Geometria, Księga II, strony

Transkrypt

1 Argument Vol. 4 (2/2014) pp TRANSLATIONS INTO POLISH / PRZEKŁADY Geometria, Księga II, strony Kartezjusz KEYWORDS Desartes; The Geometry; geometrial urve; ontinuous quantity; point ACKNOWLEDGEMENT / ŹRÓDŁO PRZEKŁADU Desartes, R. (1637). Disours de la méthode pour bien onduire sa raison et herher la vérité dans les sienes, plus la Dioptrique, les Météores et la Géométrie qui sont des essais de ette méthode, Leyde: l Imprimerie de Jan Maire. Nota edytorska 1. W 1637 roku, w Lejdzie, bez nazwiska autora, ukazuje się Rozprawa o metodzie prawidłowego kierowania swym rozumem i poszukiwania prawdy w naukah oraz Dioptryka, Meteory i Geometria, które są esejami tej metody (Disours de la méthode pour bien onduire sa raison, et herher la vérité dans les sienes, plus la Dioptrique, les Météores et la Géometrie qui sont des essais de ette méthode). W zamierzeniu Kartezjusza Rozprawa o metodzie i trzy dołązone do niej eseje stanowiły ałość, będąą teoretyznym wstępem do konkretnyh dziedzin nauki. Jednak Geometria bardzo wześnie została oddzielona od ałośi dzieła. Jako jedyny z trzeh esejów nie została ona włązona do łaińskiego przekładu Rozprawy o metodzie, przygotowanego przez Etienne a de Courelles i wydanego w 1644 roku. Geometria w języku łaińskim ukazała się w 1649 roku w przekładzie Fransa van Shootena. Z zasem dzieło Kartezjusza stawało się oraz bardziej znane i komentowali je wybitni myśliiele, na przykład Izaak Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz. Dzisiaj Geometria uznawana jest za jedno z najważniejszyh dzieł w historii matematyki obok Elementów Euklidesa, Prinipiów Izaaka Newtona oraz Introdutio in analysin infinitorum Leonharda Eulera. 2. Przedkładamy pozątkowe, poświęone teorii krzywyh, paragrafy księgi II Geometrii. Kartezjusz odróżnia tu krzywe mehanizne od geometr yznyh i pokazuje, jak zbudować równanie krzywej, która powstaje w wyniku przeięia dwóh prostyh. Ruhy prostyh są Published online:

2 440 Kartezjusz ze sobą tak powiązane, że powstająą krzywą można opisać równaniem wielomianowym dwóh zmiennyh. Już sam fakt wprowadzenia równania do opisu ruhu jest przełomowy w historii nauki. Stephen Wolfram, mają na uwadze następów Kartezjusza, w szzególnośi Newtona, przedstawia to następująo: Trzy wieki temu nauka uległa zmianie za sprawą radykalnie nowej idei, według której reguły oparte na równaniah matematyznyh mogły być użyte do opisania świata przyrody 1. Nową ideę, o której pisze Wolfram, znajdujemy już w Geometrii, gdzie Kartezjusz pisze: by zrozumieć razem wszystkie te [linie], które są w naturze (qui sont en la nature), kolejno w pewnyh rodzajah, nie znam ni lepszego, jak powiedzieć, że wszystkie punkty tyh, które można nazwać geometryznymi, to znazy te, które podpadają pod dokładną i śisłą miarę, z konieznośi mają jakiś związek z wszystkimi punktami linii prostej, który można wyrazić pewnym równaniem, tym samym dla wszystkih [jej punktów] (s. 319). Jednak wraz z równaniem krzywej dohodzi do jeszze jednej istotnej zmiany: linie, które w matematye grekiej były pojmowane jako w i e l ko ś i i ą g ł e, w Geometrii stały się obiektami złożonymi z punktów. Kwestia ta znaząo wpłynęła na nowożytne pojmowanie iągłośi ruhu i zasu Nasze tłumazenie oparte jest na wspomnianym oryginalnym wydaniu z roku Zaznazamy w nim podział na strony pierwszego wydania, jego paginaję oraz marginalia, a także zahowujemy kształt diagramów, nie uwzględniają jednak z przyzyn tehniznyh ih położenia względem tekstu. Które linie krzywe można przyjąć w geometrii. [s. 315] Starożytni bardzo słusznie zauważyli, że zagadnienia geometrii obejmują płaszzyzny, bryły oraz inne linie, o oznaza, że jedne można rozwiązać jedynie przez rysowanie linii prostyh i okręgów, inne natomiast wymagają przekrojów stożka, a jeszze inne bardziej złożonyh linii. Wszelako dziwię się, że nie poszli dalej i nie rozpoznali różnyh stopni tyh bardziej złożonyh linii, i nie potrafię zrozumieć, dlazego nazwali je mehaniznymi zamiast razej geometryznymi. Jeśli twierdzimy, że to dlatego, iż w elu ih narysowania należy posłużyć się jakimś instrumentem, to z tego samego powodu należałoby odrzuić okręgi i linie proste, zważywszy, że rysuje się je na papierze tylko z użyiem yrkla i linijki, które również można nazwać mahinami. Powodem nie jest również to, że instrumenty, które służą do ih kreślenia, będą bardziej złożone od linijki i yrkla, nie mogą być tak dokładne. Z tej przyzyny bowiem należałoby wykluzyć je z mehaniki, w której pożądana jest preyzja wyhodząyh spod ręki dzieł, a nie z geometrii, gdzie szuka się tylko preyzji rozumowania, [s. 316] która bez wątpienia może być doskonała tak samo w przypadku linii, jak i w innyh. Nie powiem również, że powodem jest to, iż nie hieli zwiększyć lizby postulatów i zadowolili się stwierdzeniem, że mogą 1 Wolfram, S. (2002). New kind of siene. Champaign, Ill.: Wolfram Media, s Szzegóły przedstawiamy w niniejszym tomie, w artykule Błaszzyk, P. & Mrówka, K. (2014). Metafizyka ruhu w Geometrii Kartezjusza. Argument, 4(2), i xlii.

3 Geometria, Księga II 441 jedną linią łązyć dwa dane punkty i że z jednego danego środka można zakreślić okrąg przehodząy przez dany punkt; w przypadku przekroju stożka nie wahali się bowiem założyć, że każdy stożek można przeiąć płaszzyzną. I ni nie musimy zakładać, by narysować wszystkie linie krzywe, które próbuję tutaj wprowadzić, jeśli tylko dwie lub kilka linii mogą zostać poruszone jedna przez drugą, i że ih przeięia wyznazają inne; nie wydaje mi się to wale trudniejsze. Prawdą jest również, że w swej geometrii nie przyjęli w pełni przekrojów stożka, a nie hę zajmować się zmianą nazw będąyh w użyiu, ale wydaje mi się bardzo jasne, że uznają za geometryzne to, o jest śisłe i dokładne, a za mehanizne to, o takie nie jest, i uznają geometrię za naukę, która ogólnie służy poznawaniu miar wszystkih iał, nie można wykluzyć razej najbardziej złożonyh linii niż najprostszyh, zakładają, iż można by sobie wyobrazić, że zostały zakreślone przez iągły ruh lub przez kilka następująyh po sobie ruhów, z któryh każdy byłby ałkowiie określony przez poprzednie, dzięki zemu zawsze można poznać ih dokładną miarę. Ale być może tym, o przeszkodziło starożytnym geometrom przyjąć [s. 317] te bardziej złożone od przekrojów stożka, było to, że pierwszymi, na które zwróili uwagę, okazały się przez przypadek spirala, kwadratrysa i podobne, które tak naprawdę należą tylko do mehaniznyh i nie należą do tyh, które muszę tu dołązyć, ponieważ wyobrażamy je sobie jako nakreślone przez dwa oddzielne ruhy, które nie są w żadnym dająym się dokładnie zmierzyć stosunku. Choiaż potem przestudiowali jeszze konhoidę, ysoidę i kilka innyh, to jednak dlatego że być może nie rozpoznali wystarzająo ih własnośi, nie postępowali tak jak w przypadku pierwszyh. Ale mogło się zdarzyć i tak, że widzą, iż wiąż wiedzą zbyt mało o przekrojah stożka, a tak samo niewiele wiedzą o tym, o można zrobić linijką i yrklem, nie ośmielili się zająć jeszze trudniejszym tematem. Dlatego właśnie mam nadzieję, że odtąd i, którzy zdobędą umiejętność posługiwania się zaproponowanym tu rahunkiem geometryznym, nie będą mieli wielkih trudnośi z zastosowaniem go do zagadnień płaszzyzn lub brył. Sądzę, że słusznie zrobię, jeśli zaproszę ih do tyh badań, w któryh nie zabraknie im nigdy ćwizeń. Spójrzie na linie AB, AD, AF i podobne. Zakładam, że zostały narysowane za pomoą instrumentu YZ, który jest zbudowany z kilku linijek tak połązonyh, że ta oznazona YZ położona jest na linii AN, a kąt XYZ można otwierać i zamykać, a kiedy jest ałkiem zamknięty, punkty B, C, D, E, F, G, H są wszystkie złązone w punkie A, ale w miarę jej [s. 318] otwierania linijka BC, która jest połązona za pomoą kątów prostyh z XY w punkie B, pha do Z linijkę CD, która przesuwa się po YZ, tworzą z nią wiąż kąty proste; a CD pha DE, która tym samym przesuwa się po YZ, pozostają równoległą do BC; DE pha EF, EF pha FG, a ta z kolei pha GH, i tak można tworzyć nieskońzoność innyh, które kolejno phają tak samo jedna drugą i z któryh jedne tworzą zawsze te same kąty z YX, a inne z YZ. Kiedy wię

4 442 Kartezjusz otwieramy w ten sposób kąt XYZ, wtedy punkt B kreśli linię AB będąą okręgiem, a inne punkty D, F, H, w któryh tworzą się przeięia innyh linijek, kreślą inne linie krzywe AD, AF, AH, z któryh kolejne są bardziej złożone od poprzedniej, a ta bardziej od okręgu; ale nie widzę, o może przeszkodzić w zrozumieniu opisu tej pierwszej, tak jasnym i zystym, jak zrozumienie okręgu [s. 319] lub przynajmniej jak przekroje stożka, ani o może przeszkodzić w zrozumieniu drugiej i trzeiej, i wszystkih innyh, które można opisać tak samo jak pierwszą, a o za tym idzie, nie widzę przeszkód, by mogły one służyć doiekaniom w geometrii. Sposób rozróżnienia wszystkih linii krzywyh na pewne rodzaje oraz poznania stosunku, jaki mają ih punkty do pewnyh linii prostyh. Mógłbym podać tu kilka innyh sposobów rysowania i ujmowania linii krzywyh, oraz bardziej złożonyh, stopniowo w nieskońzoność, ale by zrozumieć razem wszystkie te, które są w naturze, kolejno w pewnyh rodzajah, nie znam ni lepszego, jak powiedzieć, że wszystkie punkty tyh, które można nazwać geometryznymi, to znazy te, które podpadają pod dokładną i śisłą miarę, z konieznośi mają jakiś związek z wszystkimi punktami linii prostej, który można wyrazić pewnym równaniem, tym samym dla wszystkih, i gdy równanie dohodzi tylko do prostokąta dwóh nieokreślonyh wielkośi albo do kwadratu jednej, to linia krzywa jest pierwszego i najprostszego rodzaju, w którym, o

5 Geometria, Księga II 443 zrozumiałe, są tylko okrąg, parabola, hiperbola oraz elipsa; ale jeśli równanie dohodzi do trzeiego lub zwartego wymiaru dwóh albo jednej z dwóh nieokreślonyh wielkośi, ponieważ potrzeba dwóh do wyjaśnienia stosunku jednego punktu do drugiego, to jest ona drugiego; a jeśli równanie dohodzi do piątego lub szóstego wymiaru, to jest ona trzeiego; i tak samo w nieskońzoność pozostałe. Chę wiedzieć, jakiego rodzaju jest linia EC, która, jak zakładam, została wykreślona przez przeięie [s. 320] linijki GL oraz figury płaskiej prostoliniowej CNKL, której bok KN jest nieogranizenie przedłużony ku C, a która jest poruszana w tej samej płaszzyźnie wzdłuż linii prostej, to znazy tak, że jej oś KL przylega zawsze do linii BA przedłużonej z jednej strony i z drugiej strony, wprawia w ruh kołowy linijkę GL dookoła punktu G, ponieważ jest ona z nim tak złązona, że przehodzi zawsze przez punkt L. Gdy hę sprawdzić, do jakiej klasy należy ta krzywa, wybieram linię prostą AB i do niej odnoszę wszystkie punkty z linii krzywej EC. Na linii AB wybieram punkt A i od niego zazynam oblizanie. Mówię, że wybieram i jedną, i drugą, ponieważ można dowolnie wybrać takie, jakie się he, bo hoiaż na wiele sposobów można układać i upraszzać równania, to jednak bez względu na to, który się wybierze, zawsze można zrobić tak, by linia była tego samego rodzaju, o jest łatwe do udowodnienia.

6 444 Kartezjusz [s. 321] Dalej, obierają dowolnie jeden punkt na krzywej, dajmy na to C, do którego, jak zakładam, przylega instrument służąy do jej kreślenia, prowadzę z tego punktu C linię CB równoległą do GA, a ponieważ CB i BA są dwiema wielkośiami nieokreślonymi i nieznanymi, to pierwszą z nih nazywam y, drugą zaś x; a wreszie po to, by znaleźć stosunek jednej do drugiej, przyjmuję również wielkośi znane, które określają rysunek linii krzywej, jak GA, którą nazywam a, KL, którą nazywam b, oraz NL, równoległą do GA, którą nazywam. Twierdzę następnie, że tak jak NL jest do LK, lub do b, tak samo CB lub y jest do BK, które stąd jest b y zaś BL jest b y b natomiast AL jest x + b y b

7 Co więej, tak jak CB jest do LB, lub y do b y b tak samo GA lub a jest do LA lub x + b y b Geometria, Księga II 445 Tym sposobem [s. 322] ilozyn drugiej i trzeiej tworzy ab y ab i jest równy xy + b yy by który powstaje z ilozynu pierwszej i zwartej. A oto równanie, które należało znaleźć: yy = y x y + ay a b z którego wynika, że linia EC jest pierwszego rodzaju, w rzezywistośi będą hiperbolą. Jeżeli w instrumenie, który służy do jej rysowania, w miejsu linii prostej CNK znajdzie się hiperbola lub jakaś inna linia krzywa pierwszego rodzaju, która ograniza powierzhnię CNKL, przeięie tej linii oraz linijki GL zamiast hiperboli EC wykreśli inną linię krzywą drugiego rodzaju. Tak samo, jeśli CNK jest okręgiem o środku L, wtedy wykreślimy pierwszą konhoidę starożytnyh; a jeśli jest to parabola, której osią jest KB, to w tym wypadku wykreślimy linię krzywą, o której wyżej powiedziałem, że jest pierwszą i najprostszą w zagadnieniu Pappusa, kiedy jest tylko pięć linii prostyh o danym położeniu; ale jeśli w miejse jednej z tyh linii krzywyh pierwszego rodzaju pojawi się jedna drugiego, która ograniza płaszzyznę CNKL, wtedy z jej pomoą wykreślimy jedną trzeiego, a jeśli będzie jedna trzeiego, wtedy wykreślimy jedną zwartego, i tak w nieskońzoność, o da się bardzo łatwo pokazać rahunkowo. I w każdy inny sposób, w jaki wyobrażamy sobie kreślenie linii krzywej, zakładają, że whodzi w zakres tyh, które nazywam

8 446 Kartezjusz geometryznymi, tym sposobem można zawsze znaleźć [s. 323] równanie, by wyznazyć wszystkie jej punkty. A teraz umieszzam linie krzywe, któryh równanie dohodzi do kwadratu kwadratu, w tym samym rodzaju z tymi, które dohodzą tylko do sześianu, a te, któryh równanie dohodzi do kwadratu sześianu, w tym samym rodzaju o te, któryh równanie dohodzi do piątej, i tak samo inne. Istnieje bowiem ogólna reguła, by wszystkie trudnośi kwadratu kwadratu sprowadzić do sześianu, a wszystkie trudnośi kwadratu sześianu sprowadzić do piątej tak, iż nie powinno się ih wale uznawać za bardziej złożone. Należy jednak zauważyć, że wśród linii każdego rodzaju, podzas gdy większość jest równie złożona, tak iż mogą one służyć do wyznazenia tyh samyh punktów i do konstrukji tyh samyh zagadnień, to jednak istnieje również kilka prostszyh, które nie mają tak szerokiego zastosowania; wśród tyh pierwszego rodzaju, próz elipsy, hiperboli oraz paraboli, równie złożonyh, zawarty jest też okrąg, który jest ozywiśie prostszy; a wśród tyh drugiego rodzaju jest zwykła konhoida pohodząa od okręgu i jest jeszze kilka innyh, które hoć nie mają takiego zasięgu jak większość z tyh tego samego rodzaju, to jednak nie mogą być umieszzone w pierwszym. Tłumazenie: Piotr BŁASZCZYK* Kazimierz MRÓWKA** * Doktor hab., profesor Uniwersytetu Pedagogiznego w Krakowie, kierownik Katedry Dydaktyki i Podstaw Matematyki, Instytut Matematyki. pb@up.krakow.pl. ** Doktor hab. filozofii, profesor Uniwersytetu Pedagogiznego w Krakowie, kierow - nik Katedry Filozofii Starożytnej i Średniowieznej, Instytut Filozofii i Sojologii. kazimierzmrowka@gmail.om.