x a lim (x n) 2 = lim x n sgn(x) =
|
|
|
- Bogusław Damian Żurek
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ½ ÙÒ Ö Ò Ý Ó Ö Ö ÙÑ ÒØ Û Þ Ö Û ÖØÓ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ ÙÒ Ð ¹ Ò ÓÛ Û Ö ØÓÛ Û ÐÓÑ ÒÝ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ó ¹ ÛÖÓØÒÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ º ½º½ ½º½º½ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð ÓÔÓÛ Þ Ï ÖØÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð Ö ÙÑ ÒØ Û Ò ÛÝÑ ÖÒÝ Å Û Ó ÙÒ ÛÝ Ò Þ a x ÛÝ ÓÛ ÔÖÞ Ð Þ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ø Ð xò ÛÝÑ ÖÒÝ Ý Ó ÓÒ Û ÒØÒ ÔÓÛ Þ Ò ÝÒ Ð ÞÝ Û ÖØÓ a x Ð x Qµº Ì Ö Þ Þ Ó ØÝÑ ÓÔÓÛ Þ Ò º ËÞ ÓÐÒÝ ÔÓ ÛÔÖÓÛ Þ Ò ÔÓØ a x Ð xò ÛÝÑ ÖÒÝ ÔÓÐ Þ ÞÛÝÞ Ò Þ Ò ÓÛ Ò Ùa x Ó Ö Ò Ýa rn n Þ {r n } Ý Ñ Ñ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÝÑ Ð Þ ÛÝÑ ÖÒÝ Þ ÒÝÑ Óx ÒÔº Ñ ÔÖÞÝ Ð Þ ØÒÝ xµº Ï ÛÝ Þ Þ ÓÐÒÝÑ Þ ÞÛÝÞ Ò ÓÛÓ Þ Ó ØÒ Ò Ö Ò Ý Ø Ó Ù ÔÓÔÖÞ Ø Ò Ö ÙÑ ÒØ ÒØÙ Ý ÒÝ º ÍÞ ÖÓ Ò Û ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ò Û ÑÓ ÑÝ ØÛÓ ÔÓ Þ ØÒ Ò Ö Ò Ýa rn n ÇØ Ð {r n } Ø Ñ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÝÑ ØÓ Ø Ø Ø a rn Ø ØÓ ÔÓÒ ØÓ Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Û Þ Òݺ ½º½º¾ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ó ÔÓ Ø Û e Ç ÞÙ Ó Ó Ò Þ ÔÖÞÝÞÝÒ Ø Ö Ø Ò Ò Ò Ù Óµ ÛÞ Û Ò ÙÒ ÛÝ Ò Þ a=eº ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ Óe x ØÞÒºlog e x Ò ÞÝÛ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ Ò ØÙÖ Ð¹ ÒÝÑ ½ º ½º¾ Ö Ò ÙÒ Û ÔÙÒ º Ò À Ò Ó Ä Þ g Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö Ò ÙÒ f Û ÔÙÒ a Ó ÓÞÒ Þ ÑÝ f(x)=gµ Ð Ð Ó Ù{x n} Þ Ò Ó Óa ÓÛÝÖ Þ Ö ÒÝ Ó a x a Þ Ó Þ Ö ÛÒÓ f(x n)=g n ÈÖÞÝ º(x 2 )=0º Ï õñý ÓÛ Ñ ÓÛÓÐÒÝ {x n } Þ ÒÝ Ó Þ Ö Ñ ÑÝ ( ) 2=0. (x n) 2 = x n n n ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ sgn(x) Ò ÓÛ Ò Ó sgn(x) = + Ð x>0 0 Ð x=0 Ð x<0 ÙÒ Ò(x) Ò ÔÓ Ö Ò Ý Û ÔÙÒ x=0º Ï õñý ÓÛ Ñ x n = Ñ ÑÝ n x n=0óö Þ sgn(x n n n )=º Ï õñý Ø Ö Þ ÖÙ x n= Ñ ÑÝ n n x n=0 ÓÖ Þsgn(x n n )= Ø Û sgn(x) Ò ØÒ º ½ ÏÔÖÓÛ ÞÓÒÓ Û ÎÁÁ Ûº Ô ÖÛ ÞÖÓ Ð ØÓ Æ Ô Ö ÖÒÓÙÐÐ º ½µ ½
2 ÅÓ Ò Ò Ñ Û ØÙ Ó Ö Ò Ý ÒÓ ØÖÓÒÒ Û ÔÙÒ 0º º Ä Þ gò ÞÝÛ ÑÝ Ö Ò Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ µ ÙÒ f Û ÔÙÒ a Ð Û ÖÙÒ n x n =a x n <a Ó ÔÓÛ Ò Óx n >aµ ÑÔÐ Ù n f(x n )=gº ËÝØÙ Ø ÓÞÒ Þ ÑÝ ÝÑ ÓÐ Ñ f(x)=g Ö Ò Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ x a f(x)=g Ö Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ º x a + ¾µ Ï Ø Ò ÔÓ Ñ ÑÝ ÈÖÞÝ º º ºµ sgn(x)= sgn(x)=+. + ËÝÑ ÓÐÙf(x) x a Ù ÝÛ ÑÝ Ö ÛÒ Ò ÓÞÒ Þ Ò Ö Ò Ý Ò Û Û ÈÖÞÝ º Å ÑÝ = x 2 Ò ØÓÑ Ø ÈÖÞÝ º Ò ØÒ Ò ØÓÑ Ø x ÈÖÞÝ º ÈÓ Ó Ò x π 2 x = + x =+. tg(x) Ò ØÒ Ò ØÓÑ Ø tg(x)= x ( π 2) tg(x)=+. x ( π 2) + Á ØÒ Ò ÙÒ Ø Ö Ò ÔÓ Ò Û Ø ÒÓ ØÖÓÒÒÝ Ö Ò Û ÛÝ Ò Ò Û ÛÝ µº Æ Ð Ý Ó Ò ÒÔº ÙÒ ( f(x)=sin x) x 0. Ï ÔÙÒ x=0ò ÔÓ ÓÒ ÒÓ ØÖÓÒÒ Ö Ò Ý Ò Ð ÛÓ¹ Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ µº Ý ÔÓ Þ Ò ØÒ Ò Ö Ò Ý ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Û õñý Û Ó ÛÝÖ Þ Ó ØÒ 2 {x n }= (4n+)π {x 2 n}= º Ç Þ Ò Ó Þ Ö º Å ÑÝ (4n+3)π ( ( ) ( (4n+)π f(x n )=sin =sin =sin 2πn+ xn) π ) =+ 2 2 ÔÓ Ó Ò f(x n )=sin ( x n ) ( =sin 2πn+ 3π 2 ) = Ï Þ ÑÝ Ò ØÒ Ö Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Û Þ ÖÞ ÔÓ Ó Ò ÔÖÞ ÓÒÙ ÑÝ Ò ØÒ Ø Ö Ò Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ µº ÈÖ Þ Ö Ò Ý ÙÒ Ð Ó ÞÓÒ Óa ÖÓÞÛ ÑÝ Ø Ö Ò Û Ò Ó ÞÓÒÓ º º Å Û ÑÝ Ö Ò ÙÒ f(x) Û Ò Ó ÞÓÒÓ Ø Ð Þ g ÓÞÒº x f(x)= gµ Ð Ð Ó Ù{x n } Ø Ó x= Þ Ó Þ f(x n n n )=gº ÈÖÞÝ º Å ÑÝ =0, x x x ex =, x ex =0. µ ÈÖÞÝ º ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ sinx,cosx,tgx Ò ÔÓ Ö Ò Û± º ¾
3 ½º Þ Ò Ò Ö Ò ÌÛº ÈÖÞÝ Þ Ó Ò Ù Ö Ò x a f(x) x a g(x) ØÒ Ó ÞÓÒ Þ Ó Þ ÛÞÓÖÝ [f(x)+g(x)]=f(x)+g(x); x a x a x a µ [f(x) g(x)]=f(x) g(x); x a x a x a [f(x)g(x)]=f(x) g(x); x a x a x a f(x) x ag(x) = f(x) x a Ð g(x), g(x) 0. x a x a ÏÞÓÖÝ Ø ÔÓÞÓ Ø Ø ÔÖ Û Þ Û Ð a ر Ø ÔÖ Û Þ Û Ð Ö Ò ÒÓ ØÖÓÒÒÝ º ÓÛº ÓÛÓ Ý Ø Ñ Ð Ö Ò Û Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó ÖÓÞ Þ Ùº Å ÑÝ Ø Ò ÐÓ ÓÒÝ ÒÒÝ ØÛ Ö Þ Ð Ö Ò Û ÌÛº Â Ð Ö Ò f(x) g(x) x a x a ØÒ ØÓ µ µ µ Ò Ö ÛÒÓ f(x) g(x) ÑÔÐ Ù x a f(x) x a g(x); µ Ò Ö ÛÒÓ f(x) h(x) g(x) ÛÖ Þ Þ Ö ÛÒÓ x a f(x)= x a g(x) ÑÔÐ Ù x a f(x)= x a h(x)= x a g(x). µ  ÔÓÔÖÞ Ò Ó ÛÞÓÖÝ Ø Ø ÔÖ Û Þ Û Ð a=± ÓÖ Þ Ð Ö Ò ÒÓ ØÖÓÒÒÝ º ÓÛÓ Ý Ò ÐÓ ÞÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ûº ½º Ã Ð Û ÖÙÒ Û Ó Ø Ø ÞÒÝ ØÒ Ò Ö Ò Ý Æ ÑÔ ÖÛ ÔÖÞ Ò ÑÝ Ò Ù Ó Ö Ò ÞÓÒ Ó Ò ÙÒ º Å Û ÑÝ ÙÒ f(x) Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ Þ ÖÝ Ó Ùµ Ð ØÒ Ø Ø M Ð ÓxÞ Þ Þ ÒÝ Þ Ó Þ f(x)<m Ó ÔÓÛ Ò Óf(x)>Mµº Ï Ö Ö ÒÝ Ò ÐÓ ÓÒ Û Ò ØÒ Ò Ö Ò Û ÙÒ Ñ ÑÝ Ò ØÔÙ Ý Ó ÔÓÛ Ò ØÛ Ö Þ Ò Ó Þ ÒÓ Û ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÝ Ó Ö Ò ÞÓÒÝ ÌÛº  РÙÒ Ø Ò Ñ Ð Ó Ö Ò ÞÓÒ Þ ÖÝ ØÓ ØÒ Ö Ò f(x) x a Ð ÓÛÓÐÒ Óaº ÍÛ º Æ Þ Ò Ø ØÙ Þ Ó Ò Ó ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÙÒ º Ð ÙÒ Ò ÑÓÒÓØÓ¹ Ò ÞÒÝ ØÛ Ö Þ Ò ØÓ Ò Þ Ó Þ ÔÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Ó ÔÖÞÝ ÙÒ f(x)=sin º x { } {( )} a n Ø ÖÓ Ò Ý Ø a n Ø Ò Ñ Ð Ý ÔÓÒ Û Ø Ø Ó Ö Ò ÞÓÒÝ ØÓ Ø Þ Òݺ Æ (a f ) =g. n n ÈÓÞÓ Ø ÔÓ Þ ÔÖÞÝ Ò ÖÞÙ Ò Ù Û ÖÙÒ Û n x n =a ÓÖ Þx n <a Þ Ó Þ f(x n)=g. n
4 Ï õñý ǫ>0º Á ØÒ Û ÛÞ N Ø g f ( a N) <ǫº Å ØÓN ÖÞ ÑÝ Ø k Ý Ð n>k Þ Ó Þ Ò Ö ÛÒÓ a N <x nº ËØ f ( a ) <f(x n ), N g f(x n )<g f ( a ) <ǫ. N ½¼µ n  ÒÓÞ Ò ÈÓÒ Û x n a ØÓ Ð Ón ØÒ r n Ø x n <a r n º Å ÑÝ Ø f(x n )<f (a ) g = g f(x n )>0. ½½µ rn Ó Ù Ò Ö ÛÒÓ ½¼µ ½½µ Ñ ÑÝ ǫ<0<g f(x n )<ǫ = g f(x n ) <ǫ = n f(x n )=g. Ï Ò ÐÓ ÞÒÝ ÔÓ ÓÛÓ Þ ØÛ Ö Þ Ð ÙÒ Ò ÖÓ Ò Ý ÓÖ Þ Ð Ö Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒÝ º ÅÓ Ò ØÓ ÔÓ ÙÑÓÛ Ó ÌÛº  РÙÒ Ø Ò ÖÓ Ò ÐÙ Ò Ñ Ð Ó Ö Ò ÞÓÒ ØÓ Ö Ò f(x) x a ± ØÒ Û ÝÑ ÔÙÒ aº Ð a=± ØÒ Ö Ò f(x) x ± Ó Þ Ø ØÛ Ö Þ Ò Û Ô ÛÒÝÑ Ò Ó ÛÖÓØÒ ÌÛº  РÙÒ f Ò ÔÓ Ö Ò Ý Ó ÞÓÒ Û ÔÙÒ a ØÓ ØÒ {x n } Ø x n a x=a n ÓÖ Þ {f(x n )} Ø ÖÓÞ Òݺ Þ ÓÛÓ Ùº Ò ÌÊ ÓÛÓ Ù Ð ÛØ Ý ØÖÞ ÞÞ Ó ÔÓÛ ¹ Ò Ó ÓÛÓ Ù Ð Ò ÐÓ ÓÒÙ Þ Ûº Ð º ÞÞ Ó ÙÔ ÖÔÓÞÝ Û Ö Ò Ýº ÈÖ Þ Ò À Ò Ó Ø ÞÞ Ò ÒÒ Ð Ö ÛÒÓÛ Ò Ö ÛÒ Û Ò ¹ Ò Ù Ý³ Óº º Å Û ÑÝ ÙÒ f ÔÓ Û ÔÙÒ a Ö Ò g Ð ǫ>0 δ>0 x:0< x a <δ : f(x) g <ǫ. ÓØÓ Ó Ò Ö ÛÒÓÛ ÒÓ ÌÛº Ç Ò Ö Ò Ý ÙÒ Û ÔÙÒ Ù Ý³ Ó À Ò Ó Ö ÛÒÓ¹ Û Ò º ØÞÒº Ð ÙÒ Û Ñ ÔÙÒ Ñ Ö Ò Û ÑÝ Ð º ٠ݳ Ó ØÓ Ñ Ø Þ Ó Ò Þ º À Ò Ó Ò Ó ÛÖ Ø Ð Ò Ñ Û ÑÝ Ð º ٠ݳ Ó ØÓ Ò Ñ Ø Þ º À Ò Ó Ò Ó ÛÖ Øº ÓÛº ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Ò ÑÔ ÖÛ Û ÖÙÒ Ù Ý³ Ó Ò Ø Ô Ò ÓÒÝ ØÞÒº ǫ>0 δ>0 x:0< x a <δ : f(x) g ǫ. Ï ÞÞ ÐÒÓ ÓÖ δ= n ÛÒ Ó Ù ÑÝ ØÒ {x n} Ø 0< x n a < n ½¾µ
5 ÓÖ Þ f(x n ) g ǫ. Ï ÖÙÒ ½¾µ Ñ Û x n =aóö Þx n n aº Ý Ý Û ÔÖÞÝÔÙ x a f(x)=g ØÓ ÑÙ Ý Ý Ô Ò ÓÒ Ö ÛÒÓ f(x n n )=g Ð Ø Ö ÛÒÓ Ø ÔÖÞ ÞÒ Þ ½ µº ÈÓ Þ Ð ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ Û ÖÙÒ Ù Ý³ Ó Ø ÓÒ ÞÒÝ Ý ÙÒ ÔÓ ¹ Ö Ò Û ÑÝ Ð Ò À Ò Óº Ì Ö Þ ÔÓ ÑÝ Ø ÓÒ Ö ÛÒ Û ÖÙÒ Ñ ÛÝ Ø ÖÞ ÝѺ Æ Þ Ò ǫ>0 Ò x=aóö Þx n n aº ÈÓÒ Û Þ Þ Ó Ò Û ÖÙÒ Ù Ý³ Ó Ø Ô Ò ÓÒÝ ØÓ ØÒ δ>0 Ø Ò Ö ÛÒÓ 0< x n a <δ ÑÔÐ Ù f(x n ) g <ǫº ÈÓÒ Û Ô Ò ÓÒ Ø Ö ÛÒÓ n x=a ØÓ Ò Ö ÛÒÓ x n a <δ Þ Ó Þ Ð Û ÞÝ Ø Ó Ø Ø ÞÒ Ù Ý n ØÞÒº ÔÓÞ Û ÞÝ Ó Ô ÛÒ ÓM Nµº Ð ØÝ nñ ÑÝ Û Ò Ö ÛÒÓ f(x n ) g <ǫ ØÓ ÞÒ ÞÝ f(x n n )=g ÞÝÐ x f(x)=gº Ï Ø ÓÖ Û Ñ Ð ÑÝ Û ÖÙÒ Ù Ý³ Ó Ð Û Ø Ö Ó Ô Ò Ò Û Ö Ò¹ ØÓÛ Ó Þ ÒÓ Ùº ÈÖÞÝ Ö Ò Ý ÙÒ Ñ ÑÝ Ò ÐÓ ÞÒ ØÛ Ö Þ Ò º ÌÛº Ï ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ó Ø Ø ÞÒÝÑ Ò ØÒ Ò Ó ÞÓÒ µ Ö Ò Ý ÙÒ f Û ÔÙÒ a Ø Ý Ð ÓÛÓÐÒ Óǫ>0 ØÒ Ó Ø δ>0 Ð x,x Ô Ò Ý 0< x a <δ, 0< x a <δ ½ µ Þ Ó Þ f(x) f(x ) <ǫº ÓÛº ÈÓ ÑÝ Ò ÑÔ ÖÛ ÓÒ ÞÒÓ Ø Ó Û ÖÙÒ Ùº  Рx a f(x)=g ØÓ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Þ Ò Óǫ>0 ØÒ Ø δ>0 Û ÖÙÒ 0< x a <δ ÑÔÐ Ù f(x) g < ǫº Â Ð Û Û ÖÙÒ ½ µ Ô Ò ÓÒ ØÓ Þ Ó Þ Ò Ö ÛÒÓ 2 f(x) g < 2 ǫ i f(x ) g < 2 ǫ, ÔÓ Ó Ò Ù ØÝ ÔÓ ÞÒ Ñ Û ÖØÓ ÞÛÞ Ð Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ f(x) f(x ) <ǫº Â Ð Ó Þ Ó Ó Ø Ø ÞÒÓ Û ÖÙÒ Ù ØÓ ÔÖÞÝÔÙ ÑÝ Ö Ò ÙÒ f Û ÔÙÒ a Ò ØÒ Ñ ÑÓ Ô Ò ÓÒ Þ Ó Ò ØÛº º Á ØÒ Û ÛÞ Ò ÑÓÝ ØÛº Ø {x n } x n =a x n n aóö Þ {f(x n )} Ø ÖÓÞ Òݺ Ö ÛÒÓ x n n =aûýò ØÒ Ø k Ð n k ÑÓ Ò Û Ò Ö ÛÒÓ ½ µ ÔÓ Ø Û x=x n x =x k º ÌÓ ÑÔÐ Ù f(x n ) f(k k ) <ǫº ØÛ Ö Þ Ò Ù Ý³ Ó Ð Û ÛÒ Ó Ù ÑÝ Ø {f(x n )} Ø Þ ÒÝ Û Ö Û Ò Þ ÑÙ ÔÖÞÝÔÙ ÞÞ Ò Ùº ÈÓÛÝ Þ ØÛ Ö Þ Ò ÖÓÞ Þ ÖÞÝ Ò ÔÖÞÝÔ a= º ÖÞÑ ÓÒ ÛØ Ý Ò ØÔÙ Ó ÌÛº ³º Ï ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ó Ø Ø ÞÒÝÑ Ò ØÓ Ý Þ Ó Þ Ö ÛÒÓ x f(x)=g Ø Ý ǫ>0 r x>r : f(x) g <ǫ. ÌÛº ³º Ï ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ó Ø Ø ÞÒÝÑ Ò ØÓ Ý ØÒ Ö Ò Ó ¹ ÞÓÒ µ x f(x) Ø Ý ǫ>0 r x,x >r: f(x) f(x ) <ǫ. ½ µ
6 ÓÛº ÓÛÓ Ý Ò ÐÓ ÞÒ ØÛ Ö Þ º ¾ ÙÒ º Å Û ÑÝ ÙÒ f Ø Û ÔÙÒ a Ð Ô Ò ÓÒÝ Ø Û ÖÙÒ f(x)=f(a). x a ½ µ ÈÖÞÝÔÓÑ Ò Ó Ò Ö Ò Ý ÙÒ f Û ÔÙÒ añó Ò Û ÔÓÛ Þ Ð ÙÒ f Û ÔÙÒ añ ÑÝ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ù{x n } Ø Ó x n =a n Þ Ó Þ f(x n )=f(x n ). n n ½ µ Â Ð Û Ö ÛÒÓ ½ µ Þ Ø Ô Ö Ò ÔÖÞ Þ Ö Ò ÒÓ ØÖÓÒÒ ØÓ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ Ò Ó ÒÓ ØÖÓÒÒ º Å Û ÑÝ ÙÒ f Ø ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ µ Û ÔÙÒ a Ð x a 0 + f(x)=f(a) ( ) f(x)=f(a) x a 0  РÙÒ f Ø Ó Ö ÐÓÒ Ò Ð Û ÞÝ Ø x Ð Ø ÖÝ Ó Ö ÐÓÒ Ø Ö Ò ØÓ Û ÔÓÛÝ ÞÝ Ò Ó Ö Ò Þ ÑÝ Þ Ö ÞÑ ÒÒÓ x Ó Þ ÓÖÙ Ö ÙÑ ÒØ Û ÙÒ º Á Ø ÒÔº Ð f Ø Ó Ö ÐÓÒ Ò Ó Ò Ù ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] ØÓ Ó f Û ÔÙÒ a ÓÞÒ Þ ÝÒ Ó ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Ó Û ÔÙÒ b Ó Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ º º ÙÒ Ð Û ÖØÓ Ö ÙÑ ÒØÙ Þ Þ ÓÖÙX Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Ò Xº Á Ø ÒÔº Ñ Û ÙÒ f Ø Ò Ó Ò Ù ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] Ñ ÑÝ Ò ÑÝ Ð Ø ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Û ÔÙÒ a Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ Û ÔÙÒ bóö Þ Ó Ù ØÖÓÒÒ Û ÔÙÒ Ø Û ÛÒØÖÞÒÝ Ó Ò [a,b]º º Å Û ÑÝ ÙÒ f Ø ÔÖÞ Þ Ñ Ò Ó Ò Ù[a,b] Ð Ø Ò Ó Ò ÑÓ Ò ÔÓ Þ Ð Þ ÔÓÑÓ Ó ÞÓÒ Ó Ù Ù ÔÙÒ Ø Ûa 0,a,a 2,...,a n Þ a=a 0 <a <a 2 <a n =b Ò ÔÓ ÔÖÞ Þ Ý[a k,a k ] k=,2,...,nµ Û Ø ÔÓ Û ÛÒ ØÖÞ Ó ÔÖÞ ¹ Þ Ù ÙÒ f Ø ØÒ Ö Ò ÒÓ ØÖÓÒÒ f(x) f(x)º x a k,+ x a k, ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ ÙÒ ÔÓ Ó ÞÓÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û Ò Ó Û Ø ÖÝ ØÒ Ó Ö Ò ÒÓ ØÖÓÒÒ Ø ÙÒ ÔÖÞ Þ Ñ º ÈÖÞÝ Ýº ½º ÈÓ Þ Ð ÑÝ Ò ÛÒÓ x 2 =0º Ò ÞÝ ØÓ ÙÒ f(x)=x 2 Ø Û ÔÙÒ x=0 Ø Ø Ò ÝÑ Þ ÓÖÞ R Ó Ò Ù Ó ÔÓ Ñݵº ¾º ÙÒ f(x)=[x] ÛÝ Ö µ Ø Ò Û ÔÙÒ Ø ÓÛ ØÝ º Ó Ò Û ØÝ ÔÙÒ Ø Ø ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Ð Þ Ò Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ º ÈÓÒ Û Ò Ö Ò Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ ØÒ ØÓ Ø ÔÖÞ Þ Ñ Ò ÓÛÓÐÒÝÑ Ó Ò Ù Ó ¹ ÞÓÒÝѺ
7 ¾º½ º ÙÒ f(x)=sin ( ) x Ñ Ò Ó Ö ÐÓÒ Û ÖØÓ Û ÔÙÒ x=0º ÓÓ Ö ÐÑÝ Ø Ñ Ò Ù f(0)=0º Æ Û Ø Ø ÓÓ Ö ÐÓÒ ÙÒ Ø Ò Ûx=0 ÔÓÒ Û Ò ØÒ Ö Ò Ð ÛÓ¹ Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ µ Û ØÝÑ ÔÙÒ º º ÙÒ Ö Ð Ø Ø Ò Û ÝÑ ÔÙÒ º Ï ÖÙÒ Ó Ù Ý³ Ó ÌÛ Ö Þ Ò ÔÓÒ ÑÓ Ý ÔÖÞÝ Ø Ó Ò Ó ÙÒ Ò Ù¹ ݳ Óµ Â Ø ÓÒ Ö ÛÒÓÛ Ò Ò À Ò Óº Ì Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ø ÓÒ Û Ò ØÛ Ö¹ Þ Ò Ó Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Û ÖÙÒ Û ØÒ Ò Ö Ò ÙÒ Ù Ý³ Ó À Ò Óº Ï ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ó Ø Ø ÞÒÝÑ Ò ØÓ Ý ÙÒ f Ý Û ÔÙÒ a Ø Ý ǫ>0 δ>0 x: x a <δ f(x) f(a) <ǫ. ÅÓ Ò ØÓ ÛÝÖ Þ Ö Þ Ó Ö ÞÓÛÓ Ñ Û Ó Ø Ø ÞÒ Ñ ÝÑ ÔÖÞÝÖÓ ØÓÑ ÞÑ ÒÒ Ò Þ Ð Ò Ó ÔÓÛ Ø Ñ ØÝÐ Ó ÔÖÞÝÖÓ ØÝ Û ÖØÓ ÙÒ º ÅÓ Ò ØÓ Þ Ô Ò ØÔÙ Ó ÔÓ Ó Ø ØÒ Ñ Û ÒØÝ ØÓÖÞ Û ÛÝÖ Ò Ù ÔÓÛÝ µ Ï ÖÙÒ h <δ ÑÔÐ Ù f(a+h) f(a) <ǫº ÊÝ º  ÞÞ Ò Þ ÙÒ f Ø Û ÔÙÒ a Ð (f(x+h) f(x))=0. x h ½ µ ÍÛ º Ó ÙÒ Û ÔÙÒ Ø Û ÒÓ ÐÓ ÐÒ Ý Þ ÞÝ ÙÒ Ø Û ÔÙÒ a ÛÝ Ø ÖÞÝ ÞÒ ÞÒ Ø ÙÒ Û ÓÛÓÐÒ Ñ ÝÑ ÓØÓÞ Ò Ùaº ¾º¾ Ó ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÛÞÓÖ Û Ò Þ Ò Ò Ö Ò ÙÒ ÛÝÒ Ó Ö ÞÙ Þ Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ ÛÝ ÓÒÝÛ Ò Ò ÙÒ Ý Û ÛÝÒ Ù ÙÒ º ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ Â Ð ÙÒ f g Û ÔÙÒ a ØÓ ÙÑ Ö Ò ÐÓÞÝÒ ÐÓÖ Þ Ð g(a) 0µ Ö ÛÒ Û ÔÙÒ aº Ö ÑÝ Ø Ö Þ Ñ Ý Ø ÐÓ ÙÒ Ý ÙÒ Ø f(x)=const. ÙÒ f(x)=x ÙÒ Ñ ÝÑ Ó Û Ó Ö ÞÙ Þ Ò º ËØ ÓÖ Þ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ó ÐÓÞÝÒÙ ÙÑÝ ÙÒ Ý ÛÝÒ Û ÐÓÑ ÒÝ ÙÒ Ñ ÝÑ º ËØ ÓÖ Þ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ó ÐÓÖ ÞÙ ÙÒ Ý ÛÝÒ ÙÒ Ûݹ Ñ ÖÒ f(x)= P(x) ÙÒ Ñ ÝÑ Û ØÝ ÔÙÒ Ø Þ Q(x) 0º Q(x) Ó ÙÒ ÛÝ Ò Þ a x a>0º Æ ÑÔ ÖÛ ÔÓ ÑÝ È Ñ Ø ÑÝ ÓÛ Ñ Ö Ò Ð Û ax =. n a n =.
8 ËØ ÛÝÒ Ö ÛÒ n a n = n a n =. Ð Ø Ó Ø Ð ÓÛÓÐÒ Óǫ>0 ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Û õò N Ø Ð a>µ ǫ<a N <a N <+ǫ Â Ð Ø Ö Þ Û õñ ÑÝ Ø x x < N ÞÝÐ <x< µ ØÓ Ñ ÑÝ N N a N <a x <a N ǫ<a x <+ǫ= a x <ǫ ØÓ ÓÞÒ Þ a x =. Ì Ö Þ Ï õñý ÓÛÓÐÒ xº Å ÑÝ a x+h a x =a x (a h ) ÓÖ Þa h = a x+h h 0 h 0 a x =0 Ó Þ Ó Ò Þ Û Ö Û ÖÙÒ Ù Ó ½ µ ÓÞÒ Þ ÙÒ a x Ø Û ÓÛÓÐÒÝÑ ÔÙÒ xº Ó ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ º ÈÖÞÝÔÓÑ Ò Ó Ò ÙÒ sinx Ê Ëµ Ñ ÑÝ Ò Ö ÛÒÓ Ð x>0µ 0<sinx<x ËØ Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ò ØÖÞ ÙÒ ÛÝÒ sinx=0 ½ µ Ð ÖÞ Þ ÓÖ ÔÓÛÝ Þ Ö Ò Ø Ö Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Ð Þ ÒØÝ ÝÑ ØÖ ÙÒ Ò ÛÝÒ Ö ÛÒ Ø Ñ Ö ÛÒÓ Ð Ö Ò Ý Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ µº Æ Ö ÛÒÓ ½ µ ÞÒ ÞÝ Ø ÙÒ sinx Ø Ûx=0º Ò Ö Ò ½ µ ØÛÓ ÔÓ ÑÝ cosx=. Å ÑÝ ÓÛ Ñ cosx=2sin 2x 2 <2sinx <x Ó Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ò 2 ØÖÞ ÙÒ ÓÞÒ Þ ( cosx)=0º Å ÑÝ Ø Û Ø Ò ÔÓ Ù Ø ÒÓÛ ÓÒ Ó ÙÒ cosx Û Þ ÖÞ º Ì Ö Þ ÔÓ ÑÝ ÙÒ sinx cosx Û Þ Þ ÓÖÞÝ Ø ØÙ Þ Û ÖÙÒ Ù ½ µº Å ÑÝ ÓÛ Ñ sin(x+h) sinx=2sin h ( 2 cos x+ h ) 2 ÓÖÞÝ Ø Þ Ò Ö ÛÒÓ sinx x ÓÖ Þ cosx Ñ ÑÝ sin(x+h) sinx h = h 0 sin(x+h) sinx =0 ÞÝÐ sin(x+h) sinx=0. h 0
9 ÈÓ Ó Ò Ó cos(x+h) cosx =2 sinh (x+ 2 sin h ) 2 h cos(x+h) cosx=0. h 0 ÏÒ Ó º ÙÒ tgx= sinx Ø Ð x π +kπ ctgx Ð x kπ ØÙk Zµº cosx 2 Ó ÓÑÔÐ ØÙ ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ØÖÞ Ý ÞÞ ÔÓ Þ Ó ÐÓ ÖÝØÑÙ ÓÖ Þ ÙÒ Ý ÐÓÑ ØÖÝÞÒÝ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ µº ÖÓ ÑÝ ØÓ Þ Û Ð Ý ÔÓ ÑÝ Ó ÙÒ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó Ý º Æ Ö Þ Þ Þ ÑÝ ÔÓØÖÞ ÓÛ ÌÛº  Рx a f(x)=a g(y)=b ØÓ y A x a g(f(x))=bº ÓÛº Æ x n n =a Ñ ÑÝ ÛØ Ý f(x n n )=Aº Ï õñýy n =f(x n )º Å ÑÝ y n=a Þ Ø Ñg(y n )=B=g(f(x n n n n )) ØÓ ÞÒ ÞÝ x g (f(x))=bº ÃÓÖÞÝ Ø Þ Ø Ó ÔÓ ÑÝ ÙÔ ÖÔÓÞÝ Þ Ó Ò µ Û ÙÒ Ý Ø ÙÒ º Ó Ò ÌÛº  РÙÒ y=f(x) Ø Û ÔÙÒ x=a Þ ÙÒ z=g(y) Ø Û ÔÙÒ y=f(a) ØÓ ÙÒ g(f(x)) Ø Û ÔÙÒ x=aº ÓÛº Ï õñý {x n } Ø x n n =aº Å ÑÝ ÛØ Ý f(x n n )=f(a)º ÓÖ b=f(a) y n =f(x n ) Ñ ÑÝy n n =b ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Þ ÓÐ Ó ÙÒ g g(y n)=g(b), ØÞÒº n n g(f(x n ))=g(f(a)). ÈÖÞÝ º ÈÖÞÝÛÓ ÝÛ Ò ØÙ Ð ÖÓØÒ ÙÒ sin ( ) x Ø Û Û ÞÝ Ø ÔÙÒ ¹ Ø ÔÓÞ x=0º ¾º Æ Ø Ö Ó ÐÒ Û ÒÓ ÙÒ Ý º Ó ÒÓ Ø Ò Å Û ÑÝ ÙÒ f Ø ÒÓ Ø Ò Ò Þ ÓÖÞ Ð ǫ>0 δ>0 x,x X: x x <δ: f(x) f(x ) <ǫ. ½ µ ÍÛ ½º ÙÛ ÑÝ Ò Ó ÞÛÝ Ñ Û Ó Ó ÙÒ Û ÔÙÒ Ò ØÓÑ Ø Ò Ó ÒÓ Ø Ò Ñ Û Ó Ó ÙÒ Ò Þ ÓÖÞ º ÍÛ ¾º ÈÓÖ ÛÒÙ ØÓ Þ Ò Ó ÙÒ f Û ÔÙÒ x ǫ>0 δ>0 x : x x <δ: f(x) f(x ) <ǫ. Û Ò ØÔÙ Ö Ò Ï Ò Ó ÞÛÝ ÐØ ÑÓ Þ Ð Ó ÛÝ Ö Ò Ó ǫ ÓÖ Þxº Ï Ò Ó ÒÓ Ø Ò ÐØ ÑÓ Þ Ð ØÝÐ Ó Ó ǫ ÑÙ Þ Ý Ø Ñ Ð Û ÞÝ Ø x Xº ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ f(x)=x 2 Ò Þ ÓÖÞ X =[0,] Ò Þ ÓÖÞ X 2 =[0, [º Æ Ó Ù ØÝ Þ ÓÖ Ø ÓÞÝÛ Û ÞÛÝ ÝÑ Ò º Ó Ó Ó ÒÓ¹ Ø Ò ØÓf(x) Ø ÒÓ Ø Ò Ò X ÛÝ Ø ÖÞÝ ÛÞ δ= ǫ ÔÖÞÝ ÔÖ Û Þ Ò Ù 3 Û ÖÙÒ Ù ½ µµ Ò ØÓÑ Ø Ò Ø ÒÓ Ø Ò Ò X 2 º Ï õñý ÓÛ Ñ ÒÔºǫ=
10 ÓÐÛ δº ÏØ Ýx =x+ δ 2 Ñ ÑÝ f(x) f(x )=xδ+ δ2 Ó ÑÓ Ò ÙÞÝÒ 4 ÓÛÓÐÒ Ù ÝÑ ÔÖÞ Þ Ó ÔÓÛ Ò Ó Öx ØÙ ÛÝ Ø ÖÞÝ ÛÞ x= º δ ÈÖÞÝ º ÙÒ fx= Ø Ò Þ ÓÖÞ X =]0,] Ò ØÓÑ Ø Ò Ø Ø Ñ x ÒÓ Ø Ò º Æ ØÔÙ ØÛ Ö Þ Ò Ñ Û Ó ØÝÑ Ø ÝØÙ Ò ÑÓ Þ ÖÞÝ Ð ÙÒ Ý Ò Ó Ò Ù ÓÑ Ò ØÝѺ ÌÛº Ó Ó ÒÓ Ø Ò ÙÒ Ò Ó Ò Ù ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] Ø Ø Ò Ò Ñ ÒÓ Ø Ò º ÓÛº Þ Ó ÝÛ ÔÖÞ Þ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ò ÓÖÞ ÞÒÓ ØÞÒº ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ ÔÖ Û Þ Û Ø Þ ÔÖÞ Þ Ò Ø ÞÝ Ó ÓÒ Û Ò ÓØÖÞÝÑ ÑÝ ÔÖÞ ÞÒÓ µº ÈÖÞÝ Ñ ¹ ÑÝ Û ØÒ ǫ>0ø Ð Óδ>0 ØÒ Ô Ö Ö ÙÑ ÒØ Ûx,x Ø x x <δ i f(x) f(x ) >ǫ. Ï ÞÞ ÐÒÓ ÓÖ δ= n ÛÒ Ó Ù ÑÝ ØÒ Ø Û {x n} {x n} a x n b, a x n b, x n x n < n, f(x) f(x ) ǫ. ¾¼µ ÈÓÒ Û {x n } Ø Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Þ Ø Ñ Ò ÔÓ Ø Û ØÛº ÓÐÞ ÒÓ¹Ï Ö ØÖ Þ Û Ö ÔÓ Þ ÒÝ{x mn } º ÇÞÒ ÞÑÝ Ó Ö Ò Óc x mn n =cº Ô ÖÛ Þ Þ Ò Ö ÛÒÓ ¾¼µ Ñ ÑÝ a c bº ÙÒ f Þ Þ Ó Ò Ø Û Þ Þ Ò [a,b] Û Ø Û ÔÙÒ c [a,b]º Å ÑÝ Û f(x mn n )=f(c)º Ð Ø Ö Þ ÊÓÞÛ ÑÝ ÔÓ Ù{x n} Ó ØÝ ÑÝ ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ {x mn } ØÞÒº{x mn } º ØÖÞ Þ Ò Ö ÛÒÓ ¾¼µ ÛÝÒ Ö ÛÒ {x mn } Ý Ó Ø Ñ Ö Ò Ý n x m n =c Ó x n m n = x mn n º Ó ÙÒ f ÔÓÔÖÞ Ò Ó f(x n m n )=f(c)º Þ Ø Ñ n (f(x m n ) f(x mn ))=0. Ð ØÓ Ø ÔÖÞ ÞÒ Þ Ó Ø ØÒ Þ Ò Ö ÛÒÓ ¾¼µº ÌÛº Ï Ö ØÖ µº ÙÒ f Û ÔÖÞ Þ Ð ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ ÔÓÒ ØÓ Ó Ø Ñ ÛÓ Ö Ý ÓÐÒÝm= inf f(x) ÓÖ Þ ÖÒÝM= supf(x)º x [a,b] x [a,b] ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ ØÒ Û ØÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Ø Û ÔÙÒ ØÝc d f(c)=m ÓÖ Þf(d)= Mº ÓÛº ÈÓ ÑÝ Ò ÑÔ ÖÛ ÙÒ f Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ ØÞÒº A : x [a,b] : f(x) < Aº ÇØ Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó ØÛ Ö Þ Ò Ó Ó ÒÓ Ø Ò µ ÛÒ Ó Ù ÑÝ ÏÞ Û ÞÝ ÒÔºǫ= ØÒ Ø δ >0 Ð ÔÙÒ ØÝx,x Ò Ð Ó ÔÖÞ Þ Ù Ó Ù Ó ÑÒ Þ Óδ ØÓf(x) f(x )<º Ï õñýnø Ý Þ Ó Þ Ò Ö ÛÒÓ b a n <δº Ï Ø Ò ÔÓ Ð ÔÓ Þ Ð ÑÝ ÔÖÞ Þ [a,b] Ò nþ ØÓ Ù Ó Ó Þ Ò Ø ÑÒ Þ Ó δº ÇÞÒ ÞÑÝ ÔÖÞ Þa 0,a,...,a n Ó ØÝ ÔÖÞ Þ Û ÔÖÞÝ ÞÝÑa 0 =a a n =bºöý º Ï Ø Ò ÔÓ Ñ ÑÝ Ð a 0 x a f(x) f(a ) < f(x) + f(a ) Ó ÐÒ Ûk¹ØÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Ð a k x a k f(x) f(a k ) < f(x) + f(a k ) º ÇÞÒ ÞÑÝ ÔÖÞ ÞAÒ Û Þ Þ Ð Þ Þ Þ ÓÖÙ{+ f(a k ) } k {,2,...,n}º Å ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ f(x) <A Ð ÓÛÓÐÒ Óx [a,b]º ½¼
11 Ï Ø Ò ÔÓ ÔÓ Þ Ð ÑÝ ÙÒ f Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ ØÞÒº Þ Ö Û ÖØÓ Ø ÙÒ Ø Ó Ö Ò ÞÓÒݵº Á ØÒ Û Ö Ý ÖÒÝ ÓÐÒÝ Ø Ó Þ ÓÖÙº ÈÓ ÑÝ Ø Ö Þ ÔÖÞ Þ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ò ÓÖÞ ÞÒÓ M Ø Ò Þ Û ÖØÓ ÙÒ ØÞÒºM=f(d) Ð Ô ÛÒ Ód [a,b]º ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Û Ø ØÓ Ò ÔÖ Û ØÞÒº x [a,b] :M f(x) 0º Ë ÓÖÓ Ø ØÓ ÙÒ g(x)= M f(x) Ø Ó Ö ÐÓÒ Ò ÝÑ ÔÖÞ Þ Ð [a,b] Ø Û ØÝÑ ÔÖÞ Þ Ð º Â Ø ØÓ Û Þ Ó Ò Þ ØÝÑ Ó ÔÓ Þ Ð ÑÝ ÔÖÞ Û Ð ÙÒ Ó Ö Ò ÞÓÒ º Á ØÒ Û Ø N x [a,b] g(x)<n ÞÝÐ M f(x)> ÐÙ Û ÒÒ ÓÖÑ f(x)<m º Ð Ø ØÓ N N ÔÖÞ ÞÒ Þ Þ Ó Ò Ñ M Ø Ö Ñ ÖÒÝÑ Þ ÓÖÙ Û ÖØÓ ÙÒ f Ò [a,b]º Ð Ö Ù ÓÐÒ Ó ÓÛ Ø Ò ÐÓ ÞÒݺ ÌÛº Ï ÒÓ Ö ÓÙܵº ÙÒ Û ÔÖÞ Þ Ð ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] ÔÖÞÝ ÑÙ Û ØÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Û ÞÝ Ø Û ÖØÓ ÔÓ Ö Ò º ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ Â Ð f(a)<y<f(b) ÐÙ f(a)>y>f(b)µ ØÓ c [a,b] :f(c)=yº ÓÛº ÑÝ f(a)<y<f(b) Ýf(b)<y<f(a) ÓÛ Ø Ò ÐÓ ÞÒݵº ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ ØÛ Ö Þ Ò Ø ÞÝÛ Û» x [a,b] :y f(x) 0º Ò Ù ÑÝ ÙÒ h(x)= Ø ÓÒ Ó Ö ÐÓÒ Ò ÝÑ[a,b] ÔÓÒ ØÓ Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò y f(x) Ï Ö ØÖ Ó Ö Ò ÞÓÒ º Æ h(x)<m ØÞÒº y f(x) > M ¾½µ ÈÓ Ø Û Û ØÛ Ö Þ Ò Ù Ç Â ¾ ǫ= ÛÒ Ó Ù ÑÝ ØÒ δ>0ø Ð M ÓÛÓÐÒÝ ÔÙÒ Ø Ûx,x Ò Ð Ý Ó ÔÖÞ Þ Ù Ó Ù Ó ÑÒ Þ Ò δ Þ Ó Þ f(x) f(x ) < M. Æ nóþò Þ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ Ø b a <δº ÈÓ Þ ÐÑÝ Ó Ò [a,b] Ò nö ÛÒÝ n Þ º Ï ÓÞÒ Þ Ò Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó ØÛ Ö Þ Ò Ñ ÑÝ f(a k ) f(a k ) < M dla k=,2,...,n. ¾¾µ ÈÓÒ Û f(a 0 )=f(a)<y<f(a n )=f(b) Û Û Ö Û Ð Þ,2,...,n ØÒ Ø Ò ÑÒ Þ Ð Þ m y<f(a m )º Å ÑÝ Û m>0 ÓÖ Þ f(a m )<y<f(a m ), skąd 0<y f(a m )<f(a m ) f(a m )< M Ó Ø ØÒ Ò Ö ÛÒÓ ÛÝÒ Þ ¾¾µµ Ó Ò ÔÖÞ ÞÝ ¾½µº Ø Û Û ÔÓÔÖÞ Ò ØÛ Ö Þ Ò ÑÓ ÑÝ ÔÓÛ Þ Þ Ó Þ Ò ØÔÙ ÌÛº ÙÒ Û ÔÖÞ Þ Ð ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÞÝ Ø Û ÖØÓ Ó Ö Ù ÓÐÒ Óm Ó Ö Ù ÖÒ ÓM Û ÞÒ Þm Mº ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ Þ ÓÖ Ñ Û ÖØÓ ÙÒ Ø ÔÖÞ Þ [m,m]º ¾ Ç Ó Â ÒÓ Ø Ò ½½
12 ÍÛ º Ï ÒÓ Ö ÓÙõ Û Þ ÞÒ ÐÙ ØÖÙ ÖÝ ÙÒ ÓÛÓº Â Ò Ó ÙÒ Ò Ø Û ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ý Ø Û ÒÓ Ñ Ñ Þ Ó Þ ÓÒ Ö ÛÒ Ð Ò Ø ÖÝ ÙÒ Ò Ý º ÈÖÞÝ º ÈÖÞÝ º Â Þ Û º Ö ÓÙÜ ÛÝÒ ØÒ Ò Ô ÖÛ Ø Û ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ö ÛÒ Ò x 2k+ +a 2k x 2k + +a 0 =0º ¾º Ó ÙÒ Ó ÛÖÓØÒÝ Æ X,Y Þ ÓÖݺ Ï ÓÑÓ Ð f :X Y Ø ØÓ ØÒ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ f :Y Xº ÈÓ ÑÝ Ø Ö Þ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ Ó ÙÒ Ø º Ó Ò Þ Ó¹ Þ Ò ØÔÙ ÌÛº  РÙÒ f:[a,b] [A,B] Ø ØÓ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ g f : [A,B] [a,b] Ø Ø º ÍÛ º ØÛºÏ Ö ØÖ Û ÑÝ A=m= inf f(x) ÓÖ ÞB=M= supf(x)º x [a,b] x [a,b] ÓÛº Æ m c Mº Æ ÑÓÝ Ó Ø ØÒ Ó ÌÛ Ö Þ Ò ÙÒ f Ø Ó Ö ÐÓÒ Û ÔÙÒ cº Æ c=y n n Þ {y n } Ò Ð Ý Ó ÔÖÞ Þ Ù[m,M] ØÞÒº Ø ÔÓ Ø y n =f(x n )º ÌÖÞ ÔÓ Þ g(y n n )=g(c)º ÈÖÞ ÓÖÑÙ Ù ÑÝ ØÓ Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ Æ c=f(d)º ÌÖÞ ÔÓ Þ Û ÖÙÒ f(x n)=f(d) ÔÓ Þ Ó x n =d Óg(y n )=x n n n,g(c)=dµº {x n } Ø Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Ó Ð Ý Û ÔÖÞ Þ Ð [a,b]º Â Ð Ø ØÓ ÑÓ Ò ÛÝ Ö Þ Ò Ó ÔÓ Þ ÒÝ{x kn } º Æ x kn =d n º ÏÝ ÑÝ d =dº Ó ÙÒ f ÛÝÒ n f(x kn )=f(d )º ÈÓÒ Û Þ f(x k n n )=y kn =y n =f(x n )=f(d), n n n Û ÖÙ Ö ÛÒÓ ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ð {a n } Ø Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Ð Û ÞÝ Ø Ó ÔÓ Þ Ò Þ Ò Ó Ø Ñ Ö Ò ÝG ØÓ Ö ÛÒ Ñ {a n } Ø Þ ÒÝ ÓGµ Û f(d )=f(d)º ÈÓÒ Û Þ f Ø ÛÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒ ØÓd=d º ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÔÓÛÝ Þ Ó ØÛ Ö Þ Ò ÔÓ ÑÝ ÌÛº à ÙÒ f Ò Ó Ò Ù[a,b] Ø Ð ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒ ØÞÒº Ð ÖÓ Ò õ Ð Ñ Ð µº ÓÛº Þ Ó Ò f(a) f(b)º ÑÝ f(a)<f(b) Ý Ø Ò Ó ÛÖ Ø ÖÓ¹ ÞÙÑÓÛ Ò Ø Ò ÐÓ ÞÒ µº Í ÓÛÓ Ò ÑÝ ÛØ Ýf(x) Ø Û ÝÑ ÔÖÞ Þ Ð [a,b] ÖÓ Ò º Æ x<x º ÌÖÞ ÔÓ Þ f(x)<f(x )º ÙÛ ÑÝ Ò ÑÔ ÖÛ Û ÖÙÒ a x b f(a)<f(b) ÑÔÐ Ù f(a) f(x) f(b)º Ý Ý ÓÛ Ñ Ø Ò Ý Ó ØÓ Ñ Ð Ý ÑÝ Ð Ó µf(x)<f(a) Ð Ó µ f(x)>f(b)º Ï ÔÖÞÝÔ Ù µ Ñ Ð Ý ÑÝ Ò Ö ÛÒÓ f(x)<f(a)<f(b) Ò ÑÓÝ Û ÒÓ Ö ÓÙÜ ØÒ Ý Û ÔÖÞ Þ Ð [x,b] ÔÙÒ Øx Ø f(x )=f(a) Ð ØÓ ÔÖÞ ÞÝ Þ Ó Ò Ù f(x) Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ Óx aµº Ï ÔÖÞÝÔ Ù µ Ò ØÓÑ Ø ØÒ Ý Û ÔÖÞ Þ Ð [a,x] ÔÙÒ Øx Ø f(x )=f(b) Ó Þ ÓÐ Ø ÔÖÞ ÞÒ Þ Þ Ó Ò Ñ Ó Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛÓ ÙÒ f(x) Ó ÔÓ Ó Ò ÙÔÖÞ Ò Ó x bµº ½¾
13 ÈÓ Þ Ð ÑÝ Û f(a) f(x) f(b)º Â ÒÓÞ Ò ÛÒ Ó Ù ÑÝ Û ÖÙÒ x x b f(x)<f(b) ÔÓ Þ Ó f(x) f(x ) f(b)º Ì Û f(x)<f(x )º ½
Ï ØÔ ÈÖÞÝ Ý Ç ÐÒ Û ÒÓ Ó Þ Ò À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ÖÝ ÃÓÔÞÝ Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ÖÝ ÃÓÔÞÝ À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ½» ¼
Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ½» ¼ ÔÖÞÝ Ö Þ ÛÝÔ Ø Ö Ò Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ ¹ ¹ ¾¼ ÑÝ ¹½ ¹½ ¹¾ ½¼ ¹¾ ¹½ ¹¾ ÓÒ ¹½ ¹ ¾» ¼ ÔÖÞÝ Ö Ô ÖÞÝ ØÓ Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ
ØÖ Ò ÔÓÖØ Û ÖØÓ ÔÖÞ ÛÓ Ò ÐÙ ÔÖÞ ÒÓ Þ Ò Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÓÞ Ó Ö Ñ Ô Þ ÐÒ ºÓ ÒÓ Ø Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ø Ó Ó Ö Ð Ò Ð Ñ ØÙ ÔÖÞ ÓÛÝÛ ¹ ÒÝ ÐÙ ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ
ÁÒ ØÖÙ Ó ÔÓ Ö ÓÛ ½ ¹¼ ¹¾¼¼ ½ ÈÓ Ø ÒÓÛ Ò Ó ÐÒ ï½ ÁÒ ØÖÙ Ó Ö Ð Þ Ý Ó ÖÓÒÝ Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó ÔÓ Ö ÓØ Û Û Ù Ó ÙÑ ÒØÓÛ Ò ÓÔ Ö ÓÛÝ ÈÖÞ Þ Ù ÝØ Û Ò ØÖÙ Ó Ö Ð Ò ÖÓÞÙÑ Ô Þ ÐÒ Ô Þ ÐÒ Ñ Þ Ò ÓÛ È ÓØÖÓÛÓ Þ ÖÞ
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓ
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û Ð ØÓÔ ¾¼¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò
½º Ò ¾º ÈÖÞÝ º Ï ÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ ÒÓ Ù Ý Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖÞ ÔÐ Ø Ò Ù ÐÒÓ µ º Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ º ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å º ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖ Ò Ò Ù Ý Ó Ò ÖÓÛ Ò Þ Û ØÓÖ ÐÓ ÓÛ Ó (, ) Ó ÔÓÛ Ò ÔÖ Ý ( ½, ½ ),( ¾, ¾ ),...
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ Ôº½»¾ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ö Û Ø Ç ÐÒ
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ Ö
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø
Number of included frames vs threshold effectiveness Threshold of effectiveness
Ò Ð Þ ÒÝ Þ ÒÓÛ Ô Ö ØÙÖÝ Ø Ý Ò È Ó Ø Ë Ý ËÞÝÑÓÒ Å Þ ÞÑ Þ Ñ ÐºÓÑ ØÝÞÒ ¾¼½¾ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½ ¾ ÇÔ Ñ ØÓ Ý ½ ¾º½ Ç Ò Ò Ö ÒÝ ÔÓÑ Ö Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ç Ö Ð Ò ØÝÛÒÓ Ð
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
Þ Á Ö Ø ØÙÖÝ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ À Ö Ö ÔÖÓØÓ Ó Û Ð Ù ØÛ Ò ÔÖÓ Ù ÔÖÓ ØÓÛ Ò Û Ô Þ ÒÝ ÓÑÔÙØ ÖÓ¹ ÛÝ ÔÖÞÝ ØÓ Þ Ó Ò ÓÒ ÔÓ Û Ñ Ö ÔÖÓ Ø ØÖÙ ØÙÖ ÐÓ ÞÒ º Ç Ø Ø ÞÒ Þ Ý ÓÛ ÒÓ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Þ ÞÓÖ Ò ÞÓ¹ ÊÝ ÙÒ ½ Ï Ö ØÛÓÛ ØÖÙ ØÙÖ
ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ ÛÓÐÙÝ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò Ý ÖÝ ÓÛ ÝÒ Ñ
Ç Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ Ï ÌÁ ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ
LVI Olimpiada Fizyczna zawody III stopnia
LV Olimpiada Fizyczna zawody stopnia Zadanie 1 Piłka uderza w poziomą podłogę pod kątem α z prędkością v 0. Współczynnik tarcia piłki o podłogę jest równy µ. W jakiej odległości od miejsca pierwszego uderzenia
e 2 = 8, 3 e 1 = 5, 1, e 2 = i 3 + i
ÆÓØ Ø Ó Û Þ Þ Ò Ð ÞÝ Ð Öݺ Ä Ê Ò ½ ÞÝ Û ØÓÖ v ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ØÓÖ Û e e 2 Þ i) v = 2, 4 e = 5, 7 e 2 = 8, 3 6 9 ÓÖ Þ ii) v = 2 3, e = Ç ÔÓÛ õ i) Ø v = 2e e 2 ii) Ò º, e 2 =, Ò ¾ ÞÝ Û ØÓÖÝ
ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ÈÓ ÖÞÒ ½º¼ ÏÝ Ò ÖÓÛ ÒÓ ÔÖÞ Þ ÓÜÝ Ò ½º º Ï ÂÙÒ ½½ ¼ ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ½ ½º½ ÇÔ ÔÖÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ð Ñ ÒØÝ
ÈÖ ÔÖÞ Ð Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò È Û Ð Å Ð ÒÞÙ ÆÖ Ð ÙÑÙ ½ ½ Ò Ð Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ò ÛÝ ÞÝ ÓÛ ÙÒ Ý ÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Ð Ó Ë Ù ÖØ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ð ÄÓ ËØÓ
Þ Á Í Ù ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ï Ö ØÛÝ ÑÓ Ó ÖÓÛ Û Ö ØÛÓÑ Ð ÝÑ Ó Ò ÔÓÞ ÓÑ ÛÝ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ù Ù ÛÝÑ ÔÓ Þ Ò º Ï Ù Ù ÓÛÝ ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù ÝØ ÓÛÒ Ù Ù Ò Ô ÖÛ Ù Ø Ð ÔÓ Þ Ò ÔÓØ Ñ ÔÓ Þ Ò
Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û Ø Ý Ò Ï ÒÓð Ð Ö Û Ø Ý Ò Þ ÓÛÙ ÔÓ Ó Ò Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ ÔÓÖÙ Þ Þ Ø Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÈÓ ÞÙ Û Ò Ð Ö Û Ø Ý ÒÝ Ï½ ¼ ½ ÓÐ Ò ÔÖÞÝÔ È Ö Ô ØÝÛÝ ðò Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û
ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ì ÑÔÓÖ ÐÒ Ô ØÝ ÔÐÓÖ ÒÝ Ñ ØÓ Ý Þ ÓÖ Û ÔÖÞÝ Ð ÓÒÝ ÊÇ ÈÊ Ï ÇÃÌÇÊËà ÙØÓÖ Ñ Ö È ÓØÖ ËÝÒ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ Ë ÓÛÖÓÒ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ Öº ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò º º
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ ËÔ ØÖ ÈÖÞ ÑÓÛ ½ Ò ½ ¾ Ï Þ Û Ó Þ ½ Ç ÔÓÛ Þ Ó Þ ¾½ Ð Ó Ö ¼ ¾ ÈÖÞ ÑÓÛ Ï Þ ÓÖ Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Þ Ò Þ ÞÛÝÞ Ø ÔÓ ÖÙÔÓÛ Ò Ý ÓØÝÞÝ Ý ÔÓ Þ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Þ Û ÓÑ Û ÒÝ
ØÓ ÔÖ Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ÈÖ Ó ÙÒÓ Þ Ò Ó Ò ÓÖ ØÓ ÔÖ Ù Ø Û ØÓÖ Ñ Ø Ö Ó ÖÙÒ ÛÝÞÒ Þ ØÝÞÒ Ó ØÓÖÙ ÔÓÖÙ Þ Ó ÙÒ Ù Ó ØÒ Óº ÛÖÓØ Û ØÓÖ Ó Ö Ð ÙÑÓÛÒ Ó ÖÙÒ ÖÙ Ù ÙÒ Ù Ó ØÒ
ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ ÈÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ ½¼»½ Ò ÖÞ Ã Ô ÒÓÛ ØØÔ»»Ù Ö ºÙ º ÙºÔл Ù Ô ÒÓ» ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Â ÐÐÓ ÃÖ Û ¾¼½ ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ Ø ØÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ ÖÙ ÙÒ Û Ð ØÖÝÞÒÝ º ÊÙ ÙÒ Û ÑÓ Ñ Ñ Û ÔÖÞ ÛÓ Ò Û Ô ÛÒÝ Û ÖÙÒ Ö ÛÒ
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑ
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÓÔ Ö Ò Ð Ø Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ Ó Þ Ò Ö Ù Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ
ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ½»
ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» È Ò ÛÝ Ù Ó ÞÑ ÓÓ Ø Ö Ü ÓÓ Ø ÜÔÖ Ú ÓÓ Ø Ô Ö Ø ÈÖÞÝ ÓÛ Þ Ò Ò ÓÓ Û ÙÑ ¾» ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û» ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÙÒ ÓÒÛ ÖØÙ Þ ³ ÍØÛÓÖÞ Ò Þ Ý Ò ÔÓ Ø Û Ò Ô Ù ÒÙ Ø ÒØ ØÓ ½¾
f (n) lim n g (n) = a, f g
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ Á Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã Ï ØÔ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÛÝ Ù ÈÐ Ò ÒÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÔÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ó ÓÒÓ
ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØ Í Ê ÈÖÓ Ø Â Å¹ ÍËÇ Ê ÓÛ Ø Ô Û ØÑÓ ÖÝÞÒÝ ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Þ Ö Ò ÓÛ ÔÖÞ Þ Ð ØÖÓÒÝ Û Ö Þ Ò Ù ÔÖÓ
ËÞ ÐÓÒÝ ¹ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ÈÖÓ Ð ÑÝ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ Ò Ù Þ ÐÓÒ Û áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÐÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÃÓ ÓÖÝØÑÝ ÈÓ Ò Þ Ò Ó ØÝÔÙ Ó ÒÔº Øݵ ÓÖÝØÑÝ ÒÔº ÞÒ ÓÛ Ò Ò Û Þ Ó Ñ ÒØÙµ Å Ò ÞÑÝ Ñ ÒÙ Ö ÙÒ Ò Ó Ùº Û Ô Ò ÞÓÛ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÒ Û ¾» à ÞÓÛ ÒÙ
ρ h (x 0 ) = M h h 3 ρ(x 0 ) = lim ρ h (x 0 )
ÏÝ ½ ÈÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Ñ Ò Ó ÖÓ Ó ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ø ÓÖ Ó ÖÓ Ó ½ ½º½ ÍÛ Ó ÔÓØ Þ Ó ÖÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÈÓ ÖÙ Ù Û Ó ÖÓ Ù ÝÑ ¾ ¾º½ ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö º
Fizyka I (mechanika), rok akad. 2012/2013 Zadania kolokwialne 1
ÞÝ Á ¾¼½¾»¾¼½ µ ÃÓÐÓ Û ÙÑ ½ º½½º¾¼½¾ Ò Ö ÙÒ ÓÛ ÖÙÔ ÍÛ Ã Þ Ò ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Ò Ó Ó Ò ÖØ º ÈÖ ÔÓÛ ÒÒÝ Ý ÞÝØ ÐÒ ÓÐ Ò ÖÓ ÓÔ ØÖÞÓÒ Ø Ñ ÓÑ ÒØ ÖÞ Ñ Ý ØÓ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Ý ÒÝ Ð ÔÖ Û Þ Óº ÊÓÞÛ ÞÙ Þ Ò ÛÝÔÖÓÛ õ ÛÞ Ö Ó ÓÛÝ ÔÖ
ÈÓÔÖ ÛÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÏÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ½»
ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÈÒ ÛÝ Ù ÔÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Û ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ø Ó ÞÝÞÒ Ó ÞÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ö Þ Þ Þ Ò ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ Ò ØÓÒ ÔÖÓØÓØÝÔ ¾» Ö Ò Ö ¹ Ý Ò Þ Ô ÛÒ Ò ÞÛ Ó ÒÓ Ó Þ Ó ÜØ ÖÒ ÒØ Ü»»
Reguly. Wind = Weak Temp > 20 Outlook Rain PlayTennis = Y es
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ Ï ÖÙÒ Ð ØÓÖ Û Ý Ð ØÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ø Ø Û ÖØÓ ÃÓÒ ÙÒ ØÖÝ ÙØÙ Û ÖÙÒ Ó ÔÓÛ Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ ÔÓ ÝÒÞ Ó Ð ØÓÖÝ Û ÞÝ Ø ÝÞ Ö Ù ÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò ÝÞ Ã Reguly ÔÖÞÝÔ ÝÛ Ò Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ Û ÖÙÒ Ö Ù
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓ
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓÞÒ ¾ º½½º¾¼½¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ð ÓÖÝØÑ ÛÓÐÙÝ ÒÝ Ó ÖÓÞ
f(a) F (b)=f(b)º f(x)dx, (sinx) =cosx
½ Ò ÓÞÒ ÞÓÒ ÓÛ Ò Ó ÓÔ Ö ÔÖ ¹ Û µ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ö Ò Þ ÓÛ Ò ½º½ ÈÓ Ø ÛÓÛ Ò º ÙÒ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ f Ó Ö ÐÓÒ Û ÔÖÞ Þ Ð ÓØÛ ÖØÝÑ P Ó ÞÓÒÝÑ ÐÙ Ò Ó ÞÓÒÝѵ Ð F (x)=f(x) Ð Óx Pº ÈÖÞÝ Ýº ÙÒ sinx Ø ÙÒ Ô ÖÛÓØÒ ÙÒ
Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ Å Ñ Å Å Å ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ç Ò ÔÓÛ Þ Ò ÙÞÒ ÒÝÑ ÑÓ Ð Ñ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ø ØÞÛº ÑÓ Ð Åº ÓÒ Ï Þ ð Û Ø ÛÝÔ Ò ãþûý ä Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÑÒ Ñ Ø Ö Û Ï Þ ð Û È ÖÛÓØÒ ÆÙ Ð Ó ÝÒØ Þ ÊÓØ Ð ØÝ ÓÖÑÓÛ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ç Ð ÙÔ ÖÒÓÛ ÖÓÑ ÈÓ ÙÐÐ Ø ÐÙ Ø Öµ Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ
µ(p q) ( q p) µa B B c A c
Ä Ø ¼ Û ØÔ Ó ÑØÑØÝ ½ ¼º½º ËÔÖÛõ ÞÝ Ò ØÔÙ ÞÒ ÐÓÞÒ ØÙØÓÐÓÑ (p q) ( p q) (p q) ( p q) (p q) ( q p) [(p q) p] qº ¼º¾º ÍÞ Ò ÙÒØÓÖÝ ÐØÖÒØÝÛÝ ÓÒÙÒ Ñ Û ÒÓ ÞÒÓ ÓÖÞ ÔÖÞÑÒÒÓº ÞÝ Ø Ø Û ÔÖÞÝÔÙ ÙÒØÓÖ ÑÔÐ ¼º º ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ
System ALVINN. 30 Output. Units. 4 Hidden. Units. 30x32 Sensor Input Retina. Straight Ahead. Sharp Right. Sharp Left
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ System ALVINN ÄÎÁÆÆ ÔÖÓÛ Þ ÑÓ ÔÓ ÙØÓ ØÖ Þ Þ ÞÝ Ó ¼ Ñ Ð Ò Ó Þ Ò Sharp Left Straight Ahead Sharp Right 30 Output Units 4 Hidden Units 30x32 Sensor Input Retina ¾ www.wisewire.com,
x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3
ÏÝ ¼ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛ Ó À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ ÈÖÞ ØÖÞ Ù Ð ÓÛ ¹ Û ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ½ ¾ Ì Ò ÓÖÝ ÖÞ Ù ÖÙ Ó ¾º½ Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ù Þ ÖØ Þ Ñ ¾º¾ ÈÖÞÝ Ý Ø Ò ÓÖ Û ÖÞ Ù ÖÙ Ó º º º º º
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ
A(T)= A(0)=D(0)+E(0).
2 ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÈÓ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÓÔ ÖØ Ø Ò ÔÖ Ù ÓÛÝ ÑÓ ÐÙ ÛÝ Ò Ó Þ ÖÞ Ò Ò ÖÙØÛ Û ÔÓÛ Þ Ò Ù Þ Þ Û Ñ Þ Ó Þ ÝÑ Û Ó Ö ÖÓÞ¹ Û Ò ÖÑݺ Å Û Ò ÔÖÓ ÖÝÞÝ Ó Ö Ø ÖÞ Ö ÝØÓÛÝÑ ÛÝÒ Þ Ö Ù ÓØ Û Ò Ö ÙÐÓÛ Ò ÞÓ ÓÛ Þ º ÙÒ ÓÒÓÛ
Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÙÑ Ò Ø Û Ð ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ
Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½ Ó ÖÛ ØÓÖ Ò Ø ÔÙ ÛÝ Ù Þ Ò Ð ½ ½ ¼ ½ Þµ ÔÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Ò º ãö Øäµ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁÁ Ï Ð ÏÝ Ù ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø ÈÓÑ ÖÝ Ù ØÙ Å Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½
ÃÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÓÓ Ø Ö Ô Ä Ö ÖÝ ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ½ ËÌÄ ¹ Ø Ò Ö ÓÛ Ð ÓØ Þ ÐÓÒ Û ÓÒØ Ò ÖÝ Ø Ö ØÓÖÝ Ð ÓÖÝØÑÝ ÙÒ ØÓÖÝ Ó º ÙÒ Ý Ò µ ÔØ ÖÝ ÌÛÓÖÞ Ò ÙÒ ØÓÖ Û ÖÞÒ Ò ÔÓ Ø Û ØÒ Ý ÙÒ Ñ
pomiary teoria #pomiarow N
ÞÝ Á Å Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Á Ã Ò Ñ ØÝ ÈÓÑ ÖÝ ÞÝÞÒ Ù ÒÓ Ø ËÁ Ý ÔÓÑ ÖÓÛ Ã Ò Ñ ØÝ ÔÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ µ ÔÙÒ Ø Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ù Ó Ò Ò Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ µ ØÓÖ ÔÖ Óð ð ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÊÙ ÒÓ Ø ÒÝ
p q p= q p q p q p q p q (p q) p q ( p) ( q)
Ï ØÔ ½ ÄÓ ÖÝØÑ ØÝ Þ ÓÖ Û ½º½ ÄÓ Â Ø ØÓ Þ Ò ÞÓ ÔÓÛØ Ö Þ Þ º Ö Ò Ý ÑÓ Þ Ò Ø ÖÝÑ ÖÞ Þ Ñ ÒÓÛÝÑ º ÍÛ Þ ØÓ ÓÛÙ ÐÓ Ò Þ Ö Þ ÞÒ Þ Ò Ò Ø ÑÙ Ó ÞÝÑ Þ ÔÓÒ ÒÔº Ñ Û ÐÓ ÞÒ ÑÝ Ð Ò Û Ò ÛÝ Ò ÛÒ Ó Û ØÔº ÌÙ ÓÛÓ ÐÓ ÓÞÒ Þ ÓÖÑ
Sieci neuronowe: pomysl
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ ØÓ Þ ÞÙÑ ÓÒ Ó õ ØÖ ÒÙ ÔÓÞ ÓÑ ÔÓØ Ò Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ËÝ Ò Ý ÓÑ Ö Sieci neuronowe: pomysl Æ Ð ÓÛ Ò Ñ Þ Ù Þ Ó Ó ÓÑ Ö Ò ÙÖÓÒÓÛÝ Axonal arborization Synapse Axon from another cell Dendrite
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ Ì Þ ÔÖ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA
http://www.kgof.edu.pl 1 LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA Rozwiązania zadań I stopnia należy przesyłać do Okręgowych Komitetów Olimpiady Fizycznej w terminach: część I do 5 października
¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä Ì º
Ç ÖÛ ØÓÖ ÙÑ ØÖÓÒÓÑ ÞÒ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÇÔØÝÑ Ð Þ Ñ ØÓ Ö Ù Ó ÖÛ ÓØÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Å ÑÞ Ã ÖÓÛÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Ö º Ì Ù Þ Å ÓÛ ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý Ö ÌÓÑ Þ ÃÛ Ø ÓÛ ÈÓÞÒ ½ ¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º Â ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º  ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö Ø Ô ÓÒ Ö Û Ð Ù ÓÛ ÔÖ ÙÖ ÓÖ ÔÓ Ù ÙÛ ÐÒ Ò ½ º¼ º½ ¼
ÉÙ ÕÙ ÔÖÙ ÒØ Ö Ø Ö Ô Ò Ñ ÇÛ Ù Þ ½ ½ Ó ÓÐÛ ÖÓ Þ Ö ÖÓÞØÖÓÔÒ Ô ØÖÞ Ó
ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð ØÖÓÒ Ì Ò ÁÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÙØÓÑ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò È ÓØÖ Ë ÓÛ Þ ÒÙÑ Ö Ð ÙÑÙ ½ ¾ ¼ ÈÖ ÝÔÐÓÑÓÛ Ò ÝÒ Ö ÙØÓÑ ØÝÞÒ Ð Ö Ý Ø ÑÙ ÖÓ Óع Ñ Ö ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º ÒÞÛº Ö º Ò º Þ ÖÝ Ð Ï Ö
1. Waciki do czyszczenia optyki 2. Isopropanol 3. SLED 4. Laser diodowy 1550nm 5. Mikroskop 6. Urządzenie do czyszczenia końcówek światłowodów
ÁÁ ÈÖ ÓÛÒ ÞÝÞÒ Á Í Ǿ ½ Ǿ ¹ ÇÔØÝÞÒÝ ÛÞÑ Ò Þ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ Ð Û Þ Ò Û Þ Ò Ø Ô ÖÝÑ ÒØ Ñ Þ Þ Þ ÒÝ ÓØÓÒ ÞÝ Ð Ö Û ÓØÝÞÝ Þ Ò ÓÖ Þ Û ÒÓ¹ Û ÒÓÛÝ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ µ õö Û Ø º ÈÓ Ø ÛÓÛÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ Ù Ù Ó Û ¹ Þ ÐÒ Ó Ø Û ÒÓ»
Ñ ÒÒ Û È ÖÐÙ Ñ ÒÒ ÌÝÔ Ò ÈÖÞÝ Ò Þ Ò Ë Ð Ö Ð ÈÓ ÝÒÞ Û ÖØÓ Ð Þ ÐÙ Ò Ô µ Ì Ð Ø Ð Ä Ø Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ð Þ Ñ À Þ ± ±Þ ÓÖ ÖÙÔ Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ò Ô Ñ ÈÖÓ ÙÖ ² ²ÞÖÓ Ö
È ÊÄ ¹ ÞÝ Ó Ô Ò È ÖÐ ØÓ Ö Ò Ø ÙÑ Þݺ Ð ØÝ Ø ÖÞÝ Ó Þ Ð Û ÐÙ È ÖÐ Ø ÈÖ ØÝÞÒÝÑ ÂÞÝ Ñ Ó ÏÝ Û Ê ÔÓÖØ Û Ò º ÈÖ Ø Ð ÜØÖ Ø ÓÒ Ò Ê ÔÓÖØ Ä Ò Ù µº Â Ò Ð ÔÖ Û Þ ÛÝ Ñ Ó Ò Û È ÖÐ ØÓ È ØÓÐÓ ÞÒ Ð ØÝÞÒ ÊÓ Ø Ä Ò Û ØÝÞÒ
ÈÓ Þ ÓÛ Ò Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ Ø Ý Ò ÔÓ Ø Û ÒÓØ Ø Ó ÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÑÒ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð Ù Ð Ø ÛÝ Û Þ Ø ÓÖ ÞÝ Û ÙØÓÑ Ø Û ÓÖ Þ Ù ÓÛÝ ÓÑÔ Ð ØÓÖ Ûº ÝÑ ÓÖ Ó ÔÓ Þ
ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â Å Ö Ò ÃÙ ¹Ñ Ð Ù Ñ ÑÙÛº ÙºÔÐ ¾¼¼ Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ ÒÒÝ Ý Ô ÖÛ ÞÝÑ õö Ñ Ò ÓÖÑ ÓØÝÞ Ý ÔÖÞ ¹ Ñ ÓØÙ ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â µº ÞÝØ ÐÒ ÓÑ Ø ÖÞÝ ÓÔÖ Þ Ð ØÙÖÝ ØÝ ÒÓØ ¹ Ø Ð Ý Ò Ó ÔÓ ÖÞÒ ÔÓÐ Ñ
Spis treści. 1 Wstęp 3
Ê ÛÒÓÛ Æ Û Ö ÝÒ Ñ ÞÒÝ ØÒ Ò ÔÖÓ ÝÑ Ù Þ Ð Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÆÓÛ ÈÓÐ Ø Ò ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ pis treści 1 Wstęp 3 2 Gry stochastyczne wielogeneracyjne
ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½ Ë ÓÒ ÞÒ Ñ ¾ Ò Ñ µ ÔÓÛÝ Þ ½¼ Šε ÖÞ Ù Å Î ½¼ ½ Ê Ø
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}
![N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}](/thumbs/94/120142288.jpg "N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}")
ÏÝ Þ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓРӹ ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ ØÓ ÓÛ Ò Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Û ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ñ Ö Ö Ù Þ Â Þ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º
t = pn T = pi ρ dv i dt = ρf i + p , i = 1, 2, 3 µ x i ρ( v i t + v v i div v = 0 ρ v + (v )v = ρf p = 0 j = ρf i p, i = 1, 2, 3 µ
ÏÝ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ Ê ÛÒ Ò ÙÐ Ö ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô ½ ½º½ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò ÐÔ Û ÓÖÑ ÖÓÑ ¹Ä Ñ º º º º º º º º º ½º¾ Ê ÛÒ Ò À ÐÑ ÓÐÞ ØÖ Ò ÔÓÖØÙ Û ÖÓÛÓ Ð Ô ÝÒÙ Ò Ð Ô Ó º º º º º º ½º ÓÑÔÓÞÝ
ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ï ØÔ Ó Ó Ù ÓÑÔÙØ Ö Û ÊÓ ÖØ ÆÓÛ Å Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ Ó Ï Ö ÞØ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝÞÒÝ Û Ö Ñ Å Ó Þ ÓÛ Ñ ÍÑ ØÒÓ ÖÙÔ ½ ¹¾ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Janusz Przewocki. Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle. Instytut Matematyczny PAN. Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11)
Janusz Przewocki Instytut Matematyczny PAN Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11) Opiekun pracy: Andreas Zastrow ÖÓØ Å ÐÒÓÖ¹Ì ÙÖ ØÓÒ ÓÑÓÐÓ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ ØÖÓÒÒ ÓÖÑÓÛ Ò Ó Ó ÓÛÓ Þ ÓÛ º Â Ó ÒØ Ö ÐÒ Þ Ø ÛÝ ÓÛ
ÈÖ ÔÖÞ Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ñ Ã ÙÒ ÆÖ ÙÑÙ ½ ½ Ê ØÓÖÝÞ ÔÖÓ Ö Ñ Û Û ÞÝ Ù Â Ú ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Â Ò ÒÝ Å Ò Ö Þ Û Þ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ä Ô ¾¼¼½ ÈÖ ÔÖÞ Ñ
Survival Probability /E. (km/mev)
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò Æ
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò ÆÓÖÛ Û ÐÓÒ ÖÞ ½ Öº Ý Û Ñ ÓØÛ ÖØÓ Ô ÖÛ Þ ÔÙ Ð ÞÒ ÛÝÔÓ
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼½¹¼¼¹¼ ½»¼ ¹¼¼ ÈÇÃÄ ÇÔ Ö Ý ÒÝ Ã Ô Ø ÄÙ Þ ÈÖÓ Ö Ñ ÏÞÑÓÒ
ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ê ÒÓÖÓ ÒÓ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º
ÊÓÞÛ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û ÈÓÐ Ø Ò áð ÙØÓÖ Ò ÖÞ Ö ÞÓÛ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ ÖÞÝÛ ÃÓÒ ÙÐØ ÒØ Ñ Ö Ò º È ÓØÖ Ã ÔÖÞÝ Ð ØÓÔ ¾¼¼½ ÖÓ Ù ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼ Ö ÞÓ Ö ÞÒ Þ Ù ÑÓ ÑÙ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ ÓÖÓÛ À ÒÖÝ ÓÛ ÖÓ Þ ÓÛ Þ Þ Ñ ÔÓ Û ÓÒÝ Þ ÒÒ Ö Ý ÝÞÐ Û ÙÛ º Þ
Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Ð ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Öº º Ò º ÊÝ Þ Ö ÓÖ Þ ÔÓÑÓ ÑÓØÝÛ Ó Ô Ò Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ ÛÝ ¾
ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ì ÀÆÇÄÇ Á ÆÇ ¹ ÈÊ ÊÇ ÆÁ Ѻ ºº áò Û Ý Ó ÞÞÝ Ï Á Ì Ä ÃÇÅÍÆÁà ÂÁ ÁÆ ÇÊÅ Ì ÃÁ Á Ä ÃÌÊÇÌ ÀÆÁÃÁ Ñ Ö Ò º Å ÖÓ Û Å ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò ÃÐ Ý ÈÖÞ Ý ÈÓÞØÓÛÝ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö
arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007
![arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007](/thumbs/102/154154138.jpg "arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007")
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ô ÓØÖ Ù ÓÛ arxiv:0712.2173v1 [hep-th] 13 Dec 2007 Ð ¹Ý Ù ÖÝ Ø Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÖÝ ÖÝ ÞØ Ý Ð ¹Ý Ù Û ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ø ÓÖ ØÖÙÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º
ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø Ö Þ ÑÒ Ó Ô ÝØ ÓØÓ Ö ÞÒ º ËÓÐ ¹ Ò ÖÓ ÆÓ Ð ÛÖ Þ Þ ÅºË Ó ÓÛ Èº ÙÖ
ð Ö Ò ÙØÖ Ò Æ ÙØÖ Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÏÝ ½¾ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ÈÓÑ ÖÝ Ò ÙØÖ Ò Ç ÝÐ Ò ÙØÖ Ò ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò
ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ º º º º º º º º º º º º º º ½º ÁÒ ÓÖÑ Ó
ÙØÓÖ Ö Ø ÁÒÒÓÛ Ý Ò Ñ ØÓ Ý Ò Ð ÞÝ Ò Ð Ò ÓÛÝ ÓÖ Ð ÖÞÝ ÓÛÝ Û Ù Þ Ó ÓÒÝ Ö Â ÒÙ Þ Å Û Þ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ ÏÖÓ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Å Ø Ù Þ Ë ÓÖ ËØ ÐÒÓ Ñ Ò ÞÒ Ö ØÝ ÙÒ ÓÒ Ð ÞÓÛ ÒÝ Ò ÒÓÞ Ø Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û áöó ÓÛ ÓÛÝÑ Ä ÓÖ ØÓÖ ÙÑ ÞÝ ÓÐÓ ÞÒ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ È Æ Ï Ö Þ Û ½ Ñ ¾¼½¾ ÈÓ Þ ÓÛ Ò
Agnieszka Pr egowska
Á Ò Ø Ý Ø Ù Ø È Ó Ø Û Ó Û Ý È Ö Ó Ð Ñ Û Ì Ò È Ó Ð Ñ Æ Ù Agnieszka Pręgowska È ØÝÛÒ Ø ÖÓÛ Ò Ù Ñ Ñ Ò ÞÒÝÑ Ö ÝÑ ÖØÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÓÑÓØÓÖ Ö º Ò º ÌÓÑ Þ ËÞÓÐ ÔÖÓ º ÁÈÈÌ Ï Ö Þ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½º Ï ØÔ ½ ¾º Ð Ø
Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç
Ç ÐÒ ÒÖ ¾½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÅÓ Ð ØÛÝ Û Ø Û ÒÒ Þ Þ ÈÓÐ Ç ÓÛ Þ Ñ Ó Þ ÓÛ Û ÖÞ Ó Ø ÑÓ Ð ØÛ Û Ò¹ Ø Ò Ö Ù ÐÙ Þ Ø
Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½
Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì ÅÁÃÇ Â ÃÇÈ ÊÆÁÃ Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ Ê ÒÞ Ò ÈÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÃÙ ÈÖÓ º Ö º Â Þ Å ÓÛ ÓÔÝÖ Ø Ý ÏÝ ÛÒ
ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ Ö º Ò ÛÓÛ ÃÓÞ Þ ÒÒ ÙÛ ÞÖÓÞÙÑ Ò ÝÞÐ ÛÓ Û ØÖ Ô Ò ÔÖ Ý È ÒÙ Ñ Ö Å ÓÛ Å ØÝ Þ Ð ÞÒ Û Þ Û ÓÑ ÒØ ÖÞ Ø ÖÝÑ Ò Ò Þ ÔÖ Þ Û Þ Þ Ø
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÏÝ Þ ÞÝ Á ØÖÓÒÓÑ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ë Ø Ò ËÞÞ Ò Ï ÒÓ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÞÒ ÑÓ ÐÙ ÞÙ ÓÛ Ó ÀȹÁÁÁ ÀÝ ÖÓ ÝÒ Ñ Ó Ø ÀȹÁÁÁ Ð ØØ ÙØÓÑ Ø ÇÔ ÙÒ Ö º º ÃÓÞ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å Û Þ Å Ö È Û ÙÔ ÓÛ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û Þ Ò Þ Ñ Ð ÞÖ ÒÝ Ò ÖÓ Û Ý Þ ÙÞÝ ÑÓ¹ ÖÞ Ð º º º Ý ØÓ
ÃÓ Ý ÀÙ Ñ Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò º º Ð ÓÖÝØÑ Ñ ¹Ñ Ü ÖÝ ØÝÔÙ ÛÝ Ö»ÔÖÞ Ö ÖÞ Û Æ ¹ÇÊ ÏÝ ÞÙ Û ÛÞÓÖ Û Ð ÓÖÝØÑ ÃÒÙØ ¹ÅÓÖÖ ¹ÈÖ ØØ ÈÖÞ ÞÙ Û Ö Û ÈÖÓ ÙÖÝ Ù Ó
Ï ØÔ Ó ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Å ØÓ Ý ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ÔÓØÓ ÙÒ Ýݵ Å Ö ÃÙ ¾¼¼»¾¼½¼ ËÔ ØÖ Ï ØÔ ÈÓ Ø ÛÝ ÞÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ½ ÓÑÔÓÞÝ ÔÖÓ Ð ÑÙ Û ÖÝ ÖÓÞÛ Þ ¾ ËØÖÙ ØÙÖÝ Ý Ù ÓÛ ØÖ Þ ÔÓÑÓ Ý ÈÖÓ ÙÖÝ ÛÝ ÞÝ ÖÞ Û Ó ØÖ ÓÒ ØÖÙ ÔÖÓ Ö Ñ ØÝÞÒÝ ÅÓ
¾
ÞÝ Û ÓÒÓÑ Ñ ØÓ Ý ÑÓ Ð ÃÖÞÝ ÞØÓ ÓÑ ÒÓ ÈÓÐ Ø Ò áð  ÖÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø áð à ØÓÛ ¾¼½ ¾ ËÔ ØÖ ½ ÈÖÓÐÓ ¾ Å ØÓ Ý ÔÖ ØÝÞÒ ¾º½ Ï ØÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ä Ø Ö ØÙÖ º
M(N) = Homeo(N, N)/Homeo 0 (N, N). M(S) = Homeo + (S, S)/Homeo 0 (S, S).
ÍÌÇÊ Ê Ì ½º ÈÓ Ø ÛÓÛ Ò ÓÖÑ ½º½º ÁÑ ÓÒ Ò ÞÛ Ó Â Ù ËÞ Ô ØÓÛ ½º¾º ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ ÝÔÐÓÑ Ñ ØÖ Ñ Ø Ñ ØÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ¾¼¼¾ ØÓÔ Ó ØÓÖ Ñ Ø Ñ ØÝ Ò ÔÓ Ø Û ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ò Ö ØÓÖÝ Ö Ð Û ÖÙÔ Ð Ó
Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ Ó Þ Ò ÝÞÐ ÛÓ ÓÖ Þ Û Þ Û Ù Þ ÐÓÒ Ñ ÔÓ Þ Ô Ò ÔÖ Ý
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÏÝ Þ ÞÝ Å Ö ÒØ Ê ÞÓÒ Ò Û ÐÓ ÓØÓÒÓÛÝ Û Ù ØÖ ÔÓÞ ÓÑÓÛÝ ÈÖ Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º ÊÝ Þ Ö È ÖÞÝ Ó ÈÓÞÒ ¾¼½¾ Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ
ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ Â ÖÓ Û ÝÐ Ò Å ÓÖÞ Ø Ù Ò Å ÃÐ ÓÛ ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÍÅ Ë ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾  ÖÓ Û ÝÐ
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Dr Mariusz Maciejczak -doktor ekonomii, wykładowca na polskich i zagranicznych uczelniach, uczestnik projektów badawczych i aplikacyjnych, doradca i ekspert organizacji biznesowych,
Notki biograficzne Streszczenie
9 788363 103095 Notki biograficzne Wojciech Borczyk (mgr inż.), absolwent kierunku Informatyka na Politechnice Śląskiej. Napisał doktorat z zakresu syntezy fotorealistycznych obrazów z wykorzystaniem modelu
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ Ö
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ ÖÙÒ Ñ Óº Ö º Ò Û Ã Ð Ï Ö Þ Û Ñ ¾¼¼ ÅÓ ÑÙ Ñ ÓÛ ÂÙÖ ÓÛ
Strategie heurystyczne
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û Ð ÓÖÝØÑÝ ÈÖÞ ÞÙ Û Ò ÙÖÝ ØÝÞÒ ½ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ø ÓÛ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÙÒ Ó ÒÝ ËØÖ Ø ÒÔº Þ Ù Ó ÞØ ÖÓÞÛ Þ Ò Ó Ó Ø ÒÙ Ó ÐÙµ Ø ÒÙ Strategie heurystyczne ÈÖÞ ÞÙ Û Ò Ô
S V. ω = yzdx+(xz +z 2 )dy +yzdz, (T, S) (p,v) = 1. = a V, = 3bT2. k T 1 V. α p 1 V V,N U,N U,V V,N S,N S,V
Ì ÊÅÇ Æ ÅÁà Á Á à ËÌ Ì ËÌ Æ ÈÖÓ Ð ÑÝ Ó ÓÑÙ Ò ÓÐÓ Û Þ Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¼ ÈÓ Þ Ð ÔÓ Ó Ò ÒØÖÓÔ S = S(U,V,N Ö ÛÒ ( S = 1 ( S U T, = p ( S V T, N V,N U,N U,V = µ T, ØÓ ÔÓ Ó ÒÝÑ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U = U(S,V,N ( ( U U
Talk to Parrot. Buy a Dog. Go To Class. Buy Tuna Fish. Buy Arugula. Buy Milk. Sit Some More. Read A Book
Þ Ò ÞÒ Ð Þ Ò ÔÐ ÒÙ ÑÓ Ò Ø ÓÖ ØÝÞÒ ÖÓÞÛ ¹ Ã ÔÓ Ù Ù Ò Þ Ñ ØÓ ÔÖÞ ÞÙ Û Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ Â Ø ØÓ Ò Þ ØÓ Ò ÛÝ ÓÒ ÐÒ Û ÔÖ ØÝ Þ Ø Ò Ûº Ò ÓÑÔÐ ÓÛ ÒÝ ÓÔ Ø Ò Û ÛÝ Ó Û Ô ÞÝÒÒ ÛÞ Ð Ù ÈÐ ÒÓÛ Ò ÖÓÞ Þ Ò º ½ ÈÖÞÝ ÔÐ Ò Û Ö
S V. ω = yzdx+(xz +z 2 )dy +yzdz, (T, S) (p,v) = 1. = a V, = 3bT2. k T 1 V p. α V 1 V V,N U,N U,V V,N S,N S,V
Ì ÊÅÇ Æ ÅÁà Á Á à ËÌ Ì ËÌ Æ ÈÖÓ Ð ÑÝ Ó ÓÑÙ Ò ÓÐÓ Û Þ Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¼ ÈÓ Þ Ð ÔÓ Ó Ò ÒØÖÓÔ S = S(U,V,N Ö ÛÒ ( S = 1 ( S U, = p ( S V, N V,N U,N U,V = µ, ØÓ ÔÓ Ó ÒÝÑ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U = U(S,V,N ( ( U U =, =
ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Þ Ó Ý Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Û ÞÝ Ø Ñ Ó Ó ÓÑ Ø Ö ÛÓ Ñ ÒÒÝÑ ÙÛ Ñ ÔÖÞÝÞÝÒ Ý Ó Ö Ð Þ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Ûݺ ËÞÞ ÐÒ ÔÖ Ò ÔÓ¹ Þ ÓÛ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ º Ï ØÓÐ Ó
ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø ÛÓÛÝ ÈÖÓ Ð Ñ Û Ì Ò ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÃÐ Ý Ò ØÖÙÑ ÒØ Û ØÖÙÒÓÛÝ Û ÑÙÐØ Ñ ÐÒÝ Þ ÒÝ Þ ÞÞ ÐÒÝÑ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ñ ÖØÝ ÙÐ Ô ÞÞ ØÓ Ñ Ö ÃÖÞÝ ÞØÓ ÌÝ ÙÖ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º Ï ØÓÐ ÃÓ Ó Ï Ö Þ Û
ÁÆËÌ ÌÍÌ Á ÃÁ ÈÇÄËÃÁ Â Ã ÅÁÁ Æ ÍÃ ÊÍÈ Á ÃÁ ÁÇÄÇ Á Æ Â Ë ÅÇÆ ÆÁ ÏÁ Ê ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÝÒ Ñ ÞÑ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ Æ Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÊÇÅÇÌÇÊ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ Ï ÊË Ï ¾¼¼ Ä Ø ÔÙ Ð Æ Ò Þ ÔÖ ÔÓÛ Ø Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÒ Û
ÒØÝ ÖÝ Ø ÖÝ ÖÝ Æ ØÞ
ÒØÝ ÖÝ Ø ÖÝ ÖÝ Æ ØÞ Ö Ö Ïº Æ ØÞ ÒØÝ ÖÝ Ø ÌÝغ ÓÖÝ º Ö ÒØ Ö Ø ÔÖÞ Ó Ý Ä ÓÔÓÐ ËØ ÇÔÖ ÓÛ Ò Ö ÞÒ ½ ÓÖ Ø Â ÖÓ Û È Ø ÖÞÝ ¹Ñ Ð Ô Ø ÖÛÔº Ù Ö Ö Ï Ð ÐÑ Æ ØÞ ½ ÓÑÔ Ð Ý Ä Ì ¾ε ÈÖÞ ÑÓÛ Ã Ø ÔÖÞ ÞÒ ÞÓÒ Ø Ð Ò ÑÒ Ð ÞÒÝ
ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π 0 ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØ٠̾à ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº
ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØ٠̾à ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº À ÒÖÝ Æ ÛÓ Ò Þ Ó ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò
Ç Û Þ Ò ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ñ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Û ÞÓ Ø Ò Ô Ò ÔÖÞ Þ ÑÒ ÑÓ Þ ÐÒ º Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ò ÔÖÓÑÓØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Æ Ò ÞÝÑ Ó Û Þ Ñ ÖÓÞÔÖ Û Ø ÓØÓ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ø Â ÒÓÛ Ò ÖÓÛ Ò ÙØÓÑ Ø Û Þ ÓÛÝ Ð Ý Ø Ñ Û Þ Ù ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Óº Ö º ÏÓ È ÒÞ ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ñ ¾¼¼ Ç Û Þ Ò
KAPITAŁ LUDZKI NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI UNIA EUROPEJSKA EUROPEJSKI FUNDUSZ SPOŁECZNY
KAPITAŁ LUDZKI NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI UNIA EUROPEJSKA EUROPEJSKI FUNDUSZ SPOŁECZNY ÈÖÓ Ø ÔÒº ÏÞÑÓÒ Ò ÔÓØ Ò Ù Ý ØÝÞÒ Ó ÍÅÃ Û ÌÓÖÙÒ Ù Û Þ Þ Ò Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÓ¹ÔÖÞÝÖÓ Ò ÞÝ Ö Ð ÞÓÛ ÒÝ Û Ö Ñ ÈÓ Þ Ò º½º½ ÈÖÓ
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Mgr inż. Rafał Muniak -absolwent kierunku Ekonomia w Szkole Głównej Gospodarstwa Wiejskiego. Przed podjęciem pracy na PJWSTK pracował w firmie konsultingowej na stanowisku analityka
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê ÆÃ ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û Þ
ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê Æà ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û ÞÒÝ ÔÖ Ò Þ ÓÛ Ø ÙÛÓÐÒ Ò Ó Ý Ø ØÙ Ò ØÙÖݺ ÏÝÖ ÓÒÓ Ò Ö
ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ
È ÓØÖ ÙÞ Å Ð Ò Ù Ð Ñ Å Û ØÝÞ ¾¼¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ Ã Ï Ò µº ÈÓ Ø ÛÝ
dz e1/z = 1/e. + ( 1)3 3! + ( 1)4 4! 1+z = 2πi., a > 1. dz z 2 2iaz 1. a (1/2i)(z 1/z) = 2
ÆÇÌ ÌÃÁ Ç ÏÁ Æ ÄÁ ËÈÇÄÇÆ Â Ö ÈºÀº Ò ÓÛ Ç Ð ÞÝ Γ dz e/z +z Û Ø Ö ÓÒØÙÖ Γ Ø Ó Ö Ñ Ó ÖÓ Ù Û Þ ÖÞ ÔÖÓÑ Ò Ù Ö ÛÒÝÑ ¾ Ó Ò ÝÑ ÓÐÙ ÓÞÒ Þ Ø ØÓ ÔÓ ÓÒØÙÖÞ Þ Ñ Ò ØÝѵº ÊÓÞÛ Þ Ò ÙÒ ÔÓ ÓÛ fz Ñ ÙÒ ÔÖÓ ØÝ Ø º Ô ÖÛ Þ Ó
Lech Banachowski. Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie
Lech Banachowski Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie Notka biograficzna Prof. Lech Banachowski jest kierownikiem Katedry Baz Danych i kierownikiem Studiów Internetowych
faza nadkrytyczna ciecz cia³o sta³e punkt krytyczny gaz punkt potrójny
Á à ËÃÇÆ ÆËÇÏ Æ Â Ñ Ø Ö Ý Ó ÛÝ Ù Ì Ù Þ Ð ÖÞ Ì Ù Þ Ð ÖÞ ¹Ñ Ð Ø Ð ÖÞ ÙÒ ºÐÓ ÞºÔÐ ØØÔ»»ÛÛÛºÛ ºÙÒ ºÐÓ ÞºÔл»ÞØ»Ì È»Ì º ØÑ Ã Ø Ö ÞÝ ËØ Ó ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Þ Ê Ø Ò ÞÒ Ó ÖÞÝ õ ¾¼½½ ËÈÁË ÌÊ