Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓ
|
|
|
- Bogna Szczepaniak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û Ð ØÓÔ ¾¼¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
2 Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k Ð ÓÖÝØÑ Ò ÖÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ÒØ ÖÔÓÐ Ý Òݺ ÛÝ Ù ÈÐ Ò ÙÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÙÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
3 ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÛÒ Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö Ð ÓÖÝØÑ ÐÙÑ ¹ ÐÓÝ ¹ÈÖ ØØ ¹Ê Ú Ø ¹ÌÖ Ò ÛÝ Ù º ÈÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
4 ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ Òݵ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
5 ÔÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò µº Æ A Þ Ø Ð n 1 Ö ÒÝ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º ÈÓ Ò Ø ÖÝ ÛÝÞÒ ÞÝ Ò Ø Ð Ý i Þ 0 i < n Ø A[i] = 0 Þ ÑÝ Ð ÓÖÝØÑ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ ÔÓ ÞÙ Û ÒÝ Ð Ñ ÒØ ÞÒ Ù Û Ø Ð Ý Aµº ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ ÒØ Ò ÁÒ Ü ÒØ Ò ÒØ Òµ ß»» ÛÔ n 1 ÒØ ÓÖ ¼ Ò µ ¼µ Ö ØÙÖÒ»» Û A [i] = 0 Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÁÒ Ü Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÁÒ Ü Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÁÒ Ü ÌÛ Ö Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Ò ÁÒ Ü Ø ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÛÝ ÞÙ Ò Û ÙÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝѺ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
6 ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
7 ÔÖÓ Ð Ñ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó µº Æ A Þ Ø Ð n Ö ÒÝ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ò n = 2 k k N + º ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ ÛÝÞÒ ÞÝ ÖÙ Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ø Ð Ý Aº Þ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ ÒØ Ò ¾Ò ÒØ Ò ÒØ Òµ ß»» ÛÔ n = 2 k k N + ÒØ Ñ Ü Å Ü ¼ ½ µ Å Ò ¼ ½ µ ÓÖ ¾ Ò µ Ñ Üµ ß Ñ Ü Ñ Ü Ð Ð µ Ö ØÙÖÒ»» Û sec Ø ÖÙ Ñ Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ð Ý Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ¾Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ¾Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ¾Ò Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
8 Ð ÓÖÝØÑÙ ØÙÖÒ º Ù Ù ÖÞ ÛÓ ØÙÖÒ Ù Þ Ó Ò Þ Þ ÔÖÞ Ó Þ ØÝÐ Ó Á ÒÔº Ð A = [9,3, 5,7,2,1, 6,4] n = 8 ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÛÝ ÖÝÛ Ý ÁÐ ÔÓÖ ÛÒ Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý A Ø Ò Þ ÒÝ Ó Þ Ù ÓÛ Ò ÖÞ Û ØÙÖÒ Ù Û ÈÝØ Ò º ÔÖÞÝ Þ Ø º n = 8µ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ ÒÝÑ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ ÈÝØ Ò º Â Ò ÑÒ ÞÝÑ Ó ÞØ Ñ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Ð Ñ ÒØ ¾¹ Ó Ó Û Ð Ó Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
9 Ð Ñ ÒØ ¾¹ Ó Ó Û Ð Ó Ø ÒÝÑ Þ ØÝ Ø Ö ÔÖÞ Ö Ý Þ Ð Ñ ÒØ Ñ ÏÒ Ó º ÞÝÐ Ò Û ÞÝÑ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ØÙÖÒ Û ÖÓÞÛ ÒÝÑ ÈÝØ Ò º Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝ Þ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ ÌÛ Ö Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ø ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÛÝ ÞÙ Ò ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØÙ Û ÙÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝѺ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
10 ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Üµ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½¼ È Û Ê Ñ Ð
11 ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò¹Ñ Üµº Æ A Þ Ø Ð n Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Þ n = 2 k Ò k N + ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ ÛÝÞÒ ÞÝ Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Ñ ÝÑ ÐÒÝ Û Ø Ð Ý Aº º ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ ÒØ Òص Ò Å ÒÅ Ü ½ ÒØ Ò ÒØ Òµ ß»» ÛÔ n = 2 k k N + ÒØ Ñ Ò Å Ò ¼ ½ µ Ñ Ü Å Ü ¼ ½ µ ÓÖ ¾ Ò µ ß Ñ Òµ Ñ Ò Ñ Üµ Ñ Ü Ð Ö ØÙÖÒ Ñ Ò Ñ Üµ»» Û min = min (A) max = max (A) Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ½ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ½ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ½ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½½ È Û Ê Ñ Ð
12 ÁÐ ÔÓÖ ÛÒ Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý A Ø Ò Þ ÒÝ Ó Þ Ù ÓÛ Ò ÞÑÓ Ý ÓÛ Ò Ó ÈÝØ Ò º ØÙÖÒ Ù Û ÖÓÞÛ ÒÝÑ ÔÖÞÝ Þ Ø º n = 8µ ÖÞ Û ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü Ð ÓÖÝØÑÙ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Óº Ù Ù ÞÑÓ Ý ÓÛ Ò ÖÞ ÛÓ ØÙÖÒ Ù Þ Ó Ò Þ Þ Á ØÝÐ Ó Ð Ñ ÒØÝ Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Ñ ÝÑ ÐÒÝ ÒÔº A = [9,3, 5,7,2,1, 6,4] n = 8 ÔÖÞ Ó Þ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½¾ È Û Ê Ñ Ð
13 ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÒØ Òص Ò Å ÒÅ Ü ¾ ÒØ Ò ÒØ Ð ÒØ Öµ ß»» ÛÔ n = 2 k k N + ÒØ Ñ Ò Ñ Ü ÒØ Òص Ö ÙÐؽ Ö ÙÐؾ ֹР½µ Ö Ð µ Ö ØÙÖÒ Ð Ö µ Ð Ö ØÙÖÒ Ö Ð µ Ð ß Ö ÙÐؽ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ð Ð Öµ Ú ¾µ Ö ÙÐؾ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ð Öµ Ú ¾µ ½ Öµ Ö ÙÐؽ ¼ Ö ÙÐؾ ¼ µ Ñ Ò Ö ÙÐؽ ¼ Ð Ñ Ò Ö ÙÐؾ ¼ Ö ÙÐؽ ½ Ö ÙÐؾ ½ µ Ñ Ü Ö ÙÐؽ ½ Ð Ñ Ü Ö ÙÐؾ ½ Ö ØÙÖÒ Ñ Ò Ñ Üµ»» Û min = min (A [l], A [l + 1],..., [r]) A max = max (A [l], A [l + 1],..., A [r])»» Ð Ð Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
14 ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙº ÓÛ ÔÖÞ Þ Ò Ù Þ ÛÞ Ð Ù Ò k Þ n = 2 k ÈÓÔÖ ÛÒÓ k N + º Þ Ò Ù Ð k = 1 Ø º n = 2 Þ Ó Þ r l = 1 Þ Ø Ñ ÛÝ ÓÒ ÒÝ Ø Ô ÖÛ ÞÝ Û ÖÙÒ Ò ØÖÙ Û ÖÙÒ ÓÛ Ö Ð µ Ö ØÙÖÒ Ð Ö µ Ð Ö ØÙÖÒ Ö Ð µ Ø ÛÝÒ Ð ÓÖÝØÑÙ Ø ÔÓÔÖ ÛÒÝ Þ Ó Ò Ò Ù Ý Ò Ð k = p Þ p 1 ÛÝÒ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü Ð Ø Ð Ý A ÖÓÞÑ ÖÙ n = 2 p Ø ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ø Þ Ò Ù Ý Ò Ð k = p + 1 Þ p 1 ÛÝÒ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü Ð Ø Ð Ý A ÖÓÞÑ ÖÙ n = 2 p+1 Ø ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
15 Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÍÒ Û Ö ÙÑ ÓÛ Ø ÞÝ Ð k 1 Ø º > n > Þ Ó Þ 2 r l 2 Þ Ø Ñ ÛÝ ÓÒ ÒÝ Ø ÖÙ Û ÖÙÒ > Ò ØÖÙ Û ÖÙÒ ÓÛ Ø Ö Ó ÔÓÞ Ø ÓÛ Ò ØÖÙ ÔÓ Ø Ö ÙÐؽ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ð Ð Öµ Ú ¾µ Ö ÙÐؾ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ð Öµ Ú ¾µ ½ Öµ Þ Ò Ù Ý Ò Ó ÓÐ ÒÓ Þ Ó Ò ÃÓÖÞÝ Ø Þ Ó Þ ( [ ]) l + r result1[0] = min A[l], A[l + 1],..., A, 2 ( [ ]) l + r result1[1] = max A[l], A[l + 1],..., A, 2 ( [ ] [ l + r l + r result2[0] = min A + 1, A 2 2 ( [ ] [ l + r l + r result2[1] = max A + 1, A 2 2 l = r + 1 = n n = 2 p º Þ l+r 2 l+r 2 ] ) + 2,..., A [r], ] ) + 2,..., A [r], Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
16 Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÍÒ Û Ö ÙÑ ÓÛ Ø ÞÝ º º Ò ØÔÒ ÛÝ ÓÒ Ò Ò ØÖÙ Û ÖÙÒ ÓÛ Ö ÙÐؽ ¼ Ö ÙÐؾ ¼ µ Ñ Ò Ö ÙÐؽ ¼ Ð Ñ Ò Ö ÙÐؾ ¼ Ö ÙÐؽ ½ Ö ÙÐؾ ½ µ Ñ Ü Ö ÙÐؽ ½ Ð Ñ Ü Ö ÙÐؾ ½ Ö ØÙÖÒ Ñ Ò Ñ Üµ ËØ min = min(a[l], A[l + 1],..., A [r]), max = max (A[l], A[l + 1],..., A [r]), Þ r l = 2n = 2 2 p = 2 p+1 Ó Ó ÞÝ ÓÛ º ÏÒ Ó º Ð ÓÖÝØÑ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Üº ÈÝØ Ò º  ÙÞ Ò ÓÛ Ø ÔÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
17 Þ ÓÛ º Æ T (n) Þ Ð Þ ÓÔ Ö ÔÓÖ ÛÒ ÛÝ ÓÒÙ Ð ÓÖÝØÑ Ó ÓÒÓ Ð ÒÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n ÛØ Ý Ò Å ÒÅ Ü ¾ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÞÝÐ Ð n = 2 k k N + T T (n) = ( 2 k) = Ð 1 n = 2 2T ( ) n Ð n > 2, 1 Ð k = 1 2T ( 2 k 1) + Ð 2 k > 1, Ó Ø Ø ÞÒ T ( 2 k) = 3 2 2k ÞÝÐ T (n) = 3 2 n 2º 2 k = Ñ ÑÝ 1 T ( 2 1) = T (2) = = 1 Ó Ø ÒÓÛ Þ Ò Ù º 2 Ð ÍÞ Ò Ò º k > 1 Þ Ó Þ T ( 2 k) = 3 2 2k 2 ÛØ Ý Ð k + 1 Ñ ÑÝ ÑÝ Ð T ( 2 k+1) = 2T ( 2 k) Ò ÔÓ Ø Û Þ Ó Ò + 2 ( T 2 k+1) ( ) 3 = 2 2 2k = 3 2 k 2 = 3 2 2k+1 2 Ó Ó ÞÝ ÓÛ Ò Ù Ý Òݺ ËØ Ð n = 2 k k N + Þ Ó Þ T (n) = 3 2 n 2º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
18 µº ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü Ø Ö Ó Ö Ò Þ Ó ÓÒÓ Ò Þ ØÓØÒ ÑÒ Þ Ò Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Û ÒÝ Ò Ó Þ ÓÛ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ¾ ÌÛ Ö Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ø ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü Û ÙÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝѺ Ò Å ÒÅ Ü ½º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
19 ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
20 ÔÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò µº Æ A Þ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ø Ð n 1 Ö ÒÝ Ð Þ Ò ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ ÛÝÞÒ ÞÝ Ò Ø Ð Ý i Þ 0 i < n Ø A[i] = x Ò ØÙÖ ÐÒÝ º ÞÝ Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ò ÁÒ Ü Ø ÔÓÔÖ ÛÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÈÝØ Ò º Ø Ð ÓÒ ÞÒ Â Ð Ø ØÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó Ó k º ÈÓÖ ÛÒÙ ÑÝ Ð Þ x Þ Ó k¹øýñ Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ð Ý A ÔÓÞÝÒ Á Ð Ñ ÒØÙ k¹ø Ó Ø º A[k], A[2k], A[3k],...º ÈÖÓ ÔÖÞ ÖÝÛ ÑÝ ÛØ Ý Ý A[ik] > x Ð Ó ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k x N Þ ÑÝ ÔÓ ÞÙ Û ÒÝ Ð Ñ ÒØ ÞÒ Ù Û Ø Ð Ý Aµº Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ø Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ø Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ i Nº Ë Û ÒÝ Ò ÔÖÞ Ð ÑÝ k 1 Ð Ñ ÒØÝ Ô ÛÒ Ó A [ik k], A[ik (k 1)],..., A [ik 1]. ÈÖÞÝ º ËÞÙ ÑÝ Ò Ù Ð Þ Ý 15 Û Ø Ð Ý A = [2,3,7,9, 12,15,23, 24] Ð k = 3º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾¼ È Û Ê Ñ Ð
21 Ð Û ÖØÓ Ô Ö Ñ ØÖÙ k Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k Ñ Ò ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ ÈÝØ Ò º Ô ÝÑ ØÝÞÒ ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k ÒØ Ë Ó ÒØ Ò ÒØ Ò ÒØ ÒØ Üµ ß»» ÛÔ n 1 A [0] < A [1] <... < A [n 1] x A ÒØ ¼ Û Ð Ò Æ Ü µ»» ÒÞ x A [0], A [1],..., A [i k] ¹ Û Ð Üµ ½ Ö ØÙÖÒ»» Û A [i] = x Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó Ó k Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó Ó k Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó Ó k Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾½ È Û Ê Ñ Ð
22 ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾¾ È Û Ê Ñ Ð
23 ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ º ÈÓÖ ÛÒÙ ÑÝ Ð Þ x Þ m¹øýñ Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ð Ý A Á m = n 2 Ð Þ A[m] ØÓ ÔÓÛØ ÖÞ ÑÝ ÔÓ Ó Ò ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ð Ø Ð Ý x A [0], A[1],... [m] Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓÛØ ÖÞ ÑÝ ÔÓ Ó Ò ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ð Ø Ð Ý A A [m + 1], A[m + 2],... A [n 1]º Â Ð ÖÓÞÑ Ö ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ø Ð Ý Ø Ö ÛÒÝ 1 ØÓ ÔÓ ÞÙ Û ÒÝÑ Ò Ñ Ø mº ÈÖÞÝ º ËÞÙ ÑÝ Ò Ù Ð Þ Ý 15 Û Ø Ð Ý A = [2,3,7,9, 12,15,23, 24]º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
24 ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÒØ ÒË Ö ÒØ Ò ÒØ Ò ÒØ Üµ ß»» ÛÔ n 1 A [0] < A [1] <... < A [n 1] x A ÒØ Ð ¼ Ö Ò¹½ Ñ Û Ð Ö¹Ð ½µ ß»» ÒÞ A [l] x A [r] Ñ Ð Öµ Ú ¾ Ñ Üµ Ö Ñ Ð Ð Ñ ½ Ð Ö ØÙÖÒ Ð»» Û A [l] = x Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÒË Ö ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÒË Ö Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
25 Ð ÓÖÝØÑ ÒË Ö Ø ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÛÝ ÞÙ Ò Û ÌÛ Ö Þ Ò º ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝѺ ÙÒ Û Ö ÙÑ ÃÓÒ ØÖÙÙ ÑÝ ÖÞ ÛÓ ÝÞÝ Ò Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ ÖÓÞÛ ÞÙ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÍÞ Ò Ò º Û ÙÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝѺ ÆÔº ÛÝ ÞÙ Ò ÖÞ ÛÓ ÝÞÝ Ò Ð ÖÓÞÛ Ò Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ Þ Û Ö n Ð Ø ØÓ ÖÞ ÛÓ Ò ÖÒ ØÓ ÈÓÒ Û Û Ø Ñ ÖÞ Û Ó Ò ÑÒ Ò Ó ÓÖÞ Ò Ó Ò Ó Þ Û ÖÞ Ó Û ØÒ ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ Ø Ö Ù Ó ÛÝÒÓ Ó Ò ÑÒ lg n º ËØ Ý Ð ÓÖÝØÑ Þ Ý ÔÖÞ Þ Þ ÛÒØÖÞÒÝ Ð ÖÓÞÛ Ò Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÛÝ ÓÒ Ó Ò ÑÒ lg n ÔÓÖ ÛÒ Ò ÔÓÖ ÛÒ º Ø Ñ Ñ ØÓ ÒË Ö Ø ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÓÔØÝÑ ÐÒÝѺ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
26 ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Óµ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
27 Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Óº ÙÛ ÑÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ð Ñ ÒØÝ Á A ÖÓÞ Ó ÓÒ Ö ÛÒÓÑ ÖÒ Ò Ô ÛÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Þ ÓÖÙ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ØÓ Þ Ó Þ Ø Ð Ý Ó ÓÒÓ Ô ÝÑ ØÝÞÒ Ð ÓÖÝØÑÙ ÛÝ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Ó ÑÓ Ò Ó Þ ÓÛ Øº Θ(n)º ÔÖÞ Þ ÞÝ Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Ó Ø ØÓØÒ Ö Ò ÈÝØ Ò º Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ Ó ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Ó m l r l x A[l] A[r] A[l], Ò ØÔÙ Þ Ð ÒÓ m = l + (x A[l])(r l). A[r] A[l] Ø ÔÙÒ Ø ÔÓ Þ Ù Ð Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÖÒÝ ÔÓ ÞÙ Û ÑÓ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ Ó Ò Ê ÞØ ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ø ÒØÝÞÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ñ ØÓ Ý ÒË Ö º Ó ÓÒÓ Ö Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÛÝ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Ó ÑÓ Ò Ó Þ ÓÛ ÔÖÞ Þ Øº O (lg n)º lg Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
28 ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÛÒ µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
29 ÔÖÓ Ð Ñ k¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó µº Æ A Þ Ø Ð n Ö ÒÝ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ò n k k N + º ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ ÛÝÞÒ ÞÝ k¹øý Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ø Ð Ý Aº Þ ÛÝ ÞÙ Ð Ñ ÒØ Ò Û ÞÝ Û Ö Ð Ñ ÒØ Û A[i], A[i + 1],..., A [n 1] Ò ØÓ Ð Ñ ÒØ A[max] Þ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÛÒ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÛÒ Ó º Æ i = 0 Á k¹ ÖÓØÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ØÔÙ Þ Ò Þ Ñ Ð Ñ ÒØ A[max] Þ Ð Ñ ÒØ Ñ A[i] ÞÛ Þ i Ó Òº Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ø Ó Ø ØÒ Þ ÛÝ ÞÙ ÒÝ Ð Ñ ÒØ Û A[max] Ø º A[i 1]º ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÛÒ Ó Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Û ÓÛÝ Ò º A = [10, 7,6,4,2, 11,16,8, 3,1,9], k = 5. ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÛÒ Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÛÒ Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÛÒ Ó Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
30 ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÛÒ ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Ò ÛÒÝ ÒØ Ò ÃØ ÒØ Ò ÒØ Ò ÒØ µ ß»» ÛÔ n k k N + ÒØ ¼ Ñ Ü Û Ð µ ß Ñ Ü»» ÒÞ A [0] > A [1] >... > A [i 1] > Ó Ð Ñ ÒØÙ A [i], A [i + 1],..., A [n 1] ÓÖ Ñ Ü ½ Ò µ Ñ Ü µ Ñ Ü ËÛ Ô Ñ Ü µ»» A [i] > Ó Ð Ñ ÒØÙ A [i + 1], A [i + 2],..., A [n 1] ½»» ÒÞ A [0] > A [1] >... > A [i 1] > Ó Ð Ñ ÒØÙ A [i], A [i + 1],..., A [n 1] Ð Ö ØÙÖÒ ¹½»» Û A [i 1] Ø k¹øýñ Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ñ Ð Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð
31 ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
32 Ð Þ Ø Ö Þ Ð ÞÝ Û Ò k 1 Ð Ñ ÒØ Û ØÓ ÔÓ ÞÙ Ö ÙÖ ÒÝ Ò k¹ø Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØÙ ØÝÐ Ó Û Þ Ø Ö Þ Ó Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓ ÞÙ Ö ÙÖ ÒÝ Ò k Ð Þ Ð Ñ ÒØ Û Û Þ Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØÙ ØÝÐ Ó Û Þ Ñ Ó Þ º Ø Ö Þ 1µ¹Ø Ó ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö Ð ÓÖÝØÑÙ ÀÓ Ö º ÈÓÛØ ÖÞ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Ò ØÔÙ Ý Ñ Ø Þ Ò Á ÛÝ ÖÞ ÓÛÓÐÒÝ Ð Ñ ÒØ ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý A ØÞÛº Ñ Ò Ò Þ ØÓ A[m] ÖÓÞ Þ Ð Ð Ñ ÒØÝ ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý Ò Ð Ñ ÒØÝ ÑÒ Þ Ó A[m] ØÞÛº Þ Ñ Ó Þ Ø Ð Ý ÓÖ Þ Ð Ñ ÒØÝ Û Þ Ó A[m] ØÞÛº Þ Ø Ö Þ Ø Ð Ý ÙÑ Ð Ñ ÒØ A[m] Û Ø Ð Ý A Ø Ý ÔÓÔÖ ÛÒ ÖÓÞ Þ Ð Þ Ñ Ó Þ Ó Ø Ö Þ Ð Þ Ø Ö Þ Ð ÞÝ Ó Ò k 1 Ð Ñ ÒØ Û ØÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ø A[m] Þ Ó Þ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÀÓ Ö Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Û ÓÛÝ Ò º A = [10, 7,6,4,2, 11,16,8, 3,1,9], k = 5. ÈÖÞÝ Ñ Ñ Ò Ø Þ Û Þ Ô ÖÛ ÞÝ Ð Ñ ÒØ ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ýº Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
33 ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÒØ ÊÓÞ Þ Ð Ò ÒØ Ð ÒØ Öµ ß ººº»» ÙÒ Ó ÓÒÙ ÖÓÞ Þ Ð Ò Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý A [l], A [l + 1],..., A [r] ÛÞ Ð Ñ Ñ ÒÝ ÛÝ Ö Ò Û Ù Ø ÐÓÒÝ ÔÓ ÛÝÒ Ñ Þ Ò ÙÒ Ø Ò Ð Ñ ÒØÙ ÖÓÞ Þ Ð Ó ÔÓ ÙÑ ÞÞ Ò Ù Ò Û Û ÔÓÞÝ Ð ÒØ ÀÓ Ö ÒØ Ò ÒØ ÒØ Ð ÒØ Öµ ß»» ÛÔ n k k N + ÒØ Ñ Ñ ÊÓÞ Þ Ð Ð Öµ Ö¹Ñ ¹½µ Ö ØÙÖÒ Ñ Ð Ö¹Ñ ¹½µ Ö ØÙÖÒ ÀÓ Ö Ñ ½ Öµ Ð Ö ØÙÖÒ ÀÓ Ö ¹ ֹѵ¹½ Рѹ½µ Ð Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
34 ÞÑ ÒÒ l Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý Ò ÔÓÞÝ A[1], A[1],..., A [l 1] Ó Ñ ÒÝ ÑÒ Þ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÔÓ Þ Ù ÛÞ Ð Ñ Ñ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑÙ ËÔРغ Æ l = 1 r = n 1 m = 0 Á ÞÒ Þ Ò ÞÑ ÒÒÝ Ò Ù Ý ÞÑ ÒÒ r Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý Ò ÔÓÞÝ A[r + 1], A [r + 2],..., A [n 1] Û Þ Ó Ñ ÒÝ ÓÔ l < r ÔÓÛØ ÖÞ Ò ØÔÙ Þ Ò ÓÔ r 0 A[r] > A [m] ÞÑÒ Þ r Ó Ò ÓÔ l < r A[l] < A [m] ÞÛ Þ l Ó Ò Ð l < r Þ Ñ A[l] Þ A[r] ÞÑÒ Þ r Ó Ò ÞÛ Þ l Ó Ò Þ Ñ A[m] Þ A[r]º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
35 µº ÑÔÐ Ñ ÒØÙ Ð ÓÖÝØÑ ËÔÐ Ø Û Û Ö Ø Ö Ý Ò ÓÖ Þ Ö ÙÖ ÒÝ Ò ÔÖÞ Ø Û Ò ÔÓÖ ÛÒ Ò ÛÝ ÒÓ Ó Ù ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ó Ø Ø ÞÒ Ù Ó Þ ÓÖÙ ÒÝ ÛÝÒ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÔÓ Þ Ù ÛÞ Ð Ñ Ñ ÒÝ ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ËÔÐ Ø Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Û ÓÛÝ Ò º A = [10, 7,6,4,2,11, 16,8, 3,1,9]. ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ËÔÐ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ËÔÐ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ËÔÐ Ø Û ÓÛÝ º Ç Þ Ù ÑÔ ÖÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ó Ù ÖÓÞÛ Þ º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
36 ÞÑ ÒÒ l Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý Ò ÔÓÞÝ A[0], A[1],..., A [l] ÑÒ Þ Ó Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒ r Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý Ò ÔÓÞÝ A[l + 1], A[l + 2],..., A [r 1] Ó Ñ ÒÝ Û Þ Ð A[r] < A [m] Þ Ñ A[l + 1] Þ A[r] ÞÛ Þ l + 1 Ó Ò ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÔÓ Þ Ù ÛÞ Ð Ñ Ñ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒº Æ l = 1 r = 0 m = r 1 Á ÞÒ Þ Ò ÞÑ ÒÒÝ Ò Ù Ý ÓÔ r < m ÔÓÛØ ÖÞ Ò ØÔÙ Þ Ò ÞÛ Þ r Ó Ò Þ Ñ A[m] Þ A[l + 1]º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
37 µº ÈÖÞ Ø Û Þ ÑÔÐ Ñ ÒØÙ ÖÓÞ Þ ÖÞÓÒ Û Ö Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒ ÔÓ Þ Ù Ò Ñ ÒÝ ÓÛÓÐÒ n¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ø Ð Ý Ò ØÖÞÝ ÖÓÞ ÞÒ Ö Ñ ÒØÝ ÓÐ ÒÓ ÑÒ Þ ÛÞ Ð Ñ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÔÓ Þ Ù ÛÞ Ð Ñ Ñ ÒÝ ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒ Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Û ÓÛÝ Ò º A = [10, 7,6,4,2,11, 16,8, 3,1,9]. ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒ Ö ÛÒ ÓÖ Þ Û Þ Ó Ñ Òݺ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
38 Ô ÝÑ ØÝÞÒݺ Ð Ñ ÒØÝ n¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ø Ð Ý A ÔÓ ÓÖØÓÛ Ò ÖÓ Ò Ó ÞÙ ÑÝ ÈÖÞÝÔ Ô ÖÛ Þ Ó Ó Ó Û Ð Ó ÔÖÓ ÙÖ ÖÓÞ Þ Ð Ò ÞÓ Ø Þ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÛ Ò Þ Ó Ò Þ Ð Ñ ÒØÙ Â Ø Ù ÒÝ Û ÓÛÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ð Ð ÓÖÝØÑÙ ÀÓ Ö ÈÝØ Ò º ÔÖÓ ÙÖ ÖÓÞ Þ Ð Ò ÞÓ Ø Þ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÛ Ò Þ Ó Ò Þ Ñ ØÓ È ÖØ Ø ÓÒ Ð ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö Þ Ó ÓÒÓ Ñ ØÓ ËÔÐ Ø ÛØ Ý W (n) = 0 Ð n = 1 n 1 + W (n Ð 1) n > 1, W (n) = n 1 + W (n 1) = n 1 + n 2 + W (n 2) =... = = n (n 1)... = n 1 + n = = Θ ( n 2). 2 ÞÝÐ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
39 Ö Ò º ÊÓÞ Ð Ñ ÒØ Û n¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ø Ð Ý A Ø ÒÓÖÓ ÒÝ ÞÙ ÑÝ ÈÖÞÝÔ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó ÔÖÓ ÙÖ ÖÓÞ Þ Ð Ò ÞÓ Ø Þ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÛ Ò Þ Ó Ò Þ Ð Ñ ÒØÙ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÀÓ Ö Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ Û µº ÞÝ ÞÑ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÀÓ Ö Ð Þ ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ Ò ÔÖÞ Ø Û Ò Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý Û ÓÛ A ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö Þ Ó ÓÒÓ A (n, k) = 0 n = 1 Ð n k n n A(n i, k) + A(i 1, k (n Ð i) 1) n > 1, n i=1 i=n k+2 Ñ ØÓ ËÔÐ Ø Ð Ó È ÖØ Ø ÓÒ ÛØ Ý ÞÝÐ A(n, k) = O (n). Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð
40 ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÐÙÑ ¹ ÐÓÝ ¹ÈÖ ØØ ¹Ê Ú Ø ¹ÌÖ Ò µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð
41 Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊ̺ ÈÓÛØ ÖÞ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Ò ØÔÙ Ý Ñ Ø Þ Ò Þ n Ø Á ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý A ÖÓÞÑ Ö Ñ ÔÓ Þ Ð ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ ÒÝ Ö Ñ ÒØ Ø Ð Ý A Ò ÓÐ Ò Ô Ø Ð Ñ ÒØ Û Ö ÙÖ ÒÝ Ò ÛÝ ÓÒ Þ Ò Þ Ó Ò Þ Ð ÓÖÝØÑ Ñ ÀÓ Ö Ð Ð Ñ ÒØÙ Þ Ð Ó A[m]º Ê ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ó ÓÖÙ Ñ ÒÝ Û Ö ÒØÙ Ò ÝÑ ÖÓ Ù Þ Ò ÏÒ Ó º Ñ Ø ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý A d ÖÓÞÑ ÖÙ d Ó Ò ÑÒ 4 Ð Ñ ÒØÝ Ð Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÐÙÑ ¹ ÐÓÝ ¹ÈÖ ØØ ¹Ê Ú Ø ¹ÌÖ Ò Ð n 5 ØÓ ÔÓ ÓÖØÙ Ö Ñ ÒØ Ø Ð Ý ÛÝ ÖÞ Ð Ñ ÒØ (n (k 1))¹ØÝ Ð n > 5 ØÓ Ö ÙÖ ÒÝ Ò ÛÝ ÞÙ A[m] = m/2 ¹ Ð Ñ ÒØ Þ Ñ Ò ÖÓÞÛ ÒÝ Ô Ø Þ Ø Ð Þ Ô Ø m Ó ÔÓÛ Ò Ó ÑÒ Þ Û Þ Ó Ñ ÒÝ A[m]º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð
42 Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊÌ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ø Ó Ò ÛÝ Øº Ð Ò ÓÛ º Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊÌ ÔÖÞ Ø Ý ÖÞ Ù Øº Ý Þ Ñ Ø Ô Ø Ð Ñ ÒØ Û Þ ÑÝ Ò Ð ÞÓÛ Ð ÒÔº ØÖ Ð Ñ ÒØ Ûº Ð Ò ÓÛ Ó Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊÌ ÔÖÞ Ø Ý ÖÞ Ù Øº Ý Þ Ñ Ø Ô Ø Ð Ñ ÒØ Û Þ ÑÝ Ò Ð ÞÓÛ Ð l¹ø Ð l Ó Ø Ø ÞÒ Ð Ó nº Ð Ò ÓÛ Ó ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÐÙÑ ¹ ÐÓÝ ¹ÈÖ ØØ ¹Ê Ú Ø ¹ÌÖ Ò Øº Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊÌ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ Ø Ó Ò ÛÝ Ð Ò ÓÛ º Ò µº Í ÓÛÓ Ò Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊÌ Û Û Ö Ò ØÖ Ð Ñ ÒØ Û Ø ÖÞ Ù Û Þ Ó Ò Ð Ò ÓÛݺ Ç Þ Ù Ø Ò ÖÞ º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ Ö
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖØÓÛ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ½¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ð Ð ÓÖÝØÑ ÓÖØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û Ø
Ï ØÔ ÈÖÞÝ Ý Ç ÐÒ Û ÒÓ Ó Þ Ò À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ÖÝ ÃÓÔÞÝ Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ÖÝ ÃÓÔÞÝ À Ð ¹ÈÓ Ø ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÁÒ Ò Ø Ñ ½» ¼
Ï Ö Û ÍÒ Ú Ö ØÝ Û ØÒ ¾¼¼ ½» ¼ ÔÖÞÝ Ö Þ ÛÝÔ Ø Ö Ò Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ ¹ ¹ ¾¼ ÑÝ ¹½ ¹½ ¹¾ ½¼ ¹¾ ¹½ ¹¾ ÓÒ ¹½ ¹ ¾» ¼ ÔÖÞÝ Ö Ô ÖÞÝ ØÓ Ö Ò Ó ÞÓÒÝ Ò ØÖ Ø ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò ¹ÔÓÞÝÝ ÒÝ Ò Ò ÛÝÒ
Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑ
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÎ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÒÝ ËØÖÙ ØÙÖÝ ÓÛÒ Ð ØÝ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ¾ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÓÔ Ö Ò Ð Ø Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ Ó Þ Ò Ö Ù Ð ÓÖÝØÑ Ë ÔÖÞ
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
Þ Á Ö Ø ØÙÖÝ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ À Ö Ö ÔÖÓØÓ Ó Û Ð Ù ØÛ Ò ÔÖÓ Ù ÔÖÓ ØÓÛ Ò Û Ô Þ ÒÝ ÓÑÔÙØ ÖÓ¹ ÛÝ ÔÖÞÝ ØÓ Þ Ó Ò ÓÒ ÔÓ Û Ñ Ö ÔÖÓ Ø ØÖÙ ØÙÖ ÐÓ ÞÒ º Ç Ø Ø ÞÒ Þ Ý ÓÛ ÒÓ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Þ ÞÓÖ Ò ÞÓ¹ ÊÝ ÙÒ ½ Ï Ö ØÛÓÛ ØÖÙ ØÙÖ
ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÂÓ ÒÒ ÀÓÖ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖ Ò
½º Ò ¾º ÈÖÞÝ º Ï ÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ ÒÓ Ù Ý Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖÞ ÔÐ Ø Ò Ù ÐÒÓ µ º Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ º ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å º ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖ Ò Ò Ù Ý Ó Ò ÖÓÛ Ò Þ Û ØÓÖ ÐÓ ÓÛ Ó (, ) Ó ÔÓÛ Ò ÔÖ Ý ( ½, ½ ),( ¾, ¾ ),...
f (n) lim n g (n) = a, f g
Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ Á Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã Ï ØÔ ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ½¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð ÛÝ Ù ÈÐ Ò ÒÓØ ÝÑÔØÓØÝÞÒ ÔÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó ÞØ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ Ó ÓÒÓ
ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ ÛÓÐÙÝ Ò ÊÓÞÛ Þ Ò Ý ÖÝ ÓÛ ÝÒ Ñ
Ç Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ Ï ÌÁ ÈÐ Ò ÛÝ Ø Ô Ò ½ ¾ ÃÐ ÝÞÒ Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò ÅÓ Ð Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÞØÙÞÒ ÒØ Ð Ò Ë Ò ÙÖÓÒÓÛ ÏÒ Ó ÓÛ Ò Þ ÐÓ ÖÓÞÑÝØ Ð ÓÖÝØÑÝ
ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Å ÔÓ ÞÙ Û Ò Ø ÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó Þ ÝÛ Ò Ò Ð µ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÈÓ ÞÙ Û Ò Ó ÑÓ ÐÙ ÑÓ Þ ÑÝ ÔÓ
ÈÓð Ö Ò ÔÓ ÞÙ Û Ò ÑÒ Ñ Ø Ö ÔÓÑ ÖÝ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ó Ø Ð Ø ÖÒ Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÎÁÁ æ ÊÅÁ æ È Å Ä æ Å˹¾ ÔÖÓ Ù ÔÖÓ Ù Þ Ø ÑÒ Ñ Ø Ö ÞÔÓð Ö Ò Ø ÞÔÓð Ö Ò Ý Ò Û Ó
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ
½ ÏÝ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ ÁÒ ØÝØÙØ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ½ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ¾ Ñ ¾¼½ æ Ôº½»¾ Ï Þ ð Û Ø ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ö Û Ø Ç ÐÒ
ØÖ Ò ÔÓÖØ Û ÖØÓ ÔÖÞ ÛÓ Ò ÐÙ ÔÖÞ ÒÓ Þ Ò Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÓÞ Ó Ö Ñ Ô Þ ÐÒ ºÓ ÒÓ Ø Ó Ð Þ Ò ÓÛ ÔÖÞÝ Ø Ó Ó Ö Ð Ò Ð Ñ ØÙ ÔÖÞ ÓÛÝÛ ¹ ÒÝ ÐÙ ØÖ Ò ÔÓÖØÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ
ÁÒ ØÖÙ Ó ÔÓ Ö ÓÛ ½ ¹¼ ¹¾¼¼ ½ ÈÓ Ø ÒÓÛ Ò Ó ÐÒ ï½ ÁÒ ØÖÙ Ó Ö Ð Þ Ý Ó ÖÓÒÝ Û ÖØÓ Ô Ò ÒÝ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó ÔÓ Ö ÓØ Û Û Ù Ó ÙÑ ÒØÓÛ Ò ÓÔ Ö ÓÛÝ ÈÖÞ Þ Ù ÝØ Û Ò ØÖÙ Ó Ö Ð Ò ÖÓÞÙÑ Ô Þ ÐÒ Ô Þ ÐÒ Ñ Þ Ò ÓÛ È ÓØÖÓÛÓ Þ ÖÞ
ËÞ ÐÓÒÝ ¹ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ÈÖÓ Ð ÑÝ ÔÖÞÝ ØÓ ÓÛ Ò Ù Þ ÐÓÒ Û áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÐÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¼ ¹ Þ ÓÒÝ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÃÓ ÓÖÝØÑÝ ÈÓ Ò Þ Ò Ó ØÝÔÙ Ó ÒÔº Øݵ ÓÖÝØÑÝ ÒÔº ÞÒ ÓÛ Ò Ò Û Þ Ó Ñ ÒØÙµ Å Ò ÞÑÝ Ñ ÒÙ Ö ÙÒ Ò Ó Ùº Û Ô Ò ÞÓÛ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Þ ÓÒ Û ¾» à ÞÓÛ ÒÙ
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓ
ÏÝ Ö Ò ÖÙÒ Û ÛÓÐÙ Ö Ò ÓÛ Â ÖÓ Û Ö ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÁÒ ØÝØÙØ ËÝ Ø Ñ Û Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ¹Ñ Ð Ö Ð ºÔÛº ÙºÔÐ Ñ Ò Ö ÙÑ Ù ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ Û Ï ÔÓÑ Ò ÝÞ ÈÓÐ Ø Ò ÈÓÞÒ ¾ º½½º¾¼½¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ð ÓÖÝØÑ ÛÓÐÙÝ ÒÝ Ó ÖÓÞ
Number of included frames vs threshold effectiveness Threshold of effectiveness
Ò Ð Þ ÒÝ Þ ÒÓÛ Ô Ö ØÙÖÝ Ø Ý Ò È Ó Ø Ë Ý ËÞÝÑÓÒ Å Þ ÞÑ Þ Ñ ÐºÓÑ ØÝÞÒ ¾¼½¾ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½ ¾ ÇÔ Ñ ØÓ Ý ½ ¾º½ Ç Ò Ò Ö ÒÝ ÔÓÑ Ö Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ç Ö Ð Ò ØÝÛÒÓ Ð
ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ÈÓ ÖÞÒ ½º¼ ÏÝ Ò ÖÓÛ ÒÓ ÔÖÞ Þ ÓÜÝ Ò ½º º Ï ÂÙÒ ½½ ¼ ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÃÓÑÔ Ð ØÖÓÒ ÞÒÝ ½ ½º½ ÇÔ ÔÖÓ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ð Ñ ÒØÝ
ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ì ÑÔÓÖ ÐÒ Ô ØÝ ÔÐÓÖ ÒÝ Ñ ØÓ Ý Þ ÓÖ Û ÔÖÞÝ Ð ÓÒÝ ÊÇ ÈÊ Ï ÇÃÌÇÊËà ÙØÓÖ Ñ Ö È ÓØÖ ËÝÒ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ Ë ÓÛÖÓÒ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ Öº ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò º º
ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Óµ Þ Û Ò ÓÛ Ò Èʵ ½»
ÏÝ ¹ ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» È Ò ÛÝ Ù Ó ÞÑ ÓÓ Ø Ö Ü ÓÓ Ø ÜÔÖ Ú ÓÓ Ø Ô Ö Ø ÈÖÞÝ ÓÛ Þ Ò Ò ÓÓ Û ÙÑ ¾» ÈÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ Û» ÔÖÞ ØÛ ÖÞ Ò Ø ØÙ ÙÒ ÓÒÛ ÖØÙ Þ ³ ÍØÛÓÖÞ Ò Þ Ý Ò ÔÓ Ø Û Ò Ô Ù ÒÙ Ø ÒØ ØÓ ½¾
ÈÓÔÖ ÛÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÏÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò ÓµÞ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û ½»
ÏÝ ¾ ¹ Ø Ó ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ÈÒ ÛÝ Ù ÔÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Û ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ø Ó ÞÝÞÒ Ó ÞÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ Ö Þ Þ Þ Ò ÔÓÛØ ÖÞ Ò µ ÛÞÓÖ ÔÖÓ ØÓÛ Ò ØÓÒ ÔÖÓØÓØÝÔ ¾» Ö Ò Ö ¹ Ý Ò Þ Ô ÛÒ Ò ÞÛ Ó ÒÓ Ó Þ Ó ÜØ ÖÒ ÒØ Ü»»
Þ Á Í Ù ÞÓÖ ÒØÓÛ Ò ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ï Ö ØÛÝ ÑÓ Ó ÖÓÛ Û Ö ØÛÓÑ Ð ÝÑ Ó Ò ÔÓÞ ÓÑ ÛÝ Ù Ù ÞÔÓ Þ Ò ÓÛ Ù Ù ÛÝÑ ÔÓ Þ Ò º Ï Ù Ù ÓÛÝ ÞÓÖ ÒØÓÛ ÒÝ ÔÓ Þ Ò ÓÛÓ Ù ÝØ ÓÛÒ Ù Ù Ò Ô ÖÛ Ù Ø Ð ÔÓ Þ Ò ÔÓØ Ñ ÔÓ Þ Ò
Reguly. Wind = Weak Temp > 20 Outlook Rain PlayTennis = Y es
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ Ï ÖÙÒ Ð ØÓÖ Û Ý Ð ØÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ø Ø Û ÖØÓ ÃÓÒ ÙÒ ØÖÝ ÙØÙ Û ÖÙÒ Ó ÔÓÛ Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ ÔÓ ÝÒÞ Ó Ð ØÓÖÝ Û ÞÝ Ø ÝÞ Ö Ù ÞÛ Þ Ò Ø Þ Ò ÝÞ Ã Reguly ÔÖÞÝÔ ÝÛ Ò Ó ØÓÑ Ô Ò ÝÑ Û ÖÙÒ Ö Ù
LVI Olimpiada Fizyczna zawody III stopnia
LV Olimpiada Fizyczna zawody stopnia Zadanie 1 Piłka uderza w poziomą podłogę pod kątem α z prędkością v 0. Współczynnik tarcia piłki o podłogę jest równy µ. W jakiej odległości od miejsca pierwszego uderzenia
ØÓ ÔÖ Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ÈÖ Ó ÙÒÓ Þ Ò Ó Ò ÓÖ ØÓ ÔÖ Ù Ø Û ØÓÖ Ñ Ø Ö Ó ÖÙÒ ÛÝÞÒ Þ ØÝÞÒ Ó ØÓÖÙ ÔÓÖÙ Þ Ó ÙÒ Ù Ó ØÒ Óº ÛÖÓØ Û ØÓÖ Ó Ö Ð ÙÑÓÛÒ Ó ÖÙÒ ÖÙ Ù ÙÒ Ù Ó ØÒ
ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ ÈÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ ½¼»½ Ò ÖÞ Ã Ô ÒÓÛ ØØÔ»»Ù Ö ºÙ º ÙºÔл Ù Ô ÒÓ» ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Â ÐÐÓ ÃÖ Û ¾¼½ ÈÖ Ð ØÖÝÞÒÝ Ø ØÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ ÖÙ ÙÒ Û Ð ØÖÝÞÒÝ º ÊÙ ÙÒ Û ÑÓ Ñ Ñ Û ÔÖÞ ÛÓ Ò Û Ô ÛÒÝ Û ÖÙÒ Ö ÛÒ
ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØ Í Ê ÈÖÓ Ø Â Å¹ ÍËÇ Ê ÓÛ Ø Ô Û ØÑÓ ÖÝÞÒÝ ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ó Ñ ÞÒ Ï Ð Ô ØÑÓ ÖÝÞÒ º º ÖÒ ÏÝ ½ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Þ Ö Ò ÓÛ ÔÖÞ Þ Ð ØÖÓÒÝ Û Ö Þ Ò Ù ÔÖÓ
Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û Ø Ý Ò Ï ÒÓð Ð Ö Û Ø Ý Ò Þ ÓÛÙ ÔÓ Ó Ò Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ ÔÓÖÙ Þ Þ Ø Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÈÓ ÞÙ Û Ò Ð Ö Û Ø Ý ÒÝ Ï½ ¼ ½ ÓÐ Ò ÔÖÞÝÔ È Ö Ô ØÝÛÝ ðò Ð Ö Û Ø Ý Ò Û Ö ÞÓ Ò Û Ð Ñ ØÓÔÒ Ù ÔÓ Ð ÓÖ Û Ñ Ø Ö Â Ò Ð Ø Ó ÛÝ ÖÝ Ø Ø ØÖÙ Ò µ Ð Ö Û
Fizyka I (mechanika), rok akad. 2012/2013 Zadania kolokwialne 1
ÞÝ Á ¾¼½¾»¾¼½ µ ÃÓÐÓ Û ÙÑ ½ º½½º¾¼½¾ Ò Ö ÙÒ ÓÛ ÖÙÔ ÍÛ Ã Þ Ò ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Ò Ó Ó Ò ÖØ º ÈÖ ÔÓÛ ÒÒÝ Ý ÞÝØ ÐÒ ÓÐ Ò ÖÓ ÓÔ ØÖÞÓÒ Ø Ñ ÓÑ ÒØ ÖÞ Ñ Ý ØÓ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Ý ÒÝ Ð ÔÖ Û Þ Óº ÊÓÞÛ ÞÙ Þ Ò ÛÝÔÖÓÛ õ ÛÞ Ö Ó ÓÛÝ ÔÖ
A(T)= A(0)=D(0)+E(0).
2 ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÈÓ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÓÔ ÖØ Ø Ò ÔÖ Ù ÓÛÝ ÑÓ ÐÙ ÛÝ Ò Ó Þ ÖÞ Ò Ò ÖÙØÛ Û ÔÓÛ Þ Ò Ù Þ Þ Û Ñ Þ Ó Þ ÝÑ Û Ó Ö ÖÓÞ¹ Û Ò ÖÑݺ Å Û Ò ÔÖÓ ÖÝÞÝ Ó Ö Ø ÖÞ Ö ÝØÓÛÝÑ ÛÝÒ Þ Ö Ù ÓØ Û Ò Ö ÙÐÓÛ Ò ÞÓ ÓÛ Þ º ÙÒ ÓÒÓÛ
pomiary teoria #pomiarow N
ÞÝ Á Å Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Á Ã Ò Ñ ØÝ ÈÓÑ ÖÝ ÞÝÞÒ Ù ÒÓ Ø ËÁ Ý ÔÓÑ ÖÓÛ Ã Ò Ñ ØÝ ÔÓ ÔÓ Ø ÛÓÛ µ ÔÙÒ Ø Ñ Ø Ö ÐÒÝ Ù Ó Ò Ò Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ µ ØÓÖ ÔÖ Óð ð ÔÖÞÝ Ô Þ Ò ÊÙ ÒÓ Ø ÒÝ
ÃÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÓÓ Ø Ö Ô Ä Ö ÖÝ ÈÓÛØ ÖÞ Ò áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û È
áö Ò Ó Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Û Èʵ ÏÝ ½¾ ¹ ÓÒØ Ò ÖÝ Þ ÓÓ Ø ÊÓ ÖØ ÆÓÛ ¾¼¼ ½» ½ ËÌÄ ¹ Ø Ò Ö ÓÛ Ð ÓØ Þ ÐÓÒ Û ÓÒØ Ò ÖÝ Ø Ö ØÓÖÝ Ð ÓÖÝØÑÝ ÙÒ ØÓÖÝ Ó º ÙÒ Ý Ò µ ÔØ ÖÝ ÌÛÓÖÞ Ò ÙÒ ØÓÖ Û ÖÞÒ Ò ÔÓ Ø Û ØÒ Ý ÙÒ Ñ
Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ Å Ñ Å Å Å ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ç Ò ÔÓÛ Þ Ò ÙÞÒ ÒÝÑ ÑÓ Ð Ñ ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø Ø ØÞÛº ÑÓ Ð Åº ÓÒ Ï Þ ð Û Ø ÛÝÔ Ò ãþûý ä Ñ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÎ ÑÒ Ñ Ø Ö Û Ï Þ ð Û È ÖÛÓØÒ ÆÙ Ð Ó ÝÒØ Þ ÊÓØ Ð ØÝ ÓÖÑÓÛ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ç Ð ÙÔ ÖÒÓÛ ÖÓÑ ÈÓ ÙÐÐ Ø ÐÙ Ø Öµ Þ ÑÒ ÑÒ Ñ Ø Ö Ö Å ØØ Ö ¹ ŵ ÓÐ À Å Ñ Å Þ
System ALVINN. 30 Output. Units. 4 Hidden. Units. 30x32 Sensor Input Retina. Straight Ahead. Sharp Right. Sharp Left
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ System ALVINN ÄÎÁÆÆ ÔÖÓÛ Þ ÑÓ ÔÓ ÙØÓ ØÖ Þ Þ ÞÝ Ó ¼ Ñ Ð Ò Ó Þ Ò Sharp Left Straight Ahead Sharp Right 30 Output Units 4 Hidden Units 30x32 Sensor Input Retina ¾ www.wisewire.com,
ÈÖ ÔÖÞ Ð Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò È Û Ð Å Ð ÒÞÙ ÆÖ Ð ÙÑÙ ½ ½ Ò Ð Þ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ò ÛÝ ÞÝ ÓÛ ÙÒ Ý ÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Ð Ó Ë Ù ÖØ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ð ÄÓ ËØÓ
Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½ Ó ÖÛ ØÓÖ Ò Ø ÔÙ ÛÝ Ù Þ Ò Ð ½ ½ ¼ ½ Þµ ÔÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Ò º ãö Øäµ
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁÁ Ï Ð ÏÝ Ù ÛÓÐÙ Ï Þ ð Û Ø ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø ÈÓÑ ÖÝ Ù ØÙ Å Þ ÈÖ ÛÓ ÀÙ Ð ÈÖÞ ÙÒ Ù Þ ÖÛ Ò Â ð Ð ðþö Ó ð Û Ø Ó Ð Ó Ä Ò Û Ð Û Û Ñ Û Þ Ö ÈÃË ½¾ ¾ ¼ ½
Sieci neuronowe: pomysl
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ½ ØÓ Þ ÞÙÑ ÓÒ Ó õ ØÖ ÒÙ ÔÓÞ ÓÑ ÔÓØ Ò Ù Ð ØÖÝÞÒ Ó ËÝ Ò Ý ÓÑ Ö Sieci neuronowe: pomysl Æ Ð ÓÛ Ò Ñ Þ Ù Þ Ó Ó ÓÑ Ö Ò ÙÖÓÒÓÛÝ Axonal arborization Synapse Axon from another cell Dendrite
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ
Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ Ï Þ ð Û Ø µæ Ôº¾»
Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÙÑ Ò Ø Û Ð ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ½ Ð ØÓÔ ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ Ï Ô Þ Ò Ô ÖÝÑ ÒØÝ ¾ Ñ Ö ¾
ÏÝ Ô ÖÝÑ ÒØÝ Ï Ô Þ Ò Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÔÖÓ º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Óð Û Þ ÐÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ Ö ¾¼½ æ Ôº½» Ï Þ ð Û Ø Þ ð ãû Þ ÑÝä Ó Þ ÝÛ Ò Þ Ø Â Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÏÝ ¾ Ñ
Strategie heurystyczne
ËÞØÙÞÒ ÁÒØ Ð Ò ËÝ Ø ÑÝ ÓÖ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û Ð ÓÖÝØÑÝ ÈÖÞ ÞÙ Û Ò ÙÖÝ ØÝÞÒ ½ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÓÖÞÝ Ø Þ Ó Ø ÓÛ ÙÖÝ ØÝÞÒ ÙÒ Ó ÒÝ ËØÖ Ø ÒÔº Þ Ù Ó ÞØ ÖÓÞÛ Þ Ò Ó Ó Ø ÒÙ Ó ÐÙµ Ø ÒÙ Strategie heurystyczne ÈÖÞ ÞÙ Û Ò Ô
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½
Ö Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Â Ò ÃÖ Þ Û ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ ËÔ ØÖ ÈÖÞ ÑÓÛ ½ Ò ½ ¾ Ï Þ Û Ó Þ ½ Ç ÔÓÛ Þ Ó Þ ¾½ Ð Ó Ö ¼ ¾ ÈÖÞ ÑÓÛ Ï Þ ÓÖ Þ Þ Û ØÔÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Þ Ò Þ ÞÛÝÞ Ø ÔÓ ÖÙÔÓÛ Ò Ý ÓØÝÞÝ Ý ÔÓ Þ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Þ Û ÓÑ Û ÒÝ
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å
ÈÓÞÝØÝÛÒ ÔÖÝÑÓÛ Ò Ñ ÒØÝÞÒ Ó Ò ÖÞ Þ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÙØÓÑ ØÝÞÒÝ Ý Ø Ñ Û ÙØÓÖÝÞ Ù ÝØ ÓÛÒ Ê ÈÇÊÌ Ö Å Ö Ù Þ ÍÖ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº º Å Û Þ Å Ö È Û ÙÔ ÓÛ ÄÓ ÃÓ Ò ØÝÛ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ È Ý ÓÐÓ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò ËÔ Ý Û õò ÓÛÝ ØÖÙ ØÙÖ ÒÝ ÈÖ Ó ØÓÖ µ Å Ö Ò ÃÙ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Â Ò Å Ý ½ ØÝÞÒ ¾¼¼¼ ËÔ ØÖ ½ Ï ØÔ ½º½ Ì Þ ÔÖ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA
http://www.kgof.edu.pl 1 LVI OLIMPIADA FIZYCZNA ZADANIA ZAWODÓW I STOPNIA Rozwiązania zadań I stopnia należy przesyłać do Okręgowych Komitetów Olimpiady Fizycznej w terminach: część I do 5 października
ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ê ÒÓÖÓ ÒÓ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û º º º º
ÊÓÞÛ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ñ Û ÔÐ Û ÈÓÐ Ø Ò áð ÙØÓÖ Ò ÖÞ Ö ÞÓÛ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö º Ò º Ò ÖÞ ÖÞÝÛ ÃÓÒ ÙÐØ ÒØ Ñ Ö Ò º È ÓØÖ Ã ÔÖÞÝ Ð ØÓÔ ¾¼¼½ ÖÓ Ù ËÔ ØÖ ½ Ð Þ Ö ÔÖ Ý ¾ ËÝ Ø ÑÝ ÔÐ Û Ý Ø ÑÝ ÓÔ Ö Ý Ò ¾º½ ÊÓÐ Ý Ø Ñ Û
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º Â ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼¾ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º  ÞÙ ÞÛÝ Ý ÂÓ ÒÒ Ö ØÓÔ ÐÙÑ Ö Ø Ô ÓÒ Ö Û Ð Ù ÓÛ ÔÖ ÙÖ ÓÖ ÔÓ Ù ÙÛ ÐÒ Ò ½ º¼ º½ ¼
e 2 = 8, 3 e 1 = 5, 1, e 2 = i 3 + i
ÆÓØ Ø Ó Û Þ Þ Ò Ð ÞÝ Ð Öݺ Ä Ê Ò ½ ÞÝ Û ØÓÖ v ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ØÓÖ Û e e 2 Þ i) v = 2, 4 e = 5, 7 e 2 = 8, 3 6 9 ÓÖ Þ ii) v = 2 3, e = Ç ÔÓÛ õ i) Ø v = 2e e 2 ii) Ò º, e 2 =, Ò ¾ ÞÝ Û ØÓÖÝ
Agnieszka Pr egowska
Á Ò Ø Ý Ø Ù Ø È Ó Ø Û Ó Û Ý È Ö Ó Ð Ñ Û Ì Ò È Ó Ð Ñ Æ Ù Agnieszka Pręgowska È ØÝÛÒ Ø ÖÓÛ Ò Ù Ñ Ñ Ò ÞÒÝÑ Ö ÝÑ ÖØÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÓÑÓØÓÖ Ö º Ò º ÌÓÑ Þ ËÞÓÐ ÔÖÓ º ÁÈÈÌ Ï Ö Þ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½º Ï ØÔ ½ ¾º Ð Ø
ÈÖ ÔÖÞ Ñ Ó Ó ÒÝ Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÔÖ Ý ÈÖ Ø ÓØÓÛ Ó Ó ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö ÒÞ ÒØ Ø ÈÓ Ô ÖÙ Ó ÔÖ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ñ Ã ÙÒ ÆÖ ÙÑÙ ½ ½ Ê ØÓÖÝÞ ÔÖÓ Ö Ñ Û Û ÞÝ Ù Â Ú ÈÖ Ñ Ø Ö Ò ÖÙÒ Ù ÁÆ ÇÊÅ Ì Ã ÈÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ Ö Â Ò ÒÝ Å Ò Ö Þ Û Þ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Ä Ô ¾¼¼½ ÈÖ ÔÖÞ Ñ
Ñ ÒÒ Û È ÖÐÙ Ñ ÒÒ ÌÝÔ Ò ÈÖÞÝ Ò Þ Ò Ë Ð Ö Ð ÈÓ ÝÒÞ Û ÖØÓ Ð Þ ÐÙ Ò Ô µ Ì Ð Ø Ð Ä Ø Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ð Þ Ñ À Þ ± ±Þ ÓÖ ÖÙÔ Û ÖØÓ Ò ÓÛ Ò Ò Ô Ñ ÈÖÓ ÙÖ ² ²ÞÖÓ Ö
È ÊÄ ¹ ÞÝ Ó Ô Ò È ÖÐ ØÓ Ö Ò Ø ÙÑ Þݺ Ð ØÝ Ø ÖÞÝ Ó Þ Ð Û ÐÙ È ÖÐ Ø ÈÖ ØÝÞÒÝÑ ÂÞÝ Ñ Ó ÏÝ Û Ê ÔÓÖØ Û Ò º ÈÖ Ø Ð ÜØÖ Ø ÓÒ Ò Ê ÔÓÖØ Ä Ò Ù µº Â Ò Ð ÔÖ Û Þ ÛÝ Ñ Ó Ò Û È ÖÐ ØÓ È ØÓÐÓ ÞÒ Ð ØÝÞÒ ÊÓ Ø Ä Ò Û ØÝÞÒ
ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½ Ë ÓÒ ÞÒ Ñ ¾ Ò Ñ µ ÔÓÛÝ Þ ½¼ Šε ÖÞ Ù Å Î ½¼ ½ Ê Ø
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
ρ h (x 0 ) = M h h 3 ρ(x 0 ) = lim ρ h (x 0 )
ÏÝ ½ ÈÓ Ø ÛÓÛ ÔÓ Ñ Ò Ó ÖÓ Ó ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ø ÓÖ Ó ÖÓ Ó ½ ½º½ ÍÛ Ó ÔÓØ Þ Ó ÖÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÈÓ ÖÙ Ù Û Ó ÖÓ Ù ÝÑ ¾ ¾º½ ÇÔ ÖÙ Ù Û ÞÑ ÒÒÝ Ä Ö Ò ³ Û ÞÑ ÒÒÝ ÙÐ Ö º
¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä Ì º
Ç ÖÛ ØÓÖ ÙÑ ØÖÓÒÓÑ ÞÒ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÇÔØÝÑ Ð Þ Ñ ØÓ Ö Ù Ó ÖÛ ÓØÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÈÖ Ñ Ø Ö Å ÑÞ Ã ÖÓÛÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Ö º Ì Ù Þ Å ÓÛ ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý Ö ÌÓÑ Þ ÃÛ Ø ÓÛ ÈÓÞÒ ½ ¾ Å ÑÞ ÈÖ Þ Ó ÓÒÓ Û Ý Ø Ñ Ä
ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ø Ö Þ ÑÒ Ó Ô ÝØ ÓØÓ Ö ÞÒ º ËÓÐ ¹ Ò ÖÓ ÆÓ Ð ÛÖ Þ Þ ÅºË Ó ÓÛ Èº ÙÖ
ð Ö Ò ÙØÖ Ò Æ ÙØÖ Ò ÔÖÓ º Ö º Ð Ò Ö Ð Ô ÖÒ Þ Ø Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ï Þ ð Û Ø ÏÝ ½¾ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ÈÓÑ ÖÝ Ò ÙØÖ Ò Ç ÝÐ Ò ÙØÖ Ò ÈÖÓÑ Ò ÓØÛ ÖÞÓð ð ÔÖÞ Þ Àº ÕÙ Ö Ð Û ÖÓ Ù ½ º Ç ÖÝØ Æ ÙØÖ Ò ÙÖ ÒÙ Ñ ØÓÛ Ý ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò
Survival Probability /E. (km/mev)
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ ØÖÓÒÓÑ Ò ÙØÖ Ò µ Ô ÖÝÑ ÒØ Á Ù ÛÓÐÙ Û Þ ð Ö ½¼¼ Å Î ¹ Ì Î ½¼ ½ ØÑÓ ÖÝÞÒ Ñ ¾ Ð Ö ØÓÖÓÛ ÖÞ Ù Î ½¼ ¾¼ Æ ÙØÖ Ò ÌÝÔ Ô Ò Ö ËØÖÙÑ ðò ½ Å Î ½¼ ½¼ ½
ÉÙ ÕÙ ÔÖÙ ÒØ Ö Ø Ö Ô Ò Ñ ÇÛ Ù Þ ½ ½ Ó ÓÐÛ ÖÓ Þ Ö ÖÓÞØÖÓÔÒ Ô ØÖÞ Ó
ÈÓÐ Ø Ò Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Ð ØÖÓÒ Ì Ò ÁÒ ÓÖÑ Ý ÒÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÙØÓÑ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ËØÓ ÓÛ Ò È ÓØÖ Ë ÓÛ Þ ÒÙÑ Ö Ð ÙÑÙ ½ ¾ ¼ ÈÖ ÝÔÐÓÑÓÛ Ò ÝÒ Ö ÙØÓÑ ØÝÞÒ Ð Ö Ý Ø ÑÙ ÖÓ Óع Ñ Ö ÇÔ ÙÒ ÔÖ Ý ÔÖÓ º ÒÞÛº Ö º Ò º Þ ÖÝ Ð Ï Ö
Janusz Przewocki. Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle. Instytut Matematyczny PAN. Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11)
Janusz Przewocki Instytut Matematyczny PAN Zeroth Milnor-Thurston homology for the Warsaw Circle Praca semestralna nr 3 (semestr zimowy 2010/11) Opiekun pracy: Andreas Zastrow ÖÓØ Å ÐÒÓÖ¹Ì ÙÖ ØÓÒ ÓÑÓÐÓ
ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓ Ò ÝÔÐÓÑÝ ØÓÔÒ Ò Ù ÓÛ º º º º º º º º º º º º º º ½º ÁÒ ÓÖÑ Ó
ÙØÓÖ Ö Ø ÁÒÒÓÛ Ý Ò Ñ ØÓ Ý Ò Ð ÞÝ Ò Ð Ò ÓÛÝ ÓÖ Ð ÖÞÝ ÓÛÝ Û Ù Þ Ó ÓÒÝ Ö Â ÒÙ Þ Å Û Þ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ ÏÖÓ Û ¾¼½ ËÔ ØÖ ½ Ò Ó Ó ÓÛ ½º½ ÁÑ Ò ÞÛ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
1. Waciki do czyszczenia optyki 2. Isopropanol 3. SLED 4. Laser diodowy 1550nm 5. Mikroskop 6. Urządzenie do czyszczenia końcówek światłowodów
ÁÁ ÈÖ ÓÛÒ ÞÝÞÒ Á Í Ǿ ½ Ǿ ¹ ÇÔØÝÞÒÝ ÛÞÑ Ò Þ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ Ð Û Þ Ò Û Þ Ò Ø Ô ÖÝÑ ÒØ Ñ Þ Þ Þ ÒÝ ÓØÓÒ ÞÝ Ð Ö Û ÓØÝÞÝ Þ Ò ÓÖ Þ Û ÒÓ¹ Û ÒÓÛÝ Û Ø ÓÛÓ ÓÛÝ µ õö Û Ø º ÈÓ Ø ÛÓÛÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ Ù Ù Ó Û ¹ Þ ÐÒ Ó Ø Û ÒÓ»
Å Ø Ù Þ Ë ÓÖ ËØ ÐÒÓ Ñ Ò ÞÒ Ö ØÝ ÙÒ ÓÒ Ð ÞÓÛ ÒÝ Ò ÒÓÞ Ø Û ÑÓ Ð ÖÙ ÓÞ ÖÒ ØÝ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÈÖÓ º Ö º Å Ö ÔÐ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÛÝ ÓÒ Ò Û áöó ÓÛ ÓÛÝÑ Ä ÓÖ ØÓÖ ÙÑ ÞÝ ÓÐÓ ÞÒ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ È Æ Ï Ö Þ Û ½ Ñ ¾¼½¾ ÈÓ Þ ÓÛ Ò
ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ï ØÔ Ó Ó Ù ÓÑÔÙØ Ö Û ÊÓ ÖØ ÆÓÛ Å Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ Ó Ï Ö ÞØ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝÞÒÝ Û Ö Ñ Å Ó Þ ÓÛ Ñ ÍÑ ØÒÓ ÖÙÔ ½ ¹¾ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ ËÔ ØÖ ½ ÏÔÖÓÛ Þ Ò ½º½ Ù ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ Ö º Ò ÛÓÛ ÃÓÞ Þ ÒÒ ÙÛ ÞÖÓÞÙÑ Ò ÝÞÐ ÛÓ Û ØÖ Ô Ò ÔÖ Ý È ÒÙ Ñ Ö Å ÓÛ Å ØÝ Þ Ð ÞÒ Û Þ Û ÓÑ ÒØ ÖÞ Ø ÖÝÑ Ò Ò Þ ÔÖ Þ Û Þ Þ Ø
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø ÏÖÓ Û ÏÝ Þ ÞÝ Á ØÖÓÒÓÑ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ë Ø Ò ËÞÞ Ò Ï ÒÓ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÞÒ ÑÓ ÐÙ ÞÙ ÓÛ Ó ÀȹÁÁÁ ÀÝ ÖÓ ÝÒ Ñ Ó Ø ÀȹÁÁÁ Ð ØØ ÙØÓÑ Ø ÇÔ ÙÒ Ö º º ÃÓÞ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ È ÒÙ
Lech Banachowski. Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie
Lech Banachowski Rola Uczelni oraz metod i technik e-edukacji w uczeniu się przez całe życie Notka biograficzna Prof. Lech Banachowski jest kierownikiem Katedry Baz Danych i kierownikiem Studiów Internetowych
ÈÓ Þ ÓÛ Ò Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ Ø Ý Ò ÔÓ Ø Û ÒÓØ Ø Ó ÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÑÒ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð Ù Ð Ø ÛÝ Û Þ Ø ÓÖ ÞÝ Û ÙØÓÑ Ø Û ÓÖ Þ Ù ÓÛÝ ÓÑÔ Ð ØÓÖ Ûº ÝÑ ÓÖ Ó ÔÓ Þ
ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â Å Ö Ò ÃÙ ¹Ñ Ð Ù Ñ ÑÙÛº ÙºÔÐ ¾¼¼ Æ Ò Þ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÛ ÒÒÝ Ý Ô ÖÛ ÞÝÑ õö Ñ Ò ÓÖÑ ÓØÝÞ Ý ÔÖÞ ¹ Ñ ÓØÙ ÂÞÝ ÓÖÑ ÐÒ ÙØÓÑ ØÝ Â µº ÞÝØ ÐÒ ÓÑ Ø ÖÞÝ ÓÔÖ Þ Ð ØÙÖÝ ØÝ ÒÓØ ¹ Ø Ð Ý Ò Ó ÔÓ ÖÞÒ ÔÓÐ Ñ
ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Å Ö ÙÖ ¹Ë Ó ÓÛ ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÞÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÔÐ ÓÛÝ Â ÖÓ Û ÝÐ Ò Å ÓÖÞ Ø Ù Ò Å ÃÐ ÓÛ ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾ ÁÒ ØÝØÙØ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÍÅ Ë ÄÙ Ð Ò ¾¼½¾  ÖÓ Û ÝÐ
Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Ð ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖ Ý ÔÖÓ º Öº º Ò º ÊÝ Þ Ö ÓÖ Þ ÔÓÑÓ ÑÓØÝÛ Ó Ô Ò Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ ÛÝ ¾
ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì Ì ÀÆÇÄÇ Á ÆÇ ¹ ÈÊ ÊÇ ÆÁ Ѻ ºº áò Û Ý Ó ÞÞÝ Ï Á Ì Ä ÃÇÅÍÆÁà ÂÁ ÁÆ ÇÊÅ Ì ÃÁ Á Ä ÃÌÊÇÌ ÀÆÁÃÁ Ñ Ö Ò º Å ÖÓ Û Å ÁÒØ Ð ÒØÒÝ ËÝ Ø Ñ ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò ÃÐ Ý ÈÖÞ Ý ÈÓÞØÓÛÝ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÔÖÓ º Ö
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼
ÔÓÑÓÒ Þ Ó ÛÝ Ù Å Ø Ö Ý ÔÓ Ø ÛÝ Ø Ò ÔÐÒ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Û ÔÓÔÖ Û Ó ÞØ Ò ÓÖ Þ ÓØÛ Ö ÍÒÓÛÓÞ Ò Ò Ô ÐÒÓ Ó ÞÝ Ò ÖÙÒ Ù ÞÝ Û ÍÒ Û Ö ÝØ ÐÓÒÓ Ö Ñ ÒÓÛ ¼ º¼½º¼½¹¼¼¹¼ ½»¼ ¹¼¼ ÈÇÃÄ ÇÔ Ö Ý ÒÝ Ã Ô Ø ÄÙ Þ ÈÖÓ Ö Ñ ÏÞÑÓÒ
arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007
![arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007](/thumbs/102/154154138.jpg "arxiv: v1 [hep-th] 13 Dec 2007")
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ ÞÝ ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Ì ÓÖ ØÝÞÒ Ô ÓØÖ Ù ÓÛ arxiv:0712.2173v1 [hep-th] 13 Dec 2007 Ð ¹Ý Ù ÖÝ Ø Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ð ØÖ Ò Ø ÓÖÝ ÖÝ ÞØ Ý Ð ¹Ý Ù Û ØÓÔÓÐÓ ÞÒ Ø ÓÖ ØÖÙÒ ÖÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º
Fizyka I (mechanika), rok akad. 2011/2012 Zadania z kolokwium I
Fizyka I (echanika), rok akad. 0/0 Zadania z kolokwiu I Zadanie (zadanie doowe, seria II) Masy, i, połączone linkai zawieszone są na bloczkach jak na rysunku. Jakie uszą być spełnione warunki, aby ożliwe
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Dr Mariusz Maciejczak -doktor ekonomii, wykładowca na polskich i zagranicznych uczelniach, uczestnik projektów badawczych i aplikacyjnych, doradca i ekspert organizacji biznesowych,
Talk to Parrot. Buy a Dog. Go To Class. Buy Tuna Fish. Buy Arugula. Buy Milk. Sit Some More. Read A Book
Þ Ò ÞÒ Ð Þ Ò ÔÐ ÒÙ ÑÓ Ò Ø ÓÖ ØÝÞÒ ÖÓÞÛ ¹ Ã ÔÓ Ù Ù Ò Þ Ñ ØÓ ÔÖÞ ÞÙ Û Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ Â Ø ØÓ Ò Þ ØÓ Ò ÛÝ ÓÒ ÐÒ Û ÔÖ ØÝ Þ Ø Ò Ûº Ò ÓÑÔÐ ÓÛ ÒÝ ÓÔ Ø Ò Û ÛÝ Ó Û Ô ÞÝÒÒ ÛÞ Ð Ù ÈÐ ÒÓÛ Ò ÖÓÞ Þ Ò º ½ ÈÖÞÝ ÔÐ Ò Û Ö
ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ
È ÓØÖ ÙÞ Å Ð Ò Ù Ð Ñ Å Û ØÝÞ ¾¼¼ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ò ÔÖÞÝ Þ µº ÇÔ Ó ÔÐÙ Û Ò Û ÔÐ Ó ØÓÛ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ó Ó ÔÐÙ Û Ò Ø Ï Ê µº Æ ÖÞ Þ Ó ÛÝ ÖÝÛ Ò ÛÝ Û Ô Ñ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ó ÔÖÓ ÐÓÛ Ò Ó Ùº ÝÑÓÓÔ ÍÅĺ Ã Ï Ò µº ÈÓ Ø ÛÝ
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ Ö
Ø Ò Þ È ØÖ Û Þ ËÈ ÃÌÊÇËÃÇÈÁ ÊÇÌ ÂÆ Ï Ê Æ À ËÌ Ã Á ÃÇÅÈÄ ÃË Ï ÅÁ ËÌ ÃÇÏ À Ï Æ éïá ÃÇÏ Â ÏÁ ÅÇÄ ÃÍÄ ÊÆ Â ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò Û ÁÒ ØÝØÙ ÞÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÔÓ ÖÙÒ Ñ Óº Ö º Ò Û Ã Ð Ï Ö Þ Û Ñ ¾¼¼ ÅÓ ÑÙ Ñ ÓÛ ÂÙÖ ÓÛ
N j=1 (η M η j ) Û Ö η 1... η N Ö
Ù ÔØ Ð ØÝ ÌÓÔÓÐÓ Ð ØÛ Ø Ñ ÖÑ ÓÒ ÖÓÑ Ù Ò Ô ØÖ Ð ÔÖÓ ØÓÖ Ý ÃÖÞÝ ÞØÓ Ë ÙØ Ò ÖÑ ÒÝ ÆÁ Ñ Å Û Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÓÞÒ ÈÓÐ Ò ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ö Ê ÑÓ Ð Ò Ã ÖÐ Â Ò Ò Ä ÌÌÁ ¾¼½ ½» ¾ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÌÓÔÓÐÓ Ð ÒÓØ Ö Ð Ò Ò Ø
ÏÔÖÓÛ Þ Ò ÇÔ ÑÓ ÐÙ ÏÝÒ ÝÑÙÐ ÈÓ ÙÑÓÛ Ò Ä Ø Ö ØÙÖ Ë ÙØ ÔÖÞÝ Ø Ô Ò ÈÓÐ Ó ËØÖ Ý ÙÖÓ ÏÝÒ ÝÑÙÐ Ò ÔÓ Ø Û ÝÒ Ñ ÞÒ Ó ÑÓ ÐÙ ÌÓÑ Þ Ö Â Ò À Ñ Ö Æ ÖÓ ÓÛÝ Ò ÈÓÐ Ö À
Ò ÔÓ Ø Û ÝÒ Ñ ÞÒ Ó ÑÓ ÐÙ ÌÓÑ Þ Ö Â Ò À Ñ Ö Æ ÖÓ ÓÛÝ Ò ÈÓÐ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ ½ ¾ Ð ÔÖ Ý ÈÖÞ Ð Ð Ø Ö ØÙÖÝ ÈÓ Ø ÛÓÛ Ý ÑÓ ÐÙ Þ ÒÝ ÅÓ Ð ÞÓÛÝ ÊÓÞ Þ ÖÞ Ò ÑÓ ÐÙ ÞÓÛ Ó Ó Ò ÝÑÙÐ Ò Ð Þ ÛÖ Ð ÛÓ ÈÐ Ò ÔÖ Þ ÒØ Ð ÔÖ Ý ÈÖÞ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÙÞ ÅÍ Ã Â ÃÇ Æ Ê Á ÃË Ì ÌÇÏ ÆÁ Å áä ÆÁ Å Ì Å Ì Æ Ç Ï ÍÃ ÂÁ Á Ã Ï Û ØÐ Û Ô Þ ÒÝ ÓÒ Ô Ô Ó ÞÒÝ ÛÝ ÓÛ Ò Ø ØÝÞÒ Ñ Ò ÐÙ Û Þ ØÖÓÒÒ ÓÖÑÓÛ Ò Ó Ó ÓÛÓ Þ ÓÛ º Â Ó ÒØ Ö ÐÒ Þ Ø ÛÝ ÓÛ
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Mgr inż. Rafał Muniak -absolwent kierunku Ekonomia w Szkole Głównej Gospodarstwa Wiejskiego. Przed podjęciem pracy na PJWSTK pracował w firmie konsultingowej na stanowisku analityka
Notki biograficzne Streszczenie
9 788363 103095 Notki biograficzne Wojciech Borczyk (mgr inż.), absolwent kierunku Informatyka na Politechnice Śląskiej. Napisał doktorat z zakresu syntezy fotorealistycznych obrazów z wykorzystaniem modelu
Spis treści. 1 Wstęp 3
Ê ÛÒÓÛ Æ Û Ö ÝÒ Ñ ÞÒÝ ØÒ Ò ÔÖÓ ÝÑ Ù Þ Ð Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÆÓÛ ÈÓÐ Ø Ò ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½ pis treści 1 Wstęp 3 2 Gry stochastyczne wielogeneracyjne
t = pn T = pi ρ dv i dt = ρf i + p , i = 1, 2, 3 µ x i ρ( v i t + v v i div v = 0 ρ v + (v )v = ρf p = 0 j = ρf i p, i = 1, 2, 3 µ
ÏÝ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ Ê ÛÒ Ò ÙÐ Ö ÖÙ Ù ÞÝ Ò Ð Ô ½ ½º½ Ê ÛÒ Ò ÖÙ Ù ÞÝ Ò ÐÔ Û ÓÖÑ ÖÓÑ ¹Ä Ñ º º º º º º º º º ½º¾ Ê ÛÒ Ò À ÐÑ ÓÐÞ ØÖ Ò ÔÓÖØÙ Û ÖÓÛÓ Ð Ô ÝÒÙ Ò Ð Ô Ó º º º º º º ½º ÓÑÔÓÞÝ
ÈÓ Þ ÓÛ Ò ÈÖ Ò Þ Ó Ý Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò Û ÞÝ Ø Ñ Ó Ó ÓÑ Ø Ö ÛÓ Ñ ÒÒÝÑ ÙÛ Ñ ÔÖÞÝÞÝÒ Ý Ó Ö Ð Þ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Ûݺ ËÞÞ ÐÒ ÔÖ Ò ÔÓ¹ Þ ÓÛ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ º Ï ØÓÐ Ó
ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø ÛÓÛÝ ÈÖÓ Ð Ñ Û Ì Ò ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÃÐ Ý Ò ØÖÙÑ ÒØ Û ØÖÙÒÓÛÝ Û ÑÙÐØ Ñ ÐÒÝ Þ ÒÝ Þ ÞÞ ÐÒÝÑ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ñ ÖØÝ ÙÐ Ô ÞÞ ØÓ Ñ Ö ÃÖÞÝ ÞØÓ ÌÝ ÙÖ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º Ï ØÓÐ ÃÓ Ó Ï Ö Þ Û
ÈÇÄÁÌ ÀÆÁà ÏÊÇ ÏËÃ Ï Á Ä ÃÌÊÇÆÁÃÁ à ÖÙÒ ËÔ ÐÒÓ ÙØÓÑ ØÝ ÊÓ ÓØÝ ÊÓ ÓØÝ ÈÊ ÈÄÇÅÇÏ Å ÁËÌ ÊËà ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Þ ÓÛ Û Ø ÖÓÛÒ Ù Ñ Ó ÖÓ ÓØ ÑÓ ÐÒ Ó ÁÑÔÐ Ñ Ø Ø ÓÒ Ó Ú ÓÖ ÓÒ Ñ ÐÐ ÑÓ Ð ÖÓ Óس ÓÒØÖÓÐ Ö ÙØÓÖ Ö Ù Þ Å Ø Ö ÈÖÓÛ
ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π 0 ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØ٠̾à ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº
ÊÓÞÔÓÞÒ Û Ò Ð ØÖÓÒ Û Ñ ÞÓÒ Û π ÔÖÞÝ Ò Ù Ó Þ ÝÛ Ò ÙØÖ Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ó Ø ØÓÖ Û Ó¹ Ö ÓÒÓÛÝ ÓÖ Þ Ð Ó Ø ØÓÖ Ô ÖÝÑ ÒØ٠̾à ÌÓÑ Þ Ï ÁÒ ØÝØÙØ ÞÝ Â ÖÓÛ Ñº À ÒÖÝ Æ ÛÓ Ò Þ Ó ÈÓÐ Ñ Æ Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò
¾
ÞÝ Û ÓÒÓÑ Ñ ØÓ Ý ÑÓ Ð ÃÖÞÝ ÞØÓ ÓÑ ÒÓ ÈÓÐ Ø Ò áð  ÖÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø áð à ØÓÛ ¾¼½ ¾ ËÔ ØÖ ½ ÈÖÓÐÓ ¾ Å ØÓ Ý ÔÖ ØÝÞÒ ¾º½ Ï ØÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ä Ø Ö ØÙÖ º
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò Æ
Ã Ø ÖÞÝÒ Â ÑÖÓÞ ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÏÈÁË ÆÁ Ï ÃÊ ÂÇ Ê Æ ÍÃÇÏ Á ÄÇÆÇ ÊËÃÁ ËÌÍ Á Á ÄÁÇÌ ÃÇ Æ Ï À ØÓÖ ÏÓ Û Þ Å Ð ÓØ ÈÙ Ð ÞÒ Ï Å Èµ Ѻ ݹ ÔÖ Ò ÆÓÖÛ Û ÐÓÒ ÖÞ ½ Öº Ý Û Ñ ÓØÛ ÖØÓ Ô ÖÛ Þ ÔÙ Ð ÞÒ ÛÝÔÓ
ÃÓ Ý ÀÙ Ñ Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÝ Þ Ò º º Ð ÓÖÝØÑ Ñ ¹Ñ Ü ÖÝ ØÝÔÙ ÛÝ Ö»ÔÖÞ Ö ÖÞ Û Æ ¹ÇÊ ÏÝ ÞÙ Û ÛÞÓÖ Û Ð ÓÖÝØÑ ÃÒÙØ ¹ÅÓÖÖ ¹ÈÖ ØØ ÈÖÞ ÞÙ Û Ö Û ÈÖÓ ÙÖÝ Ù Ó
Ï ØÔ Ó ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Å ØÓ Ý ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ÔÓØÓ ÙÒ Ýݵ Å Ö ÃÙ ¾¼¼»¾¼½¼ ËÔ ØÖ Ï ØÔ ÈÓ Ø ÛÝ ÞÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ ½ ÓÑÔÓÞÝ ÔÖÓ Ð ÑÙ Û ÖÝ ÖÓÞÛ Þ ¾ ËØÖÙ ØÙÖÝ Ý Ù ÓÛ ØÖ Þ ÔÓÑÓ Ý ÈÖÓ ÙÖÝ ÛÝ ÞÝ ÖÞ Û Ó ØÖ ÓÒ ØÖÙ ÔÖÓ Ö Ñ ØÝÞÒÝ ÅÓ
Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½
Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ ÍÆÁÏ ÊË Ì Ì ÅÁÃÇ Â ÃÇÈ ÊÆÁÃ Ã Þ Ñ ÖÞ Åº ÓÖ ÓÛ Ê ÓÛ ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ Û Ð Ó ÞÓÛ ÎÄ Áµ ÌÓÖÙ ½ Ê ÒÞ Ò ÈÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÃÙ ÈÖÓ º Ö º Â Þ Å ÓÛ ÓÔÝÖ Ø Ý ÏÝ ÛÒ
x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3
ÏÝ ¼ ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ö ÙÒ Ù Û ØÓÖÓÛ Ó À ÒÖÝ ÃÙ Ð ËÔ ØÖ ½ ÈÖÞ ØÖÞ Ù Ð ÓÛ ¹ Û ØÓÖ ÔÓ Ó Ò ½ ¾ Ì Ò ÓÖÝ ÖÞ Ù ÖÙ Ó ¾º½ Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò ÓÖ ÖÞ Ù ÖÙ Ó Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ù Þ ÖØ Þ Ñ ¾º¾ ÈÖÞÝ Ý Ø Ò ÓÖ Û ÖÞ Ù ÖÙ Ó º º º º º
µ(p q) ( q p) µa B B c A c
Ä Ø ¼ Û ØÔ Ó ÑØÑØÝ ½ ¼º½º ËÔÖÛõ ÞÝ Ò ØÔÙ ÞÒ ÐÓÞÒ ØÙØÓÐÓÑ (p q) ( p q) (p q) ( p q) (p q) ( q p) [(p q) p] qº ¼º¾º ÍÞ Ò ÙÒØÓÖÝ ÐØÖÒØÝÛÝ ÓÒÙÒ Ñ Û ÒÓ ÞÒÓ ÓÖÞ ÔÖÞÑÒÒÓº ÞÝ Ø Ø Û ÔÖÞÝÔÙ ÙÒØÓÖ ÑÔÐ ¼º º ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ
N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}
![N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}](/thumbs/94/120142288.jpg "N + R C. A T A 1 A 2 I I n. [a;b] (a;b] [a;b) m,n m,n = {m,m + 1,...,n 1,n}")
ÏÝ Þ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓРӹ ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ ØÓ ÓÛ Ò Ý Ö ØÒ Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÀÙÖÛ ØÞ ¹Ê ÓÒ Û ÓÑÔÖ Ö ÓÒ ØÖÙ ÓÒØÙÖ Û Ó Ö Þ Û ÑÓÒÓ ÖÓÑ ØÝÞÒÝ Ñ Ö Ö Ù Þ Â Þ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º
ÊÇ ÆÁÃ ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê ÆÃ ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û Þ
ÊÇ ÆÁà ÄÍ ÍËÃÁ ÌÓÑ ¾ Þº ¾ ¾¼½ ÒÒ ÑÖ ÈÊ ÃÊÇ Ê ÆÁ ÅÇÆËÌÊÍÅ Ê Æà ÆËÌ ÁÆ ÈÇÏÁ á Á Å Ê ÏÇÄÄËÌÇÆ Ê Ì ËÀ ÄÄ ÊÙ Þ º... ÌÓ Ý ½ ÙÒØ ÔÖÞ Û Ó Æ ØÙÖÞ Â ÒÝÑ Þ Ó Û ÞÒÝ ÔÖ Ò Þ ÓÛ Ø ÙÛÓÐÒ Ò Ó Ý Ø ØÙ Ò ØÙÖݺ ÏÝÖ ÓÒÓ Ò Ö
ROCZNIK LUBUSKI Tom 35, część 2
ROCZNIK LUBUSKI LUBUSKIE TOWARZYSTWO NAUKOWE ROCZNIK LUBUSKI Tom 35, część 2 WSPÓŁCZESNA WIZJA MIASTA W TEORII I PRAKTYCE SPOŁECZNEJ Pod redakcją Żywii Leszkowicz-Baczyńskiej Justyny Nyćkowiak Zielona
ÑÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Å ÈÓ ÞÙ Û Ò Ý Ò Û Ò Ð Å Û Û ÞÝ Ø ÑÓ ÞÐ ÛÝ Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò ÑÑ ÔÓÞÝØÓÒÝ ÒØÝÔÖÓØÓÒÝ ººº µ ÑÓ Þ ÑÝ Ø Þ ÞÙ ð Ò ÙØÖ Ò º º ÖÒ ÏÝ ÁÁ ½
Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ ÁÁ Æ ÙØÖ Ò Û ÒÓð ËÙÔ Ö Ã Ñ Ó Ò Á Ù ÑÒ Ñ Ø Ö Ò Ð Å ÈÓ ÞÙ Û Ò Ý Ò Û Ò Ð Å Û Û ÞÝ Ø ÑÓ ÞÐ ÛÝ Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò ÑÑ ÔÓÞÝØÓÒÝ ÒØÝÔÖÓØÓÒÝ ººº µ ÑÓ Þ ÑÝ Ø
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼
Â Ù Ä ÔÓÐÓÒÝ ÑÓ Ð ÒÙѹ ÓÖ ÓÒ ÑÓ Ð ÔÓ Ö ÛÒ ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º À ÒÖÝ ÖÓ Þ ÃÖ Û Ñ ¾¼½¼ Ö ÞÓ Ö ÞÒ Þ Ù ÑÓ ÑÙ ÔÖÓÑÓØÓÖÓÛ ÔÖÓ ÓÖÓÛ À ÒÖÝ ÓÛ ÖÓ Þ ÓÛ Þ Þ Ñ ÔÓ Û ÓÒÝ Þ ÒÒ Ö Ý ÝÞÐ Û ÙÛ º Þ
Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ Ó Þ Ò ÝÞÐ ÛÓ ÓÖ Þ Û Þ Û Ù Þ ÐÓÒ Ñ ÔÓ Þ Ô Ò ÔÖ Ý
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ñº Ñ Å Û Þ Û ÈÓÞÒ Ò Ù ÏÝ Þ ÞÝ Å Ö ÒØ Ê ÞÓÒ Ò Û ÐÓ ÓØÓÒÓÛÝ Û Ù ØÖ ÔÓÞ ÓÑÓÛÝ ÈÖ Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Öº º ÊÝ Þ Ö È ÖÞÝ Ó ÈÓÞÒ ¾¼½¾ Ë Ñ Ö ÞÒ ÔÓ Þ ÓÛ Ò È ÒÙ ÈÖÓ ÓÖÓÛ ÊÝ Þ Ö ÓÛ È ÖÞÝ ÑÙ Þ
ROCZNIK LUBUSKI Tom 30, część 2
ROCZNIK LUBUSKI LUBUSKIE TOWARZYSTWO NAUKOWE ROCZNIK LUBUSKI Tom 30, część 2 RÓŻNORODNOŚĆ KAPITAŁÓW W NOWEJ RZECZYWISTOŚCI SPOŁECZNEJ Z DOROBKU ZIELONOGÓRSKIEGO ŚRODOWISKA SOCJOLOGICZNEGO Pod redakcją
º º ÖÒ ÏÝ Á ½
ÏÔÖÓÛ Þ Ò ÛÝ Ù Ð Ø Ö ØÙÖ Þ Ñ Ò ØÔº ÔÐ Ò Þ Ø ØÖÓ ÞÝ ÔÖÓ º Ö º º º ÖÒ Þ Ø Ç Þ ÝÛ ðò ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Á ÏÝ Á ÃÖ Ø ØÓÖ ÖÓÞÛÓ Ù ÞÝ Þ Ø ÅÓ Ð ËØ Ò Ö ÓÛÝ ¾¼½ Ï Þ ØÙ ÐÒ ÔÝØ Ò Ò Ø Ö ÅÓ Ð ËØ Ò Ö ÓÛÝ Ò Ò Ñ Ó ÔÓÛ Þ º º
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û
Ç ÐÒ ÒÖ ½ DoCelu Ä ØÓÔ ¾¼¼½ º º º Ó Þ ÑÝ Û ÞÝ Ý Ó ÒÓ Û ÖÝ ÔÓÞÒ Ò ËÝÒ Ó Ó Ó Ñ Ó ÓÒ Ó ÓÖÓ Ò ÑÝ Ó ÛÝÑ Ö Û Ô Ò ÖÝ ØÙ ÓÛ º º º ÓÖ Þ Ð ÐÙ Á ÞÒ Ò Ó Ù ÝÙ Ò Û Þ Ò Þ Ñ Ð ÞÖ ÒÝ Ò ÖÓ Û Ý Þ ÙÞÝ ÑÓ¹ ÖÞ Ð º º º Ý ØÓ
KAPITAŁ LUDZKI NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI UNIA EUROPEJSKA EUROPEJSKI FUNDUSZ SPOŁECZNY
KAPITAŁ LUDZKI NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI UNIA EUROPEJSKA EUROPEJSKI FUNDUSZ SPOŁECZNY ÈÖÓ Ø ÔÒº ÏÞÑÓÒ Ò ÔÓØ Ò Ù Ý ØÝÞÒ Ó ÍÅÃ Û ÌÓÖÙÒ Ù Û Þ Þ Ò Ñ Ø Ñ ØÝÞÒÓ¹ÔÖÞÝÖÓ Ò ÞÝ Ö Ð ÞÓÛ ÒÝ Û Ö Ñ ÈÓ Þ Ò º½º½ ÈÖÓ
S V. ω = yzdx+(xz +z 2 )dy +yzdz, (T, S) (p,v) = 1. = a V, = 3bT2. k T 1 V. α p 1 V V,N U,N U,V V,N S,N S,V
Ì ÊÅÇ Æ ÅÁà Á Á à ËÌ Ì ËÌ Æ ÈÖÓ Ð ÑÝ Ó ÓÑÙ Ò ÓÐÓ Û Þ Ñ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¼ ÈÓ Þ Ð ÔÓ Ó Ò ÒØÖÓÔ S = S(U,V,N Ö ÛÒ ( S = 1 ( S U T, = p ( S V T, N V,N U,N U,V = µ T, ØÓ ÔÓ Ó ÒÝÑ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U = U(S,V,N ( ( U U
Notka biograficzna Streszczenie
Notka biograficzna Dr Mariusz Maciejczak -doktor ekonomii, wykładowca na polskich i zagranicznych uczelniach, uczestnik projektów badawczych i aplikacyjnych, doradca i ekspert organizacji biznesowych,
Ç Û Þ Ò ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ñ Ò Ò Þ ÖÓÞÔÖ Û ÞÓ Ø Ò Ô Ò ÔÖÞ Þ ÑÒ ÑÓ Þ ÐÒ º Ø ÈÓ Ô ÙØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Ç Û Þ Ò ÔÖÓÑÓØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Æ Ò ÞÝÑ Ó Û Þ Ñ ÖÓÞÔÖ Û Ø ÓØÓ
ÍÒ Û Ö ÝØ Ø Ï Ö Þ Û ÏÝ Þ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ Å Ò Ø Â ÒÓÛ Ò ÖÓÛ Ò ÙØÓÑ Ø Û Þ ÓÛÝ Ð Ý Ø Ñ Û Þ Ù ÖÞ ÞÝÛ Ø Ó ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ ÈÖÓÑÓØÓÖ ÖÓÞÔÖ ÛÝ Óº Ö º ÏÓ È ÒÞ ÁÒ ØÝØÙØ ÈÓ Ø Û ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÈÓÐ Ñ Æ Ù Ñ ¾¼¼ Ç Û Þ Ò
x a lim (x n) 2 = lim x n sgn(x) =
½ ÙÒ Ö Ò Ý Ó Ö Ö ÙÑ ÒØ Û Þ Ö Û ÖØÓ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ ÙÒ Ð ¹ Ò ÓÛ Û Ö ØÓÛ Û ÐÓÑ ÒÝ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ó ¹ ÛÖÓØÒÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ º ½º½ ½º½º½ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð ÓÔÓÛ Þ Ï ÖØÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð Ö ÙÑ