¾

Transkrypt

1 ÞÝ Û ÓÒÓÑ Ñ ØÓ Ý ÑÓ Ð ÃÖÞÝ ÞØÓ ÓÑ ÒÓ ÈÓÐ Ø Ò áð Â ÖÞÝ ÍÒ Û Ö ÝØ Ø áð Ã ØÓÛ ¾¼½

2 ¾

3 ËÔ ØÖ ½ ÈÖÓÐÓ ¾ Å ØÓ Ý ÔÖ ØÝÞÒ ¾º½ Ï ØÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½ Ä Ø Ö ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÌÖ Ò Ò ÈÏº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÅÓ Ð ÖÝÒ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½ ÅÓ Ð Î Êº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾ ÅÓ Ð Ñ ÖÓ ÓÔÓÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º Å ØÓ Ý ØÓ ØÝÞÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ ÒØÖ ÐÒ ÌÛ Ö Þ Ò Ö Ò ÞÒ ÖÓÞ Ù Ä ÚÝ³ Óº ¾ ¾º º¾ ÅÓ Ð Þ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ Ó ÖÓÞ Ù ÓÖ Þ ÖÙ Ý ÖÓÛÒ Û ÓÒØ Ò Ð ÞÝ ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ º ¾ ¾º º ÊÙ Ý ÖÓÛÒ ÙÓ ÐÒ Ò Ý ÙÞ Ù Ý ÙÞ ÙÔ Ö Ý ÙÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÏÝ Ò ÓÔ ÑÓ Ð Ð ¹ Ë ÓÐ Ó ÛÝ Ö Ò ÙÓ ÐÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÊÓÞ Ý Ä ÚÝ³ Ó ÓÖ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ó ÑÓ ÐÓ¹ Û Ò ÙÖ Û º ÙÒ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÓÖ Þ Ø ÐÒÓ ÖÓÞ Û Ä ÚÝ³ Óº ÊÓÞ Õ¹ Ù º º º ¾º º ÅÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÒÝ ÔÖÞÝ Ù Ù Ù Ø Ö Ó ÑÓ ÛÝ ØÔÓÛ Þ Ö ÛÒÓ ÒÓÖÑ ÐÒ ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ º ¾º º Þ Ø ÓÛ ÖÙ Ý ÖÓÛÒ ÛÝ Ò ÀÙÖ Ø µ Ý ÙÞ ¹ H Þ Ð ÒÓ Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛ Ó Ó ÝÐ Ò Ó Þ Ù ÓÖ Þ Ô Ø ÑÓÔÓ Ó ØÛ º º º º º º º º º º º ¾º º ÄÓ ÐÒ Ò Ð Þ ÞØÖ Ò ÓÛ µ ÛÝÐ Þ Ò ÐÓ Ð¹ Ò Ó ÛÝ Ò Ý ÙÞ Hµ Ù ÝÛ Ò Ó Ó Ò ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ Û ÐÙ ÔÖÞ Û ÝÛ ¹ Ò Þ Ñ Ò ÖÝÒ Ù ÓÖ Þ ÞÑ Ò ØÖ Ò Ûº º º º º º º º ¾º Ì ÓÖ Ó Ù ÝÒ Ñ Û Ý Ö ØÒÝÑ Þ º º º º º º º º º º ½¼½

4 ËÈÁË ÌÊ á Á ¾º º½ Ò Ò Ö Ø Ð ÛÝÑ ÖÙ Ö Ø ÐÒ Ó ÓÖ Þ ÒÓ¹ Ñ ÐÒ Ý ÙÞ Ò Ö Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ ¾º º¾ Ò Ò ÑÓÑ ÒØ Û ÖÓÞ Û ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÛÝ Ò Û Ö Ö ÞÒÝ ÑÙÐØ Ö Ø Ð ÓÖ Þ Þ ¹ ØÓ ÓÛ Ò Ó Ò Ð ÞÝ ÈÏº º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º ÈÖÞ ÞÓÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º ÅÓ Ð Á Ò ÓÖ Þ Ó Þ ØÓ ÓÛ Ò º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ÈÓ Ø ÛÝ ÞÝÞÒ ½¾ º½ Ä Ø Ö ØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ ÝÒ Ñ ÓØÝÞÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾º½ ÝÒ Ñ Ð Ò ÓÛ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾º¾ ËØ ÐÒÓ ÔÙÒØ Û Ø ÓÒ ÖÒÝ º º º º º º º º º º º º ½ ½ º¾º Æ Ô Ö ÓÐ ÞÒ ÔÓ Ó Ò Ö ÛÒÓÛ º º º º º º º º º º ½ º¾º ÝÒ Ñ Ð Ò ÓÛ ÛÝ Þ Ó ÖÞ Ù º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÓÒÓÑ ÞÒ Ù Ý ÝÒ Ñ ÞÒ Ü ÑÔÐ º º º º º º º ½ º¾º Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÒØÖÓÔ ÃÓ ÑÓ ÓÖÓÛ Ë Ò º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ÝÒ Ñ ÞÒ ÒØÖÓÔ Ê ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ê ÛÒÓÛ Ò Ù Ý Ô ÒÓÛ º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ º Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÓÒÓÑ ÞÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º½ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÒÓÑ ÒÓÐÓ ÞÒ Û Ô Ù º º º º º º ½ ¾ º º¾ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÙ ËÓÐÓÛ º º º º º º º º º º º º º ½ º Å ÖÞ ÐÓ ÓÛ Û ÓÒÓ ÞÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ò Ð Þ ÔÓÖØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º º¾ Æ ÔÖ Û Ù Ñ ÖÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º º Å ÖÞ ÓÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ë Þ Ó ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ ÑÔ Ö Û Ø Ø Ñ Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ Ö Ý Ö Ø ÖÝ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º È Ö ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÈÖÞÝ Ò ÔÓÐ ÖÝÒ º º º º º º º º º º º ½ Ô ÐÓ ½ ½

5 ÊÓÞ Þ ½ ÈÖÓÐÓ ÓÒÓ ÞÝ ØÓ Ò Þ Ò ÒÓÛ ÞÝ ÔÓ Þ Þ Ò Þ ÖÓ Ó ÖÓÞÙÑÒ ÞÝ º È ÛÒ ÛÝÓ Ö Ò Ó ÔÖÞ Ñ Ó Þ ÒØ Ö ÓÛ ÓÒÓ ÞÝ Û ÑÓ Ò ÛÝÖÓ¹ Ó Ò ÔÓ Ø Û Ó ÝÒ Ó ÔÖÞ Ø ÙÑ ÞÓÒ Ó Ò ÔÓÐ ÓÔÖ ÓÛ ¹ Ò ½ º ÈÖ Þ Ò ÓÛ Ò Þ Ö Ù ÓÒÓ ÞÝ ÔÖÓÛ Þ ÞÛÝ Ð Ó ØÛ Ö Þ Ò Þ Þ Ò Ø ÔÓÞÛ Ð Ò Ò Þ ÖÓ Ó ÖÓÞÙÑ ÒÝ Þ Û ÖÝÒ ÓÛÝ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Ñ ØÓ ÞÝ ÑÓ Ð Û ÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝ¹ Û ÒÝ º ÁÒ Ô Ö Ð ÔÓ ÞÙ Û Ò ÐÓ Ø Ò Ý ÔÓÖ ÛÒ ÑÝ Ö Ø ÖÝ ØÝ Þ ÓÛ Ò Ñ Ð ÓÛÓÐÒÝ Ò ØÖÙÑ ÒØ Û Ò Ò ÓÛÝ Þ ¹ Û ÞÝÞÒÝ ÓÔ ÝÛ ÒÝ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÑÓ ÐÙ ÖÙ Û ÖÓÛÒ ÐÙ ØÝ Ø Ö ÔÖÞ Û Ý ÓØÝÞÒ º Á ØÓØÒ ÓÒÓÑ Ò ¹ ÞÝ Ó Ò Ó ÞÝ Ø Þ Ó ÓÒÓ Ò Ó ÔÖÓ Ð ÑÙº Â ÓÐÛ Û Ô Þ Ò ÞÝ Û Û Û Ö ØÛ Ô Ø ÑÓÐÓ ÞÒ Þ Þ Ò Þ ¹ Ñ ÑÓ Þ ÝØ ÓÖØÓ Ó Ý ÒÝÑ Ö Ù ÓÒ ÞÑ Ò Ð Ý ÔÓ Ö Ð ØÒ Þ Ý ÞÝ Ø Û Ó Þ Ð Ò Þ Û Û Û ØÓ Ñ Ö¹ ÒØÒÝ º ÅÓ ÑÝ ØÛÓ Þ ÔØÓÛ ÔÓ Ó ØÛÓ Ð Û Ø Û ÒÝ Ó¹ ÔÖÞ Þ ÓÒÓÑ Ø Û ÞÝ Û Ð Þ ÑÝ Ó ÔÖ Û Ó ÖÓÑÒ Ð Þ Ý ÓÒ ÞÒÝ Ó ÙÛÞ Ð Ò Ò ÞÝÒÒ Û ÛÔ ÝÛ Ý Ò Ò Þ Û Ó ÖÝÒ ÓÛ õ ÞÝÞÒ º ÈÓ ÖÞ Û ÑÝ Û Ñ ØÓ Ý ÞÝÞÒ Ù ÝØ ÞÒ Ð ÓÒÓÑ ØÓ Ô ÛÒ Ø Ø Ö Ó Þ Ý Ù ÙØ ÞÒ Û ÞÝ Ø ØÝ¹ ØÝÞÒ º Ï Ó Ö Ò Ò Ù Ó Ñ Ø Ö Û Ý ØÝÞÒÝ Ó ØÔÒÝ Þ Û ØÓ ÙÒ¹ ÓÛÓ Ò Û Ð Ð Þ Ð Ø Ö ØÙÖ Þ Ò Ù ÓÛ Þ Þ Ö Ù ÓÒÓ ÞÝ Ó ÑÙ¹ ÔÖ ÛÞ ÓÖ Þ Þ Û Ò ÓÛ Ò ÔÖ ÔÖÞ Ð ÓÛ Ø Ò ÞÛÝ Ð Þ Ó Ø º Æ Ø ØÝ Ö ÞÓ ÖÞ Ó ÔÖ ÛÞ ÑÓ Ù Ý Ó Ù¹ Ø ÞÒ ÔÓÑÓ Ý ØÝÞÒ Û Ò ÙÞ Ò Ù ØÙ ÒØ Ûº Â Ø ØÓ ØÝÑ ØÓØÒ Þ ÓÒÓ ÞÝ Ò Ø Þ Ö Þ ÖÛÓÛ Ò Ð ÝÒ ÛÝ ÞØ ÓÒÝ Ù ÞÝ ½ ÊºÆº Å ÒØ Ò Àº º ËØ ÒÐ Ý ÓÒÓ ÞÝ ¹ ÛÔÖÓÛ Þ Ò ÈÏÆ

6 ÊÇ Á ½º ÈÊÇÄÇ ØÙ Û Ó ØÓÖ Ò º Æ ÍÒ Û Ö ÝØ áð Ñ Û Ã ØÓÛ ÓÒÓ ¹ ÞÝ Ó Ô ÐÒÓ ÖÙÒ ØÙ Û Ø Ó Ò Ó ÔÓÒ Þ Ù Ð Øº ÈÓØÖÞ Þ Ö Ò Ò ÙÞ ÒÝ Þ Ò Ó ÔÓ Ø ÖÝÔØÙ Ð ØÙ Ò¹ Ø Û ÛÝÖÓ Þ Ó Û Þ ÙØÓÖ Û Þ Ö ÒÝ Û ØÖ ÔÖÓÛ Þ Ò Þ Þ ÞÝÞÒÝ ÑÓ Ð Û ÓÒÓÑ ÓÒÓ ÞÝ ÓÖ Þ Ñ ØÓ ÞÝ Ð ÖÝÒ Û Ô ¹ Ø ÓÛÝ Ò Ó Ù ØÓÔÒ ØÙ Û ÓÒÓ ÞÝÞÒÝ Û Ã ØÓÛ º ËØ Ö ÞÝ Þ ÙØÓÖ Û Â µ ÔÓÞÓ Ø ÞÛ Þ ÒÝ Þ ØÓÛ ÓÒÓ ÞÝ Ó ÔÓÞ Ø Ù Ñ Ó ÞÝ Þ Ã µ ÔÖÓÛ Þ ØÝÛÒ Ò Ò Ù ÓÛ Û Þ Þ Ò Þ ÓÒÓ ÞÝ ÓÔ ÒÝ Û ÖÝÔ º Ó Û Þ Ò ÙØÓÖ Û Þ Ö Ò Þ Ö ÛÒÓ Û ØÖ Ò ÙÞ Ò ÔÖÓÛ ÞÓÒÝ Û ØÖ Û Ô Ö Ð Þ ÔÖÞ Þ Ò Ó Þ ÙØÓÖ Û Â µ ÔÖÓ ØÙ ÛÞ Ó ¹¾¼½½»¼½»»ËÌ»¼ ½ Þ ÓÛÓÓÛ Ý ÔÖÞÝ ÓØÓÛ Ò Ñ ÔÓ ÖÞÒ Þ Û Ö Ó Ö Þ Û Ô Þ Ò ÓÒÓ ÞÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÑÓ Ð ÞÝÞÒ Ó ÓÔ Ù Þ Û ÓÒÓÑ º Æ ¹ Ò ÞÝ ÖÝÔØ Ø ÒÓÛ Û Þ Ñ ÖÞ Ò Ù Ó ÙØÓÖ Û ÔÓÑÓ Ý ØÝÞÒ Ð ØÙ ÒØ Û ØÙ Ù Ý ÓÒÓ ÞÝ ÓÖ Þ ÛÝ Û Û ÓÒÓ ÞÝ Ò ÙÞ ¹ Ý º ÏÝÑ Ò ÒÓ ÛÝ Ù ÓÒ Ó ÙØÓÖ Û Ó Ó ÖÞÙ Ò ÖÝ Ó¹ ÖÝÞÑÙ ØÝÔÓÛ Ó Ð ÔÖ ÛÞÝ º Ï ÞÞ ÐÒÓ ÛÝ ØÔÙ Û ØÓ Ù ÛÝ Ù ÔÓÛØ ÖÞ Ò Ñ Ð ÛÓ º ÈÓ Ô ÖÛ Þ ÔÓÞÛ Ð Ò Þ Ó¹ Û Ò Ò ØÙÖ ÐÒ Ó Û Ò ÙÞ Ò Ù Ð Ò ÓÛ Ó ÔÓÖÞ Ù ÛÝ Ù ÔÓ ÖÙ Þ ÞÝØ Ò ÓÛ ØÙ ÒØÓÛ ÑÓ Ð ÛÓ Û ÐÓ ØÖÓÒÒ Ó Û Ð Ù Û ØÙ ÓÛ ÒÝ Ø Ñ Øº Ë ÖÝÔØ Þ ÛÙ Þ Ò ÞÝ Þ º ÈÓ Þ Ø Ò ÔÓ ÖÝÛ Þ Þ ÒØ Ö ÓÛ Ò Ñ Ô ÐÒÓ Ñ ÙØÓÖ Û ÖÝÔØÙº È ÖÛ ÞÝ ÖÓÞ Þ Ó ÑÙ Ý ÔÖ ØÝÞÒ Ô ØÝ ÔÖÞ Ñ ÓØÙ ÛÝÖ Þ Ó Û Þ Û¹ ÞÝ Ô ÖÛ Þ Ó ÙØÓÖ Ã µ ÖÙ Þ Ò Ó Ö Þ Ø ÓÖ ØÝÞÒÝ Ó ¹ ÞÛ Ö Ð Ô Ò Þ ÞÞ ÐÒ Ø Þ ÞÛ Þ Ò Þ ÖÓÐ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Û ÓÒÓ ÞÝ ÖÙ Ó Þ ÙØÓÖ Û Â µº

7 ÊÓÞ Þ ¾ Å ØÓ Ý ÔÖ ØÝÞÒ ¾º½ Ï ØÔ Ï ÖÓÞ Þ Ð ÓÑ Û ÓÒÓ Ò ØÔÙ Þ Ò Ò º ÊÓ Þ ØÖ Ò Ò ÈÏ ÓÖ Þ Ó Ö Ð Ò Ò ØÖ Ò ÔÓ¹ ÔÝØ ÔÓ Ó ÞÝÒÒ ÞØ ØÙ Ò ØÖ Ò º ÅÓ Ð ÖÝÒ Û ÑÓ Ð Î Ê Î ÐÙ Ø Ê µ ÑÓ Ð Ñ ÖÓ ÓÔÓÛ ÑÓ Ð ¹ È ÞÙ ¹ ËÞÙ ÑÓ Ð Ö Ö ÞÒÝ ËÓÖÒ Ø ¹ ÂÓ Ò Ò ÓÖ Þ ÑÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÒÝ ÓÙØ ¹ Ù Ù µº ÈÖÞ Ø ¹ Û ÓÒÓ Û ÓÒØ Ò Ð ÞÝ ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ ÑÓ Ð Þ ¹ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ Ó ÖÓÞ Ù ÓÖ Þ ÊÙ Ý ÖÓÛÒ º Æ Û ¹ Þ ÒÓ Ó ÔÖÓ Ù Ï Ò Ö ÁØ ÓÖ Þ ÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÊÙ Û ÖÓÛÒ º ÇÑ Û ÓÒÓ ÖÓÞ Ý Ä ÚÝ³ Ó Û ØÝÑ ÖÓÞ ÄÓÖ ÒØÞ» Ù Óµ ÓÖ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ó ÑÓ ÐÓÛ Ò ÙÖ Û º ÛÖ ÓÒÓ ÙÛ Ò ÖÓÞ Õ¹ Ù Ù ÝÛ ÒÝ Û Ó Ø ØÒ Ñ Þ Ó ÑÓ ÐÓÛ Ò ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ º ÈÖÞ Ø Û ÓÒÓ Þ Ò Ò Ö Ø Ð ÛÝÑ ÖÙ Ö Ø ÐÒ Ó ÓÖ Þ ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ Ò Ö Ø ¹ Ð Û ÔÓÑÒ ÒÓ Ó ÑÓ ÐÙ Ô Ö ÓÐ Ý ÒÝÑ Ó Ò ÖÞ Þ Ù Ù ÝØÝÑ Ó ÓÑ Û Ò ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ µº ÇÑ Û ÓÒÓ Þ Ø ÓÛ ÖÙ Ý ÖÓÛÒ ÛÝ Ò Ý ÙÞ Hµº ÛÖ ÓÒÓ ÙÛ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ¹ Ø Ò ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ Û ÐÙ ÔÖÞ Û ÝÛ Ò Þ Ñ Ò ÖÝÒ Ù ÓÖ Þ ÞÑ Ò ØÖ Ò Ûº ÈÖÞ Ø Û ÓÒÓ ÐÓ ÐÒ Ò Ð Þ ÞØÖ Ò ÓÛ µ ÐÓ ÐÒÝ ÛÝ Ò Ý ÙÞ Hµ ÛÖ Þ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ Ó

8 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Ò ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ º ÏÔÖÓÛ ÞÓÒÓ Þ Ò Ò ÑÙÐØ ¹ Ö Ø Ð ÓÑ Û Þ ØÓ ÓÛ Ò Ó Ò Ð ÞÝ ÈÏº ÇÑ Û ÓÒÓ Ö ÛÒ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÑÓ ÐÙ Á Ò Ó Ò Ò Ô ÙÐ ¹ Ý ÒÝ Þ Ñ Ò ÈÏ Û Ò ÐÓ Ó ÔÖÞ ÞÓÛÝ º ¾º½º½ Ä Ø Ö ØÙÖ ½º ØØÔ»» Ó ºÔÐ» Ù ¾º ÛÛÛº ÔÛºÓÑºÔÐ º Åº ºÅ Ç ÓÖÒ Ì ËØÓ Å Ö Ø Ò Ø Ò Ò ÖÓÑ È Ý Ø³ Î ÛÔÓ ÒØ º Âº Åº Ïº Ì ÓÒ ÊÓÞ ÞÝ ÖÓÛ ÖÝÒ ¹ ÈÖÓ ÒÓÞÓÛ Ò ÁÒ¹ Û ØÓÛ Ò Ï õò Ò ËØ ØÝ ØÝÞÒ Ï Ð Ý ½ µ º Èº Ø Ï ÖØÓ Ò Ö ÓÒ Ò ÖÝÞÝ Ó ÑÓ Ð Î Êµ Ï Ð Ý ½ µº º Íº ÖÙ Ò º ÄÙ ÒÓ Ïº Î ØÓ ÓÔÙÐ Å Ø Ó Ò Ò Ò Ï Ð Ý Ò Ò ¾¼½¾µº º ºÄº Î ÓÒ ÐÓ Ù Ï Ð ÓÛÒ Ï ÐÐ ËØÖ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÒÓÔ Ý Ö Þ Ð Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó È Ý ¾¼¼ µ ½¼ º ËºÀ ÚÐ Ò º Ò¹ ÚÖ Ñ Ù ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ñ ¹ Ú Ò Ò È Ý ÎÓÐº ½ ¹ ÆÓº ½ ¾¼¼¾µº º º Ö ºÈ ÑÙ Ì ÄÓ Ð Ö Ø Ð ÈÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ò Ò Ð Ì Ñ Ë Ö ÓÒ Ø ÈÓÐ ËØÓ Ü Ò Å Ö Ø È Ý ¾¼¼ µ ¾ ½¼º Ãº ÓÑ ÒÓ Ì Í Ó Ø ÀÙÖ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ØÓ ÈÖ Ø Ò¹ Ò ÌÖ Ò ÓÒ Ø Ï Ö Û ËØÓ Ü Ò È Ý ¼ ¾¼½½µ ½¼

9 ¾º¾º ÌÊ ÆË Ã Â Æ ÈÏº ½½º Ãº ÓÑ ÒÓ Ì Ù Ó Ø ÀÙÖ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ØÓ ÒÚ Ø Ø Ø ÐÓ Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ó Ø Ï Ö Û ËØÓ Ü Ò ÏÁ ¾¼ Ò Ü È Ý ½ ¾¼½¾µ ½ ½ ½¾º Åº Ð ÓÖ ÅºÁ Ò Ø ÓÒÓÔ Ý Æ Û Ð ÓÖ ËØ Ø Ø Ð È Ý ÁÒØ Ö ÔÐ Ò ÖÝ Ë Ò Ê Ú Û ÎÇÄº ¾ ÆÇº ¾¼¼½µ ½ º Äº ÃÖ ØÓÙ Ó Ð Ë Ð Ò ÈÖÓÔ ÖØ Ò Å Ö Ø ÌÙÖÒ Ò ÈÓ ÒØ Ø ÈÖ Ù ËØÓ Ü Ò Ø È Ý ÈÓÐÓÒ ÎÓÐº ½ ¾¼½¼µ ÆÓº ¾º¾ ÌÖ Ò Ò ÈÏº ÆÓØÓÛ Ò ÒÓÐ Ø ÔÓ Û ÒÝ Ü Ò µº ÆÓØÓÛ Ò Û Ý Ø Ñ ÙÖ Ù ÒÓÐ Ø Ó ÓÔ Ö Ò ÔÖÓ Ù¹ ÖÞ ØÞÛº Ü Ò Ù ÞÝÐ ÛÝÞÒ Þ Ò ÒÝ Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ ÓÛ Ó Ò ÔÓ Ø Û ÞÐ Þ Ó ÓÒÝ ÔÖÞ ÖÓÞÔÓÞ Ñ ÒÓØÓÛ º Ï ØÝÑ Ý Ø Ñ ÒÓØÓÛ Ò Ó Ñ Ô ÝÒÒÓ º ÈÖÞ ÒÓØÓÛ ÒÓÐ ØÝ Ó ½ Û ØÒ ¾¼½ µ Ó Ö ÞÙ Ò ØÔÙ Þ Ø Û ¹ Ò ½º ¼ ¹ ½½ ¼¼ Þ ÔÖÞ ÓØÛ Ö Ñ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ò ÞÐ Ò Ô ÖÛ Þ ÓØÛ Ö µ ¾º ½½ ¼¼ ¹ ÛÝÞÒ Þ Ò ÙÖ Ù ÒÓÐ Ø Ó Ô ÖÛ ÞÝ Ü Ò º ½½ ¼¼ ¹ ½½ ¼ ¹ Ó ÖÝÛ º ½½ ¼ ¹ ½ ¼¼ ¹ Þ ÔÖÞ ÓØÛ Ö Ñ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ò ÞÐ Ò ÖÙ ÓØÛ Ö µ º ½ ¼¼ ¹ ÛÝÞÒ Þ Ò ÙÖ Ù ÒÓÐ Ø Ó ÖÙ Ü Ò º ½ ¼¼ ¹ ½ ¼ ¹ Ó ÖÝÛ

10 ½¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ º ½ ¼ ¹ ½ ¼ ¹ Þ ÔÖÞ ÓØÛ Ö Ñ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ò ÞÐ Ò Ô ÖÛ Þ ÓØÛ Ö ¹ Ò Ò ØÔÒ µº Þ ÔÖÞ ÓØÛ Ö Ñº ÊÓ Þ ÞÐ ÔÖÞÝ ÑÓÛ ÒÝ ÔÓ Þ ÞÝ ÔÖÞ ÓØÛ Ö Ñº ½º ÈÓ Ò ÈÃ µ ¹ ÞÐ Ò Ó ÛÝ ÓÒ Ò Þ ÛÞ Ð Ù Ò Òº ¾º ÈÓ Ò ÖÝÒ ÓÛ Ò ÓØÛ Ö È ÊÇµ ¹ ÞÐ Ò Ó ÛÝ Ó¹ Ò Ò ÔÓ Ù Ø ÐÓÒ Ò ÖÝÒ ÓÛ º º Ð Ñ Ø Ñ ÒÝ ¹ ÞÐ Ò Ó ÛÝ ÓÒ Ò ÔÓ Ò Ö ÛÒ Ð Ñ ¹ ØÓÛ ÐÙ Ð Ô Þ ÛÝ Þ Ð ÔÖÞ Ý Ò Þ Ð Þ ÙÔÙµº ÃÓÐ ÒÓ Ö Ð Þ ÞÐ ½º Ï Ô ÖÛ Þ ÓÐ ÒÓ ÑÙ Þ Ý ÞÖ Ð ÞÓÛ Ò ÞÐ Ò ÈÃ µ Ò ØÔÒ ÞÐ Ò Þ Ð Ñ Ø Ñ Ð Ô ÞÝÑ Ò Ù Ø ÐÓÒÝ ÙÖ º ¾º ÈÓØ Ñ ÑÓ Ý ÞÖ Ð ÞÓÛ Ò ÞÐ Ò È ÊÇµ Ò ØÔÒ ÞÐ Ò Þ Ð Ñ Ø Ñ Ö ÛÒÝÑ Ù Ø ÐÓÒ ÑÙ ÙÖ ÓÛ º º Ð Ò Þ Ð Ñ Ø Ñ ÓÖ ÞÝÑ Ò Ù Ø ÐÓÒÝ ÙÖ Ò Ö Ð ÞÓ¹ Û Ò º Ï Þ ÔÖÞ ÓØÛ Ö Ñ ÛÖ Þ Þ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ñ Ó ÓÐ ¹ Ò Ó ÞÐ Ò Ó ÒØÖ ÐÒ Ó Ö Ù Þ ÞÐ Ð ÙÐÓÛ ÒÝ Ø Ò Ó Ì ÓÖ ØÝÞÒÝ ÃÙÖ ÇØÛ Ö ÌÃÇµº Ç Ø ØÒ ÞÒ ÒÝ ÙÖ ÌÃÇµ Ø ÙÖ Ñ ÓØÛ Ö ÔÓ ØÝÑ ÙÖ ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ò ØÖ Ò ÔÓ Þ Ü Ò Ùº ÏÝÞÒ Þ Û ÖØÓ Ì ÓÖ ØÝÞ¹ Ò Ó ÃÙÖ Ù ÇØÛ Ö ÖÙ ÓÐ ÒÓ Þ Ñ ½º Ñ ÝÑ Ð Þ ÛÓÐÙÑ ÒÙ Ó ÖÓØÙ ¾º Ñ Ò Ñ Ð Þ Ö Ò Ý Ñ ÞÝ Ð Þ Ô Ô Ö Û Û ÖØÓ ÓÛÝ Û ÞÐ Ò ÔÖÞ Ý ÙÔÒ ÑÓ Ð ÛÝ Ó ÞÖ Ð ÞÓÛ Ò ÔÖÞÝ ÒÝÑ ÙÖ

11 ¾º¾º ÌÊ ÆË Ã Â Æ ÈÏº ½½ º Ñ Ò Ñ Ð Þ Ö Ò Ý Ñ ÞÝ ÙÖ Ñ Ó Ö Ð ÒÝÑ ÙÖ Ñ Ó Ò Ò º ÏÝÞÒ ÞÓÒÝ ÙÖ ÑÙ Ý ÙÖ Ñ Ö ÛÒÓÛ Þ Ô ÛÒ Ö Ð ¹ Þ Û ÞÝ Ø ÞÐ ÈÃ µ ÓÖ Þ Þ Ð Ñ Ø Ñ Ð Ô ÞÝÑ Ó ÒÝ ØÖ Ò µº ÆÓØÓÛ Ò º ÆÓØÓÛ Ò ÖÓÞÔÓÞÝÒ Ó Ó Þ Ò Ñ ÙÖ Ù ÓØÛ Ö Ó Þ Ó Ó Þ Ò Ñ ÙÖ Ù Þ Ñ Ò ¹ Û ØÝÑ Ý Ø Ñ ÒÓØÓÛ Ò Ó Ù Ô ÝÒÒÓ º ÈÖÞ ÒÓØÓÛ Ý Ó ½ Û ØÒ ¾¼½ µ Ó Ö ÞÙ Ò ØÔÙ Þ Ø Û Ò ½º ¼ ¹ ¼¼ ¹ Þ ÔÖÞ ÓØÛ Ö Ñ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ò ÞÐ Ò ÓØÛ Ö µ ¾º ¼¼ ¹ Ü Ò Ò ÓØÛ Ö Ù ÖÓÞÔÓÞ ÞÝ ÒÓØÓÛ Ý º ¼¼ ¹ ½ ¼ ¹ ÒÓØÓÛ Ò º ½ ¼ ¹ ½ ¼¼ ¹ Þ ÔÖÞ Þ Ñ Ò Ñ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ò ÞÐ Ò Þ Ñ Ò µ º ½ ¼¼ ¹ Ü Ò Ò Þ Ñ Ò Ù º ½ ¼¼ ¹ ½ ¼ ¹ Ó ÖÝÛ º ÊÓ Þ ÞÐ ÔÖÞÝ ÑÓÛ ÒÝ ÔÓ Þ ÒÓØÓÛ Ý ½º Ð Ò ÔÓ Ò ÈÃ µ Ø ÞÐ Ò Ñ Ó Ò ØÝ ¹ Ñ ØÓÛ Ó ÛÝ ÓÒ Ò Ò Þ Û Ö Ð Ñ ØÙ ÒÝ ÑÙ ÞÓ Ø ÞÖ Ð ÞÓÛ Ò Û Ó Ý Û Ö Ù ÞÙ Ò Ñ ÞÐ ÔÖÞ Û¹ Ø ÛÒÝ Þ Ô ÛÒ Ý ÓÛ Ø Ö Ð Þ ÖÓÞÔÓÞÝÒ ÔÖÓ Ö ÛÒÓÛ Ò ÖÝÒ Ùº

12 ½¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ¾º Ð Ò ÔÓ Ò ÖÝÒ ÓÛ È Êµ Ò Þ Û Ö Ð Ñ ØÙ ÒÝ Ö Ð ÞÓÛ Ò Ò ØÝ Ñ Ø ÔÓ ÛÔÖÓÛ Þ Ò Ù ÔÓ Ò Ò Ð Ô¹ Þ Ó ÓÞ Ù Ó ÞÐ Ò ÔÖÞ Û Ø ÛÒ Ó Ð Ò ÞÓ Ø ¹ Ò ÞÖ Ð ÞÓÛ Ò Û Ó Þ Ò ÞÖ Ð ÞÓÛ Ò Ø ÞÐ ¹ Ò Ñ Þ Ð Ñ Ø Ñ Ö ÛÒÝÑ ÙÖ ÓÛ Ó Ø ØÒ Þ Û ÖØ ØÖ Ò ¹ º º Ð Ò Þ Ð Ñ Ø Ñ ÒÝº Ä Ñ Ø Ó Ö Ð Ò ÛÝ Þ Ò Ò Ó Þ Ý ÞÐ Ò ÞÐ º ÙÔÒ µ ÐÙ Ò Ò Þ Ò Ò Ó Þ Ý ÞÐ Ò ÞÐ º ÔÖÞ Ýµº º ÁÒÒ ÏÑ Ò ÏÍÂ Ä Ñ Ø ÏÙ µº Í Ø Ð Ò ÒÝ ØÖ Ò ÔÓ Þ ÒÓØÓÛ Ý Ó Ö ÞÙ Ò ¹ ØÔÙ Þ Ø Û Ò º ÌÖ Ò Þ Û Ö Ò ÔÓ ÙÖ Ò Ð Ô Þ Ó ÞÐ Ò ÓÞ ¹ Ù Ó Ò ÖÝÒ Ùº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ù ÔÖÞ Û Ø ÛÒ Ó ÞÐ Ò Þ Ó Ò Ó ¹ ÒÓÛÓ ÞÐ Ò ØÖ Ó Ö Ù Þ ÞÐ Þ Ò ÔÓ Û Ò ÞÐ Ò ÔÖÞ Û Ø ÛÒ Ó Ó Ó ÔÓÛ Ò Ò º ÈÖÞÝ Ö Ð Þ ÞÐ Þ Û Þ Ó ÓÛ ÞÙ Û ÔÖ ÓÖÝØ ØÝ Ò ÓÖ Þ Þ Þ Ó Ò ÞÐ Ò º ÈÓÔÝØ ÔÓ º ÃÖÞÝÛ ÔÓÔÝØÙ ÔÓ Ý Ó Ö Ð Ò P Û ÙÒ ÔÓÔÝØÙ D ÔÓ¹ Ý Sº ÈÖÞ ÖÞÝÛÝ ÔÓÔÝØÙ ÔÓ Ý Ó Ö Ð Ò ØÖ Ò ¹ ÓÖ Þ ÐÓ ÔÖÞ ÒÝ Þ ÙÔ ÓÒÝ ÖØÝ Ù Û Q ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º½º Ñ Ò ÑÝ Ø Ö Þ Ó Ñ Ñ ¹ Þ Ó ÝÑÝ ØÓ ÔÓÔÝØ D ÔÓ S ÙÒ ÒÝ P ÔÓÞÛÓÐ ØÓ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ô Ò ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ò Ð Þ ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º¾º

13 ¾º¾º ÌÊ ÆË Ã Â Æ ÈÏº ½ ÊÝ ÙÒ ¾º½ Ò Û ÙÒ ÔÓÔÝØÙ D ÔÓ Ý Sº ÊÝ ÙÒ ¾º¾ ÈÓÔÝØ D ÔÓ S Û ÙÒ ÒÝ P º ÌÖ Ò Ò ÈÏº ÑÝ ÔÓ Þ ÒÓØÓÛ Ý ÒÛ ØÓÖ ÞÐ Ò ÙÔÒ ½¼ Þ Ð Ñ Ø Ñ ÒÝ ½¼ Þ º ÈÓÔÝØ ÛÝÒÓ ½¼ Þ Ò Ó ¼ Ó ½¼ Þ Û ÞÒ ÓÖ Þ ¼ Þ Ò ÔÓÛÝ ½¼ Þ º ÈÓ Þ ÞÐ Ò ÔÖÞ Ý ½¼ Þ Ð Ñ Ø Ñ ÒÝ Þ º ÈÓ ÛÝÒÓ ½¼ Þ Ò Ó Þ ÛÞÛÝ ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º º

14 ½ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Æ ÖÝ ÙÒ Ù ¾º ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ØÓÑ Ø ÙÑ ÔÓÔÝØÙ D ÔÓ Ý S Ð Û ÐÙ ÞÐ Þ Ð Ñ Ø Ñ ÒÝº ÊÝ ÙÒ ¾º ÈÓ Ý Þ ÞÐ Ò Ò ÈÏº ÊÝ ÙÒ ¾º ËÙÑ ÔÓÔÝØÙ D ÔÓ Ý S Ð Û ÐÙ ÞÐ Þ Ð Ñ Ø Ñ ÒÝº ÈÓ ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒ ØÖ Ò ÔÓÔÝØD ÔÓ S ÙÐ ÞÑ ¹ Ò ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º º Ç ÐÒ Ð Ò ÛÒ ÞÐ Ò ÙÔÒ Ò Þ ÖÓ ÛÞÖÓ Ø ÔÓÔÝØÙµ Ò ØÓÑ Ø Ð

15 ¾º º ÅÇ Ä Ê ÆÃÍ Ã ÂÁº ½ ÊÝ ÙÒ ¾º Ñ Ò ÔÓÔÝØÙ ÔÓ Ý ÔÓ ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒ ØÖ Ò º Ò ÛÒ ÞÐ Ò ÔÖÞ Ý Ò Þ Ñ Ð ÛÞÖÓ Ø ÔÓ Ýµº Â Ò ÑÓ ÔÓ Û ÛÝ Ø Ó Ø Þ Ýº ÈÓ¹ Ò ØÓ ÑÓ Ò Þ ÙÛ Ý Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º ¾º ÛÝ Ö ÒÝ Ø Û Ô ÛÒÝÑ Ò Ö ØÖ ÐÒÝ Û Ò ÞÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Û ÔÖÞ Þ Ð ¹½¼ Þ µ Þ Ð Ý Ò ØÝÐ Ó Ó ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ ÔÖ Û ÖÝÒ Ù Ð Ö ÛÒ Ó ÓÔ ÒÝ ÛÞ Ò Þ º ¾º ÅÓ Ð ÖÝÒ Ù º ÒÝ Ô Ô Ö Û Û ÖØÓ ÓÛÝ Þ Ð Ö Þ Ó ÓÐ ØÝÛÒ Ó Þ ¹ ÓÛ Ò Û ÐÙ Ó Þ Ù Ý Ö ÞÝ Ò Ó ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒÝ Û ÖØÓ ÛÝÒ Ý Þ Ó Ò ÔÖÞÝ Þ ÓÒ Ý ÖÑ ½ º ¾º º½ ÅÓ Ð Î Êº Î Ê ¹ Î ÐÙ Ø Ö Ø ØÓ Ñ ØÓ Ø ØÝ ØÝÞÒ Ù Ó ÔÓ¹ Ñ ÖÙ ÖÝÞÝ ÖÝÒ ÓÛ Ó ÞÛ Þ Ò Ó Þ ÔÓÖØ Ð Ñ ØÝÛ Ûº Å ¹ ØÓ Ø ÔÓÐ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ Ò Ù ÑÓ Ð Ø ØÝ ØÝÞÒÝ ØÞÛº ½ ÂÓ Ò Åº Ã ÝÒ Ç ÐÒ Ø ÓÖ Þ ØÖÙ Ò Ò ÔÖÓ ÒØÙ Ô Ò Þ

16 ½ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Czestosc Procentowe stopy zwrotu. ÊÝ ÙÒ ¾º ÊÓÞ ÒÓÖÑ ÐÒÝº ÑÓ Ð Î Êµ ÙÑÓ Ð Û Ý Ó Þ ÓÛ Ò Ñ ÝÑ ÐÒ ØÖ ØÝ Ø Ö ÑÓ Ò ÔÓÒ Þ ÔÓÛÓ Ù Ô Ù Ò ÖÝÒ ÓÛÝ Ò ØÖÙÑ Ò¹ Ø Û Ò Ò ÓÛÝ ÞÒ Ù Ý Û ÔÓÖØ ÐÙ ÒÛ ØÝÝ ÒÝÑ ÔÖÞÝ Þ Ó Ò Ù Ó Ö ÐÓÒ Ó ÔÓÞ ÓÑÙ Ù ÒÓ ÓÖ Þ Ó Ö Ù Û Ñ Ø ØÖ Ø ÑÓ ÞÓ Ø ÔÓÒ ÓÒ º Ï ÑÓ ÐÙ Î Ê ØÓ Ù Ò Ø¹ ÔÙ Ñ ØÓ Ý Ó Ð Þ Ñ ØÓ ÓÛ Ö Ò Ñ ØÓ ÝÑÙÐ ØÓÖÝÞÒ Ñ ØÓ ÝÑÙÐ ÅÓÒØ ÖÐÓº Å ØÓ ÓÛ Ö Ò Þ ÖÓÞ ÒÓÖÑ ÐÒÝ ÞÑ Ò Û ÖØÓ ÔÓÖØ¹ Ð ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º ÔÖÞÝ ÒÝÑ ÔÓÞ ÓÑ Ù ÒÓ Ñ ÝÑ ÐÒÝ Ô ¹ Û ÖØÓ ÔÓÖØ Ð Ø Ó Ö ÐÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÖÓÞ ÒÓÖÑ ÐÒÝµº ÆÔº ÔÖÞÝ ÔÓÞ ÓÑ Ù ÒÓ 97,5% Ñ ÝÑ ÐÒÝ Ô Û ÖØÓ ÔÓÖØ¹ Ð ØÓ 2σ ¾ Ó ÝÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛ µº

17 ¾º º ÅÇ Ä Ê ÆÃÍ Ã ÂÁº ½ ÏÝÞÒ Þ Ò Î Ê Ð ÔÓ ÝÒÞ Ó Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ ÓÛ Ó ¹ Þ ÒÒ ÞÑ ÒÝ Òº Ó Ò Þ Þ Ó Ò Ñ ÑÓ ÐÙ Î Ê ÞÑ Ò ÒÝ Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ¹ ÓÛ Ó ÛÝÒÓ P = r±σ Þ r ØÓ Ö Ò ÖÝ Ø Ý Ò Û Ð ÛÞÖÓ Ø ÙÖ Û ÞÛ Þ ÒÝ Þ ÔÖÓ Ñ Ñ ÖÓ ÓÒÓÑ ÞÒÝÑ ÒÔº ÛÞÖÓ Ø Ñ ÈÃ µ σ ØÓ Ó ÝÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛ º ÈÖÞÝ Þ Ò¹ ÒÝ ÞÑ Ò ÒÝ ØÓ Ù ÙÔÖÓ ÞÞ Ò r 0º Æ Ð Ý ÛÝ¹ ÞÒ ÞÝ Û ÖØÓ Ó ÝÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛ Ó ¹ σ = E(x x) 2 ¹ ÒÔº Ù ÝÛ ÒÝ ØÓÖÝÞÒÝ º ËÝÑ ÓÐ E ÓÞÒ Þ Û ÖØÓ ÔÖÞ Û ÝÛ Ò x ØÓ ÓÐ Ò ÞÑ ÒÝ ÙÖ Û ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙµ Ò ØÓÑ Ø x ØÓ Ö Ò ØÓÔ ÞÛÖÓØÙ Þ ØÓ Þ x 0º ÇØÖÞÝÑÙ ÑÝ Î Ê α σ Q ¹ Þ É ØÓ Û ÖØÓ ÔÖÞÝ ÔÓÞ ÓÑ Ù ÒÓ 97,5% α = 2µº Î Ê ØÓ Û Ð Ó Ó ÑÓ Ô Û ÖØÓ ÔÓÖØ Ð ÔÖÞÝ Þ Ó ÓÒÝÑ ÔÓÞ ÓÑ Ù ÒÓ º ÏÝÞÒ Þ Ò Î Ê Ð ÔÓÖØ Ð º ½º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ¾ Ô X Y Û ÔÓÖØ ÐÙ ÒÛ ØÝÝ ÒÝÑ Ó¹ ÖÞÝ Ø ÑÝ Þ Ò ØÔÙ Ö Ð VaR XY = (VaR X ) 2 +(VaR Y ) 2 +2VaR X VaR Y Rº ¾º Æ Ð Ý ÛÝÞÒ ÞÝ Ô Ö Ñ ØÖÝVaR x = αq x σ x,var y = αq y σ y ÓÖ Þ R ¹ Û Ô ÞÝÒÒ ÓÖ Ð º º R XY = COV XY σ X σ Y, COV XY = 1 n n i=1 (x i x)(y i ȳ). º Ï ÔÖÞÝÔ Ù Û ÐÙ Ô VaR = V C V T Þ V = [VaR 1,VaR 2,VaR 3...] = [αq 1 σ 1,αQ 2 σ 2,αQ 3 σ 3...] ØÓ Û ¹ ØÓÖ Û ÖØÓ Î Ê

18 ½ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Czestosc Procentowe stopy zwrotu. ÊÝ ÙÒ ¾º ËØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Þ ØÖ Ò Ð Ô È Ã Ç ¹ Û ¾¼½ Ö ÓÖ Þ ÓÔ ÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÒÓÖÑ ÐÒÝº C = V T = 1 R 1,2 R 1,n R 1,2 ººº º R 1,n 1 VaR 1 VaR 2 VaR 3... ØÓ Ñ ÖÞ ÓÖ Ð Ò ØÓÑ Ø ØÓ Û ØÓÖ ØÖ Ò ÔÓÒÓÛ ÒÝº ÈÓ Ø ÛÓÛ Û ÑÓ ÐÙ Ø Ø Ò Ò Ò ÓÛ Ò Þ Û Þ Ó ÖÞ ÓÔ Ò ÔÖÞ Þ ÖÓÞ ÒÓÖÑ ÐÒÝ Þ Ó ÔÖÞÝ Ó Ö ÞÙ ÖÝ ÙÒ ¾º º ÅÓ Ð Î Ê Ñ ØÓ ÝÑÙÐ ØÓÖÝÞÒ ¹ Þ ÒÒ ÞÑ ÒÝ Òº ÑÝ Ñ ÑÝ ÔÓÖØ Ð Ø ÖÝ Þ n Ô Ô Ö Û Û ÖØÓ¹ ÓÛÝ Ó Û ÖØÓ Q 1,Q 2,...,Q n º Ï ÖØÓ ÔÓÖØ Ð Û Þ t Û Ð Ó Ò µ ÛÝÒÓ Q P (t) = n i=1 Q iº Ý ÛÝÞÒ ÞÝ Û Ö¹ ØÓ Î Ê Ñ ØÓ ÝÑÙÐ ØÓÖÝÞÒ ØÓ Ù ÑÝ Ò ØÔÙ ÔÖÓ ÙÖ ½º ÛÝÞÒ Þ ÑÝ ØÓÖÝÞÒ Û ÖØÓ ÔÓÖØ Ð ¹Q P (t 1),Q P (t

19 ¾º º ÅÇ Ä Ê ÆÃÍ Ã ÂÁº ½ 2),...,Q P (t m)º ¾º Ó Ö Ð ÑÝ ØÓÖÝÞÒ ÞÑ ÒÝ Û ÖØÓ ÔÓÖØ Ð Q P (t 1) = Q P (t) Q P (t 1),..., Q P (t m) = Q P (t m+1) Q P (t m) º ÔÓÖÞ Þ ÑÝ ÑÔ ÖÝÞÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Q P º ÛÝÞÒ Þ ÑÝ Ñ ÝÑ ÐÒ ØÖ Ø ØÓ Ù Û»Û ÖÓÞ Þ ¹ Ó ÓÒÝ ÔÓÞ ÓÑ Ù ÒÓ º Å ØÓ ÝÑÙÐ ØÓÖÝÞÒ Ñ Ó Ö Ò ÞÓÒ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÔÓ¹ Ò Û ÛÝÑ Ù Ý ÑÓÝ Ó Ð Þ Ò ÓÛÝ ÞÑ Ò Ù ÔÓÖØ Ð ÛÝÑ ÔÓÒÓÛÒ Ó ÛÝÐ Þ Ò Û ÖØÓ Q i ÓÖ Þ ÔÖÞ ÔÖÓ¹ Û Þ Ò ÓÔ Ò ÔÖÓ ÙÖÝµº ÑÓ Ð Î Ê ¹ Ý Ù ÅÓ Ð Î Ê Ø Ö ÞÓ Þ ÖÓ Ó ØÓ ÓÛ ÒÝ Û Ó Ò ÖÝÞÝ º Â Ó ÔÓ Ø ÛÓÛ Û Ø ØÓ ÓÛ Ò ÖÓÞ Ù ÒÓÖÑ ÐÒ Óº Æ ÖÝÒ Ù ÑÓ Ð Û Ù ÞÑ ÒÝ ÙÖ Û ¹ Û Þ Ò Ø ÔÖÞ Û Ý¹ Û Ò ÔÖÞ Þ ÖÓÞ ÒÓÖÑ ÐÒÝ ¹ ÒÔº Ô ÙÐ Ý Ò Ö Ýº ÅÓ Ð Î Ê Ò Ð Ý ÙÞÙÔ Ò Ó Ñ ØÓ Ý Ø ØÓÛ Ò Ò Ô ¹ ÒØÝ¹ ØÖ Ñ ÐÒÝ Þ ÖÞ Ù ØÝÛÒ Ó Ò ÖÓÛÒ ØÛ µº ÅÓ Ð Î Ê ÑÓ Ò ÔÓÒ ØÓ Ù Ó ÓÒ Ð Þ ØÔÙ ÖÓÞ ÒÓÖ¹ Ñ ÐÒÝ ÔÖÞ Þ ÒÒ ÖÓÞ Ý ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÓÖ Þ Þ ØÔÙ Ñ ÖÞ ÓÖ Ð ÔÖÞ Þ ÙÒ ÃÓÔÙ Ý ¾ º ÙÒ ÃÓÔÙ Ý Þ ÒÓÛÝÑ ÖÓÛ ÖÓÞ Ý ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Û ÖÓÞ Û ¹ ÐÓÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÓÞÛ Ð Ò Ò Ð Þ ÖÝÞÝ Û ÐÓ Ò ÓÛ Ó ÔÓÖØ Ð º ÍÞÙÔ Ò Ò Ó ÑÓ Ð Ò Ù ÓÛ º ÅÓ Ð Þ Ý ÒÒÝ Ò Ù ÓÛ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÞÑ Ò Ò ¹ ÖÓÞ Ä ÚÝ³ Óº ¾ Íº ÖÙ Ò º ÄÙ ÒÓ Ïº Î ØÓ ÓÔÙÐ Å Ø Ó Ò Ò Ò Ï Ð Ý Ò Ò ¾¼½¾µ

20 ¾¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º ÊÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ Þ Ò Ù Ò Þ Û Ë È ÙÐÓ r = P(t i ) = P(t i ) P(t i 1 )µ Û Ð ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ ¹ õö Ó ¹ ºÄº Î ÓÒ ÐÓ Ù Ï Ð ÓÛÒ Ï ÐÐ ËØÖ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÒÓÔ Ý Ö Þ Ð Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó È Ý ¾¼¼ µ ½¼ º Ï ÖÓ Ù ½ Å Ò Ð ÖÓØ ÒÝ Û ÒÝ Ò Ö ÒÝ ÖÝÒ Û ËØ Ò ÒÓÞÓÒÝ Ó Ô ÖÛ ÞÝ Þ Û Ø ÓÒÓÛ Ù ÓÛ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÞÑ Ò Ò ( P(t i ) = P(t i ) P(t i 1 )) Ø ÖÝ Ð Ö ÒÝ Û ÖØÓ Þ ÓÛÝÛ ÙÒ ÛÝ Ò Þ ¹ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Ù ÞÑ ÒÝ Ý Ó ÞÒ ÞÒ Û Þ Ò ØÓ ÔÖÞ Û Þ Ò ÔÖÞ Þ ÖÓÞ Ù ¹ ÖÝ¹ ÙÒ ¾º º Ç Ò ÔÖÓÛ Þ Ò Ò Þ ØÓ ÓÛ Ò Ñ ÖÓÞ¹ Ù Ä ÚÝ³ Ó Ó ÓÔ Ù ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ º ÈÖÞÝ Ñ ÖÓÞ¹ Ù Ä ÚÝ³ Ó Ø ÖÓÞ ÄÓÖ ÒØÞ» Ù Ý Óº ρ(x) = 2a π 1 x 2 +4a 2. ¾º½µ ÅÓ Ð Ý ÙÞ ÒÓÑ ÐÒ ÅÓ Ð Þ ÙØÓ ÓÖ Ð ÞÑ Ò Ò

21 ¾º º ÅÇ Ä Ê ÆÃÍ Ã ÂÁº ¾½ Ò ÐÓ ÔÓÑ ÞÝ ÖÝÒ Ñ Ò Ò ÓÛÝÑ ÝÒ Ñ ÞÒÝÑ Ù ¹ Ñ Þ Ó ÓÒÝÑ Ò ÐÓ ÔÓÑ ÞÝ Þ Ñ Ò Ñ ÖÝÒ Ù ÔÖÞ Ñ ÞÓ¹ ÛÝÑ ÅÓ Ð ÞÒ Ù Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ÔÖ ÔÖÞ Û ÝÛ Ò Ö Û Ò ÖÝÒ Ùº ¾º º¾ ÅÓ Ð Ñ ÖÓ ÓÔÓÛ º ÅÓ Ð ¹ È ÞÙ ¹ Ë Ù º ÅÓ Ð Ø Ò Þ Û Ø ÓÖ Ö ÞÝ Ö Þ ØÛÓÖÞ Ý ÞÙÑ Ö Þ Ö ÓÒ ÐÒ ÔÖÓÛ Þ Ý Ò Ð Þ ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ ÓÖ Þ ÔÓ Ò ØÔÙ Þ Ó Ò Ö Þ ØÛÓÖÞ Ý ÞÙÑ Ñ Ò ÝÛ Ù ÐÒ ØÖ Ø ÔÓÒ ØÓ ÖÙ Ó ÒÝÑ ØÖ Ò Ñ Ò ÖÝÒ Ù Ò Ð Ù Þ ÓÛ Ò ÒÒÝ Ö Þ Ó ÖÛÙ ÖÝÒ Ó Þ Ó ÖÙÔÝ Ö ÞÝ ØÛÓÖÞ ¹ Ý ÞÙÑ ÐÙ Ö ÓÒ ÐÒÝ Û Þ Ð ÒÓ Ó Ø Ó Ø Ö ÖÙÔ ÛÝÔÖ ÓÛÙ Û ÞÝ ÞÝ Ò Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ ÓÛ Ó Ø ÑÓ ÐÓÛ Ò Ó ÙÒ Ò ÛÝ ÔÓÔÝØÙ Ò ÔÓ º ÏÝÒ º Â Ð ÔÖÞ Û Ö Þ Ö ÓÒ ÐÒ ¹ Û Ò ÙÖ Û Ó Ö Ò ÞÓÒ º Â Ð ÔÖÞ Û Ö Þ ØÛÓÖÞ Ý ÞÙÑ ¹ ÛÝ ØÔÙ Ù Û ¹ Ò ÙÖ Ûº

22 ¾¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÅÓ Ð Ö Ö ÞÒÝ ËÓÖÒ Ø ¹ ÂÓ Ò Ò º ÁÒ ÝÛ Ù ÐÒ Ö Þ ØÓÔÒ 0µ ÓÖ Ò ÞÙ Û m ÖÙÔ Ö ¹ ÞÝ ØÛÓÖÞ Ö Þ ØÓÔÒ 1µ Ø Ö ÓÖ Ò ÞÙ Û m ÖÙÔ ØÛÓÖÞ Ö Þ ØÓÔÒ 2µ Ø Ö ÓÖ Ò ÞÙ Û ÓÐ Ò ÖÙÔÝº ÅÓ Ð ÓÓÔ Ö ØÝÛÒ Þ ÓÛ Ò Ö ÞÝ ÔÖÞ Û Ù ÔÙÒ Ø ÖÝØÝÞÒÝ ÔÓ Ø ÖÝÑ Ò ØÔÙ Þ Ñ Ò ÖÝÒ Ù Ò ÐÓ ÞÒ Ó ÔÖÞ ÞÓÛ Óº ÈÖÞ ÞÓÛ Ø Þ Û Ñ Û ØÓÛÒ ÞÑ ÒÝ Ô ÛÒÝ Û Ð Ó ÞÝÞÒÝ Ð ÞÓ Ø Ò Ó Ò Ø Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ ÖÝØÝÞÒ T c ÒÔº Û ØÓÛÒ ÞÑ Ò Ó ØÓ ÛÓ Ý Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÛÖÞ Ò µº ÓÛ Ò Û Ð Ó ÞÝÞÒÝ Û Ó ÓÐ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÖÝØÝÞÒ Ø ÓÔ Ò ÔÖÞ Þ ÛÝ Ò ÖÝØÝÞÒ º ÇÔ ÒÝ ÑÓ Ð ÔÖÞ Û Ù ÔÓ Ó Ò Þ ÓÛ Ò ÙÖ Û ¹ P(t) Û Ô ÛÒÝÑ Þ ÖÝØÝÞÒÝÑ t c Ò ØÔÙ Ö Û ¹ ØÓÛÒÝ Ô ÙÖ Û P(t)µº ÈÓÒ ØÓ Û ÔÓ Ð Ù Ö Ù Û Ö¹ ØÓ P(t) ÑÓ Ý ÓÔ Ò Û ÔÓ Ò ÐÓ ÞÒÝ Ó Û Ð Ó ÞÝÞÒÝ Þ Ù Ý Ñ ÛÝ Ò ÖÝØÝÞÒ Ó º Æ Ø ØÝ Ò ÐÓ ÔÓÑ ÞÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Û Ù Þ ÞÝÞÒÝÑ Þ Ñ Û Ù ¹ Þ Ò Ò ÓÛÝÑ Ø Ù ÝÑ ÙÔÖÓ ÞÞ Ò Ñ Ó Ø ÞÒ Ð õ Û Û ÙÞ Ò Ò Ø Ò ÐÓ º ÅÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÒÝ ÓÒØ ¹ ÓÙ Ù ÑÓ Ð ÓÛÝµº Ó Ò ½º Þ ØÒ Ò Ù ¹ Ý ÛÞ Ø Ø Þ ÑÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö Þ ÐÙ ÛÓÐÒÝ ¾º Þ Ò Ó ÛÞ ÑÓ ÔÓÛÓ ÓÛ Þ ÓÐ ÒÝ Ø ØÓ ÒØÙ Ý Ò ÔÓÖ ÛÒÝÛ ÐÒ Þ ÔÓ Ö Ñ Ð Ùµ º Ù Ý Ö Þ ØÛÓÖÞ Ô Ø Ö ÐÓ ÓÛÓ ÙÔÙ Þ ÔÖ Û¹ ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ aµ ÔÖÞ Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ aµ ÐÙ Þ Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ 1 2aµ

23 ¾º º ÅÇ Ä Ê ÆÃÍ Ã ÂÁº ¾ º Ö Ò ÔÓÑ ÞÝ ÔÓÔÝØ Ñ ÔÓ ÞØ ØÙ Òº ÈÖÞÝ Ô ÛÒÝ Ô Ö Ñ ØÖ ÑÓ Ð Ø Ò ÑÓ ÛÝØ ÙÑ ÞÝ Ù ÞÑ ÒÝ Ò Ó Ó ØÝ ÔÖÞ Û ÝÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÖÓÞ Ù ØÞÛº ÖÙ Ó ÓÒÝµº ÅÓ Ð ÛÝÛÓ Þ Þ Ø ÓÖ Öº Â Ó ÔÖÞÝ ÔÓ ÑÝ Ö ÛÒÓÛ Æ Û Ø Ö Ò Ö Þ Ò ÑÓ ÔÓÔÖ Û ÛÓ ØÖ Ø Û ÞÝ Ý Ö Þ Þ ÓÛÙ Ö ¹ ÓÒ ÐÒ º ÝÑ ÔÖÞÝØÓÞÝ Ø Ö Þ ÝÐ Ñ Ø Û õò º Û ÔÓ ÖÞ ÒÝ ÞÓ Ø Ó Þ ØÖÞÝÑ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÔÓÐ Ø Ö Ò Ñ ÛÝ Ø ÖÞ Ý ÓÛÓ Û Ó ÔÓ Ø Û Ò Þ ÖÞÙØ Ûº Ï õò ÓÛ ÞÓ Ø ÖÓÞ Þ Ð Ò Ò ØÔÒ ÑÙ Þ Ò ÞÓ Ø ÔÖÞ Ø ¹ Û ÓÒ Ø Ñ Ó ÖØ Ð Þ Þ ÞÒ Û ÔÖÞ Û Ó ÖÙ ÑÙ ÖÙ Þ Ñ ÐÞ ØÓ ÛÝ Þ Ò ÛÓÐÒÓ ÖÙ Ó Ø Ò Þ ¹ ÓÐ ØÒ ÛÝÖÓ º Â Ð Ó Ñ ÐÞ Ó Ó Ø Ò ÖÓÞÒÝ ÛÝÖÓ Þ ÒÒ ÔÖÞ Û Ò Ò º Â Ð Ó Þ ÞÒ Û Ó Ó¹ Ø Ò Ô ÓÐ ØÒ ÛÝÖÓ º Ã Ý Þ Ò ÑÙ ÔÓ ÝÞ Ò ÓÛ ÞÝ ÖÙ Ñ ÐÞÝ ÞÝ Þ ÞÒ Ó ÑÓÑ ÒØÙ ÛÝ Ò ÛÝÖÓ Ùº Æ Þ Ð Ò Ó Ø Ó Ó ÖÓ ÔÖÞ ÛÒ Þ Û Þ Ö Þ ÓÔ Þ ÞÒ Û Ò Ñ ÐÞ º Â Ð ÖÙ Û Þ Ñ ÐÞÝ Ô ÖÛ¹ ÞÝ Þ ÞÒ Ö ÛÝÖÓ Þ ÖÓ Ù Ó Þ Ö º Â Ð ÖÙ Û Þ Þ ÞÒ Ô ÖÛ ÞÝ Þ ÞÒ Ö ÛÝÖÓ Þ Þ Ù Ð Ø Ó Ô Ùº Ã Ý Ö ÓÒ ÐÒÝ Û Þ Þ Þ Ø Ñ Þ ÞÒ Û Ø ÝØÙ Ø Ò ÞÝÛ Ò Ö ÛÒÓÛ Æ µº ÝÐ Ñ Ø ÔÓÐ Ò ØÝÑ Ó ÞÝ ÑÒ Ò Ý Ý Û Ô ÔÖ ÓÛ Ð º Ö Þ ÓÛ Ö ÛÒ Ñ ÛÓ Ò ÝÛ Ù ÐÒ ØÖ Ø ÓÖ Þ Þ ØÓ Ò ÞÒ ØÖ Ø ÒÒÝ Ö ÞÝº Ð Ø Ó Ø ÓÖ Ö ÑÓ Ò Ù ÝÛ Û ÐÙ Ò Þ ÓÛ Ò Ö ÞÝ ÓÛÝ Ø Ö Ñ ÛÔ ÝÛ Ò Þ ÓÛ Ò ÖÝÒ Ù Ô Ô Ö Û Û ÖØÓ ÓÛÝ º

24 ¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ¾º Å ØÓ Ý ØÓ ØÝÞÒ º Ï Ó ÐÒ Ò Ð Þ ÞÑ ÒÒÝ ØÓ ØÝÞÒÝ Þ ÑÝ Ò Ø¹ ÔÙ ÒÓØ ¹X ¹ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ x¹û ÖØÓ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ º ¾º º½ ÒØÖ ÐÒ ÌÛ Ö Þ Ò Ö Ò ÞÒ ÖÓÞ Ù Ä ÚÝ³ Óº ÒØÖ ÐÒ ÌÛ Ö Þ Ò Ö Ò ÞÒ º Â Ð X 1,X 2...X n Ò Þ Ð ÒÝÑ ÞÑ ÒÒÝÑ ÐÓ ÓÛÝÑ Ó Ò ¹ ÓÛÝÑ ÖÓÞ Þ Ñ ÝÑ Û ÖØÓ ÓÞ Û Ò µ Ó ÞÓÒ Û Ö Ò σ 2 n i=1 ØÓ Ð Ù Ý n Ö Ò S n = X i n Ñ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Þ ÒÝ Þ ÖÓÞ Ñ Ù Ó Ö Ò µ Ó ÝÐ Ò Ù Ø Ò ÖØÓÛÝÑ σ n º S n N(µ, σ2 ) ÖÓÞ ÒÓÖÑ ÐÒÝ Þ Ö Ò µóö Þ Û Ö Ò n σ 2 n µº Æ ØÓÑ Ø ÙÑ X 1 +X X n n i=1 X i N(nµ,nσ 2 )º Ï ÐÓÛÝÑ ÖÓÛ ÒØÖ ÐÒ ÌÛ Ö Þ Ò Ö Ò ÞÒ º Æ [X 1 ],[X 2 ],[X 3 ],...,[X n ] Ò Þ Ð ÒÝÑ Û ØÓÖ Ñ Ò R k Ó Ø Ñ ÑÝÑ ÖÓÞ Þ Þ Ö Ò ÓÔ Ò Û ØÓÖ Ñ µ = E[X] Ñ ÖÞ ÓÛ Ö Ò Σ ÔÖÞÝ ÞÝÑ X i(1) [X i ] = º º Â Ð Þ ÙÑÙ ÑÝ Û ØÓÖÝ ÓØÖÞÝÑ ÒÝ Û ¹ X i(k) ØÓÖ Þ Ñ ÖÓÞ Þ ÒÝ Þ Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛÝÑ ÖÓÞ Ñ Ù º X 1(1) X n ] n(1) i=1[ Xi(1) º º = º = n X 1(k) X n ] i=1 n(k) i=1[ [X i] Xi(k)

25 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ¾ 1 n n i=1 [X i] = 1 n n i=1[ Xi(1) ] º n i=1[ Xi(k) ], n i=1 [X i] n N(nµ, Σ n ), n i=1 [X i] N(µ,nΣ). Ï ÐÓÛÝÑ ÖÓÛÝ ÖÓÞ Ù Þ Ö Ò µ Ñ ÖÞ ÓÛ ¹ Ö Ò Σ Ø ÓÔ ÒÝ Ö ÛÒ Ò Ñ ( ) 1 ρ([x i ] µ,σ) = exp 1 (2π) n 2 Σ ([x i] µ) T Σ 1 ([x i ] µ) σ 2 X (1) Cov (X(1),X (2) ) Cov (X(1),X (k) ) Cov (X(2),X (1) ) σx 2 (2) Cov (X(2),X (k) ) Þ Σ = Cov (X(3),X (1) ) Cov (X(3),X (2) ) Cov (X(3),X (k) ) º º ººº º Cov (X(k),X (1) ) Cov (X1(k),X 1(2) ) σ 2 X (k) ÑÝ [X i ] ØÓ Û ØÓÖ Þ ÒÒÝ ÞÑ Ò Ò n Ô Ô Ö Û Û Ö¹ ØÓ ÓÛÝ Ò Ð Ý Ó ÔÓÖØ Ð ÒÛ ØÝÝ Ò Ó Û ¹ØÝÑ Ò Ùº ÅÓ Ò Þ ØÓ ÓÛ Û»Û Ò Ð Þ ÓÖ Þ ÛÝÞÒ ÞÝ Ñ ÖÞ ÓÛ Ö Ò¹ Ø Ö ÞÒ Ù Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ÑÓ ÐÙ Î Êº ÒØÖ ÐÒ ÌÛ Ö Þ Ò Ö Ò ÞÒ ÙØÓ ÓÖ Ð ¹ Ý Ö º Â Ð X 1,X 2...X n ÞÑ ÒÒÝÑ ÐÓ ÓÛÝÑ Ó Ò ÓÛÝÑ ÖÓÞ ¹ Þ Ñ ÝÑ Û ÖØÓ ÓÞ Û Ò µ = 0 Ó ÞÓÒ Û Ö Ò σ ÔÓ ÝÑ Ö Ø ÓÞ ÓÛ ÙØÓ ÓÖ Ð Û ÛÞ σ 2 = E[X1 2]+2 k=1 E[X 1X 1+k ]. Â Ð E[X 1 X 1+k ] Ñ Ö ÙØÓ ÓÖ Ð ¹ µ Ó ÔÓÛ Ò Ó ÞÝ Ó Ý Ó Þ Ö Þ ÛÞÖÓ Ø Ñ Û ÛÞ Ö ¹ n i=1 Ò S n = X i Ý Ó ÖÓÞ Ù ÒÓÖÑ ÐÒ Ó S n n N(0, σ2 n )º

26 ¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º ÊÓÞ Ù Ù ¹ õö Ó Ï Ô º ÊÓÞ Ù º ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ρ µσ (x) Ð ÖÓÞ Ù Ù ÖÝ Ù¹ Ò ¾º µ ÓÔ Ò Ø ÛÞÓÖ Ñº ρ µσ (x) = 1 ) exp ( (x µ)2 2πσ 2σ 2 ¾º¾µ ρ N(µ,σ 2 ) ¾º µ Ý ØÖÝ Ù ÒØ Φ µσ (x) ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ pµ ÞÑ ÒÒ X Ñ Û ÖØÓ ÑÒ Þ õ Ö ÛÒ xº Ý ØÖÝ Ù ÒØ Ø ÓÔ Ò Ö ÛÒ Ò Ñ Φ µσ (x) = p(x x) = x 1 2πσ exp ( (u µ)2 2σ 2 ) du ¾º µ Â Ð ÞÑ ÒÒ X Ø ÓÔ Ò ÔÖÞ Þ ÖÓÞ Ù Þ Ö ¹ Ò µ Ó ÝÐ Ò Ñ Ø Ò ÖØÓÛÝÑ σ Û ÛÞ ÞÑ ÒÒ Z Ñ Ø Ò ÖØÓÛÝ ÖÓÞ ÒÓÖÑ ÐÒÝ ÔÓ ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ

27 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ¾ z = x µ σ ÓÔ ÒÝ Ö ÛÒ Ò Ñ ρ(z) = 1 2π exp Ï ÒÓ ÖÓÞ Ù Ù ) ( z2 2 ¾º µ Â Ð X N(µ,σ 2 ) ÓÖ Þ a b Ð Þ Ñ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ ØÓ ax +b N(aµ+b,(aσ) 2 ) º Â Ð X 1 N(µ 1,σ 2 1) X 2 N(µ 2,σ 2 2) ÓÖ Þ ÞÑ ÒÒ X 1 X 2 Ò Þ Ð Ò ØÓ X 1 +X 2 N(µ 1 +µ 2,σ 2 1 +σ2 2 )º ÊÓÞ Ä ÚÝ³ Óº Ï ÖÓ Ù ½ Å Ò Ð ÖÓØ ÒÝ Û ÒÝ Ò Ö ÒÝ ÖÝÒ¹ Û ËØ Ò ÒÓÞÓÒÝ Ó Ô ÖÛ ÞÝ Þ Û Ø ÓÒÓÛ Ù ¹ ÓÛ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÞÑ Ò Ò Ø ÖÝ Ð Ö ¹ ÒÝ Û ÖØÓ Þ ÓÛÝÛ ÙÒ ÛÝ Ò Þ ¹ Ñ Ð Ò ÙÒ Ù ÔÓ ØÞÛº ÖÙ Ó ÓÒÝ ¹ Þ ÞÒ ¹ ÞÓÒ Þ ÖÛÓÒÝÑ Ð Ô Ñ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º½¼º ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÛÝ ØÔÓÛ Ò Ù Ý ÞÑ Ò ÒÝ P Ø ÞÒ ÞÒ Û Þ Ò ÔÖÞ Û ÝÛ Ò ÔÖÞ Þ ÖÓÞ ÒÓÖÑ ÐÒÝº ÊÓÞ Ù Ñ ÑÓ ØÓ Ø ÛÝ Ó ÒÝ Ó Ò Ð ÞÝ ÒÝ ÔÓÒ Û ½º Ó Ò Þ ÒØÖ ÐÒÝÑ ÌÛ Ö Þ Ò Ñ Ö Ò ÞÒÝÑ ÖÓÞ ÙÑÝ Ò Þ Ð ÒÝ ÞÑ ÒÒÝ ÐÓ ÓÛÝ Þ Ó ÞÓÒ Û Ö Ò Ý Ó ÖÓÞ Ù Ù º ¾º ÊÓÞ Ù Ø Ø ÐÒÝ ÔÓÒ Û ÙÑ Ò Þ Ð ÒÝ ÞÑ ÒÒÝ Ó ÖÓÞ Þ Ù Ñ ÖÓÞ Ù º Ö ÒÙ Ñ Ø Ñ ØÝ È ÙÐ Ä ÚÝ Ù ÓÛÓ Ò ÛÝ ØÔÙ ÖÓ¹ Þ Ò Þ Û Ö Û ÞÝ Ø Ø ÐÒ ÖÓÞ Ý ¹ ÖÓÞ Ý Ä ÚÝ³ Óº ËÝÑ ØÖÝÞÒÝ ÖÓÞ Ä ÚÝ³ Ó Ø Þ Ò ÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÙÒ ¹ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ϕ α (z) = exp ( a z α), ¾º µ

28 ¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º½¼ ÊÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ r = P(t i ) = P(t i ) P(t i 1 )µ Û Ð ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ ¹ õö Ó ¹ ºÄº Î ÓÒ ÐÓ Ù Ï Ð ÓÛÒ Ï ÐÐ ËØÖ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÒÓÔ Ý Ö Þ Ð Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó È Ý ¾¼¼ µ ½¼ º Þ 0 < α 2 ÓÖ Þ a > 0º Ý ÓØÖÞÝÑ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó¹ ØÛ Ò Ð Ý ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ó ÛÖÓØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÙÖ Ö ρ α (x) = 1 2π ϕ α (z)e ixz dz = 1 π e azα cos(zx)dz, ¾º µ Ø ÑÓ Ò ÔÓÐ ÞÝ Ò Ð ØÝÞÒ Ð ¾ Û ÖØÓ α = 1,2 α = 1 ¹ ÊÓÞ ÄÓÖ ÒØÞ ÐÙ Ù Ý Ó α = 2 ¹ ÊÓÞ Ù ρ(x) 1 = 2a π 1 x 2 +4a 2, ρ(x) 2 = 1 2 x 2 πa e 4a 2. ¾º µ ¾º µ

29 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ¾ ¾º º¾ ÅÓ Ð Þ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ Ó ÖÓÞ Ù ÓÖ Þ ÖÙ Ý ÖÓÛÒ Û ÓÒØ Ò Ð ÞÝ ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ º ÅÓ Ð Þ Ò ÈÖÞÝÔ ÓÛ Óº ÈÖÓ ØÝ ÑÓ Ð Þ Ò ÈÖÞÝÔ ÓÛ Óº ÈÖÞ Ò Ð ÞÙ ÑÝ Ò Ø¹ ÔÙ ÔÖÓ ÙÖº ÍÑ ÑÝ Ò ÖØ Ñ Ö Ö Û ÔÓÞÝ ¼ ÖÓ ÖØ µº ÊÞÙ ÑÝ ÑÓÒ Ø º Â Ð ÛÝÔ Ò ÓÖÞ Ñ Ö Ö ÔÖÞ ÙÛ ÑÝ Û ÔÖ ÛÓ Ò ÔÓÞÝ ½º Â Ð ÛÝÔ Ò Ö Þ Ñ Ö Ö ÔÖÞ ÙÛ ÑÝ Û Ð ÛÓ Ò ÔÓÞÝ ¹½º ÈÓ ÖÞÙØ Ñ Ö Ö ÑÓ ÞÒ ÓÛ Û ÔÓÞÝ ½ ¹½ ¹ ¹ º Û ÔÓÞÝ ½ ÐÙ ¹½ ÑÓ ÞÒ Ð õ Ò ½¼ ÔÓ Ó Û Û ÔÓÞÝ ÐÙ ¹ Ò ÔÓ Ó Û Û ÔÓÞÝ ÐÙ ¹ Ò ½ ÔÓ º ÇØÖÞÝÑ Ð ÑÝ ÖÓÞ ÒÓÑ Ò ÐÒÝ ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º½½ ¹ Ó ÐÒ ÓÔ ¹ ÒÝ Ö ÛÒ Ò Ñº Þ N(n,k) = N ¹ ÐÓ ÔÖÞÝÔ Û n ¹ ÐÓ ÔÖ ( n k+n 2 k ¹ ÔÓÞÝ n k nº ) = 1 2 n n! ( n+k 2 )!(n k 2 )! ¾º½¼µ

30 ¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º½½ ÊÓÞ ÒÓÑ Ò ÐÒÝº Ð Ù Ý n ¹ Þ Ó Ò Þ ÒØÖ ÐÒÝÑ ÌÛ Ö Þ Ò Ñ Ö Ò ÞÒÝÑ ¹ ÒÓÑ Ò ÐÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ρ(n,k) Ý Ó ÖÓÞ¹ Ù Ù º Ç ÖÓÞ Ý ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ð n = 15 ÓÖ Þ k = 15, 13,...15 ÞÓ Ø Ý ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º½¾º ÃÓÐÓÖ Þ ÖÛÓÒÝ ¹ ØÝÞÒÝ ÒÓÑ Ò ÐÒÝµ ÖÓÞ ÔÖ Û Ó¹ ÔÓ Ó ØÛ º ÃÓÐÓÖ Þ ÐÓÒÝ ¹ ÖÓÞ Ù Þ Ö Ò Ö ÛÒ Þ ÖÓ Ó ¹ ÝÐ Ò Ñ Ø Ò ÖØÓÛÝÑ Ö ÛÒÝÑ σ = n. ÅÓ Ð Þ Ò ÈÖÞÝÔ ÓÛ Ó Ð ÖÝÒ Ù Ô Ô Ö Û Û ÖØÓ Ó¹ ÛÝ º Ñ Ò ÔÓÞÝ Ñ Ö Ö Ó Ö Ð ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Z 1,Z 2,Z 3... Ö ÛÒ ½ ÐÙ ¹½ Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ ¼±º S n = n j=0 Z j S 0 = 0 Þ Ö S n Ó ÞÛ Ö Ð Þ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ º Ï Ö¹ ØÓ ÓÞ Û Ò E[S n ] = E[ n j=0 Z j] = 0º ÈÖÞ Ò Ð ÞÙ ÑÝ Û Ö¹ ØÓ ÓÞ Û Ò Û Ö ØÙ Û ÖØÓ S n ÓÞÒ ÞÓÒ Ó E(Sn 2) ÐÙ R 2 (S n )

31 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ½ ÊÝ ÙÒ ¾º½¾ ÊÓÞ ÒÓÑ Ò ÐÒÝ ÓÖ Þ ÖÓÞ Ù º n R 2 (S n ) = E[Sn 2 ] = E[ Z j ] 2 = E[ j=0 n n Zj 2 ]+2E[ Z i Z j ] = n, ¾º½½µ Ô ÖÛ Ø Þ Ö Ò Ó Ó ÝÐ Ò Û Ö ØÓÛ Ó ÔÓ n ÖÓ Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒÝ Ó Ô ÖÛ Ø Þ ÐÓ ÖÓ Û n E[S n 2] n. ÈÓÒ Û Þ ÑÝ Ý ÖÓ Ø ÛÝ ÓÒÝÛ Ò Û ¹ ÒÓ Ø ÓÛÝÑ Þ Ô ÖÛ Ø Þ E[Sn 2 ] Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒÝ Ó Ô ÖÛ Ø Þ Þ Ùº ÊÓÞÛ ÑÝ ÒÓÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖÓ Þ ¹ Ò ÈÖÞÝÔ ÓÛ Ó Û Ø ÖÝÑ Û Þ t Ó Ø ÔÖÞ Ñ ÞÞ Þ Ö ÛÒÝÑ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ Û Ò ÐÙ ÖÙ ØÖÓÒ Ó x Þ ÞÝÒ Ó ÔÓ Ó Ò Û ÔÙÒ Þ ÖÓº ÈÓ Þ t Ó Ø ÞÒ ¹ Ù Û ÔÓÞÝ x(t) Þ x(t) = n x,(n =..., 1,0,1,...) t = N t (N = 0,1,2,...) ÔÓÒ ØÓ ÓÐ Ò ÖÓ xµ Ò Þ Ð Ó ÔÓÔÖÞ Ò º ÊÓÞ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÞÑ Ò¹ Ò X Ð Ó ÔÓÛ Ò Ó Ù Ó N ÑÓ Ý ÓÔ ÒÝ ÖÓÞ Ñ Ù º ρ( x) = j=0 1 2π( x)2 N exp ( i>j x 2 ). 2N( x) 2 ¾º½¾µ

32 ¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Þ E[x 2 ] N. ÈÖÞÝ Þ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ Ó ÑÓ Ò ÞÓ ÞÝ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º½ º ÊÝ ÙÒ ¾º½ ÈÖÞÝ Þ Ò ÈÖÞÝÔ ÓÛ Ó ¹ õö Ó Ï Ô º ÈÓ Ó Ò ÑÓ Ò Ò Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ ÓÛ Ó P(t) = P(t 0 = 0)+ P(t) = P(0)+n P( t)º Þ (n =..., 1,0,1,...) t = t 0 t N,(N = 0,1,2,...) P( t) ØÓ ÞÑ Ò ÒÝ Û Ó Ö t ÔÖÞÝ Þ Ó Ò Ù t = 1 Þ P( t) ØÓ Ö Ò Þ ÒÒ ÞÑ Ò Ö Ò Û Ö ØÓÛ ÖÓ ÔÖÞ ÝØ E[ P(t)] 2 N, ÒÔ ÔÖÞÝ t = 5 Ò E[ P(t)] 2 5 ÔÖÞÝ t = 21 Ò E[ P(t)] 2 21º ÊÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ρ Ð Ó ÔÓÛ Ò Ó Ù Ó N ÑÓ Ý ÓÔ ÒÝ ÖÓÞ Ñ Ù Û Ö ÛÒ Ò

33 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÊÝ ÙÒ ¾º½ ÊÙ Ý ÖÓÛÒ ¹ ÔÖÞÝ Û ¾ ¹ õö Ó Ï Ô º ρ( p(t)) = ( ) 1 2π( p( t))2 N exp ( p(t))2. 2N( p( t)) 2 ¾º½ µ p N(µ,σ 2 ) Ø º Þ Ö Ò E[ P] = µ Û Ö E[ P 2 ] = σ 2 º Â ÒÓÛÝÑ ÖÓÛ ÖÙ Ý ÖÓÛÒ ¹ Ø ÓÖ Ò Ø Ò º ÊÙ Ý ÖÓÛÒ ØÓ ÐÓ ÓÛÝ ÖÙ Þ Ø Þ Û ÒÝ Û ÞÝ ÐÙ Þ ÔÓ ÛÔ ÝÛ Ñ ÓÑ Ö ÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÞÝ Ó ÔÓÖÙ Þ Þ ¹ Ø Þ ÞÙ ÐÙ ÞÝº ÈÖÞÝ Ý ÖÙ Û ÖÓÛÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º½ º ØÓ Þ Ø ÖÓÛÒ Û ÒÝÑ ÔÙÒ Þ Ù ÔÖÞ ØÖÞ Ò ρ(x,t) Ø ÓÔ Ò ÔÖÞ Þ Ö ÛÒ Ò Ý ÙÞ ρ t = ρ D 2 x 2, ¾º½ µ Þ D ØÓ Ø Ý ÙÞ º Â Ð ÖÓÞÔÓÞÒ ÑÝ Ý ÙÞ Û ÔÙÒ (x = 0,t = 0) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÖÓÞÛ Þ Ò ) 1 ρ(x,t) = exp ( x2 ¾º½ µ 4πDt 4Dt áö Ò ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò E[X] = 0

34 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º½ ØÓ Þ Ø ÔÓ Ð Ý ÖÙ ÓÑ ÖÓÛÒ ¹ õö Ó Ï ¹ Ô º áö Ò Û Ö ØÓÛ ÖÓ ÔÖÞ ÝØ E[X 2 ] = 2Dtº ÇØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÖÓÞ Ù Þ σ 2 = 2D ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º½ º ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ ÒÓÛÝÑ ÖÓÛÝ ÔÖÓ Þ Ò ÈÖÞÝÔ ÓÛ Ó x(t = 0) = 0. Ï Þ t Ó Ø ÔÖÞ Ñ ÞÞ Þ Ö ÛÒÝÑ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó¹ ØÛ Ñ Ó x ÐÙ xº ÃÓÐ Ò ÖÓ xµ Ò Þ Ð Ó ÔÓÔÖÞ Ò º E[x 2 ] N. ÊÙ Ý ÖÓÛÒ ØÓ Ö Ò Þ Ò ÈÖÞÝÔ ÓÛ Ó Û Ø Ö ÖÓÞ¹ Ô ØÖÙ ÑÝ Ò Ó Þ Ò Û Ð Ò Ó Þ Ò Ñ Ý ÖÓ Û Û Ò ¹ ØÔÙ Ý ÔÓ t 0, x 0, N, t = Nδt ÓÖ Þ x = nδx ÔÓÞÓ Ø Ó ÞÓÒ

35 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º (δx) 2 = σδt Þ σ Ø Ø µ ( ) ρ(x,t) = 1 exp 2πσ2 x2 t 2σ 2 t. ÊÙ Ý ÖÓÛÒ Û ÓÒÓÑ º ÑÝ ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ ÞÑ ÒÝ Òµ P = nδp Ò Þ Ð Ò º Â Ø ØÓ ÔÓÛ Þ Ò ØÓ ÓÛ Ò Þ Ó Ò Û ÓÒÓÑ ØÖ º ØÓ¹ Ù ÑÝ ÑÓ Ð ÊÙ Û ÖÓÛÒ Ó ÑÓ ÐÓÛ Ò ÞÑ ÒÝ Ò º δp 0, ÔÖÞÝ δt 0)º (δp) 2 = σδtº Ò Ð Þ Ø ÞÓ Ø ÔÓ Ö Þ Ô ÖÛ ÞÝ ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒ Ð ÖÝÒ Û ¹ Ò Ò ÓÛÝ Û ½ ¼¼ ÖÓ Ù Ð Ö ¹ Ø ÓÖ Ô ÙÐ µº ÇØÖÞÝÑÙ¹ ÑÝ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ ÓÔ Ò ÖÓÞ Ñ Ù ( ) 1 ρ( P,t) = 2πσ2 t exp ( P)2. 2σ 2 ¾º½ µ t ¾º º ÊÙ Ý ÖÓÛÒ ÙÓ ÐÒ Ò Ý ÙÞ Ù Ý¹ ÙÞ ÙÔ Ö Ý ÙÞ º Å Ø Ñ ØÝÞÒÝ ÓÖÑ Ð ÞÑ Ð ÊÙ Û ÖÓÛÒ ÞÓ Ø ØÛÓÖÞÓÒÝ Û ½ ¾ ÖÓ Ù ÔÖÞ Þ Ï Ò Ö º Ç Ø Ó Þ Ù ÊÙ Ý ÖÓÛÒ ÞÛ Ò ÔÖÓ Ñ Ï Ò Ö ¹ ØÓ ØÝÞÒÝÑ ÔÖÓ Ñ {W(t),t 0} Þ W(t) Ó ÔÓÛ ØÖ ØÓÖ ÔÖÞ ÝØ ÔÓ Þ Þ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ Óº ËØ ÓÒ ÖÒÝ ÔÖÓ Ï Ò Ö Ø Þ Ò ÓÛ ÒÝ Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ W(0) = 0, Ð t > s Ö Ò W(t) W(s) Ñ ÖÓÞ ÒÓÖÑ ÐÒÝN(0,(t s)) Þ Ö Ò 0 ÓÖ Þ Û Ö Ò Ö ÛÒ (t s)µ

36 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ØÖ ØÓÖ W() Þ Ó Ûº Ï ÛÓ E[W(t)] = 0 E[W(t)W(s)] = min(t,s). Å Û Ò Þ Ø Ò Ö ÓÛ ÊÙ Ý ÖÓÛÒ ÐÙ ÈÖÓ Ï Ò Ö ØÓ ÔÖÓ Þ E[W(t)] = 0 ÓÖ Þ E[W(t)W(s)] = min(t,s)º ÈÓ Þ ÐÑÝ W(t) Ò n ÔÖÞ Þ Û 0 = t 0 < t 1 <...t n = t Þ t = t i t i 1 = t n Þ Ò Ù ÑÝ Q n = Σ n i=0 W 2 i, Þ W i = W(t i ) W(t i 1 ) E[Q n ] = t E[ W 2 ] = tº ¾º½ µ ÅÓ Ò ÛÝÛÒ Ó ÓÛ W i Ñ ÖÓÞ Ù Þ Ö Ò Ö ÛÒ 0 ÓÖ Þ Û Ö Ò Ö ÛÒ tº Â Ò Þ ÛÝ Û ÒÓ¹ ÔÖÓ Ù Ï Ò Ö Ø ÑÓÔÓ Ó ØÛÓº W(at) = a 1 2 W(t), ¾º½ µ Â Ð ÔÖÞ ÐÙ ÑÝ Ó Þ Ù Ó a > 0 Û Ð Ó W(at) a 1 2 W(t) Ñ Ø Ñ ÖÓÞ Ý ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ¹ ÊÙ Ý ÖÓÛÒ ÐÙ ÈÖÓ Ï Ò Ö µ Ñ ÛÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ d w = 2º Ê ÛÒ Ò ¾º½ ¹ ¾º¾¼µ ÔÓ ÞÙ ØÖÙ ÒÓ ÔÖÞÝ ÔÖ ÛÝÐ Þ Ò Ö Ò Þ dw(t) dt dw dt = lim t 0 W t ÔÓÒ Û W Ø ÖÞ Ù t W t dw dt = Ý t 0º W(t+ t) W(t) = lim, ¾º½ µ t 0 t 1 t ¾º¾¼µ

37 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÊÝ ÙÒ ¾º½ ÈÖÞÝ ÔÖÓ Ù Ï Ò Ö ¹ õö Ó ºÄº Î ÓÒ ÐÓ Ù¹ Ï Ð ÓÛÒ Ï ÐÐ ËØÖ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÒÓÔ Ý Ö Þ Ð Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó È Ý ¾¼¼ µ ½¼ ÓÖ Þ Þ ÓÛ Ò Ò Ù ÏÁ ¾¼ Þ ÖÓ ¾¼½¾º ÁØ ¹ Þ ÖÝ º ÈÖÞÝ Ý ÑÝ ÑÙ ÞÙÑÓÛ ¹ ξ(t) dw dt Ø ÖÝ Û ÞÝ Ø Þ Ò ÓÛ ÒÝ Ó ÞÝ ÓÞÑ ÒÒ ÙÒ Ô Ò E[ξ(t)] = 0,E[ξ(t)ξ(t )] = δ(t t ) ÔÓÒ Û ξ(t) 1 dt Ò Ù ÑÝ I n = I(t) = t g(t i 1 ) W(t i ) i=1 0 g(t )ξ(t )dt = t 0 g(t )dw(t ) ¾º¾½µ g(t i 1 )(W(t i ) W(t i 1 )) ¾º¾¾µ i=1 I n Ø Þ ÒÝ ÔÓ Ð ÓÑ Û ÖÙÒ Ñ ÔÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ g(t i 1 ) Ò ÑÓ Þ Ð Ó W(t i )º Å ÑÝ [ t ] E[I(t)] = E g(t )dw(t ) = 0 ¾º¾ µ [ ( t ) 2 ] E[I(t) 2 ] = E g(t )dw(t ) = 0 0 t 0 E[g 2 (t )dt ] ¾º¾ µ

38 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÁØ Ò Ð ÞÝ Ù ÝÛ ÞÛÝ Ó Ö ÙÒ Ù ÓÛ Ó ¹ ÒÔ t 0 WdW = 1 2 W(t)2 1 2 tº Â Ó ÔÖÞÝ ÖÓÞÔ ØÖÞÑÝ ÔÖÓ ÓÔ ÒÝ Ö ÛÒ Ò Ñ dx = a(x,t)dt+b(x,t)dw ÓÖ Þ ÙÒ F(x,t)º Ó ÛÝÐ Þ Ò Ö Ò Þ df ÑÓ Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÓÖÑÙ ÁØ [ F df = t +a(x,t) F x + 1 ] 2 b2 (x,t) 2 F dt+b(x,t) F x 2 x dw. ¾º¾ µ ÓÑ ØÖÝÞÒ ÖÙ Ý ÖÓÛÒ º ÊÓÞÛ ÑÝ Ò ÐÓ ÔÓÑ ÞÝ ÖÙ Ñ ÖÓÛÒ ÝÒ Ñ ÞÑ Ò Ò P(t) Ô Ô Ö Û Û ÖØÓ ÓÛÝ º Æ ØÙÖ ÐÒÝÑ Þ Ó Ò Ñ Ø Þ ÙÛ Ò ÞÑ Ò ÒÝ dp Û Þ dt Þ Ð Ý Ó Ö Ò Ó ÖÝ Ù ¹ µ ÐÙ ØÖ Ò Ù Ò ÖÝÒ Ùµ ÓÖ Þ Þ ÓÒÙ ÐÓ ÓÛ Ó ¹ σdw Ó ÔÓÛ Ó Þ ÔÖÓ ÐÓ ÓÛÝ dp = µdt + σdw, ÛØ Ý P(t) = µt+σw(t) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ( ) 1 (P µt) 2 ρ(p,t) = 2πσ2 t exp 2σ 2 ¾º¾ µ t ÁÒÛ ØÓÖÞÝ Þ ØÓ Ö Þ Þ ÒØ Ö ÓÛ Ò ÔÖÓ ÒØÓÛ ØÓÔ ÞÛÖÓØÙ Ò Ò º Ð Ø Ó ÖÓÞÛ ÑÝ ÖÙ Ý ÖÓÛÒ Þ ÖÝ¹ Ñ Þ ØÔÙ P(t) ÔÖÞ Þ dp ¹ Û Ù Ö ÛÒ Ò P dp P = µdt+σdw. Ê ÛÒ Ò ØÓ ÑÓ Ò ÖÓÞÛ Þ ÔÓ Ø Û Z = lnp dz = (µ 12 ) σ2 dt+σdw. ¾º¾ µ ¾º¾ µ Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛ P(t 0 ) = P 0 Z 0 = lnp 0 ÓØÖÞÝ¹ ÑÙ ÑÝ Z = Z 0 ( µ 1 2 σ2 )(t t 0 )+σ(w(t) W(t 0 )), ¾º¾ µ

39 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÊÝ ÙÒ ¾º½ ÊÓÞ ÐÓ ÒÓÖÑ ÐÒÝ ¹ P 0 = 50 σ = 0,5 µ = 0,1 τ = 1º ÛÖ Ó ÔÖÞ ØÖÞ Ò P ( ( P = P 0 exp µ 1 ) ) 2 σ2 (t t 0 )+σ(w(t) W(t 0 )). ¾º ¼µ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ( ( 1 ln( P ρ(p,t,p 0,t 0 ) = P 2πσ 2 τ exp P 0 ) (µ 1 2 σ2 )τ ) 2 2σ 2 τ ¾º ½µ Þ τ = t t 0 º Â Ø ØÓ ÖÓÞ ÐÓ ¹ÒÓÖÑ ÐÒÝ ÖÝ ÙÒ ¾º½ µ ØÓ¹ ÓÛ ÒÝ Þ ØÓ Ó Ò Ð ÞÝ ÖÝÒ Û Ô Ô Ö Û Û ÖØÓ ÓÛÝ º ËØÓ¹ ÓÛ Ò ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒÝ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ lnp lnp 0 ÐÙ lnp t 1 lnp t2 Ñ Þ ÖÓ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û Ò Ð Þ ÖÝÒ Û Ò Ò ÓÛÝ º ), ¾º º ÏÝ Ò ÓÔ ÑÓ Ð Ð ¹ Ë ÓÐ Ó ÛÝ¹ Ö Ò ÙÓ ÐÒ Ò º ÇÔ ÙÖÓÔ ÐÐ ØÓ ÓÒØÖ Ø Ý ÔÖ ÛÓ ÔÓ ¹ ÞÓÛ Ó Þ ÙÔÙ Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ ÓÛ Ó Ó Ò P T ÔÓ Ò K Û Þ T º

40 ¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÇÔ ÙÖÓÔ ÈÙØ ØÓ ÓÒØÖ Ø Ý ÔÖ ÛÓ ÔÓ ¹ ÞÓÛ Ó ÔÖÞ Ý Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ ÓÛ Ó Ó Ò P T ÔÓ Ò K Û Þ T º Ï ÖØÓ ÓÔ C Û Þ T ÛÝÒÓ C call = max(p T K,0), C put = max(k P T,0). ¾º ¾µ ¾º µ ÇÑ ÛÑÝ Ø Ö Þ Þ Ò Ò Ö ØÖ Ùº Ö ØÖ ØÓ ÑÓ Ð ÛÓ ÞÝ Ù ÔÓÞ Û ÓÒ Ó ÖÝÞÝ Þ Þ Ò ÓÛ Ò Û ÒÝ ÖÓ Ûº Ý ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ö ØÖ Ó ÓÒÙ ÒÓÞ ÒÝ ØÖ Ò Ò Ö ÒÝ ÖÝÒ ÒÔº Ö Ø ÔÖÞ Þ ÙÔ Ò Ö ÒÝ µº ÈÖÞ Ò Ð ÞÙ ÑÝ ÑÓ Ð ÒÓÑ Ò ÐÒÝ ÛÝ ÒÝ ÓÔ º Ò Ù ÑÝ ÔÓÖØ Ð V Ó ÔÓÞ Ø ÓÛ Û ÖØÓ V 0 ÓÖ Þ Ó ÓÛ Û ÖØÓ V 1 Þ V = C call ΣP C 0 C 1 Ó ÔÓÛ Þ ÔÓÞ Ø ÓÛ Ó ÓÛ Û ÖØÓ ÓÔ P 0 P 1 Þ ÔÓÞ Ø ÓÛ Ó ÓÛ Û ÖØÓ Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ ÓÛ Ó Ò ØÓÑ Ø Σ Þ Ö Ø ÔÖÞ Ø Ó Ô ¹ Ô ÖÙº ÑÝ ÔÓÞ Ø ÓÛ Ò Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ ÓÛ Ó ÛÝ¹ ÒÓ P 0 = 57 Þ ÑÓ ÓÒ ÛÞÖÓ Ò Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ ¼± Ó P 1 = 65 Þ ÐÙ Ô Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ ¼± Ó ÒÝ P 1 = 53 Þ ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º½ º ÏÝ Ð Ñ ÒÙ ÑÝ ÖÝÞÝ Ó Þ ÔÓÖØ Ð Þ Û Ö Ó ÓÔ ÐÐ ÓÖ Þ Ö Ø ÔÖÞ Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ¹ ÓÛ Óµ Þ V1 u = V1 d ¾º µ Þ Ø ÑÙ Ñ ÑÝ 8 Σ 65 = Σ 53 Σ = 2 3. ¾º µ ¾º µ ÈÓÒ Û ÞÝ Ø ÛÓÐÒÝ Ó ÖÝÞÝ ¹ ÑÙ ÓÒ Ý Ö ÛÒÝ ØÓÔ ÛÓÐÒ Ó ÖÝÞÝ ¹ rº (1+r)(C 0 ΣP 0 ) = ΣP d 1. ¾º µ

41 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ½ p = 1/2 V 1 u = 8-65 V 0 = C 0-57 p = 1/2 V 1 d = -53 ÊÝ ÙÒ ¾º½ Ë Ñ Ø ÔÓÖØ Ð Þ Û Ö Ó ÓÔ ÐÐ ÓÖ Þ Ö Ø ÔÖÞ ¹ º ËØÖÞ ØÓ ÖÝ ÓÞÒ Þ ÛÞÖÓ Ø Û ÖØÓ Ò ØÓÑ Ø ØÖÞ Û ØÓ Ô Û ÖØÓ º V 0 ØÓ Û ÖØÓ ÔÓÖØ Ð Ò ÔÓÞ Ø Ù Ò ØÓÑ Ø V 1 Ò Ó Ù ÓÔ ÝÛ Ò Ó Ó Ö Ùº r = 0,006 P 0 = 57 P d 1 = 53 Σ = 2 3 ÓØÖÞÝÑ ÒÓ C 0 = 2,88º Ö Ò º ÈÖÞ Ò Ð ÞÙ ÑÝ Ò ØÔÙ ØÖ Ø ÒÛ ØÝÝ Ò º ÄÓ Ù ÑÝ ÖÓ Ò ÓÒ Ò ÓÛÝÑ B ÓÖ Þ Û P ÝÒ Ñ ÓÔ Ù¹ ÑÝ ÔÖÞ Þ Ö ÛÒ Ò db = rbdt, ¾º µ Þ r ¹ ØÓÔ ÛÓÐÒ Ó ÖÝÞÝ dp = µpdt+σpdw. µ > 0 ¹ Ö Ò ÖÝ ÙÖ Û σ ¹ ÞÑ ÒÒÓ ÙÖ Û dw ¹ ÔÖÓ Ï Ò Ö º ¾º µ ËØÓ Ù ÑÝ Ò ØÔÙ Þ Ó Ò Ø Ö ÛÝÛÓ Þ Þ ÔÓ ÐÒ Ó ÖÝÒ Ù ØÓ ÓÛ Ò Ó Þ ØÓ Û ÑÓ ÐÓÛ Ò Ù ÖÝÒ Û ¹

42 ¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Ò Ò ÓÛÝ Þ Ó Ò Ø Þ Ø Ó ØÓ ÓÛ Ò Û Ò Ù ÓÒÓ¹ Ñ ÞÒÝ Ñ ÑÓ Ò Þ Û Þ Û Û ÓÔ Ù ØÝÞÒÝ Ø Ò ÖÝÒ Ùµ ÖÝÒ Ø ÛÓÐÒÝ Ó Ö ØÖ Ù ÖÝÒ Ø Ó Ø Ø ÞÒ Ô ÝÒÒÝ Ð ÓÖ Þ Ò ØÖÙÑ ÒØ Û ÔÓ Ó ÒÝ Ò ÛÝ ØÔÙ Ó ÞØÝ ØÖ Ò ÛÝ ØÔÙ Ò Ó Ö Ò ÞÓÒ ÑÓ Ð ÛÓ Ö Ø ÔÖÞ Ý Þ Ó Ö Ò Þ Ò Þ ÓÛ Óµ ÛÝ ØÔÙ Ø Ñ ØÓÔ ÔÖÓ ÒØÓÛ Ð ÔÓ ÝÞ ÐÓ Ø Ò ÖÓÞÛ ÑÝ ÝÛ Ò Ýº Ò Ð Þ ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒÓ Ð ÙÖÓÔ ÓÔ ÐÐ º Ï ÖØÓ ÓÔ Ø Þ Ð Ò Ó ÙÖ Ù Ò ØÖÙÑ ÒØÙ ÔÓ Ø ÛÓÛ Ó P Þ Ù t ÒÝ Ö Ð Þ K ÓÖ Þ Þ Ù Ö Ð Þ T º ÈÓÒ Û ¾ Ó Ø ØÒ Ô ¹ Ö Ñ ØÖÝ Ø ÔÖÞ Ò Ð ÞÙ ÑÝ C(P,t)º ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÓÖÑÙ Ý ÁØ Ö ÛÒ Ò ¾º¾ µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ [ C dc = t +µp C P + 1 ] 2 σ2 P 2 2 C dt+σp C dw. P 2 ¾º ¼µ P Ï õñý ÑÓ Ò Ò Ù Ý ÔÓÖØ Ð Π(t) Þ Û Ö Ý Ù ÔÓÞÝ¹ Û ÓÔ C(P,t) ÓÖ Þ Ö Ø ÔÓÞÝ Σ Û P º Π(t) = C(P,t) ΣP ¾º ½µ ÈÓÒ Û ÔÓÖØ Ð Ø ÑÓ Ò Ò Ù Ý Þ Ù Þ Ù ÖÓ Û Ò Ò ÓÛÝ µ dπ = dc ΣdP. ¾º ¾µ ÈÓ Ø Û Ó ¾º µ ÓÖ Þ ¾º ¼µ [ C dπ = t +µp C P + 1 ] 2 σ2 P 2 2 C P µσp dt+σp 2 ( C P Σ ) dw. ¾º µ

43 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º Â Ð Ô Ò ÑÝ Û ÖÙÒ Σ = C P, ¾º µ ÛÝ Ð Ñ ÒÙ ÑÝ ÖÝÞÝ Ó Ð Ñ ÒÙ Þ ÓÒ ØÓ ØÝÞÒÝ ÞdW ÛØ Ý ÓØÖÞÝÑ ÑÝ [ C dπ = t + 1 ] 2 σ2 P 2 2 C dt. P 2 ¾º µ ÛÖÓØ Þ ÔÓÖØ Ð ÛÓÐÒ Ó Ó ÖÝÞÝ Ø Ö ÛÒÝ dπ = rπdt ¾º µ ÏÝÔÖÓÛ Þ Ò Ö ÛÒ Ò Ð Ë ÓÐ Ë µº ÈÓÖ ÛÒÙ ¾º µ ¾º µ ÓÖ Þ ÔÓ Ø Û ¾º µ ¾º ½µ ÓØÖÞÝ¹ ÑÙ ÑÝ Ö ÛÒ Ò Ð ¹ Ë ÓÐ C t σ2 S 2 2 C P +rp C 2 P rc = 0 Û ÖÙÒ Ñ ÖÞ ÓÛÝÑ C(P,T) = max(p K,0). ¾º µ ¾º µ ÐØ ÖÒ ØÝÛÒ ÛÝÔÖÓÛ Þ Ò º ÑÝ Ñ ÑÝ ÑÓ Ò Ò Ù Ý ÔÓÖØ Ð Ø ÖÝÑ Þ ØÔÙ¹ ÑÝ ÓÔ µ Z xb +yp = C. ¾º µ ÈÓÒ Û ÔÓÖØ Ð Ø ÑÓ Ò Ò Ù Ý dz = xdb +ydp = (rxb +µyp)dt+σypdw. ¾º ¼µ ÑÝ ÔÓÖØ Ð Þ ØÔÙ ÓÔ Z = C dz = dc ÔÓÖ Û¹ ÒÙ ¾º ¼µ Þ ¾º ¼µ ÓÖ Þ ÔÓÖ ÛÒÙ Û Ô ÞÝÒÒ ÔÖÞÝ dt dw ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ y = C P. ¾º ½µ

44 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ C t rxb σ2 P 2 2 C P = 0. 2 Æ ØÔÒ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ ¾º µ ¾º ½µ x = 1 [ C P C ] B P ¾º ¾µ ¾º µ ÈÓ Ø Û ÑÝ Ó ¾º ¾µ ØÛÓÖÞÝÑÝ Ö ÛÒ Ò Ð Ë ÓÐ Ë µ C t σ2 P 2 2 C P +rp C 2 P ËØÓ Ù ÞÑ Ò ÞÑ ÒÒÝ τ = T t 2, x = ln σ 2 u(x,τ) = e αx+β2 τ C K, rc = 0. ¾º µ ( ) P, ¾º µ K ¾º µ Þ α = 1 ( ) 2r 2 σ 1 β = 1 ( ) 2r 2 2 σ +1, 2 ¾º µ ÔÓ Ô ÛÒÝ ÔÖÞ ÞØ Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Û ÖÙÒ Ñ ÔÓÞ Ø ÓÛÝÑ u τ = 2 u x 2 ¾º µ u(x,0) = u 0 (x) = max(e βx e αx,0). ¾º µ ÃÓÖÞÝ Ø ÑÝ Ò ØÔÒ Þ ÙÒ Ö Ò Ý ÓØÖÞÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÖÝÞÒ u(x,τ) = G(x,x ) = 1 4πτ e (x x ) 2 4τ, ¾º ¼µ u 0 (x )G(x,x )dx = 1 4πτ u 0 (x )e (x x ) 2 4τ dx, ¾º ½µ

45 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÔÓ Ø Û Û ÖÙÒ ÔÓÞ Ø ÓÛ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ u(τ,x) = 1 4πτ Þ Ó Þ u(x,0) = u 0 (x) = max(e βx e αx,0), 0 ¾º ¾µ (e βx e αx ) e (x x ) 2 4τ dx = I(β) I(α), I(a) 1 4πτ 0 I(a) = e ax+a2τ N(d a ), d a = x+2aτ 2τ, ¾º µ e ax e (x x ) 2 4τ dx, ¾º µ ¾º µ ¾º µ Ò ØÓÑ Ø N(x) ØÓ ÙÑÙÐÓÛ ÒÝ ÞÒÓÖÑ Ð ÞÓÛ ÒÝ ÖÓÞ Ù N(0,1) N(x) = 1 2π x e s2 2 ds. ¾º µ ÈÓ Ø Û ¾º µ Ó ¾º µ ÓÖ Þ ÛÖ Ó ÓÖÝ Ò ÐÒÝ ÞÑ Ò¹ ÒÝ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ö ÛÒ Ò Ð Ë ÓÐ Ë µ Ð ÙÖÓÔ ¹ ÓÔ ÐÐ Þ C(P,t) = PN(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ), d 1 = ln(p K σ2 )+(r+ 2 )(T t) σ T t ¾º µ ¾º µ d 2 = ln(p σ2 K )+(r 2 )(T t) σ ¾º ¼µ T t ÓÖÑÙ Ð Ë ÓÐ Ø Þ Ò ÓÛ Ò Û Û ÐÙ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÔº Ü Ð Å ØÐ Å ÔÐ µ ÓÖ Þ Ð ÙÐ ØÓÖ ÔÓ Ý ÙÒ Ò Ò ÓÛ º ÍÛ Ò ÓÖÑÙ Ø Ø Þ ÝØ ÛÝ¹ Ð ÞÓÛ Ò Ý ÓÔ Ö ÐÒ ÝØÙ Ò ÖÝÒ Ù ÔÓÒ Û

46 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ ÑÓ Ò Ý ÓÔ Ò ÖÓÞ Ñ Ù ÑÓ ÛÝ ØÔÓÛ Ù Ó Þ ÓÛ ÙØÓ ÓÖ Ð º ¾º º ÊÓÞ Ý Ä ÚÝ³ Ó ÓÖ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ó ÑÓ¹ ÐÓÛ Ò ÙÖ Û º ÙÒ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÓÖ Þ Ø ÐÒÓ ÖÓÞ Û Ä ÚÝ³ Óº ÊÓÞ Õ¹ Ù º ÊÓÞ Ä ÚÝ³ Óº ÊÓÞÛ ÑÝ ÖÝ ÙÒ ¾º½ Ò Ø ÖÝÑ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Þ ØÖ Ò Ð Ò Ù È Ç È Û Ð ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ º Â Û ÖÓÞ Ù õð ÑÓ ÐÙ Ö Ò Û ÖØÓ º Û Ó ØÓ ÛÝ ØÔÙ Ð Û ÐÙ ÖÝÒ Û Ô Ô Ö Û Û ÖØÓ ÓÛÝ Ø Ò ¹ ÞÝÛ Ò Þ Û Ñ ÖÙ Ý Ó ÓÒ Û º Å ÓÒÓ Ù Ý ÛÔ ÝÛ Û ÔÖÞ Û ÝÛ Ò Ù ÛÝ ØÔÓÛ Ò Û ÖØÓ ØÖ Ñ ÐÒÝ º Ý ÓÔ ÊÝ ÙÒ ¾º½ ÊÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ Ò Ù ÈÃÇ È ØÖ Ò ¾ Ñ ÖÞ ¾¼½ µ ÓÖ Þ ÖÓÞ Ù Û Ð ÐÓ ÖÝØÑ Þ¹ Ò º Ð Ô Þ Û Ó ÖÙ Ý Ó ÓÒ Û ÔÓ Ù ÖÓÞ Ñ Ä ÚÝ³ Óº

47 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÙÒ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÖÓÞ Ù Ä ÚÝ³ Óº Æ X Þ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ º ÙÒ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ϕ(z) Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÙÖ Ö ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ρ(x)º ϕ(z) = ρ(x)e izx dx. ¾º ½µ Ï õñý Ò Þ Ð Ò ÞÑ ÒÒ X 1 X 2 Þ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ¹ ØÛ ρ 1 (x 1 ) ρ 2 (x 2 ) ÓÖ Þ ÙÑ X = X 1 + X 2 Þ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ρ(x 2)º ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÙÑÝ ÞÑ ÒÒÝ Ò Þ Ð ÒÝ Ø ÔÐÓØ Ñ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ¹ ØÛ ÞÑ ÒÒÝ º ρ(x) = ρ 1 (s)ρ 2 (x s)ds. ¾º ¾µ Æ ØÓÑ Ø ÙÒ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ ÙÑÝ ÞÑ ÒÒÝ Ò Þ Ð ¹ ÒÝ Ø ÐÓÞÝÒ Ñ ÙÒ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒÝ ¹ϕ(z 2) = ϕ 1 (z)ϕ 2 (z), ÔÓÒ Û ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÙÖ Ö ÔÐÓØÙ Ø ÐÓÞÝÒ Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÙÖ Ö º Â Ð X 1 ÓÖ Þ X 2 Ñ ÒØÝÞÒ ÖÓÞ Ý ÔÖ Û ÓÔÓ Ó¹ ØÛ ϕ 1 (z) = ϕ 2 (z) = ϕ(z) ϕ(z 2) = [ϕ(z)] 2 º Â Ð N ÞÑ ÒÒÝ Ñ ÒØÝÞÒ ÖÓÞ Ý ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ¹ ØÛ ϕ(z N) = [ϕ(z)] N º Ò Ø ÐÒÓ ÖÓÞ Ùº Â Ð X 1,...X i,...x N Ò Þ Ð ÒÝÑ ÞÑ ÒÒÝÑ ÐÓ ÓÛÝÑ Þ ÒØÝÞÒÝÑ ÖÓÞ Ñ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ρ(x)º Ð Ó N 2 ØÒ a N b N Ø X = X X N a N X i + b N. ØÓ Þ Ó ÒÓ ÔÓ ÛÞ Ð Ñ ÖÓÞ Ù ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ µº ÐØ ÖÒ ØÝÛÒ Ò º

48 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ø Ø ÐÒÝ Ð Ó ÓÖÑ Ø Ò ÞÑ ÒÒ Þ ÔÓ ÛÞ Ð Ñ Ó Û Ò Þ Ó ÒÓ Ó Ð Ò ÓÛ Ó ÔÖÞ ÐÓÛ Ò µº Ð X = N i=1 X i Ø ÙÑ ÞÑ ÒÒÝ ÐÓ ÓÛÝ Ó Ò¹ ØÝÞÒÝÑ ÖÓÞ Þ ρ(...) ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ρ(... N) Þ Ð Ý Ó ÖÓÞ Ù ÔÓ ÝÒÞ ÞÑ ÒÒ Û ÔÓ Ò ØÔÙ Ý ρ(x N) = 1 ( ) x bn ρ. ¾º µ a N a N ( Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÖÓÞ Ù Ù N(0,σ 2 ) Ñ ÑÝρ(x N) = 1 x N ρ ËØ ÐÒÓ ÖÓÞ Ù ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ØÓ Þ ÓÛ Ò ÖÓÞ Ù Û Þ ÑÓ ÑÝ Ò Ð ÞÓÛ Ø ÐÒÓ ÖÓÞ Ù ÔÖ Û ÓÔÓ Ó¹ ØÛ Ð ÙÖ Û P ÐÙ ÞÑ Ò Ø Ô ÞÛÖÓØÙµ P µº Ð ÙÔÖÓ ÞÞ Ò Þ ÑÝ ÖÓÞ Ý Þ Û ÖØÓ ÑÓ ÐÒ µ = 0º ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ ÝÑ ØÖÝÞÒÝ ÖÓÞ Ä ÚÝ³ Ó Ø Þ Ò ÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÙÒ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ N ). ϕ α (z) = exp ( a z α), ¾º µ Þ 0 < α 2 ÓÖ Þ a > 0º ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Ö ÛÒ Ó ÛÖÓØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÙÖ Ö ρ α (x) = 1 α (z)e 2π ϕ ixz dz = 1 e azα cos(zx)dz, ¾º µ π Ø Ö ÑÓ Ò ÔÓÐ ÞÝ Ò Ð ØÝÞÒ Ð α = 1,2 α = 1 ¹ ÊÓÞ ÄÓÖ ÒØÞ ÐÙ Ù Ý Ó ρ(x) 1 = 2a π 1 x 2 +4a 2, ¾º µ

49 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º α = 2 ¹ ÊÓÞ Ù ρ(x) 2 = 1 2 x 2 πa e 4a 2. ¾º µ Ð α > 2 ÖÓÞ Ä ÚÝ³ Ó Ò Ø Ó Ö ÐÓÒÝ ÔÓÒ Û ÙÒ ρ α (x) Ò Û Þ Þ Ø Ó ØÒ º Ð α 2 ÖÓÞ Ä ÚÝ³ Ó Ñ Ò Ó ÞÓÒ Û Ö Ò E(x 2 ) = x2 ρ(x)dx Ó ÔÓÛÓ Ù ØÖÙ ¹ ÒÓ Þ Ó ØÓ ÓÛ Ò Ñº ÅÓ Ò ØÓ ÔÓ Þ Ò Ð ÞÙ ÝÑÔØÓ¹ ØÝÞÒ Þ ÓÛ Ò ÙÒ ρ α (x) p α (x) C α Ð x, ¾º µ x 1+α Þ C α = α ( απ ) π Γ(1+α)sin, ¾º µ 2 ÙÒ Γ() ØÓ ÙÒ ÙÐ Ö ÙÓ ÐÒ ÓÒ ÐÒ µº Ý ÖÓÞÛ ¹ Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ó ÞÓÒ Û Ö Ò ÔÖÞÝ Ò Ð Þ ÒÝ Ò Ò Ó¹ ÛÝ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ρ α (x) ÑÓ Ò ÔÓÑÒÓ Ý ÔÖÞ Þ ÙÒ Ó Ö Ò Þ Û ÖØÓ Ö Ò ÖÙ Ó ÓÒÝµ ÒÔº φ(x) = Θ(x c x ) ÔÖÓ Ø ÙÒ Ó Ò Û ÖØÓ Ö Ò x > x c Θ ØÓ ÙÒ Ø Ø À Ú µ φ(x) = Ae λ x ÙÒ Ó Ö Ò Þ µº ÙÒ Ó Ö Ò Þ ÑÓ Ò Þ ØÓ ÓÛ Û ÔÓ Ò ØÔÙ Ý ρ(x) = ρ α (x)φ(x) ¾º ¼µ Ë ÐÓÛ Ò ÓÖ Þ ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÝ Ò αº ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ ρ(x N) = 1 ( ) x bn ρ. ¾º ½µ a N a N

50 ¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÓÞÛ ÑÝ ÖÓÞ ÝÑ ØÖÝÞÒÝ b N = 0µ Þ ϕ(z N) = [ϕ(z)] N, ¾º ¾µ ÓÖ Þ ϕ α (z) = e a z α ¾º µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ a N = N 1 α. ÏÝ Ò α ÑÓ Ý ÛÝÐ ÞÓÒÝ ÖÓÞÔ ØÖÙ ÙÑ N ÞÑ Ò¹ ÒÝ Ñ Ý ÝÑ ØÖÝÞÒÝ ÖÓÞ Ä ÚÝ³ Ó ÓÖ Þ ÓÖÞÝ Ø Þ Û ÒÓ ÐÓÛ Ò ρ α (x N) = ρ α(n 1 α x). ¾º µ ÊÓÞÔ ØÖÙ ÖÓÞ Ù ( ) 1 ρ α=2 (x N) = 2πσ2 N exp x2, 2Nσ 2 ¾º µ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ N 1 α ρ α=2 (x N) = ρ α=2(n 1 2 x). ¾º µ ÏÖ ÑÝ Ó ÔÖÞÝÔ Ù Ó ÐÒ Ó ¾º µ Þ x = 0 ÑÓ ÑÝ ÛÝÐ ÞÝ ρ(x = 0 N) = ρ(0). ¾º µ ÈÖÞ Ò Ð ÞÙ ÑÝ Ó ÔÖÞÝ ÔÖÓ ÙÖ ÛÝÞÒ Þ Ò ÛÝ ¹ Ò αº ÊÓÞÛ ÑÝ ØÓÔ ÞÛÖÓØÙ Þ ÒÛ ØÝ Û P N (t) = P(t + N) P(t) Þ N ØÓ ÔÖÞ Þ Þ ÓÛÝ Ø ÖÝ ÑÓ Ý Ö ÛÒÝ ÒÔº N = 1,2,3 Ò N = 1,2,3 Ñ Ò ØÔººº P(t) ØÓ ÙÖ Û Þ tº ÏÝÞÒ ÞÑÝ ÑÔ ÖÝÞÒ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó¹ ØÛ ρ( P N N) ÓÖ Þ ÔÖÞ Ò Ð ÞÙ ÑÝ ρ( P N = 0 N) ÓÖ N 1 2 N 1 α ρ( P N = 0 N) = ρ(0). ¾º µ N 1 α

51 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ½ ÇØÖÞÝÑÙ ÑÝ ln(ρ( P N = 0 N)) = ln(ρ(0)) 1 α lnn, ¾º µ Þ Þ Ó ÛÝÒ Ö Ð ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒÓ lnn αln(ρ( P N = 0 N)). ¾º ¼µ ÏÝ ÓÒÙ Ö Ö Ð Ò ÓÛ lnn Ú º ln(ρ(x = 0 N)) ÑÓ Ò ÛÝ¹ ÞÒ ÞÝ ÛÝ Ò αº ÈÖÞ Ø Û Ø Ö Þ Ó ÔÖÞÝ ÛÝÒ ØÝÞÒÝ ÖÝÒ¹ Û Ô Ô Ö Û Û ÖØÓ ÓÛÝ º ÈÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ò Ò Û Þ Ý ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ½ Ñ ÒÙØÓÛÝ ÞÑ Ò Ò Ù S&P500 N = 15,30,45... Ñ Òµ Ø Ó ÖÞ ÓÔ Ò ÔÖÞ Þ ÖÓÞ Ä ÚÝ³ Ó Ó Ö Ò ÞÓÒÝ ÔÓØ Ò ÐÒ µ Ó Ô Ö Ñ ØÖÞ α = 1,5º Ò Ò¹ Ù Á ÓÚ Ô Þ Ó Ö ½ ¹¾¼¼¼µ ÛÝ Þ Ý α = 1,6 1,7 Ð Ñ Ý N < 20 Ò ÓÖ Þ α = 2 Ð Ù Ý N Ó Ó ÔÓÛ ¹ Ó ÖÓÞ ÓÛ Ù µº Ð Ó Ð Þ Þ ØÓ ÓÛ ÒÓ ÞÛÝ ÐÙ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ ØÓÔ ÞÛÖÓØÙº Ï ÔÓÑÒ Ð ÑÝ Ó ÖÓÞ Þ Ä ÚÝ³ Ó Ý ÔÓ Þ ÑÓ Ð Þ Ý ÖÓÞ Ù Ò ÓÔ Ù Û Ô Ò ÖÝÒ Ù Ò Ò Ó¹ Û Óº Æ Ð Ý Û ÔÓÑÒ ÞÞ Ó ÑÓ Ð ÓÒÓÑ ÞÒÝ ÓÔ Ö¹ ØÝ Ó ÄÓØÝ Ä ÚÝ³ Ó ¹ Þ Ò ÈÖÞÝÔ ÓÛ Û Ø ÖÝÑ Ù¹ Ó ¹Ø Ó Ó Ù Ø ÓÔ Ò ÖÓÞ Ñ Ä ÚÝ³ Ó ÙÑÓ Ð Û ÝÑ ØÓ ÙÒ ÓÛÓ Þ Ø ÛÝ ØÔÓÛ Ò Û ÖØÓ ØÖ Ñ ÐÒÝ ÔÓ ¹ ÝÑ ÖÙ Ó ÓÒÝµº Ó Ò Þ Ø ÓÖ ÄÓØ Û Ä ÚÝ³ Ó ÔÖ Û¹ ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÛÝ Ø Ô Ò Û ÖØÓ ØÖ Ñ ÐÒÝ ÒÔº ØÖ ¹ Ñ ÐÒÝ Ô Û Ò ÖÝÒ Ù Ò Ò ÓÛÝÑµ Ø Ö Ð ØÝÛÒ Ù º ÊÓÞ Õ¹ Ù º ÊÓÞ Õ¹ Ù ÖÝ ÙÒ ¾º¾¼µ Ø ÙÓ ÐÒ Ò Ñ ÖÓÞ Ù Ù Þ ÝÑ ÛÝ ØÔÓÛ Ò Ù ÓÞ ÓÛÝ ÙØÓ ÓÖ Ð ÔÓ¹ Ñ ÞÝ ÒÝÑ Ó ÔÓÛÓ Ù ÒØÖ ÐÒ ÌÛ Ö Þ Ò Ö Ò ÞÒ

52 ¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º¾¼ ÊÓÞ Õ¹ Ù ¹ õö Ó Ï Ô Ò Ó ÔÓÞ ÓÑ Ù ØÓ Û ÖØÓ ÞÑ ÒÒ Ò ØÓÑ Ø Ò Ó Ô ÓÒÓÛ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ µº ÔÖÞ Ø Ó ÓÛ ÞÝÛ µº È Ö Ñ ØÖ q Ó ÔÓÛ Þ Ù ÓÞ ¹ ÓÛ ÙØÓ ÓÖ Ð Ø Ö ÛÝ ØÔÙ Û ÔÖÞÝÔ Ù q > 1º ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ð ÖÓÞ Ù Õ¹ Ù Ø ÓÔ Ò ÛÞÓÖ Ñ ρ(x) = β C q ( 1 (1 q)βx 2 ) ( 1 1 q), ¾º ½µ Þ q 3 C q = 2 πγ( 1 1 q ) (3 q) Ð < q < 1, 1 qγ( 3 q 3(1 q) ) C q = π Ð q = 1, C q = πγ( 3 q 2(1 q) ) q 1Γ( 1 q 1 ) Ð 1 < q 3, Γ() ØÓ ÙÓ ÐÒ ÓÒ ÐÒ º

53 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÊÝ ÙÒ ¾º¾½ Ç Ö Þ ÑÓ ÐÙ Ô Ö ÓÐ Ý Ò Ó ¹ õö Ó ¹ ËºÀ ÚÐ Ò º Ò¹ ÚÖ Ñ Ù ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ñ Ú Ò Ò È Ý ÎÓÐº ½ ¹ ÆÓº ½ ¾¼¼¾µº ÈÓÖ ÛÒ Ò ØÖÞ Û Ö ØÓÛÝ Þ Ö ÒÝÑ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó¹ ØÛ Ñ Þ ØÓ ÛÞ Û ¹ pº ¾º º ÅÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÒÝ ÔÖÞÝ Ù Ù Ù Ø Ö Ó ÑÓ ÛÝ ØÔÓÛ Þ Ö ÛÒÓ ÒÓÖÑ ÐÒ ÒÓ¹ Ñ ÐÒ Ý ÙÞ º ÈÖÓ ØÝ ÑÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÒÝº ÈÖÓ ØÝ ÑÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÒÝ Ø ÔÓ Þ ÒÝ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º¾½ ÖÓÞ¹ Û ÑÝ Û Ö ØÓÛ ÛÞ Ø Þ ØÝ Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ p ÓÖ Þ ÛÓÐÒÝ Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ 1 p ÛÖ Þ Þ ÛÞÖÓ Ø Ñ p ÖÓ Ò ÛÝÑ Ö ÔÖÞ ØÒ Ó Ð Ø Ö Þ ØÝ ÛÞ Û ÔÓÒ p c = 0, ØÒ ØÝÐ Ó Ó ÞÓÒ Ð Ø ÖÝ ÔÓÛÝ p c ØÒ Ò Ó ÞÓÒÝ Ð Ø Ö º Ï ÛÓ

54 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Ð p < p c ÛÝ ØÔÙ Ó ÞÓÒ Ø ØÝ ØÝÞÒ ÑÓÔÓ Ó Ò Ð Ø ÖÝ Ó ÛÝÑ ÖÞ ξ(t) Ö Ò Û Ö ØÓÛ ÔÖÞ Ñ Þ¹ Þ Ò Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÖÓÞÑ Ö Ð Ø Ö µ Ð p = p c ÛÝ ØÔÙ Ò Ó ÞÓÒÝ Ð Ø Ö Ø ØÝ ØÝÞÒ ÑÓÔÓ Ó ÒÝ Û Û ÞÝ Ø Ð Û Ð Ó Ð p > p c ÛÝ ØÔÙ Ò Ó ÞÓÒÝ Ð Ø Ö Ø ØÝ ØÝÞÒ ÑÓÔÓ Ó ÒÝ Ð R < ξ(t) ÒÓÖÓ ÒÝ Ð R > ξ(t)º ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ Ý ÙÞ Ò ÓÔ ÒÝ ÛÝ Ð Ø Ö ÖÝ ÙÒ ¾º¾½µº Ð Ó ÔÓÛ Ò Ó Ù Ó Þ Ù Ý ÙÞ ¹ t Ñ ÑÝ Ð p < p c R(t) 2 ξ(t) 2 ¹ Ö Ò ÖÓ Û Ö ØÓÛ Ó Ö Ò ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÖÓÞÑ Ö Ð Ø Ö Ð p = p c R(t) 2 t 2 dw ¹ ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ Ð p > p c R(t) 2 t ¹ ÒÓÖÑ ÐÒ Ý ÙÞ º Â Ù ÛÞ Ò Û ÔÓÑÒ Ð ÑÝ Ð t ÑÓ ÑÝ Ñ Û Ö Ò ÞÝ Ý ÙÞ p c = p Þ ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ p c > p Þ ÒÓÖÑ ÐÒ Ý ÙÞ º Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ó ÝÐ Ò R 2 (t) ÑÓ Ò Ó Ö Ð Û Ø Ö Þ Ý ÙÞ ÞÒ Ù ÑÝº ÈÖÓ Þ Þ Ø ÒÓÛ ÞÝ Ó ÖÛÙ Þ ÓÛ Ò Ý ÙÞ µ Ò Ò ÈÏ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Þ ÒÓÖÑ ÐÒ Ý ÙÞ ÓÖ Þ Þ ÒÓ¹ Ñ ÐÒ Ý ÙÞ Ç ÞÝÑ ÑÓ Û ÞÝ ÔÖÞ Þ ÞÝ ÒÓÖÑ Ð¹ Ò Ý ÙÞ Ó ÞÝ ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ Ç ÔÓÛ õ Ò Û ÔÓÑÒ Ò ÔÝØ Ò Þ Þ Û ÖØ Û ÓÐ ÒÝ ÖÓÞ Þ ÖÝÔØÙº

55 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ¾º º Þ Ø ÓÛ ÖÙ Ý ÖÓÛÒ ÛÝ Ò ÀÙÖ Ø µ Ý¹ ÙÞ ¹ H Þ Ð ÒÓ Ö Ò Ó Û Ö ØÓÛ Ó Ó ¹ ÝÐ Ò Ó Þ Ù ÓÖ Þ Ô Ø ÑÓÔÓ Ó ØÛ º ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ ÔÖÓ Ï Ò Ö ØÓ Ù ÓÛ ÔÖÓ ØÓ ØÝÞÒÝ ÔÓ Ý Ò ØÔÙ Û ÒÓ Ö Ò ÖÓ ÔÖÞ ÝØ Ø Ö ÛÒ Þ ÖÓ ¹ E(W(t)) = 0 ÓÛ Ö Ò ¹ E(W(t)W(s)) = min(t,s) ÓÐ Ò ÖÓ Ò Þ Ð Ó ÔÓÔÖÞ Ò ¹ Ö ÙØÓ ÓÖ Ð º ÍÓ ÐÒ Ò ÙÛÞ Ð Ò ÙØÓ ÓÖ Ð ÔÓÑ ÞÝ ÓÐ ÒÝÑ ÖÓ¹ Ñ º ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ Ø ÓÒ ÖÒÝ ÔÖÓ W H (t) Ð t > 0 Þ Þ ÖÓÛ Ö Ò Û Ö Ò Ö ÛÒ ÓÖ Þ ÓÛ Ö Ò R H (t) 2 = E[W 2 H (t)] = t2h, ¾º ¾µ E[W H (s)w H (t)] = 1 2 (s2h +t 2H t s 2H ), ¾º µ Þ 0 < H < 1º Þ Ø ÓÛ ÊÙ Ý ÖÓÛÒ Åµ Ñ Û ¹ ÒÓ ÑÓ ÔÓ Ó ØÛ ¹ W H (t) ÐÙ Û Ò Þ Ó ÒÓ ÖÓÞ Û ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ W H (at) = a H W H (t). ¾º µ ÌÖ ØÓÖ Å Ø ÖÞÝÛ Ö Ø ÐÒ Þ ÛÝÑ Ö Ñ Ö Ø ÐÒÝÑ d w = 1 H º È Ö Ñ ØÖ H Ø ÛÝ Ò Ñ ÑÓÔÓ Ó ØÛ ÞÛ ¹ ÒÝÑ ÛÝ Ò Ñ ÀÙÖ Ø ÐÙ ÛÝ Ò Ñ Ý ÙÞ µº ÏÝ ÓÔ Ò Ò ÞÑ ÒÒ ÞÓ ÐÓÛ Ò Ý ÔÓ Ö Þ Ô ÖÛ ÞÝ Ò Ð ÖÝÒ Û Ò Ò ÓÛÝ ÔÖÞ Þ Å Ò Ð ÖÓØ º ÔÓÒ Þ Ó Ö ÛÒ Ò

56 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÑÓ ÑÝ ÛÝÛÒ Ó ÓÛ W H (at) = a H W H (t), R(t) 2 = t 2 dw = t 2H ¾º µ ¾º µ Ï ÔÖÞÝÔ Ù H 1 2 Ö ÛÒ Ò ÓÔ Ù Þ Ø ÓÛÝ Ý ÞÙÑ Ù ÓÞ Ö ÓÛ ÙØÓ ÓÖ Ð Ø ÖÝ ØÒ Ò ÑÓ Ò ÓÔ E[W(t+h),W(t)] 2H(2H 1)h 2H 2, Ð h. ¾º µ ÏÒ Ó Ð 1 2 < H < 1 ÔÖÓ W H(t) ÛÝ ÞÙ ÙØÓ ÓÖ Ð Ý E[W(t+h),W(t)] Ø Ó ØÒ Ð H = 1 2 ÔÖÓ W H(t) Ò ÛÝ ÞÙ ÙØÓ ÓÖ Ð Ð 0 < H < 1 2 ÔÖÓ W H(t) ÛÝ ÞÙ Ù ÑÒ ÙØÓ ÓÖ Ð Ý E[W(t+h),W(t)] Ø Ù ÑÒ º Ï ÔÖÞÝÔ Ù H 1 2 ÓÐ Ò ÖÓ W H Þ Ð Ò Ó ÔÓÔÖÞ ¹ Ò º ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ Ý ÙÞ Ò ØÖ Ë ÖÔ Ó Þ ÛÝÑ Ö Ñ Ö Ø ÐÒÝÑ d w = 2,322 ÓÖ Þ ÛÝ Ò Ñ Ý ÙÞ H = 1 1 2,322 d w = = 0,431. ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º¾ º ÅÓ Ò ØÛ Ö Þ ÔÓÑ ÞÝ ÓÐ ÒÝÑ ÖÓ Ñ ÛÝ ØÔÙ Ù ÑÒ ÙØÓ ÓÖ Ð Û ÔÖÞÝÖÓ Þ ÛÝ ØÔÙ Û Ð Þ Û ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ ¹ Þ Ù ÑÒÝÑ ÙØÓ Ó¹ Ö Ð Ñ µº Ï ÔÖÞÝÖÓ Þ Ö ÛÒ ÛÝ ØÔÙ ÔÖÞÝÔ Ý ÙÞ Þ Ó ØÒ Ñ ÙØÓ ÓÖ Ð Ñ ¹ H > 0,5º Â Ó ÔÖÞÝ ÑÓ Ò ÔÓ Ý ÙÞ ÔÓ Þ Ö ØÓÔÙ Ù¹ËÒ Þ Æ 3 ËÒ Þ H = 0,55 0,77º ÉÙ ÒØ Ø Ø Ú ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ ÓÖ ÍÔ ÐÐ Ù ÓÒ Ó ËÒ ÙÖ Ò Ê Ø Ú Ù ÓÒ ØÛ Ò Ù ËÒ ÐÐÓÝ Ò Æ ¹ Ìº Ñ Ò Åº Ã Ö

57 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÊÝ ÙÒ ¾º¾¾ ÈÖÞÝ Ý ØÖ ØÓÖ W H Ð Ö ÒÝ Û ÖØÓ ÛÝ Ò Ý ÙÞ H ¹ õö Ó ¹ ºÄº Î ÓÒ ÐÓ Ù Ï Ð ÓÛÒ Ï ÐÐ ËØÖ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÒÓÔ Ý Ö Þ Ð Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó È Ý ¾¼¼ µ ½¼ º ÊÝ ÙÒ ¾º¾ ÈÖÞÝ ÖÓ Û ÔÓ Þ Ý ÙÞ Ò ÌÖ Ë ÖÔ Ó ¹ õö Ó ¹ ËºÀ ÚÐ Ò º Ò¹ ÚÖ Ñ Ù ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ñ Ú Ò Ò È Ý ÎÓÐº ½ ¹ ÆÓº ½ ¾¼¼¾µº

58 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ¾º º ÄÓ ÐÒ Ò Ð Þ ÞØÖ Ò ÓÛ µ ÛÝÐ Þ Ò ÐÓ ÐÒ Ó ÛÝ Ò Ý ÙÞ Hµ Ù ÝÛ Ò Ó Ó Ò ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ º Æ Ð Ý ØÛ Ö Þ Ý Ù Ò Ò ÓÛÝ Ø Ù Ñ ÓØÛ Ö¹ ØÝÑ Ó Þ Ù ÝÑ Þ ÓØÓÞ Ò Ñµº Å ØÓ Ý Û ØÒ Ó ¹ Ò Ù Û Þ Ñ Ò ØÝ Ò Ó Þ Ù Ý Þ ÓØÓÞ Ò Ñµ ÑÓ Ý Ö ÞÓ ÛÖ Ð Û Ò ÐÓ Ò ÓÖÑ Ù ÝØÝ Ó Ò ÐÓ ÔÓ ÛÝ ÓÖÙ ÒÝ ÒÝ µº Â Ø Û Ð Ñ ØÓ Ó Ð Þ Ò ÛÝ Ò Ý ÙÞ Hµ Ð ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ º Ç ÐÒ ØÖÞ Ó Ö Ð Û Ð Ó Ù ØÙ Û Ó Ò Þ ÓÛÝÑ Ó Ù Ó τµ ÐÙ ÛÖ Þ Þ ÞÑ Ò Ù Ó Ó Ò τº ÇÑ Û ÑÝ Ò Ð Þ ÞØÖ Ò ÓÛ µ Ø Ö Ò Ð Ô Þ ÛÝÒ Ø Û ØÒ Ó Ò Ù Û ÓØÛ ÖØÝ º ÑÝ Ð Ò ÓÛÝ ØÖ Ò Û Ð Ó Ò Ò ÓÛ ÒÔº Ò P tend (t,τ) = a t+b Û Ó Ò Þ ÓÛÝÑ Ó Ù Ó τ, Ó Ð ¹ ÞÓÒÝ Þ Ù Ý Ñ Ö Ö Ð Ò ÓÛ µº Ç Ö Ð ÑÝ Û Ð Ó Ù ØÙ Ó Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ö ¹ Ò ÔÓÑ ÞÝ ÙÖ Ñ Ø ÓÖ ØÝÞÒ Û ÖØÓ ÛÝ¹ ÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ØÖ Ò Ð Ò ÓÛÝ Ó Ð ÞÓÒÝ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÖÓ Ùº Ï ÐÙ ÛÝÞÒ Þ Ò ÐÓ ÐÒ Ó ÛÝ Ò Ý ÙÞ H ÑÝ Û Ð Ó Ù ØÙ ÐÙ Û ÙÒ Þ Ù τº ØÓ ÓÛ Ò ÛÝ Ò Ý ÙÞ Ó Ò ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ Ñ Ò ØÔÙ ÙÞ Ò Ò ÛÝÛÓ Þ Þ Ò Ù ÓÒÓÑ Þ¹ ÒÝ º ÙÞ Ô ÙÐ Ò ÞÒ ÞÒ Þ ÔÖÞ ÛÓ Ö ¹ Ð ÞÙ ÞÝ Ð ÞÙ Þ Ð Þ Ñ Ò ÖÓ Ò Ó ØÖ Ò Ùº ÓÛ Ò ØÓ Ý Ò ÒÒÝÑ Ö ÞÓÑ Ø ÖÞÝ ÔÓ Ô ÛÒÝÑ Þ ¹ Þ ÞÝÒ Ø ÔÖÞ Û ÛÓ º ÅÓ ØÓ ÔÖÓÛ Þ Ó Þ Ñ Ò ØÖ Ò Ù Ð ÖÝÒ Ø ÞÞ ÐÒ Ò ÖÛÓÛÝ Ó Ö ¹ Ùº ÈÖÞÝ ØÓ ÔÓØ Þ ÔÖÞ Þ Ð ÝÑ Ö Ñ ÑÓ

59 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÔÓ Û Ù ÑÒ ÙØÓ ÓÖ Ð ÙÖ Û º Ð Ø Ó Ó ÖÛÙ¹ Û ÖØÓ ÛÝ Ò Ý ÙÞ H ÑÓ Ò Ó ÞÝØ Ý Ò ÔÖÞ ¹ Ý ÔÓÔÖÞ Þ Ý Ö º Ò Ð Þ ÞØÖ Ò ÓÛ ¹ Þ Ó Ò º ÏÝ ÖÞÑÝ Ó ÒÓ Þ ÓÛ Ó Ù Ó τ Û Ø ÖÝÑ Þ ÑÝ P(t) ¹ ÒÝ ÒØ Ö Ù Ó Ò Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ ÓÛ Ó ÐÙ Û ÖØÓ Ò Ùº Ó Ó Ð Þ Ò Û Ð Ó Ù ØÙ ÒÝ ØÓ Ù ÑÝ Ö ¹ Ò ÔÓÑ ÞÝ Ò Û ÒÝÑ Ò Ù ÓÖ Þ Û ÖØÓ Ø ÓÖ ØÝÞÒ ÛÝ¹ ÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ØÖ Ò Ð Ò ÓÛÝº ÏÝÐ ÞÑÝ Û Ö Ò ÞØÖ Ò ÓÛ Û Ù Ò ØÔÙ Ó Ñ ØÙ Ó Ö ÐÑÝ Ó ÒÓ Þ ÓÛ Ó Ù Ó τ Þ ÞÝÒ Ýt = 0 Ó Þ Ý t = τ ÛÝÐ ÞÑÝ Ð Û»Û Ó Ò Þ ÓÛ Ó Ñ ØÓ Ö Ö Ð Ò ÓÛ Ñ ØÓ Ò ÑÒ ÞÝ Û Ö Ø Ûµ Û Ô ÞÝÒÒ ØÖ Ò Ù Ð ¹ Ò ÓÛ Ó µ ÓÖ Þ Ò ÔÖÞ Û ÝÛ Ò ÔÖÞ Þ ØÖ Ò Ð Ò ÓÛÝ P trend (t,τ) = a t+b Ð Ó t ÛÝÐ ÞÑÝ Ö Ò Û Ö ØÓÛ ÔÓÑ ÞÝ ØÙ¹ ÐÒ Ò ØÖ Ò Ñ Ð Ò ÓÛÝÑ P(t) 2 beztrendowe = (P trend(t,τ) P(t)) 2 ÛÝÐ ÞÑÝ Ö Ò Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ð Ò Û Ó Ò Þ Ó¹ ÛÝÑ Ó Ù Ó τ F 2 (τ) = τ t=1 P(t)2 beztrendowe τ. ÇØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ó ÐÒÝ ÛÞ Ö Ò Û Ö ÞØÖ Ò ÓÛ τ F 2 t=1 (τ) = (P trend(t,τ) P(t)) 2. ¾º µ τ Â Ð ÖÓÞÔ ØÖÞÝÑÝ Ù Ó ÒÓ Ó ÖÓÞÑ ÖÞ N ÑÓ ÑÝ ÔÓ Þ Ð Ò k Ò ÔÓ ÖÝÛ Ý Ó Ò Ó Ù Ó τ = N k º Æ ¹ ØÔÒ ÑÓ ÑÝ ÛÝÐ ÞÝ Fj 2 (τ) Ð Ó Þ Ó Ò Ø

60 ¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ j = 1,2,...kº Ó ÛÝÐ Þ Ò Ö Ò Û ÖØÓ Û Ö Ò ÞØÖ Ò Ó¹ Û Ð Ò Ó k ÐÙ Ó Ò Ó Ù Ó τµ ¹ F 2 (τ) Þ ÞÛÝÞ ØÓ¹ Ù Ö Ò Û ÖØÓ ÒÔº Ù Ö Ò ÓÒ ÔÓ Û ÞÝ Ø j Ó Ò Ó Ù Ó τ = N k º F 2 (τ) = k Fj 2(τ). ¾º µ k Æ ØÔÒ ÑÓ ÑÝ ÛÝÐ ÞÝ ÛÝ Ò Ý ÙÞ H ÓÖÞÝ Ø Þ Û ÛÓ ÐÓÛ Ò j=1 F 2 (τ) τ 2H, ¾º½¼¼µ ÛÝÐ Þ Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ ÔÓÞÛÓÐ Ò Ñ Ò Ò Ö Ð Ð Ò ÓÛ ln F 2 (τ) = 2Hln(τ)+b. ¾º½¼½µ Ò Ð ÞÙ F 2 (τ) Û ÙÒ Ù Ó Ó Ò Þ ÓÛ Ó τ ÑÓ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ ÛÝ Ò Ý ÙÞ Hµº ÃÓÖÞÝ Ø Þ ( N ) ( N ) ln F 2 = Hln +b ¾º½¼¾µ k k ÑÓ Ò ÛÝÞÒ ÞÝ Û Ô ÞÝÒÒ ÖÙÒ ÓÛÝ ÔÖÓ Ø Ö ÛÒÝ 2Hº Ý ÛÝ Ò Ý ÙÞ H Ñ Ý Ù ÝØÝ Ó Û õò Ò ÈÏ Ó Û ÖØÓ ÑÙ Ý Ó Ð ÞÓÒ Ò ÔÓ Ø Û ÒÝ ÔÖÞ Þ Ý Û ÒØÙ ÐÒ Ø Ö õò ÞÝ Ò ÑÓ Ò Ù ÝÛ ÒÝ ÔÖÞÝ Þ Ý µº Ð Ø Ó Ø Ð ÛÝÐ ÞÝÑÝ ÛÝ Ò Ý ÙÞ Ð Ó Ò Þ ÓÛ Ó Ó Ù Ó τ Û ÖØÓ Û õò Ò Ð Ý ÔÖÞÝÔÓÖÞ ÓÛ Ó Ø Ø¹ Ò ÑÙ ÔÙÒ ØÓÛ Þ Ø Ó Ó Ò Ð Ó ÒÓ Þ ÞÝÒ Ý t = 0 Ó Þ Ó Ý t = τ Û ÖØÓ H Ò Ð Ý ÔÖÞÝÔÓÖÞ ÓÛ Þ ÓÛ t = τµº Æ ØÔÒ ÔÖÞ ÙÛ Ó ÒÓ Þ ÓÛ Ó Ù Ó¹ τ ÔÓ ÑÓ Ò ÛÝÐ ÞÝ Û ÖØÓ ÛÝ Ò Ð ØÓÖ Ò ÐÙ ÒØ Ö Ù Ò Ô Ò ÈÏº Å ØÓ Ø Ñ Ð Ö ØÖ ÐÒÝ Ô Ö Ñ ØÖ Û Û Ð Ó Ó Ò N ÖÓ Þ Þ ØÓ¹ ØÐ ÛÓ ÒÝ ÒÔº ÙÖ Ý Þ ÒÒ ÙÖ Ý ÓØÛ Ö Þ Ñ Ò

61 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ½ Ó Þ ÒÒ Ñ ÒÙØÓÛ ØÖ Ò ØÔºµ ÓÖ Þ ÔÓ ÛÝ ÓÖÙ k ÒÔº k = 1,2,3... ÐÙ k = 1,2,4,8,16...º Ì Ö Þ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ ÒÒ Ñ ØÓ Ó Ð Þ Ò Û Ö Ò ÞØÖ Ò¹ ÓÛ Û õñý ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ P = P(t i ) P(t i 1 ) Ó Ö ÐÑÝ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ó Ù Ó M ÛØ Ýt = 0,1...M Ó Ö ÐÑÝ ÙÑÙÐÓÛ Ò Ö Ò x(t) = t t =1 ( P(t ) P) M t Þ P = =1 P(t ) M Ó ÞÑ ÒÒ ÙÑÙÐÓÛ Ò ØÓ Ù ÑÝ Ø Ñ ÔÖÓ ÙÖ ÔÓÛÝ Û ÛÒ ØÖÞ ÔÖÞ Þ Ù Ó Ù Ó M Ó Ö Ð ÑÝ Ù Ó ÒÓ Ó Ù Ó N Ò ØÔÒ Þ Ð ÑÝ Ò Ó Ò Ó Ù Ó τµº Â Ó ÔÖÞÝ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ ÓÔ ÓÛ Ò Ð Ò ÔÖÓ Ø Ò ÛÝ¹ Ö 1 2 ln F2 (t) Ú º lnt Ð Ô ÓÖ ÒÓØÓÛ Ò Ò ÈÏ Û Ï Ö Þ Û º Æ ÝÐ Ò ÔÖÓ Ø Ø Ö ÛÒ ÛÝ Ò ÓÛ ÀÙÖ¹ Ø Hº Ó ÛÞ ØÓ ¾ ÙÖ Ý Þ ÒÒ ÙÖ ÓØÛ Ö Þ Ñ Ò µ Þ Ó ÓÒÓ N = 500 ¾ ¼ µº Ù Ó ÑÒ ¹ ÞÝ Ó Ò Ý ÛÝÞÒ Þ Ò Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ τ = N k Þ k = 1,2,4,8,16,32,64,128 ÓÖ Þ ØÓ ÙÒ Ù ØÙ ¹ Ò ÑÒ Þ Ð Þ ÓÛ Ø Ò ÑÒ Þ Ò Ö ÙÑ ÒØº Ç Ø ØÒ Ó ÒÓ Þ ÓÛÓ Þ Ó Þ Ó Ò ÔÓÔÖÞ Ò Ð Ò ÛÔ ÝÛ Ó ØÓ Û ÔÓ ØÓØÒÝ Ò ÛÝÒ ÛÝÐ Þ º ÇØÖÞÝÑ ÒÓ ÛÝ Ò Ý ÙÞ H = 0,47±0,02º ÏÝ Ò Ý ÙÞ H ÑÓ Ò ÛÝÐ ÞÝ ÐÓ Ð¹ Ò Ù Ø Ð Ù Ó Ó Ò N Ð Ò ÔÓÔÙÐ µ ÐÙ ÐÓ ÐÒ Ù Ø Ð ÒÔº N = 250 µ ÔÓØ Ñ ÔÖÞ ÙÛ ÔÓ º ÄÓ ÐÒÝ ÛÝ Ò Ý ÙÞ H Ñ ÖÞÝ ÐÓ ÐÒÝ Ø Ò ÖÝÒ Ù Ð Ø Ó Ø ÑÒ ÛÖ Ð ÛÝ Ò Û Þ Ð ÞÑ ÒÝ Ö Ø ÖÙ ÒÝ Û Þ Ð Ô Ò Ó Ò Ù Ù ÓØÛ ÖØ Ó ÓÖ Þ Ù Ù Ø ÖÝ Ò Ñ Ø ÐÒ Ó ÖÓÞ Ù ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ¹ ØÛ Ù Ñ Ø Ñ ÑÓ Ý ÖÝÒ Ô Ô Ö Û Û ÖØÓ ÓÛÝ µº

62 ¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º¾ ÓÔ ÓÛ Ò Ð Ò ÔÖÓ Ø Ó ÛÝ Ö Ù 1 2 ln F2 (t) Ú º lnt ¹ Ò ÝÐ Ò Ð Ò ÔÖÓ Ø Ó ÔÓÛ ÛÝ Ò ÓÛ ÀÙÖ Ø º ÏÝ Ò Ý ÙÞ Ñ ÖÞÝ ÓÖ Ð Ò ÖÝÒ Ù Ò Ò ÓÛÝÑº Â Ó ÔÖÞÝ Û Ð Ø Ö ØÙÖÞ ÑÓ Ò ÖÓÞÔ ØÖÞÝ ÛÝ Ò Ý ÙÞ Hµ ÛÝÐ ÞÓÒÝ Ð Ò Ù Á ÓÚ Ô Ý Û Ë È ÙÐÓº ÏÝ ¹ Ò Ð Ð Ø ½ ¹ ½ ¾µ ÛÝ ÞÝÛ Ö ÞÓ ÛÝ Ó Û ÖØÓ H > 0,6µ Û ÞÙ Ò ÐÒ ÙØÓ ÓÖ Ð Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Ð ÖÝÒ Û Û Ó Þ Ý º ÄÓ ÓÛÝ Þ Ö ÒÝ º Ï ÐÙ ÔÓ Þ Ò Û ÔÓ ÛÝ Ò H Ó ÞÛ Ö Ð Ó¹ ØÒ Ù ÑÒ ÙØÓ ÓÖ Ð Ò Ó Þ Ö Ù Þ ÓÛ Ó Ö ÛÒ Ö Þ Ò ÓÛ ÒÓ Ò ØÔÙ ÐÓ ÓÛ Þ Ö Þ ÓÛ ÄÓ ÓÛÝ Þ Ö Þ ÓÛÝ Ò ÔÓ Ý ÙØÓ ÓÖ Ð µ Ð ºÄº Î ÓÒ ÐÓ Ù Ï Ð ÓÛÒ Ï ÐÐ ËØÖ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÒÓÔ Ý¹ Ö Þ Ð Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó È Ý ¾¼¼ µ ½¼

63 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º Ø Ö Ó ÛÝÐ ÞÓÒÓ ÛÝ Ò H Þ Ù Ý Ñ ÐÓ ÐÒ ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º¾ º ËÞ Ö Ø Ò Ø Þ Ò ÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ô ÖÛ ÞÝ Ð Ñ ÒØ P 0 = 50 ÓÖ Þ Ö ÛÒ Ò Ö ÙÖ ÒÝ Ò P = P i P i 1 = µ+ W. ¾º½¼ µ Þ µ = 0,05 ØÓ Ö Ò ÖÝ W ØÓ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Ó ÔÓÛ ÔÖÓ ÓÛ Ï Ò Ö Ó ÒÓÖÓ ÒÝÑ ÖÓÞ ¹ Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ µº Æ ÖÝ ÙÒ Ù ¾º¾ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ ÔÖÞÝ ÓÛ Ö Ö Ð Ò ÓÛ ln F2 (τ) 2 vs lnτ Ð i = 1000µ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ H = 0,52º ËÞ Ö Þ ÓÛÝ Þ ÓÐ Ò ÖÓ Þ Ð Ó ÔÓÖÞ Ò ÔÓ¹ Ý ÙØÓ ÓÖ Ð µ Ð Ø ÖÝ ÛÝÐ ÞÓÒÓ ÛÝ Ò H ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º¾ º ËÞ Ö Ø Ò Ø Ö ÛÒ Þ ¹ Ò ÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ô ÖÛ ÞÝ Ð Ñ ÒØ P 0 = 50 ÓÖ Þ Ö ÛÒ Ò Ö ÙÖ ÒÝ Ò P = P i P i 1 = µ+ W + 1 ( ) Pi 1 P i 6. ¾º½¼ µ 2 5 Þ µ = 0,05 ØÓ Ö Ò ÖÝ W ØÓ Ð Þ ÐÓ ÓÛ Ó ¹ ÔÓÛ ÔÖÓ ÓÛ Ï Ò Ö Ó ÒÓÖÓ ÒÝÑ ( ÖÓÞ Þ ) ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ µ Ò ØÓÑ Ø Þ ÓÒ 1 Pi 1 P i ÛÔÖÓ¹ Û Þ Ó ØÒ ÙØÓ ÓÖ Ð º Æ ÖÝ ÙÒ Ù ¾º¾ ÔÖÞ Ø ¹ Û ÓÒÓ ÔÖÞÝ ÓÛ Ö Ö Ð Ò ÓÛ ln F2 (τ) vs lnτ Ð i = µ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ H = 0,75º ËÞ Ö Þ ÓÛÝ ÔÓ Ý Ù ÑÒ ÙØÓ ÓÖ Ð ÓÖ Þ Û Ö¹ ØÓ ÛÝ Ò H ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º¾ º ËÞ Ö Ø Ò Ø Ø Þ Ò ÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ô ÖÛ ÞÝ Ð Ñ ÒØ P 0 = 50 ÓÖ Þ Ö ÛÒ Ò Ö ÙÖ ÒÝ Ò ( ) Pi 1 P i 6 P = P i P i 1 = µ+ W. ¾º½¼ µ 5

64 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º¾ ÄÓ ÓÛÝ Þ Ö Þ ÓÛÝ Ò ÔÓ Ý ÙØÓ ÓÖ Ð Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ ÛÖ Þ Þ ÛÝÐ ÞÓÒÝÑ ÛÝ Ò Ñ H ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº ÊÝ ÙÒ ¾º¾ Ê Ö Ð Ò ÓÛ ln F2 (τ) 2 vs lnτ ¹ Ð ÐÓ ÓÛ Ó Þ Ö Ù Þ ¹ ÓÛ Ó ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º¾ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ H = 0,52º Þ µ = 0,05 ØÓ Ö Ò ÖÝ W ØÓ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Ó ¹ ÔÓÛ ÔÖÓ ÓÛ Ï Ò Ö Ó ÒÓÖÓ ÒÝÑ ÖÓÞ Þ ) ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ µ Ò ØÓÑ Ø Þ ÓÒ ( Pi 1 P i 6 5 ÛÔÖÓ¹ Û Þ Ù ÑÒ ÙØÓ ÓÖ Ð º Æ ÖÝ ÙÒ Ù ¾º ¼ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ö Ö Ð Ò ÓÛ ln F2 (τ) 2 vs lnτ Ð i = 1000µ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ H = 0,34º

65 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÊÝ ÙÒ ¾º¾ ÄÓ ÓÛÝ Þ Ö Þ ÓÛÝ ÔÓ Ý Ó ØÒ ÙØÓ ÓÖ Ð Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ ÛÖ Þ Þ ÛÝÐ ÞÓÒÝÑ ÛÝ Ò Ñ H > 0,5 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº ÊÝ ÙÒ ¾º¾ Ê Ö Ð Ò ÓÛ ln F2 (τ) 2 vs lnτ ¹ Ð ÐÓ ÓÛ Ó Þ Ö Ù Þ ¹ ÓÛ Ó ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º¾ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ H = 0,75º ÊÝ ÙÒ ¾º¾ ÄÓ ÓÛÝ Þ Ö Þ ÓÛÝ ÔÓ Ý Ù ÑÒ ÙØÓ ÓÖ Ð Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ ÛÖ Þ Þ ÛÝÐ ÞÓÒÝÑ ÛÝ Ò Ñ H < 0,5 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº

66 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º ¼ Ê Ö Ð Ò ÓÛ ln F2 (τ) 2 vs lnτ ¹ Ð ÐÓ ÓÛ Ó Þ Ö Ù Þ ¹ ÓÛ Ó ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º¾ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ H = 0,34º ¾º º ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ Û ÐÙ ÔÖÞ Û ¹ ÝÛ Ò Þ Ñ Ò ÖÝÒ Ù ÓÖ Þ ÞÑ Ò ØÖ Ò Ûº ÈÖÞÝ ÓÛ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÛÝ Ò H Ó ÔÖÞ Û ÝÛ Ò Ö ¹ Û Ò ÈÏº Þ ÛÝ Ò ÓÛ Ý ÙÞ H ÑÓ Ò Ò Ð ÞÓÛ Ý Ò Ý Þ Ð ¹ Ý Ö Ûº ÈÓ ÑÝ ÔÖÞÝ Ò Ð ÞÝ ÛÝ ÓÒ Ò Ð Ï Ö Þ Û Ý È Ô Ö Û Ï ÖØÓ ÓÛÝ º ÈÖÞ Ò Ð ÞÓÛ ÒÓ Þ Ñ Ò ÖÝÒ Ùº Ñ Ò Þ ½ º¼ º½ Öº Ý Û Ù ½ Ò ÏÁ Ô Ó ±º Ñ Ò Þ ¾¾º¼ º½ Öº Ý Û Ù ¼ Ò ÏÁ Ô Ó ±º Ñ Ò Þ ½¾º¼ º¾¼¼ Öº Ý Û Ù ¾ Ò ÏÁ Ô Ó ¾½±º ÙÞ Ô ÙÐ Ò ÞÒ ÞÒ Þ ÔÖÞ ÛÓ Ö Ð ¹ ÞÙ ÞÝ Ð ÞÙ Þ Ð Þ Ñ Ò ÖÓ Ò Ó ØÖ Ò Ùº º Ö ºÈ ÑÙ Ì ÄÓ Ð Ö Ø Ð ÈÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ò Ò Ð Ì Ñ Ë Ö ÓÒ Ø ÈÓÐ ËØÓ Ü Ò Å Ö Ø È Ý ¾¼¼ µ ¾

67 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÓÛ Ò ØÓ Ý Ò ÒÒÝÑ Ö ÞÓÑ Ø ÖÞÝ ÔÓ Ô ÛÒÝÑ Þ ¹ Þ ÞÝÒ Ø ÔÖÞ Û ÛÓ º ÅÓ ØÓ ÔÖÓÛ Þ Ó Þ Ñ Ò ØÖ Ò Ù Ð ÖÝÒ Ø ÞÞ ÐÒ Ò ÖÛÓÛÝ Ó Ö ¹ Ù ¹ ÔÖÞÝ ØÓ ÔÓØ Þ ÑÓ ÛØ Ý ÔÓ Û ÒØÝ ÓÖ Ð ¹ ÙÖ Û º Ð Ø Ó Ó ÖÛÙ Û ÖØÓ ÛÝ Ò Ý Ù¹ Þ H(t) ÑÓ Ò Ó ÞÝØ Ý Ò ÔÖÞ Ý ÔÓÔÖÞ Þ Ý Ö Ý Ò ÔÖÞ Ýµº Ò Ù Ö Ò ÖÓÞ ÛÝ Ò H Þ Ó Ø ØÒ ØÝ Þ µ H(t) 5 ÓÖ Þ ¾½ Ó Ø ØÒ Ñ ¹ µ H(t) 21 Þ Ó ÓÒÓ Ò ØÔÙ Û ÖÙÒ ÛÝ Ø Ô Ò Ý Ò Ù ÔÖÞ Ýº H Ø Û ØÖ Ò Þ Ñ Ð ÝÑ H(t) 5 < H(t) 21 ÓÔÙ Þ¹ Þ Ñ Ù ØÙ µ H(t) 21 0,5 H(t) 5 0,45 ÈÓ Û Ñ Ò Ñ H min (t) 0,4º Þ ÓÛ Ò ÛÝ Ò H ÓÖ Þ Ò Ù ÏÁ Û Ó ÓÐ ¹ Þ Ñ Ò ÖÝÒ Ù ÞÓ Ø ØÛ Ö ÞÓÒÝ Ý Ò ÔÖÞ Ý Ù Ñ¹ Ò ÙØÓ ÓÖ Ð µ ÔÖÞ ÝÑ Þ Ò»Û Þ Ñ º Ñ Ò Þ ½ º¼ º½ Öº ¹ Ô Ò Ù ÏÁ Ó ±º Ñ Ò Þ ¾¾º¼ º½ Öº ¹ Ô Ò Ù ÏÁ Ó ±º Ñ Ò Þ ½¾º¼ º¾¼¼ Öº ¹ Ô Ò Ù ÏÁ Ó ¾½±º ÏÛº Ò Ð Þ Ý ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒ Ò ÒÝ Þ Ó Ö Ó ¾ Ð Ô ¾¼¼ ÖÓ Ù Û Ó Ø ØÒ Ñ Ó Ö Ò Ð ÞÝ ÛÝ Ò H Ô Ø ÞÓ Ø ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ñ Ð Ð Ò ØÖ Ò Ùº Ä Ò Ø ÔÖÞ Û Ð Ó ¼ Ò ½½ ÛÖÞ Ò ¾¼¼ ÖÓ Ù Ó ÑÓ Ó Ý Ý Ò Ñ Þ Ð Ó Ö Ùº Ò ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ÖÓ Ù Ò ÏÁ Ó Ò ÛÓ ÐÓ ÐÒ Ñ ÑÙÑ Ò Ø Ô Ô ¹ ÖÝ Ù¹ Ò ¾º ½º

68 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Indeks WIG VI VI X 2007 r kolejne transakcje ÊÝ ÙÒ ¾º ½ ØÝÞÒ Þ ÓÛ Ò Ò Ù ÏÁ Û Ó Ö ÎÁº¾¼¼ ¹ ÎÁº¾¼¼ º ÏÝÔ Þ ÑÝ Ø Ö Þ ÔÖ ØÝÞÒ Ò ÖÞ Þ ØÓ ÓÛ Ò ÔÖÞÝ Ð Þ Ò Ù ÛÝ Ò ÀÙÖ Ø ÈÖÓ Ö ÑÝ ÓÑÔÙØ ÖÓÛ Ï ÔÖÓ Ö Ñ ÈÝØ ÓÒ ÒÔº Ð ÓØ ÈÝ Ó ØÔÒ Ò ÖÞ Þ Û ÔÖÓ Ö Ñ Ü Ðº ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÛÝ Ò ÀÙÖ Ø Ó ÔÖÞ Û ÝÛ Ò ÞÑ Ò ØÖ Ò¹ Û Ò Ï Ö Þ Û ÈÏ ¹ Ò Û Ò º ÇÔ º ÈÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ð ÑÝ Ò ÙÖ Û ½¾ Ô ÒÓØÓÛ ¹ ÒÝ Ò ÈÏ Û Ï Ö Þ Û Þ Ó Ö ½ ½ ¹ ¾¼¼ Öº ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ ÐÓ ÐÒ Ò Ð Þ ÞØÖ Ò ÓÛ µ Ó ÛÝ¹ Ð Þ Ò ÛÝ Ò Ý ÙÞ (H)º Ð Ñ Ý Ó ÔÓ ÞÙ Û Ò Ù ÑÒÝ ÙØÓ ÓÖ Ð Ý ÔÖÞ Û Þ ÞÑ ÒÝ Ù ÓØ ÖÑ ÒÓÛÝ ØÖ Ò Ûº Ãº ÓÑ ÒÓ Ì Í Ó Ø ÀÙÖ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ØÓ ÈÖ Ø Ò Ò ÌÖ Ò ÓÒ Ø Ï Ö Û ËØÓ Ü Ò È Ý ¼ ¾¼½½µ ½¼

69 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÏÝ Þ Ð ÑÝ ÔÓ Ý Ò Ð ÒØÝ ÓÖ Ð Ô Ù ÛÝ ¹ Ò Hµ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó Ò Ø ÞÑ Ò ØÖ Ò Ùº Ó Ò º Ó ÓÒÓ Û ÝØÙ Ö ÛÒÓÛ Ø Ó ØÖ Ò Ùµ ÙÖ Ý ÔÓÖÙ Þ ÛÞ Ù Ð Ò ØÖ Ò Ù Þ Ó Ø Ñ Ô ÛÒ Ó Ø ØÝ ØÝÞÒ Ó ÞÙÑÙº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ø ÖÝ ØÖ Ò Þ ÑÙ ÓÖÑÙ ÒÓÛÝ ØÖ Ò ÛÝ ØÔÙ ÔÖÞ ÞÓÛ ¹ Þ ÒÓÖÑ ÐÒ Ý¹ ÙÞ H = 0,5µ ÞÑ Ò Ò Þ ÒÓÑ ÐÒ Ù Ý ÙÞ H < 0,5µº ÈÓ Ó Ò ÔÖÞ ÞÓÛ Þ ÒÓÖÑ ÐÒ Ý ÙÞ ¹ Þ ÒÓ¹ Ñ ÐÒ Ý ÙÞ µ ÒÔº ÑÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÒÝº Ó ÝÐ ÑÝ Ô ÛÝ Ò H ÔÓÒ Û ÖØÓ ÔÖÓ Ó¹ Û H threshold Ø Ý Ò Ñ ÒØÝ ÓÖ Ð ÓÖ Þ Ý Ò Ñ ÞÑ ÒÝ ØÖ Ò Ùº ÏÝÐ ÞÝÐ ÑÝ Û ÐÙ ÔÓÖ ÛÒ Ò µ Û ½¼¼¼ ÔÙÒ ØÓÛ ØÖ Ò Ý Ó Ó ÔÓÛ ¼¼ Ò ÓÑ ÞÝÐ Ó ¾ Ð ØÓÑ Ò ÐÙ Ò ÈÏµº È ÖÛ ÞÝ ØÖ Ò Ó Þ Ý ÔÖÞ ÖÙ Þ ÞÝÒ Ý ÔÓ Ý Ò Ð ÒØÝ ÓÖ Ð º Æ Ð Ý Ò Ô Ñ Ø Ò ÙØÓ ÓÖ Ð ¹ Ø ØÝ ØÝÞÒÝ ÞÙÑ ÓÖ Þ Ö Ø ÓØ ÖÑ ÒÓÛ ØÖ Ò Ý ÑÓ Ñ ÛÔ ÝÛ Ò Û ÖØÓ ÛÝ Ò H Ð Ø Ó Þ ¹ ØÓ ÓÛÐ ÑÝ Ñ ØÓ ÛÝ Þ Ò ÒÝ ÓÔ Ò ÔÓÒ º ØÓ ÓÛ Ð ÑÝ Û ÖØÓ ÔÖÓ ÓÛ Û ÐÙ Ó ÞÝØ Ò Ý Ò Ù ÒØÝ ÓÖ Ð Û ÔÖÞ Þ Ð H threshold = [0,4,0,25] Û ÖØÓ Ø Ø ØÓØÒ ÑÒ Þ Ó H = 0,5º Ý Ó ÐØÖÓÛ Ø ØÝ ØÝÞÒÝ ÞÙÑ Þ Ó ÝÐ ÑÝ ØÓØÒÝ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ÛÝ ØÔÙ Ý ÔÓ Ö ÓÐ ÒÝ ÔÙÒ ¹ Ø Û ÒÝ ÙÖ Û µ Ô Ò ÓÒÝ Ø Û ÖÙÒ H < H threshold ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ð ÔÙÒ Ø Ûº

70 ¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Ñ Ò ØÖ Ò Ù Ø Þ ØÓ ÔÖÓ Ñ ÝÒ Ñ ÞÒÝÑ ÖÓÞÛ ¹ ÝÑ Û Þ º Ð Ø Ó ÛÝ Ò H ÑÓ Ô H < H threshold µ Ð Ö ÞÝ Ó ÞÛ Ö Ð ÞÑ Ò Ø Ó Ñ Ó Ù ÓÓ Ö ÓÛ Ó ØÖ Ò Ù ÐÙ ØÖ Ò Ù Ö Ø ÓØ ÖÑ ÒÓ¹ Û Óº Ð Ø Ó Þ Ó ÝÐ ÑÝ Ò Ò ÙÛÞ Ð Ò Ö Ø ÓØ ÖÑ ÒÓÛÝ ØÖ Ò Û Ö Ø ÞÝ Ò ¼¼ ÔÙÒ Ø Û ½ ¼ Ò µº Ï ÔÖÞ Þ Ð ¼¼ ÔÙÒ Ø Û ÙÛÞ Ð Ò Ð ÑÝ ØÝÐ Ó Ò Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð º ËÔÓ ÛÝÞÒ Þ Ò Ý Ò Û ÒØÝ ÓÖ Ð º Ð ÑÝ Û ÖØÓ ÔÖÓ ÓÛ Û ÔÖÞ Þ Ð H threshold = [0,4,0,25]º Ò Ð ÞÓÛ Ð ÑÝ ÔÙÒ ØÝ Ö Þ Ó Ð Ó ÔÓÞ Ø Ù Ó ÒÝ Ò Ó ½½¼ ÔÙÒ Ø Û Ý ÙÑÓ Ð Û ÛÝ ÓÒ Ò Ò Ð ÞÝ Þ ØÖ Ò Ñ º ÈÖÓ Ö Ñ ÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ ÔÓ ÞÙ Ù ÔÙÒ ØÙ Ð Ø Ö Ó H < H threshold º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÞÒ Ð Þ Ò Ø Ó ÔÙÒ ØÙ ÔÖ Û Þ ÞÝ Û Ö Ò ØÔÒÝ ÛÝ ØÔÙ ÔÖÞÝÒ ÑÒ ¾ ÔÙÒ ØÝ Ð Ø ÖÝ H < H threshold º Â Ð Ø ÔÖÓ Ö Ñ ÓÞÒ Þ Ø ÔÙÒ Ø Ó ØÓØÒÝ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð º Æ ØÔÒ ÔÖÓ Ö Ñ ÔÖÞ Ù Ó ¼¼ ÔÙÒ Ø Û Ó ÔÖÞÓ Ù ÞÙ Ð Ý Ò Ù ÒØÝ ÓÖ Ð º Ò Ð Þ ØÖ Ò Ûº Ð ÑÝ ¾ ØÖ Ò Ý Ó Ù Ó ½¼¼¼ Ô Ø ¼¼ Ò ¹ Ó ¾ Ð Ø µ Ýº È ÖÛ ÞÝ Ó ÞÝ Û ÔÙÒ Û Ø ÖÝÑ ÛÝ ÖÝØÓ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð º

71 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ½ ÊÝ ÙÒ ¾º ¾ Ñ Ò ØÖ Ò Ù ÓÖ Þ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð H < 0,4 ¹ Ã ÀÅº ÖÙ Þ ÞÝÒ Û ÔÙÒ Û Ø ÖÝÑ ÛÝ ÖÝØÓ Ý Ò ÒØÝ¹ ÓÖ Ð º Ð ÑÝ ÞÑ Ò ÖÙÒ Ù Ò ÝÐ Ò µ ØÖ Ò Û ÖÓ Ò Ý Ò Ñ Ð Ý ÐÙ Ó ÛÖÓØÒ µº Ð ÑÝ ÞÒ Ò ÝÐ Ò ØÖ Ò Ù Ø ÓÒ Ó ØÒ Ð ØÖ Ò Ø ÖÓ Ò Ý ÓÖ Þ Ù ÑÒÝ Ð ØÖ Ò Ø Ñ Ð Ýº ÈÖÞÝ Ý ÞÑ Ò Ò ÝÐ Ò ØÖ Ò Ù Û ÔÙÒ Ø Û Ø ÖÝ ÛÝ ØÔÙ Ý Ò ÒØÝ¹ ÓÖ Ð Ð Ö ÒÝ Ô µ ÔÖÞ Ø Û ÓÒÓ Ò ÖÝ ÙÒ ¾º ¾ ¹ ¾º º Ý ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ò Ð Þ Þ Ò ÓÛ ÒÓ Ò ØÔÙ Û Ð Ó 1000 (H threshold ) ¹ ÑÔ ÖÝÞÒ ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Þ Ñ ½¼¼¼ ÔÙÒ ØÓÛÝ ØÖ Ò ÞÑ Ò Û ÞÒ Û ÔÙÒ Û Ø ¹ ÖÝÑ ÛÝ ÖÝØÓ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð 1000 (H random ) ¹ ÑÔ ÖÝÞÒ ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Þ Ñ ½¼¼¼ ÔÙÒ ØÓÛÝ ØÖ Ò ÞÑ Ò Û ÞÒ Û ÐÓ ÓÛÓ ÛÝ Ö ÒÝÑ ÔÙÒ º ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ H threshold ØÓ Û ÖØÓ ÔÖÓ ÓÛ ÔÓÒ Ø Ö ÞÓ Ø Þ Ö ØÖÓ¹ Û ÒÝ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð º ÈÓÖ ÛÒ Ò Û»Û Û Ð Ó ÔÖÞ Ø ¹ Û ÓÒÓ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º º ÛÝ Ò ØÓ Ò ØÔÙ ÛÒ Ó º Ï ÖØÓ 1000 (H threshold ) = 0,52 0,62 Ó Þ Û Þ

72 ¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º Ñ Ò ØÖ Ò Ù ÓÖ Þ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð H < 0,4 ¹ ÃÓÔ Üº ÊÝ ÙÒ ¾º Ñ Ò ØÖ Ò Ù ÓÖ Þ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð H < 0,4 ¹ Ä ÒØ Üº

73 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÊÝ ÙÒ ¾º Ñ Ò ØÖ Ò Ù ÓÖ Þ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð H < 0,4 ¹ Ð Ñ º ÊÝ ÙÒ ¾º Ñ Ò ØÖ Ò Ù ÓÖ Þ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð H < 0,4 ¹ Ï Ãº

74 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º Ñ Ò ØÖ Ò Ù ÓÖ Þ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð H < 0,4 ¹ ÓÑ Ö º Ó Û ÖØÓ 1000 (H random ) = 0,46º ÇÞÒ Þ ØÓ ÞÑ Ò Ò ÝÐ Ò ØÖ Ò Ù Ó ØÒ Ò Ù ÑÒ ÐÙ Ú Ú Ö µ Ø Ö Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó Ò Û ÔÙÒ Û Ø ÖÝÑ ÔÓ Û Ý¹ Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Ò Û ÔÙÒ ÛÝ Ö ÒÝÑ ÐÓ ÓÛÓº ÁÑ ÑÒ Þ H threshold ØÝÑ Û Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÞÑ ÒÝ ÞÒ Ù ØÖ Ò Ùº ÖÙ ØÖÓÒÝ Ñ ÑÒ Þ H threshold ØÝÑ ÑÒ ÔÖÞÝÔ Û H < H threshold ÛÝÐ ÞÓÒÝ Ð Ò Ð ÞÓÛ ÒÝ ÙÖ Û ÑÒ Þ ØÓ ÓÛ ÐÒÓ Ñ ØÓ Ýµº Ð H threshold = 0,4 ÞÒ Ð Þ ÓÒÓ ¾ ¼ ÔÖÞÝÔ ÛH < H threshold Ð ÑÒ ÞÝ H threshold ÐÓ ÔÖÞÝÔ Û H < H threshold Ý ÞÒ ÞÒ ÑÒ Þ º Ý ÙÞÙÔ Ò ÛÝÒ ÔÖÞ Ø Û ÓÒ ÛÝ Ò Ð ÞÝ Þ ÒÓ ÞÑ ÒÝ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ ÔÓ Ý Ò Ð ÒØÝ ÓÖ Ð º ÈÖÞÝ Ð ÑÝ Þ Ó ¹ Ò Þ Ó ÓÒÓ Û ÖØÓ ÔÖÓ ÓÛ ÛÝ Ò ÀÙÖ Ø Ö ÛÒ H threshold = 0,4

75 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º 1000 (Hthreshold ) and 1000 (H random ) 0,70 0,68 0,66 0,64 0,62 0,60 0,58 0,56 0,54 0,52 0,50 0,48 0,46 0,44 0,42 0, (H threshold ) 1000 (H random ) 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 H threshold ÊÝ ÙÒ ¾º ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÞÑ ÒÝ ØÖ Ò Ù Û ÔÙÒ Ø Û Ø ÖÝÑ ÛÝ ÖÝØÓ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ÓÖ Þ ÔÙÒ Ø ÛÝ Ö ÒÝ ÐÓ ÓÛÓº Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Ó Þ ØÓØÒÝ Ý 1000 (H threshold ) 1000 (H random ) = 0,055 ØÛ Ö ÞÓÒÓ ¾ ¼ Ý Ò Û ÒØÝ ÓÖ Ð Ð ½¾ ÒÝ Ô ÒÓØÓÛ ÒÝ Ò ÈÏ Û Ï Ö Þ Û º ËÝ Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ¹ Ñ ØÓ ÛÝÞÒ Þ Ò ØÓØÒ Ó Ý Ò Ù ÛÝ Ò Ý ÙÞ ÑÙ Ô ÔÓÒ Û ÖØÓ ÔÖÓ ÓÛ H < H threshold = 0,4 Û Ö ÓÐ ÒÝ Û ÖØÓ ÛÝ Ò Ý ÙÞ ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ô Ò Û»Û Û ÖÙÒ Û Ó Ò Ó Ù Ó ¼¼ Ô Øº ½ ¼ Ò µ ÑÓ ÛÝ ØÔÓÛ ØÝÐ Ó Ò Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð º ÒÓ ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Þ Ó Ö Û ¼¼ Ô Ø ¹ ¾ ¼ Ò ÖÓ µ ¼¼ Ô Ø ¹ ¼¼ Ò ¼¼ Ô Ø ¹ ¼ Ò

76 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ¼¼ Ô Ø ¹ ¼¼ Ò ¼¼ Ô Ø ¹ ¼ Ò ½¼¼¼ Ô Ø ¹ ¼¼ Ò ¾ Ð Ø µº Æ Ð Ý ØÙØ ÔÖÞÝÔÓÑÒ ÒÓ Û ÙÖ Ý Þ ÒÒ ¹ ÙÖ ÓØÛ Ö ÓÖ Þ ÙÖ Þ Ñ Ò Ð Ø Ó ¾ ÔÙÒ ØÝ Ó ÔÓÛ Ò ÑÙ Ò Ùº ËØÓÔ ÞÛÖÓØÙ Þ Ó Ö ¼¼ Ô Øº ½ ÖÓ µ ÞÓ Ø Ó Ð ÞÓÒ Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ ÛÝÞÒ Þ ÑÝ Þ Ö Ó Ù Ó ¼ Ô Øº Þ ÞÝÒ Ý Û ÔÙÒ τ ÔÖÞ Þ Ô ÖÛ Þ ¼ Ô Øº Þ ÝÑ Ö Þ Ñ ÙÔÙ ÑÝ ½ ÛÝ ÑÝ ÛÝ Ø = P(τ)+P(τ+1)+P(τ+2)+...+P(τ+49) = Þ ÞÝÒ ÑÝ ÔÖÞ Û Û ÔÙÒ τ +500 ÔÖÞ ÑÝ ÔÓ Ò Ó ÔÙÒ ØÙ τ +549 ÔÖÞÝ Þ ÔÖÞ Ý Ó Ö Ð ÛÞ Ö ÔÖÞÝ = P(τ+500)+P(τ+501)+...+P(τ+549)= τ+49 t=τ ¾º½¼ µ τ+549 t=τ +500 ¾º½¼ µ ÈÓ Þ ÓÔ Ò Û ØÝÑ ÖÓÞ Þ Ð Ò Ð ÞÝ Ò ÙÛÞ Ð Ò ÓÒÓ Ó Þ¹ Ø Û ØÖ Ò Ó ÞÝÒ Ò Ð Þ ÔÖÞÝ Ð ÓÒ º ËØÓÔ ÞÛÖÓØÙ Þ Ó Ö ¼¼ Ô Øº ÞÝ ÐÙ ØÖ Øµ Ó Ö Ð ÛÞ Ö ÞÝ = ÔÖÞÝ ÛÝ Ø = τ+549 t=τ +500 P(t) τ+49 t=τ P(t). ¾º½¼ µ P(t), P(t).

77 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÅÓ ÑÝ Ö ÛÒ ÛÝÞÒ ÞÝ ÞÝ ÔÖÓ ÒØÓÛÝ ÞÝ ÔÖÓ ÒØÓÛÝ = ÞÝ ÛÝ Ø = ÔÖÞÝ ÛÝ Ø ÛÝ Ø τ+549 t=τ+500 = P(t) τ+49 t=τ P(t) τ+49. t=τ P(t) Ý ÙÑÓ Ð Û ÔÓÖ ÛÒ Ò Ø Ô ÞÛÖÓØÙ Þ ÒÛ ØÝ Ò Ö Ò Ó Ö Ý ¼¼ ¹ ½¼¼¼ Ô Øºµ Ò Ù ÑÝ Ö Ò ÔÖÓ ÒØÓÛ ØÓÔ ÞÛÖÓØÙ Û Ó Ò Ò Ù Ó ½¼¼ Ô Øº ¼ Ò µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÒÛ ØÝ Ò Ó Ö ¼¼ Ô Øº ¾ ¼ Ò µ Ò Ù ÑÝ R 500 (τ) = ÞÝ ÔÖÓ ÒØÓÛÝ 5 = τ+549 t=τ+500 P(t) τ+49 t=τ P(t) 5 τ+49 t=τ P(t) ¾º½¼ µ ÈÓ Ó Ò ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ö Ò ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Ð ÒÛ ØÝ Ò ÒÒ Ó Ö Ý. R 600 (τ) = R 700 (τ) = R 800 (τ) = R 900 (τ) = R 1000 (τ) = ÞÝ ÔÖÓ ÒØÓÛÝ 6 ÞÝ ÔÖÓ ÒØÓÛÝ 7 ÞÝ ÔÖÓ ÒØÓÛÝ 8 ÞÝ ÔÖÓ ÒØÓÛÝ 9 ÞÝ ÔÖÓ ÒØÓÛÝ 10 = = = = = τ+659 t=τ+600 P(t) τ+59 t=τ P(t) 6 τ+59 t=τ P(t) τ+769 t=τ+700 P(t) τ+69 7 τ+69 t=τ P(t) τ+879 t=τ+800 P(t) τ+79 8 τ+79 t=τ P(t) τ+989 t=τ+900 P(t) τ+89 9 τ+89 t=τ P(t) τ+1099 t=τ+1000 P(t) τ τ+99 t=τ P(t), ¾º½½¼µ t=τ P(t), ¾º½½½µ t=τ P(t), ¾º½½¾µ t=τ P(t), ¾º½½ µ t=τ P(t), ¾º½½ µ

78 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Ó ÐÒ R l (τ) = τ+l+ l 10 1 t=τ+l ( l 100 P(t) τ+ l 10 1 t=τ ) τ+ l 10 1 t=τ P(t) ËÔÓ Þ ÙÔÙ ÔÖÞ Ý ÓÑ Û Ò P(t). ¾º½½ µ Þ ÙÔ ÔÖÞ Ó ÝÛ Û Ó Ò Þ ÓÛÝÑ Ó Ù Ó¹ 50, 60, Ð ÒÛ ØÝ Ó Ù Ó l = 500, 600, Ó ÐÒ Ó ÒÓ Þ ÙÔÙ ÔÖÞ Ý Ø Ö ÛÒ Ù Ó Ó Ò ÒÛ ØÝ l 10 Þ l ØÓ ÔÓÞÛ Ð ØÓ Ù Ö Ò ÛÝÒ ÛÞ Ð Ñ Ö Ø ÓØ ÖÑ ÒÓÛÝ Ù ¹ ØÙ Ù Ý Ö Ò Û Ó Ò Ò Ù Ó ½¼¼ ÔÙÒ Ø Û ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ R l ÔÓÞÛ Ð Ò ÔÓÖ ÛÒ Ò Û Ð Ó R l Ð Ö ÒÝ Û Ð Ó lº Æ ØÔÒ ÛÝÐ ÞÓÒÓ Ö Ò Û ÓÐ ÒÝ ÔÖÓ ÒØÓÛÝ Ø Ô ÞÛÖÓØÙº ÏÝ ÓÒ Ò ØÖ Ò ÔÖÞ Ø Û ÖÝ ÙÒ ¾º ÓÖ Þ ÔÓ¹ Ò Þ ÔÖÓ ÙÖ Þ Ó ÑÝ ÔÙÒ Ø τ = d ØÓ Ô ÖÛ ÞÝ ÔÙÒ Ø ÔÙÒ ØÓÛ Ó Ý Ò Ù ÒØÝ ÓÖ Ð Ò Ù ÑÝ Ö Ò ÔÖÓ ÒØÓÛÝ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ ( R l = R l (d+6) R l d l l ) ¾º½½ µ ËÔÓÖÞ ÞÓÒÓ ÖÓÞ Ý ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ð Ò ØÔÙ¹ Ý Û Ð Ó Ö Ò ÔÖÓ ÒØÓÛÝ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ R l (d) ¹ ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ð ÔÙÒ Ø Û d Û Ø ÖÝ ÛÝ ÖÝØÓ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð H < H threshold Ó ÐÒ ÛÝ ÖÝØÓ ¾ ¼ Ý Ò Û ÒØÝ ÓÖ Ð

79 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÊÝ ÙÒ ¾º ÈÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒ ØÖ Ò º ÊÝ ÙÒ ¾º ¼ ÓÔ ÓÛ Ò ÖÓÞ Ù ÄÓÖ ÒØÞ Ó ÒÝ R 1000 º ÊÝ ÙÒ ¾º ½ ÃÖÞÝÛ ÄÓÖ ÒØÞ ÓÔ ÓÛ Ò Ó R 1000 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ ÓÖ Þ R 900 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº

80 ¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º ¾ ÃÖÞÝÛ ÄÓÖ ÒØÞ ÓÔ ÓÛ Ò Ó R 800 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ ÓÖ Þ R 700 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº ÊÝ ÙÒ ¾º ÃÖÞÝÛ ÄÓÖ ÒØÞ ÓÔ ÓÛ Ò Ó R 600 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ ÓÖ Þ R 500 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº

81 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ½ Ö Ò ÔÖÓ ÒØÓÛÝ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ R l (τ random ) ¹ ÛÝÞÒ ¹ ÞÓÒ Ð ¾ ¼ ÔÙÒ Ø Û ÛÝ Ö ÒÝ ÐÓ ÓÛÓº Ó ÒÝ ÓÔ ÓÛ ÒÓ ÖÓÞ ÄÓÖ ÒØÞ ÖÝ ÙÒ ¾º ¼ Ó ÔÖÞÝ¹ ÓÔ ÓÛ Ò µ Þ Ó Ò Þ Ö ÛÒ Ò Ñ ρ( R) = 2A π γ γ 2 +4( R R 0 ) 2. ¾º½½ µ ÏÝ Ö ÒÓ ÖÓÞ ÄÓÖ ÒØÞ Ý ÖÓÞ Ù Ò ÓÔ Ù Ó¹ ÖÞ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ Ò ÙÛÞ Ð Ò ÛÝ Ø ÖÞ Ó Û ÖØÓ ØÖ ¹ Ñ ÐÒÝ Ø ÞÛ ÒÝ ÖÙ Ý Ó ÓÒ Û Ó ÞÝÑ ÑÓ Û ÞÝ Ø ØÝ Ø ØÝ ØÝÞÒ µº Ê ÛÒ Ò ¾º½½ ÑÓ Ò Þ Ô ρ(x) 1 = 2Aa π 1 x 2 +4a 2, ¾º½½ µ Þ a = γ 4, x = R R 0. Â Û Þ ÖÝ ÙÒ Û ÖÝ¹ ÙÒ ¾º ½ ¹ ¾º µ Û Ð Ó R(τ random ) Ñ Û Þ Û ÖØÓ ÑÓ ÐÒ Ó ÞÛ Ö Ð Ö ÞÑ ÒÝ ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ ÓÖ Þ ÑÒ ¹ Þ Û ÖØÓ ÔÓÞ ÑÓ ÐÒ Ó ÞÛ Ö Ð ÞÑ ÒÝ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ R 0 0µº Ç ÛÖÓØÒ ÝØÙ Þ Ó Þ Û ÔÖÞÝÔ Ù R(d)º Ð Ø Ó ÞÑ Ò ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Ø Ö Þ ÔÖ Û ÓÔÓ¹ Ó Ò Û ÔÙÒ Þ ÛÝ ÖÝØÓ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Ò Û ÔÙÒ ÛÝ Ö ÒÝÑ ÐÓ ÓÛÓº È ØÖÞ Þ ÒÒ ØÖÓÒÝ Ñ Û Þ Û ÖØÓ γ ØÝÑ Û ÖÓÞ Þ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÛÝ ØÔÙ ÑÒ ÔÙÒ Ø Û Ð R 0 ÓÖ Þ Û ÔÙÒ Ø Û Ð R 0º Ï ÖØÓ Û Ô ÞÝÒÒ γ ÓØÖÞÝÑ Ò ÔÖÞ Þ ÓÔ ÓÛ Ò ÖÓÞ¹ Û ÄÓÖ ÒØÞ ÖÝ º ¾º ¼ ¹ ¾º µ ÞÓ Ø Ý ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ò ÖÝ¹ ÙÒ Ù ¾º º Á Ò Ð Þ ÔÓØÛ Ö Þ Û ÖÓÞ Þ ØÓ ÔÖ Û¹ ÓÔÓ Ó ØÛ Û Ð Ó R(d) ÛÝ ØÔÙ ÑÒ ÔÙÒ Ø Û Ô ¹ Ò Ý R 0 ÓÖ Þ Û ÔÙÒ Ø Û Ô Ò Ý R 0 Ò Û ÖÓÞ Þ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Û Ð Ó R(τ random ) Ó Ö Þ ÞÞ ÔÓØÛ Ö Þ Ò ÔÓØ Þº Ý Ù

82 ¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º Ï Ô ÞÝÒÒ γ Þ Ö ÛÒ Ò ¾º½ º Ò ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒ Ð ÈÏ Û Ï Ö Þ Û ÛÝ ÖÝ Ý Ý Ò Ý ÒØÝ ÓÖ Ð H < H threshold ÔÓ Ø ÖÝ ÔÖ Û¹ ÓÔÓ Ó Ò Ø ÞÑ Ò ØÖ Ò Ù ÈÏ Û Ï Ö Þ Û Ø ÖÝÒ Ñ ÖÓÞÛ ÝÑ ¹ Ð Ø Ó ÑÓ Ò ÔÖÞ Û ÝÛ ÛÝ ØÔÙ Ò Ò ÙØÓ ÓÖ Ð ÙÖ¹ Û Ò Ò Ð Ó Ý ÔÓÛØ ÖÞÝ Ð ÖÝÒ Û ÖÓÞÛ Ò ØÝ ¹ ÒÔº Û ÆÓÛÝÑ ÂÓÖ Ù ÄÓÒ ÝÒ ØÔººº ÔÓ Þ Ò ÙÛÞ Ð Ò ÓÒÓ Ó ÞØ Û ØÖ Ò Ó ÞÝÒ Ò ÔÖÞÝ Ð ÓÒÝÑ º ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÛÝ Ò Ý ÙÞ Ó Ò Ð ÞÝ ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ¹ ÑÙÑ Ò Ù ÏÁ ¾¼ Þ Ò ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ Öº ¹ Ò Û ¹ Ò º Å ØÓ ÓÐÓ ØÖ ÞÞ Ò Ãº ÓÑ ÒÓ Ì Ù Ó Ø ÀÙÖ Ø ÜÔÓÒ ÒØ ØÓ ÒÚ Ø Ø Ø ÐÓ Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ó Ø Ï Ö Û ËØÓ Ü Ò ÏÁ ¾¼ Ò Ü È Ý ½ ¾¼½¾µ ½ ½

83 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º Ò ÐÓ ÔÓÑ ÞÝ ÖÝÒ Ñ Ò Ò ÓÛÝÑ ÝÒ Ñ ÞÒÝÑ Ù ¹ Ñ Þ Ó ÓÒÝÑ Ò Ò ÞÑ ÒÒ ÞÓ ÐÓÛ Ò ÛÝ Ò Ý ÙÞ Hµ Ø ÔÓÛ Þ ÒÝ Þ Ò ÞÑ ÒÒ ÞÓ ÐÓÛ Ò ÛÝ ØÔÓÛ Ò ÐÓ ¹Ô Ö Ó ÝÞÒÝ Ó ÝÐ ÔÖÞ Þ Ñ Ò Ñ ÖÝÒ Ù ÐÓ ÐÒÝ ÛÝ Ò H Ô ÔÓÒ Û ÖØÓ 0,5 Û ÔÖÞÝ¹ Ô Ù ÔÓ Û Ò ÐÓ ¹Ô Ö Ó ÝÞÒÝ Ó ÝÐ º ÁÒ ÏÁ ¾¼ Ó ÞÛ Ö Ð ¾¼ Ò Û ÞÝ Ò Ö Þ Ô ÝÒ¹ ÒÝ Ô ÒÓØÓÛ ÒÝ Ò ÈÏ Û Ï Ö Þ Û WIG20(t) = M(t) I(t = 0), K(t)M(t = 0) ¾º½½ µ Þ M(t) ¹ Ô Ø Ð Þ ÔÓÖØ Ð ÏÁ ¾¼ I(t = 0) = 1000 ¹ ÞÓÛ Û ÖØÓ Ò Ù Þ Ò ½ Û ØÒ ½ K(t) ¹ Û Ô ÞÝÒÒ ÓÖÝ Ù Ý Ò º Ã Ô Ø Ð Þ Ø Ö ÛÒ Þ M(t) = 20 i=1 P(i, t)q(i, t), ¾º½¾¼µ P ¹ Ò ¹Ø Ó Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ ÓÛ Ó Q ¹ ÐÓ ¹Ø Ó Ô Ô ÖÙ Û ÖØÓ ÓÛ Óº

84 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÇØÖÞÝÑÙ ÑÝ 20 i=1 WIG20(t) = 1000 P(i,t)Q(i,t) K(t) 20 ¾º½¾½µ i=1p(i,t = 0)Q(i,t = 0). ËÔ Ò Ò ÏÁ ¾¼ ÛÝÞÒ Þ Ò ÔÓ Ø Û Ó Ø ØÒ ØÝÞÒ Û ØÒ ÖÔÒ Ô õ Þ ÖÒ ÑÓ Ò ÛÝ Ø Ô Ö ÛÒ Ó Ø ÓÛ ÞÑ ÒÝº Ï ÑÓÑ Ò ÞÑ ÒÝ Ù Ò Ù ÞÑ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Kº ÆÓÛÝ Û Ô ÞÝÒÒ Ø Ö ÛÒÝ K(t) = M(t) M(t ) K(t ), ¾º½¾¾µ ÔÖÞÝ ÞÝÑ K(t = 0) = 1º ÈÓÒ Û ÛÝÖ Ò 20 i=1 P(i,t = 0)Q(i,t = 0) ÓÖ Þ I(t = 0) = 1000 Ø ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Þ 20 WIG20(t) = const i=1 Q(i, t) K(t) P(i,t) 20 WIG20(t) = const w(i,t)p(i,t) i=1 w(i,t) Q(i,t) K(t) w(i,t) ØÓ Ù Þ Ô Û Ò º 20 i=1 w(i,t) = 1 ¾º½¾ µ ¾º½¾ µ ¾º½¾ µ ¾º½¾ µ w(i,t) ÙÐ ÞÑ Ò Ð ÙÐ Ò ÞÑ Ò ÐÓ Ò Ô ÐÙ Ò Ù ÏÁ ¾¼º ÈÖÞ Ò Ð ÞÙ ÑÝ Þ ÓÛ Ò Ò Ù ÏÁ ¾¼ ÖÝ ÙÒ ¾º µº ÈÓÞ Ø ÒÓØÓÛ ½ Û ØÒ ½ ÖÓ Ùº

85 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÊÝ ÙÒ ¾º Ò ÏÁ ¾¼ Þ Ó ÓÒÓ Ø ¼ Ð ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ Öº ÁÒ Ó Ò ÐÓ ÐÒ Ñ ÑÙÑ Ò ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ÖÓ Ù Ô Øº ¹ ÙÖ ÓØÛ Ö µº Æ ØÔÒ Ò Ø Ô Ó ØÖÝ Ô Ó Û ÖØÓ ½ ¾ Ô Øº Ó Ò Ø Ò ¾ ÐÙØ Ó ¾¼¼ ÖÓ Ù ÙÖ ÓØÛ Ö µº Ï Ù ¾ Ò Ò Ô Ó 66% ¹ Ò Ø Ô Ö º ÈÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒ Ò º ÒÓ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Û ÔÓ Ð Ù ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ÑÙÑ Þ ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ÖÓ Ùº Ó Ù ÝØÓ Ò Ù ÏÁ ¾¼ Þ Ò ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ Öº Ó Ö ÐÓÒ Ó Û ÔÓÒ Þ Ø Ð º

86 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Ô Û µ Ô Û µ ½ ÈÃÇ È ½ ± ½½ ÈÇÄÁÅ ÅË ¾ ± ¾ È Ã Ç ½ ± ½¾ ÌÎÆ ¾ ½± ÈÃÆÇÊÄ Æ ½¾ ± ½ È ¾ ¾¼± Ã ÀÅ ½¼ ± ½ ¾ ½½± ÌÈË ¼ ± ½ Ö Ò Ø ¾ ¼ ± ÆÃ ÈÀ ¾ ± ½ ÄÓØÓ ½ ± Ï Ã ¾± ½ ÓØÓÒ ½ ± Ì ± ½ ÓÖ ½ ¾± Ê ± ½ ÈÖÓ ÓÑ ½ ¾ ± ½¼ È ÆÁ ¾ ± ¾¼ ÈÓÐÒÓÖ ¼ ± Ð ØÓÖ ØÖ Ò Ô ÞÓ Ø ÛÝÐ ÞÓÒÝ ÛÝ¹ Ò ÀÙÖ Ø ØÓ Ù Ó ÒÓ Þ ÓÛ Ó Ù Ó Nº Æ ØÔÒ Û ÖØÓ ÛÝ Ò ÀÙÖ Ø ÞÓ Ø ÓÖ ÞÓÛÓ ÔÖÞÝÔ Ò Ó Ó Ø ØÒ Ó ÔÙÒ ØÙ ÓÔ Ò Ó ÛÝ Ó Ò Þ ÓÛ Ó Þ Þ ÑÙ ÛÝ Ò ÀÙÖ Ø Ý ÛÝÐ Þ ÒÝ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÒÝ ÔÖÞ ¹ Þ Ý ÓÖ Þ Ø Ö õò ÞÝ Ñ Ý ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝ Ó Û õò Ð ÔÖÞÝ Þ Ý ÒÝ µº Æ ØÔÒ ÑÝ Þ Ö Þ ÓÛÝ ÛÝ¹ Ò Û H Û ÞÙÔ Ò ÒÒÝÑ Ó Ò Þ ÓÛÝÑ Ó Ù Ó tº Ò Ù ÑÝ R H threshold N,i (t) ¹ Ñ Ö Þ ØÓØÐ ÛÓ Þ ÛÝ Ò H ÛÝ¹ Ð ÞÓÒÝ Ð Ó Ò N Ó ÒÓ Þ ÓÛ Ù ÝØ Ó ÛÝÐ Þ Ò ÛÝ¹ Ò Ý ÙÞ Þ ÙÖ Û µ ÓÖ Þ ¹Ø Ô Þ Ò Ù ÏÁ ¾¼ Ô ÔÓÒ Û ÖØÓ ÔÖÓ ÓÛ H threshold Û Ó Ò Þ ÓÛÝÑ Ó Ù Ó t Ó ÒÓ Þ ÓÛ Ù ÝØ Ó Ò Ð ÞÝ ¹ ÒÝ Û ÖØÓ ÛÝ Ò Û Ý ÙÞ µ Ö Ò Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Û Ó Ò Þ ÓÛÝÑ t ÓÖ Þ Ð 20 Ô Ò Ð Ý Ó Ò Ù ÏÁ ¾¼ Q H threshold N (t) = 20 i=1 RH threshold N,i 20 t (t) ; ¾º½¾ µ

87 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º Ö Ò Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ÙÛÞ Ð Ò Ý Û w(i) Ù Þ ¹Ø Ô Û Ò ÏÁ ¾¼µ Qw H threshold N (t) = 20 i=1 w(i)rh threshold N,i (t) ; ¾º½¾ µ 20 t t ØÓ Ó ÒÓ Þ ÓÛ Ù ÝØ Ó Ò ÛÝ Ò Ý ÙÞ H Û ÔÓ Ð Ù ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ÑÙÑ ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ Öº Ï ÐÙ ÛÝÐ Þ Ò ÐÓ ÐÒ Ó Ý Ò Ù ÒØÝ ÓÖ Ð Ð Ó Ó Ö Ù ÒÓØÓÛ ÑÝ ÛÝ Ò Ý ÙÞ Û Ó Ò Þ ÓÛÝÑ Ó Ù Ó T Ó ÔÓÛ ÝÑ ØÓÖ ÒÓØÓÛ ¾¼ Ô Ò ¹ Ð Ý Ó Ò Ù ÏÁ ¾¼ Ò Ù Þ Ò ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ Öºµº Ò Ù ÑÝ Ö Ò Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ¹ Ö Ò ÔÓ Ó Ò Þ ÓÛÝÑ T ÓÖ Þ ¾¼ Ô Q H threshold N (T) = i=1 R H threshold N,i (T(i)) ; ¾º½¾ µ T(i) Ö Ò Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ¹ ÙÛÞ Ð Ò Ý Û w(i) Qw H threshold N (T) = i=1 w(i)r H threshold N,i T(i) (T(i)) ; ¾º½ ¼µ Þ T(i) ØÓ Ý Ó Ö ÒÓØÓÛ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Ô µº Ï ÐÙ ÛÝÐ Þ Ò ÛÞ Ð Ò Ó Ý Ò Ù ÒØÝ ÓÖ Ð Û Ó Ò Þ ¹ ÓÛÝÑ Ó Ù Ó t Û Ó ÓÐ ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ÑÙÑµ Ó Ý¹ Ò Ù ÒØÝ ÓÖ Ð Û Ó ÓÐ ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ÑÙÑ Ó ÑÙ¹ ÑÝ ÐÓ ÐÒÝ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Ò Ù ÑÝ ÛÞ Ð Ò Ñ Ö ÒØÝ ÓÖ Ð Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Û Q H threshold N (t) = Q H threshold N (t) Q H threshold N (T); ¾º½ ½µ

88 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ (t), Q H threshold (T) Q H threshold 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 Q 0, (t) Q 0.42 (T) 250 Q (t) Q 0.40 (T) 250 Q (t) Q 0.38 (T) 250 Q (t) Q 0.36 (T) 250 (t), Q H threshold (T) Q H threshold 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 Q (t) Q 0.42 (T) 500 Q (t) Q 0.40 (T) 500 Q (t) Q 0.38 (T) 500 Q (t) Q 0.36 (T) 500 0, t -0, t ÊÝ ÙÒ ¾º ËÝ Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ¹ Ð N = 250 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ 500 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµ Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Û º (t), Q H threshold (T) Q H threshold 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00-0, t Q (t) Q 0.42 (T) 1000 Q (t) Q 0.40 (T) 1000 Q (t) Q 0.38 (T) 1000 Q (t) Q 0.36 (T) 1000 (t), Qw H threshold (T) Qw H threshold 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00-0, t Qw (t) Qw 0.42 (T) 1000 Qw (t) Qw 0.40 (T) 1000 Qw (t) Qw 0.38 (T) 1000 Qw (t) Qw 0.36 (T) 1000 ÊÝ ÙÒ ¾º ËÝ Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ¹ Ð N = 1000 Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ñ Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ ÓÖ Þ Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Û ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº

89 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º (t), Qw H threshold (T) Qw H threshold 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00-0, t Qw (t) Qw 0.42 (T) 250 Qw (t) Qw 0.40 (T) 250 Qw (t) Qw 0.38 (T) 250 Qw (t) Qw 0.36 (T) 250 (t), Qw H threshold (T) Qw H threshold 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00-0, t Qw (t) Qw 0.42 (T) 500 Qw (t) Qw 0.40 (T) 500 Qw (t) Qw 0.38 (T) 500 Qw (t) Qw 0.36 (T) 500 ÊÝ ÙÒ ¾º ËÝ Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ¹ Ð N = 250 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ 500 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµ Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ñ Û º Q H threshold (t) 250 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 Q H threshold (t) 500 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 Q 0.42 Q 0.40 Q 0.38 Q (t) 500(t) 500(t) 500(t) 0,00-0,05-0, t Q 0.42 Q 0.40 Q 0.38 Q (t) 250(t) 250(t) 250(t) 0,00-0,05-0, t ÊÝ ÙÒ ¾º ÏÞ Ð ÒÝ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ¹ Ð N = 250 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ 500 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµ Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Û º Q H threshold (t) ,25 0,20 0,15 0,10 0,05 Q (t) Q (t) Q (t) Q (t) Qw H threshold (t) ,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 Qw (t) Qw (t) Qw (t) Qw (t) 0,00 0,00-0,05-0, t -0, t ÊÝ ÙÒ ¾º ¼ ÏÞ Ð ÒÝ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ¹ Ð N = 1000 Þ ÙÛÞ Ð Ò ¹ Ò Ñ Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ ÓÖ Þ Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Û ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº

90 ¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Qw H threshold (t) 250 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00-0,05-0, t Qw 0.42 Qw 0.40 Qw 0.38 Qw (t) 250(t) 250(t) 250(t) Qw H threshold (t) 500 0,50 Qw ,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00-0,05-0, t 500(t) 500(t) 500(t) 500(t) Qw 0.40 Qw 0.38 Qw 0.36 ÊÝ ÙÒ ¾º ½ ÏÞ Ð ÒÝ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ¹ Ð N = 250 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ 500 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµ Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ñ Û º ÛÞ Ð Ò Ñ Ö ÒØÝ ÓÖ Ð Þ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ñ Û Qw H threshold N (t) = Qw H threshold N (t) Qw H threshold N (T). ¾º½ ¾µ ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Ø ¼ Ð ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ Öº ÁÑ Û ¹ Þ Q H threshold N (t) ÓÖ Þ Qw H threshold N (t) ØÝÑ ÐÒ ÞÝ ÛÞ Ð ÒÝ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Ð Ó Ò Þ ÓÛ Ó t Û ÔÓ Ð Ù ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ÑÙÑº ÃÓÑ ÒØÙ ÖÝ ÙÒ ¾º ¹ ¾º ½µ Ò Ð Ý Þ ÙÛ Ý ØÛ Ö ÞÓÒÓ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Ð Ò ØÔÙ Ý Ô Ö Ñ ØÖ Û Ó Ò Þ ÓÛ Ó Ù ÝØ Ó Ó ÛÝÐ Þ Ò ÛÝ Ò Ý ÙÞ N = 250,500,1000 ÖÙ Ó Ó Ò Þ ÓÛ Ó Ù ÝØ Ó Ó Ò Ð ÞÝ ÛÝ Ò Ý¹ ÙÞ Û Ó ÓÐ ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ÑÙÑ Û ÔÖÞ Þ Ð 50 t 50 Ù ÑÒ Û ÖØÓ t ÓÞÒ Þ Ó ÒÓ Þ ÓÛ Ó Þ Û ÔÙÒ ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ÑÙÑ Ó ØÒ Û ÖØÓ t ØÓ Ó ÒÓ Þ ÓÛ Þ ÞÝÒ Û ÔÙÒ ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ¹ ÑÙÑ ÒÔº Ð t = 50 ÑÝ ÛÝ Ò Ý ÙÞ Û ¼ ÔÙÒ ØÓÛÝÑ Ó Ò Þ ÓÛÝÑ Ó Þ ÝÑ Û ÔÙÒ ÐÓ¹ ÐÒ Ó Ñ ÑÙÑ Ò ØÓÑ Ø Ð t = 10 ÑÝ ÛÝ Ò Ý ÙÞ Û ½¼ ÔÙÒ ØÓÛÝÑ Ó Ò Þ ÓÛÝÑ Þ ÞÝÒ ÝÑ Û ÔÙÒ ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ÑÙÑµ

91 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ½ Û ÖØÓ ÔÖÓ ÓÛ ÛÝ Ò Ý ÙÞ ÔÓ Ø Ö Ö ØÖÙ ÑÝ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Û ÔÖÞ Þ Ð 0,38 H threshold 0,42 Ó Ø ÓÛÓ ØÛ Ö ÞÓÒÓ Ý Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Ð H threshold = 0,36 ÖÝ ÙÒ ¾º ¹ ¾º ½µº Ý ÙÞÙÔ Ò Ò ÔÓÖÞ ÞÓÒÓ ÞÒÓÖÑ Ð ÞÓÛ ÒÝ ÙÑÙ¹ ÐÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Û ÖØÓ ÛÝ Ò H Ð ÓÔ ÒÝ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Û ÖÝ ÙÒ ¾º ¾ ¹ ¾º µº Í ÝØÓ Ò ØÔÙ Ý Ó Ò Þ ÓÛÝ Ó Ó Ð Þ Ò ÛÝ ¹ Ò Ý ÙÞ N = 250,500,1000 ÛÝ Ò H ÛÝÐ ÞÓÒÓ Ó Ó ÒÓ Ð Þ ¾¼ Ô Ò Ð ¹ Ý Ó Ò Ù ÏÁ ¾¼ ÛÝ Ò ÛÝÐ ÞÓÒÓ Þ Ó Ö Û ÔÓ Ð Ù ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ¹ ÑÙÑ Þ Ò ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ ÖÓ Ù Ó ÑÓ Ò ÓÔ ÔÖÞ Þ t = 50, 10,10,50 Ð ÔÓÖ ÛÒ Ò ÛÝÐ ÞÓÒÓ ÛÝ Ò H Þ Ý Ó Ö Ò ÐÙ Ô Ñ ÓÔ ÒÝ Ó T º ÏÝÐ ÞÓÒÓ H N (T) ¹ ÛÝ Ò ÀÙÖ Ø H Þ Ý Ó Ö ÒÓØÓÛ Û ÞÝ Ø¹ Ô Þ ÏÁ ¾¼ Ò Ù Þ Ò ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ Öµ H N (t) ¹ ÛÝ Ò H Ð Û ÞÝ Ø Ô Þ ÏÁ ¾¼ Þ Ó Ö t Û ÔÓ Ð Ù ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ÑÙÑ ¹ t = 0 Ð ¾ Ô õ¹ Þ ÖÒ ¾¼¼ Öµ H N (T) shuff ¹ ÛÝ Ò H Þ Ý Ó Ö ÒÓØÓÛ Û ÞÝ Ø Ô Þ ÏÁ ¾¼ ÛÝÐ ÞÓÒÝ Þ Ù Ý Ñ ÞØÙÞÒ Ó Þ Ö Ù Ò ÔÓÛ Ø Ó ÔÓ ÐÓ ÓÛÝÑ ÛÝÑ Þ Ò Ù Ø Ô ÞÛÖÓØÙ ÔÖÓ ÙÖ ÞÓ Ø ÓÔ Ò ÔÓÒ µ

92 ¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ H N (t) ¹ ÛÝ Ò H Ð Û ÞÝ Ø Ô Þ ÏÁ ¾¼ Þ Ó Ö tµ ÛÝÐ ÞÓÒÝ Þ Ù Ý Ñ ÞØÙÞÒ Ó Þ Ö Ù Ò ÔÓÛ Ø ¹ Ó ÔÓ ÐÓ ÓÛÝÑ ÛÝÑ Þ Ò Ù Ø Ô ÞÛÖÓØÙº Ò Ø ÞÓ Ø Ý Þ Ò Ô ÖÓÛ Ò ÛÝÒ Ñ Ý È Ô ¹ Ö Û Ï ÖØÓ ÓÛÝ Û ÈÖ Þ º ËØÛ Ö ÞÓÒÓ ØÙ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð ¹ Þ Ö ÛÒÓ Ð ÒÝ ÔÖÞ Þ Ð ÝÑ ÖÝÞÝ Ñ Ö Û¹ Ò Ð ÒÝ ÔÓÛ Ø Ý ÔÓ ÐÓ ÓÛÝÑ ÛÝÑ Þ Ò Ù Ø Ô ÞÛÖÓØÙº ÌÓ ÖÙ ÔÓ ØÖÞ Ò ÔÓ Þ Ó ÛÝ Ò ÀÙÖ Ø Ò Ø ÙÒ Û Ö ÐÒÝÑ Ò ÖÞ Þ Ñ ØÓ ÓÛ ÒÝÑ Ó Ò Ð ÞÝ ÖÝÒ Ù Ò Ò Ó¹ Û Ó Ý Û ÞÙ Ý Ò Ý ÒØÝ ÓÖ Ð Ð Þ Ö Û ØÛÓÖÞÓ¹ ÒÝ ÐÓ ÓÛÓº Â Ò Ò Þ Ò ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Û ÖÝÔ Û ÞÙ Ò Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Ø ÖÝ Ø ÐÒ ÞÝ Ð ÒÝ Ô ÖÛÓØÒÝ Ò Ð ÒÝ ÔÓÛ Ø Ý ÔÓ ÐÓ ÓÛÝÑ ÛÝÑ Þ Ò Ù Ø Ô ÞÛÖÓØÙ ¹ ÔÓÒ Û H < H shuff º ÈÓÛÓ Ù Ò Ò Ð Þ ÈÏ Û ÈÖ Þ Ò Ð Ó Ý Ö ÛÒ ÞÙ ÒÒÝ Ò Ý Ò Ò¹ ØÝ ÓÖ Ð ÔÖÞÝÞÝÒ Ô Ù ÛÝ Ò ÀÙÖ Ø º Ì ÔÖÞÝÞÝÒ ÑÓ Ý ÑÙÐØ Ö Ø ÐÒ Û ÛÓ ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ Û ¹ ÛÓ ÔÓÐ Ò ØÝÑ Ò Ò Ò ÓÛ ÓÔ Ò Ò ÒÝÑ Ð Ð ÓÑ ÛÝ Ò Ñ ÀÙÖ Ø µ º ÈÓÒ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ Ö Ø ÓÔ Û ÛÓ ÑÙÐØ Ö Ø ÐÒÝ ÓÖ Þ ÔÖÓ ÙÖ ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Ô ÛÝ Ò ÀÙÖ Ø Ø ÔÓÛÓ ÓÛ ÒÝ Ý Ò Ñ ÒØÝ Ó¹ Ö Ð ÞÝ ÒÒÝÑ Þ Û Ñ ÒÔº Û ÛÓ Ñ ÑÙÐØ Ö Ø Ð¹ ÒÝÑ µº ÊÓÞÛ ÑÝ Ù Þ Ó ÓÒÝ Û Ø ÖÝÑ ÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒ ÔÓ ÐÓÛ Ò Ò ÑÓ Û Ô Ò ÓÔ ¹ Ù Ù Ð ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ ÑÓ ÛÝ ØÔÓÛ Û Ð Ö ÒÝ ÛÝ Ò Û ÀÙÖ Ø µ Ò Ó Þ Ò Û Ð ÛÝ Ò Û Ö Ö ÞÒÝ ζ k Ø ÔÓ¹ ØÖÞ Ò Ý ÓÔ ÐÓÛ Ò ÓÐ ÒÝ ¹ØÝ ÑÓÑ ÒØ Û Äº ÃÖ ØÓÙ Ó Ð Ë Ð Ò ÈÖÓÔ ÖØ Ò Å Ö Ø ÌÙÖÒ Ò ÈÓ ÒØ Ø ÈÖ Ù ËØÓ Ü Ò Ø È Ý ÈÓÐÓÒ ÎÓÐº ½ ¾¼½¼µ ÆÓº ºÄº Î ÓÒ ÐÓ Ù Ï Ð ÓÛÒ Ï ÐÐ ËØÖ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÒÓÔ Ý¹ Ö Þ Ð Ò ÂÓÙÖÒ Ð Ó È Ý ¾¼¼ µ ½¼

93 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º ÖÓÞ Ù ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ α αk ρ(α), Ð Þ Ó ÝÑÝ L ØÓ ÛÝÑ Ö Ð Ò ÓÛÝ Ù Ù α ØÓ ÒØ ¹ Ö Ù Ò ÞÑ ÒÒ ÓÔ Ù Ù ØÓ ¹ØÝ ÑÓÑ ÒØ ÖÓÞ¹ Ù ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÐÙ Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ α αk ρ(α) L ζ k. Ï Û Ò Ð Þ ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ Ò Ð Ý ÔÖÞ Ò Ð ÞÓ¹ Û ÞÝ Ô ÛÝ Ò Ý ÙÞ (H) Ø ÔÓÛÓ ÓÛ ÒÝ Ý¹ Ò Ñ Ù ÑÒ ÙØÓ ÓÖ Ð ÞÝ Û ÒÓ Ñ ÑÙÐØ Ö Ø ÐÒÝÑ º Ï õñý ÒÝ Þ Ö ÙÖ Û ¹ Ó ÒÓ Ó Ù Ó M ØÖÞ ¹ Ó ÒÓ Þ ÓÛ Ò ÞÛ Þ Ò Ò Þ Ó Ò Ñ N Ò Þ Ó Ò Ñ tµº Ç Ö ÐÑÝ P 0 ¹ Ò Ð t = 0 P M ¹ Ò Ð t = M P i ¹ ÞÑ Ò ÒÝ P t = P 0 + t i=1 P i, P M = P 0 + M i=1 P i, Þ Ø ÛÑÝ Û ÞÝ Ø Û ÖØÓ P i, ÐÓ ÓÛÓ ÛÝÑ Þ ÑÝ ÓØÖÞÝÑÙ P shuff i, ÙØÛ ÖÞÑÝ ÞØÙÞÒÝ Þ Ö Ò P shuff t ÔÖÞÝ ÞÝÑ P M = P shuff M, ÛÝÐ ÞÑÝ ÛÝ Ò H shuff Ð P shuff t Þ H ÛÝÐ ÞÓÒÝÑ ÛÞ Ò = P 0 + t i=1 Pshuff i, ÓÖ Þ ÔÓÖ ÛÒ ÑÝ Ó ÑÓ ÑÝ ÖÓÞÔ ØÖÞÝ Û ÖÙÒ ÒØÝ ÓÖ Ð H < H shuff Ð¹ Ò ÞÝ Ð ØÝÞÒÝ ÒÝ Ò Ð ÒÝ ÐÓ ÓÛÝ µº Ò Ð ÞÙ ÖÝ ÙÒ ¾º ¾ ¹ ¾º ÑÓ Ò ÔÓÛ Þ Ð Û ÞÝ Ø¹ Ô Ö Ñ ØÖ Û ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Ò ÖÝ ÙÒ Þ Ó Þ

94 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ 1,0 1,0 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 250 (T) H shuf (T) 250 H 250 (t = 10) H shuf (t = 10) 250 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 250 (T) H shuf (T) 250 H 250 (t = -10) H shuf (t = -10) 250 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 H 250 (T, t = 10) 0,2 0,4 0,6 0,8 H 250 (T, t = -10) ÊÝ ÙÒ ¾º ¾ Ë ÙÑÙÐÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ H N (T),H N (t),h shuff N (T),H shuff N (t) Ð N = 250,t = 10 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ t = 10 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº 1,0 1,0 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 250 (T) H shuf (T) 250 H 250 (t = 50) H shuf (t = 50) 250 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 250 (T) H shuf (T) 250 H 250 (t =-50) H shuf (t = -50) 250 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 H 250 (T, t = 50) 0,2 0,4 0,6 0,8 H 250 (T, t = -50) ÊÝ ÙÒ ¾º Ë ÙÑÙÐÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ H N (T),H N (t),h shuff N (T),H shuff N (t) Ð N = 250,t = 50 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ t = 50 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº

95 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º 1,0 1,0 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 500 (T) H shuf (T) 500 H 500 (t = 10) H shuf (t = 10) 500 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 500 (T) H shuf (T) 500 H 500 (t = -10) H shuf (t = -10) 500 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 H 500 (T, t = 10) 0,2 0,4 0,6 0,8 H 500 (T, t = -10) ÊÝ ÙÒ ¾º Ë ÙÑÙÐÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ H N (T),H N (t),h shuff N (T),H shuff N (t) Ð N = 500,t = 10 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ t = 10 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº 1,0 1,0 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 500 (T) H shuf (T) 500 H 500 (t = 50) H shuf (t = 50) 500 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 500 (T) H shuf (T) 500 H 500 (t = -50) H shuf (t = -50) 500 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 H 500 (T, t = 50) 0,2 0,4 0,6 0,8 H 500 (T, t = -50) ÊÝ ÙÒ ¾º Ë ÙÑÙÐÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ H N (T),H N (t),h shuff N (T),H shuff N (t) Ð N = 500,t = 50 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ t = 50 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº

96 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ 1,0 1,0 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 1000 (T) H shuf (T) 1000 H 1000 (t = 10) H shuf (t = 10) 1000 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 1000 (T) H shuf (T) 1000 H 1000 (t = -10) H shuf (t = -10) ,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 H 1000 (T, t = 10) 0,2 0,4 0,6 0,8 H 1000 (T, t = -10) ÊÝ ÙÒ ¾º Ë ÙÑÙÐÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ H N (T),H N (t),h shuff N (T),H shuff N (t) Ð N = 1000,t = 10 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ t = 10 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº 1,0 1,0 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 1000 (T) H shuf (T) 1000 H 1000 (t = 50) H shuf (t = 50) 1000 cumulative frequency 0,8 0,6 0,4 0,2 H 1000 (T) H shuf (T) 1000 H 1000 (t = -50) H shuf (t = -50) ,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 H 1000 (T, t = 50) 0,2 0,4 0,6 0,8 H 1000 (T, t = -50) ÊÝ ÙÒ ¾º Ë ÙÑÙÐÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ H N (T),H N (t),h shuff N (T),H shuff N (t) Ð N = 1000,t = 50 Ð ÛÝ Ô Ò Ðµ t = 50 ÔÖ ÛÝ Ô Ò Ðµº

97 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º H N (t) < H N (T), H N (t) < H shuff N (t), H N (t) < H shuff N (T). Ð Ø Ó Ø ÛÒ Ó Ù ÑÝ ØÛ Ö ÞÓÒÓ Ý Ò ÒØÝ ÓÖ Ð Û Ó ÓÐ ÐÓ ÐÒ Ó Ñ ÑÙÑ Ò Ù ÏÁ ¾¼º Æ Ö Þ ØÓØÒÝ Ý Ò Þ Ó ÖÛÓÛ ÒÓ Ð N = 250 ÐÙ 500 t 50 ÖÝ ÙÒ ¾º ¾º ½ ¾º ¾ ¹ ¾º µº Ð Þ Ò ÞÓ Ø Ý ÔÖÞ ÔÖÓÛ ÞÓÒ Ð H 250 (t = 50) ÓÖ Þ H 250 (T) Ý ÛØ Ý Ò Ý Ý Ò Ö¹ Þ º Ð H 250 (T) ÔÓÖÞ ÞÓÒÓ ÞÒÓÖÑ Ð ÞÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÓÔ ÓÛ ÒÓ Ò ØÔÙ ÖÞÝÛ Ù Õ¹ Ù Ô Ù Ó¹ÎÓ Ø Ø Ö ÞÓ Ø Ò ÓÔ Ò ÔÓÒ º ÊÓÞ Ù Ð ÞÑ ÒÒ H Ó Û ÖØÓ h Ø ÓÔ ÒÝ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ØÓ ØÓ Ñ Þ ρ(h) = A w π 2 exp ( 2 (h h 0) 2 ), w 2 ¾º½ µ ρ(h) = A σ 2π exp (h h 0) 2 2σ 2, ¾º½ µ Þ w = 2σº ÈÓÒ Û ÖÓÞ Ø ÞÒÓÖÑ Ð ÞÓÛ ÒÝ A = 1º ÓÔ ÓÛÙ ÖÞÝÛ Ù Ó ÒÝ H 250 (T) ÖÝ ÙÒ ¾º µ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ w = 0,1587±0,0009, h 0 = 0,479±0,006,

98 ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ 6 normalized frequency Data: Data1_C Model: Gauss y No weighting 2 /DoF = R 2 = y 0 = 0 x 0 = ± w = ± A = 1 normalized frequency ,1 Data: Data1_C Model: Gauss y No weighting 2 /DoF = R 2 = y 0 = 0 x 0 = ± w = ± A = 1 1 0,01 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 H 250 (T) 1E-3 0,2 0,4 0,6 0,8 1 H 250 (T) ÊÝ ÙÒ ¾º ÓÔ ÓÛ Ò ÖÓÞ Ù Ù º Û Ô ÞÝÒÒ ÓÔ Ù Ý Ó ÓÔ ÓÛ Ò R 2 = 0,9940. ÖÓÞ Õ¹ Ù Ð ÞÑ ÒÒ H Ó Û ÖØÓ h Ø ÓÔ ÒÝ Ö Û¹ Ò Ò Ñ ρ(h) = A ( 1 (1 q)β(h h 0 ) 2) 1 q 1 ¾º½ µ ÓÔ ÓÛÙ ÖÞÝÛ Õ¹ Ù Ó ÒÝ H 250 (T) ÖÝ ÙÒ ¾º µ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ q = 1,07±0,03, β = 84±2, h 0 = 0,479±0,006, Û Ô ÞÝÒÒ ÓÔ Ù Ý Ó ÓÔ ÓÛ Ò R 2 = 0,9943. ÊÓÞ Ô Ù Ó¹ÎÓ Ø Ø Û ÓÒ Ö Ò ÖÓÞ Ù Ù ÖÓÞ Ù ÄÓÖ ÒØÞ Ñ ÓÒ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù ÖÓÞ Ù ÎÓ Ø ¹ ÔÐÓØÙ ÖÓÞ Ù Ù ÄÓÖ ÒØÞ º ÊÓÞ Ô Ù Ó ÎÓ¹ Ø Ð ÞÑ ÒÒ H Ó Û ÖØÓ h Ø ÓÔ ÒÝ Ö ÛÒ Ò Ñ ρ(h) = A ( 2µ π w L 4(h h 0 ) 2 +wl 2 +(1+µ) 4ln2 πwg exp ( (h h 0) 2 ) ). w 2 G ¾º½ µ

99 ¾º º Å ÌÇ ËÌÇ À ËÌ Æ º normalized frequency Data: Data1_C Model: q-gauss Weighting: y No weighting DoF = R 2 = y 0 = 0 q = 1.07 ± 0.03 = 84 ± 2 x 0 = ± A = 5 normalized frequency ,1 0,01 Data: Data1_C Model: q-gauss Weighting: y No weighting DoF = R 2 = y 0 = 0 q = 1.07 ± 0.03 = 84 ± 2 x 0 = ± A = 5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 H 250 (T) 1E-3 0,2 0,4 0,6 0,8 1 H 250 (T) ÊÝ ÙÒ ¾º ÓÔ ÓÛ Ò ÖÓÞ Ù Õ¹ Ù º ØÓ ÓÛ ÒÓ ÖÓÞ Ô Ù Ó¹ÎÓ Ø ÔÓÒ Û Þ Ö ÛÒÓ ÖÓÞ Ù ÄÓÖ ÒØÞ Ñ Þ ØÓ ÓÛ Ò Û ÑÓ ÐÓÛ Ò Ù ÒÝ Ò Ò ÓÛÝ º ÊÓÞ ÎÓ Ø ÐÙ Ô Ù Ó¹ÎÓ Ø Ñ Þ ØÓ ÓÛ ¹ Ò Û ÞÝ Û Û ÐÙ Þ Ô ØÖÓ ÓÔ Û Ý Ö º ÓÔ ÓÛ ÒÓ ÖÞÝÛ Ô Ù Ó ÎÓ Ø Ó ÒÝ H 250 (T) ÖÝ ÙÒ ¾º ¼µ ÔÓÒ Û ÖÓÞ Ø ÞÒÓÖÑ Ð ÞÓÛ ÒÝ A = 1µ ÓØÖÞÝÑ ÒÓ w G = 0,193±0,001, w L = 0,028±0,004, µ = 0,039±0,06, h 0 = 0,4786±0,0004, Û Ô ÞÝÒÒ ÓÔ Ù Ý Ó ÓÔ ÓÛ Ò R 2 = 0, Ý Ù Æ Ð Ô ÞÝ Û Ô ÞÝÒÒ R 2 ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Ð ÖÓÞ Ù Ô Ù Ó ÎÓ Ø º

100 ½¼¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ 6 normalized frequency Data: Data1_C Model: PsdVoigt2 Weighting: y No weighting 2 /DoF = R 2 = y 0 = 0 x 0 = ± A = 1 w G = ± w L = ± = ± normalized frequency ,1 0,01 Data: Data1_C Model: PsdVoigt2 Weighting: y No weighting 2 /DoF = R 2 = y 0 = 0 x 0 = ± A = 1 w G = ± w L = ± = ± ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 H 250 (T) 1E-3 0,2 0,4 0,6 0,8 1 H 250 (T) ÊÝ ÙÒ ¾º ¼ ÓÔ ÓÛ Ò ÖÓÞ Ù Ô Ù Ó ÎÓ Ø º ÊÓÞ Õ¹ Ù Ò Ð Ô ÓÔ Ù Û ÖØÓ ØÖ Ñ ÐÒ Ø º ÖÙ Ó ÓÒÝ ÖÝ ÙÒ ¾º ¹ ¾º ¼ Û Ð ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ µº Æ ÑÒ Þ Û ÖØÓ R 2 ÓØÖÞÝÑ ÒÓ Ð ÖÓÞ Ù Ù º ËÔÓÖÞ ÞÓÒÓ Ö ÛÒ ÞÒÓÖÑ Ð ÞÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ¹ ØÛ Ð H 250 (T) ÓÖ Þ H 250 (t = 50) ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º ½º ÏÝ Ò ØÓ Ò ØÔÙ ÛÒ Ó ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Û Ô ÞÝÒÒ H 250 (t = 50) Ð ¼ Ô Øº Ó Ò Ó Þ Ó ¾ Ô õ Þ ÖÒ ¾¼¼ Öºµ Ñ ÞÒ ÞÒ ÑÒ Þ Û ÖØÓ ÑÓ ÐÒ Ò H 250 (T) Û ÖØÓ Û Ô ÞÝÒÒ H 250 (t = 50) Ø Ø ØÝ ØÝÞÒ ÑÒ ¹ Þ Ò Û ÖØÓ Û Ô ÞÝÒÒ H 250 (T) Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÞÝÒ¹ Ò Ó Ò Û ÖØÓ ÑÓ ÐÒ Ð H 250 (t = 50) 0.38 ÔÓ ¹ Þ Ý ÖÙ Ó Ò Û ÖØÓ ÑÓ ÐÒ Ð H 250 (T) = 0,5. Ð Ø Ó ÑÓ Ò ÔÓØÛ Ö Þ Û ¼ Ô Øº ¾ Ò µ Ó Ò ÔÖÞ ÐÓ ÐÒÝÑ Ñ ÑÙÑ Ò Ù ÏÁ ¾¼ ØÛ Ö ÞÓÒÓ Ý Ò ÒØÝ¹ ÓÖ Ð º

101 ¾º º Ì ÇÊÁ À ÇËÍ Æ ÅÁÃ Ï ËÃÊ ÌÆ Å ËÁ º ½¼½ normalized frequency H 250 (T) H 250 (t = -50) -1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 H 250 (T, t = -50) ÊÝ ÙÒ ¾º ½ ÒÓÖÑ Ð ÞÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ð H 250 (T) ÓÖ Þ H 250 (t = 50)º ¾º ¾º º½ Ì ÓÖ Ó Ù ÝÒ Ñ Û Ý Ö ØÒÝÑ Þ ¹ º Ò Ò Ö Ø Ð ÛÝÑ ÖÙ Ö Ø ÐÒ Ó ÓÖ Þ ÒÓ¹ Ñ ÐÒ Ý ÙÞ Ò Ö Ø Ð º Ä Ø Ö ØÙÖ ½¼ º Þ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ º Ï ÒÓ Ø Þ Ù Ó Ø ÛÝ ÓÒÙ ÖÓ Û ÐÓ ÓÛÓ ÛÝ Ö ÒÝÑ ÖÙÒ Ù ÖÙ Ó ÝÛ Þ Ö ÛÒÝÑ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ Û ÝÑ ÖÙÒ Ù Ò Ð ÝÑ Ó ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ý ÙÞ ½¼ ËºÀ ÚÐ Ò º Ò¹ ÚÖ Ñ Ù ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ñ Ú Ò Ò È Ý ÎÓÐº ½ ¹ ÆÓº ½ ¾¼¼¾µ

102 ½¼¾ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ Û Ù Þ Ó ÓÒÝ Ò Ò Ð Þ ÓØÓÞ Ò Ó ØÙ Ò Ð Ý Ó ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ý ÙÞ º ÈÓ Ø ÛÓÛÝÑ ÞÝÞÒÝÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ó Ö Ð ÝÑ Þ Ò ÔÖÞÝ¹ Ô ÓÛ Ø Ö Ò ÖÓ Û Ö ØÓÛ R 2 (n) = E[x 2 (n)] ÔÓ n ÖÓ ÐÙ Þ t = n Þ ÞÝÒ ÑÝ Þ ÔÙÒ ØÙ x = 0µº ÈÖÞÝ¹ ÔÓÑÒ ÑÝ Ð x i x j ØÓ ÓÐ Ò ÖÓ Ö Ò ÖÓ Û Ö ØÓÛ R 2 (n) Ø ÓÔ Ò ÔÖÞ Þ Ö ÛÒ Ò n n R 2 (n) = x 2 i +2 x i x j. j=0 i>j ¾º½ µ Þ ÓÒ n i>j x ix j Ó ÔÓÛ Þ ÙØÓ ÓÖ Ð º Â Ð Û Ù ¹ Þ Ò ÛÝ ØÔÙ ÙØÓ ÓÖ Ð Þ ÓÒ Ø Ò Ö Ò Ù Ó Þ Ö n i>j x ix j = 0 ÓÖ Þ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ R 2 (n) n. Ë ÐÓÛ Ò º ÑÝ r ØÓ ÖÓ ÔÖÞ ÝØ ÔÓ Þ ÒÓÖÑ ÐÒ Ý ÙÞ Û Þ tº Â Ð ÔÖÞ ÐÙ ÑÝ Þ t Ó Û ÖØÓ λ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ò ¹ ØÔÙ Û ÛÓ ÐÓÛ Ò t λt, r λ 1 2 r, Ô ØÖÞ Ó ÛÖÓØÒ ÔÓ ÔÖÞ ÐÓÛ Ò Ù ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ó λ 1 2 ÐÓ ÖÓ Û ÞÑ Ò Ó λ, ÛÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ Þ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ Ó ÛÝÒÓ d w = lnλ lnλ 1 2 2, = Ó ÐÒ Ý ÛÝÞÒ ÞÝ ÛÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝd w ÐÙ ÑÝ ÙÓ Ð¹ Ò ÓÒ Ñ M Û Ò ÞÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù Ó ÔÓÛ ÐÓ ÖÓ Ûµ Þ ÛÝÑ Ö Ñ Ð Ò ÓÛÝÑ L ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ M L d w.

103 ¾º º Ì ÇÊÁ À ÇËÍ Æ ÅÁÃ Ï ËÃÊ ÌÆ Å ËÁ º ½¼ Þ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ Ò ØÖÙ ØÙÖ Þ Ó ÓÒÝ Ø ØÝ ØÝÞÒ ÑÓÔÓ Ó ÒÝ Ø Û Ð ÞÝÑ Ù ÑÓÔÓ Ó Ò º Â ÝÒ Ö ¹ Ò Ø Ø Û ÛÞÓÖÞ R 2 (n) n 2 dw ÐÙ R 2 (t) t 2 dw ¾º½ µ Ð Ö Ø Ð d w 2 Þ d w ØÓ ÛÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ Þ Ò ÔÖÞÝ¹ Ô ÓÛ Ó Ò Ö Ø ÐÙ Ø Ö Ó Ò Ò Ð Ý ÑÝÐ Þ ÛÝÑ Ö Ñ Ö ¹ Ø ÐÒÝÑ Ñ Ó Ö Ø Ð d f º Ö Ø Ð º ÈÓ Ø ÛÓÛ Û ÒÓ Ö Ø Ð ÑÓÔÓ Ó Ò Ó ØÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Þ ÛÝÑ Ö Ñ Ø ÖÝ Ò Ø Ð Þ ÓÛ Ø Ö Ø Ð Û ÒÝÑ ÔÙÒ Ò º ÈÖÞÝ Ý Ö Ø Ð ÃÖÞÝÛ ÃÓ ÞÓ Ø ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º ¾ ÛÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ Ó Ð Þ ØÓ Ù Ò ØÔÙ ÔÖÓ ÙÖ Ð ÔÓÛ ÞÝÑÝ ÛÝÑ Ö Ð Ò ÓÛÝ Ö ÞÝ Ö Ø Ð ÛÞÖÓ¹ Ò Ö ÞÝ ÛÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ 3 d f = 4, d f = ln4 ln3 = 1,262. ËÞ Ò Ë ÖÔ Ó ÞÓ Ø ÔÖÞ Ø Û ÓÒÝ Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º Ó ÛÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ Ó Ð Þ ØÓ Ù Ò ØÔÙ ÔÖÓ¹ ÙÖ Ð ÔÓÛ ÞÝÑÝ ÛÝÑ Ö Ð Ò ÓÛÝ Ö ÞÝ Ö Ø Ð ÛÞÖÓ¹ Ò ¾¼ Ö ÞÝ 3 d f = 20 d f = ln20 ln3 = 2,727

104 ½¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º ¾ ÃÖÞÝÛ ÃÓ ¹ õö Ó Ï Ô º ÊÝ ÙÒ ¾º ËÞ Ò Ë ÖÔ Ó ¹ õö Ó Ï Ô º

105 ¾º º Ì ÇÊÁ À ÇËÍ Æ ÅÁÃ Ï ËÃÊ ÌÆ Å ËÁ º ½¼ ÊÝ ÙÒ ¾º ÌÖ Ø Ë ÖÔ Ó Û ¾ ÛÖ Þ Þ ÓÒ ØÖÙ µ ÓÖ Þ ¹ õö Ó Ï Ô º ÌÖ Ø Ë ÖÔ Óº ÃÓÒ ØÖÙ ØÖ Ø Ë ÖÔ Ó ÔÖÞ Ø Û ÓÒ Ø Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º ÖÞ ÑÝ ØÖ Ø Ö ÛÒÓ ÓÞÒÝ Þ Ð ÑÝ Ó Ò Ö ÛÒ ØÖ ØÝ Ù ÙÛ ÑÝ ÖÓ ÓÛÝ ØÖ Ø ÔÖÓ ÙÖ ÔÓÛØ ÖÞ ÑÝ Ð Ó Þ ÔÓÞÓ Ø Ý ØÖ Ø Û ÔÖÓ ÙÖ ÔÓÛØ ÖÞ ÑÝ Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º ÏÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ ØÖ Ø Ë ÖÔ Ó Ó Ð Þ ØÓ Ù ÔÓ¹ Ò Þ ÔÖÓ ÙÖ Ð ÔÓÛ ÞÝÑÝ ÛÝÑ Ö Ð Ò ÓÛÝ ¾ Ö ÞÝ Ö Ø Ð ÛÞÖÓ Ò Ö ÞÝ

106 ½¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ 2 d f = 3, d f = ln3 ln2 = 1,585, Û ÒÓ ¹ Ó ÞÓÒ ÖÓÞ Þ Ò º ËØ ØÝ ØÝÞÒ Ö Ø Ð º ÈÖÞ Ø Û Ð ÑÝ ÔÖÞÝ Ý Ø ÖÑ Ò ØÝÞÒÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Þ ¹ Ò ÓÛ ÒÝ µ Ö Ø Ð º Á ØÒ Û Ð Ó Ø Û Ø Ö Ñ Ý ÑÓ ÔÓ Ó ØÛ Ö Ø ÖÝ ØÝÞÒ Ð Ö Ø Ð Û Ò Ø ØÝ¹ ØÝÞÒÝÑº Ð ØÝ Ó Ø Û ÛÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ Ó Ð Þ Ñ ÐÙ Þ ÛÝÑ Ö Ñ Ð Ò ÓÛÝÑ M L d f. ÈÖÞÝ¹ Ý Ø ØÝ ØÝÞÒÝ Ö Ø Ð Û ÔÖÞÝÖÓ Þ Û Ð ÔÓÐ Ñ Ö Û ÔÓÛ ÖÞ Ò ÑÙÖ ÔÓÛ ÖÞ Ò Ý Ô Ø Ò Ùº ÅÓ Ð ÞÝÞÒ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ö Ø Ð ÓÔ Ù Ö ØÝ ÞÐ Ô Þ Ø Þ ÓÛÝ Û Ø ÖÝÑ Þ Ø Þ ÙØÖÞÝÑÝÛ Ò Ñ Î Ò Ö Ï Ð ³ µ ÔÖÞ Ð ØÖÝÞÒ ÔÖÓ ÛÞÖÓ ØÙ ÐÓÛ Ò ÔÓÖÓÛ Ø Ó ÖÓ ÔÓÐ Ñ ÖÝº ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ Ò Ö Ø Ð ÈÖÓ Þ Þ Ø ÒÓÛ ÞÝ ÔÓ Þ Ý ÙÞ ÙÖ Û ÒÔº ÛÞ Ù Ð Ò ØÖ Ò Ùµ ÑÓ Û Ô ÛÒÝÑ ÑÓÑ Ò ÛÝ Ø Ô ÙØÖÙ Ò Ò ÔÙ¹ Ô Þ ÙÖÝ Ò Û ÞÝ Ø Ð Ù Ó Â Ð Ø ØÓ Ó ÑÓ ÓÒ ÔÓÛÓ ÓÛ ÒÓÑ ÐÒ Ý ÙÞ Ù Ý ÑÓ ÐÓÛ Ò Ù Ý ÙÞ Û Þ Ó ÓÒÝ» Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ Ó ÖÓ º ÈÓÑ ÑÓ Ö Ø ÐÒ Ò Ó ÔÓÛ Ù ÓÛ Ù Ù Þ Ó ÓÒ Ó Ý ÙÞ Ò Ö Ø Ð Ñ

107 ¾º º Ì ÇÊÁ À ÇËÍ Æ ÅÁÃ Ï ËÃÊ ÌÆ Å ËÁ º ½¼ ÔÓ Ó Ò Û ÛÓ Ý ÙÞ Û Ù Þ Ó ÓÒÝ º Ï Ó Ù ÔÖÞÝÔ ÛÝ ØÔÙ ÙØÖÙ Ò Ò ÔÙ Ô Þ ÙÖÝ Ò Û ÞÝ Ø¹ Ð Ù Ó Ó ÔÖÞÝ ÞÝÞÒÓ ÑÓ Ò ÔÓ ÞÝ Ó ÙØ Ð ÛÝ ØÔÙ ÒÔº ÔÓ Þ Ý ÙÞ Ò Ð Ø Ö» Ö ¹ Ø Þ Ø µº Ý ÙÞ Ò Ð Ô Ò Ð ÞÙ Ó Ý ÙÞ Ò Ö Ø ÐÒ Ó Þ Ò ÖÓÞ Þ ÓÒ Û Ð Þ Þ Þ ÑÝ Ò Ð ÞÓÛ Ý ÙÞ Ò ØÖ Ë ÖÔ Óº ÏÝÓ Ö õñý Ó¹ Þ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ Ò ØÖ Ë ÖÔ Óº ÈÓ t ÖÓ¹ Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ó ÝÐ Ò Ø ÓÔ Ò ÔÖÞ Þ Ö ÛÒ Ò R(t) 2 tdw, 2 Þ d w ¹ ÛÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ ØÖ ØÓÖ Þ ¹ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ Óº ÏÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ d w ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ ÝÑÙÐ Û Ù ÔÓÒ Þ Ó Ñ ØÙº Ò Ð ÞÙ ÑÝ ØÖ ØÓÖ Þ Ò ÔÖÞÝÔ ÓÛ Ó Ò ØÖ ¹ Ë ÖÔ Ó Þ ÞÝÒ Û Û Ô ÐÒÝÑ ÔÓÞ Ø Ù Ð Ò Ó t Ð ÞÝÑÝ Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ó ÝÐ Ò R(t) 2 Ð ÞÝÑÝ Ö Ò ÔÓ ØÖ ØÓÖ ÖÝ Ù ÑÝ ÛÝ Ö ln R(t) Û ÙÒ lnt ÛÝÞÒ Þ ÑÝ d w Ñ ØÓ Ö Ö Ð Ò ÓÛ º ÏÝÑ Öd w ÑÓ Ò Ö ÛÒ Ó Ð ÞÝ Ñ ØÓ Ö ÒÓÖÑ Ð Þ Û Ù ÔÓÒ Þ Ó Ñ ØÙ ÞÓ Ö ÞÓÛ Ò Ó Ò ÖÝ ÙÒ Ù ¾º º ÊÓÞÛ ÑÝ Þ T ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÔÖÞ Ý ÖÓ Þ ÖÒ Ó Û ÖÞ Ó ØÖ Ø Ó Ò Ó Þ ÔÙÒ Ø Û O, ÔÖÞ ÐÙ ÑÝ ØÖ Ø Ó ÞÝÒÒ Ð Ò ÓÛÝ 2, Þ ÔÓØÖÞ ÒÝ Ò ÔÖÞ Ý ÒÓÛ Ó ØÖ Ø ØÓ T = T +A, A ¹ Ö Ò Þ ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó ÔÖÞ Ý ÓÐÒ Þ ØÖ Ø º ÈÓÒ Û Þ ÔÙÒ ØÙ A ÑÓ ÑÝ Û ØÖÓÒÝ 4A = 4T +A+B +T

108 ½¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º Ê ÒÓÖÑ Ð Þ Ð ÌÖ Ø Ë ÖÔ Ó ¹ õö Ó ¹ ËºÀ ÚÐ Ò º Ò¹ ÚÖ Ñ Ù ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ñ Ú Ò Ò È Ý ÎÓÐº ½ ¹ ÆÓº ½ ¾¼¼¾µº Þ ÔÙÒ ØÙ B ÑÓ Ò Û ØÖÓÒÝ 4B = 4T +2Aº ÇØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ì³ Ì Ì Ì³ Ì ¾ Ì³ Ì Ì Ì Â Ð ÔÖÞ ÐÙ ÑÝ ÛÝÑ Ö Ð Ò ÓÛÝ ØÖ Ø Ë ÖÔ Ó ¾ Ö ÞÝ Þ ÔÓØÖÞ ÒÝ ØÓ ÔÖÞ Ý ØÖ Ø ÞÛ ÞÝ Ö ÞÝº Ð Ø Ó ÛÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ Ý ÙÞ Ò ØÖ Ë ÖÔ Ó ÛÝ¹ Ò d w = ln5 ln2 = 2,322. ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ ÛÝÑ Ö Ö Ø ÐÒÝ ØÖ ¹ Ø Ë ÖÔ Ó Ø ÖÝ ÛÝÒÓ d f = ln3 ln2 = 1,585º Ð Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛ Ó ØÖ Ø Ë ÖÔ Ó ÖÝ ÙÒ ¾º µ Ñ ÑÝ d f = ln(d+1) ln2 ¾º½ µ

109 ¾º º Ì ÇÊÁ À ÇËÍ Æ ÅÁÃ Ï ËÃÊ ÌÆ Å ËÁ º ½¼ d w = ln(d+3) ln2 ¾º½ ¼µ ¾º º¾ Ò Ò ÑÓÑ ÒØ Û ÖÓÞ Û ÔÖ Û ÓÔÓ Ó¹ ØÛ ÛÝ Ò Û Ö Ö ÞÒÝ ÑÙÐØ Ö ¹ Ø Ð ÓÖ Þ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ó Ò Ð ÞÝ ÈÏº ÅÓÑ ÒØÝ ÖÓÞ Ù ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ¹ Ý Ö Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ º Ð Ý ÑÝ ÔÖÞÝÛÓ Û ØÝÑ Ñ Ù ÞÒ Þ Ò Ô ÖÛ ÞÝ ÑÓÑ ÒØ Û ÖÓÞ Û ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ º ½ ÑÓÑ ÒØ E(X) ¹ Ö Ò X = E(X) ¾ ÑÓÑ ÒØE(X 2 ) ¹ Û Ö Ò σ 2 = E((X X) 2 ) Ð X 2 = 0 ØÓ σ 2 = E(X 2 ) ÑÓÑ ÒØ E(X 3 X X ) ¹ ÝÑ ØÖ γ = E(( σ ) 3 ) 2 ÑÓÑ ÒØ E(X 4 ) ¹ ÙÖØÓÞ γ 2 = E((X X) 4 ) σ 2 ÑÓ Ò Ö ÛÒ ÛÝ Þ ÑÓÑ ÒØÝº Ë ÐÓ ÓÛÝ ÓÔÓÖÒ Ûº 3 ÊÓÞÛ ÑÝ Ð Ø Ö Ô Ö ÓÐ Ý ÒÝ Ð p = p c = 0,59, ¹ ÖÝ ÙÒ ¾º p ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Þ Ñ ÒÝ ÛÞ Û Û Ö ¹ ØÓÛ Ø Þ Ô Ò ÓÒÝ Ò ØÓÑ Ø p c = 0,59, ØÓ Ö Ò ÞÒ ÔÖ Û¹ ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÔÖÞÝ Ø ÖÝÑ ØÛÓÖÞÝ Ò Ó ÞÓÒÝ Ð Ø Ö Þ ¹ Ô Ò ÓÒÝ ÛÞ Û ÑÓÔÓ Ó ÒÝ Ò Û ÞÝ Ø Ð Ù Ó¹ µº ÑÝ ÔÓ Þ Ò Ù Ý Þ Ô Ò ÓÒÝ ÛÞ Û Ð Ø Ö ØÓ ÒÓ Ø ÓÛÝ ÓÔÓÖÒ ÓÖ Þ ÔÓ Þ ÑÝ Ò Ô ¹ Ó Û ÔÖÞ ÛÐ Ý Ó Û Ð Ø Ö º Ò Ù ÑÝ V i Ó Ô Ò Ô Ò ¹ØÝÑ ÔÓ Þ Ò Ù ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ρ(v i ) Ñ Ö ÞÓ ÖÙ Ó ÓÒÝ Ö ÞÓ Ö Ò Ó ÖÓÞ Ù Ù º

110 ½½¼ ÊÇ Á ¾º Å ÌÇ ÈÊ ÃÌ Æ ÊÝ ÙÒ ¾º ÃÐ Ø Ö Ô Ö ÓÐ Ý ÒÝ õö Ó ¹ ËºÀ ÚÐ Ò º Ò¹ ÚÖ Ñ ¹ Ù ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ñ Ú Ò Ò È Ý ÎÓÐº ½ ¹ ÆÓº ½ ¾¼¼¾µº Ò Ù ÑÝ α = V i V max Þ V max ØÓ Ò Û ÞÝ Ô Ò Ô ¹ Ø ÖÝ ÛÝ ØÔÙ Ò ÞÔÓ Ö Ò Ñ ÔÓ Þ Ò Ùº ÊÓÞÛ ÑÝ ÖÓÞ¹ ØÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ρ(α) Ø Ö Ó ¹ØÝ ÑÓÑ ÒØ Ø Ö ÛÒÝ α k α k = E(α k ) = α αk ρ(α)º Ò Ù ÑÝ ÛÝ ¹ Ò Ö Ö ÞÒ ζ k Ø α k L ζk Þ LØÓ ÛÝÑ Ö Ð Ò ÓÛÝ Ð Ø Ö Ô Ö ÓÐ Ý Ò Óº Ã Ð ÛÝ Ò Û ζ k Ñ ÞÒ Þ Ò ¹ ÞÝÞÒ α 0 = α ρ(α) Lζ 0 ¹ ÞÐ Þ Û ÞÝ Ø ÔÓ Þ Ò Ð ¹ ØÖÝÞÒ α 2 = α α2 ρ(α) L ζ 2 ¹ Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó ÓÔÓÖÙ Ð ¹ Ø Ö α 4 = α α4 ρ(α) L ζ 4 ¹ ÓÔ Ù Ù ØÙ ÓÛ Ø Ó ÓÔÓÖÙ Ð Ø Ö ¹ Ð ØÖÝÞÒÝ ÞÙÑ α L ζ ¹ ÖÞ ÔÓ ÙÛ ØÝÐ Ó ÞÔÓ Ö Ò ÔÓ Þ Ò Ð ÐÓ ÓÛ ÓÔÓÖÒ Û ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ò Ó Þ Ò Û Ð ÛÝ Ò Û ÓÔ Ù Ý Ö Ò ÑÓÑ ÒØÝ α k. ÅÙÐØ Ö Ø Ð

Pokazać jeszcze