3 = użyto Tabeli 7.3, str. 138, z książki B. Dziunikowskiego i S. Kality Ćwiczenia laboratoryjne z jądrowych metod pomiarowych 6

7 3 Wnioski 1. Z przeprowadzonych trzech pomiarów widać, że rządzą nimi dwa różne rozkłady, w zależności od tego jak częste jest zjawisko i jak długo przeprowadzamy pomiar. Rozkłady Poissona są idealnym przybliżeniem dla pierwszych dwóch pomiarów, w ostatnim zaś to rozkład Gaussa staje się dobrym opisem zjawiska. 2. Testy zgodności pierwszego i drugiego pomiaru okazały się dosyć ciekawe. Otóż, pierwszy pomiar przyniósł istotność podobną do pomiaru trzeciego - α 1 =.36. Natomiast pomiar drugi uzyskał fenomenalny poziom istotności α 2 =.97. Niestety, nie udało się odnaleźć źródła takiej dobrej zgodności. Nie wydaje się również, aby był to błąd przypadkowy. 3. Test na poziomie istotności α 3 =.37(.3) (zob. sekcję doświadczenia po więcej szczegółów) wskazuje, że mimo prawdopodobnego rozkładu Gaussa, istnieją czynniki zakłócające pomiar (oprócz zwyczajnych fluktuacji statystycznych). Na poziomie tego doświadczenia nie jesteśmy w stanie stwierdzić co jest źródłem błędów. 4. Teoretycznie, można zastanowić się nad tym, jak zmienią się wyniki testu gdy dokonamy, wydaje się, racjonalnego zaokrąglenia wartości teoretycznych (wyznaczonych z funkcji Gaussa) do wielkości całkowitych - nie ma wszak liczności niecałkowitych. Po dokonaniu takiego zabiegu, test jednak zwraca wartość mniej istotną - α 3 x =.28. Można spekulować nad większą przydatnością tak przeprowadzonego badania.. Nie wydaje się także, aby wynik testu można było wyśrubować za pomocą dobrania odpowiedniej ilości binów. Mimo 2 binów, podobną istotność uzyskał niezależnie inny zespół przeprowadzający doświadczenie. źródło: Internet 7