Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½

Transkrypt

1 Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½

2 ËÔ ØÖ ÈÖÞ ÑÓÛ ½ Ò ½ ¾ Ï Þ Û Ó Þ ½ Ç ÔÓÛ Þ Ó Þ ¾½ Ð Ó Ö ¼ ¾

3 ÈÖÞ ÑÓÛ Ï Þ ÓÖ Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Þ Ò Þ ÞÛÝÞ Ø ÔÓ ÖÙÔÓÛ Ò Ý ÓØÝÞÝ Ý ÔÓ Þ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Þ Û ÓÑ Û ÒÝ Û Ö Ñ Ø Ó ÔÖÞ Ñ ÓØÙ Ø ÙÒ Ê Ð ÞÝ ÅÓ Þ ÓÖ Û µº Â Ø ØÓ ÙÞ Ò ÓÒ Ý ØÙ Ò ÔÓÞÒ ÓÐ Ò ÔÓ Ù ÝÛÒ Ò ÙÔÖ ÛÒ ÓÒÝÑ Ý Ó Ý ÓÞ Û Ò Û Ø Ò ÖÓÞÛ ÞÝÛ Þ ¹ Ò ÓØÝÞ Ó Ñ Ø Ö Ùº Ø Ñ ÔÓØÝ Ò Ó ÓÔ ÖÓ Ò Þ Ñ Ò º ÈÖÞÝ ÓØÓÛÙ Ø Ò Þ Ö Þ Ñ Ó Ó ÓÔ Ò ÔÓÛÝ Þ ¹ ݺ Ö Ò Û Ò Ñ Þ Ò ÛÝÑ Ó ÓÛ Û ÞÝ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ º Ï Ò Ø Ø Ý Ñ Ø Ö Ø Ò Ý Ò ØÝÐ Ó ÓÔ ÒÓÛ ÒÝ Ð Ø Ó ÖÞ ÞÖÓÞÙÑ Òݺ Ï Ð Þ ØÝ Þ Ó ÛÝ Ð ÓÑÔÐ ÓÛ ¹ Ò Ñ Û ÖÞ ÞÝÛ ØÓ Ö Ø ÖÓÞÛ Þ Ò ÛÒ ØÖÙ ÒÓ ÔÓÐ Ò ØÝÑ ÛÝ ØÔÙ Û Ò Ó ØÝ Ñ Ó ÓÑÔÐ ÓÛ Ò Ò ØÙÖ ÛÝÑ Û Ò Ó Ö Ó ÞÖÓÞÙÑ Ò º ØÝ Ø ÔÓÛÓ Û Þ Ö Ó ÖÞ Ò Ó ÔÖÞÝ ÓØÓÛ ÔÖÞ Þ Ñ Ò Ý ÒÝ º Ó Û ÞÝ Ø Þ ÓÔÖ ÓÛ Ò Þ Ö ÛÒÓ Û Þ Û Ó ÔÓÛ Þ º Þ Ø ÑÙ Ó Ó Ý Ø Ö ÔÖ ÖÙ ÑÓ Þ ÐÒ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Þ Ò Ñ ÔÓÑÝ Ù Þ Þ ÑÓ Ò Ô ÖÛ ÓÖÞÝ Ø Þ Û Þ Û º Ï ÞÝ Ø Ò ÔÓ ÓÞÒ Þ Ò Þ Ó Ò Þ ÔÓ ÖÞÒ Ñ ¾ º Ï ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÓÛÓ Þ Ø Û Ø Ö ÞÓ Ø Ý Ù ÓÛÓ Ò ÓÒ Û ØÝÑ ÔÓ ¹ ÖÞÒ Ùº ÙØÓÖ ÔÖÓ Ó Þ Þ Ò ÑÙ Û Þ Ð ÙÛ ÓØÝÞ Ý Ò Ò Þ Ó Þ ÓÖÙ Û ÞÞ ÐÒÓ ÔÖÞ ÓÞÓÒÝ ÔÓÑÝ Û ÔÓ Ö Ñ Â ÒºÃÖ Þ Û Ñ Ø ºÙÒ ºÛÖÓºÔÐ º Æ Ò ÞÝ ÖÝÔØ ÞÓ Ø ÔÖÞÝ ÓØÓÛ ÒÝ Ò Ò ÓÛ ÒÝ Û Ö Ñ ÔÖÓ ØÙ Å Ò Ø Ö ØÛ Æ Ù ËÞ ÓÐÒ ØÛ ÏÝ Þ Ó Ñ Û Ò ÞØ Ò Ò ¹ ÖÙÒ Ø Ò ÞÒÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÝ ÔÖÞÝÖÓ Ò ÞÝ ¹ Ô ÐÓØ Û Ô ¹ Ò Ò ÓÛ Ò Ó ÔÖÞ Þ ÍÒ ÙÖÓÔ Û Ö Ñ ÙÖÓÔ Ó ÙÒ Ù ÞÙ ËÔÓ¹ ÞÒ Óº Â Ò ÃÖ Þ Û

4 ÊÓÞ Þ ½ Ò ½º Æ A,B,C ÓÛÓÐÒÝÑ Ò ÔÙ ØÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ R D ÓÛÓÐÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ Rº µ ÏÝ Ò ÓÛ Ñ Þ Ù Ý ÝÑ ÓÐ µ Û ÒÓ Þ ÓÖÙ D ÓÔ Ù Þ Ò ( x D)( y D)x y. µ Ô ÝÑ ÓÐ ÞÒ ÛÝÖ Ò ÊÓ Þ Ò Þ ÓÖ Û {A,B,C} Ø ÖÓ Þ Ò ÖÓÞ ÞÒ º µ ÞÝ Û ÖÙÒ (A\B) C = C Ø Û ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ó Ø Ó Ý A C Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ Ð P(A) P(B) = { } ØÓ ÑÓ Þ B C C A Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÈÓ Ò ÞÝ Û ÖÙÒ Ò ÑÓ Þ ÓÖ Û A B ÛÝ Ø ÖÞ Ý Ó Ø Ó Ý A\B Rº Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ¾º Æ A,B,C ÓÛÓÐÒÝÑ Ö ÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ Rº µ Ô ÝÑ ÓÐ ÞÒ Ò ØÔÙ ÛÝÖ Ò º Ï ÔÓ ÔÙÒ µ Ò ÛÓÐÒÓ Ù Ý Û ÒØÝ ØÓÖ Ûº µ Ã Ý ÔÓ Þ Ö Þ ÓÖÙ A Þ Û Ö Þ ÓÖÞ B ÐÙ Ø ÖÓÞ ÞÒÝ Þ Ô ÛÒÝÑ Ò ÔÙ ØÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ Cº µ ÊÓ Þ Ò {A,B,C} Ø ÒØÝ Ù Ñ Û Þ ÓÖÞ Þ ÓÛÓ ÙÔÓ¹ ÖÞ ÓÛ ÒÝÑ P(R), º µ ÞÝ Ð A B C C ØÓ A C B C Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ½

5 µ ÞÝ Ð A B C ØÓ A B = B C Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ Ð ØÒ ÙÖ f : B C Ò g : C B ØÓ B C Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º º Æ A,B,C ÓÛÓÐÒÝÑ Ö ÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ Nº µ Ô ÝÑ ÓÐ ÞÒ Ò ØÔÙ ÛÝÖ Ò º Æ ÛÓÐÒÓ Ù Ý ÝÑ ÓÐÙ ÑÓÝ Þ ÓÖÙ º µ Æ Ó Þ Ò Û Ð Ð Þ Ô ÖÞÝ ØÝ Ò Ð Ý Ó Þ ÓÖÙ Aº µ ÊÓ Þ Ò {A,B,C} Ø ÔÓ Þ Ñ Þ ÓÖÙ Nº µ Í ÓÛÓ Ò Ð A B C ØÓ A C = B C A = Bº µ ÞÝ Ð A B = A C ØÓ C (B \A) = Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ Æ D = {n N : ( k N)n = 3k}º ÞÝ Ð D \ A < ℵ 0 ØÓ D A Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º º Æ A,B C ÓÛÓÐÒÝÑ Ò ÔÙ ØÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ Rº µ Ô ÝÑ ÓÐ ÞÒ Ò ØÔÙ ÛÝÖ Ò º µ Ã Ý Ò ÔÙ ØÝ ÔÓ Þ Ö Þ ÓÖÙ A Ø ÖÝ Ò Ø ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ B Ø ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ Cº µ ÊÓ Þ Ò Þ ÓÖ Û {A,B,C} Ò Ø ÖÓ Þ Ò Þ ÓÖ Û Ô Ö Ñ ÖÓÞ¹ ÞÒÝ º µ ÞÝ Þ Ø Û A C = B C A\C = B \C ÛÝÒ A = B Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ Þ ØÙ A C B C ÛÝÒ A B Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ Þ ØÙ Þ ÓÖÝ A B Ò Ó ÞÓÒ ÛÝÒ A B Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º º Æ A,B,C ÓÛÓÐÒÝÑ Ö ÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ Rº µ Ô ÝÑ ÓÐ ÞÒ Ò ØÔÙ ÛÝÖ Ò º µ Ó Ò Û ÔÓ Ö Þ ÓÖ Û A,B,C Ò ÔÙ Ø º ¾

6 µ Ö A Ò Ø Ó Ö Ò Þ Ò Ñ ÖÒÝÑ ÖÓ Þ ÒÝ {B,C} Û Þ ÓÖÞ Þ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝÑ P(R), º µ ÞÝ Û ÖÙÒ A B C Ø Û ÖÙÒ Ñ ÛÝ Ø ÖÞ ÝÑ Ó Ø Ó Ý A = Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ Ð P(C) P(A) P(B) ØÓ C A B Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ Æ f : R R ÓÖ Þ A Rº ÞÝ Þ ØÙ ÙÒ f A Ø ÙÖ ÛÝÒ ÙÒ f Ø ÙÖ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º º Æ A,B,C ÓÛÓÐÒÝÑ Ö ÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ Rº µ Ô ÝÑ ÓÐ ÞÒ Ò ØÔÙ ÛÝÖ Ò º µ Ã Ý Ð Ñ ÒØ Þ ÓÖÙ A Ò Ð Ý Ó Ó Ò Ò Ó Þ Þ ÓÖ Û B Cº µ ÊÓ Þ Ò {A,B,C} Ò Ø Ù Ñ Û Þ ÓÖÞ Þ ÓÛÓ ÙÔÓ¹ ÖÞ ÓÛ ÒÝÑ P(R), º µ Í ÓÛÓ Ò Ð Ò ÔÙ Ø Þ ÓÖÝ A B C Ô Ò Û ÖÙÒ µ Þ ÔÓ ÔÙÒ ØÙ µ ØÓ Ô Ò Û ÖÙÒ µ Þ ÔÓ ÔÙÒ ØÙ µº µ ÞÝ Ð C B C A ØÓ B A Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ Ð ØÒ Ò f : R A ØÓ Û ÖÙÒ A B Ø Û ÖÙÒ Ñ ÛÝ Ø ÖÞ ÝÑ Ò ØÓ Ý ØÒ ÙÖ g : A B R Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º º Æ A,B,C ÓÛÓÐÒÝÑ Ò ÔÙ ØÝÑ Ö ÒÝÑ ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ Rº µ Ô ÝÑ ÓÐ ÞÒ Ò ØÔÙ ÛÝÖ Ò º µ Ó Þ ÓÖÙ A Ò Ð Û ÞÝ Ø Ó Ö Ò Þ Ò ÓÐÒ Þ ÓÖÙ B Cº µ ÊÓ Þ Ò {A,B,C} Ø ÔÓ Þ Ñ Þ ÓÖÙ Rº µ ÈÓ ÔÖÞÝ Þ ÓÖ Û A,B,C Ô Ò Ý ÓÒ ÙÒ Û ÖÙÒ Û Þ ÔÓ ÔÙÒ ØÙ µº µ ÞÝ Þ ØÙ B A C ÛÝÒ C (A B C) \ (A \ B) Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º

7 µ ÑÝ (A C) (C B) º ÞÝ ÑÓ Þ A B C = Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ Þ ØÙ 0 < (A A) (B B) < ℵ 0 ÛÝÒ Þ Ö A Ø Ó ÞÓÒÝ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º º ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ f : Z N Ò ÛÞÓÖ Ñ f(x) = x 2 +xº µ ÏÝÞÒ ÞÝ f[a] Þ A = [ 2,1] Zº µ ÏÝÞÒ ÞÝ f 1 [B] Þ B = {x N : x 1 2}º µ ÞÝ ÙÒ f Ø Ò Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ Ò ÓÛ ÙÒ g : Z Z Ø Ý Ó Ö Þ rng(g) Ý Þ ÓÖ Ñ Ò ¹ Ó ÞÓÒÝÑ ÙÒ f g Ý Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ ¹ Ò º µ ÞÝ ØÒ ÙÒ h : Z Z Ø Ý ÙÒ f h Ý Ò Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º º ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ f : R (0,+ ) Ò ÛÞÓÖ Ñ f(x) = x 2 +1º µ ÏÝÞÒ ÞÝ (f f)(x 2 +1)º µ ÏÝÞÒ ÞÝ f[a] Þ A = [ 2,1]º µ ÏÝÞÒ ÞÝ f 1 [B] Þ B = (2,3)º µ ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ g α : R R Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ g α (x) = f(x α) Þ α R Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ñµº ÏÝÞÒ ÞÝ Þ Ö C = {α R : g α Ø ÙÒ Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ }. Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ½¼º Æ F : N N N N Þ ÙÒ Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ F(f) = f fº Æ id N N N ÓÞÒ Þ ÙÒ ÒØÝÞÒÓ ÓÛ º Æ h N N Þ ÙÒ Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ h(x) = 0º µ ÈÓ ÔÖÞÝ ÙÒ g N N \{id N,h} Ø F(g) = gº Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ ÙÒ F Ø Ò Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º

8 µ Í ÓÛÓ Ò Ð F(f) = id N ØÓ ÙÒ f Ø º µ Ò Ð õ Þ Ö A N N Ò Û Þ ÑÓÝ Ó Ò ØÔÙ Û ÒÓ A F 1 [{h}]. ½½º Æ π 2 : R 2 R Þ ÖÞÙØ Ñ Ò ÖÙ Ó ØÞÒº π 2 (x,y) = yµº ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ F : P(R 2 ) P(R) Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ F(X) = π 2 [X]º µ ÞÝ ÙÒ F Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ ÙÒ F Ø ÙÖ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÏÝÞÒ ÞÝ F 1 [{{ 1}}]º µ Æ g : R R Þ ÙÒ Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ g(x) = x 2 º Ò Ù ÑÝ ÙÒ G : P(R) P(R) ÛÞÓÖ Ñ G(X) = g 1 [X]º ÞÝ ØÒ Þ Ö A R 2 Ø G F(A) = 3 Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ½¾º Æ ÙÒ F : N N P(N) Þ Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ F(f) = f 1 [{1}]º µ ÞÝ ÙÒ F Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ ÙÒ F Ø Ò Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ Æ S N N Þ Þ ÓÖ Ñ Û ÞÝ Ø ÙÒ Ø Ý º ÏÝÞÒ ÞÝ F[S]º µ ÏÝÞÒ ÞÝ F 1 [{{1}}] º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ½ º Æ A = {f N N : f Ò Ø ÙÖ } Ò ÙÒ F : A P(N) Þ Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ F(f) = rng(f)º µ ÞÝ ÙÒ F Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ ÙÒ F Ø Ò Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ Æ B = {f A : f Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ }º ÏÝÞÒ ÞÝ F[B]º µ Æ C = {{0,1}}º ÏÝÞÒ ÞÝ F 1 [C] º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ½ º Æ f,g,h N N ÙÒ Ñ ÒÝÑ ÛÞÓÖ Ñ f(x) = 2x, g(x) = x 2 2x + 2 h(x) = 0º Æ ÙÒ F : N N N N Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ F(ϕ) = ϕ fº

9 µ ÞÝ ÔÖ Û Ø g[a] g[b] A B µ ÞÝ ÙÒ F Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ µ ÞÝ g F 1 [{f}] µ ÏÝÞÒ ÞÝ F 1 [{h}] º Ï ÞÝ Ø Ó ÔÓÛ Þ Ò Ð Ý ÙÞ Ò º ½ º Æ X = {x N : x 6}º µ ÞÝ ØÒ ÙÒ f : X X Ø f f = id X ( x X)f(x) x Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ g : X X Ò ÛÞÓÖ Ñ g(x) = x 2 º ÍÞ Ò Ò ØÒ Þ ÓÛÝ ÔÓÖÞ Ò Þ ÓÖÞ X Ø ( x X)x g(x). µ ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ h : X N X N Ò ÛÞÓÖ Ñh(x,y) = x,x+y º µ ÏÝÞÒ ÞÝ h 1 [{ 3,2 }]º µ ÏÝÞÒ ÞÝ rng(h) º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ½ º Æ R S Ö Ð Ñ Ò Þ ÓÖÞ A = {x N : x 10} Þ Ò Ó¹ Û ÒÝÑ Ò ØÔÙ Ó xry ( k Z)x 2 y 2 = 5k, xsy x y 8. µ ÍÞ Ò R Ø S Ò Ø Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ º µ ÏÝÞÒ ÞÝ [2] R º µ ÏÝÞÒ ÞÝ A/ R º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ R S Ø Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ½ º Æ I = {2,3,5,7}º Æ R N + N + Þ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Þ Ò Û ÖÙÒ Ñ xry ( p I)(p x p y). µ ÞÝ 12 [18] R µ ÞÝ {2n+1 : n N} N + / R

10 µ ÞÝ Ö Ð R R Ø Ô Ò µ ÏÝÞÒ ÞÝ N + / R º Ï ÞÝ Ø Ó ÔÓÛ Þ ÙÞ Ò º ½ º Ð Ón {0,1,2} Ò Þ ÓÖÞ N N Ò Ù ÑÝ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ R n Û ÖÙÒ Ñ f R n g ( k N)(f(k) > n g(k) > n). Æ ϕ,ψ N N ÙÒ Ñ Þ ÒÝÑ ÛÞÓÖ Ñ ϕ(x) = 0, ψ(x) = xº µ ÏÝÞÒ ÞÝ [ϕ] R0 º µ ÏÝÞÒ ÞÝ [ϕ] R1 º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ ψr 1 R 2 ϕ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÏÝÞÒ ÞÝ N N / R1 º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ½ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ f : Z 2 Z Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ f(x,y) = x 2 yº Æ R Þ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ò Þ ÓÖÞ Z 2 Þ Ò Û ÖÙÒ Ñ x,y R a,b f(x,y) = f(a,b). µ ÞÝ ÙÒ f Ø Ò Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÏÝÞÒ ÞÝ Ð ØÖ [ 0,0 ] R º µ ÏÝÞÒ ÞÝ Ó Ö Þ Ð Ý ØÖ f [[ 2, 3 ] R ]º µ Æ A Z 2 Þ Ò Ó ÞÓÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ Ø ÖÝ Þ Ð ¹ ØÖ Ö Ð R Ñ Ó Ò ÛÝ Ò Û Ô ÐÒÝ Ð Ñ Òغ ÞÝ ÙÒ f A Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ ÞÝ Ø Ò Ç ÔÓÛ Þ ÙÞ Ò º µ Æ X = {0,1,2}º ÏÝÞÒ ÞÝ X 2 / R X 2 º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ¾¼º Æ π 1,π 2 : R 2 R ÖÞÙØ Ñ Ó ÔÓÛ Ò Ó Ò Ô ÖÛ Þ ÖÙ Ó ØÞÒº π 1 (x,y) = x π 2 (x,y) = yµº Æ Þ ÓÖÞ P(R 2 ) Ò Ù ÑÝ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ R Û ÖÙÒ Ñ ARB π 1 [A] = π 1 [B]. µ Æ C = { x,y R 2 : xy = 1}º ÞÝ C [R 2 ] R Ç ÔÓÛ õ ÙÞ ¹ Ò º

11 µ ÈÓ ÔÖÞÝ Þ ÓÖÙ D [R 2 ] R Ø Ó π 2 [D] = 2º µ ÏÝÞÒ ÞÝ [{ 0,0 }] R º µ Æ E = R\Qº ÞÝ ØÒ Þ Ö F [E N] R Ø F = ℵ 0 Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ¾½º Æ T Þ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ò Þ ÓÖÞ N N Þ Ò Û ÖÙÒ Ñ a n : n N T b n : n N a 0 = b 0. Æ c n : n N Þ Ñ Þ ÒÝÑ Û ÖÙÒ Ñ ( n N)c n = 0º µ ÈÓ ÔÖÞÝ Ù d n : n N Ö Ò Ó Ó Ù c n : n N Ø Ó [ c n : n N ] T [ d n : n N ] T. Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÇÔ Þ Ö ÐÓÖ ÞÓÛÝ N N / T º µ Â Ø ÑÓ Þ ÓÖÙ N N / T Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÈÓ Þ [ c n : n N ] T = c. ¾¾º Æ R Þ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ò Þ ÓÖÞ P(Z) Þ Ò Û ÖÙÒ Ñ Þ A+x = {a+x : a A}º ARB ( x Z)B = A+x, µ ÞÝ {1,2,4} [{5,7,8}] R Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ ØÒ Ô Ó Ð Ñ ÒØÓÛ Ð ØÖ Ö Ð R Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÏÝÞÒ ÞÝ {A (P(Z))/ R : ( B A) B = 1} º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ ¹ Ò º µ Í ÓÛÓ Ò {A (P(Z))/ R : ( B A) B = 2} = ℵ 0 º µ ÏÝÞÒ ÞÝ P(Z)/ R º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ¾ º ÊÓÞÛ ÑÝ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ R Ò Þ ÓÖÞ ÙÒ Z N Þ Ò Û ÖÙÒ¹ Ñ f Rg ( n N)(f(n) 0 g(n) 0).

12 µ Æ ÙÒ f,g Z N Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ f(n) = n 2 1 g(n) = nº ÞÝ [f] R = [g] R Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÏÝÞÒ ÞÝ Ð ØÖ ÙÒ h Z N Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ h(n) = ( 1) n º µ Ò Ð õ Þ Ö A Z N Ò Û Þ ÑÓÝ Ñ Ý Ò ØÔÙ Û ¹ ÒÓ ( f,g A)f g f Rg. ¾ º Æ R Þ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ò Þ ÓÖÞ P(Z) Þ Ò Û ÖÙÒ Ñ ARB (A Z\N B Z\N A = B) (A Z\N B Z\N A N = B N). µ ÞÝ {2n+1 : n N} [{1}] R Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÈÓ ÔÖÞÝ Þ ÓÖÙ C Z Ø Ó [C] R < ℵ 0 º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÈÓ ÔÖÞÝ Ò Ó ÞÓÒ Ó Þ ÓÖÙ D Z Ø Ó D [{x Z : x+1 1}] R. µ ÏÝÞÒ ÞÝ [Z] R º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÏÝÞÒ ÞÝ P(Z)/ R º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ¾ º Æ X = {n N + : n 6}º Æ ÙÒ f : X X Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ f(x) = [ 3x] Þ [x] ÓÞÒ Þ Ò Û Þ Ð Þ ÓÛ Ø Ò Û Þ Ó x Rº Æ Þ ÓÖÞ P(X) Ò Ù ÑÝ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ R Û ÖÙÒ Ñ ARB f[a] = f[b] ÓÖ Þ Ö Ð S Û ÖÙÒ Ñ µ ÏÝÞÒ ÞÝ [ ] R º ASB f 1 [A] f 1 [B]. µ ÞÝ {3,6}S R{4} Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÏÝÞÒ ÞÝ P(X)/ R º Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÏÝÞÒ ÞÝ Ò Û ÞÝ Þ Ö C P(X) Ð Ø Ö Ó Ö Ð S P(C) Ø Ö Ð Þ ÓÛ Ó ÔÓÖÞ Ùº Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º

13 ¾ º Æ X = {(a,b) : a R b R a < b}º ÊÓÞÛ ÑÝ Þ Ö Þ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ X, Þ I J infi infj supi supj. µ ÞÝ ØÒ J X Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒÝ Þ ÔÖÞ Þ Ñ (0,2) Ø J (1,3) Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÈÓ ÔÖÞÝ Ò ÔÖÞ Ð Þ ÐÒ Ó ÒØÝ Ù Û Xº µ ÈÓ ÔÖÞÝ Ò Ó ÞÓÒ Ó Ù Û X Ø Ö Ó Ò Û Ð ¹ Ñ ÒØÝ Ò ÖÓÞ ÞÒ º µ ÞÝ Û Þ ÓÖÞ A = P([0,1]) X ØÒ Ð Ñ ÒØ Ñ ÝÑ ÐÒÝ Ç ÔÓ¹ Û õ ÙÞ Ò º ¾ º Æ 1 Þ Þ ÓÛÝÑ ÔÓÖÞ Ñ Ò Þ ÓÖÞ R Þ ÒÝÑ Û ÖÙÒ¹ Ñ x 1 y ( z R)(x < z y < z). ÈÓÒ Þ ÔÝØ Ò ÓØÝÞ Þ ÓÖÙ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ó R, 1 º µ ÞÝ 3 1 π Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ ÔÓÖÞ 1 Ø Ð Ò ÓÛÝ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ Ï Þ ÔÓ Þ Ö B R Û Ø ÖÝÑ Ò Ñ Ð Ñ ÒØÙ Ñ ÝÑ ÐÒ Ó supb = 2º µ Æ 2 Þ Ó Ñ Ö Ð 1 Ó Þ ÓÖÙ Nº ÞÝ Ð ÓÛÓÐÒÝ x,y N ÔÖ Û Ø Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º x 2 y ( z N)(x < z y < z)? ¾ º Æ Ö Ð Þ Þ ÓÛÝÑ ÔÓÖÞ Ñ Ò Þ ÓÖÞ N 2 Þ ÒÝÑ Û ÖÙÒ Ñ x,y a,b (x = a y = b) (x < a y < b). µ ÈÓ ÔÖÞÝ Ò Ó ÞÓÒ Ó ÒØÝ Ù Û N 2 º µ ÏÝÞÒ ÞÝ Þ Ö Ð Ñ ÒØ Û Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Û N 2 º ½¼

14 µ Æ π : N 2 N Þ ÖÞÙØ Ñ Ò Ô ÖÛ Þ Ó ØÞÒº π(x,y) = xµº ÞÝ ØÒ Ò Ó ÞÓÒÝ Ù L N 2 Ø π[l] < ℵ 0 Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ¾ º Æ X = {(a,b) : a R b R a < b}º ÊÓÞÛ ÑÝ Þ Ö Þ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ X, Þ I J I = J supi infj. µ ÞÝ ØÒ J X Ø (0,1) J (1,2) Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ Û P((,1)) X ØÒ Ð Ñ ÒØ Ò Û ÞÝ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ ¹ Ò º µ ÈÓ ÔÖÞÝ Ò Ó ÞÓÒ Ó ÒØÝ Ù A X Ø Ó I AI = º µ ÞÝ ØÒ Ò ÔÖÞ Ð Þ ÐÒÝ Ù Û X Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ¼º Æ Þ Þ ÓÛÝÑ ÔÓÖÞ Ñ Ò Þ ÓÖÞ N + Þ ÒÝÑ ÛÞÓÖ Ñ x y (2 x 2 y ( k N)y = 2 k x) (2 x 2 y x y). ÈÝØ Ò ÓØÝÞ Þ ÓÖÙ Þ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ó N +, º µ ÞÝ 2 12 Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ Û Þ ÓÖÞ N + ØÒ Ð Ñ ÒØ Ñ ÝÑ ÐÒÝ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÈÓ ÔÖÞÝ Ò Ó ÞÓÒ Ó ÒØÝ Ù Û Þ ÓÖÞ N + º µ ÞÝ ØÒ Ð Ñ ÒØ z N + Ø ÖÝ Ñ Û Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒ ÔÓÔÖÞ ¹ Ò Ð Ñ ÒØ t N + Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Ð Ñ ÒØÙ z N + Ý t zµ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ½º Æ f : Z N Þ Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ { 2x 1 Ð x < 0 f(x) = 2x Ð x 0. Æ Þ Þ ÓÛÝÑ ÔÓÖÞ Ñ Ò Þ ÓÖÞ N Þ ÒÝÑ Û ÖÙÒ Ñ n m f 1 (n) f 1 (m). ÈÓ ÔÙÒ ØÝ µ µ ÓØÝÞ Þ ÓÖÙ Þ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ó N, º ½½

15 µ ÞÝ 7 9 Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ ØÒ Þ Ö A N Ø ÖÝ Ñ Û Ö Ò Ð Ñ ÒØÝ Ñ ÝÑ ÐÒ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÈÓ ÔÖÞÝ Þ ÓÖÙ B N Ò Ó Ö Ò ÞÓÒ Ó Þ Ó Ù Ø Ó supb = 4º µ Æ g = f N Ò C = {x N : x 100}º ÏÝÞÒ ÞÝ (g f) 1 [C]º ¾º Æ Þ Þ ÓÛÝÑ ÔÓÖÞ Ñ Ò (N + ) 2 Þ ÒÝÑ ÛÞÓÖ Ñ µ Æ A = {2,4,6} 2 º x,y a,b x a b y. µ Æ ÖÝ ÓÛ ÞÝØ ÐÒݵ Ö Ñ À Ó Þ ÓÖÙ Þ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ¹ ÓÛ Ò Ó A, Þ ÔÓ Ô Ò Ñ Û ÖÞ Ó Ûµº µ ÏÝÞÒ ÞÝ Ö ÖÒÝ Þ ÓÖÙ A Û (N + ) 2 µº µ ÞÝ Û Þ ÓÖÞ Þ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝÑ (N + ) 2, Ø Ð Ñ ÒØ Ñ ¹ ÝÑ ÐÒÝ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÈÓ ÔÖÞÝ Ù L (N + ) 2 Ø Ó {x N + : ( y N + ) x,y L} = ℵ 0 ÓÖ Þ {y N + : ( x N + ) x,y L} > 1. º Æ Þ ÓÖÞ N N Ò Ù ÑÝ Ö Ð Þ ÓÛ Ó ÔÓÖÞ Ù Û ÖÙÒ Ñ f g ( n N)f(n) g(n). µ Â Ð Ñ ÒØÝ Ò Û Þ Ò ÑÒ Þ Ñ ÝÑ ÐÒ Ñ Ò Ñ ÐÒ Û Þ ÓÖÞ Þ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝÑ N N, Ð ØÒ Û Þ Ð Ò ØÒ ÙÞ Ò µ µ Ï Þ Ò Ó ÞÓÒÝ Ù Û Þ ÓÖÞ Þ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝÑ N N, º µ Æ h : N N Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ h(n) = n+1º ÈÓ Þ {f N N : f h} = c. ½¾

16 º Æ Ö Ð Þ Þ ÓÛÝÑ ÔÓÖÞ Ñ Ò Þ ÓÖÞ R Þ ÒÝÑ Û ÖÙÒ Ñ x y x = y {x} < {y}, Þ {x} ÓÞÒ Þ Þ Ù Ñ ÓÛ Þ Ð Þ Ý xº ÈÓÐ Ò ÓØÝÞ Þ ÓÖÙ Þ¹ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ó R, º µ ÞÝ ØÒ x R Ø 10 x 5 Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º 3 2 µ ÞÝ Û R ØÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÑÒ ÞÝ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÈÓ ÔÖÞÝ Ò Ó ÞÓÒ Ó Þ ÓÖÙ A R Ø Ó Û A ØÒ Ó Ò Û Ð Ñ ÒØÝ Ñ ÝÑ ÐÒ º µ ÞÝ Û R ØÒ Ò ÔÖÞ Ð Þ ÐÒÝ ÒØÝ Ù Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º º Æ Ö Ð Þ Þ ÓÛÝÑ ÔÓÖÞ Ñ Ò Þ ÓÖÞ R 2 Þ ÒÝÑ Û ÖÙÒ Ñ x,y a,b (x = a y = b) (x 2 +y 2 < a 2 +b 2 ). ÈÓÐ Ò ÓØÝÞ Þ ÓÖÙ Þ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ó R 2, º µ ÏÝÞÒ ÞÝ Þ Ö Ð Ñ ÒØ Û Ñ Ò Ñ ÐÒÝ º µ Ù L R 2 Ò ÞÝÛ ÑÝ Ù Ñ Ñ ÝÑ ÐÒÝÑ Ð Ò ØÒ Ù L R 2 Ý Û ÛÝÑ Ò Þ ÓÖ Ñ Ù Lº ÈÓ ÔÖÞÝ Ù Ñ ÝÑ ÐÒ Óº µ ÞÝ Þ Ö A = [ 1,1] 2 Ñ Ö ÖÒÝ Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º µ ÞÝ ØÒ Ò Ó ÞÓÒÝ ÔÓ Þ Ö B R 2 Ø Ö Ð B Ø Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ò Þ ÓÖÞ B Ç ÔÓÛ õ ÙÞ Ò º ½

17 ÊÓÞ Þ ¾ Ï Þ Û Ó Þ ½º µ ÞÝ Ò ÖÞÙ Ó ÔÓÛ õ Ø Ò Ô ÛÒÓ ÓÑÔÐ ØÒ µ ë ÒÝ Û ÒØÝ ØÓÖ Û Ó ÔÓ Ó µ µ ÞÝ Þ ØÙ A C ÛÝÒ A\B C µ ÈÓ Þ Ð B C C A ØÓ B C C Aº µ ÁÑ ÑÒ Þ ÑÝ Ó ÑÓÝ Þ ÓÖÙ B ØÝÑ ÞÝ Û ÖÙÒ Ó¹ Ø Ñݺ ¾º µ ÞÝ Ð x,y / C C ØÓ x / C y / C µ Ë ÓÖÞÝ Ø Þ Ö ÛÒÓ A B = (A B)\(A B)º µ  ÞÒ ÑÝ Û ÖÙÒ Ö ÛÒÓÛ Ò Ò Ö ÛÒÓ B C º µ µ ÈÓ Þ Ö Þ ÓÖÙ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ø Ò Ó ÞÓÒÝ Ó Ò ÛØ Ý Ý Ø Ò Ó Ö Ò ÞÓÒݺ µ  ØÖÞÝ Û ÖÙÒ Ô Ò ÔÓ Þ ÍÔÖÓ ÞÞ Ò Ó Þ ÓÖ A,B,C Û ÑÝ Ö Ò º µ ÃÐÙÞÓÛ Ø Ò ÔÙ ØÓ Þ ÓÖÙ Cº µ Æ ÛÔÖÓ Ø µ Ï ÑÝ D = (D A) (D \A)º º µ µ Þ Û ÒØÝ ØÓÖ Ûº µ È ØÖÞ Û Þ Û Ó Þ º µ ÃÓÒØÖ ÔÓÞÝ µ ÞÝ Ò Þ Ö ÑÓ Ý Ö Þ Ò Ó ÞÓÒÝ Ó ÖÙ Ó º º µ µ ÁÐ ÔÓ Ö Þ ÓÖ Û A,B,C Ø ÔÙ ØÝ µ Þ Û ÒØÝ ØÓÖ Ûº ½

18 µ Ó ÛÝÒ Þ ØÙ Þ Ö A B Ø ÔÙ Øݺ µ Ï ÑÝ P(X) P(Y) X Y º µ ÙÒ Ø ÙÖ Ý ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÞÝ Ø ÑÓ Ð Û Û ÖØÓ º º µ µ Ë ÓÖÞÝ Ø Þ ÔÖÞÝ ØÒ ÓÔ Ö Ø ÓÖ ÓÑÒÓ Ó ÓÛ º µ ÃØ Ö Þ ÓÖÝ ÑÙ Þ Ý Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒ Û Ò Þ Û Ö Ò º µ Æ ÛÔÖÓ Øº µ ÞÝ Þ ÓÖÝ A,B,C Ò ÔÙ Ø µ ÞÝ Ð ÔÖÞ Ö Ô ÛÒ Ó Þ ÓÖÙ Þ Þ ÓÖ Ñ Ù ÝÑ Ø Ò ÔÙ ØÝ ØÓ Ø ÑÙ Ý Ù Ý º µ µ Ã Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø Ð Ø Ó Ö Ò Þ Ò Ñ ÓÐÒÝÑ Þ ÓÖÙ B C ØÓ Ò Ð Ý Ó Þ ÓÖÙ A µ Ó Þ Þ Ó Ò Û ÑÝ Ó Þ ÓÖ A,B,C µ ÈÖÞ Þ Ý Ô ÔÖÓ Ø µ Ö Ñ Î ÒÒ ÑÓ ÔÓÑ Û ÔÓ Ù ÝÞ º µ Ó ÛÝÒ Þ Þ Ó Ò ÞÝ ØÓ ÛÝ Ø ÖÞÝ µ Æ ÔÙ ØÓ Ø ØÓØÒ ÖÝ ÙÒ ÑÓ ÔÓÑ º º µ A = { 2, 1,0,1}º µ B = {0,1,2,3}º µ Â Ø ÔÖÞ Û Þ Þ Ò ÙÒ f µ ÙÒ g ÑÙ Ý Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ ÔÓ Ó Ò Ó ÙÒ ¹ f Ó Ó Ö ÞÙ ÙÒ gº µ È ØÖÞ ÔÓ ÔÙÒ Ø µº º µ (f f)(x 2 +1) = f(f(x 2 +1)) = f((x 2 +1) 2 +1)º µ ÏÝ Ö ÑÓ ÔÓÑ º µ ÏÝ Ö ÑÓ ÔÓÑ º µ f(x α) = (x α) 2 +1 = x 2 2αx+α 2 +1º ½¼º µ ÙÒ Ö ÞÓ ÔÓ Ó Ò Ó ÙÒ h µ Æ º µ ÏÔÖÓ Ø Þ Ò º µ  ÞÒ Ð õ ÓÒØ ÒÙÙÑ ÙÒ Þ Ø ÖÝ ÔÓ Þ Ó Ò Ù Þ Ó Ñ ÙÒ Ø Ö ÛÒ Þ ÖÓ ÏÝ Ø ÖÞÝ Ó Ö Ò ÞÝ Ó ÙÒ Þ ÖÓ¹ ÝÒ ÓÛÝ º ½

19 ½½º ½¾º ½ º ½ º ½ º µ ÞÝ ØÒ Û ÔÓ Þ ÓÖÝ Ô ÞÞÝÞÒÝ Ó ØÝÑ ÑÝÑ ÖÞÙ Ò Ó OY µ Ï ÔÓ Ñ ÒÝ ÔÓ Þ Ö ÔÖÓ Ø ÓÒ ØÖÙÓÛ ÔÓ ¹ Þ Ö Ô ÞÞÝÞÒÝ Ø Ö Ó ÖÞÙØ Ñ Þ ÒÝ ÔÓ Þ Ö µ F 1 [{{ 1}}] ØÓ ÖÓ Þ Ò ÔÓ Þ ÓÖ Û Ô ÞÞÝÞÒݺ Ì Ö Þ ØÖÞ Ó Ò Ó ÞÝØ Þ Ò ÔÖÞ ÛÓ Ö ÞÙ Ó ØÓ ÞÒ ÞÝ X F 1 [{{ 1}}]º µ ÞÝ ØÒ ÔÓ Þ Ö ÔÖÓ Ø ÖÞ ÞÝÛ Ø Ø Ö Ó ÔÖÞ ÛÓ Ö Þ ÔÖÞ Þ ÙÒ g Ñ Ó Ò Ð Ñ ÒØÝ µ ÞÝ ØÒ Û Ö Ò Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ñ ÝÒ Ò ØÝ ÑÝ Ñ µ ÞÝ Ñ ÒÝ ÔÓ Þ Ö Þ ÓÖÙ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ÙÑ ÑÝ Û ¹ Þ Ð Ø Ö Ó Þ Ö ÒÙÑ Ö Û ÛÝÖ Þ Û Ö ÛÒÝ 1 ÔÓ ÖÝÛ Þ ÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ µ ÏÝÒ Ñ ÑÙ Ý ÖÓ Þ Ò ÔÓ Þ ÓÖ Û Nº µ È Ñ Ø ÑÝ F 1 [{{1}}] N N º Æ ØÔÒ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ ÙÛ ¹ Ò Þ Ò ÔÖÞ ÛÓ Ö ÞÙ Ý ÞÓÖ ÒØÓÛ Þ Ó ¹ Ò ÙÒ ÖÓÞÛ ÒÝ ÔÖÞ ÛÓ Ö Þº Ý ÛÝÞÒ ÞÝ Ó ÑÓ Ó ÓÒÙ ÑÝ Þ ÓÛ Ó ÓØÖÞÝÑ Ò Ó Þ ÓÛ Ò Þ Ó Ù ÛÝ Ø ÖÞÝ ÞÒ Ð õ ÔÓ Þ Ö Þ ÓÖÙF 1 [{{1}}] Ó Ø ÖÝÑ ØÛÓ ÑÓ¹ ÑÝ ØÛ Ö Þ Ñ ÑÓ ÓÒØ ÒÙÙѺ µ ÞÝ ØÖÙ ÒÓ ÞÒ Ð õ Û Ö Ò ÙÒ Ó ØÝÑ ÑÝÑ Ó Ö Þ µ Ó ÛÝÒ Þ ØÙ Ð Ñ ÒØÝ Þ ÓÖÙ A Ò ÙÖ Ñ µ Ó ÑÓ ÑÝ ÔÓÛ Þ Ó Ó Ö Þ ÙÒ Ó Ö Ò ÞÓÒ µ ÃØ Ö ÙÒ Ñ Ó Ö Þ {0,1} µ ÃÓÒØÖ ÔÓÞÝ µ Ï ÖØÓ Þ ÙÛ Ý Þ Ò ÙÒ F ÔÓÐ Ò ÛÝ Ö Ò Ù Ô Û¹ Ò Ó ÔÓ Ùº µ ÞÝ F(g) = f º µ ÁÐ Ø Û Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ø ÖÝ Ô ÖÞÝ Ø ÛÝÖ ÞÝ Þ ¹ Ö Ñ µ ÙÒ f Ó ÔÓ ÒÝ Û ÒÓ ÞÝ Ð Ñ ÒØÝ Þ ÓÖÙ X Û Ô Öݺ µ Æ ÛÔÖÓ Øº ½

20 µ µ Ð Ô Ö x,y Ñ ÑÝ x = 3 x+y = 2 µ ÌÛº ÒØÓÖ ¹ ÖÒ Ø Ò º ½ º ½ º ½ º ½ º ¾¼º ¾½º µ ÞÝ Ö Ð S Ø ÔÖÞ Ó Ò µ ÃÛ Ö ØÝ Ð Þ Ö ÞØ 4 Û Þ Ð Ò Ù ÔÖÞ Þ 5 µ Æ ÔÖÓ ÛÝÞÒ ÞÝ Þ Ö ÐÓÖ ÞÓÛÝ Ò ÞÝ Þ Ö ÞØÝ Û Ö Ø Û Û Þ Ð Ò Ù ÔÖÞ Þ 5º µ ÞÝ Ö Ð R S Ø ÔÖÞ Ó Ò µ Â Þ ÐÒ Þ Þ ÓÖÙ I Ñ Ð Þ Ý µ ÞÝ Ð Þ Ý 1 3 Û Ö Ð R µ ÞÝ ØÒ Ô Ò Ò ØÖÝÛ ÐÒ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ µ Â Ø ÛÝ ØÖ ÓÛ Ò Â ÑÓ Ð Û Û ÖØÓ ÁÐ Ø µ ÏÝ Ø ÖÞÝ Ó ÖÞ ÞÖÓÞÙÑ Ò Ö Ð Ó ÔÓÛ õ Ø ÔÖÓ¹ Ø º µ ÌÖÞ Ó ÞÝØ Þ Ò Ñ Þ ÓÖ Ñ Ø [ϕ] R1 º µ ÞÝ ÑÓ ØÒ Û Ò ØÓ ψr 1 R 2 ϕ µ Ø ÒÓÛ ÑÓ Ð Û Û ÖØÓ Ý ÛÝ ØÖ ÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ö Ð R 1 Ð Ó ÞÒ Ð õ Ù Ó ÙÒ Ô Ö Ñ Ò Ö Û¹ ÒÓÛ ÒÝ ÛÞ Ð Ñ Ø Ö Ð º µ Ì º µ Â Ô ÖÝ ÔÖÞ Ó Þ ÔÖÞ Þ ÙÒ f Ò 0 µ Ý Û Ò Ð ØÖ Ö Ð R ØÓ Û Ò Ø Ñ Û ÖØÓ ÔÖÞ Þ ÙÒ fº µ Ó Ò ÛÝ Ø ÐÙÞÓÛ º µ Æ Ò Ð Ý ÒÓØ ØÓ ÔÖÓ Ø Þ Ò º µ ÏÝÞÒ ÞÝ ÖÞÙØÝ Ó Ù Þ ÓÖ Ûº µ ÌÖÞ ÔÓ ÔÖÞÝ Þ ÓÖÙ ÞÒ Ó ÖÞÙØÝ Ò Ó Ó º µ [{ 0,0 }] R P(R 2 ) ÙÛ Ò ÝØÝ Þ Ö ÔÙ Øݺººµ µ Ó ØÓ Ø π 1 [E N] µ Â Ø Ö ÛÒÓÛ ÒÝ Þ Ñ c n : n N µ Ï ÖØÓ Þ Ø ÒÓÛ Ø Ø ÔÖÓ Ù ØÖ ÓÛ Ò ØÓ ÔÓÑÓ Ð Ò Ó ÓÔ Þ Ö ÐÓÖ ÞÓÛݺ ½

21 µ ÏÔÖÓ Ø Þ µ ÔÓ Û ÖÙÒ Ñ Ñ ÑÝ ÔÓÖÞ ÒÝ ÓÔ ººº µ ÌÛº ÒØÓÖ ¹ ÖÒ Ø Ò Ó Þ ÓÛ Ò Þ Ó Ù Ò Ø ØÖÙ Ò Ûݹ Ø ÖÞÝ Þ Ò ÓÛ Ó ÔÓÛ Ò Ò º ¾¾º ¾ º ¾ º ¾ º ¾ º ¾ º µ Ë Ó ÖÞ Ö Ð R Þ ÔÖÞ ÙÛ Ò Ñ ØÖ Ò Ð µ Þ ÓÖ Ûº µ Ç ÔÓÛ Þ Ò Ô ÖÛ Ò ØÓ ÑÓ ÔÝØ Ò Ð ÛÙ Ð Ñ ÒØÓÛ Ð Ý ØÖ º µ ÁÐ Ø Ð ØÖ Ý Þ Þ ÓÖ Û ÒÓ Ð Ñ Ò¹ ØÓÛÝ µ ÈÓ ÞÝÑ ÔÓÞÒ ÑÝ Û Ô ÖÝ Ð Þ ÓÛ ØÝ Û Ö Ð R µ ÃÐÙÞÓÛ Ø Ó Ö Ó Þ ÓÛ Ò Þ Ó Ùº µ Â Û ÖØÓ ÙÒ f g Û Þ ÖÞ º µ ÌÖÞ Ó Ò ÓÔ ÞÙ ÒÝ Þ Ö Û Ò Þ Ö ÛÒÓ Ñ Ô ÖÞÝ Ø Ò Ô ÖÞÝ Ø µº µ ÅÓ Ò Û Þ Þ Ö A ÑÓÝ ÓÒØ ÒÙÙѺ µ {2n+1 : n N},{1} Z\Nº µ C Z\N µ { 2, 1,0} Z\Nº µ [Z] R = {A P(Z) : N A}º µ ÞÝ Û Ö Ò ÔÓ Þ ÓÖÝ Þ ÓÖÙ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ÛÝÞÒ Þ Ö Ò Ð Ý ØÖ Ö Ð R µ ÞÝ Ò ÔÙ ØÝ Þ Ö ÑÓ Ñ ÔÙ ØÝ Ó Ö Þ µ Ì º µ ÍÛ ÇÔ ÝÛ Ò Þ ÓÖÙ ÐÓÖ ÞÓÛ Ó Ò Ô ÓØ Ø ÖÝÞݹ ÓÛÒ ººº µ Â Ý Ö Ù Ö Ð S Ó Ý Þ ÓÛÝÑ ÔÓÖÞ Ñ µ Ã Ý Û ÔÖÞ Þ Ý Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒ µ ÂÛº µ ÏÝ Ø ÖÞÝ Ù Ø Ð Ò ÓÒ ÞÑ Ò ÖÙ º µ Æ º µ ÞÝ ÔÓÖÞ 1 ÓÔ Û ÔÖÓ Ø ÞÝ ÔÓ ½

22 µ Æ ØÝ Ñ ØÓÛ Ý ÞÒ ÑÝ ÛÛº ÔÖÓ Ø ÞÝ ÓÔ º µ Ç Ò ÓØÛ ÖØÝ µ Ì º ¾ º µ 0,0 0,1 º µ 0,0 1,0 º µ Æ º ¾ º ¼º ½º ¾º µ Æ º µ ÞÝ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Û Ð Ñ ÒØÝ Ñ ÝÑ ÐÒ µ ÊÓ Þ Ò Þ ØÔÙ µ Ý Û Ö Ò Ó Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒ ØÓ ÖÓÞ ÞÒ º µ ÞÝ Ð Þ 12 Ø ÔÓØ Ð Þ Ý 2 µ Ð Ð Þ Ý Ò Ô ÖÞÝ Ø ØÛÓ ÞÒ Ð õ Ð Þ Ó Ò Û Þ Û Ò µº Ð Ô ÖÞÝ Ø µ ËÞÙ ÑÝ Û Ö ÔÓ Þ ÓÖ Û Þ ÓÖÙ Ð Þ Ô ÖÞÝ ØÝ º µ Æ º µ ÊÝ ÙÒ ÑÓ ÔÓÑ º µ ÞÝ Û Þ ÓÖÞ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝÑ Z, ØÒ Û Ö Ò Ð ¹ Ñ ÒØÝ Ñ ÝÑ ÐÒ µ Ö Ð Þ Ò Ô ÖÞÝ ØÝ ÔÐÙ Ó µ ÅÓ Ò ÓÖÞÝ Ø Þ ØÙ (g f) 1 [C] = f 1 [g 1 [C]]º µ µ ÞÝÒ ÑÝ Ó ÞÙ Ò Ó Ö Ò Þ Ò ÖÒ Óº µ È ØÖÞÝÑÝ Ò Ô ÖÛ Þ Ó º µ Ï ÖØÓ Ò Ô ÖÛ ÞÒ Ð õ Ò Ó ÞÓÒÝ Ù ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒ ÖÙ¹ Û Ô ÖÞ Ò ÔÓØ Ñ ØÖÓ Ó ÔÓÔÖ Û Ý Ô Ò ÖÙ Û ÖÙÒ º º µ ÞÝ Ð ÙÒ ØÒ ÙÒ Ó Ò Û Þ µ Ï ÖØÓ Þ Þ Ó ÙÒ Ø Ð Ö ÛÒ Þ ÖÓº µ Ó ÖÝ ÖÝ ÙÒ Ö ÞÓ ÔÓÑ Û ÞÒ Ð Þ Ò Ù ÔÖÓ ØÝ Þ ÓÛ º º µ { } 10 3 = 1, { } = 1 º 2 µ ÁÐ Ø Ð Ñ ÒØ Û Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Û Þ ÓÖÞ R ½

23 µ Ð Ñ ÒØÝ Ñ ÝÑ ÐÒ ÑÙ Þ Ñ Ø Ñ Þ Ù Ñ ÓÛ º µ Ã Ý Û Ð Þ Ý Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒ º µ Æ Ñ Þ ÝØ Ù Óº µ ÈÖÓ Ø Ò Ø Ó Ö º µ Â Ó Ö Ò ÞÝ Þ ÖÝ Û ÖÞ Ó Û Ö ØÙ µ Ã Ý Ö Ð ÔÓÖÞ Ù ÑÓ Ý Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ ¾¼

24 ÊÓÞ Þ Ç ÔÓÛ Þ Ó Þ ½º µ Ö D Ø ÔÙ ØÝ ÐÙ Ñ ÔÖÞÝÒ ÑÒ Û Ð Ñ ÒØݺ µ A B = A C = B C = º µ Ì º ÈÓÒ Û A \ B A Û Ð A C ØÓ ØÝÑ Ö Þ A\B C Ó Þ ÓÐ Ø Ö ÛÒÓÛ Ò Û ÖÙÒ ÓÛ (A\B) C = Cº µ Æ º ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Ò ÛÔÖÓ Ø B C C Aº Í Ø ÐÑÝ ÓÛÓÐÒ b B Ò c Þ Ð Ñ ÒØ Ñ Þ ÓÖÙ C Ø ÓÛÝ ØÒ Ó C µº Ï ÛÞ b,c B C Þ Ø Ñ b,c C A ÞÝÐ Û ÞÞ ÐÒÓ b Cº ÇÞÒ Þ ØÓ B Cº ÊÓÞÙÑÙ Ò ¹ ÐÓ ÞÒ ÔÓ ÞÙ ÑÝ C Aº ÏÓ Ø Ó B Aº Ï ÛÞ A B = B Ñ ÑÝ P(A) P(B) = P(A B) = P(B) { } Ó B µ Û Ö Û Þ Ó Ò Ùº µ Æ A = c B < cº Ï ÛÞ A \ B = c ÞÝÐ A \ B R Û ÖØÓ Ø Þ ÙÛ Ý Û ÖÙÒ B < c ÑÓ Ò Ý Þ Ø Ô ÞÞ ÞÝÑ Û ÖÙÒ Ñ A B < c Ý Ý ØÖ Þ Ò Ò ØÓ ÔÓÞÛ Ð ºººµº ¾º µ µ ( X A)(X B ( Y C)(Y X Y = )) µ A B B A A C C A B C C Bº µ Æ º ÙÛ ÑÝ Ð x,y A B \ C C ØÓ ÛÔÖ Û Þ x A y B Ð x / C ÐÙ y / Cº Ø Ñ ÒÓ Þ Þ Û Ö A C B C Ò Þ Þ Ó Þ Ð Ò ÓÒ ÞÒ Ó º ÈÓÞÓ Ø ÔÓ ÓÒØÖÔÖÞÝ ÒÔº A = {1} B = {2} C = {2,3}º µ Ì º ÑÝ A B C A B = º ÈÓÒ Û A B = (A B) \ (A B) Û A B Cº Ð Û ÛÞ ØÝÑ Ö Þ B Cº ¾½

25 µ Æ º Ï ÖÙÒ ÔÓ Ò Û Þ Ò Ù Ö ÛÒÓÛ Ò ÞÒ Þ ØÓ ÑÓ B C º Ø Ñ ÓÒØÖÔÖÞÝ ØÓ ÒÔºB = N C = {0} f(n) = 0 g(0) = 0º º µ µ ( n N)( m A)(m n 2 m) µ A B C A B = B C = A C = A B C = Nº µ ÑÝ Ò ÛÔÖÓ Ø A Bº Þ ÞÑÒ Þ Ò Ó ÐÒÓ ÑÓ¹ ÑÝ ÔÖÞÝ ØÒ a A\Bº Í Ø ÐÑÝ ÓÛÓÐÒ c C ÑÓ¹ ÑÝ ØÓ ÞÖÓ Ó Þ Þ Ó Ò A B C ÛÝÒ C µº Ï ÛÞ a,c A C Ð a,c / B C ÞÝÐ A C B C Û Ö Û Þ Ó Ò Ùº ÇØÖÞÝÑ Ò ÔÖÞ ÞÒÓ Ó ÞÝ ÓÛ º µ Ì º ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Ò ÛÔÖÓ Ø ØÒ x C (B\A)º Ï ÛÞ Û ÞÞ ÐÒÓ x C x / Aº È ÖÛ ÞÝ Û ÖÙÒ Þ Ô ÛÒ Ò Ñ x A C ÖÙ x / A Bº ÏÓ Ø Ó A B A C ÔÖÞ ÞÒÓ º µ Ì º ØÛÓ ÑÓ Ò ÔÓ Þ D = ℵ 0 º ÈÓÒ Û D = (D A) (D \ A) Û ÓÖÓ Þ Ö D \ A Ø Ó ÞÓÒÝ ØÓ Þ Ö D A ÑÙ Ý Ò Ó ÞÓÒݺ ÌÝÑ Ö Þ Ò Ó ÞÓÒÝ Ø Þ Ö A Ó Ò Þ Ö Þ ÓÖÙ D Aº Ð Û ÑÝ A N ÞÝÐ Þ ØÛº ÒØÓÖ ¹ ÖÒ Ø Ò µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ A = ℵ 0 º ÏÓ Ø Ó A Dº º µ µ ( X A)(X (X B X C)) µ A B B C A C º µ Ì º Å ÑÝ A = (A C) (A\C) = (B C) (B \C) = Bº µ Ì º Ó Ò Þ Þ ÓÒØÖ ÔÓÞÝ ÛÝ Ø ÖÞÝ Þ ÙÛ Ý Ð A = B ØÓ A C = B Cº Ð ØÓ Ø ÓÞÝÛ Ø º µ Æ º ÆÔº Þ ÓÖÝ N R Ò Ó ÞÓÒ Ð N Rº º µ µ A = B = C = Þ ÙÛ ÑÝ Þ ÓÖÝ A,B,C Ö Ò Þ Ø Ñ Û ÔÓÛÝ Þ ÐØ Ö¹ Ò ØÝÛ Ó Ò ÛÝ Ò Ò ÑÓ Ý ÔÖ Û Þ Ûݵº µ B A C Aº µ Æ º ÈÓÒ Û Þ Ö A B Ð Ø Ò ÔÙ ØÝ ØÓ Ø Þ ÓÖ Ñ Ô Ö Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Û Ò ÑÓ Û ÛÞ Þ Û Ö Û Þ ÓÖÞ Cº Ø Ñ A B = º ËØ Ò Ò ÛÝÒ A = Ó Ö ÛÒ Ó ÖÞ ÑÓ Ý B = º ÃÓÒØÖÔÖÞÝ A = {1},B =,C = {2}º µ Ì º Ï ÑÝ X Y Z ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý X Y X Z ÓÖ Þ Ð P(X) P(Y) ØÓ X Y º ÏÓ Ø Ó Ð ¾¾

26 P(C) P(A) P(B) ØÓ P(C) P(A) P(C) P(B) C A C Bº Ø Ñ C A B Ó Ó ÞÝ ÓÛ º µ Ì º Ë ÓÖÓ A R ØÓ rng(f A) rng(f) Ó Û ÖØÓ ÙÒ ¹ Ó Ø Ø Û ÖØÓ Ñ ÙÒ Ó Ò Ò µº Ð Þ Þ Ó Ò Ñ ÑÝ rng(f A) = R Û ØÝÑ Ö Þ rng(f) = R ÞÝÐ f Ø ÙÖ º º µ µ A B C µ ( X,Y {A,B,C})(X Y Y X) ÐÙ (A B B A) (A C C A) (B C C B)º µ ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Ò ÛÔÖÓ Ø Þ ÓÖÝ A,B,C ØÛÓÖÞ Ù º Ý Ý Þ Ö A Þ Û Ö Ø ÖÝ ÓÐÛ Þ Þ ÓÖ Û B,C ØÓ Þ Þ Ó Ò µ ÛÒ Ó Ù ÑÝ B B C ÐÙ C B C ÛÝÒ B C = Ó Ø Ò ÑÓ Ð Û º Ø Ñ A B A C A B C ÞÝÐ A (B C) = º Ð Þ Û ÖÙÒ Ù µ Û ÑÝ A B Cº ÏÓ Ø Ó A = Û Ö Û Þ Ó Ò Ùº µ Æ º  РC = ØÓ Þ Ó Ò Ø Ô Ò ÓÒ Ò Þ Ð Ò Ó Þ ÓÖ Û A Bº ÃÓÒØÖÔÖÞÝ A = {1} B = {2} C = º µ Æ º ÈÝØ ÑÝ ÓÛ Ñ ÞÝ Ð Þ Ö A Ñ ÑÓ ÓÒØ ÒÙÙÑ A B ØÓ Þ Ö A B Ñ ÑÓ ÓÒØ ÒÙÙѺ ÃÓÒØÖÔÖÞÝ A = R B = {0}º º µ µ ( m R)(( x B C)(m x) m A) µ (A B = ) (A C = ) (B C = ) (A B C = R)º µ ÆÔº A = (,0] B = (0,1) C = [1,+ )º µ Æ º Ö ÑÙ Î ÒÒ ÑÓ Ò Ó ÞÝØ Ó ÖÝÑ ÓÒØÖÔÖÞÝ ¹ Ñ Ø Þ ÓÖÝ A,B,C (A C)\B ÒÔº A = {1,2} B = {1} C = {2}º µ Ì º Þ Ó Ò ÛÝÒ ØÒ Ô Ö x,y (A C) (C B) x A C y B Cº ÌÓ Ò Þ Ñ Ó Ý ÔÖÞ Ö A B C ÑÙ Ý Ò ÔÙ Øݺ ÈÖÞÝ A = {1} B = {2} C = {1,2}º µ Ì º ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ ÓÛ Ñ Ò ÛÔÖÓ Ø Þ ÖA Ø Ò Ó ÞÓÒݺ ÙÛ ÑÝ Û ÛÞ Þ Ö A A Ö ÛÒ Ø Ò Ó ÞÓÒÝ Þ ¹ Ø Ñ Ò Ó ÞÓÒÝ ÑÙ Ý Ø Þ Ö Bº Á ØÓØÒ Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Þ Ö B B Ý Ý Ó ÞÓÒÝ Ó ÓÞÒ Þ Þ Ö (A A)\(B B) Ý Ý Ò Ó ÞÓÒݺ Ð (A A)\(B B) (A A) (B B) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÔÖÞ ÞÒÓ Þ Ó ÞÓÒÓ Þ ÓÖÙ (A A) (B B)º ¾

27 Ð Þ Þ Ó Ò Û ÑÝ ØÒ x,y (A A) (B B)º Þ ÞÑÒ Þ Ò Ó ÐÒÓ ÑÓ ÑÝ Þ Ó Ý x,y (A A) \ (B B) ØÓ Þ Ó Ò Ø Ò ÙÔÖ ÛÒ ÓÒ ÓÔ Ò ÔÓ¹ ÑÝ B ℵ 0 µº Ï ÛÞ x A \ B ÐÙ y A \ Bº Þ ÞÑÒ Þ Ò Ó ÐÒÓ ÑÓ ÑÝ ÔÖÞÝ x A \ Bº ÏØ Ý {x} A (A A) (B B)º Ð Þ Ö {x} A Ø Ö ÛÒÓÐ ÞÒÝ Þ Þ ÓÖ Ñ A ÞÝÐ Ø Ò Ó ÞÓÒݺ ÇØÖÞÝÑ Ò ÔÖÞ ÞÒÓ Þ Ó ÞÓÒÓ Þ ÓÖÙ (A A) (B B) Ó ÞÝ ÓÛ º º µ f[a] = {0,2}º µ f 1 [B] = { 2, 1,0,1}º µ Æ º ÆÔº 1 / rng(f)º Ý Ý ÓÛ Ñ ØÒ Ó x Z Ø f(x) = 1 ØÓ Ö ÛÒ Ò x 2 + x 1 = 0 Ñ Ó Ý ÖÓÞÛ Þ Ò Û Ð Þ ÓÛ ØÝ Ó Ø Ò ÑÓ Ð Û º µ ÈÖÞÝ Ñ ÑÓ Ý ÙÒ Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ { 2x Ð x 0 g(x) = 2x 1 Ð x < 0. Ï ÛÞ rng(g) = N ÙÒ f g Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ º Á ØÓع Ò Ð x 1,x 2 Z x 1 x 2 ØÓ g(x 1 ) g(x 2 ) Ý ØÛÓ ÔÖ Û Þ ÙÒ g Ø Ò µ ÓÖ Þ g(x 1 ),g(x 2 ) 0º Ø Ñ f(g(x 1 )) f(g(x 2 )) Ý ÙÒ f N Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ º µ Æ º ÈÓÒ Û rng(f h) rng(f) Û ÓÖÓ rng(f) N ØÓ ØÝÑ Ö Þ rng(f h) Nº º µ (f f)(x 2 +1) = f(f(x 2 +1)) = f((x 2 +1) 2 +1) = f(x 4 +2x 2 +2) = (x 4 +2x 2 +2) 2 +1 = x 8 +4x 6 +8x 4 +8x 2 +5º µ f[a] = {x 2 +1 : x [ 2,1]} = [1,5]º µ f 1 [B] = {x R : x (2,3)} = {x R : 1 < x 2 < 2} = ( 2, 1) (1, 2)º µ ÈÓÒ Û g α (x) = f(x α) = (x α) 2 +1 = x 2 2αx+α 2 +1 Û ÙÒ g α Ó ÙÒ Û Ö ØÓÛ Ò Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ Ò Þ Ð Ò Ó αµº Ø Ñ C = º ½¼º µ ÆÔº g(n) = 1 ÐÙ ÓÛÓÐÒ ÒÒ Ò Þ ÖÓÛ ÙÒ Ø µº µ Æ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ h 1 N N Þ Ò Û ÖÙÒ Ñ h 1 (2) = 1 h 1 (n) = 0 Ð n 2º ÏØ Ý F(h 1 ) = F(h) = h Þ Ø Ñ ÙÒ F Ò Ø Ò º ¾

28 µ ÑÝ F(f) = id N º ÈÓ ÑÝ ÙÒ f Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ¹ ÓÛ Ò º Í Ø ÐÑÝ ÓÛÓÐÒ n,m N Ø f(n) = f(m)º Ï ÛÞ F(f)(n) = f(f(n)) = f(f(m)) = F(f)(m), ÞÝÐ Þ Þ Ó Ò n = m Ó Ó ÞÝ ÓÛ Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛÓ ÙÒ fº Í Ø ÐÑÝ Ø Ö Þ ÓÛÓÐÒ y Nº Æ x = f(y) Nº Ï ÛÞ Þ Ø Ñ ÙÒ f Ø ÙÖ º f(x) = f(f(y)) = F(f)(y) = y, µ Ð ÓÛÓÐÒ ÙÒ ϕ {0,1} N Þ Ò Ù ÑÝ ÙÒ f ϕ N N ÛÞÓÖ Ñ { 0 Ð n 1 f ϕ (n) = ϕ(n 2) Ð n 2. ÇÞÝÛ Ð Ö ÒÝ ÙÒ ϕ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö Ò ÙÒ f ϕ º ÈÓÒ ØÓ ØÛÓ ÔÖ Û Þ f ϕ f ϕ = hº ÏÓ Ø Ó Þ Ö A = {f ϕ : ϕ {0,1} N } Ñ Ñ ÑÓ ÓÒØ ÒÙÙÑ A F 1 [{h}]º ½½º µ Æ º ÆÔº F(R 2 ) = F({0} R) = Rº µ Ì º Í Ø ÐÑÝ ÓÛ ÑY P(R)º Ï ÛÞ {0} Y R 2 F({0} Y) = π 2 [{0} Y] = Y º µ ÈÓÒ Û X F 1 [{{ 1}}] F(X) {{ 1}} π 2 [X] = { 1}, Û F 1 [{{ 1}}] = P(R { 1})\{ }. µ Ì º ÙÛ ÑÝ Ò Ô ÖÛ g 1 [{0,1}] = { 1,0,1}º ÏÓ Ø Ó ÛÝ Ø ÖÞÝ ÛÝ Ö ÔÓ Þ Ö Ô ÞÞÝÞÒÝ R 2 Ø Ö Ó ÖÞÙØ Ò ÖÙ Ó ØÓ {0,1}º Æ A = R {0,1}º Ï ÛÞ F(A) = π 2 [R {0,1}] = {0,1} Ð G(F(A)) = g 1 [{0,1}] = { 1,0,1} Þ Ø Ñ G F(A) = 3º ½¾º µ Æ º Æ ÙÒ f 0,f 2 N N Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ f 0 (n) = 0 f 2 (n) = 2º ÏØ Ý F(f 0 ) = F(f 2 ) = º µ Ì º Í Ø ÐÑÝ ÓÛÓÐÒÝ ÔÓ Þ Ö A Nº ÏØ Ý Ð ÙÒ ¹ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ χ A N N Þ ÓÖÙ A Ñ ÑÝ χ 1 A [{1}] = Aº ¾

29 µ ÙÛ ÑÝ ÙÒ Ø f Ð Ó ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ 1 ÛØ Ý F(f) = f 1 [{1}] = N Ð Ó Û ÖØÓ Ö Ò Ó 1 ÛØ Ý F(f) = f 1 [{1}] = º ÈÓÒ Û F[S] = {F(f) : f Ø } Û F[S] = {, N}º µ ÇÞÒ ÞÑÝ C = F 1 [{{1}}]º Ò ÔÖÞ ÛÓ Ö ÞÙ Ñ ÑÝ C = {f N N : F(f) {{1}}} = {f N N : f 1 [{1}] = {1}}, Þ Ø Ñ Ó Þ ÓÖÙ C Ò Ð Ø ÙÒ Ø Ö Û ÖØÓ 1 ÔÖÞÝ ÑÙ Ð Ö ÙÑ ÒØÙ Ö ÛÒ Ó 1 ØÝÐ Ó ÛØ Ýº ÈÓ ÑÝ Þ Ö C Ñ ÑÓ ÓÒØ ÒÙÙѺ ÈÓÒ Û C N N Û C N N = cº ÖÙ ØÖÓÒÝ Ð ÓÛÓÐÒ ÙÒ ϕ {0,2} N ÖÓÞÛ ÑÝ ÙÒ f ϕ N N Þ Ò Û ÖÙÒ Ñ f ϕ (0) = 0,f ϕ (1) = 1,f ϕ (n) = ϕ(n 2) Ð n 2º Æ D = {f ϕ : ϕ {0,2} N }º Ï ÛÞ D = {0,2} N = c ÓÖ Þ D Cº ÏÓ Ø Ó C D = c Þ ØÛº ÒØÓÖ ¹ ÖÒ Ø Ò ÛÒ Ó Ù ÑÝ C = cº ½ º µ Æ º Æ ÙÒ f 1,f 2 N N Þ Ò Û ÖÙÒ Ñ f 1 (0) = f 2 (1) = 1,f 1 (1) = f 2 (0) = 0,f 1 () = f 2 (n) = 0 Ð n 2º Ï ÛÞ F(f 1 ) = F(f 2 ) = {0,1}º µ Æ º ÈÓÒ Û Ò Þ Ð Ñ ÒØ Û A Ò Ø ÙÖ Û N / rng(f) Ó Þ Ö N Ò Ø Ó Ö Þ Ñ Ò ÙÒ f Aµº µ Ç Ö Ò ÞÓÒÓ ÙÒ f N N ÓÞÒ Þ Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Ø Ó Ö Þº Ç Ö Ò ÞÓÒÝ ÞÝÐ Ó ÞÓÒݺ ÖÙ ØÖÓÒÝ Ý Ó ¹ ÞÓÒÝ Ò ÔÙ ØÝ ÔÓ Þ Ö Þ ÓÖÙ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ÞÖ Ð ¹ ÞÓÛ Ó Ó Ö Þ ÙÒ Ó Ö Ò ÞÓÒ ÛÝ Ø ÖÞÝ ÔÓÒÙÑ ÖÓÛ Ó Ð Ñ ÒØÝ ÓØÖÞÝÑ ÒÝ Ó ÞÓÒÝ ÔÖÞ Ù Ý Ó Ù Ò Ó ÞÓÒ Ó ÔÓÛØ ÖÞ Ó Ø ØÒ Ó Û ÖØÓ µº ÏÓ Ø Ó F[B] = {D P(N) : 0 < D < ℵ 0 }. µ Æ C = {{0,1}}º Ò ÔÖÞ ÛÓ Ö ÞÙ Ñ ÑÝ F 1 [C] = {f A : F(f) {{0,1}}} = {f A : rng(f) = {0,1}}. ÏÓ Ø ÓF 1 [C] = {0,1} N \{h 0,h 1 } Þ h 0,h 1 A ØÓ ÙÒ Ø Ö ÛÒ Ó ÔÓÛ Ò Ó 0 1º ËØ Ò ØÖÙ ÒÓ ÔÓ Þ ÛÔÖÓ Ø Ð Ó ÓÖÞÝ Ø Þ ØÛº ÒØÓÖ ¹ ÖÒ Ø Ò µ F 1 [C] = cº ½ º µ Æ º ÙÛ ÑÝ ÖÓÞÛ ÒÝ Û ÖÙÒ Ø Ö ÛÒÓÛ ÒÝ Û ÖÙÒ¹ ÓÛ A B = g[a] g[b] = º Ì Ò Þ Û ÖÙÒ Ò ÑÙ Ý Ô Ò ÓÒÝ Ý ÙÒ Ò Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ º Ï ÞÞ ÐÒÓ Ð A = {0} B = {2} Ñ ÑÝ g[a] = g[b] = {2} ÞÝÐ A B = g[a] g[b] º ¾

30 µ Æ º Æ ÙÒ k N N Þ Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ { 0 Ð 2 n k(n) = 1 Ð 2 n. Ï ÛÞ F(k) = F(h) = hº µ Æ º Á ØÓØÒ g F 1 [{f}] F(g) = f Û ÑÝ Ø Ñ F(g) fº F(g)(0) = g(f(0)) = g(0) = 2 0 = f(0). µ ÇÞÒ ÞÑÝ C = F 1 [{h}]º Ò ÔÖÞ ÛÓ Ö ÞÙ ÛÒ Ó Ù ÑÝ C = {ϕ N N : F(ϕ) = h} = {ϕ N N : ( n N)ϕ(2n) = 0}. ÈÓ ÑÝ C N N º Ï ØÝÑ ÐÙ Þ Ò Ù ÑÝ ÙÒ G : C N N Û ÖÙÒ Ñ G(ϕ)(n) = ϕ(2n+1) Ð n N ÙÞ Ò ÑÝ Ø ÓÒ º Í Ø ÐÑÝ ϕ 1,ϕ 2 C ϕ 1 ϕ 2 º Ï ÛÞ ØÒ Ð Þ Ò Ô ÖÞÝ Ø n N Ø ϕ 1 (n) ϕ 2 (n) Ð Þ Ø Ò ÑÓ Ý Ô ÖÞÝ Ø Ó Ð Ð Þ Ô ÖÞÝ ØÝ Ó ÙÒ ϕ 1,ϕ 2 ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ 0µº Æ n = 2m + 1 Ð Ô ÛÒ Ó m Nº ÏØ Ý G(ϕ 1 )(m) G(ϕ 2 )(m) ÞÝÐ G(ϕ 1 ) G(ϕ 2 )º Ø Ñ ÙÒ G Ø Ò º Í Ø ÐÑÝ Ø Ö Þ ψ N N º Ò Ù ÑÝ ÙÒ ϕ ψ N N ÛÞÓÖ Ñ { 0 Ð 2 n ϕ ψ (n) = ψ( n 1 ) Ð 2 n. 2 Ï ÛÞ ϕ ψ C ÓÖ Þ G(ϕ ψ ) = ψ Ó ÔÖ Û Þ ÔÖÓ ØÝÑ Ö ÙÒ Ñµ ÞÝÐ ÙÒ G Ø ÙÖ º ÏÓ Ø Ó C = N N = cº ½ º µ Æ ØÒ º ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ ÓÛ Ñ Ø ÙÒ f ØÒ º ¹ ÙÛ ÑÝ Ð Ð Ô ÛÒ Ó x X Ñ ÑÝ f(x) = y X ØÓ f(y) = f(f(x)) = xº ÈÓÒ Û Þ Þ Ó Ò x y Û ÙÒ f ÞÝ Ð Ñ ÒØÝ Þ ÓÖÙ X Û Ô Öݺ Ð Þ Ö X Ñ Ò Ô ÖÞÝ Ø Ð Þ Ð Ñ ÒØ Û ÔÖÞ ÞÒÓ º ¾

31 µ ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Ò ÛÔÖÓ Ø Ò Þ ÓÖÞ X ØÒ ÔÓÖÞ Ø ( x X)x g(x)º Ï ÛÞ Û ÞÞ ÐÒÓ Ñ ÑÝ 0 g(0) = 2 2 g(2) = 0º ÒØÝ ÝÑ ØÖ Ö Ð ÛÝÒ 0 = 2º ÇØÖÞÝÑ Ò ÔÖÞ ÞÒÓ Ó ÞÝ ÓÛ º µ µ ÈÓÒ Û x,y h 1 [{ 3,2 }] x,x+y = 3,2 x = 3 x+y = 2, Û y < 0 Ó ÔÓÞÓ Ø Û ÔÖÞ ÞÒÓ Þ y Nº ÏÓ Ø Ó h 1 [{ 3,2 }] = º µ ÙÛ ÑÝ {0} N rng(h) N 2 º ÏÓ Ø Ó ℵ 0 = {0} N rng(h) N 2 = ℵ 0, Þ Ø Ñ Þ ØÛº ÒØÓÖ ¹ ÖÒ Ø Ò ÛÝÒ rng(h) = ℵ 0 º ½ º µ Ê Ð R Ø Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ý Ø ÞÛÖÓØÒ Ð ÓÛÓÐÒ Ó x A Ñ ÑÝ x 2 x 2 = 0 = 5 0 Þ Ø Ñ xrx ÝÑ ØÖÝÞÒ Ð ÓÛÓÐÒÝ x,y A Ð xry ÞÝÐ x 2 y 2 = 5k Ð Ô ÛÒ Ó k Z ØÓ y 2 x 2 = 5 ( k) k Z Þ Ø Ñ yrx ÔÖÞ Ó Ò Ð ÓÛÓÐÒÝ x,y,z A Ð xry yrz ÞÝÐ x 2 y 2 = 5k y 2 z 2 = 5l Ð Ô ÛÒÝ k,l Z ØÓ x 2 z 2 = (x 2 y 2 )+(y 2 z 2 ) = 5(k +l) k +l Z Þ Ø Ñ xrzº Ê Ð S Ò Ø Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ý Ò Ø ÔÖÞ Ó ¹ Ò º Á ØÓØÒ ÛÔÖ Û Þ 2S1 1S4 Ð 2S4º µ [2] R = {2,3,7,8}º µ ÈÓÒ Û A/ R = {X 0,X 1,X 2 } Þ X 0 = {0,5,10} X 1 = {1,4,6,9} X 2 = {2,3,7,8} Û A/ R = 3º ÅÓ Ò Ø Þ ÙÛ Ý ÛÝ ¹ ØÖ ÓÛ Ò Ð Þ Ý Þ Þ ÓÖÙ A Ø Ö ÞØ Û Ö ØÙ Û Þ Ð Ò Ù ÔÖÞ Þ 5 Ø ÑÓ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ó Ò ØÖÞÝ Û ÖØÓ 0 1 4º µ Ì º ÈÓÒ Û S = A 2 \ { 1,8, 8,1, 2,4, 4,2 } Ô ÖÝ Ò Ò ¹ Ð Ó S Ò Ò Ð Ö ÛÒ Ó R Ó ØÛÓ ÔÖ Û Þ ÞÒ Þ Ö ÐÓÖ ÞÓÛÝ Ö Ð Rµ Û R Sº ÏÓ Ø Ó R S = R R Ø Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ º ÅÓ Ò Ø ÔÖ Û Þ Þ Ò Ö Ð R S Ø Ö Ð Ö Û¹ ÒÓÛ ÒÓ Ø ØÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ö Þ ÑÙ Ò ÔÖ Û Þ ÔÖÞ Ó Ò Ó Ø Ö Ð ÛÝ ÓÒÙ ÑÝ ØÓ ØÓ ÑÓ ÖÓÞÙÑÓÛ ¹ Ò Ó ÔÓÛÝ º ¾

32 ½ º µ Ì º Á ØÓØÒ ÝÒÝÑ Þ ÐÒ Ñ Ð Þ Ð Þ Ý 2 3 Þ Ø Ñ Ó ÖÓÞÛ Ò Ð Þ Ý Ñ Ø Ñ Þ ÐÒ Þ Þ ÓÖÙ Iº ÏÓ Ø Ó 12R18 ÞÝÐ 12 [18] R º µ Æ º Á ØÓØÒ Ð Þ 1 Ò Ñ Þ ÐÒ Þ Þ ÓÖÙ I Ð Þ 3 Ñ Þ ÐÒ Þ Þ ÓÖÙ Iº ÏÓ Ø Ó 1R3 Ó ÓÞÒ Þ Þ Ö {2n+1 : n N} Ó Ø Ö Ó Ó Ø Ð Þ Ý Ò Ð µ Ò ÑÓ Ý Ð ØÖ Ö Ð Rº µ Æ º ÈÓÒ Û Ö Ð R Ø ÞÛÖÓØÒ ÔÖÞ Ó Ò Û R R = Rº Ê Ð R Ò ÑÓ Þ Ý Ô Ò Ý Ñ Ý ÛØ Ý ØÝÐ Ó Ò Ð ØÖ Ó Û ÑÝ ÒÔº Þ µ Ò Ñ Ñ µº ÅÓ Ò Ø ÑÒ Ð Ò Óµ ÔÓ Þ ÛÔÖÓ Ø Þ Ò Þ Ó Ò Ö Ð Ð Þ Ý ÒÔº 1 2 Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒ Û Ò Ö Ð R Rº µ ÈÓÒ Û Û Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ Ó ØÒ Û Ö Ð R Ó Ò ÛØ Ý Ý Ñ Ø Ñ Þ ÐÒ Þ Þ ÓÖÙ I Û Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ ÛÝ ØÖ ÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ö Ð R Ø Þ Ö ØÝ Þ ÐÒ Û Ø Ö Ò Ð Ó Þ ÓÖÙIº ÅÓ Ð Û Û ÖØÓ Ø Ý ØÓ ÔÓ Þ ÓÖÝ Þ ÓÖÙ I Ð ØÖ Ó ÔÓÛ Þ Ö ØÝ Ð Þ Þ Þ ÓÖÙ I Ø Ö Þ Ð Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ýµº ÏÓ Ø Ó N + / R = P(I) = 16. ½ º µ ÈÓÒ Û ÙÒ ϕò Ø Ò Þ Û Þ Ó Þ Ö Û Þ Ò Ö Ð R 0 ÛÝÒ Û Ö Ð Þ Ò ÙÒ Þ N N Ø Ö Ö ÛÒ Ò Þ Ò Û Þ Ó Þ Ö º Ð ÒÒÝ Ø ÙÒ Ò Ñ Þ Ø Ñ [ϕ] R0 = {ϕ}º µ ÙÛ ÑÝ Þ Ò Ö Ð R 1 ÛÝÒ [ϕ] R1 = {f N N : ( n N)(f(n) > 1 0 > 1} = = {f N N : ( n N)(f(n) 1}. ÏÓ Ø Ó[ϕ] R1 = {0,1} N Ó Ö ÞÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ [ϕ] R1 = cº µ Æ º Ò Þ Ó Ò Ö Ð ÛÝÒ ψr 1 R 2 ϕ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý ØÒ ÙÒ f N N Ø ψr 2 f f R 1 ϕº Ð Û ÑÝ Ù Þ µ f R 1 ϕ f {0,1} N º ÖÙ ØÖÓÒÝ Ð ψr 2 f ØÓ Û ÞÞ ÐÒÓ Ð k 3 Ñ ÑÝ f(k) > 2 Ó ψ(k) > 2µ Ó ÔÓÞÓ Ø Û ÔÖÞ ÞÒÓ Þ Ø Ñ f {0,1} N º ÏÓ Ø Ó ÔÓ ÞÙ Û Ò ÙÒ f Ò ØÒ Þ Ø Ñ ÙÒ ψ Ò ÑÓ Ý Û Ö Ð R 1 R 2 Þ ÙÒ ϕº ¾

33 µ ÙÛ ÑÝ ÙÒ f N N ÛÝ ØÖ ÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÓ¹ ÑÓÝ Ö Ð R 1 Ø ÔÓ Þ Ö Þ ÓÖÙ N Ò Ø ÖÝÑ ÔÖÞ Ö Þ ÓÒ Û ÖØÓ 1º ÅÓ Ð Û Û ÖØÓ Ø Ý ØÓ ÔÓ Þ ÓÖÝ Þ ÓÖÙ N Ð ØÖ Ó ÔÓÛ ÔÓ Þ Ö Þ ÓÖÙ N Ò Ø ÖÝÑ Û ÞÝ Ø ÙÒ Þ Ø Ð Ý Û Þ Ó 1µº ÏÓ Ø Ó N N / R1 = P(N) = c. ÅÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÓÛÝ Þ ÔÓ ØÖÞ Ò Ó Ó ÖÓÞÛ Þ ¹ Ò Þ Ò Ò Ø ØÓ Ò Þ Ò µ ÓÔ Þ Ö ÐÓÖ ÞÓÛÝ Ö Ð R 1 N N / R1 = {F A : A P(N)}, Þ F A = {f N N : ( n N)f(n) > 1 n A}º ÁÒÒÝ ÔÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ø Ó Þ Ò Ø Ö Þ Ö ÙÒ ÓÛÝ º ÏÔÖÓ Ø Þ Û ÒÓ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ ÛÝÒ N N / R1 N N = c ØÓØÒ Ð ÓÛÓÐÒ Ö Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ò Þ ÓÖÞ X Ò ÑÓ Ñ ÓÒ Û Ð ØÖ Ò X Ý Ð Ý ¹ ØÖ Ò ÔÙ Ø ÖÓÞ ÞÒ µº ÖÙ ØÖÓÒÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F : {0,2} N N N / R1 Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ F(f) = [f] R1 Ø Ò ÒÒÝÑ ÓÛÝ Þ Ö {0,2} N Ø Þ ÓÖ Ñ Ð Ñ ÒØ Û Ô Ö Ñ Ò ¹ ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒÝ ÛÞ Ð Ñ Ö Ð R 1 µº ØÝÞÒ Ð f 1,f 2 {0,2} N f 1 f 2 ØÓ Ð Ô ÛÒ Ó k N Ñ ÑÝ Þ ÞÑÒ Þ Ò Ó ÐÒÓ µ f 1 (k) = 0 f 2 (k) = 2º Ð Û ÛÞ Ð Ø Ó k Ñ ÑÝ (f 1 (k) > 1 f 2 (k) > 1) Þ Ø Ñ f 1 R 1 f 2 Ð [f 1 ] R1 [f 2 ] R1 Ó Ò Ð Ó ÓÛ º Ê ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛÓ ÙÒ F ÓÞÒ Þ N N / R1 {0,2} N = c Þ ØÛº ÒØÓÖ ¹ ÖÒ Ø Ò ÛÒ Ó Ù ÑÝ N N / R1 = cº ½ º µ Ì º Í Ø ÐÑÝ ÓÛ Ñ ÓÛÓÐÒ z Zº ÏØ Ý 0, z Z 2 ÓÖ Þ f(0, z) = 0 2 ( z) = zº µ Ò Ð Ý ØÖ Ñ ÑÝ [ 0,0 ] R = { x,y Z 2 : f(x,y) = f(0,0) = 0}, ÞÝÐ [ 0,0 ] R = { x,x 2 : x Z}º ¼

34 µ Ò Ó Ö ÞÙ ÙÒ Ñ ÑÝ f [[ 2, 3 ] R ] = {f(x,y) : x,y [ 2, 3 ] R }. ÈÓÒ Û Ð Ó x,y [ 2, 3 ] R Ñ ÑÝf(x,y) = f(2, 3) = 7 Û f [[ 2, 3 ] R ] = {7}º µ ÙÒ f A Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ º Ý Ý ÓÛ Ñ ØÒ Ý Û Ö Ò Ô ÖÝ x,y, a,b A Ø f(x,y) = f(a,b) ØÓ Ó Ò ¹ Ð Ý Ý Ó Ø Ñ Ð Ý ØÖ Û Ö Û Þ Ó Ò Ù Ó Þ ÓÖÞ Aº ÙÒ f A ÑÓ Ð Ò ÑÙ Ý Ò º  РÓÛ Ñ ØÒ Ð ØÖ [ x,y ] R ÖÓÞ ÞÒ Þ Þ ÓÖ Ñ A Þ Ó Þ Ó ¹ Ò Ò ÛÝ ÐÙÞ µ ØÓ Û ÖØÓ f(x,y) Ò Ò Ð Ý Ó Ó Ö ÞÙ ÙÒ ¹ f Aº ÖÙ ØÖÓÒÝ Ð Þ Ö A Þ Ð ØÖ ¹ Ö Ð R Ñ Ó Ò Ò Û Ô ÐÒÝ Ð Ñ ÒØ ØÓ Þ ØÙ ÙÒ f Ø ÙÖ ÛÝÒ ÙÒ f A Ö ÛÒ Ø ÙÖ¹ ØÓØÒ Ð ÓÛÓÐÒ Ó z Z ØÒ x,y Z 2 Ø f(x,y) = zº Æ a,b [ x,y ] R Aº ÏØ Ý a,b A (f A)(a,b) = f(x,y) = zµº µ ÑÝ Ð Ö ÒÝ Û ÖØÓ ÔÖÞÝ ÑÙ ÙÒ f Ò Þ ÓÖÞ {0,1,2} 2 º ÈÓÒ Û f(0,0) = f(1,1) = 0 f(0,1) = f(1,2) = 1 f(0,2) = 2 f(1,0) = 1 f(2,0) = 4 f(2,1) = 3 f(2,2) = 2 Û X 2 / R X 2 = 7. ¾¼º µ Æ º Á ØÓØÒ π 1 [C] = R\{0} R = π 1 [R 2 ] ÞÝÐ CRR 2 º µ ÆÔº D = R {0,1}º µ Ò Ð Ý ØÖ Ñ ÑÝ [{ 0,0 }] R = {A R 2 : π 1 [A] = π 1 [{ 0,0 }] = {0}}. ÏÓ Ø Ó [{ 0,0 }] R = P({0} R)\{ }º µ Æ º ÙÛ ÑÝ F [E N] R ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý π 1 [F] = Eº ÖÙ ØÖÓÒÝ Û ÑÝ π 1 [F] F ÛÒ Ó Ù ÑÝ F E > ℵ 0 º ¾½º µ Æ d n : n N Þ Þ ÒÝ Û ÖÙÒ Ñ d 0 = 0 d n = 1 Ð n 1º Ï ÛÞ d n : n N T c n : n N ÞÝÐ [ c n : n N ] T = [ d n : n N ] T º ½

35 µ ÙÛ ÑÝ Ù Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ÛÝ ØÖ ÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ö Ð T Ø Ó Ô ÖÛ ÞÝ ÛÝÖ Þº Ø Ñ Ð Ý ØÖ ¹ Ö Ð T ÛÝÞÒ Þ Ò ÔÖÞ Þ ÑÓ Ð Û Û ÖØÓ Ø Ý ÞÝÐ ÔÖÞ Þ Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ º ÏÓ Ø Ó N N / T = {A k : k N}, Þ A k = { a n : n N N N : a 0 = k}º µ ÏÔÖÓ Ø Þ µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ N N / T = ℵ 0 º Á ØÓØÒ ÔÖ Û Þ Ò ÙÒ f : N N N / T Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ f(k) = A k Ø Ò ÔÓÛ ÒÒÓ Ò ØÖÞ Û ÞÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ûº µ Æ ϕ : [ c n : n N ] T N N Þ ÙÒ Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ ϕ( a n : n N ) = a n+1 : n N. ÙÒ ϕ Ø Ò Ý Ð Û a n : n N b n : n N Ò Ð Ó [ c n : n N ] T Ö Ò m¹øýñ ÛÝÖ Þ Ñ ØÓ m > 0 Ó a 0 = b 0 µ Þ Ø Ñ a n+1 : n N b n+1 : n N Ö Ò ØÝÑ ÑÝÑ ÛÝÖ Þ Ñº ÙÒ ϕ Ø Ø ÙÖ º Á ØÓØÒ Ù Ø ÐÑÝ ÓÛÓÐÒÝ e n : n N N N º Ï ÛÞ f n : n N Þ ÒÝ Û ÖÙÒ Ñ f 0 = c 0 f n = e n 1 Ð n 1 Ò Ð Ý Ó [ c n : n N ] T ϕ( f n : n N ) = e n : n N. Ø Ñ [ c n : n N ] T N N ÞÝÐ [ c n : n N ] T = cº Ï ÖØÓ Þ ÙÛ Ý Û ØÓ Û ÔÓÛÝ ÞÝÑ ÓÛÓ Þ Ò ÓÖÞݹ Ø Ð ÑÝ Þ Ò Ù c n : n N º ÏÓ Ø Ó ÔÓ Þ Ð ÑÝ Ð ØÖ Ö Ð T Ñ ÑÓ ÓÒØ ÒÙÙѺ ¾¾º µ Æ º Ý Ý {1,2,4} + x = {5,7,8} Ð Ô ÛÒ Ó x Z ØÓ 1 + x = 5 2+x = 7 ÔÖÞ ÙÒ Þ ÓÛÙ ÔÓÖÞ Ð Ñ ÒØ Û Û Þ ÓÖÞ µ x = 6 x = 5 ÔÖÞ ÞÒÓ º µ Ì º Ì Ð ØÓ {A 0,A 1,A 2,A 3,A 4 } Þ A i = {5k+i : k Z} Ð i = 0,...,4µº µ ÙÛ ÑÝ ÓÛÓÐÒ Û Þ ÓÖÝ ÒÓ Ð Ñ ÒØÓÛ Þ Ó Û Ö Ð Ð {a},{b} P(Z) Ñ ÑÝ {a} + (b a) = {b}µº ÏÓ Ø Ó Û ÞÝ Ø Ò Ð ØÓÒÝ Û Ø Ñ Ð ØÖ ÞÝÐ {A (P(Z))/ R : ( B A) B = 1} = 1. ¾

36 µ ÈÓÒ Û ÛÙ Ð Ñ ÒØÓÛÝ ÔÓ Þ ÓÖ Û Þ ÓÖÙ Ð Þ ÓÛ ØÝ Ø ÔÖÞ Ð Þ ÐÒ Û Ð Û Ð ØÖ Ö Ð R Ø Ö ¹ Þ Ø Þ ÓÖ Û Ø Ó Ò ÛÝ ÔÖÞ Ð Þ ÐÒ Û Ð º Ý Þ Ó ÞÝ ÓÛ ÛÝ Ø ÖÞÝ Þ Ø Ñ ÔÓ Þ Ø Ò Ó Þ ¹ Ò Û Ð Ô Ö Ñ Ò Ö ÛÒÓÛ ÒÝ ÛÙ Ð Ñ ÒØÓÛÝ ÔÓ Þ ÓÖ Û Þ ÓÖÙ Ð Þ ÓÛ ØÝ Ó Ý Þ Ò Þ ÛÝÞÒ Þ ÒÒ Ð ØÖ Ö Ð Rµº Ý ØÓ ÞÖÓ Þ ÙÛ ÑÝ Û ÛÙ¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Þ ÓÖ Û Þ Ó Û Ö Ð Ó Ò ÛØ Ý Ý Ð Ñ ÒØÝ Ó Ö ÛÒÓÓ Ð ÞÝÐ {a,b}r{c,d} a b = c d. ÏÓ Ø Ó ÖÓ Þ Ò {{0,n} : n N + } Ø Ò Ó ÞÓÒ ÖÓ Þ Ò Ô Ö Ñ Ò Ö ÛÒÓÛ ÒÝ ÛÙ Ð Ñ ÒØÓÛÝ ÔÓ Þ ÓÖ Û Þ ÓÖÙ Ð Þ ÓÛ ØÝ º µ Å ÑÝ ÔÓÖº ÖÓÞÛ Þ Ò Þ Ò ½ µµ P(Z)/ R P(Z) = c. ÊÓÞÛ ÑÝ Ø Ö Þ ÖÓ Þ Ò A = {{0} A : A N + }º ÇÞÝÛ A = P(N + ) = cº ÈÓÒ ØÓ ÔÓÒ Û ÔÖÞ ÙÒ Þ ÓÛÙ ÔÓÖÞ Ð Ñ ÒØ Û Û Þ ÓÖÞ Û Ð Ñ ÒØÝ ÖÓ Þ ÒÝA Ô Ö Ñ Ò Ö ÛÒÓÛ Ò ÛÞ Ð Ñ Ö Ð Rµ Û ÞÝ Ø Ñ Ø Ò Ñ Ò ÑÒ ÞÝ Ð Ñ ÒØ Þ Ø Ñ Ò Ò Þ ÖÓÛ ÔÖÞ ÙÒ Ò ÑÓ ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó Þ Ò Ò ÖÙ º ÏÓ Ø Ó ÙÒ f : A P(Z)/ R Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ f(b) = [B] R Ø Ò º Ø Ñ P(Z)/ R A = c. Æ ÑÓÝ ØÛº ÒØÓÖ ¹ ÖÒ Ø Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ P(Z)/ R = cº ¾ º µ Æ º ÈÓÒ Û f(0) = 1 < 0 g(0) = 0 Û f Rg ÞÝÐ [f] R [g] R º µ Å ÑÝ ϕ [h] R ( n N)(ϕ(n) 0 ( 1) n 0), Þ Ø Ñ [h] R = {ϕ Z N : ( n N)ϕ(2n) 0 ϕ(2n+1) < 0}. µ ËÞÙ ÒÝÑ Þ ÓÖ Ñ Ñ ÝÑ ÐÒ ÑÓÝ ÑÓ Ý ÒÔº Þ Ö A = { 1,1} N.

37  РÓÛ Ñ f,g A Ø f g ØÓ ØÒ n N Ø f(n) g(n)º Ð ØÓ ÓÞÒ Þ Û ÖØÓ f(n) g(n) Ö ÒÝ ÞÒ Û ÞÝÐ f Rgº ¾ º µ Æ º ÈÓÒ Û {2n+1 : n N},{1} Z\N Û {2n+1 : n N}R{1} {2n+1 : n N} N = {1} N, Ó ÓÞÝÛ Ò Ñ Ñ º µ ÏÝ Ø ÖÞÝ Þ ÙÛ Ý Ð C Z \ N ØÓ [C] R = {C}º Ø Ñ ÒÔº Ð C = { 1} Ñ ÑÝ [C] R = 1 < ℵ 0 º µ ÈÓÒ Û Û {x Z : x+1 1} = { 2, 1,0} Z\N, D [{x Z : x+1 1}] R D N = { 2, 1,0} N = {0}. Ø Ñ ÒÔº D = Z\N + º µ ÈÓÒ Û ARZ A N = Z N = N Û ÙÛ ÑÝ Ø Ö Þ [Z] R = {A P(Z) : N A}. {A P(Z) : N A} = {N B : B P(Z\N)}. Ç Ö ÐÑÝ ÙÒ f : P(Z\N) {N B : B P(Z\N)} ÛÞÓÖ Ñ f(b) = N Bº Ï ÔÖÓ ØÝ ÔÓ ÑÓ ÑÝ ÔÖ Û Þ Ø ÓÒ º ÏÓ Ø Ó [Z] R = P(Z\N) = P(N) = c. µ Ò ØÖÓÒÝ Û ÑÝ ÔÓÖº ÖÓÞÛ Þ Ò Þ Ò ½ µµ P(Z)/ R P(Z) = c. ÖÙ ØÖÓÒÝ Þ ÙÛ ÑÝ Ð A,B N A B ØÓ ARB Ó A N = A B = B Nµº ÏÓ Ø Ó Ö Ò ÔÓ Þ ÓÖÝ Þ ÓÖÙ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ÛÝÞÒ Þ Ö Ò Ð Ý ØÖ Ö Ð ¹ R Ó Ò ÙÒ f : P(N) P(Z)/ R Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ f(a) = [A] R Ø Ò µ ÞÝÐ P(Z)/ R P(N) = c. Æ ÑÓÝ ØÛº ÒØÓÖ ¹ ÖÒ Ø Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ P(Z)/ R = cº

38 ¾ º µ ÈÓÒ Û [ ] R = {A P(X) : f[a] = f[ ] = Û [ ] R = { } Ó Ò Ò ÔÙ ØÝ Þ Ö Ò ÑÓ Ñ ÔÙ Ø Ó Ó Ö ÞÙµº µ Ì º ÈÝØ ÑÝ ÓÛ Ñ ÞÝ ØÒ Þ Ö A X Ø {3,6}RA AS {4} ÞÝÐ Ø f[a] = f[{3,6}] = {3,4} f 1 [A] f 1 [{4}] = {6}. ÖÙ Þ ØÝ Û ÖÙÒ Û ÓÞÒ Þ A {4,5,6}º ÈÓÒ Û Ð A = {4,6} Ô Ò ÓÒÝ Ø Ø Ô ÖÛ ÞÝ Û ÖÙÒ Û Ó ÔÓÛ õ Ò Ò Þ ÔÝØ Ò Ø ÔÓÞÝØÝÛÒ º µ ÙÛ ÑÝ ÔÓ Þ ÓÖÙ Þ ÓÖÙ X ÛÝ ØÖ ÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ö Ð R Ø Ó Ó Ö Þ ÔÖÞ Þ ÙÒ fº ÈÓÒ Û rng(f) = {1,2,3,4} Û Û ÖØÓ ÛÝ ØÖ ÓÛ Ò Ý ØÓ ÔÓ Þ ÓÖÝ Þ ÓÖÙ {1,2,3,4}º ÏÓ Ø Ó P(X)/ R = P({1,2,3,4}) = 16. ÁÒÒ Ñ ØÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ø Ó Þ Ò ÑÓ Ý ÓÔ Ò Þ ÓÖÙ P(X)/ R º Æ Ð Ý Ò ÙÛ ÔÖÞÝ ÓÔ ÝÛ Ò Ù Ø Ó Þ ÓÖÙ Ò Ô ÓØ ÔÓÔÖÞ Þ ÛÝÔ Ò ÔÓ ÖÙÔÓÛ Ò Û ÞÝ Ø ÔÓ Þ Ó¹ Ö Û Þ ÓÖÙ Xµ Ö ÞÓ ØÛÓ ÔÓÑÝÐ º Ð Ø Ó Ð Ô ÛÝ ÓÖÞݹ Ø Ø ÓÔ P(X)/ R = {A D : D P({1,2,3,4})}, Þ A D = {A X : f[a] = D} Ó Ò Û ÖÙÒ ÖÞ ÞÝ Ø ØÝÐ Ó Ð ÑÓ Ý Ô ÖÛ Þ Ñ ØÓ Ý ÖÓÞÛ Þ Ò µº µ ØÛÓ ÑÓ ÑÝ ÔÖ Û Þ ÓÖÞÝ Ø Þ Û ÒÓ ÔÖÞ ÛÓ Ö ÞÙ Ö Ð S Þ Ø Ñ Ø Ó µ Ø Ö Ð ÞÛÖÓØÒ ÔÖÞ Ó Ò º ÏÓ Ø Ó ÑÙ ÑÝ ÞÒ Ð õ Ò Û ÞÝ Û Ò Þ Û Ö Ò µ Þ Ö C X Ð Ø Ö Ó Ö Ð S C Ø Ó ÒØÝ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ó ØÝÐ Ó Ø Û ÒÓ Ö Ð ÔÓÖÞ Ù Ö Ù Ö Ð Sµº ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Ð Ô ÛÒÝ Þ ÓÖ Û A,B X Þ Ó¹ Þ ASB BSA ÞÝÐ f 1 [A] f 1 [B] f 1 [B] f 1 [A]. Ø Ñ f 1 [A] = f 1 [B]º ËØ f[f 1 [A]] = f[f 1 [B]] ÞÝÐ A rng(f) = B rng(f)º Ö ÛÒÓ Ø ÛÝÒ Ö ÛÒÓ Þ ÓÖ Û A B ÔÓ Û ÖÙÒ Ñ A,B rng(f)º ÏÓ Ø Ó C = rng(f) = {1,2,3,4}.

39 ¾ º ¾ º µ Ì º Û ÔÖÞ Þ Ý Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒ Ý Ò Þ Û Ö Û ÖÙ Ñ Ñ Ó Ó Ö Ò Þ Ø Ñ ÔÖÞÝ Ñ ÑÓ Ý ÒÔº J = ( 1,3)º µ ÈÖÞÝ Ñ ÒØÝ Ù ÑÓ Ý ÒÔº Þ Ö A = {( a,a) : a (0,+ )}º µ ÈÖÞÝ Ñ Ù ÑÓ Ý ÒÔº Þ Ö L = {(0,n) : n N}º µ Æ º Á ØÓØÒ Ð (a,b) A ØÓ ( a+b 2,1) A (a,b) ( a+b 2,1) º µ Æ º ÙÛ ÑÝ ÓÛ Ñ x 1 y y x ÞÝÐ 1 Ø ÔÓ ÔÖÓ ØÙ Ó ÛÖ ÓÒÝÑ ÔÓÖÞ Ñ Ò Þ ÓÖÞ Rµº Ø Ñ π < 1 3º µ Ì º ÈÓÒ Û Ø Ò Ö ÓÛÝ ÔÓÖÞ Ò Þ ÓÖÞ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ¹ ØÝ Ø Ð Ò ÓÛÝ Û ÔÓ Ó ÛÖ Ò Ù ÔÓÞÓ Ø Ò Ð Ò ÓÛݺ µ ÆÔº B = (2,3)º µ Ì º Á ØÓØÒ Ù Ø ÐÑÝ ÓÛÓÐÒ x,y Nº Å ÑÝ x 2 y x 1 y ( z R)(x < z y < z) ( z N)(x < z y < z). ÖÙ ØÖÓÒÝ Ý Ý ( z N)(x < z y < z) Ð ØÒ Ó Ý t R Ø x < t t y ØÓ x < y ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÔÖÞ ÞÒÓ Þ Þ Ó Ò Ñ Ð z = yº ¾ º ¾ º µ ÆÔº { n,0 : n N} Ð Ó ÓÔ ÒÝ Û µ Þ Ö Ð Ñ ÒØ Û Ñ Ò Ñ Ð¹ ÒÝ ÐÙÞÓÛ Ø Ó ØÖÞ Ò Ö Ò Ý ÔÓÑ ÞÝ ÔÓÖÞ Ñ ÞÛÝ ÝÑ ÔÓÖÞ Ñ ÔÖÓ Ù ØÓÛÝѵº µ { n,0 : n N} { 0,n : n N}º µ Æ º ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ ÓÛ Ñ Ø Ò Ó ÞÓÒÝ Ù L ع Ò º ÈÓÒ Û ÖÞÙØ π[l] Ø Þ ÓÖ Ñ Ó ÞÓÒÝÑ Û ØÒ x 0 π[l] Ø Þ Ö A = { x,y L : x = x 0 } Ø Ò Ó ¹ ÞÓÒÝ ÛÝÒ ØÓ Þ Þ Ý ÞÙ ÓÛ Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞݹ Ô Ù Þ Ö L Ý Ý Ó ÞÓÒݵº Ð Þ Ö A L Ø ÒØÝ Ù¹ Ñ ÔÖÞ ÞÒÓ º µ Æ º Ý Ý (0,1) (a,b) (1,2) ØÓ ÔÓÒ Û Þ Ò Ö Ð ÛÝÒ I J supi infj Û Ñ Ð Ý ÑÝ 1 a b 1 Ó Ø ÔÖÞ ÞÒ Þ Þ Ó Ò Ñ a < bº µ Æ º ÏÝ Ø ÖÞÝ Þ ÙÛ Ý Ý Ó Ò (a,1) Þ a < 1 Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ñ ÝÑ ÐÒÝÑ Û P((,1)) Xº

40 µ ÈÓÒ Û Û Ó Ò Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒ Ó Ò ÛØ Ý Ý Ò ÖÓÞ ÞÒ Û Û ÞÙ ÒÝÑ ÒØÝ Ù Ù Û Ó ¹ Ò ÑÙ Þ Ñ Ò ÔÙ ØÝ ÔÖÞ Ö º Ï ÖÙÒ I AI = Ò ÔÖÓ Ó Ò ÖÓÞÛ ÖÓ Þ Ò Þ ØÔÙ ÛÞ Ð Ñ Þ Û Ö Ò µº ÈÖÞÝ ÓÛ Ó ÔÓÛ õ ØÓ {( A = 0, 1 ) } : n N +. n µ Æ º ÈÓÒ Û ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒÓ Û Ö ÒÝ Ó Ò Û ÓÞÒ Þ ÖÓÞ ÞÒÓ Û ØÒ Ò Ò ÔÖÞ Ð Þ ÐÒ Ó Ù ÓÞÒ Þ ¹ Ó Ý ØÒ Ò Ò ÔÖÞ Ð Þ ÐÒ ÖÓ Þ ÒÝ Ô Ö Ñ ÖÓÞ ÞÒÝ Ó Ò¹ Û Ò ÔÖÓ Ø Ó Û ÓÑÓ Ø Ò ÑÓ Ð Û º ¼º µ Æ º Ý Ý 2 12 ØÓ ØÒ Ý Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ k Ø 12 = 2 k+1 Ó Ò Ø ÑÓ Ð Û º µ Æ º ÏÝ Ø ÖÞÝ ÔÓ Þ Ð ÓÛÓÐÒ Óx N + ÔÓØÖ ÑÝ Û ¹ Þ y N + Ø x yº Í Ø ÐÑÝ Þ Ø Ñ x N + º  Р2 x ØÓ 2 (x+2) x x+2 Þ Ø Ñ x x+2º Â Ð Ò ØÓÑ Ø 2 x ØÓ 2 2x 2x = 2 1 x Þ Ø Ñ x 2x Ó Ó ÞÝ ÓÛ º µ Æ Odd Þ Þ ÓÖ Ñ Ð Þ Ò Ô ÖÞÝ ØÝ º Ï ÛÞ Þ Ö {2x : x Odd} Ø ÔÖÞÝ Ñ ÞÙ Ò Ó ÒØÝ Ù º µ Æ º ÏÝÒ ØÓ Þ ØÙ Þ Ö N + Ø ÙÑ Ô Ö Ñ ÖÓÞ ÞÒÝ Ù Û N + = Odd {2 k n : k N}. n Odd Æ ØÒ Þ Ø Ñ Û Ö Ò Ð Ñ ÒØÝ Ñ Ø Ò Ñ ÞÔÓ¹ Ö Ò Ò ØÔÒ º ½º µ Æ ÔÓÒ Û 7 9 f 1 (7) f 1 (9) 4 5º µ Æ º Ö ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ N, Ø ÞÓÑÓÖ ÞÒÝ Þ Þ ÓÖ Ñ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝÑ Z, ÙÒ f Ø ÞÓÑÓÖ ÞÑ Ñµº ÏÓ Ø Ó ÔÓÖÞ Ø Ð Ò ÓÛÝ Ó ÔÓÖÞ Øµ Ó ÓÞÒ Þ Ò Ñ Û Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒÝ Ð Ñ ÒØ Û Ö Ò Ð Ñ ÒØÝ Ñ ÝÑ ÐÒ Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒ µº µ ÆÔº {2n+1 : n N} {4}º µ Ë ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ Û ÒÓ (g f) 1 [C] = f 1 [g 1 [C]]º Å ÑÝ g 1 [C] = {n N : g(n) C} = {n N : f(n) C} = = {n N : 2n C} = {n N : n 50}.

41 Ð Ñ ÑÝ f 1 [{n N : n 50}] = {k Z : f(k) 50}. ËØ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ (g f) 1 [C] = {k Z : k 25}º ¾º µ µ 4,2 6,2 4,4 2,2 6,4 4,6 2,4 6,6 2,6 µ supa = 12,2 º µ Æ º Ð ÓÛÓÐÒ Ô ÖÝ a,b (N + ) 2 Ñ ÑÝ ÓÛ Ñ a,b 2a, b º µ ÆÔº { 2,2 } { 2 k,1 : k N + }º º µ Ð Ñ ÒØ Ñ Ò ÑÒ ÞÝÑ Û ÞÛ Þ Ù Þ ØÝÑ ÝÒÝÑ Ð Ñ Ò¹ Ø Ñ Ñ Ò Ñ ÐÒÝѵ Ø ÙÒ Ø Þ Ò ÛÞÓÖ Ñ f(n) = 0º Ð Ñ ÒØ Ñ ÝÑ ÐÒÝ Þ Ø Ñ Ö ÛÒ Ð Ñ ÒØ Ò Û Þݵ Ò ØÒ ÔÓÒ Û Ð ÓÛÓÐÒ ÙÒ ϕ N N ÑÓ ÑÝ Þ Ò Ó¹ Û ÙÒ ψ N N ÛÞÓÖ Ñ ψ(n) = ϕ(n) + 1º Ï ÛÞ Ñ ÑÝ ( n N)(ϕ(n) < ψ(n)) ÛÒ Ó Ù ÑÝ ϕ ψº µ Æ ÔÖÓ ÛÞ ÙÒ Ø º Â Ð Þ Ø Ñ ÙÒ f a N N Þ ¹ ÑÝ ÛÞÓÖ Ñ f a (n) = a ØÓ ÞÙ ÒÝÑ Ù Ñ ÑÓ Ý Þ Ö L = {f a : a N}º µ ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ ÓÞÒ Þ Ò A = {f N N : f h}º Ï ÛÞ {0,1} N Aº Á ØÓØÒ ÔÓÒ Û ( n N)h(n) 1 Û Ð ÙÒ g {0,1} N Ñ ÑÝ ( n N)h(n) g(n) ÞÝÐ g hº ÈÓÒ ØÓ A N N º ÏÓ Ø Ó Ñ ÑÝ c = {0,1} N A N N = c Þ ØÛº ÒØÓÖ ¹ ÖÒ Ø Ò ÛÒ Ó Ù ÑÝ A = cº º µ Ì º ÆÔº º

42 µ Æ º ÈÓÒ Û Û Ð Þ Ý Ó Ø Ñ Þ Ù Ñ ÓÛ Ò ÔÓ¹ Ö ÛÒÝÛ ÐÒ Û Û ÞÞ ÐÒÓ Þ Ö Z Ø Þ ÓÖ Ñ Ð Ñ ÒØ Û Ñ Ò Ñ ÐÒÝ º µ ÈÓÒ Û Ð Ñ ÒØÝ Ñ ÝÑ ÐÒ ÑÙ Þ Ñ Ø Ñ Þ Ù Ñ¹ ÓÛ Û ÛÝ Ö ÑÝ Û Ð Þ Ý Ó Ò Þ ÖÓÛ Þ Ù Ñ ÓÛ ÓÖÞÙ ÑÝ ÔÓÖÓ Ð Þ Ó ÑÒ ÞÝ Þ Ù Ñ ÓÛÝ ÓØÖÞݹ ÑÙ ÒÔº Z { 1 2, 3 2 }º µ Æ º ÙÛ ÑÝ ÓÛ Ñ Û Ð Þ Ý Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ñ Ø Ñ Þ Ù Ñ ÓÛ º ÌÝÑÞ Ñ Ð Ù Ø ÐÓÒ Ð Þ Ý a [0,1) Þ Ö ØÝ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ø Ö Ñ Þ Ù Ñ ÓÛ Ö ÛÒ a Ñ ÔÓ Ø {n+a : n Z} Ø ÔÖÞ Ð Þ ÐÒݺ º µ ÈÙÒ ØÝ Ð Ò Ó Ó ÑÒ ÞÝ ÔÖÓÑ Ò ÑÒ Þ Ó ØÝ Ø Ö Ð Ò Ó Ó ÑÒ ÞÝ ÔÖÓÑ Ò º Ø Ñ Þ Ö Ð Ñ ÒØ Û Ñ Ò Ñ ÐÒÝ ØÓ { 0,0 } ÔÙÒ Ø 0,0 Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ò ÑÒ ÞÝѵº µ ÈÓ Þ Ö Ô ÞÞÝÞÒÝ Þ Ù Ñ Ý Þ ÝÑ Ó Ö Ñ Ó ÖÓ Ù Û ÔÙÒ 0,0 Þ Ñ Ó Ò ÛÝ Ò ÔÙÒ Ø Û Ô ÐÒݺ Å ÝÑ ÐÒÝ Þ Û ÛÞ Ý Þ ÝÑ Ø Ñ Ó Ö¹ Ñ Þ Ñ ÔÙÒ Ø Û Ô ÐÒݺ Ø Ñ Ñ ÝÑ ÐÒ Ù Ý ØÓ Ñº Òº Ô ÔÖÓ Ø ÓÑ Ò Ø Ó ÔÓÞ Ø Ù Û ÔÙÒ 0,0 ÒÔº L = { 0,x : x [0,+ )}º µ Æ º  РÔÙÒ Ø a,b Ø Ó Ö Ò Þ Ò Ñ ÖÒÝÑ Þ ÓÖÙ A ØÓ a 2 + b 2 > = 2º Ð ÛØ Ý Ý ÔÙÒ Ø c,d Ø a 2 + b 2 > c 2 + d 2 > 2 Ø Ó Ö Ò Þ Ò Ñ ÖÒÝÑ Þ ÓÖÙ A c,d a,b º ÏÓ Ø Ó Û Þ ÓÖÞ Ó Ö Ò Þ ÖÒÝ Þ ÓÖÙ A Ò ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Ð Ñ ÒØÙ Ò ÑÒ Þ Óº µ Ì º  ÝÒ Ò ÔÙ Ø Ö Ð Ø Ö Ø Ö ÛÒÓÞ Ò Ö Ð Ö Û¹ ÒÓÛ ÒÓ Ö Ð ÔÓÖÞ Ù Ø Ö Ð Ö ÛÒÓ º Ê Ð ÔÓ Ó Ù Ó Þ ÓÖÙ B Ø Ö Ð Ö ÛÒÓ Ó Ò ÛØ Ý Ý Þ Ö Ø Ò Ø ÒØÝ Ù Ñº Ø Ñ Û Þ Ò Ù ÔÝØ ÑÝ Ø Ò ÔÖ Û Ó ØÒ Ò Ò Ó ÞÓÒ Ó ÒØÝ Ù º Ø ÓÞݹ Û ØÒ ÔÖÞÝ Ñ Ø Ý Ó Ö Ó ÖÓ Ù Û ÔÙÒ 0, 0 º

43 Ð Ó Ö ½ Ó Âº ÏÝ Ý Þ Ï ØÔÙ Ó Å Ø Ñ ØÝ º ÓÐÒÓ Ð ÏÝ ÛÒ ¹ ØÛÓ Ù Ý Ò ÏÖÓ Û ¾¼¼ º ¾ ÃÖ Þ Û Âº Ï ØÔ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ º ÏÆÌ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º ÂÙ Ø Ïº Ï Åº ÓÚ Ö Ò ÅÓ ÖÒ Ë Ø Ì ÓÖÝ Á Ì º Ö ¹ Ù Ø ËØÙ Ò Å Ø Ñ Ø ÎÓÐ ÅË ÈÖÓÚ Ò ½ º ÙÞ Ïº ÖÞ Û Èº ÏÝ Ý Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ º ÏÔÖÓ¹ Û Þ Ò Ó Ø ÓÖ ÑÒÓ Ó º ÏÆ ÈÏÆ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º ÙÞ Ïº ÖÞ Û Èº Ï ØÔ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ º Ö Þ º ÏÆ ÈÏÆ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º ÃÙÖ ØÓÛ Ãº Ï ØÔ Ó Ø ÓÖ ÑÒÓ Ó ØÓÔÓÐÓ º ÏÆ ÈÏÆ Ï Ö¹ Þ Û ¾¼¼ º ÛÖÓÛ Áº º Å ÑÓÛ ºÄº Ò Þ Ø ÓÖ ÑÒÓ Ó ÐÓ Ñ Ø ¹ Ñ ØÝÞÒ Ø ÓÖ Ð ÓÖÝØÑ Ûº ÏÆ ÈÏÆ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º Å Ö Ïº ÇÒÝ Þ Û Þ Âº Ð Ñ ÒØÝ ÐÓ Ø ÓÖ ÑÒÓ Ó Û Þ ¹ Ò º ÏÆ ÈÏÆ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º Ê ÓÛ Àº Ï ØÔ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Û Ô Þ Ò º ÏÆ ÈÏÆ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º ¼