Spis treści. 1 Wstęp 3

Transkrypt

1 Ê ÛÒÓÛ Æ Û Ö ÝÒ Ñ ÞÒÝ ØÒ Ò ÔÖÓ ÝÑ Ù Þ Ð Ù ÊÓÞÔÖ Û Ó ØÓÖ Ò Ô Ò ÔÓ ÖÙÒ Ñ ÔÖÓ º Ö º Ò ÖÞ ÆÓÛ ÈÓÐ Ø Ò ÏÖÓ Û ÁÒ ØÝØÙØ Å Ø Ñ ØÝ ÁÒ ÓÖÑ ØÝ ÏÖÓ Û ¾¼¼ ½

2 pis treści 1 Wstęp 3 2 Gry stochastyczne wielogeneracyjne Istnienie stacjonarnej równowagi Nasha w grze ekspłoata(ji zasobów Jednoznacznoś(' równowagi Nasha w grze pomocniczej Istnienie równowagi Nasha w grze z nieskończonym horyzontem Istnienie i jednoznacznoś(' równowagi Nasha w grze ze skończonym horyzontem czasowym Aproksymacja równowagi Nasha w grze symetrycznej eksploatacji zasobów Pomocnicza gra jednokrokowa Główne rezułtaty Przykład Gra eksploatacji zasobów bez ograniczeń 4.1 ymetryczna równowaga Nasha w grze z ogranicze-niami 4.2 ymetryczna równowaga Nasha w grze bez ograniczeń. 4.3 Przykład... 5 Asymptotyczne własności równowag Nasha w dyskontowanych grach stochastycznych 5.1 Asymptotyczna równowaga w grze ze skończonym horyzontem czasowym 5.2 Asymptotyczna równowaga w grze z nieskończonym horyzontem 5.3 Przykład

3 ÊÓÞ Þ ½ Ï ØÔ Ì ÓÖ Ö Ø Þ Þ Ò Ñ Ø Ñ ØÝ Þ ÑÙ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Û Û ÔÖÞݹ Ô Ù Ý Þ Ó Þ ÓÒ Ø ÒØ Ö Ûº Ò Ù Þ ÖÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ÓÒÓÑ Ó¹ ÐÓ Ó ÓÐÓ Ø Û Ò ÓÖÑ ØÝ º ÇÔ Ù ÓÒ ÒØ Ö Ñ ÞÝ Ö Þ Ñ Ø ÛÔ ÝÛ Þ ÓÛ Ò Ò ÖÓ ÓÛ Óº ÈÓÒ Û Û Ö Ò ÓÓÔ Ö Ý ÒÝ Ö Þ Þ ÞÛÝÞ Ò ÑÓ ÔÖÞ Û Þ ØÖ Ø ¹ ÛÓ ÖÝÛ Ð ÒØ Ö Ñ ÞÝ Ö Þ Ñ Ñ ÛÔ ÝÛ Ò ÛÝÔ ØÝ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Ö ÞÝ ÞÓ Ø Ó ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ ÔÓ Ö ÛÒÓÛ º Â Ø ØÓ Ù ØÖ Ø Ö ÞÝ Ó Ø Ö Ó Ó ØÔ ØÛÓ ÔÖÞ Þ ÔÓ ÝÒÞ Ó Ö Þ Ø Ò ÓÔ ÐÒ º ÈÓ ØÓ ÞÓ Ø Ó ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÓÙÖÒÓØ ½ º ÊÓÞÔ ØÖÝÛ ÓÒ Û ÛÞ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÓÔÓÐÙ ÞÝÐ ÖÓÞÛ Ö ÛÙ¹ Ó Ó ÓÛ º ÈÓ Ö ÛÒÓÛ ÞÓ Ø Ó ÖÓÞ Þ ÖÞÓÒ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐ ÓÔÓÐÙ ÔÖÞ Þ ÂÓ Ò Æ Ø Þ Ó Ò ÞÛ ÛÝÛÓ Þ ÔÓ Ö ÛÒÓÛ Æ º ÈÓ ÖÝ ØÓ ØÝÞÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ë ÔÐ Ý º Ï ÖÞ ØÓ ØÝÞÒ Ý Ö Þ ÔÓ ÑÙ ÝÞ Û Ù Ø ÐÓÒÝ Ø Ô º ÝÞ Ö Þ ÙÞ Ð Ò ÓÒ Ø Ó ¹ ØÙ ÐÒ Ó Ø ÒÙ ÖÝ Ø ÖÝ Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓ Ó Þ Þ Þ ÓÖÙ Ó ÞÓÒ Óº ØÙ ÐÒÝ Ø Ò Ø ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Þ Ð Ò Ó ØÓÖ ÖÝ ÞÝÐ Ó Ø Ò Û ÖÝ Ù Û ÝÞ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Ö ÞÝ Û ÛÞ Ò ÞÝ Ø Ô º Ë ÔÐ Ý ÖÓÞÔ ØÖÙ ÖÝ Ó ÙÑ Þ ¹ ÖÓÛ Û Ø Ö ÓÛ Ø ÛÝÔ Ø Ð Ö Þ Ø ÓÞ Û Ò Û ÖØÓ ÙÑÝ Þ ÒÒÝ ÛÝÔ Ø Þ Ý ÓÒØÓÛ ÒÝ Ò ÑÓÑ ÒØ ÖÓÞÔÓÞ Öݺ Ï ÔÖ Ý Ë ÔÐ Ý ÛÝ Þ ÒÓ Ø¹ Ò Ò Ø ÓÒ ÖÒÝ ØÖ Ø ÓÔØÝÑ ÐÒÝ º Ï ÖÓ Ù ½ Ò ¾¾ Þ ÑÓÛ ÑÓ Ð Ñ Þ Ý ÓÒØÓÛ Ò ÖÝ ØÓ ØÝÞÒ Ó ÙÑ Ò Þ ÖÓÛ Û Ø Ö Ò Þ Ö Ø Ò Û Ò Ð Ñ ØÝÐ Ó Ó Þ Ò Û Ð Ð ¹ Ñ ÒØ Ûº ÏÝ Þ ÓÒ ØÒ Ò Ö ÛÒÓÛ Æ Þ Û ¹ Ð ÝÞÒÝ ÓÛ Æ Ö ÛÒ Ò ÓÔØÝÑ ÐÒÓ ÐÐÑ Ò º Ï ÛÓ ÔÖ Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ñ ÞÝ ÒÒÝÑ ÌÛ Ö Þ Ò Ã ÙØ Ò Ó Ó ÔÙÒ Ø ÝÑ º Ð Þ Ý ÓÒØÓÛ ÒÝ Ö ØÓ Øݹ ÞÒÝ Ó ÙÑ Ò Þ ÖÓÛ Ó Þ ÓÖÞ Ø Ò Û ÑÓÝ ÓÒØ ÒÙÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ØÒ Ò Ö ÛÒÓÛ Æ Ò Û Ø Û Þ ÓÖÞ ØÖ Ø ÞÖ Ò ÓÑ ÞÓÛ ÒÝ µ Û Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ø ÓØÛ ÖØݺ È ÛÒ ØÛ Ö Þ Ò Ó ØÒ Ò Ù ǫ ¹ Ö ÛÒÓÛ ÞÓ Ø Ý ÙÞÝ Ò Þ ÔÓÑÓ Ý Ö ØÝÞ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û Û ÔÖ ½ ¾ º Ë Ò Ð Ý Ö Ð Ø ÖÝ ØÒ Ò Ö ÛÒÓÛ Ù Ó ÛÝ Þ º Ï Ò Ö Þ Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ØÖ Ø Ö ÞÝ Þ ¹ Ð Ó ØÓÖ Öݺ Ø Ñ ÔÓ Ø ØÖ Ø Ø Ö ÞÓ ÓÑÔÐ ÓÛ Ò Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ù Ó

4 ÔÖÞÝÔ Ù Þ Ý ÓÒØÓÛ ÒÝ Ö Ó ÙÑ Þ ÖÓÛ Û Ø Ö Ù Ó ÛÝ Þ ØÒ Ò Ö ÛÒÓÛ Ø ÓÒ ÖÒ º ÈÖÓ Ð ÑÓÛ Ø ÑÙ ÔÖÞÝ Ð Ð Å ÖØ Ò È ÖØ Ö Ø Ý º Á ØÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Û ÖÞ Ó ÙÑ Ò Þ ÖÓÛ Þ ÓÖÙ Ø Ò Û ÑÓÝ ÓÒØ ¹ ÒÙÙÑ ÛÝ Þ ÒÓ ÓÔ ÖÓ Û ÔÖ Ý À ÑÑ Ð Ö È ÖØ Ö Ø Ý³ Ó Ê Ú Ò Î Ò¹ ÎÐ ¾ º ÃÓÐ ÒÝÑ ÔÖÞÝ Ñ Ø ÔÖ È ÖØ Ö Ø Ý³ Ó Ë Ò ³Ý º Ó ÓÒÓ ØÙ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ Ø Þ ØÓÑÓÛ ÓÖ Þ Ò Þ Ð Ý ÓÒÓ Ó ØÙ ÐÒ Ó Ø ÒÙ ÖÝ ÝÒ Ó Ù Ù ÝÞ Ö Þݺ Ó ÓÒÓ ÝÞ Ö ÞÝ ÔÓ Ó Þ Þ Þ ÓÖÙ Ó ÞÓÒ Óº ÍÓ ÐÒ Ò ÔÓÛÝ Þ Ó ÑÓ ÐÙ ÞÒ Ù Û ÔÖ Ý ÆÓÛ ¾ º ÈÖ Û¹ ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ Ø Ó ÞÓÒ ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Ñ Ö Þ ØÓÑÓÛÝ Þ Û Ô ¹ ÞÝÒÒ Ñ Þ Ð ÒÝÑ Ó Ø ÒÙ ÖÝ Ö Þݺ ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ò Ó Þ Ò ÛÝÑ ÖÓÛ Û Ö ÌÛ Ö Þ Ò Ã ÙØ Ò Ó ÌÛ Ö Þ Ò Ä ÔÙÒÓÛ Ó Ó Ö Þ Û ØÓÖÓÛ Ñ ÖÝ Þ ØÓÑÓÛ ÛÝ Þ ÒÓ ØÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Æ º ËÞÞ ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ñ Ö Ò ÓÓÔ Ö Ý ÒÝ ÖÝ ÙÔ ÖÑÓ ÙÐ ÖÒ º ÈÖÞÝ ÔÓ¹ ÑÓÝ ÛÝÒ Û ÔÖ Ý Å Ð ÖÓÑ ÊÓ ÖØ ÑÓ Ò Þ Û Ý Ð ÝÞ Û Ö ÝÒ Ñ ÞÒÝ Ó Ø ÓÒ ÖÒÝ ØÖ Ø Ý ÙÒ Ñ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÝÑ º ÖÝ Ù¹ Ô ÖÑÓ ÙÐ ÖÒ ÖÓÞÛ Ò Ý Ý ÔÖÞ Þ Ñ Ö ÙÖØ Ø ½ ÆÓÛ º ÁÒÒ ÔÓ Ð Ö ØÓ ØÝÞÒÝ Ø Ð Ö ÔÐÓ Ø Þ Ó Ûº Ì Ð ÑÓ Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÔÖÓ Ð Ñ ØÝÔÙ ÐÓ Ò Ó Ó Ò Û ÐÒ Ó ÙÖÓÛ ÓÒ ÙÑÓÛ Ð ÞÓ Ø Û Ò Ò ØÔÒÝ Ó Ö º ÖÝ Ø Ó ØÝÔÙ ÑÓ Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐÓ Ø Ð Û ÞÝ ÔÓ ÓÛÝ ÖÝ º ËØ Ò ÖÝ ÓÞÒ Þ Ý ÐÓ Þ ¹ Ó Û Ø ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Þ Ð Ò Ó ÐÓ ÔÓÞÓ Ø Û ÓÒ Ó ÙÖÓÛ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Ó Ö ¹ º ÅÓ Ð ÔÓ ÓÛÙ ÖÝ Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ Ð Ä Ú Ö Å ÖÑ Ò ¾ º ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ ¹ Ý Ó Þ Ø Ô ÓÒ Ø ÖÑ Ò ØÝÞÒ ÙÒ ÔÖÓ Ù º Ï Ò Û ÒÓ Ø ÙÒ Ý Ó ÔÖÞ Þ ÓÒ Ð Ù Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ Û ÔÙÒ Þ ÖÓÛÝÑ Û Ô ÛÒÝÑ ÔÙÒ Ó Ó ØÒ Ó Ø º ÈÖÞ Ò ØÔÓÛ Ó Û Ø ÔÓ ÔÖÞÝ ÑÒ ÞÝ Þ ¹ Ó ÔÖÓ Ù ÔÓÛÓ ÓÛ ÞÛ Þ Ò ÐÓ Þ Ó Û Û Ò ØÔÒÝÑ Ó Ö Ò ØÓÑ Ø ÔÖÞÝ Û ÞÝ Þ Ó Ò ØÔÓÛ Ô ÐÓ Þ Ó Ûº Ö Þ Ó ÐÒ ÔÓ Ø Ø ÙÒ ÛÔÖÓÛ Þ Ð ÙØØ ËÙÒ Ö Ñ ¾½ Ò ØÓÑ Ø ØÓ ØÝÞÒÝ Ó ÔÓÛ Ò Ø ÙÒ Þ ØÓ ÓÛ ÒÓ Ñ ÞÝ ÒÒÝÑ Û ÔÖ Ý Å ÙÑ Ö ËÙÒ Ö Ñ ÓÖ Þ ÙØØÝ ËÙÒ Ö Ñ ¾¼ º Ï ÖÞ Ä Ú Ö Ó Å ÖÑ Ò ÔÓ Û ÔÖÓ Ð Ñ ØÖ Û Ô Ø¹ Ò Ò º Ë ÓÒ ÙÑÓÛ Ò Þ ÝØ Ñ ÐÓ ÙÖÓÛ ÔÓÛÓ Ù ÞÑÒ Þ Ò ÞÝ Û Ö Þ ÔÓÛÓ Ù ÛÞÖÓ Ø ÞÝ Û ÔÖÞ ÛÒ Ûº Æ ØÓÑ Ø ÔÓ Ö Ò Þ ÝØ Ù ÐÓ ÙÖÓÛ ÔÓÛÓ Ù ÞÑÒ Þ Ò ÐÓ ÙÖÓÛ Û ÔÖÞÝ Þ Ó Ó ÔÓÛÓ Ù Þ Ò ÞÝ Û Þ Ö ÛÒÓ Ð Ö Þ ÓÔÓÒ ÒØ Ûº ÌÖ Û Ô ØÒ Ò Û ÛÓ ÑÓ Ð Û Ø ÓÒÓÛ Ð Ø ÙØØ ËÙÒ Ö Ñ ¾½ Ð ÖÓÞÛ Ò ÓØÝÞÝ Ý ØÝÐ Ó ÙÓÔÓÐÙº ËÙÒ Ö Ñ Å ÙÑ Ö ËÙÒ Ö Ñ ÓÖ Þ ÙØØ ËÙÒ Ö Ñ ¾¼ ÖÓÞÛ Ð ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÔÐÓ Ø Þ Ó Ûº ÔÓÑÓ ÌÛ Ö Þ Ò Ë Ù Ö ÛÝ Þ Ð Ø¹ Ò Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Û Ð ÙÒ ÓÐÒ Ô Ý º ÈÓ Ó Ò Û Ö ÙÔ ÖÑÓ ÙÐ ÖÒÝ Ö ÛÒ Û Ò Ø ÖÝ Ö ÔÐÓ Ø Þ ¹ Ó Û ØÒ Ò Ò ÞÖ Ò ÓÑ ÞÓÛ ÒÝ Ø ÓÒ ÖÒÝ Ö ÛÒÓÛ Æ ÞÓ Ø Ó ÛÝ Þ Ò ÔÖÞ Þ Þ Û Ò Þ ÓÖÙ ØÖ Ø Ó ÖÓ Þ ÒÝ ÙÒ Ò ÓÛÓ Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù ØÛ Ö Þ Ò ÖÞ Ð ¹ ÓÐ Ó Ò ØÔÒ ØÛ Ö Þ Ò Ó ÔÙÒ Ø ÝѺ Ì Ó ÔÓ Ó Ù

5 Ù Ý Ñ Ö ¾ º ÔÓÑÓ ÌÛ Ö Þ Ò ÌÓÔ Ó Ñ ÝÑ Ð Þ ÙÒ ÙÔ ÖÑÓ Ù¹ Ð ÖÒ ¼ ÛÝ Þ ØÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Û Ð ÙÒ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÝ Ð Ô ØÞÓÛ Þ Û Ô ÐÒ Ø º ÓÐ Ð Ù ÆÓÛ Û ÓØÖÞÝÑ Ð ÔÓ Ó Ò Û ¹ ÒÓ Ö ÛÒÓÛ ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÝÒ Û Û ÔÖ Ý ½¼ Û Ø Ö ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÌÛ Ö Þ Ò Ë Ù Ö ÛÝ Þ ÒÓ ØÒ Ò Ö ÛÒÓÛ Æ Ò ÔÖ ÝÞÙ Û ÒÓ º ÃÓÐ ÒÝÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Û Ø ÓÖ Ö ØÓ ØÝÞÒÝ Ø Û Ø Þ ÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ ÛÝÔ Ø Æ Û ÖÞ Ó Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒ Þ ÓÛÝÑ Ý Ù Ó ÓÖÝÞÓÒØÙ Ý Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º ÈÖ Ê Ú Ò Ì ÎÖ Þ ³ ÔÓ ÞÙ Û Ó Ð¹ ÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ø Ñ Ò ØÝÛÒ ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÓÒ Û Þ Ö Ö ÛÒÓÛ Æ ÑÓ Ý Û ÐÓ Ð Ñ ÒØÓÛÝ Ø Û Ó Ö Ò Ò Ù Ó ÔÖÓ Ù ÝÞÝ Ò Ó Ò Ø ØÛÓ ØÛÓÖÞÝ Ó ÔÓÛ Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÞÛ Óº Ï ÔÖ Ý ÆÓÛ Èº ËÞ ¹ ÓÛ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Þ ÒÓ ÙÒ Ö ÛÒÓÛ Ù Ó ÖÓÞÛ Þ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö ÛÙÓ Ó ÓÛÝ º ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ Ý Ó Ó ÞÓÒ ÓÑ Ò Ñ Ö ÔÖÓ ¹ Ð ØÝÞÒÝ Û ØÝÑ ÐØÝ Ö ÙÔ ÓÒ Û ÔÙÒ Þ ÖÓº ÔÓÑÓ Ö ÛÒ ÐÐÑ Ò ÓØÖÞÝÑ ÒÓ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒ Þ ÒÓ ÙÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Þ Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖݹ ÞÓÒØ Ñ Þ ÓÛÝÑ Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Ó Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖݹ ÞÓÒ º ÈÖÞÝ Ó Þ Ù ÓÛÓ Ò ÓÒÓ ØÒ Ò Ö ÛÒÓÛ Æ Ò ÓÖÞÝ Ø Þ ÌÛ Ö Þ Ò Ë Ù Ö º ÓÐ Ð Ù ÆÓÛ Ù ÓÛÓ Ò Ð Þ ÒÓ Þ Ö ÛÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ Ö ÛÒ ÙÒ Ö ÛÒÓÛ Ó ÞÓ Ø Ó ÓÔ Ò Û ÊÓÞ Þ Ð º ÙØÓÖÞÝ Ø ÔÖ Ý ÖÓÞ¹ Ô ØÖÝÛ Ð Ö Û ÐÓÓ Ó ÓÛ Ð ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ò ÞÝÐ Ó Ö ÝÑ ØÖÝÞÒÝ º ÈÖÓ Ð Ñ Þ ÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ø Èº ËÞ ÓÛ Û ÔÖ Ý º ÌÝÑ Ö Þ Ñ Ö Ý Ò ÝÑ ÖÝÞÒ Û ÐÓÓ Ó ÓÛ Ð Û Ô ÞÝÒÒ ÔÖÞÝ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÔÖÞ Ñ Ý ÒÒ ÓÖѺ Ö Ñ ÔÐÓ Ø Þ Ó Û Þ ÑÓÛ Ð Ö ÛÒ Ú ½ Ö Å ÖÑ Ò ¾ Å Ò Ð Ó Ò ËÓ Ð ËÓ Ð ÓÖ Þ Ï º ÖÝ ØÓ ØÝÞÒ Û ÞÞ ÐÒÓ ÖÝ ÔÐÓ Ø Þ Ó Û ÑÓ Ò ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ó ÔÓ Ð Ö Û ÐÓ Ò Ö Ý ÒÝ Þ ÞÝÒÒ Ñ ÐØÖÙ ØÝÞÒÝÑ Ø Ð Ö ÛÒÝÑ Òº Ï Ö Û ÐÓ Ò Ö Ý ÒÝ Ö Þ ÛÝ ØÔÙ Û Û ÐÙ ÔÓ ÓÐ Ò ØÛÓÖÞ ÝÒ Ø º Ã Ý Ö Þ Ý ÔÖÞ Þ Ò Ø Ô ÖÝ ÔÓ Ò Ñ Ò ØÝ Ñ Ø ÔÓ Û ÔÓØÓÑ º Ï Ó Ö Ò ÝÒ Ø Û ÞÝ Ý Ö Þ Ñ Ø Ñ ÙÒ ÛÝÔ ØÝ Ø Ö Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó Ø ÒÙ ÖÝ Þ Ð Ò Ó Ó Ø ÒÙ Ù Ù ÝÞ Û Þ Ý ÔÓÔÖÞ Ò Ó ÔÓ ÓÐ Ò º ÅÓ Ð ÖÝ Û ÐÓ Ò Ö Ý Ò Þ Ø ÝÑ Û Ô ÞÝÒÒ Ñ ÐØÖÙ ØÝÞÒÝÑ ÛÔÖÓÛ Þ Ð È ÐÔ ÈÓÐÐ º Ï ÔÖ Ý ÔÓ Ó Ò Û ÓÐ ÒÝ ÛÝ ØÔÓÛ ØÝÐ Ó Ò Ý¹ Ò Ø º Ï ÔÖ Ý À ÖÖ Ä ÓÒ ¾ ÔÓ Ý ÓÒØÓÛ Ò Þ ÔÖÓÔÓÒÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ù¹ ØÓÖ Û ÔÖ Ý ÞÓ Ø Ò ÞÛ ÒÝ ÕÙ ¹ ÓÑ ØÖÝÞÒÝѺ ÈÓÒ ØÓ Û Ø ÔÖ Ý ÛÔÖÓÛ ÞÓ¹ ÒÓ ÔÓ ÅÓÒ Ë À Ô Ö ÓÐ ÞÒ Ê Ð ÙÐ Ö º ÏÝ Þ ÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ Ô Ò Ë À Ô Ö ÓÐ ÞÒ Ê Ð ÙÐ Ö º ÈÓ Ð Ö ÛÒ Û ÖÙÒ Ò Ô Ò Ò ÅÓ¹ Ò À Ô Ö ÓÐ ÞÒ Ê Ð ÙÐ Ö º ÉÙ ¹ ÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÔÓ Ý ÓÒØÓÛ Ò ÔÓ Û Ö ÛÒ Û ÔÖÞÝ Þ Ó Ð Þ Ò ÓÛÝÑ Û ÔÖ Ý Äº Å Ð Ö Ëº Å Ð Ö º Ð À ÙÖ ½ ÛÔÖÓÛ Þ Ð Ö Û Ø Ö Û ÝÑ ÔÓ ÓÐ Ò Ù ÛÝ ØÔÙ ÔÖÞ Ø Û ¹ Ð Ö ÒÝ ÝÒ Ø Û Ø ÔÓ Û ÝÑ Ø Ô Û ÞÝ Ø ÝÒ Ø Ñ ÔÓ ÒÝÑ ÔÖÞ Ø Û ÐÙº ËØ ÒÝ ØÖ Ø ÔÓ Ó Þ Ý Þ Þ ÓÖÙ Ó ÞÓÒ Óº ÊÓÞÛ Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ ØÒ Ò Ó ÓÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û Ö Û ÐÓ Ò Ö Ý ÒÝ ÔÓ Û Ö ÛÒ Û ÔÖ ÖÒ Ñ Ê Ý³ ½¾ ÓÖ Þ Ä Ò Ò Ö ½ º Ï ØÝ ÔÖ Ù ÝØÓ

6 Ø ÖÑ Ò ØÝÞÒ ÙÒ ÔÖÞ º Ï ØÝÑ ÑÝÑ Þ ÔÓ Ø ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÓ Û Û ÔÖ Ä Ò ¹Ä Ò Ò Ö ¾ ¼ ÓÖ Þ ÖÒ Ñ Ê Ý ½½ º Ï ÔÓÛÝ ÞÝ ÔÖ ÔÓ Ó Ò Û ÔÖ ÖÖÓÛ ÙÔØÝ ½ Ù ÝØÓ ÔÓ Ó Ù Ý ÓÒØÓÛ Ò Û ÓÔ Ö¹ Ù Ó ÔÓ ØÙÐ Ø ÔÖ Ö Ò Ö ÞÝ Þ Ð ØÝÐ Ó Ó Ó Û Ò ÓÒ ÙÑÔ ÓÒ ÙÑÔ ÞÔÓ Ö Ò Ó Ò ØÔݺ Ï ÖÙ Þ ÔÖ Ý ÖÖÓÛ ÖÓÞÔ ØÖÞÝ ÔÖÞÝÔ Ý ÔÖ ¹ Ö Ò Ó Ö Þ Þ Ð Ó Ó ÓÒ ÙÑÔ ÓÖ Þ Ó ÓÒ ÙÑÔ m ÔÓØÓÑ Û m Ù Ø ÐÓÒ ÓÛÓÐÒ µº ÈÓÛÝ Þ ÖÓÞÛ Ò ÙÓ ÐÒ Ð À ÖÖ ¾ Ò ØÔÒ Ñ Ö Ø ÖÝ ÛÔÖÓÛ Þ ÐÓ ÓÛ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ º ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ ÔÓ Ó Ò Û ¾ Ñ Ó Ý ØÖÝ Ù ÒØ Û Ð ÛÞ Ð Ñ Û ÖÙÒ Ù ÔÓ Ó Ò Û ¾ ÞÒ Ð Þ ÓÒÓ Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Û Ð ÙÒ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÝ Ð Ô ØÞÓÛ Þ Ø ½º ÃÓÐ ÒÝ ÔÖÞÝ ÖÝ Û ÐÓ Ò Ö Ý Ò Þ ÔÖ Þ ÒØÓÛ ÆÓÛ º ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ¹ ØÛÓ ÔÖÞ Ý Ó ÓÑ Ò ÛÝÔÙ Ó ÞÓÒ ÐÓ Ñ Ö Þ Ð ÒÝ Ó ØÙ ÐÒ Ó Ø ÒÙº Ý ØÓ ØÖÙ ØÙÖ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÞÒ Ò Þ ÔÖ ÆÓÛ ¾ ÆÓÛ Èº ËÞ ÓÛ Ó ÓÖ Þ Ð Ù ÆÓÛ º Ï Ø ÔÖ Ý Þ Ö ÑÙÐØ ¹ ØÖ Ø ÞÓ Ø ÔÓ Þ ÖÞÓÒÝ Ó Ô ÛÒ Ó ÞÛ ÖØ Ó ÔÓ Þ ÓÖÙ Þ ÓÖÙ ØÖ Ø ÞÖ Ò ÓÑ ÞÓÛ ÒÝ º Â Ò Ö ÛÒÓÛ Æ ÓØÖÞÝÑ Ò Ó ÔÙÒ Ø Ø Ý Ô ÛÒ Ó Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ò ÞÖ Ò¹ ÓÑ ÞÓÛ Ò º ÖÝ Û ÐÓ Ò Ö Ý Ò Ô Ò Ø ÓÒ ÖÒÝ ÔÓ ØÙÐ Ø ÖÓÞÛ Ö ÛÒ Ê ÛÐ ¼ º ÔÖÓÔÓÒÓÛ ÓÒ Þ ÔÖ Û Ð Û Ó Ó ÞÞ Þ Ò ÞÛ Ò Ø Þ Ñ ÝÑ ÒÓÛ º ÈÖ Ö Ò Ö ÞÝ Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó Û ÒÝ ÓÒ ÙÑÔ º ÖÙ ØÖÓÒÝ Ö Ù Ê ÛÐ ³ ÙÛÞ Ð Ò ÔÓØÖÞ Ý Ò ØÔ Û ÔÓÐ Ò ØÝÑ Ý Ý ÔÓØÓÑ Ó Ò ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ô ÛÒ Ñ Ò ÑÙѺ ÃÖÝØ Ö ÙÑ Ê ÛÐ ³ Þ ØÓ ÓÛ Ð ÖÖÓÛ ÙÔØ ½ º ÖÖÓÛ ÔÖÞÝ Ð Ò ÓÛ ÙÒ ÔÖÓ Ù º ËØ ÓÒ ÖÒÝ ÔÓ ØÙÐ Ø ÔÓÛÓ Ù Û Û ÐÙ Ö Û ÐÓ Ò Ö Ý ÒÝ Þ Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒ Ñ Þ ÓÛÝÑ ÑÓ Ò ÙÞÝ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÓÒ Ö ÛÒÓÛ Æ ØÓ Ù Ó ÔÓÛ Ò ØÛ Ö Þ Ò Ó ÔÙÒ Ø ÝѺ Ç Ø Þ Ý Ó ÞÐ Ë Þ¹Å ÖØ Ï ÙÐÐ º ÊÓÞÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ò ÑÓ Ð Þ Û Ö ÞÝÒÒ Ý ÓÒØ ÞÑ ÒÒÝ Û Þ º ÔÖÓ¹ ÔÓÒÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ò ÑÓ Ð Ø Ö ÛÒÓÛ ÒÝ Ô ÛÒ ÑÙ ÑÓ ÐÓÛ ÖÝ Û ÐÓ Ò Ö Ý Ò Þ Ô ÛÒÝÑ ÞÝÒÒ Ñ ÐØÖÙ ØÝÞÒÝÑ Ø ÖÝ Ø Ø ÞÑ ÒÒÝ Û Þ º Ó Û ÙÒ Ý ÓÒØ Ó ÔÓÛ ÙÒ Û ÐØÖÙ ØÝÞÒ Û ÔÓ Ò Ò Ò º ÈÓÒ Û Þ ÝÑ ÔÓ ÓÐ Ò Ñ ÞÑ Ò ÔÖ Ö Ò Ö ÞÝ ÛÝÞÒ Þ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÓÒ Ö ÛÒÓÛ Ø Ò ÑÓ Ð Û º Æ Ò Þ ÖÓÞÔÖ Û ÓØÝÞÝ ÑÓ Ð ÐØÖÙ ØÝÞÒÝ Þ ÕÙ ¹ Ô Ö ÓÐ ÞÒ ÙÒ Ý ¹ ÓÒØ Û Ø ÖÝ ÛÝ ØÔÙ Þ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÔÓ ØÙÐ ØÙº Ï Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÞÝÒÒ ÐØÖÙ ØÝÞÒÝ ÑÓ Þ Ð Ó ØÙ ÐÒ Ó Ø ÒÙº Ï Û ÞÝ Ø ÖÓÞ Þ ÖÓÞÛ Ò ÖÝ Þ Û Ð Ó ÔÓÛ Ò Ó ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ Ò ØÓÑ Ø ÔÖ Û¹ ÓÔÓ Ó ØÛ ÔÖÞ ÓÑ Ò Ñ ÛÝÔÙ ÝÑ Ñ Ö ÔÖÓ Ð ØÝÞÒÝ Ø Ö Û Ò Ö Þ Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Þ Ð Ó Ó Ø ÒÙº Ï ÊÓÞ Þ Ð ¾ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ö ÞÙÐØ ØÝ ÔÖ Ý Ð Ù ÆÓÛ ½¼ Û Ø Ö Þ ¹ ØÓ ÓÛ ÒÓ ÑÓ Ð Ð À ÙÖ ³ Ó ½ Û ÐÙ ÙÓ ÐÒ Ò ØÖ ÝÝ ÒÝ Ö ÔÐÓ Ø Þ ¹ Ó Û Ø Ö Ý Ý ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Ñ Ö ¾ ÆÓÛ ¾ Ð Ù ÆÓÛ ÞÝ ÆÓÛ Èº ËÞ ÓÛ Ó º ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ Ø ÓÑ Ò ÛÝÔÙ

7 Û Ñ Ö ÔÖÓ Ð ØÝÞÒÝ Ò Þ Ð ÒÝ Ó Ó Ò Ó Ø ÒÙº Æ Ø ØÓ ÞÞ ÐÒÝ ÔÖÞÝÔ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÞÒ Ò Ó Þ ÔÖ Ý Ñ Ö ¾ Ó Û Ó Ö Ò Ò Ù Ó Ò Ó Ý ØÖÝ Ù ÒØ Û ÖÙÒ ÓÛ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÔÖÞ Ø Ò ÛÞ Ð Ñ Û ÖÙÒ Ù Û ÔÙÒ Þ ÖÓÛÝѺ Á ØÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÓÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Ù ÓÛÓ Ò ÓÒÓ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÌÛ Ö Þ Ò Ë Ù Ö ÓÒ ØÖÙÙ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ¹ ØÓÔÓÐÓ ÞÛ ÖØÝ ÔÓ Þ Ö Þ ÓÖÙ ØÖ Ø ÞÖ Ò ÓÑ ÞÓÛ ÒÝ Ó ÔÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖº ÃÓÒ ØÖÙ Ø Ó ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Ý ÑÓ Ð Û Þ Ù ÓÛÓ Ò Ò Ù ÒÓÞÒ ÞÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ Þ ÔÓÑÓ ÔÓÑÓÒ Þ ÖÝ Ø ØÝÞÒ º ÈÓÒ Û Ò Ý Ó ÑÓ Ð Û Þ ØÓ ÓÛ Ò ÌÛ Ö Þ Ò Ý ÅÓÙÐ Ò ¾ Ò ÌÛ Ö Þ Ò ÊÓ Ò ¾ ¾ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÞÒ ÞÒÓ ÖÓÞÛ Þ ÒÓ Ð ¹ Ñ ÒØ ÖÒ Ò Ù ÒÓÛÝ ÔÓÖÞ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò R n ÖÓÞÛ Û ÒÓ ÙÒ Ñ Ð Ý º Ï ÔÓÞÓ Ø Ý ÖÓÞ Þ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ ÑÓ Ð Ý ÓÒØÓÛ ÒÝ Ö ØÓ Øݹ ÞÒÝ º ÊÓÞ Þ ÔÖÞ Ø Û Ö ÞÙÐØ ØÝ Þ ÔÖ Ý º ÊÓÞÛ ÓÒÓ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö Û ÐÓÓ Ó ÓÛ Þ ÔÖ Û ÓÔÓ ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ ÔÖÞ ÝÑ ÓÑ Ò ÛÝÔÙ Ó ¹ ÞÓÒ ÐÓ Ñ Ö ÔÖÓ Ð ØÝÞÒÝ Þ Ð ÒÝ Ó Ó Ò Ó Ø ÒÙº Ï ØÝÑ ÑÓ ÐÙ ØÒ Ø Ò ÔÓ Ò Ý Þ ÖÓÛݵ Ø ÖÝ Þ ÖÓÛ Ù ÝØ ÞÒÓ Û ÔÓÛÓ Ù Ö Ó Þݺ Í ÓÛÓ Ò ÓÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ Û Ö Ó Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒ ÑÓÒÓ¹ ØÓÒ ÞÒ Þ Ó Ö ÛÒÓÛ Û ÖÞ Þ Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñº ÈÓÛÝ ÞÝ ÔÓ ÔÓ ÞÙ ÔÓ Ó Ò ÔÖ µ ØÒ Ò Ö ÛÒÓÛ ÑÓ Ò ÛÝ Þ Þ ÔÓÑ Ò Ñ ÌÛ Ö Þ Ò Ë Ù Ö º ÇÔÖ Þ Ø Ó ÔÓ ÞÙ Þ Ñ ÞÞÓÒÝ ÔÖÞÝ Ö ÛÒÓÛ Û ÖÞ Þ Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ ÑÓ Ò ÔÖÓ ÝÑÓÛ Ö ÛÒÓÛ Ñ Û ÖÞ Ó Ó ¹ ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒ º ÃÓÐ ÒÝ ÖÓÞ Þ ÓÔ Ù ÑÓ Ð ÝÑ ØÖÝÞÒ ÖÝ ØÓ ØÝÞÒ ÔÐÓ Ø Þ Ó Û Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ ÔÖÞ ÞÒ ÒÝÑ Þ ÊÓÞ Þ Ù ¾ ÔÖ Ý ½¼ º ÓÔÙ ÞÞÓÒÓ ÝØÙ¹ Ý Ò Ö ÞÝ ÔÖÞ Ö Þ Ó ØÔÒ Þ Ó Ýº Ï Ø Ñ ÔÖÞÝÔ Ù Ö Þ Þ Ð Ñ ÞÝ Ó Ó ØÔÒ Þ Ó Ý Ò Ö ÛÒ Þ Ö Ó Þݺ ÈÓ Ó ÒÝ ÔÓ ÔÓ Þ ¹ Ù ÖÓÞÛ Ð Å ÙÑ Ö ËÙÒ Ö Ñ º Á ØÒ Ò Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Ó Ø Ó Þ ÓÖÙ ÑÙÐØ ¹ ØÖ Ø Ø Ø Ö ÙÒ ÑÓ Ð Û Ö ÞÓÑ ÔÖÞ ÖÓÞ Ò Ó ØÔÒÝ Þ ¹ Ó Û ÞÓ Ø Ó Ù ÛÝ Þ Ò Û ÔÖ Ý ½¼ ÊÓÞ Þ Ð ¾º Ç ÞÙ Ø ØÓ Ø Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ ÖÓÞ Þ ÖÞÓÒ ØÓ Þ Ö ÛÒÓ Þ Ó ÞÓÒÝÑ Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Þ ÓÛÝѺ ÈÓÒ ØÓ ÔÓ Ó Ò Û ¾ Ø ØÓ ÙÒ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒ Ñ ¹ Û ÒÓ Ä Ô ØÞ Þ Ø ½º Ó Ø ÓÛÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ö ÛÒÓÛ Þ Ó Ö Ò Þ Ò Ñ Û ÞÝ ÞÝ Ò ÔÓ Þ Û ÞÝ Ø Þ Ó Û Ñ ÞÝ º ÏÝÒ Ø Ó ÖÓÞ Þ Ù ÞÒ Ù Û ÔÖ Ý º Ï Ó Ø ØÒ Ñ ÖÓÞ Þ Ð ÖÓÞÛ Ò ÝÑÔØÓØÝÞÒ Û ÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ Û Ý ÓÒØÓÛ Ò Ò ÝÑ ØÖÝÞÒ ÖÞ ÔÐÓ Ø Þ Ó Û ÞÒ Ò Þ ÔÖ Ý º ÈÓ Ø Ö ÛÒÓÛ Ö ÛÒ ÔÓ Ø Ó ÔÓÛ Ò ÛÝÔ ØÝ Ø ÞÒ Ò Þ ÔÖ Ñ Ö ¾ º Ó¹ Ø ÓÛÓ Þ ÊÓÞ Þ Ù ¾ Þ ÔÖ ½¼ ¾ ÑÓ Ò ÛÝÛÒ Ó ÓÛ Þ Ó Þ ÒÓÞÒ ÞÒÓ Ö ÛÒÓÛ Û ÖÞ Þ Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñº Ï ØÝÑ ÖÓÞ Þ Ð ÛÝ Þ ÒÓ Ö ÛÒÓÛ Ó ÔÓÛ Ò ÙÒ ÛÝÔ Ø Þ ÔÖÞÝ β 1µ ÒÓ Ø Ò Ó Ô ÛÒ ÙÒ Ø Ö Ó Þ Ý ǫ ¹ Ö ÛÒÓÛ Û β ¹ Ý ÓÒØÓÛ ÒÝ Ö ØÓ ØÝÞÒÝ Ó Ó ÞÓ¹ ÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒ Þ ÓÛÝÑ Ð Ó Ø ÞÒ Ù Ý βº ÔÓÑÓ Þ ÒÓ Ö ÛÒÓÛ Ù ÓÛÓ Ò ÓÒÝ Û ÔÓ Ó Ò ÛÝÒ ÙÞÝ ÒÓ Û ÖÞ Þ Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñº

8 ÊÓÞ Þ ¾ ÖÝ ØÓ ØÝÞÒ Û ÐÓ Ò Ö Ý Ò Ê ÞÙØ ØÝ Ò Ò Þ Ó ÖÓÞ Þ Ù ÔÓ Ó Þ Þ ÔÙ Ð ½¼ º ÛÒÝÑ Ð Ñ Ø Þ ÔÖ Ý Ø ÛÝ Þ Ò ØÒ Ò Ö ÛÒÓÛ Ó ÓÒ Û ÖÞ Û ÐÓ Ò Ö Ý Ò º ÅÓ Ð ÖÝ Û ÐÓ Ò Ö Ý Ò ÔÖÞ Ø Û Ò ØÔÙ Ó T = {1, 2,...} Ø Þ ÓÖ Ñ ÖÓ Û ÖÝ Ð Ó t T G t = {1 t, 2 t,...,m t } Ø ÔÓ ÓÐ Ò Ñ m Ö ÞÝ Ð Ó i M := {1,..., m} F i := {i t } t T Ø ÝÒ Ø Ý Ö Þ i t+1 G t+1 Ø ÔÓØÓÑ Ñ Ö Þ i t G t R + Ø ÔÖÞ Þ Ñ Þ Û Ö ÝÑ ¼ ÞÛ ÒÝÑ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø Ò Û A i (s) ¹ ÔÖÞ ØÖÞ Ð Ó Ö Þ i t F i ÔÖÞÝ Ø Ò s º Æ A(s) := A 1 (s),...,, A m (s) ÓÖ Þ C := {(s, x) : s, x A(s)}. r i : C R Ø ÙÒ ÛÝÔ ØÝ Ù ÝØ ÞÒÓ µ Ö Þ i t F i º Ï ÝÑ ÖÓ Ù t T ÔÖÞÝ Ø Ò s t Ý Ö Þ j t G t ÛÝ Ö x jt A j (s)º ÏØ Ý Ö Þ i t F i ÓØÖÞÝÑÙ Ù ÝØ ÞÒÓ r i (s t, x 1t,...,x mt ). q ¹ Ø ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ ÔÖÞ Þ Þ ÓÖÙ C Ó Þ ÓÖÙ ÞÛ ÒÝÑ ÔÖ Û Ñ ÖÙ Ùº Â Ð s t Ø Ø Ò Ñ Ð ÖÓ Ù t T Ö Þ Þ ÔÓ ÓÐ Ò G t ÛÝ Ö x t A(s t ) q( s t, x t ) Ø ÖÓÞ Ñ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò ØÔÒ Ó Ø ÒÙº α : [0, 1] Ø ÙÒ º Ð Ó t T ÓÖ Þ s t α(s t ) Ò ÞÝÛ ÑÝ Û Ô ÞÝÒÒ Ñ ÐØÖÙ ÞÑÙº β (0, 1) Ò ÞÝÛ ÑÝ ÞÝÒÒ Ñ Ý ÓÒØ º

9 ¾º½ Á ØÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ ¹ ÔÐÓ Ø Þ Ó Û Æ Φ i Þ Þ ÓÖ Ñ ÙÒ ÓÖ ÐÓÛ f i : Ø f i (s) A i (s) Ð ÓÛÓÐÒ Ó s Ò Φ := Φ 1... Φ m. ËØÖ Ø Ñ Ö ÓÛ Ð Ö Þ i t G t Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ f it Φ i º ÅÙÐØ ¹ ØÖ Ø Ð ÔÓ ÓÐ Ò G t Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ f t := (f 1t,...,f mt ) Φº Ð Ó t T Ò f t := {f τ : τ = t + 1, t + 2,...}. ÏØ Ý f t Ø Þ ÓÖ Ñ ÑÙÐØ ¹ ØÖ Ø ØÓ ÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ Û ÞÝ Ø ÔÓ ÓÐ Ò Ò ØÔÙ¹ ÔÓ G t º Í ÝØ ÞÒÓ Ð Ö Þ i t G t Ò Ù ÑÝ Ó Þ E ft s t γ it (f t )(s t ) := r i (s t, f t (s t )) + α(s t )E ft s t τ=t+1 β τ t r i (s τ, f τ (s τ )), ¾º½µ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Û ÖØÓ ÓÞ Û Ò Ð ÝÒ Ñ ÖÝ ÔÖÓ Ð ØÝÞÒ P ft s t Þ Ò ÓÛ Ò Ò Þ ÓÖÞ Û ÞÝ Ø ÑÓ Ð ÛÝ ØÓÖ ÖÝ Ø ÖØÙ Þ Ø ÒÙ s t µ ÛÝÞ¹ Ò ÞÓÒ ÔÖÞ Þ f t ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ q Þ Ó Ò Þ ÌÛ Ö Þ Ò Ñ ÁÓÒ Ù ÌÙй ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Îº½º½ Û ¼ µº ÑÝ Ý Ö Þ i t G t ØÓ Ù Ø Ñ ØÖ Ø f i Φ i º Ï ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ñ Û ÑÝ Ö Þ Þ ÝÒ Ø F i Ù ÝÛ Ø ÓÒ ÖÒ ØÖ Ø º Û ÞÝ Ø ÝÒ Ø Û ÝÑ ÖÓ Ù Ù ÝÛ Ø Ñ ØÖ Ø f := (f 1,...,f m ) Þ ÙÛ ÑÝ ÑÙÐØ ¹ ØÖ Ø f t := {f τ = f : τ = t + 1, t + 2,...}, Ø Ø Ñ Ð Û ÞÝ Ø t T º ËØ ÑÓ Ò Ò ÞÛ Ø ÓÒ ÖÒ ÑÙÐØ ¹ ØÖ Ø Û ÖÞ Ñ ÞÝ Ò Ö Ý Ò º ÙÛ ÑÝ ÔÓÛÝ Þ ÑÙÐØ ¹ ØÖ Ø Ø ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ô ÛÒ ÙÒ f Φº ËÔÖ Ù ÑÝ ÔÖÞ Ø Û ÛÝÖ Ò ¾º½µ Û Ö Þ ÞÝØ ÐÒ ÔÓ Ø Ð ÑÙÐØ ¹ ØÖ Ø Ø ÓÒ ÖÒÝ º Ð Ó Ö Ò ÞÓÒ ÙÒ v f Φ Þ ÑÝ [ Q 1 f v ] (s) := v(s )q(ds s, f(s)), ¾º¾µ Þ s f := (f 1,...,f m )º Ð ÓÛÓÐÒ Ó t T Þ Ò Ù ÑÝ [ Q t+1 f v ] (s) := [ Q 1 fq t fv ] (s). ¾º µ Ð Ø ÓÒ ÖÒ ÑÙÐ ¹ ØÖ Ø f := (f 1,...,f m ) Φ t 2 s t Ò Ù ÑÝ

10 J i (f)(s t ) := r i (s t, f i (s t )) + τ=t+1 β τ t [ Q τ t f r i (f i ) ] (s t ), ¾º µ Þ r(f i )(s) := r i (s t, f i (s t )). Ý Û ÞÝ Ø ÔÓ ÓÐ Ò Ù ÝÛ Ø ÓÒ ÖÒ ÑÙÐØ ¹ ØÖ Ø Þ ¾º½µ Þ ¾º µ ÛÝÒ ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ Ð Ó Ö Þ i t Þ ÝÒ Ø F i Ø Ø Ñ Þ Ò Ø ÛÞÓÖ Ñ γ it (f)(s t ) := γ it (f t )(s t ) = r i (s t, f i (s t )) + α(s t )β J i (f)(s t+1 )q(ds t+1 s t, f(s t )). Ð Ó f Φ s ÖÓÞÛ ÑÝ ÒÓ ÖÓ ÓÛ Ö Γ(f, s) Ó ÙÑ Ò Þ ÖÓÛ Þ ÙÒ ÛÝÔ ØÝ Ð Ö Þ i Ø ÔÓ Ø k i (s, f)(x) := r i (s, x) + α(s)β J i (f)(s )q(ds s, x), Þ x = (x 1,...,x m ) A(s) Ø ÑÙÐØ ¹ ØÖ Ø m Ö Þݺ Ò ½ f Ð Ð Ó s f (s) A(s) Ø ÞÝ Ø Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Γ(f, s)º ¾º µ Φ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Ó ÓÒ Û ÖÞ Ñ ÞÝ Ö Ö Ý Ò ÏÔÖÓÛ õñý Ø Ö Þ ÔÓ Ø ÛÓÛ Þ Ó Ò ½ Ð Ó i M Þ Ö Ø ÔÓ Ø A i (s) := [0, a i (s)], Þ ÙÒ a i Ò Ù ÑÒ Ò Ñ Ð ÓÖ Þ Ð Ó s Ô Ò Ò Ö ÛÒÓ a 1 (s) a m (s) s. ʽ Ð Ó i M, ÓÖ Þ x := (x 1,...,x m ) A(s) ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ ÔÓ Ø r i (s, x) := u i (x i ). ÑÝ ÔÓÒ ØÓ ÙÒ u i Ð Û Ð ÖÓ Ò ÛÙ ÖÓØÒ Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ ÔÖÞÝ ÞÝÑ u i (0) = 0º Ƚ ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ q Ø Ò ØÔÙ ÔÓ Ø q({0} 0, (0,..., 0)) = 1 ÓÖ Þ Ý s > 0 x = (x 1,...,x m ) A(s) m m q( s, x) = g s x j µ( ) + 1 g s x j ν( ), j=1 j=1 Þ g : [0, 1] Ø ÙÒ ÛÙ ÖÓØÒ Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ Ð Û Ð ÖÓ Ò º ½¼ ¾º µ

11 ÍÛ ½ Þ Ó Ò È½ ÛÝÒ Ð Ó s t x t := (x 1t, x 2t,...,x mt ) A(s t ), ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò ØÔÒ Ó Ø ÒÙ q( s t, x t ) Þ Ð Ý Ó ÔÓÞ ÓÑÙ ÞÒ ÒÛ ØÝ m I(s t, x t ) = s t x it. i=1 ÍÛ ¾ Þ Ñ Þ Ñ Ö µ Û ÛÞÓÖÞ ¾º µ ØÓ ØÝÞÒ ÓÑ ÒÙ Ñ Ö νº ÇÞÒ Þ ØÓ Ð ÙÒ Ò Ñ Ð Þ Ó Þ Ò Ö ÛÒÓ v(s )µ(ds ) v(s )ν(ds ). ÏØ Ý ÞÛ Þ Ò ÔÓÞ ÓÑÙ ÞÒ ÒÛ ØÝ Û ÔÓ ÓÐ Ò Ù G t ÔÓÛÓ Ù ÞÛ Þ Ø ÓÞ Û ÒÝ Ø Ò Þ Ó Û Û Ò ØÔÒÝÑ ÔÓ ÓÐ Ò Ùº ÌÓ Þ Ó Ò ØÓ ÓÛ ÒÓ Ñ ÞÝ ÒÒÝÑ Û ½ ÓÖ Þ Û ÊÓÞ Þ Ð Ò Ò Þ ÔÖ Ýº ÍÛ ÈÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÑÓ Ð ÑÓ Ò Þ ÒØ ÖÔÖ ØÓÛ Ò ØÔÙ Ó Ø Þ ÓÖ Ñ Û Ô Ð¹ ÒÝ Þ Ó Û Ö ÞÝ Ø Ö ÑÓ Ý ÔÖÞ Þ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ó ÓÒ ÙÑÔ ÐÙ Ò¹ Û ØÓÛ Ò º ÓÖÝ A i (s) Ó Ö Ð Ö Ò ÓÒ ÙÑÔ Ð Ö Þ i t G t ÔÖÞÝ Ø Ò sº Ï ÖØÓ ÞÛÖ ÙÛ Ù ÝØ ÞÒÓ Ö Þ i t Þ Ð Ý ÛÝ ÞÒ Ó Ó Û ¹ Ò ÓÒ ÙÑÔ º ÈÖÞ Þ Ø ÒÙ s t Ó Ø ÒÙ s t+1 Ó ÝÛ Þ Ó Ò Þ ÖÓÞ Ñ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÓÔ ÒÝÑ Þ ÔÓÑÓ ÓÖÑÙ Ý ¾º µº ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ Þ Ð Ý Ó ÔÓÞ ÓÑÙ ÞÒ ÒÛ ØÝ Û ÞÝ Ø Ö ÞÝ Þ ÔÓ ÓÐ Ò G t ÔÖÞ Þ Ø Ö Ò Ð ÅÝ ÖÓÞÙÑ I(s t, x t )º ÍÛ ÃÓÒ Ô Ö ÛÒÓÛ Ó ÓÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Û Ò ¾º½ ÔÓ Ó Þ Þ ÔÖ Ý Ð À ÙÖ ³ Ó ½ Þ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÓ ÖÝ Ó Ó ÞÓÒÝ Þ ÓÖ Ø Ò Û Þ ÞÞ ÐÒ ÒØ ÖÔÖ Ø ÓÒÓÑ ÞÒ º Ð À ÙÖ ÙÓ ÐÒ Ð ÔÓ Ö ÛÒÓÛ Û ÑÓ ¹ÐÙ Û ÐÓ Ò Ö Ý ÒÝÑ ÛÔÖÓÛ ÞÓÒÝÑ Ó Ð Ø Ö ØÙÖÝ ÓÒÓÑ ÞÒ ÔÖÞ Þ È ÐÔ ÈÓÐÐ Ø ÖÞÝ Þ Ð Ò Ö Þ Ò Ó Ö ÔÖ Þ ÒØ ÒØ m = 1µ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ Ð ÑÓ Ð Þ Ø ÖÑ Ò ØÝÞÒ ÙÒ ÔÖÞ º Ï Ö ØÓ Øݹ ÞÒ ÑÓ ÐÙ È ÐÔ ÈÓÐÐ ØÙ ÓÛ Ñ Ö ÔÓ ÞÝÑ Û Ñ Ö Ó ÐÒÝ Ö ÞÙÐØ Ø Û ØÝÑ Þ Ö ÔÓ ÆÓÛ º Æ Ò Þ ÔÖ Ø ÒÓÛ ÖÓÞ Þ ÖÞ Ò ÛÝÒ Û Ñ Ö ÆÓÛ ÔÓÐ Ò ØÝÑ Ù ÝØ ÞÒÓ ÔÖÞ Ø Û Ð Ò Ö G t ÙÛÞ Ð Ò ÓÒ ÙÑÔ Û ÞÝ Ø Ò ØÔÒÝ ÔÓ ÓÐ º ÍÛ Ò ¾º½ ÛÝ Ý Ò Ó ÓÑÔÐ ÓÛ Ò º ØÛ ÞÖÓÞÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ò ÔÓÖÙ Þ ÒÝ ÔÖÞÝ ÑÙ m = 1º Ï Ø Ñ ÔÖÞÝÔ Ù Ó Þ Ó ÞÒ Ð Þ Ò ÔÓÐ ØÝ Ø Ö Ø ÒÓÛ Ò Ð Ô Þ Ó ÔÓÛ õ Ð Ò Ý Û ÞÝ Ý ØÓ Ù Ø Ö Ù ÓÒ ÙÑÔ º Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò Ó Þ Ó ÞÒ Ð Þ Ò ÔÙÒ ØÙ Ø Ó Ô ÛÒ Ó Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ó Ö ÐÓÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÙÒ Ý Ò Û Ó Ö ÛÒÓÛ Ñ ÞÝ Ò Ö Ñ Ø Ö Ò ÓÑÙ Ò ÓÔ ÞÑ Ò Þ ÙÖÞÝ µº ½½

12 ÍÛ ÈÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÛÝ ÑÓ Ð ÑÓ Ý Ò Þ ÒØ ÖÔÖ ØÓÛ Òݺ ÅÓ ÑÝ ÔÖÞÝ i t = i Ð Ó t ÞÝÐ ÝÒ Ø Ø Û ØÓ ØÝÑ ÑÝÑ Ö Þ Ñº Ï ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ñ ÑÝ Ò ÙÛ Þ m Ö ÞÝ Ø ÖÝ Ù ÝØ ÞÒÓ ÙÐ ÞÑ Ò Û Þ ¹ º Í ÝØ ÞÒÓ Ö Þ i Ò ÔÓÞ Ø Ù Ó Ö Ù t ÛÝÖ ÓÒ ÛÞÓÖ Ñ W it ÙÛÞ Ð Ò Ø ÞÑ Ò Û ÔÙÒ Ø Û Þ Ò Ò ÔÖÞÝ Þ ÔÓÞ ÓÑÝ ÓÒ ÙÑÔ ÔÖÞ Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Û Ô ÞÝÒÒ α(s t )º Ì ÑÓ Þ Ò ÔÓÞ Ø Ù Ó Ó Ö Ùº Å ÑÝ Û ÛÞ ÙÓ ÐÒ Ò Ø Ò Ö ÓÛ Ó ÑÓ ÐÙ Þ ÞÝÒÒ Ñ Ý ÓÒØ βº Þ Ñ Û Ð Ø Ö ¹ØÙÖÞ i t Ò ÞÝÛ ÒÝ Ø Ó ÓÛØ Ö Ñ Ö Þ i Ó ÒÙÑ ÖÞ t Рصº Ñ Ò ÛÓ ÔÓ ÖÞ Ò Ò ÔÖÞÝ Þ Ó Ö Þ i ÑÓ Ý Ù Ð ÝÞÒ Ù ÝØ ÞÒÓ Ý ÓÒØ ÞÒ Ò Ò ÔÓÞ Ø Ù Ó Ó Ö Ùº Þ Ñ ÔÓ Û ÝØÙ α(s t ) < 1 Ó ÓÞÒ Þ Ö Þ Þ ÞÝÒ ÑÒ ÑÝ Ð Ó ÔÖÞÝ Þ Ó Ò ÑÙ ÛÞ Ò ÛÝ Û Óº Ì Ó ØÝÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÔÖÞÝ Ø Û ÔÖ Ý ¾ º  Рα( ) = 1 ØÓ ÑÓ Ð Ó Ø ÖÝÑ Ô Þ ÑÝ Ö Ù Ù Ó Ó Ø Ò Ö ÓÛ ÖÝ ØÓ ØÝÞÒ Þ ÞÝÒÒ Ñ Ý ÓÒØ β Û Ø Ö Ù ÝØ ÞÒÓ Û Ö ÞÝ Ò ÞÑ Ò ¹ Û Þ º Ï ÊÓÞ Þ Þ ÑÝ Ò Ð ÞÓÛ Ð Ö Þ α = 1 Ø Ö Ñ Ø Ò Ö ÓÛ ÒØ ÖÔÖ Ø º Ï Ò Ò ÞÝÑ ÖÓÞ Þ Ð ÞÑ ÖÞ ÑÝ Ó Ù ÓÛÓ Ò Ò Ò ØÔÙ Ó Ö ÞÙÐØ ØÙº ÌÛ Ö Þ Ò ½ Ã Û ÐÓ Ò Ö Ý Ò Ö ÔÐÓ Ø Þ Ó Û Þ Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖݹ ÞÓÒØ Ñ Ô Ò Þ Ó Ò ½ ʽ Ƚ ÔÓ Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Ó ÓÒ º ÍÛ Ï ÔÖÞÝÔ Ù α = 1 ØÛ Ö Þ Ò ½ ÔÖÞÝÒÓ ÒÓÛÝ Ö ÞÙÐØ Ø Ó ØÒ Ò Ù Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ ØÓ ØÝÞÒ Þ ÓÒØ ÒÙÑ Ø Ò Ûº ¾º¾  ÒÓÞÒ ÞÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ ÔÓÑÓ¹ Ò Þ Ì Ò ÔÓ ÖÓÞ Þ Ñ Ö Ø Ö ÔÓÑÓÒ Þݺ Í Ý ÑÝ Ò ØÔÙ Ý ÓÞÒ Þ Ð (x 1,...,x k ) R k ÛØ Ý k x := x j, ÓÖ Þ m x i = x j. j=1 j i Æ d = (d 1,..., d k ), d i > 0º ÈÓÒ ØÓ Ò U i : [0, d i ] R + H i : [0, d] R Ù Ø ÐÓÒÝÑ ÙÒ Ñ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÔÓÑÓÒ Þ ÒÓ ÖÓ ÓÛ k ¹ Ó Ó ÓÛ Ö Γ k Ð Ø Ö i ØÝ Ö Þ i = 1,...,kµ ÛÝ Ö ØÖ Ø Þ Þ ÓÖÙ [0, d i ]º ÙÒ ÛÝÔ ØÝ i Ø Ó Ö Þ Ø ÔÓ Ø w i (x) = U i (x i ) + c i H i ( x), Þ x := (x 1,..., x k ), c i > 0º Ï Ò Ò ÞÝÑ ÔÓ ÖÓÞ Þ Ð ÛÔÖÓÛ ÞÓÒÓ Ò ØÔÙ Þ Ó Ò ½¾

13 ÙÒ U i ÓÖ Þ H i Ð Û Ð Ð Ý C 2 º ÈÓÒ ØÓ U i Ø ÖÓ Ò Ò ØÓÑ Ø H i Ø Ñ Ð º Ñ ÖÞ ÑÝ Ó Ù ÓÛÓ Ò Ò ÔÓÑÓÒ Þ Ó Ö ÞÙÐØ ØÙ ÌÛ Ö Þ Ò ¾ ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Þ Ó Þ Û ÖÙÒ º ÏØ Ý Ö Γ k Ñ Ó Ò Ò Ö ÛÒÓÛ Æ º Ó Ù ÓÛÓ Ò Ò ÔÓÛÝ Þ Ó Ö ÞÙÐØ ØÙ ÔÓØÖÞ Ù ÑÝ Ð Ù Ð Ñ Ø Ûº Æ (R k, ) Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ Ò ØÔÙ Ò ÖÒ Ö Ð Ò ¾ x := (x 1,...,x k ) y = (y 1,..., y k ) ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ð Ó i = 1,...,k. x i ȳ i Ä Ñ Ø ½ (R k, ) Ø Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÛÓ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝѺ ÓÛ ØÛÓ Ù ÓÛÓ Ò Ö Ð Ø ÞÛÖÓØÒ ÔÖÞ Ó Ò º ÏÝ Ø ÖÞÝ ÛÝ Þ ÝÑ ØÖ Ö Ð º Æ x y ÓÖ Þ y xº ÏØ Ý Ð ÓÛÓÐÒ Ó i Ñ ÑÝ (x j y j ) = 0. j i ØÛÓ Þ ÙÛ Ý Ö Ò Û ØÓÖ Û r := x y Ô Ò Ù Ö Ñ Ö Ar = 0 Þ A = º º º ºº º º º ÈÓÒ Û det(a) 0 Û r = 0 ÞÝÐ x = yº Ò Ù ÑÝ ÙÒ Ò Ð Ô ÞÝ Ó ÔÓÛ Þ Ð i ¹ Ø Ó Ö Þ Ó Ð Ó x := (x 1,...,x k ) Ò. B i ( x i ) := Ö max a [0,d i ] {U i(a) + c i H i (a + x i )}. B(x) := (B 1 ( x 1 ), B 2 ( x 2 ),...,B k ( x k )). Ò ÞÝ Þ Ó ÛÝÒ B(x) Ñ Ò Ð Ñ Òغ Ä Ñ Ø ¾ ÙÒ B : (R k, ) (R k, ) Ø Ò ÖÓ Ò º ½

14 ÓÛ Æ ÓÖ Þ ÈÓÒ Û λ i (a, y) := U i (a) + c i H i (a + y), a [0, d i ], y [0, d i ] φ i (y) := argmax a [0,di ]λ i (a, y), y [0, d i ]. ¾º µ 2 λ i a y 0, λ i Ø ÙÒ Ù ÑÓ ÙÐ ÖÒ º ÌÛ Ö Þ Ò º½ Û ÔÖ Ý ÌÓÔ ¼ ÐÙ Þ ØÖÓÒÝ ¹ Û ÊÓ ÑÓ Ò ÛÝÛÒ Ó ÓÛ φ i Ò ÖÓ Ò º ËØ ÛÝÒ B : (R k, ) (R k, ) Ò ÖÓ Ò º ÈÓÒ Û Ð x, z R k x z ÔÓ Þ Ó x z ÙÒ B : (R k, ) (R k, ) Ø Ö ÛÒ Ò ÖÓ Ò º Ä Ñ Ø Â Ð Ü Þ Ö ÛÒÓÛ Ñ Æ Û ÖÞ Γ k ÓÖ Þ x z ÛØ Ý x = zº ÓÛ Æ x, z Ö ÛÒÓÛ Ñ Û ÖÞ Γ k ÓÖ Þ x zº z = B(z) B(x) = xº ËØ Þ Ä Ñ ØÙ ½ ÛÝÒ x = zº ÏØ Ý Þ Ä Ñ ØÙ ¾ Ä Ñ Ø Æ ξ : [0, b] R Þ ÙÒ º ÑÝ ØÒ ÔÖÞ Ð Þ ÐÒÝ ÓÑ Ò ØÝ Þ Ö Z [0, b] Ø ξ (y) ØÒ ξ (y) > 1 Ð y [0, b] \ Z.  Рy 0 (0, b] y [0, y 0 ) ÛØ Ý ξ(y) < ξ(y 0 ) (y y 0 ), ¾º µ ÓÖ Þ Ð y 0 [0, b) y (y 0, b] Þ Ó Þ ξ(y) > ξ(y 0 ) (y y 0 ). ¾º µ ÓÛ Ò Ù ÑÝ p(y) := ξ(y) ξ(y 0 ) + (y y 0 ), y [0, b]. Ì ÙÒ Ø Ò [0, b] Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ Û ÝÑ ÔÙÒ y [0, b] \ Z. ÈÓÒ ØÓ p (y) = ξ (y)+1 > 0 Ð ÓÛÓÐÒ Ó y [0, b] \Z ÓÖ Þ p Ø Ò [0, b]º ËØ ÛÝÒ ÙÒ p Ø Ð ÖÓ Ò Ò [0, b]º Ø Ñ Ð y 0 (0, b] ÓÖ Þ y [0, y 0 ) ÛØ Ý p(y) < p(y 0 ) = 0 Ó ÔÓ Þ Ó Ò Ö ÛÒÓ ¾º µº  Рy 0 [0, b) ÓÖ Þ y (y 0, b] ÛØ Ý p(y) > p(y 0 ) = 0 Ó ÔÓ Þ ÞÓ ¾º µº Ä Ñ Ø ÙÒ φ i Þ Ò ÓÛ Ò Û ¾º µ Ø Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ Û ÝÑ ÔÙÒ y [0, d i ] \ Z Þ Z Ø Þ ÓÖ Ñ ÔÖÞ Ð Þ ÐÒÝÑ ÓÑ Ò ØÝѺ ÈÓÒ ØÓ φ i (y) > 1 Ð Ó y [0, d i ] \ Zº ½

15 ÓÛ Ò Ù ÑÝ i := {y [0, d i ] : 0 < φ i (y) < d i }. Ï ÓÛÓ Þ Ä Ñ ØÙ ¾ ÛÝ Þ ÒÓ φ i Ø ÙÒ Ò ÖÓ Ò º ËØ i Ø ÔÖÞ Þ Ñ ÐÙ i =. Æ D i := Int( i )º Ý Ý i = ÛØ Ý φ i Ý Ý ÙÒ Ø Ò [0, d i ] Ø Þ Þ Ó Ý φ i(y) = 0 > 1 Ð ÓÛÓÐÒ Ó y [0, d i ]. ÑÝ Û i. Æ D i = (η 1, η 2 ).  Рη 1 > 0, ÛØ Ý φ i (y) = d i Ð Ó y [0, η 1 ) Ø φ i (y) = 0 Ð y [0, η 1 ).  Рη 2 < d i, ÛØ Ý φ i (y) = 0 Ð Ó y (η 2, d i ] Ø φ i(y) = 0 Ð y (ξ 2, d i ]. Ò Ù ÑÝ Z 0 := {y (η 1, η 2 ) : u i (y) = 0}º Â Ø ØÓ Þ Ö ÔÖÞ Ð Þ ÐÒÝ ÓÑ Ò Øݺ ÊÓÞÛ ÑÝ ÓÛÓÐÒ Ù Ø ÐÓÒÝ y [0, d i ] \ Z 0 º Þ Ó Ò φ i (y) Ø ÝÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò U i(φ i (y)) + c i H i(φ i (y) + y) = 0. ¾º½¼µ ÌÛ Ö Þ Ò Ó ÙÒ ÍÛ ÒÝ Þ ¾º½¼µ ÛÒ Ó Ù ÑÝ φ i Ø ÙÒ Ö Ò Þ Ó¹ Û ÐÒ Û ÝÑ ÔÙÒ y ÓÖ Þ Ô Ò ÓÒ Ø Þ Ð ÒÓ U i (φ i(y))φ i (y) + c ih i (φ i(y) + y)(φ i (y) + 1) = 0. ¾º½½µ Æ Z = Z 0 {η 1, η 2 }º ÏØ Ý Þ Ö Z Ø ÔÖÞ Ð Þ ÐÒÝ ÓÑ Ò Øݺ Þ Ð ÒÓ ¾º½½µ Ñ ÑÝ φ i (y) = c i H i (φ i(y) + y) c i H i (φ i (y) + y) + U i (φ i (y)) > 1, Ð Ó y [0, d i ] \ Z Ó Ó ÞÝ ÓÛ º ÓÛ ÌÛ Ö Þ Ò ¾ ÙÛ ÑÝ ÙÒ Ò Ð Ô ÞÝ Ó ÔÓÛ Þ B i Ð Ö Þ i Ñ ÔÓ Ø B i (x i ) = φ i (x i )º Ä Ñ ØÙ B i Ô Ò Þ Ó Ò Ä Ñ ØÙ º ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Γ k ÔÓ Û Ö Ò Ö ÛÒÓÛ Æ x = (x 1, x 2,..., x k ) ÓÖ Þ z = (z 1, z 2,..., z k ). Ä Ñ ØÙ ÛÝÒ ÑÙ Þ ØÒ Ö Ò Ò Ý i ÓÖ Þ j Ø x i > z i ÒÓÞ Ò x j < z j. Ä Ñ ØÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÓÖ Þ Ö ÛÒÓÛ Ò Ø Ñ B i (x i ) > z i (x i z i ) oraz B j (x j ) < z j (x j z j ). B i (x i ) x i > z x oraz B j (x j ) x j < z x. B i (x i ) x i > B j (x j ) x j, Ó ÓÞÒ Þ x Ò Ø ÔÙÒ Ø Ñ Ø ÝÑ B ØÝÑ ÑÝÑ Ò Ø Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Γ k º ËÔÖÞ ÞÒÓ Ó ÞÝ ÓÛ º ÌÛ Ö Þ Ò ¾ ÑÓ Ò ÖÓÞ Þ ÖÞÝ Ò m Ó Ó ÓÛ Ö Γ m Ó ÛÝÔ Ø Û ÔÓ Ø w i (x) = U i (x i ) + c i H i ( x), Þ x := (x 1,...,x m ) R m, x i [0, d i ] ÓÖ Þ c i Ø Û Û Ð i = 1,...,mº ½

16 ÌÛ Ö Þ Ò Â Ð Ô Ò ÓÒ Ø Þ Ó Ò ÛØ Ý Ö Γ m Ñ Ó Ò Ò Ö ÛÒÓ¹ Û Æ º ÓÛ Æ I := {i : c i 0}º Þ ØÖ ØÝ Ó ÐÒÓ ÑÓ Ò Þ Ó Ý I º Ð Û ÞÝ Ø i I ÓÖ Þ x i, ÙÒ w i Ø Ò ÖÓ Ò Û x i. ËØ Ð Ó Ö Þ i I x i Ñ ÑÝ B i (x i ) = argmax xi [0,d i ](U i (x i ) + c i Hi (x i + x i )) = d i. Æ x i := d i Ð ÓÛÓÐÒ Ó i I.  РI = {1, 2,..., m} ÛØ Ý x = (x 1, x 2,..., x m ) = (d 1, d 2,..., d m ) Ø ÝÒ Ö ÛÒÓÛ Û ÖÞ Γ m. Þ ØÖ ØÝ Ó ÐÒÓ ÑÓ Ò Þ Ó Ý I = {k + 1,..., m} Þ 1 k m 1.  Рk = 1 ÛØ Ý ÝÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Ø Û ÔÓ Ø x = (x 1, d 2,..., d m ) Þ x 1 := argmax x 1 [0,d 1 ](U 1 (x 1 ) + c 1 H1 (x 1 + d 1 )). ÈÖÞÝ Ñ ÑÝ 2 k m 1. ÊÓÞÛ ÑÝ Γ k Þ H i := H i x + m d j j=k+1 Þ x = (x 1, x 2,..., x k ) c i > 0 Ð Ó i = 1, 2,..., k. ÌÛ Ö Þ Ò ¾ Ö Γ k Ñ ÝÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Ò ÞÝÛ Ò (x 1, x 2,..., x k ). Æ x := (x 1, x 2,..., x k, d k+1,..., d m ). ÏØ Ý x Ø ÝÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Γ m. ÍÛ ÌÛ Ö Þ Ò ¾ Ò Þ Ó Þ Ð Þ Ó ÝÑÝ ÙÒ U i ØÝÐ Ó Û Ð º Æ U i (x i ) = x i, c i = 1/e ÓÖ Þ H i (x 1 + x 2 ) = 1 e (x 1+x 2 ), x i [0, 1], i = 1, 2. Ã Ô Ö (x 1, x 2) Ô Ò Ö ÛÒÓ x 1 + x 2 = 1 Ø Ö ÛÒÓÛ Æ Û Ø ÖÞ º ÍÛ Ý Þ Ó ÝÑÝ Ó Ø ÓÛÓ U i (x) < 0 Ð Ó x [0, d i] ØÛ Ö Þ Ò ¾ ÑÓ Ò Ù ÓÛÓ Ò Þ ÔÓÑÓ ÑÓÒ Þ Û Ö ÌÛ Ö Þ Ò ÊÓ Ò ¾ ¾ º, ¾º Á ØÒ Ò Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Þ Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Ò Ù ÑÝ ζ := µ + ν. 2 ËØÖ Ø ÓÖ ÐÓÛ Ò Ø ØÓ ÓÖ ÐÓÛ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ ψ( ) Ø ψ(a(s) s) = 1 Ð Ó s. ÈÖÞ Þ Ψ ζ ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ ØÖÞ Ð Ö ÛÒÓÛ ÒÓ ÓÖ ÐÓÛ ÒÝ ØÖ Ø Û Ø Ö ØÖ Ø Û Ó Ö Ø Ñ Ð Ý Ó Ö ÛÒ ζ¹ ÔÖ Û Û Þ Þ º à ÙÒ f Φ ÑÓ Ý ØÖ ØÓÛ Ò Ó Ð Ñ ÒØ ψ Ψ ζ Ø ψ({f(s)} s) = 1 ζ¹ôºûº ½

17 ÈÖÞ Þ ÙÒ Ö Ø Ó ÓÖݳ Ó Ò Þ ÓÖÞ C ÖÓÞÙÑ ÑÝ w : C R Ø w(s, ) Ø Ò A(s) w(, a) Ø ÙÒ Ñ ÖÞ ÐÒ Ò ÓÖ Þ ÙÒ s max w(s, a) a A(s) Ø ζ ¹ ÓÛ ÐÒ Ò º ÈÓÒ Û Û ÞÝ Ø Þ ÓÖÝ A(s) ÞÛ ÖØ Ψ ζ Ø ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÞÛ ÖØ Ñ ØÖÝÞÓÛ ÐÒ Û ØÓÔÓÐÓ º ËÞÞ Ý ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Û ÔÖ ½ º Ï Ò Ò Þ ÔÖ Ý ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Ø ψ n ψ Û Ψ ζ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ð ÙÒ Ö Ø Ó ÓÖݳ Ó w Ò C A(s) w(s, x)ψ n (dx s)ζ(ds) A(s) w(s, x)ψ(dx s)ζ(ds) Ý n. ¾º½¾µ Ä Ñ Ø Â Ð ψ n ψ Û Ψ ζ ÛØ Ý Ð ÙÒ Ö Ø Ó ÓÖݳ Ó Þ ÒÓ Û ¾º½¾µ Þ Ó Þ Ý ζ Þ Ø Ô ÑÝ ÔÖÞ Þ µ ÐÙ νº ÓÛ ØÛÓ Þ ÙÛ Ý Ø Þ ÛÝÒ Þ Ò ζ ÓÖ Þ Þ ØÙ µ, ν ζ. ÇÞÒ ÞÑÝ L (ζ) := L (, ζ) Ó ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ Ó ÓÒ Þ ÙÒ ζ¹ ØÓØÒ Ó Ö Ò ¹ ÞÓÒÝ Ó Þ Þ Ò Û Þ ÓÖÞ Û ÖØÓ Û Þ ÓÖÞ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º Æ Ð L (ζ) Þ Ò ØÓÔÓÐÓ σ(l (ζ), L 1 (ζ)). Ë Û Þ Þ ÒÓ Ù {v n } Ó v L (ζ) Ø ÓÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ v n v Û L (ζ). Ð Ñ ÖÞ ÐÒ Ó Ö Ò ÞÓÒ ÙÒ v : R ψ Ψ, Ò [Q (1) ψ v](s) := A(s) v(s )q(ds s, x)ψ(dx s) ÓÖ Þ Ä Ñ Ø ÑÝ Þ Ó Þ È½º Æ v n Ð ÓÛÓÐÒ Ó t T, Ñ ÑÝ Q (t) ψ n v n Q (t) ψ v Ò L (ζ) ÔÖÞÝ n. ÓÛ Æ t = 1. Ó Þ [Q (t+1) ψ v](s) := [Q (1) ψ Q(t) ψ v](s). v L (ζ) ÓÖ Þ ψ n ψ Û Ψ. ÏØ Ý Q (1) ψ n v n Q (1) ψ v = (Q(1) ψ n v Q (1) ψ v) + (Q(1) ψ n v n Q (1) ψ n v). ¾º½ µ Ò Þ ÒÓ Ù ψ n Ó ψ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ψ ζ ÛÝÒ ÛÝÖ Ò Û Ô ÖÛ ÞÝÑ Ò Û Þ ÔÖ Û ØÖÓÒÝ Ö ÛÒÓ ¾º½ µ Ý Ó ¼ (n ) Û Û Þ ØÓÔÓÐÓ Ò L (ζ)º ÙÛ ÑÝ [Q (1) ψ n (v n v)](s) (v n (s ) v(s ))µ(ds ) + (v n (s ) v(s ))ν(ds ). ËØ Þ ØÙ µ ζ ÓÖ Þ ν ζ ÛÝÒ [Q (1) ψ n (v n v)](s) Þ ÒÓ Ø Ò Ó Þ Ö Û s. ËØ Q (1) ψ n (v n v) 0 Û L (ζ). Ï Ð Ñ Ø Ø Ù ÓÛÓ Ò ÓÒÝ Ð t = 1. ÓÛ Ð ÓÛÓÐÒ Ó t T ÔÖÞ Ò Ù Ý Ò º Ð Ó ψ Ψ, k 2, s, Ò Ù ÑÝ J i (ψ)(s) := u i (ψ)(s) + τ=k+1 ½ β τ k [Q (τ k) ψ u i (ψ)](s), ¾º½ µ

18 Þ u i (ψ)(s) := A(s) x = (x 1, x 2,..., x m ) A(s) ÓÖ Þ ũ i (x) := u i (x i ). ũ i (x)ψ(dx s), Ä Ñ Ø Â Ð Ô Ò ÓÒ Þ Ó Ò ½ ʽ ÓÖ Þ È½ ÛØ Ý ÙÒ ψ J i(ψ)(s)µ(ds) ÓÖ Þ ψ J i(ψ)(s)ν(ds) Ò Ψ. ÓÛ ÙÛ ÑÝ Þ Ö ¾º½ µ Ø ÒÓ Ø Ò Þ Òݺ ËØ Ø Þ ÛÝÒ Ò ØÝ ¹ Ñ Ø Þ Ò Þ ÒÓ Û Ψ ¾º½ µ ÓÖ Þ Ä Ñ Ø Û º ÓÛ ÌÛ Ö Þ Ò ½ Ð Ó ψ Ψ s Ò Ù ÑÝ Ö Ó ÙÑ Ò Þ ÖÓÛ Γ(ψ, s) Û Ø Ö ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ø A(s) Ð ÓÛÓÐÒ Ó x = (x 1, x 2,..., x m ) A(s) ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ Ð Ö Þ i ÛÝÒÓ k i (s, ψ)(x) = u i (x i ) + βα(s) J i (ψ)(s )q(ds s, x). ¾º½ µ  ÞÛÝ Ð Ò x = m j=1 x j. Ƚ Ñ ÑÝ k i (s, ψ)(x) = u i (x i ) + βα(s)[c i (ψ) + d i (ψ)g(s x)], ¾º½ µ Þ c i (ψ) = J i (ψ)(s )ν(ds ) ÓÖ Þ d i (ψ) = J i (ψ)(s )µ(ds ) J i (ψ)(s )ν(ds ). ÈÖÞÝ Þ Ó Ò Ê½ Ƚ Þ ÌÛ Ö Þ Ò ÓÖ Þ ¾º½ µ ÛÝÒ Ö Γ(ψ, s) Ñ ÝÒ Ö ÛÒÓÛ Æ ÞÛ Ò f ψ (s) A(s)º Ï ÖÙÒ Ó ÒÓÞÒ ÞÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ Û Γ(ψ, s) ÑÔÐ Ù ÙÒ s f ψ (s) Ø º Ò Ù ÑÝ N : Ψ Ψ Ó N(ψ) := [f ψ ], Þ [f ψ ] ÓÞÒ Þ Ð ÙÒ f Φ Ø f = f ψ ζ¹ôºûº ÙÛ ÑÝ Ð ψ n ψ 0 Û Ψ ÔÖÞÝ n µ ÛØ Ý Þ Ä Ñ ØÙ µ c i (ψ n ) c i (ψ 0 ) ÓÖ Þ d i (ψ n ) d i (ψ 0 ) Ð Û ÞÝ Ø i. ¾º½ µ Ñ ÑÝ lim max k i(s, ψ n )(x) k i (s, ψ 0 )(x) = 0. n x A(s) ÈÓÛÝ ÞÝ Ø ÒÓÞÒ ÞÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Γ(ψ, s) Ð Û ÞÝ Ø ψ s µ ÌÛ Ö Þ Ò µ ÑÔÐ Ù f ψn (s) f ψ0 (s) Ð ÓÛÓÐÒ Ó s Ý n. ÌÛ Ö Þ Ò Ä Ù ³ Ó Þ ÒÓ Ó Ö Ò ÞÓÒ ÛÝÒ [f ψn ] [f ψ0 ] Û Ψ Þ ØÓÔÓÐÓ µº ÈÓ Þ ÒÓ N Ø ÙÒ º ÌÛ Ö Þ Ò Ë Ù Ö ¹Ì ÓÒÓÚ³ Ó ÔÙÒ Ø ÝÑ ÊÓÞ Þ ÁÁ Ï Ö ½ µ ØÒ ψ Ψ Ø ψ = N(ψ ). ÌÓ ÓÖ Þ Ò N(ψ ) ÑÔÐ Ù ØÒ Ò Þ ÓÖÙ ÓÖ ÐÓÛ Ó B 1 Ô ÛÒ Ó f Φ Ø Ó f (s) = ψ (s) Ð Ó s B 1 ÓÖ Þ ζ(b 1 ) = 1. ÈÓÒ ØÓ Û ÑÝ f (s) Ø ÝÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Γ(ψ, s) Ð Ó s B 1. Æ s \ B 1. ÈÓÒ Û µ ν ζ, Ñ ÑÝ µ( \ B 1 ) = 0 ν( \ B 1 ) = 0. ËØ ÛÝÒ Û Ó Ù Ö Γ(ψ, s) Γ(f, s) ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ Ø Ñ Ð Ó Ö Þ i M ÓÖ Þ Ð ÓÛÓÐÒ Ó s. ËØ f (s) Ø ÞÝ Ø Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Γ(f, s) Ð ÓÛÓÐÒ Ó s, Ó Ó ÞÝ ÓÛ º ½

19 ¾º Á ØÒ Ò ÒÓÞÒ ÞÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Þ Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Þ ÓÛÝÑ Æ n 2 Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Öݺ Æ T n := {1, 2,..., n}. Æ {f t } t Tn Þ Ñ ØÖ Ø Ó ÔÓ ÓÐ Ò Û ÖÞ Ó Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖ ÞÓÒ º Å ÑÝ f t = (f 1t, f 2t,..., f mt ) ÓÖ Þ f t Φ. Æ f t := {f τ : τ = t,..., n}, t T n. Ð Û ÞÝ Ø t n 1 ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ Ð Ö Þ i t G i Ø Þ Ò ÓÛ Ò Ó Â Ð t = n ÛØ Ý γ n,it (f t )(s t ) := u i (f it (s t )) + α(s t )E ft s t n τ=t+1 γ n,it (f t )(s t ) = γ n,in (f n )(s n ) := u i (f in (s n )). ¾º½ µ ÓÖ Þ ¾º½ µ ÑÓ Ò Þ ÙÛ Ý Ð t n 1µ γ n,it (f t )(s t ) = u i (f it )(s t ) + α(s t )β β τ t u i (f iτ (s τ )). ¾º½ µ γ n 1,it+1 (f t+1 )(s t+1 )q(ds t+1 s t, f it (s t )). ¾º½ µ ¾º½ µ Ð ÓÛÓÐÒÝ t n 1, f t+1 = {f t+1,..., f n }, ÓÖ Þ s t, ÓÞÒ ÞÑÝ Γ(f t+1, s t ) ¹ Ö Ó ÙÑ Ò Þ ÖÓÛ Ö Ò ÔÖÞ Þ ÔÓ ÓÐ Ò G t Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ØÖ Ø A(s t ) ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ Ð Ö Þ i t G t k it (x) = k it (f t+1, s t )(x) := u i (x it ) + α(s t )β γ n,it+1 (f t+1 )(s t+1 )q(ds t+1 s t, x), ¾º¾¼µ Þ x = (x 1t, x 2t,..., x mt ) A(s t ) Ø ÔÖÓ Ð ØÖ Ø ÞÒÝ Ð ÔÓ ÓÐ Ò G t º Ê ÛÒÓ ¾º½ µ ¾º½ µ ÙÑÓ Ð Û Þ Ò ÓÛ Ò Ö ÛÒÓÛ Ó ÓÒ Û ÖÞ Þ Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñº Ò Æ f := { f 1, f 2,..., f n } Þ f t = ( f 1t, f 2t,..., f mt ) Φ. Å Ö ÓÛ Ö ÛÒÓÛ Ó ÓÒ Û Ñ ÞÝ Ò Ö Ý Ò ÖÞ Ó Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒ Ò ÞÝÛ ÑÝ f Ø f in (s n ) = Ö Ñ Ü a Ai (s n)u i (a) Ð Ó s n, i n G n, ¾º¾½µ Ð Ó t n 1, i t G t, s t, ft (s t ) Ø Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Γ( f t+1, s t ). ÌÛ Ö Þ Ò ÈÖÞÝ Þ Ó Ò ½ ʽ Ƚ Ö Ñ ÞÝ Ò Ö Ý Ò Ó Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒ Ñ ÝÒ Ö ÛÒÓÛ Ó ÓÒ º ÓÛ ÃÓÒ ØÖÙ Ö ÛÒÓÛ Ó ÓÒ ÔÖÞ Þ ÔÓÑÓ Ò Ù Û Ø ÞÒ º ØÛÓ ÛÝ Þ f n Ø ÒÓÞÒ ÞÒ ÛÝÞÒ ÞÓÒ Û ¾º¾½µº ÙÛ ÑÝ ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ k it Ð Ö Þ i t G t Þ Ò ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ¾º¾¼µ Ø Ò A(s t ) Ð ½

20 Û Ð ÐÙ ÖÓ Ò ÛÞ Ð Ñ x it ÛÝÔ ØÝ Ò Ø ÛÞÓÖ Ñ Ò Þ Ð Ò Ó ØÖ Ø ÔÓÞÓ Ø Ý Ö Þݺ ÙÒ k it (x) = u i (x it ) + α(s t )βh it+1 (s t, x), Þ h it+1 (s t, x) := + ( γ n,it+1 ( f t+1 )(s t+1 )ν(ds t+1 ) γ n,it+1 ( f t+1 )(s t+1 )µ(ds t+1 ) γ n,it+1 ( f ) t+1 )(s t+1 )ν(ds t+1 ) g(s x).  ÒÓÞÒ ÞÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ ÛÝÒ Þ ÌÛ Ö Þ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ÖÞ Γ( f t+1, s t ), t n 1. ¾¼

21 ÊÓÞ Þ ÔÖÓ ÝÑ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ ÝÑ ØÖÝÞÒ ÔÐÓ Ø Þ Ó Û Ê ÞÙÐØ ØÝ Ò Ò Þ Ó ÖÓÞ Þ Ù ÞÓ Ø Ý ÓÔÙ Ð ÓÛ Ò Û ÔÖ Ý º Â Ù Û ÔÓÑÒ ÒÓ Û ÍÛ Þ ÔÓÞ Û ÞÝ Ó Ø Ó ÖÓÞ Þ Ù ÖÓÞÛ ÑÝ Ø Ò Ö ÓÛ Ö ØÓ ØÝÞÒ m ¹ Ó Ó ÓÛ ÔÖÞÝ ÑÙ α = 1º Í ÓÛÓ Ò ÓÒÓ Û ÖÞ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Ð Ö Ó Þ Ò ÖÓ ÓÛÝ Þ Ò ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒ Ó Ö ÛÒÓÛ Û ÖÞ Ò Ó Þ Ò ÖÓ ÓÛ Ý ÓÖÝÞÓÒØ Þ ÓÛÝ ÛÞÖ Ø º ÈÓ Ó Ò Þ ÒÓ Þ Ó Þ Ø Ð ÛÝÔ Ø Æ º Ý f Ø Ñ Ö ÓÛ ØÖ Ø ÞÒ Ð Ö ÞÝ ÛÝÔ Ø Ð Ö Þ i Û ÖÞ Þ Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Þ ÓÛÝÑ ÛÝÖ ÓÒ Ø ÛÞÓÖ Ñ ( ) γ i (f)(s) = Es f r i (s t, f t (s t ))β t 1. º½µ t=1 Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÖÝ n ¹ ÖÓ ÓÛ ÛÝÔ Ø Ð i ¹ Ø Ó Ö Þ ÛÝÒÓ ( n ) γ n,i (f)(s) = Es f r i (s t, f t (s t ))β t 1. º¾µ t=1 Ï Ò Ò ÞÝÑ ÖÓÞ Þ Ð ÔÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Ò ØÔÙ Þ Ó Ò ¾ Ó Þ ½ ÓÖ Þ Ó Ø ÓÛÓ a i (s) = a(s) s/m Ð Ó i Mº ʾ Ó Þ Ê½ Ó Ø ÓÛÓ u i (s) = u(s) Ð Ó i Mº Ⱦ ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ q Ø Ò ØÔÙ ÔÓ Ø m m q( s, x) = g j s x j µ j ( s) + g 0 s x j j=1 j=1 j=1 δ 0 ( ), º µ Þ L N Ð j = 1,...,L g j : [0, 1] Ø ÙÒ ÛÙ ÖÓØÒ Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ Ð Û Ð ÖÓ Ò µ j ( ) Ô ÛÒÝÑ ÖÓÞ Ñ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÔÖÞ Þ ¾½

22 Ó δ 0 ( ) ¹ ÐØ Ö ÙÔ ÓÒ Û ¼º ÈÓÒ ØÓ g 0 : [0, 1] g 0 (0) = 1 Ô Ò ÓÒ Ø Ö ÛÒÓ g j ( ) = 1. j=0 Ø Ñ Ñ ÑÝ Ó ÞÝÒ Ò Þ Ö ÝÑ ØÖÝÞÒ ØÓ ÞÒ ÞÝ Þ Ö ÓÖ Þ ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ Ø Ñ Ð Û ÞÝ Ø Ö Þݺ Í ÓÛÓ Ò Ò ÛÒÝ Ö ÞÙÐØ Ø Û ÔÓÔÖÞ ÞÓÒÓ Ò Ð Þ ÔÓÑÓÒ Þ ÖÝ ÒÓ ÖÓ ÓÛ º º½ ÈÓÑÓÒ Þ Ö ÒÓ ÖÓ ÓÛ Ï ØÝÑ ÔÓ ÖÓÞ Þ Ð ÖÓÞÔ ØÖÙ ÑÝ ÔÓÑÓÒ Þ ÝÑ ØÖÝÞÒ m¹ó Ó ÓÛ Ö Û Ø Ö Þ Ö ØÖ Ø Ð Ö ÞÝ ØÓ I = [0, d] Ý d > 0. Ó ÓÒÓ U : I [0, ) Ø Ø ÙÒ Ð Û Ð ÖÓ Ò Ø U(0) = 0 ÓÖ Þ H k : [0, md] [0, ) ØÓ ÙÒ Ð Û Ð Ñ Ð (k = 1,..., L)º ÈÓÒ ØÓ u h k ÛÙ ÖÓØÒ Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ º Æ G c Þ Ö ÝÑ ØÖÝÞÒ Û Ø Ö ÙÒ ÛÝÔ ØÝ Ø ( m ) wi c (x) := U(x i) + c k H k x t, k=1 t=1 Þ x = (x 1,..., x m ) I m c = (c 1,..., c L ) Ô Ò Û ÖÙÒ c k 1 Ð Û ÞÝ Ø kº Æ G = G c ÓÖ Þ w c i = w i Ý c k = 1 Ð Ó k. ÈÖÞÝ ÔÓÛÝ ÞÝ Þ Ó Ò ÖÝ G G c Ñ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Ø Ö ÓÞÒ ÞÓÒÓ ÔÖÞ Þ x = (a,..., a ) Ó ÔÓÛ Ò Ó ÔÖÞ Þ y = (b,..., b ). Ä Ñ Ø Ó Þ Ð Ó Ö Þ iº b a ÓÖ Þ w i (x ) w c i (y ) ÓÛ ÃÖÓ ½º Æ ÔÓÞ Ø Ù ÔÓ ÑÝ b a. Ò Ù ÑÝ w(a, t, c) := U(a) + c k H k (a + (m 1)t) k=1 Þ a t I c = (c 1,..., c L ) Þ ÑÝ w(a, t) := w(a, t, c) Ý c k = 1 Ð Û ÞÝ Ø k. Æ ϕ(t) := arg max a I w(a, t). Å ÑÝ 2 w(a, t) a t = (m 1) k=1 H k(a + (m 1)t) 0, Ó ÓÞÒ Þ w Ø ÙÒ Ù ÑÓ ÙÐ ÖÒ º ÌÛ Ö Þ Ò ÌÓÔ Û ¼ ÐÙ ÊÓ ÙÒ ϕ Ø Ò Ñ Ð º Ø Ñ ÔÖÞ ÛÝ Ö Ù ÙÒ ϕ Þ ÓÒ Ð Ò I 2 Þ Û Ö Ò ÔÙÒ Ø ÞÛ ÒÝ (a, a )º ÙÛ ÑÝ [ ] w(a, a ) = max w(a, a I a ) = max U(a) + H k (a + (m 1)a ) a I ¾¾ k=1

23 Ó ÓÞÒ Þ (a,..., a ) I m Ø ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ G. ÈÓ Ó Ò Ò Ù ÑÝ ϕ(t, c) := arg max a A w(a, t, c). ÙÛ ÑÝ 2 w(a, t, c) a c k = H k(a + (m 1)t) 0, Þ Ø Ñ (a, c) w(a, t, c) Ø ÙÒ Ù ÑÓ ÙÐ ÖÒ ÔÖÞÝ ÝÑ Ù Ø ÐÓÒÝÑ t. ÌÛ Ö Þ ¹ Ò ÌÓÔ ¼ ϕ(t, c) Ø ÙÒ Ò ÖÓ Ò ÛÞ Ð Ñ c R L. ÇÞÝÛ Ò R L ÖÓÞÛ ÑÝ ÔÓÖÞ ÔÖÓ Ù ØÓÛݺµ ÈÓÒ Û c j 1, Ð ÓÛÓÐÒ Ó j ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ϕ(t, c) ϕ(t) Ð ÓÛÓÐÒ Ó t I. º µ Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó c ÑÓ Ý Þ Ó ÖÛÓÛ ÛÝ Ö ÙÒ t ϕ(t, c) ÔÖÞ Ò ÓÒ Ð Û [0, d] 2 Û Ó Ò ÒÝÑ ÔÙÒ Ò ÞÝÛ ÒÝÑ (b, b ). ÇÞÝÛ (b,..., b ) [0, d] m Ø ÝÑÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ G c º º µ ÛÝÒ b a. ÃÖÓ ¾º Æ t := arg max t I κ c (t) Þ κ c (t) := U(t) + c k H k (mt). k=1 º µ ÇÞÝÛ κ c Ø ÙÒ Ð Û Ð ºµ Ã Þ ÑÝ κ := κ c Ý Û ÞÝ Ø Û Ô ÞÝÒ¹ Ò c k = 1. Í ÓÛÓ Ò ÑÝ t b. ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ t Ø ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò ÙÛ ÑÝ U (t) + k=1 mc k H k (mt) = κ c (t) = 0. λ(t) := U (t) + c k H k (mt) U (t) + mc k H k (mt) = κ c (t) k=1 k=1 º µ Ð Ó t I. ÑÝ λ(b 0 ) = 0. ÏØ Ý Þ º µ ÛÝÒ t b 0. Ý b 0 = b ÓØÖÞÝÙ ÑÝ Ò ØÝ Ñ Ø t b. Ó Þ ØÓ Ý b (0, d). Ý b = d ÛØ Ý ÓÞÝÛ t b º ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ b = 0. ÏØ Ý Þ Ò t Þ Ó ÙÒ h k Ñ Ð ÓÖ Þ (0,..., 0) I m Ø Ö ÛÒÓÛ Æ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ U(0) + c k H k (0) U(t ) + c k H k (t ) U(t ) + c k H k (mt ) U(0) + c k H k (0). k=1 k=1 k=1 k=1 ÈÓÒ Û u Ø Ð Û Ð ÔÓ Ó Ò ÙÒ H k Ø Ø c k Ó ØÒ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ t = 0. ËØ t = b = 0. ÃÖÓ º  Рκ c (t) < 0 Ð Ó t (0, d) ÛØ Ý t = 0 b. ÃÖÓ º  Рκ c (t) > 0 Ð Ó t (0, d) ÛØ Ý t = d. ÙÛ ÑÝ U (t) + c k H k (mt) κ c (t) > 0 k=1 ¾

24 Ð Û ÞÝ Ø t (0, d). Ø Ñ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ b {0, d}. Ý b = d Ñ ÑÝ t = b. ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ b = 0. ÏØ Ý Þ Þ Ó Ò (0,..., 0) I m Ø Ö ÛÒÓÛ Æ Ò t ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ U(0) + c k H k (0) U(d) + c k H k (d) U(d) + c k H k (md) U(0) + c k H k (0). k=1 k=1 k=1 k=1 ÌÓ ÓÞÒ Þ κ c (0) = κ c (d) = κ c (t ) ÔÖÞ ÞÝ Þ Ó Ò Ù κ c Ø Ð Û Ð º ÓÛ Ð ÑÝ t b a. ÃÖÓ º Ò Ù ÑÝ E := {t I : κ c (t) κ(a )}. Ï E Ø ÔÖÞ Þ Ñ ÓÖ Þ a t E. Ø Ñ b E. Å ÑÝ Û w i (x ) w c i (y ) Ð Ó Ö Þ iº Ä Ñ ØÙ ÌÛ Ö Þ Ò ¾ Ò ØÝ Ñ Ø ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ä Ñ Ø ½¼ Ö G c Ñ Ó Ò Ò Ö ÛÒÓÛ Æ Ø ÓÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ º º¾ ÛÒ Ö ÞÙÐØ ØÝ Æ B 0 () Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ÞÝ Ø Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Ò Ù ÑÒÝ ÓÖ ÐÓÛ ÙÒ¹ v : R Ø v(0) = 0. ÈÖÞ Þ F ÓÞÒ Þ ÑÝ Þ Ö Û ÞÝ Ø ÑÙÐØ ¹ ØÖ Ø f = (f, f,..., f) Φº ÙÛ ÑÝ ØÒ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò ØÝÔÙ ½¹½ Ñ ÞÝ f F f F. Ò Ù ÑÝ Ó ÖÞ ÞÒ ÒÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Ù ÝÒ Ñ ÞÒÝÑ Ó ÔÓÛ Ò Ñ Ð Ø Öݺ Æ f F, ÓÖ Þ v B 0 (). Æ (T f v)(s) = u(f(s)) + β v(s )q(ds s, f(s)) º µ Þ f(s) = (f(s),..., f(s)) A(s). ÈÓÒ Û v(0) = 0 Þ È¾ ÛÝÒ T f v B 0 () ÓÖ Þ (T f v)(s) = u(f(s)) + β v(s )µ j (ds s)g j (s m f(s)). º µ j=1 Ð Ó v B 0 () ÓÖ Þ s, Ò Ù ÑÝ Ö ÝÑ ØÖÝÞÒ Γ(v, s) Þ ÙÒ ÛÝÔ ØÝ Ð Ö Þ i ÔÓ Ø k i (v, s, x) := u(x i ) + β v(s )q(ds s, x) Þ x = (x 1,..., x m ) A(s). ÙÛ ÑÝ Ð Ó v B 0 () Ð ÓÛÓÐÒ Ó s + Ñ ÑÝ k i (v, s, x) = u(x i ) + β v(s )q(ds s, x). º µ + ÈÓÒ Û v 0 Þ º µ Þ Ó Ò È¾ Ä Ñ ØÙ ÛÝÒ Ð Ó s, Ø Ö Ñ ÞÝ Ø µ ÝÑ ØÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ NEΓ(v, s). ØÛÓ Û NEΓ(v, s) = (0, 0,..., 0) Ð s = 0. ¾

25 ÊÓÞÛ ÑÝ Ò Ô ÖÛ Ö Ó Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒ º ÔÓÑÓ Ò Ù Û Ø ÞÒ Ê Ö ½ ÓØÖÞÝÑ ÔÖÓ ÙÖ ÛÝÞÒ Þ Ò ÞÖ Ò ÓÑ ÞÓÛ Ò Ö ÛÒÓÛ Æ Û n ÖÓ ÓÛ ÖÞ º ÈÖÞÝ Ò ÞÝ Þ Ó Ò Ø ÑÝ Û Ø Ò ÓØÖÞÝÑ Ò ÞÖ Ò ÓÑ ¹ ÞÓÛ Ò Ö ÛÒÓÛ ÓØÖÞÝÑ Ó Ø ÓÛÓ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ Ð Ö ÛÒÓÛ Æ ÙÒ Ö ÛÒÓÛ º Æ n Þ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Öݺ Æ f 1 (s) := a(s) Ð Ó s º ÏØ Ý v 1 (s) := max a A(s) u(a) = u(f 1(s)) Ð Ó s. ÇÞÝÛ v 1 B 0 ().  Рv 0 (s) := 0 Ð Ó s, ÛØ Ý f 1 (s) = NEΓ(v 0, s). ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ f1 (s) Ø ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ ÒÓ ÖÓ ÓÛ Ò ØÓÑ Ø v 1 Ø ÙÒ Ö ÛÒÓÛ Ð Û ÞÝ Ø Ö ÞÝ ÓÖ Þ v 1 = T f1 v 0. Í ÝÛ Ä Ñ ØÙ ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ f 2,..., f n F Ø v 2,..., v n B 0 () Ò ØÔÙ Ó f k (s) := NEΓ(v k 1, s) ÓÖ Þ v k (s) := (T fk v k 1 )(s) º½¼µ Ð s k = 2,..., n. ÊÓÞÛ ÑÝ n¹ ÖÓ ÓÛ ØÖ Ø Å Ö ÓÛ π (n) i Þ Ò ÓÛ Ò Ó π (n) i = (f 1, f 2,..., f n) := (f n, f n 1,..., f 1 ) º½½µ Þ f k F Ó ÔÓÛ ÔÖÓ ÐÓÛ f k F k = 1,..., nµº ØÛÓ Û f k = f n k+1 ºµ ÇØÖÞÝÑ ÒÓ Ò ØÔÙ ØÛ Ö Þ Ò º ÌÛ Ö Þ Ò Ã n¹ ÖÓ ÓÛ Ö ØÓ ØÝÞÒ Ô Ò Þ Ó Ò ¾ ʾ Ⱦ Ä ÔÓ Ò ÞÖ Ò ÓÑ ÞÓÛ Ò Å Ö ÓÛ Ö ÛÒÓÛ Æ π (n) = (π (n) 1, π (n) 2,..., π m (n) ) Þ Þ Ò ÓÛ Ò Û º½¼µ º½½µ i = 1,..., m. ÙÒ Ö ÛÒÓÛ Û ÖÞ n¹ ÖÓ ÓÛ π (n) i Ð i Ø Ó Ö Þ Ø v n B 0 () Ò Þ Ð Ò Ó iµº ÈÓÒ ØÓ Ñ ÑÝ Ð Ó s. v n (s) v n 1 (s) ÓÖ Þ f n (s) f n 1 (s) º½¾µ ÓÛ ËØÛ Ö Þ Ò π (n) Ø Ö ÛÒÓÛ Æ ÛÝÒ Þ ÔÓÛÝ Þ ÓÒ ØÖÙ Ö ÛÒ ÐÐÑ ÒÒ Ð ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÝÒ Ñ ÞÒ Ó Û Ö Ó Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒ ½ ½ º Æ Ð Ý Ù ÓÛÓ Ò º½¾µº ÇÞÝÛ f k (0) = 0 ÓÖ Þ v k (0) = 0 Ð ÓÛÓÐÒ Ó k Þ Ø Ñ º½¾µ Þ Ó Þ Ð s = 0. Í Ø ÐÑÝ s > 0 ÓÖ Þ Ö Þ i. Ò Ù ÑÝ η(a) := u(a) + β v 1 (s )q(ds s, a, g i ) + Þ g := f 2. º µ º µ ÓÖ Þ Ò v 2 g = f 2 Ñ ÑÝ v 2 (s) = (T g v 1 )(s) = max a A(s) η(a). º½ µ Þ Ó Ê¾ Ⱦ Ñ ÑÝ η (a) u (a) Ð Ó a A(s). ÌÓ ÓÖ Þ º½ µ ÑÔÐ Ù f 2 (s) = arg max a A(s) η(a) f 1 (s). ËØ Ø v 2 (s) v 1 (s)º Æ v n 1 (s) v n 2 (s) ÓÖ Þ ¾

26 f n 1 (s) f n 2 (s) Ð ÓÛÓÐÒ Ó s Ð Ô ÛÒ Ó n. Æ s +. ÊÓÞÛ ÑÝ Ö G Þ ÔÓ ÖÓÞ Þ Ù º½ Þ U(x) = u(x) Ð ÓÛÓÐÒ Ó x A(s) ÓÖ Þ ( m ) H k x t := g k (s(x))β v n 2 (s )µ k (ds s), t=1 + Þ x = (x 1,..., x m ) A(s). Æ ØÔÒ ÖÓÞÛ ÑÝ Ö G c Û Ø Ö ( m ) c k H k x t := g k (s(x))β v n 1 (s )µ k (ds s) + t=1 Þ c k Þ Ò ÓÛ ÒÝÑ Ó c k := + v n 1 (s )µ k (ds s) + v n 2 (s )µ k (ds s). Ä Ñ ØÙ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ v n (s) v n 1 (s) f n (s) f n 1 (s), Ó Ó ÞÝ ÓÛ º ÌÛ Ö Þ Ò Ã m ¹ Ó Ó ÓÛ ØÓ ØÝÞÒ Ö ÔÐÓ Ø Þ Ó Û Þ Ò Ó ÞÓ¹ ÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Ô Ò Þ Ó Ò ¾ ʾ Ⱦ Ä Ñ Ò ÞÖ Ò ÓÑ ÞÓÛ Ò Ø ÓÒ ÖÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ f F º ÈÓÒ ØÓ Ð Ó s Ñ ÑÝ v (s) := lim n v n (s) = γ i ( f )(s) ÓÖ Þ f (s) = lim n f n (s). ÓÛ Ö Ò v ÓÖ Þ f ØÒ Ò ÑÓÝ ÌÛ Ö Þ Ò º ÇÞÝÛ v (0) = 0 f (0) = 0. Æ s +. Ã Þ ÑÝ φ n (s) := (f n (s),..., f n (s)) A(s). º µ ÓÖ Þ º µ Ñ ÑÝ v (s) = lim v n (s) = lim (T fn v n 1 )(s) n n = u(f (s)) + β v (s )q(ds s, f (s)) + ÓÖ Þ [ ] v (s) = n lim max u(a) + β v n 1 (s )q(ds s, (a, φ n i) a A(s) + [ ] = max u(a) + β v (s )q(ds s, (a, f i(s))). a A(s) + Ø Ñ Ð s + Ñ ÑÝ v (s) = u(f (s)) + β v (s )p(ds s, f (s)) [ = max u(a) + β v (s )p(ds s, (a, f ] i (s))). a A(s) º½ µ ¾

27 ÇÞÝÛ º½ µ Þ Ó Þ Ð s = 0 Þ f (0) = 0 ÓÖ Þ v (0) = 0. ÔÓ Ø Ö ÛÒ ÐÐÑ Ò ØÖ Ø ÓÔØÝÑ ÐÒ Ð ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò Ý ÓÒØÓÛ Ò Ó ÓÔ Ò Ó Û ½ ÐÙ Û ½ ÑÓ Ò ÛÝÛÒ Ó ÓÛ v (s) = γ i ( f )(s) = sup π i Π i γ i (π i, f i )(s) Ð ÓÛÓÐÒ Ó s ÓÖ Þ ÓÛÓÐÒ Ó Ö Þ i, Û f Ø ÝÑÑ ØÖÝÞÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Æ º Æ Ð v B 0 (). J k (v)(s) := v(s )µ k (ds s) + ÌÛ Ö Þ Ò ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Ô Ò ÓÒ Þ Ó Ò ¾ ʾ Ⱦ ĺ ÈÓÒ ØÓ = [0, s 0 ] ÙÒ s a(s) ÓÖ Þ s J k (v)(s) Ð ÓÛÓÐÒ Ó k ÙÒ v B 0 (). ÏØ Ý Ö Ò ÒÓ Ø Ò Û s. v n (s) v (s) ÓÖ Þ f n (s) f (s) n ÓÛ Ä Ñ ØÙ ½¼ ÓÖ Þ º½ µ ÙÒ f v º º½¼µ ÓÖ Þ Ä Ñ ØÙ ½¼ ÛÒ Ó Ù ÑÝ Û v n ÓÖ Þ f n ÙÒ Ñ ÝÑ º Ø Ñ Ø Þ ØÛ Ö Þ Ò ÛÝÒ Þ º½¾µ ÓÖ Þ ÌÛ Ö Þ Ò Ò Óº º ÈÖÞÝ Ï Ø Þ ÞÒ Ð Þ ÓÒÓ ǫ¹ö ÛÒÓÛ Û ÖÞ ÛÙÓ Ó ÓÛ º Æ = [0, 1] A(s) = [0, s/2], u(a) = 4a 4a 2 Ð s a A(s)º ÑÝ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ p Ñ ÔÓ Ø q( s, x) = g(s(x))µ( ) + [1 g(s(x))]δ 0 ( ), Þ x = (x 1, x 2 ) A(s) A(s) s(x) = s x 1 x 2 ÓÖ Þ g(s(x)) = 2s(x) s 2 (x) µ Ø Ñ Ö ÔÖÓ Ð ØÝÞÒ Ò Ñ ØÓ ρ(s) = 2s. Æ β = 0.6. Ð ÖÝ n ¹ ÖÓ ÓÛ Þ n = 7 ÙÒ Ö ÛÒÓÛ v 1,..., v 7 Ö ÛÒÓÛ Æ π (7) i = (f1,..., f 7 ) Ò ØÔÙ f7 (s) = f 1(s) = s/2 ÓÖ Þ v 1 (s) = s 2 + 2s, Ð Ó s, ÓÖ Þ f(8 k) (s) = f k(s) = s/2 Ð s s k, v k (s) = s 2 + 2s Ð s s k, k = 2,..., 7, Þ ÙÒ f k Û ÖØÓ s k Ò Û ÔÓÒ Þ Ø Ð º ¾

28 k f k (s) s k ¾ 0, 1s + 0, 3 0, 75 0, s + 0, , , s + 0, , , s + 0, , , s + 0, , , s + 0, , k v k (s) ¾ 0, 36s s , s 2 + 1, s + 0, , s 2 + 1, s + 0, , s 2 + 1, s + 0, , s 2 + 1, s + 0, , s 2 + 1, s + 0, Å ÑÝ Æ w := v 6 g := f 7 º ÏØ Ý max s (v 7(s) v 6 (s)) = ε := º½ µ w(s) v 7 (s) = (T g w)(s) Ð Ó s. º½ µ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÝÒ Ñ ÞÒ Ó ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ó Û Ð Ø Ö ØÙÖÞ ½ ½ ÓÖ Þ º½ µ ÛÒ Ó Ù¹ ÑÝ w(s) γ i (ḡ )(s) sup γ i (π i, ḡ i )(s). º½ µ π i Π i ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ Þ º½ µ Ñ ÑÝ max [u(a) + β w(s a A(s) )p(ds s, (a, ḡ i(s)))] = v 7 (s) w(s) + ε Ð Ó s. º½ µ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÝÒ Ñ ÞÒ Ó ½ ½ º½ µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ sup γ i (π i, ḡ ε u i )(s) w(s) + π i Π i 1 β = w(s) + 5ε 2, º½ µ Þ s u = max a [0,1/2] u(a) = 1 ÓÖ Þ ε Ø Þ Ò Ð Þ Û º½ µº º½ µ º½ µ ḡ Ø ǫ¹ö ÛÒÓÛ Þ ǫ = 2.5εº ¾

29 ÊÓÞ Þ Ö ÔÐÓ Ø Þ Ó Û Þ Ó Ö Ò Þ Ê ÞÙÐØ ØÝ Ò Ò Þ Ó ÖÓÞ Þ Ù ÞÓ Ø Ý ÓÔÙ Ð ÓÛ Ò Û ÔÖ Ý º ÈÖÞ Ø Û ÓÒÝ ÞÓ Ø ÑÓ Ð ØÓ ØÝÞÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ ÖÝ m ¹ Ó Ó ÓÛ Û Ø Ö Ö Þ Ò Ñ Ó Ö Ò Þ Ó Ó ÔÐ ÒÓÛ Ò Û Ò ÓÒ ÙÑÔ º Ð Ñ Ø Ó ÖÓÞ Þ Ù Ø ÛÝ Þ Ò Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Þ Ó Ö Ò Þ Ò Ñ Ò ÓÒ ÙÑÔ ÓÑ ÒÙ Û Ò È Ö ØÓ Ö ÛÒÓÛ Æ ÔÓÐ Ò ÓÛ Ø ÓÒ ÙÑÔ Ò ÔÓÞ Ø Ù Öݺ ÊÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝ ÑÓ Ð Ô Ò Ó¹ Ø ÓÛ Þ Ó Ò Ð Ó i M Þ Ö Ø ÔÓ Ø A i (s) := [0, s]. Ê Ð Ó i M, ÓÖ Þ x := (x 1,...,x m ) A(s) ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ ÔÓ Ø m u(x i ) Ý x j s, r i (s, x) := j=1 u(s/m) Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÛÝÔ Ùº ÑÝ ÔÓÒ ØÓ ÙÒ u Ø Ð Û Ð ÖÓ Ò ÛÙ ÖÓØÒ Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ ÓÖ Þ u(0) = 0º È ËÔ Ò ÓÒ Ø Þ Ó Ò È½ Ó Ø ÓÛÓ Ñ Ö ÔÖÓ Ð ØÝÞÒ µ ØÓ ØÝÞÒ ÓÑ ÒÙ ν ÞÝÐ Ø Û ÔÓÑÒ ÒÓ Û ÙÛ Þ ¾ Ð ÙÒ Ò Ñ Ð v Ô Ò ÓÒ Ø Ò Ö ÛÒÓ v(s )µ(ds ) v(s )ν(ds ). ÍÛ ½¼ Ý Þ Ñ Ö ν ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ δ 0 ÓØÖÞÝÑ ÑÝ ÑÓ Ð ÓÔ ÝÛ ÒÝ Û ÖÓÞ Þ Ð º Ø Ñ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ Ñ Ö Þ Ó ÐÒ ÔÓ Ø º ÈÓ Ó Ò Û ÊÓÞ Þ Ð Þ ÑÝ Ö Ø Ø Ò Ö ÓÛ β ¹ Ý ÓÒØÓÛ Ò Ö ØÓ ØÝÞÒ Þ Ó ÞÓÒÝÑ ÐÙ Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Þ ÓÛÝѺ Ø Ñ ÛÝÔ Ø ¾

30 Ð Ö Þ i Ø Û ÔÓ Ø º¾µ Ð Ó ÞÓÒ Ó ÓÖÝÞÓÒØÙ ÐÙ º½µ Ð Ò Ó ÞÓÒ Ó ÓÖÝÞÓÒØÙº º½ ËÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Þ Ó Ö Ò Þ ¹ Ò Ñ Ï ØÝÑ ÔÓ ÖÓÞ Þ Ð ÛÔÖÓÛ ÞÓÒÓ Ó Ø ÓÛ Ó Ö Ò Þ Ò º Ó ÓÒÓ Þ Ö Ó ØÔÒÝ Ð Ó Ö Þ Ø Û ÔÓ Ø A c i(s) = [0, s/m]º ÏØ Ý Æ A c (s) := A c 1 (s)... Ac m (s). C c := {(s, x) : s, x A c (s)}. Æ F c Þ Þ ÓÖ Ñ Û ÞÝ Ø ÓÖ ÐÓÛ ÙÒ f : R + Ø f(s) A c (s) Ð ÓÛÓÐÒ Ó s º ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ Ð Ó Ö Þ Ø ÔÓ Ø r i (s, x) = u(x i )º Ð ÓÛÓÐÒ ÓÖ ÐÓÛ Ó Ö Ò ÞÓÒ ÙÒ v : R Ø v(0) = 0 ÑÓ Ò ÛÝÞÒ ÞÝ ÔÓÑÓÒ Þ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö G(v, s) Þ ÙÒ ÛÝÔ ØÝ Þ ÓÖ Þ m k i (v, s, x) := U(x i ) + ch s x j, j=1 U( ) := u( ) + β v(s )ν(ds ), H( ) := β v(s )µ(ds ) v(s )ν(ds ) g ( ), c := v(s )µ(ds ) v(s )ν(ds ). º½µ Þ Ó Ò È½ ÛÝÒ ÙÒ H( ) Ø Û Ð ÖÓ Ò ÛÙ ÖÓÒ Ö Ò Þ ÓÛ ÐÒ º ÇÞÒ Þ Ò Ð s ÓÛÓÐÒ Ó i = 1,...,m Ò x A c i(s)º Ò Ù ÑÝ x := (x, x,...,x) A c (s). ÌÛ Ö Þ Ò Ã Ó Þ Ò ÖÓ ÓÛ Ö ØÓ ØÝÞÒ Þ Ó Ö Ò Þ Ò Ñ Ô Ò ¹ Þ Ó Ò Ê È Ä Ñ ÝÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ º ÈÓÒ ØÓ ÙÒ Ö ÛÒÓÛ Ø Ò Ñ Ð ÛÞ Ð Ñ Ø ÒÙº ÓÛ ÈÓÒ Û s = 0 Ø Ø Ò Ñ ÓÖ Ù ÝÑ Þ ØÖ ØÝ Ó ÐÒÓ ÑÓ Ò Þ Ó Ý s > 0º Ö ÒÓ ÖÓ ÓÛ Ñ ØÝÐ Ó Ò ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Ø ØÓ ¼

31 π (1) := (f 1,...,f m ) Þ f i (s) = s/m Ð Ó Ö Þ iº ÙÒ Ö ÛÒÓÛ Ø Ø Ñ Ð Û ÞÝ Ø Ö ÞÝ ÛÝÒÓ v 1 (s) := max = u(s/m). a A c i (s)u(a) Þ Ó Ò Ê Ø ØÓ Ò Ñ Ð ÙÒ º ÈÖÞ Þ Ò Ù ÔÖÞÝÔÙ ÑÝ Ø Þ ØÛ Ö Þ Ò Þ Ó Þ Ð ÖÝ n ¹ ÖÓ ÓÛ º ÏÝ Ø ÖÞÝ Þ Ø Ñ Ù ÓÛÓ Ò Ø Þ Ð ÖÝ n+1µ ¹ ÖÓ ÓÛ º Æ π (n) := ( fn, f n 1,..., f ) 1 Þ ÝÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ n ¹ ÖÓ ÓÛ ØÓ ÓÛ Ò ÔÓÞ Û ÞÝ Ó ÖÙ Ó ÖÓ Ùº ÈÖÞ Þ v n ÓÞÒ ÞÓÒÓ Ó ÔÓÛ Ò ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ º Þ Ó Ò Ò Ù Ý Ò Ó Û ÑÝ v n Ø Ò Ñ Ð º ÊÓÞÛ ÑÝ Ö G(v n, s)º ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ ÛÝÒÓ k i (v n, s, )º Þ Ó Ò Ò Ù Ý Ò Ó ÛÝÒ Ô Ö Ñ ØÖ c Û ÛÞÓÖÞ º½µ Ø Ò Ù ÑÒݺ ËØ Þ Ä Ñ ØÙ ½¼µ ÛÝÒ ØÒ ÝÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ f n+1 Û ÖÞ G(v n, s)º Ý s = 0 f n+1 (s) = s/mº ÔÖÓ¹ Ö ÑÓÛ Ò ÝÒ Ñ ÞÒ Ó ØÛ Ö Þ ÑÝ π (n+1) = ( fn+1, π (n)) Ø Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ (n + 1) ¹ ÖÓ ÓÛ º ÈÓÞÓ Ø Ó Ó ÔÓ Þ Ò ÙÒ v n+1 ( ) Ø Ò Ñ Ð º Ó Ø Ó Ò Ð Ý Ù ÓÛÓ Ò ÙÒ yn+1 (s) := s (m 1)f n+1 (s) Ø Ò Ñ Ð º Æ Y i (s) := [ s, s ] Ð Ó i ÓÖ Þ s. Æ Y (s) := Y m m 1 1(s) Y m (s). ÊÓÞÛ ÑÝ Ö ÔÓÑÓÒ Þ Ḡ(v n, s) Þ ÙÒ Ù ÝØ ÞÒÓ Ð Ö Þ i Ø ξ i (s, y) := U ( ) s yi + ch m 1 ( ) sm σ(y) m 1 Þ y = (y 1,..., y m ) Y (s). ÙÛ ÑÝ 2 ( ) ( ) ξ i 1 s yi m sm σ(y) = s y i (m 1) 2U 0. m 1 (m 1) 2cH m 1 ËØ ξ i Ø ÙÒ ÙÔ ÖÑÓ ÙÐ ÖÒ Ò Ö L := {(s, y i ) : s, y i Y i (s)} Þ ÔÓÖÞ ¹ Ñ ÔÖÓ Ù ØÓÛÝÑ Ó ÛÝÒ Þ ÛÝÒ Û Þ ÔÖ Þ ÒØÓÛ ÒÝ Û ÔÖ ÊÓ ÌÓÔ¹ ¼ º Ð Þ ÌÓÔ Û ¼ ÙÒ Ò Ð Ô ÞÝ Ó ÔÓÛ Þ Ð Ö Þ i Þ ÒÓÛ Ò Ó Ø Ò Ñ Ð Ò s º ÈÓÒ Û B i (s, y i ) := Ö max y i Y i (s) ξ i(s, y i, y i ) 2 ξ i y j y i = 1 (m 1) 2cH ( ) sm σ(y) 0, m 1 Ð Û ÞÝ Ø i j, ξ i (s, y) Ø ÙÒ Ù ÑÓ ÙÐ ÖÒ Ò Ö Y (s), ¼ º ÒÓÛÙ Þ ÌÛ Ö Þ Ò ÌÓÔ ÙÒ Ò Ð Ô ÞÝ Ó ÔÓÛ Þ Ð Ö Þ i Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó s, Ø Ò Ñ Ð Û y i. Æ ỹ (s) = (y (s),...,y (s)) Þ ÝÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Û Ḡ(v n, s). Ð Ó s > 0 ÓÖ Þ Ö Þ i, Ñ ÑÝ y (s) = B i (s, ỹ i(s)). ÈÓ ÑÝ Ø Ö Þ y Ø Ò ÖÓ Ò º Æ s 1 < s 2. ÏØ Ý Ð ÓÛÓÐÒ Ó i, Ñ ÑÝ 0 = y (s 1 ) B i (s 1, ỹ i (s 1)) y (s 1 ) B i (s 2, ỹ i (s 1)), ½

32 ÓÖ Þ ËØ 0 = y (s 2 ) B i (s 2, ỹ i (s 2)). y (s 1 ) B i (s 2, ỹ i (s 1)) y (s 2 ) B i (s 2, ỹ i (s 2)). º¾µ ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ y (s 2 ) < y (s 1 ). ÏØ Ý Ð ÓÛÓÐÒ Ó i ỹ i (s 2) < ỹ i (s 1) ÛÞ Ð Ñ ÔÓÖÞ Ù ÔÖÓ Ù ØÓÛ Óº ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ B i, ÛÒ Ó Ù ÑÝ B i (s 2, ỹ i(s 1 )) B i (s 2, ỹ i(s 2 )) 0. ËØ Þ º¾µ Ó Ó Þ ÑÝ Ó ÔÖÞ ÞÒÓ y (s 1 ) < y (s 1 ). Ø Ñ Ñ ÑÝ y (s 1 ) y (s 2 ). Ò Ù ÑÝ x i (s) := x (s) := s y (s) m 1, x (s) := (x 1 (s),..., x m (s)). º µ ÈÓÒ Û ỹ (s) Ø ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Ḡ(v n, s), ØÛÓ ÔÓ Þ x (s) Ø Ö ÛÒÓÛ Û G(v n, s). ÒÓÞÒ ÞÒÓ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ G(v n, s), Ä Ñ Ø ½¼µ x (s) = f n+1 (s) Ð Ó s. º µ ÛÝÒ x = fn+1 Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Û s. Ï Ó Ù ÓÛÓ Þ ÑÝ v n+1 Ø ÙÒ Ò Ñ Ð º Æ s 1 s 2 º Å ÑÝ fn+1 (s) = x (s) Ð Û ÞÝ Ø s ÓÖ Þ ÔÓÒ Û g Ò Ñ Ð ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ v n+1 (s 1 ) = max {U(x i) + cg(s 1 (m 1)x (s 1 ) x i )} x i A c(s 1 ) max {U(x i) + cg (s 1 (m 1)x (s 1 ) x i )} x i A c(s 2 ) max {U (x i) + cg(s 2 (m 1)x (s 2 ) x i )} x i A c(s 2 ) = v n+1 (s 2 ), Ó Ó ÞÝ ÓÛ º ÊÓÞÛ ÑÝ Ö Þ Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñº ÌÛ Ö Þ Ò ½ Û ½¼ ØÒ Ø ÓÒ ÖÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ f = (f,..., f ), f F c. ÙÒ Ö ÛÒÓÛ ØÓ v. Ï ÓÑÓ f (s) Ø ÝÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ G(v, s). Í ÓÛÓ Ò ÑÝ v Ø Ò Ñ Ð º ÌÛ Ö Þ Ò ÑÝ Ý ÓÒØÓÛ Ò Ö ØÓ ØÝÞÒ Ô Ò Þ Ó Ò Ê È º ÏØ Ý ÙÒ Ö ÛÒÓÛ v Û ÖÞ ØÓ ØÝÞÒ Þ Ó Ö Ò Þ Ò Ñ Þ Ò Ó ÞÓ¹ ÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Ø ÙÒ Ò Ñ Ð º ÓÛ Ò Ù ÑÝ c := v (s )µ(ds ) v (s )ν(ds ).  Рc 0, ÛØ Ý ÑÓ Ò ÔÓÛØ ÖÞÝ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò Þ ÌÛ Ö Þ Ò ÖÓÞÛ Ö G(v, s) ÛØ Ý ÔÓ ÞÙ ÑÝ v Ò ÖÓ Ò º ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ c < 0. ÏØ Ý ÝÒ Ýѹ Ñ ØÖÝÞÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÛÒÓÛ Û G(v, s) Ø ÔÓ Ø x (s) = (s/m,..., s/m). ËØ v (s) = u(s/m) Ð Û ÞÝ Ø s. ÈÓÒ Û µ ØÓ ØÝÞÒ ÓÑ ÒÙ ν Þ Ó Þ c 0, Ó ÔÖÞ ÞÝ Þ Ó Ò Ùº ËØ c 0 ÓÛ Ø Þ Ó ÞÓÒݺ ¾

33 º¾ ËÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ Þ Ó Ö Ò Þ Ï ØÝÑ ÔÓ ÖÓÞ Þ Ð ÖÓÞÛ ÑÝ Ö Û Ø Ö Ö Þ ÑÓ ÛÝ Ö ÓÛÓÐÒ Ù Ý ÔÓÞ ÓÑ ÓÒ ÙÑÔ º ÌÛ Ö Þ Ò ½¼ ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Þ Ó Þ Ê È º Æ πk = ( f k,..., f 1 ) Þ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ñ Ö ÓÛ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ k ¹ ÖÓ ÓÛ ÖÞ Þ Ó Ö Ò Þ ÓÒ¹ ØÖÙÓÛ Ò Û ÌÛ Ö Þ Ò Ù º ÏØ Ý πk Ø Ö ÛÒÓÛ Æ Û k¹ ÖÓ ÓÛ ÖÞ Þ Ó Ö Ò Þ º ÓÛ Ì Þ Þ Ó Þ Ð s = 0 ÓÖ n = 1º Æ s > 0 Þ ÑÝ Ø Þ Þ ¹ Ó Þ Ð n 1. ÊÓÞÛ ÑÝ Ö (n + 1) ¹ ÖÓ ÓÛ º ÇÞÒ ÞÑÝ πn+1 = ( f n+1,..., f 1 ) ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Û Ø ÖÞ ÓÒ ØÖÙÓÛ Ò Û ÌÛ Ö Þ Ò Ù Þ Ó Ò Ò Ù ¹ Ý Ò Ó πn = ( f n,..., f 1) Ø ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Û n¹ ÖÓ ÓÛ ÔÓ ÖÞ Þ Ó Ö Ò Þ Ø ÖØÙ Þ ÖÙ Ó Ø ÒÙº ÇÞÒ ÞÑÝ Û Ô ÐÒ ÛÝÔ Ø Ö ÛÒÓÛ ÓÛ Ð Û ÞÝ Ø Ö ÞÝ ÔÖÞ Þ v n º ÇÞÒ ÞÑÝ f n+1 (s) = (f n+1 (s),..., f n+1 (s)). Æ ( f n+1 ) i(s) ÓÞÒ Þ f n+1 (s) Þ i ¹ Ø Û Ô ÖÞ Ò º ϕ(x) := r(s, x) + β v n (s )p(ds s, ( f n+1) i (s), x), x A(s) = [0, s] m. Í ÝÛ Ò c ÓÖ Þ H Ò Û ÓÛÓ Þ ÌÛ Ö Þ Ò ÓØÖÞÝÑ ÑÝ ϕ(x) = u(x) + ch((m 1)x n+1 (s) x) Ð x s (m 1)fn+1 (s) ÓÖ Þ ϕ(x) = u(s/m), Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ Ö Þ º ÏÝ Ø ÖÞÝ ÔÓ Þ fn+1(s) = Ö max ϕ(s). º µ x A(s) ÌÛ Ö Þ Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ c 0. Ê ÓÖ Þ È ϕ Ø Ð Û Ð Ò I := [ 0, s (m 1)f n+1 (s) ] º Ï ÑÝ fn+1(s) = Ö max ϕ(s). x [0,s/m] ËØ ϕ(fn+1 (s)) ϕ(s/m). ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ x I ÓÖ Þ x s. ÈÓÒ Û s/m I, Ñ ÑÝ ϕ(f n+1 (s)) ϕ(s/m) = u(s/m) + ch((m 1)fn+1 (s) s/m) u(s/m) = ϕ(x). º µ ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ fn+1(s) = s/m.  Рx (s/m, s], ÛØ Ý x I, ÓÖ Þ ϕ(fn+1(s)) ϕ(x) = ϕ(s/m). ÑÝ fn+1 (s) < s/m. ÈÓÒ Û ϕ Ø Ð Û Ð Ò I ÓÖ Þ Þ Ó Þ º µ Ó Ó Þ ÑÝ Ó ÛÒ Ó Ù ϕ(fn+1(s)) ϕ(x) Ð ÓÛÓÐÒ Ó x I. ÈÓ Þ Ð ÑÝ Þ Ó Þ º µº

34 ÌÛ Ö Þ Ò ½½ ÑÝ Þ Ó Þ Ê È º ÏØ Ý Ø ÓÒ ÖÒ ÝÑ ØÖÝÞÒ Ö ÛÒÓ¹ Û Æ f Û ÖÞ Þ Ó Ö Ò Þ Ò Ñ Ø Ø Ö ÛÒÓÛ Û ÖÞ Þ Ó Ö Ò Þ º ÓÛ ÓÛ ÔÖÞ ÔÓ Ó Ò ÓÛ ÌÛ Ö Þ Ò ½¼º ÏÝ Ø ÖÞÝ ÓÖÞÝ Ø Þ ÌÛ Ö Þ Ò Þ Ø Ö Ó ÛÝÒ v Ø ÙÒ Ò Ñ Ð º Æ ÓÒ Ù ÓÛÓ Ò ÑÝ Ò ØÔÙ Ý Ö ÞÙØРغ ÌÛ Ö Þ Ò ½¾ ÈÖÞÝ Þ Ó Ò Ê È Ñ ÑÝ v n (s) u(s/m) ÓÖ Þ v (s) u(s/m), s. Þ v n (v ) Û Ô ÐÒÝÑ ÛÝÔ Ø Ñ Ö ÛÒÓÛ ÓÛÝÑ Û ÖÞ n¹ ÖÓ ÓÛ Ò Ó Þ Ò ÖÓ ÓÛ µº ÓÛ Ï ÖÞ ÒÓ ÖÓ ÓÛ ÔÓÛÝ Þ Ò Ö ÛÒÓ Û ÓÞÒ Ó v 1 (s) = u(s/m), s. Æ n > 1º ÌÛ Ö Þ Ò ½¼ Ñ ÑÝ v n (s) = k i (s, v n 1, f n (s)) u(s/m) + β v n 1 (s )q(ds s, ( f n ) i(s), s/m) u(s/m). Ð ÖÝ Þ Ò Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Þ ÌÛ Ö Þ Ò ½½ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ v (s) = k i (s, v, f (s)) u(s/m) + β u(s/m) v (s )q(ds s, f i (s), s/m) Ó Ó ÞÝ ÓÛ º º ÈÖÞÝ ÊÓÞÛ ÑÝ m ¹ Ó Ó ÓÛ Ö ØÓ ØÝÞÒ Þ = [0, 1], u(x) = x, g(y) = y, ρ µ (s) = 2 s, ρ ν (s) = 26 (1 s) 25, Þ ρ µ ÓÖ Þ ρ ν ØÓ Ñ µ Ó ÔÓÛ Ò Ó νº Æ πk = ( f k,..., f 1 ) Þ ÝÑ ØÖÝÞÒ Å Ö ÓÛ Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ k¹ ÖÓ ÓÛ º Ç ÔÓÛ Ò Ù ÝØ ÞÒÓ Ð Ó Ö Þ ÓÞÒ ÞÓÒÓ ÔÖÞ Þ v k. ÏØ Ý v 1 (s) = s/m, s, ÓÖ Þ v n+1 (0) = 0 ÔÓ Þ Ý Ð s > 0, Ñ ÑÝ v n+1 (s) = 1 fn+1(s) + β s mfn+1(s) 0 v n (t)(ρ µ (t) ρ ν (t))dt + β 1 0 v n (t) ρ ν (t) dt.

35 ÇÞÝÛ f 1(s) = s/m Ð n > 1 f n Ô Ò Ö ÛÒÓ β 1 2 x 1 v n (t)(ρ µ (t) ρ ν (t))dt 0 2 s mx = 0, ÐÙ Ö ÛÒÓÛ Ò 1 s mx β x 0 v n (t)(ρ µ (t) ρ ν (t))dt = 0. º µ º µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ x = f n+1 (s) = s ( 2. º µ β 1 v n (t)(ρ µ (t) ρ ν (t))dt) + m 0 Û º µ Û ÝÑ ÖÓ Ù Ý Ó Ð Þ Ò ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ñ ØÓ ØÖ Ô Þ Ûº Æ m = 2 ÓÖ Þ β = ÈÓÒ ÞÝ ÛÝ Ö ÔÓ ÞÙ ÙÒ Ö ÛÒÓÛ Û Ö Þ Ó Ö Ò Þ Ò Ñ Ð Ö ÒÝ Û ÖØÓ ÖÓ Û k (s 0). Ï v k (s) > v 1 (s) Ð k > 1 ÓÖ Þ s (0, 1]. ÊÝ ÙÒ º½ ÙÒ Ö ÛÒÓÛ Û ÖÞ Ó Þ Ò ÖÓ ÓÛ º

36 ÊÓÞ Þ ÝÑÔØÓØÝÞÒ Û ÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ Û Ý ÓÒØÓÛ ÒÝ Ö ØÓ ØÝÞÒÝ Ï ØÝÑ ÖÓÞ Þ Ð ÖÓÞÔ ØÖÞÓÒÓ ÛÙÓ Ó ÓÛ Ò ÝÑ ØÖÝÞÒ β ¹ Ý ÓÒØÓÛ Ò Ö ØÓ Øݹ ÞÒ º Ð Ñ Ø Ó ÖÓÞ Þ Ù Ø Þ Ò ÝÑÔØÓØÝÞÒÝ Û ÒÓ Ö ÛÒÓÛ Æ ÙÒ Ö ÛÒÓÛ Ý β 1º Ø Ó ÛÞ Ð Ù Ù ÝØ ÞÒÓ Ð Ö Þ i i = 1, 2µ Þ Ò ÓÛ Ò Û º¾µ º½µ ÓÞÒ Þ ÑÝ γ β i,n(f)(s) Ó ÔÓÛ Ò Ó γ β i (f)(s)º ÈÓÒ ØÓ Ö Ô Ò Þ Ó Ò Ê½ ÓÖ Þ Ë Ø ÔÖÞ Þ Ñ Ó Ö Ò ÞÓÒÝѺ Æ = [0, s ]. ËÔ Ò ÓÒ Ø Þ Ó Ò ½º ÈÓÒ ØÓ Ð i = 1, 2 ÙÒ a i Ð Ô ØÞÓÛ Þ Ø Ö ÛÒ ½º È ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞ Ø ÔÓ Ø º µº Ó ÓÒÓ Ó Ø ÓÛÓ Ð j = 1,...,L Ñ ÖÝ µ j ( s) Ò Þ Ð Ó sº ÇÞÒ Þ ÑÝ Û µ j ( ) := µ( s) Ð ÓÛÓÐÒ Ó s º º½ ÝÑÔØÓØÝÞÒ Ö ÛÒÓÛ Û ÖÞ Þ Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Þ ÓÛÝÑ Æ { E := f : : 0 f(s } 1) f(s 2 ) 1. s 1 s 2 ØÛÓ Û E Ø Þ ÓÖ Ñ ÙÒ Ò Ñ Ð Ý Þ Ø Ä Ô ØÞ Ö ÛÒ ½º Ï ØÝÑ ÔÓ ÖÓÞ Þ Ð ÖÓÞÔ ØÖÞÓÒÓ Ö Þ Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒØ Ñº Ø Ó ÛÞ Ð Ù ÑÓ Ò ÓÔÙ Ö ÛÒ ÖÝ β ¹ Ý ÓÒØÓÛ Ò Þ β = 1º ÏØ Ý ÛÝÔ Ø Ð Ö Þ Ø Ö ÛÒ ÙÑ Þ ÒÒÝ ÛÝÔ Øº

37 Ð Ó (v 1, v 2 ) B 0 () B 0 () B 0 () Ø Þ Ò ÓÛ Ò Û ÔÓ ÖÓÞ Þ Ð º¾µ s, β (0, 1] ÛÝÞÒ ÞÓÒÓ Ö Γ(β, v 1, v 2, s) Û Ø Ö ÙÒ ÛÝÔ ØÝ Ð Ó Ö Þ i Ø Ö ÛÒ k i (β, v i, s, x) = u i (x i ) + β v i (s )q(ds s, x), º½µ + Þ x = (x 1, x 2 ) A(s). ÈÓÒ Û v i 0 Þ Ó Þ Þ Ó Ò Ê¾ È ÓÖ Þ ÙÒ ÛÝÔ ØÝ Ø Û ÔÓ Ø º½µ Þ ÛÝÒ Û Û ÖØÝ ÙÐ ÑÓ Ò ÛÝÛÒ Ó ÓÛ Ð ÓÛÓÐÒ Ó s, Ö Ñ ÞÝ Ø Ö ÛÒÓÛ Æ NEΓ(β, v 1, v 2, s). ÇÞÝÛ NEΓ(β, v 1, v 2, s) = (0, 0) Ð s = 0. Æ β (0, 1] Þ ÞÝÒÒ Ñ Ý ÓÒØ Ò ØÓÑ Ø n Þ ÓÖÝÞÓÒØ Ñ Öݺ Ð i = 1, 2 s Ò f β i,1(s) := a i (s) ÓÖ Þ v β i,1(s) := max a i A i (s) u i(a) = u i (f β i,1(s)). ÇÞÝÛ v β i,1 B 0 ().  Рv β i,0(s) := 0 Ð ÓÛÓÐÒ Ó s, ÛØ Ý f β 1 := (f β 1,1(s), f β 2,1(s)) = NEΓ(β, v β 1,0, v β 2,0, s). Ø Ñ f β 1 Ø Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ ÒÓ ÖÓ ÓÛ v β i,1 Ø ÙÒ Ö ÛÒÓÛ Æ Ð Ö Þ i ÓÖ Þ v β i,1 = k i (β, v i,0, s, (a 1 (s), a 2 (s))). ÊÓÞÙÑÙ Ò ÐÓ ÞÒ Û ÑÓ Ò Þ ÒÓÛ f β i,2,..., f β i,n F i ÓÖ Þ v β i,2,..., v β i,n B 0 () Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ f β k := (fβ 1,k, fβ 2,k ) := NEΓ(β, vβ 1,k 1, vβ 2,k 1, s) v β i,k (s) := k i(β, v β i,k 1 (s), s, f β k (s)), ÓÖ Þ Þ s ÓÖ Þ k = 2,..., n. Æ ÑÓÝ ÌÛ Ö Þ Ò ¾ ÛÝÒ ÔÓÛÝ Þ Ò ÔÓÔÖ ÛÒ ÔÓÒ Û Ö Γ(β, v 1, v 2, s) ÑÓ Ò ÔÖÓÛ Þ Ó ÖÝ Þ ÔÓ ÖÓÞ Þ Ù ¾º¾º ÊÓÞÛ ÑÝ ØÖ Ø n ¹ ÖÓ ÓÛ Ó π (n),β i Ð Ö Þ i Þ Ò ÓÛ Ò Ó π (n),β i ÇÞÝÛ f β i,k = fβ i,n k+1 ºµ v i,n := vi,n β ÓÖ Þ π (n) := ( π (n) 1, π (n) 2 = (f β i,1, f β i,2,..., f β i,n) := (f β i,n, f β i,n 1,..., f β i,1). Æ π(n),β := ( π (n),β 1, π (n),β ) 2 º ÇÞÒ ÞÑÝ fi,n := fi,n, β ) ( (n),β := π 1, π (n),β ) 2 Ý β = 1. ÔÓÛÝ Þ ÓÒ ØÖÙ Ö ÛÒ Ò ÐÐÑ Ò Ð ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÝÒ Ñ ÞÒ Ó Û ÖÞ Þ Ó ÞÓÒÝÑ ÓÖÝÞÓÒ Ò ÔÖÞÝ ½ ½ ÐÙ µ ÛÝÒ π (n),β Ø Ö ÛÒÓÛ Æ Û ÖÞ n ¹ ÖÓ ÓÛ β¹ Ý ÓÒØÓÛ Ò º ÌÛ Ö Þ Ò ½ º º½ Û Ñ Ö ÓÖ Þ Ä Ñ ØÙ ¾º½ Û ¾ Ð ÓÛÓÐÒ Ó β (0, 1) Þ Ó Þ f β i,n( ) Eº ÈÓÒ ØÓ v β i,n( ) ÙÒ Ñ Ò Ñ Ð ÝÑ ÝÑ º Ä Ñ Ø ½½ Ð ÓÛÓÐÒ Ó n N ÓÖ Þ i = 1, 2 Þ Ó Þ f β i,n(s) f i,n (s) Ý β 1,