Porównanie metodyki obliczeń połączenia śrubowego według literatury niemieckiej i polskiej

Transkrypt

1 GÓRNA Honorata 1 DREWNIAK Józef 2 Porównanie metodyki obliczeń połączenia śrubowego według literatury niemieckiej i polskiej WSTĘP Połączenia śrubowe, znajdują szerokie zastosowanie w konstrukcji maszyn i środków transportowych. Połączenia śrubowe są jednym z głównych sposobów połączeń elementów pojazdów. Niejednokrotnie stanowią połączenia, które obarczone są najwyższą odpowiedzialnością. Można tu wymienić śruby dokręcające głowicę silnika czy śruby stosowane w zawieszeniu. Przy projektowaniu takich złącz głównym czynnikiem jest bezpieczeństwo użytkownika pojazdu, Cechować się więc muszą nie tylko wysoką wytrzymałością, ale i wysoką niezawodnością. 1. OBLICZENIA POŁĄCZEŃ ŚRUBOWYCH 1.1. Ogólna charakterystyka Sposób obliczania połączeń śrubowych zależy od kierunku i rodzaju przenoszonych obciążeń. Można wyróżnić połączenia przenoszące wyłącznie siły styczne do płaszczyzny ich styku, rozciągające lub/i ściskające, momenty skręcające lub zginające. Istnieją także połączenia śrubowe poddane złożonemu stanowi obciążeń. Najważniejszy element połączenia ze śrubami luźnymi, czyli śruba może być rozciągana i skręcana, natomiast połączenia ze śrubami pasowanymi ścinana. Powinno się unikać połączeń, w których śruba jest zginana. Śruby w połączeniach poddanych zmiennemu obciążeniu należy dodatkowo sprawdzać na wytrzymałość i/lub trwałość zmęczeniową. Najbardziej optymalnym obciążeniem śruby ze względu na nośność jest jej statyczne rozciąganie. Taki przypadek występuje jednak stosunkowo rzadko, bowiem przy dokręcaniu śrub stosuje się momenty o dużej wartości, które są przyczyną powstawania naprężeń skręcających [4] Śruba obciążona siłą osiową Q W tym przypadku przekrój rdzenia śruby jest narażony na rozciąganie. Musi być więc spełniony warunek: (1) gdzie: dla obciążeń statycznych ( współczynnik bezpieczeństwa), dla obciążeń zmiennych ( współczynnik bezpieczeństwa; - wytrzymałość zmęczeniowa przy jednostronnym rozciąganiu) [3] Śruba obciążona siłą osiową Q i momentem skręcającym Gdy przekrój śruby jest narażony na rozciąganie lub czasem ściskanie siłą osiową Q oraz skręcanie momentem skręcającym., wtedy występują naprężenia, pochodzące od siły osiowej: (2) oraz naprężenia pochodzące od momentu skręcającego: 1 Akademia Techniczno - Humanistyczna w Bielsku Białej, Wydział Budowy Maszyn i Informatyki, Bielsko Biała, ul. Willowa 2, honorata.gorna@gmail.com 2 Akademia Techniczno - Humanistyczna w Bielsku Białej, Wydział Budowy Maszyn i Informatyki, Bielsko Biała, ul. Willowa 2, jdrewniak@ath.bielsko.pl 3443

2 O wytężeniu materiału decyduje wartość naprężeń zastępczych, wyznaczanych z hipotezy Hubera: (3) (4) gdzie: dla obciążeń statycznych, dla obciążeń zmiennych. Śruby ściskane należy liczyć także na wyboczenie, przyjmując promień bezwładności pełnej śruby [3] Połączenie śrubowe obciążone siłą poprzeczną Siła poprzeczna działa w płaszczyźnie styku elementów łączonych. W przypadku, gdy śruba jest pasowana, wtedy siła poprzeczna jest równoważona przez opór pasowanego trzpienia śruby. Wartość naprężeń ścinających wynosi: (5) gdzie: dla obciążeń statycznych, dla obciążeń zmiennych. Złącze może ulec również owalizacji otworu na skutek przekroczenia dopuszczalnych nacisków powierzchniowych. Ich dopuszczalna wartość wynosi: (6) gdzie: grubość ścianki elementu obciążonego siłą, średnica otworu w miejscu pasowania śruby, - dopuszczalny nacisk powierzchniowy. W drugim przypadku śruba może być założona w otworze luzem. W tym przypadku siła poprzeczna przenoszona jest na zasadzie tarcia elementów łączonych, których nacisk jest wywołany przez napięcie wstępne śruby lub napięcie resztkowe. Naprężenia przyjmowane są jak w poprzednim przypadku [3] Śruba zginana W tym przypadku na śrubę działa moment gnący, którego przyczyną powstania jest nieprostopadłość powierzchni łączonych do osi śruby lub sprężyste i cieplne odkształcenia elementów. Wzór na powstający moment gnący przyjmuje postać: (8) gdzie: moduł sprężystości śruby; moment bezwładności przekroju, kąt nachylenia powierzchni łączonych do osi śruby; - długość odcinka zginanego śruby. Do obliczenia naprężeń wywołanych zginaniem, należy przyjąć wskaźnik na zginanie śruby równy dla śruby o średnicy trzpienia d. Wzór na naprężenia przyjmuje postać: We wzorze tym nie zostało uwzględnione zginanie pochodzące od zacisku wstępnego śruby. (7) (9) 3444

3 2. TEORIA OBLICZEŃ POŁĄCZEŃ ŚRUBOWYCH WEDŁUG LITERATURY NIEMIECKIEJ Rys. 1. Schemat obliczanego połączenia śrubowego: przyłożone siły (a) i deformacja połączenia (b) [1] Oznaczenia symboli: - szerokość wspornika, - moduł sprężystości materiału wspornika, - moduł sprężystości płyty materiału bazowej, - zastępczy zredukowany moduł sprężystości dla wspornika i podstawy, - moduł sprężystości materiału śruby, - wysokość wspornika, - powierzchnia przekroju śruby [, - zredukowana powierzchnia śruby [, - kąt ugięcia wspornika po odkształceniu w stosunku do osi poziomej, - kąt ugięcia podstawy po odkształceniu w stosunku do osi poziomej, - rozstaw śrub, - odległość między osią śruby nieobciążonej a osią neutralną [ ], - rzeczywista długość odcinka odkształcanej śruby, - odległość między osią śruby najbardziej obciążonej a osią neutralną [ ], - moment gnący, - oznaczenie punktu, w którym naprężenia gnące są równe 0, 3445

4 - funkcja określająca wartość nacisku powierzchniowego pomiędzy elementami łączonymi w zależności od współrzędnej x, - całkowita siła rozciągająca śrubę, - maksymalna wartość nacisku powierzchniowego od momentu gnącego, - grubość podstawy wspornika, - grubość płyty bazowej, - średnie naprężenie w śrubie [ ], - funkcja określająca wartość naprężenia w śrubie w zależności od współrzędnej x, - bieżąca współrzędna. Pierwszą czynnością, którą należy wykonać jest analiza kierunków działania sił, a następnie ustalenie najbardziej obciążonej śruby. W tym przypadku najbardziej obciążoną śrubą jest śruba z lewej strony. Siłą najbardziej obciążająca układ jest siła, więc obliczenie połączenia kołnierzowego ogranicza się do określenia wpływu działania momentu gnącego pochodzącego od siły na połączenie, a konkretnie na śrubę znajdującą się z lewej strony. Na rysunku 1 przedstawiony został schemat reakcji wywołanej zastosowanym obciążeniem bez (a) i z uwzględnieniem (b) sprężystości elementów połączenia. Na rysunku 1 można zauważyć wyraźny podział strefy nacisku wywołanej momentem gnącym. Strefa ta dzieli się na część odciążaną oraz dociążaną. Na granicy dwóch stref występuje oś neutralna, na której naprężenia są równe 0. Problem sprowadza się więc do znalezienia położenia osi neutralnej. W dążeniu do osiągnięcia warunków równowagi układu przedstawionego na rysunku 1 można napisać [1]: W równaniu tym jest uśrednionym naprężeniem występującym w śrubie badanego połączenia, wyraża się następująco: Aby równanie (10) i (11) było prawdziwe należy przyjąć pewne uproszczenia: a) charakterystyka napięcia jest liniowa (wg Prawa Hooke'a):, (13) b) stały lub przynajmniej znany rozkład naprężeń na całej szerokości wspornika b, c) podstawa i kołnierz o wysokiej sztywności, d) symetryczne obciążenie względem szerokości. Z równań (10) i (11) można dalej wyprowadzić: gdzie:,, z czego w rezultacie otrzymuje się wzór na całkowitą silę rozciągającą w śrubie: Niewiadomą w równaniu (16) jest, która reprezentuje odległość od osi śruby do neutralnej osi zginania. Kolejnym krokiem jest więc wyznaczenie położenia neutralnej osi. Do ustalenia jej położenia konieczna jest analiza rysunku 1b. Podstawa wspornika o module sprężystości pod wpływem obciążenia odkształca się o kąt, natomiast płyta bazująca o module sprężystości o kąt, powodując tym samym odkształcenie wspólne o kąt. Odkształcenie to wywołuje nachylenie płyty, która rozciąga i zgina śrubę. Dla liniowego rozkładu obciążenia można zapisać (dla strefy ściskanej): (10) (11) (12) (14) (15) (16) 3446

5 Przy zdefiniowaniu mieszanego modułu sprężystości uzyskuje się: (17a) (17b) (17c) dla materiałów łączonych elementów Po wprowadzeniu zależności (17) i (18) otrzymuje się wzór na mieszany moduł sprężystości: Dla obliczenia wymaganego stosunku do, zwłaszcza do analizy graficznej wskazane jest wprowadzenie naprężeń zredukowanych na zredukowanej powierzchni śruby: oraz: i odpowiednio na podstawie (18): a także: Na podstawie wzorów (21), (22) i (23) można wyprowadzić zależność na pole przekroju zredukowanego śruby: (24) gdzie w materiał jest rzeczywistą długością odcinka odkształcanej śruby (dla śruby wkręcanej ). Dla liniowego układu napięcia można zapisać: (25) W nawiązaniu do równań (14), (21) oraz (25) dla ściskanej długości kwadratowe o postaci: co w konsekwencji daje jedno dodatnie rozwiązanie: (18) (19) (20) (21) (22) (23) otrzymuje się równanie (26) Dla płyt fundamentowych ze stali i żeliwa obliczenia więc są stosunkowo proste. (27) 3. TEORIA OBLICZEŃ POŁĄCZEŃ ŚRUBOWYCH WEDŁUG LITERATURY POLSKIEJ Oznaczenia symboli: - średnica wewnętrzna śruby, - współczynnik pewności obliczeń, - stosunek sztywności elementów w połączeniu, - całkowita siła normalna działająca na śrubę, - siła normalna działająca na śrubę [N], - siła styczna działająca na śrubę, - moment gnący działający na śrubę, - ilość śrub zastosowanych w połączeniu, - wartość siły normalnej pochodzącej od momentu gnącego, - współczynnik tarcia, - współczynnik uwzględniający skręcanie śruby, - maksymalna siła działająca na śrubę, 3447

6 - wartość siły zacisku resztkowego, - wartość siły napięcia wstępnego, - wartość naprężeń rozciągających, - wytrzymałość śruby na rozciąganie, - maksymalna odległość od osi działania momentu gnącego do osi najbardziej obciążonej śruby, - założony współczynnik bezpieczeństwa. Pierwszą czynnością, którą należy wykonać jest analiza sił i kierunków ich działania oraz napisanie równań równowagi dla układu. W tym przypadku równania będą miały następującą postać: (28) (29) (30) (31) (32) (33) Śrubą najbardziej obciążoną jest śruba z lewej strony. Po rozpisaniu równań równowagi można zauważyć, że wartość obciążenia roboczego dla tej śruby wynosi: (34) Wartość siły od momentu gnącego wynosi: gdzie: - suma kwadratów odległości wszystkich śrub występujących w połączeniu od osi działania momentu gnącego. Następuje tutaj redukcja momentu gnącego do siły rozciągającej śrubę. Kolejnym krokiem jest obliczenie wartości siły zacisku resztkowego. Maksymalna siła działająca na śrubę wynosi więc: Siła napięcia wstępnego ma wartość: Wymagana średnica śruby obliczana jest ze wzoru: Wartości poszczególnych sił można zobrazować na wykresie pracy połączenia śrubowego (Rys. 2). (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) 3448

7 Rys. 2. Wykres pracy połączenia śrubowego - charakterystyka podatnościowa. 4. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY 4.1. Dane długość wspornika:, szerokość wspornika:, grubość podstawy wspornika:, grubość płyty bazowej:, wysokość wspornika:, rozstaw śrub, wartość siły składowej poziomej:, wartość sił składowej pionowej, moduł sprężystości materiału wspornika:, moduł sprężystości materiału podstawy:, moduł sprężystości materiału śruby:, stosunek sztywności elementów w połączeniu:, współczynnik pewności obliczeń:, liczba śrub:, wytrzymałość śruby na rozciąganie:, współczynnik uwzględniający skręcanie śruby:, założony współczynnik bezpieczeństwa:. 3449

8 Rys. 4. Schemat obliczanego przypadku Obliczenia wg literatury niemieckiej Obliczenie zastępczego modułu sprężystości łączonych elementów: Obliczenie zastępczego pola zredukowanego przekroju śruby (dla śruby M16): Obliczenie odległości od osi neutralnej do osi śruby mniej obciążonej: Obliczenie odległości od osi neutralnej do osi śruby najbardziej obciążonej: Obliczenie siły rozciągającej śrubę pochodzącej od momentu gnącego: Obliczenie całkowitej siły rozciągającej śrubę: 3450

9 4.3. Obliczenia wg literatury polskiej Obliczenie sumy kwadratów odległości śrub od osi działania momentu gnącego: Wartość momentu gnącego wynosi: Wartość siły od momentu gnącego wynosi: Wartość obciążenia roboczego wynosi: Kolejnym krokiem jest obliczenie wartości siły zacisku resztkowego. Maksymalna siła działająca na śrubę wynosi więc: Siła napięcia wstępnego ma wartość: Wymagana średnica śruby obliczana jest ze wzoru: 5. PODSUMOWANIE OTRZYMANYCH WYNIKÓW Sposoby obliczania połączenia śrubowego według literatury niemieckiej i polskiej dają miarodajne wyniki. Według literatury niemieckiej całkowita wartość siły rozciągającej śrubę wynosi, podczas gdy wartość ta, obliczana według literatury polskiej wynosi. Wyniki różnią się między sobą o około 5%. Natomiast niezgodność można zauważyć w średnicy zastosowanej śruby. Mianowicie według literatury niemieckiej jest to śruba, a według literatury polskiej. WNIOSKI Porównując sposoby przeprowadzenia obliczeń można stwierdzić, że sposób ukazany w literaturze niemieckiej jest bardzo skomplikowany. Sposób obliczeń według literatury polskiej jest prostszy, bardziej przejrzysty i intuicyjny. W literaturze niemieckiej jedyną obliczaną wartością jest wartość siły rozciągającej śrubę. Według literatury polskiej natomiast, poza obliczeniem wartości obciążenia roboczego, wyznacza się także siłę napięcia wstępnego, resztkowego i, co za tym idzie, całkowite napięcie śruby. Po tych obliczeniach, z warunku wytrzymałościowego obliczona zostaje średnica śruby. W ten sposób oprócz doboru śruby (średnicy lub materiału), sprawdzana jest także poprawna praca połączenia. Według literatury niemieckiej sposób dobrania śruby jest iteracyjny, gdyż do obliczenia wartości siły rozciągającej konieczna jest znajomość średnicy śruby. Po wyznaczeniu jej zostaje więc sprawdzenie, czy dobrana śruba spełnia warunek wytrzymałościowy. W obliczanym przypadku dobrana została śruba, podczas gdy z obliczeń na podstawie literatury polskiej powinna zostać dobrana śruba. Różnica w rozmiarze śrub może wynikać z różnicy w materiale śrub (nie podano materiału śruby w przykładzie według literatury niemieckiej) lub dobieranego współczynnika bezpieczeństwa. 3451

10 Zalety sposobu prezentowanego w literaturze polskiej można wykazać dopiero przy obliczaniu połączenia śrubowego ze śrubami luźnymi, a obciążonego momentami gnącymi i skręcającym oraz siłami stycznymi (poprzecznymi) i normalną. Wtedy śruba jest rozciągana oraz skręcana i koniecznie należy wyznaczyć wartość naprężenia zredukowanego np. korzystając z hipotezy Hubera - Misesa - Hencky'ego. Streszczenie W artykule porównano dwa sposoby obliczania połączeń śrubowych poddanych dowolnym obciążeniom. Jeden ze sposobów został opisany w literaturze niemieckiej, a drugi w literaturze polskiej. Na podstawie dosyć prostego przykładu rozwiązanego w artykule można było stwierdzić, że sposób przedstawiony w literaturze polskiej pomimo, że nie jest tak skomplikowany jak ten drugi, nadaje się bardziej do analizy złożonych połączeń. Słowa kluczowe: połączenie śrubowe, dowolne obciążenie Comparison of the screw connection calculation methodology according to the German and Polish literature Abstract The paper compares two methods for calculating the screw connections subjected to any loads. One of the methods described in the literature of the German and the other in Polish literature. On the basis of fairly simple example solved in the paper could be noted that the method described in Polish literature even though it is not as complex as the other, is more suitable for the analysis of complex connections. Keywords: Screw connection, any load BIBLIOGRAFIA 1. Albert M.L., Wimmer K.G., Die Betriebslast von Fuβ- und Flanschschrauben. Antriebstechnik 1966, nr Drewniak J., Zbiór zadań z podstaw konstrukcji maszyn z rozwiązaniami część I. Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice Korewa W., Zygmunt K., Podstawy Konstrukcji Maszyn część II, PWN, Warszawa 1973r. 4. Górna H.: Stanowisko badawcze do wyznaczania charakterystyk połączeń śrubowych, praca inżynierska. Wydział Budowy Maszyn i Informatyki, Akademia Techniczno Humanistyczna w Bielsku Białej, 2014r. 3452