Optymalizacja i Sterowanie

Transkrypt

1 50 lat Komitetu Mechaniki PAN 14 kwietnia 2010 Optymalizacja i Sterowanie Tadeusz Burczyński Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska Instytut Informatyki Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki Politechnika Krakowska

2 Klasyfikacja zadań mechaniki Zadanie bezpośrednie (analiza) Zadania odwrotne: - Optymalizacja - Identyfikacja - Sterowanie

3 Optymalizacja 3

4 x * argmin f ( x ) xd Zadanie optymalizacji Zadanie optymalizacji można sformułować następująco dana jest metryczna przestrzeń poszukiwań Ω=(U, ), gdzie U jest zbiorem wartości, metryką oraz podzbiór D U. Dana jest także funkcja celu f(x): U R Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu takiego x*d, że: x* argmin ( x) f xd 4

5

6

7

8

9 Rodzaje zadań (1) W zależności od przestrzeni przeszukiwań, mówimy o sześciu rodzajach optymalizacji: 1. Optymalizacja parametryczna zakłada się, że punkt xu jest wektorem zmiennych niezależnych, z których każda przyjmuje pewną wartość; 2. Optymalizacja ciągła charakteryzuje się tym, że przestrzeń przeszukiwań jest iloczynem kartezjańskim zbioru liczb rzeczywistych U=Rn. Rozróżniamy tutaj zadania wypukłe i optymalizacji globalnej; 3. Optymalizacja dyskretna mówimy o niej, gdy wartości zmiennych niezależnych xi należą do zbiory dyskretnego U=Zn; 9

10 Rodzaje zadań (2) 4. Optymalizacja kombinatoryczna każda ze zmiennych niezależnych przyjmuje wartość logiczną prawda albo fałsz, czyli U=Zn2. Są też przypadki mieszane część zmiennych niezależnych przyjmuje wartości ze zbioru liczb rzeczywistych, część zaś całkowitych; 5. Optymalizacja bez ograniczeń gdy zbiór dopuszczalny D może być tożsamy z przestrzenią przeszukiwań U; 6. Optymalizacja z ograniczeniami gdy zbiór dopuszczalny D nie może być tożsamy z przestrzenią przeszukiwań U. 10

11 Sformułowanie zagadnienia optymalizacji w mechanice gdzie min J o x J 0 funkcja celu opisana x x, x,..., x,... x 1 2 i n - wektor zmiennych decyzyjnych x i zmienne decyzyjne opisujące parametry geometryczne lub materiałowe ograniczenia: J x x x, i,1,2,.. n min max i i i J J ( u,,, T, q, t), 0,1,2,... m 0, 1,2,.. m

12 Optymalizacja wielokryterialna Znajdź wektor x [ x1, x2,... x ] T n Warunki ograniczające g ( x) 0 i 1,2,..., m i h ( x) 0 i 1,2,..., p i Który minimalizuje funkcję wektorową składającą się z k funkcji celu f f1 f2 f k ( x) ( x), ( x),..., ( x) T

13 Metoda współczynników wagowych k f ( x) wif i( x) i1 (f 1, f 2,..., f k,) f gdzie: k liczba funkcji celu; Jak wybrać wagi? x poszukiwany wektor; w i współczynniki wagowe w i 0,1 k i1 w i 1

14 Koncepcja frontu Pareto Dla zagadnienia minimalizacji zbiór k funkcji celu: f(x)=(f 1 (x),f 2 (x),...,f k (x)); rozwiązanie x jest zdominowane, jeśli istnieje rozwiązanie y nie gorsze od x dla każej funkcji celu f i : f i (y) f i (x) (i=1,... k) w przeciwnym razie x jest niezdominowanym rozwiązaniem

15 Koncepcja frontu Pareto Przykład dwóch kryteriów

16 Optymalizacja wielokryterialna

17 Optymalizacja w mechanice Podział zadań optymalizacji: - Optymalizacja wymiarów poprzecznych - Optymalizacja materiału - Optymalizacja kształtu - Optymalizacja topologiczna

18 Kryteria optymalizacji Kryteria naprężeniowe (wytrzymałościowe) Kryteria sztywnościowe lub podatnościowe (globalne) Kryteria sztywnościowe lokalne (zależne od przemieszczeń) Kryteria częstotliwościowe Kryteria dynamiczne Kryteria trwałościowe i niezawodnościowe

19 IDENTYFIKACJA zajmuje się określeniem parametrów modelu układu mechanicznych w których nieznane są: geometria układu liczba, rodzaj, kształt i położenie dfektów własności materiałowe na podstawie informacji w postaci odpowiedzi układu na dane wzbudzenie

20 ZAGADNIENIA IDENTYFIKACJI są matematycznie źle postawione (ill posed) nowe metody obliczeniowe, wprowadzenie nowych fukcjonałów jakości, nowe techniki regularyzacyjne, nowe procedury pomiarowe.

21 Sformułowanie zagadnienia identyfikacji pustki pęknięcia Należy znaleźć liczbę, rodzaj, kształt oraz położenie defektów

22 d y T y T d y u y u J 2 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 min x d y u y u J 2 ) ( ) ( 2 1 min x Dla zagadnień statycznych Identyfikacja nieznanych defektów Dla zagadnień dynamicznych T dtd t y u t y u J 2 ), ( ), ( 2 1 min x Dla zagadnień termo-mechanicznych Dla zagadnień własnych n i i i J min x

23 Wektor zmiennych decyzyjnych x = <x 1, x 2,...x i,...x N > x il x i x ir x i R gdzie: x i zmienna decyzyjna reprezentująca: geometrię defektu liczbę defektów parametry materiałowe

24 P 1 P2 P3 kształt brzegu Parametryzacja współrzędne punktów brzegowych P n P n-1 P r x P 1, x,p1,y,p2,x,p2,y,...,pr,x,pr, y,...,pn,x, Pn, y

25 . kształt brzegu współrzędne punktów kontrolnych krzywej NURBS x P 1, x,p1,y,p2,x,p2,y,...,pr,x,pr, y,...,pn,x, Pn, y

26 kształt pustek lub wtrąceń coordinates of center and radius value (circle) coordinates of center, radius values and angle of rotate (ellipse) coordinates of center, and n radius values (NURBS) y r y r y r x y r 3 r 2 r 1 x x x r n x xc, yc, r x x y, r, r, c, c x y x x y, r, r,..., r c, c 1 2 n

27 . kształt pęknięcia coordinates of center, length and angle of rotate y l y 2 l y 1 x x 1 x 2 x x, y, l, c c x x1, y1, x2, y2

28 Optymalizacja topologiczna i F

29 1 Parametryzacja poprzez sterowanie gęstością materiału Areas in which the interpolated surface is below of the surface for minimum values of mass density (or thickness) The interpolated surface generated by control points Control points of the surface The surface for maximum value of mass density (or thickness) The plane for minimum value of mass density (or thickness) The minimum value of design variable (zero) Value of mass density (or thickness) for e-th FE Void 2-D structure e-th FE 8

30

31 Metody optymalizacji

32 Metody optymalizacji (1) Metody programowania matematycznego Metody warunków optymalności Metody gradientowe: - metoda najszybszego spadku, - metoda Newtona i metody quasi-newtonowskie (zmiennej metryki), - metoda gradientów sprzężonych - Analiza wrażliwości (m.in. pochodna topologiczna)

33 Populacyjne metody optymalizacji

34 Metody optymalizacji (2) Metody inteligencji obliczeniowej: - Algorytmy ewolucyjne - Sztuczne systemy immunologiczne - Metody rojowe (rojów cząstek) - Symulowane wyżarzanie

35 Metody obliczeniowe inspirowane biologicznie 1 The basis of the artificial immune systems The basis of the evolutionary algorithms B-cell budding virus T-cell recognition the antigen

36 Idea Metody of evolutionary optymalizacji optimisation inspirowane biologicznie 1 Objective function value Objective function value Artificial immune systems Evolutionary algorithms pathogens Individuals The goal of AIS find the most dangerous pathogen i.e. the global optimum of objective function The goal of EA find the fittest chromosom i.e. the global optimum of objective function

37 Idea Metody of evolutionary optymalizacji optimisation inspirowane biologicznie 1 Artificial immune systems floating point representation Evolutionary algorithms floating point representation x1 x1 B-cell= x2 x3 chrom= x2 x3 xn xn min x x x max i i i xi design variable (parameters of B-cell receptor) B-cell receptor min x x x max i i i xi design variable (genes) Chromosome

38 MASTER SEKWENCYJNY ALGORYTM EWOLUCYJNY MASTER MASTER START starting population creation evaluation of fitness function for each chromosome generation of the next population (evolutionary operators and selection) NO stop condition YES STOP

39 MASTER SLAVES RÓWNOLEGŁY ALGORITHM EWOLUCYJNY MASTER MASTER START starting population creation evaluation of fitness evaluation f. of SLAVE fitness function SLAVE for each chromosome for each chromoseme 1 2 SLAVE N-1 SLAVE N generation of the next population (evolutionary operators and selection) NO stop condition YES STOP

40 Równoległy AE Rozproszony AE

41 Komputerowe wspomaganie optymalizacji konstrukcji (CAOD) (1) START Zbuduj MODEL Wektor zm. decyzyjnych Funkcja celu oraz jej gradient MES, MEB, MRS, MB No Blok algorytmu optymalizacji EXIT? Yes Blok obliczania funkcji celu oraz jej gradientu END

42 Komputerowe wspomaganie optymalizacji konstrukcji (CAOD) (2) Brak jest uniwersalnych programów komputerowych optymalizacji konstrukcji Najczęściej budowane są programy komputerowe dedykowane do pewnej klasy zadań optymalizacji dla wybranych kryteriów oraz sposobu parametryzacji Otrzymywane wyniki są często niesatysfakcjonujące i wymagają odpowiedniej interpretacji Do rozwiązania zagadnienia bezpośredniego najczęściej stosowana jest MES lub MEB Uniwersalne programy komputerowe optymalizacji konstrukcji możliwe są tylko w postaci systemów ekspertowych

43 Optymalizacja konstrukcji prętowych (1) n l A mass n i1 - number of the member - length of the member - cross-sectional areas of members - density of the material l i A i fitness function mass penalty penalty 0 max( ) max( ) eq eq

44 Optymalizacja konstrukcji prętowych (2) - Admissible zone for changing of coordinates of joints additional admissible zone

45 masa kratow nicy Optymalizacja konstrukcji prętowych (3) generacja

46 Optymalizacja kształtu łopatki turbiny Criterion: min Ch - 1st principal stress Constraint: dm o Typical bladed disc model with isolated parameterisation zone

47 Trailing Edge Top view Parametric profile part description 1.0 Pressure Side Leading Edge Parameterisation of compound fillet zone Suction Side Interpolated Cross-section cross-sections number Defined cross-section Defined cross-sections parameterization: Shank/airfoil interface Airfoil H 1-8 y R1 1-8 R2 1-3, 6 Bottom platform, cross-sect.1-3, 6 R Bottom platform, cross-section 4-5, 7-8 x Local coordinate system

48 Chromosome: Ch Ch x,..., x, x,.., x, x R1,..., R1, R2,.., R2, H Process of parameterised FEM model generation

49 FEM Model DOFs

50 Optymalizacja topologiczna Fitness function KD= F U = 1 2 T D KD Constraints: N k 1 V k k fixed 0 1, k 1,, N 0 a x b x c [m] Loading [N] 100 x 100 x 100 Q=4x10 Scheme of loading

51 Comparison results of computation with example of authors: Jorgen Bay Jacobsen, Niels Olhoff, Erik Ronholf, Mechanics of Materials 28(1998), U min =28.28e-10 Nm U min =27.4e-10 Nm E=2e 5 MPa - steel E=0.7e 5 MPa - aluminum Structures after optimization

52 Identyfikacja parametrów kości Model of pelvis consists of two types of bone: cortical bone and trabecular bone

53 Funkcja celu uˆ i ui min F( x) *100 x uˆ k i i Przemieszczenia mierzone za pomocą ESPI

54 Identyfikacja parametrów kości korowej

55 Kierunki rozwoju (1) Identyfikacja i optymalizacja w modelowaniu wieloskalowym

56 Podeście wieloskalowe Nano

57 Identyfikacja w modelowaniu wieloskalowym strojenie modelu RVE Cel znaleźć parametry modelu w skali mikro na podstawie pomiarów eksperymentalnych w skali makro

58 Model dyskretny MES Układ rzeczywisty Jakie parametry materiałowe modelu dają takie same wyniki w punktach pomiarowych (sensor points) jak w układzie rzeczywistym?

59 min Ch 0 J gdzie 0 m IDENTIFIKACJA ˆ J a u uˆ b i i i i j1 j1 m Ch x, x,..., x,... x 1 2 i n min x x x max, i,1,2,.. n i i i x i zmienne decyzyjne parametry materiałowe lub geometryczne w skali mikro u i uˆ i i i ˆ obliczone i zmierzone odksztacenia. i i obliczone i zmierzone przemieszczenia,

60 Identyfikacja mikrostruktury kości

61 Optymalizacja wieloskalowa gdzie 1 2 min J o Ch Ch x, x,..., x,... x i n J 0 funkcja celu opisana w skali makro - chromosom (wektor zmiennych decyzyjnych) x i geny (zmienne decyzyjne) opisujące parametry geometryczne lub materiałowe w skali mikro ograniczenia: J 0, 1,2,.. m x x x, i,1,2,.. n min max i i i J J ( u,, ), 0,1,2,... m

62 Scale: m, cm mm m nm Meso scale: Grains Micro scale: Single grain Nano scale: Molecular/atomic level Macro scale: Structure J J ( u,, ) 0 0 Ch x, x,..., x,... x 1 2 i n

63 Ewolucyjna optymalizacja wieloskalowa Skala makro Skala mikro RVE

64 min J, where J u Ch 0 0 max Ch g, g, g, g, g, g, g, g g 7, g 8 The best solution in the 1st generation The best solution in the last generation DEA parameters: 2 subpopulations 20 chromosomes in each Rank selection Gasuss mutation Simple crossover

65 Optymalizacja klastrów atomowych Najstabilniejsze konfiguracje przestrzenne klastry Al Morse a i M-M N=4, czworościan N=6, ośmiościan N=13, osiemnastościan N=19, podwójny osiemnastościan

66 Minima globalne oraz lokalne (isomery) na przykładzie N=9 Klaster Morse a - min. lokalne E b = eV (isomer), będące jednocześnie minimum globalnym dla klastra Murrella-Mortramma E b =1.764eV Morse min. glob E b = eV; Morse min. lok. E b = eV

67 Kierunki rozwoju (2) Optymalizacja (wielokryterialna) w zagadnieniach pól sprzężonych

68 Example Design variable Min value [m] Max value [m] Z1, Z2, Z3, Z Z Z

69 Results of the optimization (Pareto approach) f 1 - volume f 2 - equivalent stress

70 Results of the optimization (Pareto approach) f 1 heat flux f 2 - equivalent stress

71 Results of the optimization (Pareto approach) f 1 volume f 2 - equivalent stress f 3 heat flux

72 Kierunki rozwoju (3) Optymalizacja i identyfikacja w warunkach niepewności

73 Kierunki rozwoju (4) Rozwój metod optymalizacji topologicznej Rozwój nowych metod optymalizacji wielokryterialnej (np. AE i SSI sprzężone z teorią gier)

74 Sterowanie

75 Sterowanie optymalne (1) Układ sterowany opisany równaniem x f( t, x, u) gdzie u wektor sterujący Ograniczenia: g( u) 0 Rodzaje sterowania optymalnego: A. Sterowanie minimalno-czasowe B. Sterowanie docelowe C. Sterowanie minimalno-całkowe

76 Sterowanie optymalne (2) Przedstawione zagadnienia sterowania optymalnego rozpatrywać można jako szczególny przypadek ogólnego problemu minimalizacji lub maksymalizacji funkcjonału Pontriagina Pbx ( t ) k Funkcja Hamiltona: Ht (, x, p, u) pf gdzie: p wektor sprzężony Zasada maksimum Pontriagina: Jeśli wektor sterujący u jest optymalny, to - gdy minimalizuje P, wtedy hamiltonian H(t,x,p,u) osiąga maksimum, - gdy maksymalizuje P, wtedy hamiltonian H(t,x,p,u) osiąga minimum, względem u w każdej chwili przedziału sterowania.

77 Sterowanie optymalne (3) Metoda programowania dynamicznego badania procesów optymalnych na bazie metod mechaniki Zasada optymalności Bellmana: Optymalna strategia sterowania ma tę własność, że jakiekolwiek byłby stan początkowy i decyzja początkowa, pozostałe decyzje muszą tworzyć strategię optymalną względem stanu powstałego w wyniku pierwszej decyzji. Sterowanie układami holonomicznymi i nieholonomicznymi Układy mechaniczne celowego działania Sterowanie więzami ciała odkształcalnego

78 Sterowanie optymalne (4) Projektowanie strategii i algorytmów sterowania nieliniowego układami mechatronicznymi Prace nad MEMS metody projektowania sterowania dla mikro-elektromechanicznych sensorów Zastosowanie smart materials w mechatronicznych układach sterowania Zastosowanie modeli sztywno/ odkształcalnych do sterowania układami odkształcalnymi i sterowanie drganiami.

79 Sterowanie optymalne (5) Sterowanie modelami humanoidów, modelami ciała ludzkiego Giroskopy MEMS szeroko rozpowszechnione w przemyśle samochodowym, kamerach cyfrowych, układach nawigacyjnych

80 Interdyscyplinarny charakter Sekcji Informatyka Matematyka Optymalizacja i Sterowanie Dyscypliny naukowe: Mechanika Budowa i Eksploatacja M. Automatyka i Robotyka Inżynieria Materiałowa Biocybernetyka i Inż. Biom.

81 RHex robot - superman, biegający, pływający, grający w piłkę kwintesencja modelowania i technik sterowania optymalnego oraz możliwości konstrukcyjnych