Krzywe stożkowe Lekcja I: Wprowadzenie

Transkrypt

1 Krzywe stożkowe Lekcja I: Wprowadzenie Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

2 Powierzchnia stożkowa Zaczniemy od przyjrzenia się powierzchni stożkowej. Jest ona wyznaczona przez linię prostą (tworzącą) mającą jeden punkt stały. Ten punkt nazywamy wierzchołkiem.

3 Powierzchnia stożkowa Zaczniemy od przyjrzenia się powierzchni stożkowej. Jest ona wyznaczona przez linię prostą (tworzącą) mającą jeden punkt stały. Ten punkt nazywamy wierzchołkiem. Linia przesuwa się wzdłuż pewnej linii krzywej, którą nazywamy linią kierującą lub kierownicą

4 Powierzchnia stożkowa Zaczniemy od przyjrzenia się powierzchni stożkowej. Jest ona wyznaczona przez linię prostą (tworzącą) mającą jeden punkt stały. Ten punkt nazywamy wierzchołkiem. Linia przesuwa się wzdłuż pewnej linii krzywej, którą nazywamy linią kierującą lub kierownicą

5 Stożek Przez stożek rozumiemy figurę przestrzenną ograniczoną powierzchnią stożkową o kierunkowej zamkniętej.

6 Stożek Przez stożek rozumiemy figurę przestrzenną ograniczoną powierzchnią stożkową o kierunkowej zamkniętej. Nas będzie interesował stożek obrotowy mający w podstawie koło.

7 Stożek Przez stożek rozumiemy figurę przestrzenną ograniczoną powierzchnią stożkową o kierunkowej zamkniętej. Nas będzie interesował stożek obrotowy mający w podstawie koło.

8 Sposoby cięcia stożka Najprostrzym przekrojem stożka jest przekrój osiowy. W jego wyniku dostajemy obszar ograniczony dwiema półprostymi.

9 Sposoby cięcia stożka Najprostrzym przekrojem stożka jest przekrój osiowy. W jego wyniku dostajemy obszar ograniczony dwiema półprostymi.

10 Własności przekroju osiowego Istotnym elementem przekroju osiowego jest kąt rozwarcia stożka. Jest to kąt jaki tworzą dwie przecinające się proste.

11 Własności przekroju osiowego Istotnym elementem przekroju osiowego jest kąt rozwarcia stożka. Jest to kąt jaki tworzą dwie przecinające się proste. Inaczej: jest to kąt przy wierzchołku trójkąta, jaki powstał wskutek przekrojenia stożka.

12 Własności przekroju osiowego Istotnym elementem przekroju osiowego jest kąt rozwarcia stożka. Jest to kąt jaki tworzą dwie przecinające się proste. Inaczej: jest to kąt przy wierzchołku trójkąta, jaki powstał wskutek przekrojenia stożka. Oznaczmy go jako 2α. Wtedy kąt pomiędzy wysokością stożka h a jego tworzącą l ma miarę α.

13 Własności przekroju osiowego Istotnym elementem przekroju osiowego jest kąt rozwarcia stożka. Jest to kąt jaki tworzą dwie przecinające się proste. Inaczej: jest to kąt przy wierzchołku trójkąta, jaki powstał wskutek przekrojenia stożka. Oznaczmy go jako 2α. Wtedy kąt pomiędzy wysokością stożka h a jego tworzącą l ma miarę α.

14 Inne sposoby cięcia stożka Inne sposoby cięcia stożka uzależnimy od wspomnianego kąta α oraz od kąta prostego o mierze π 2.

15 Inne sposoby cięcia stożka Inne sposoby cięcia stożka uzależnimy od wspomnianego kąta α oraz od kąta prostego o mierze π 2. Oznaczmy przez β kąt pomiędzy linią cięcia stożka a jego wysokością.

16 Inne sposoby cięcia stożka Inne sposoby cięcia stożka uzależnimy od wspomnianego kąta α oraz od kąta prostego o mierze π 2. Oznaczmy przez β kąt pomiędzy linią cięcia stożka a jego wysokością.

17 Hiperbola Jeżeli 0 β < α oraz linia cięcia nie pokorywa się z wysokością to w wyniku takiego cięcia dostajemy powierzchnię ograniczoną hiperbolą.

18 Parabola Jeżeli β = α oraz linia cięcia nie pokrywa się z tworzącą to w wyniku takiego cięcia dostajemy powierzchnię ograniczoną parabolą.

19 Elipsa Jeżeli α < β < π 2 oraz linia cięcia nie zawiera wierzchołka to w wyniku takiego cięcia dostajemy powierzchnię ograniczoną elpisą.

20 Okrąg Jeżeli β = π 2 oraz linia cięcia nie zawiera wierzchołka to w wyniku takiego cięcia dostajemy powierzchnię ograniczoną okręgiem.

21 Inaczej Jak to już bywa w matematyce, do wielu zagadnień można podejść na różny sposób. Tak jest i tutaj.

22 Inaczej Jak to już bywa w matematyce, do wielu zagadnień można podejść na różny sposób. Tak jest i tutaj. Dzięki temu poznamy podstawowe pojęcia związane z krzywymi stożkowymi.

23 Inaczej Jak to już bywa w matematyce, do wielu zagadnień można podejść na różny sposób. Tak jest i tutaj. Dzięki temu poznamy podstawowe pojęcia związane z krzywymi stożkowymi. Wyobraźmy sobie, że mamy daną płaszczyznę rzeczywistą R 2 a na niej pewną prostą k oraz punkt O. Ustalmy też pewną liczbę m (0, )

24 Inaczej Jak to już bywa w matematyce, do wielu zagadnień można podejść na różny sposób. Tak jest i tutaj. Dzięki temu poznamy podstawowe pojęcia związane z krzywymi stożkowymi. Wyobraźmy sobie, że mamy daną płaszczyznę rzeczywistą R 2 a na niej pewną prostą k oraz punkt O. Ustalmy też pewną liczbę m (0, )

25 Inaczej Wtedy krzywą stożkową nazywamy zbiór punktów P takich, że stosunek odległości P, O P, k = m.

26 Podstawowe pojęcia O liczbie m mówimy, że jest to mimośród krzywej stożkowej. Prostą k nazywamy kierownicą, a punkt O ogniskiem.

27 Podstawowe pojęcia O liczbie m mówimy, że jest to mimośród krzywej stożkowej. Prostą k nazywamy kierownicą, a punkt O ogniskiem. Rodzaj krzywej zależy od wartości, jaką przyjmuje mimośród. I tak:

28 Podstawowe pojęcia O liczbie m mówimy, że jest to mimośród krzywej stożkowej. Prostą k nazywamy kierownicą, a punkt O ogniskiem. Rodzaj krzywej zależy od wartości, jaką przyjmuje mimośród. I tak: dla m < 1 dostajemy elipsę

29 Podstawowe pojęcia O liczbie m mówimy, że jest to mimośród krzywej stożkowej. Prostą k nazywamy kierownicą, a punkt O ogniskiem. Rodzaj krzywej zależy od wartości, jaką przyjmuje mimośród. I tak: dla m < 1 dostajemy elipsę dla m = 1 dostajemy parabolę

30 Podstawowe pojęcia O liczbie m mówimy, że jest to mimośród krzywej stożkowej. Prostą k nazywamy kierownicą, a punkt O ogniskiem. Rodzaj krzywej zależy od wartości, jaką przyjmuje mimośród. I tak: dla m < 1 dostajemy elipsę dla m = 1 dostajemy parabolę dla m > 1 dostajemy hiperbolę.

31 Odrobina historii Krzywe stożkowe znane były ludziom już od zarania dziejów. Istotny wkład w ich badanie wniósł Apoloniusz z Pergi (ok. 260 p.n.e. ok. 190 p.n.e.). W swoim dziele Konika (κωνικα) opisał i nadał nazwy krzywym stożkowy.

32 Odrobina historii Hypatia, córka sławnego matematyka Teona, urodziła się w Aleksandrii, przy końcu IV wieku. Napisała komentarze do wielu dzieł mistrzów starożytności, w tym do dzieła Apoloniusza.

33 Krzywe stożkowe wokół nas Znaczenie krzywych stożkowych było minimalne z punktu widzenia nauki. Zmieniło się to jednak w XVII wieku p.n.e., kiedy Johannes Kepler odkrył, że planety poruszają się po elipsach a Galileusz sformuował i udowodnił prawo spadku po paraboli.

34 Krzywe stożkowe wokół nas Znaczenie krzywych stożkowych było minimalne z punktu widzenia nauki. Zmieniło się to jednak w XVII wieku p.n.e., kiedy Johannes Kepler odkrył, że planety poruszają się po elipsach a Galileusz sformuował i udowodnił prawo spadku po paraboli. Ciekawostka: W latach Kepler pracował w Żaganiu (dzisiejsze województwo lubuskie). Jest tam szlak Keplera, którym można podążać i zwiedzać miasto.

35 Krzywe stożkowe wokół nas

36 Krzywe stożkowe wokół nas

37 Plan zajęć Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Okrąg a liczba π Toczy się koło, czyli krzywe związane z ruchem okręgu. Elipsa Parabola Hiperbola Każde zajęcia będą oprócz teorii zawierały proste przykłady obliczeniowe.

38 Podziękowania Dziękuję za uwagę