Wprowadzenie do teorii grup krystalograficznych. Andrzej Szczepański
|
|
- Laura Żurawska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wprowadzenie do teorii grup krystalograficznych Andrzej Szczepański
2 2
3 Spis treści 1 Poj ecia wst epne 6 2 Twierdzenia Bieberbacha 16 3 Metody klasyfikacji 31 4 Grupy automorfizmów zewn etrznych 48 5 Spin struktury i operator Diraca 64 6 P laskie rozmaitości ze struktura zespolona 79 Dodatek 82 Bibliografia 85 Indeks 89
4 4 Spis treści
5 Niech R n bedzie przestrzenia euklidesowa. Dyskretna podgrupe Γ grupy izometrii Izom(R n ) = E(n) = O(n) R n o zwartym obszarze fundamentalnym nazywamy grupa krystalograficzna. Z twierdzeń Bieberbacha podgrupa translacji grupy Γ jest podgrupa normalna o skończonym indeksie. Innymi s lowy, istnieje krótki ciag dok ladny grup 1 Z n Γ G 1, ze skończona grupa G. W poniższym tekście opisano, w sposób maksymalnie zwiez ly, w lasności grup krystalograficznych. Wykorzystano do tego celu teorie reprezentacji i kohomologii grup skończonych. Jeżeli Γ jest beztorsyjna, to jest grupa podstawowa rozmaitości M n = R n /Γ. Okazuje sie, że M n jest rozmaitościa Riemanna o krzywiźnie sekcyjnej zero, tak zwana rozmaitościa p laska. W pracy opisano wiele interesujacych zwiazków pomiedzy w lasnościami Γ i M n. W pierwszych dwóch rozdzia lach wprowadzono podstawowe pojecia oraz dowiedziono twierdzeń Bieberbacha. W nastepnych omówiono, najważniejsze wed lug autora, rezultaty z ostatnich lat. Wiele watków, jak na przyk lad zwiazki z geometria algebraiczna, nie zosta lo podjetych i autor ma nadzieje na rozszerzenie niniejszego opracowania w przysz lości. Przedstawiany tekst jest zapisem rocznego wyk ladu monograficznego, jaki autor prowadzi l na Uniwersytecie Gdańskim w roku akademickim 2004 i S luchaczami byli studenci czwartego i piatego roku matematyki. Do zrozumienia materia lu wystarczy podstawowa znajomość algebry i topologii z pierwszych lat studiów matematycznych. Pomocne powinny okazać sie zamieszczone ćwiczenia, choć niektóre sa trudne. Autor bardzo dziekuje Panu prof. Czes lawowi Bagińskiemu za bardzo wnikliwa recenzje. Dzieki niej unikna l wielu b l edów merytorycznych i tekst zosta l dużo lepiej zaprezentowany. Dziekuje ponadto Pani dr Aleksandrze Nowel i Pani redaktor Dorocie Zgaińskiej za przeczytanie maszynopisu i zrobienie licznych uwag. Cz eść pracy by la wykonana w czasie pobytu w IHES we Francji i dofinansowana przez Euro-Programme 2 (RITA-CT ).
6 1. Poj ecia wst epne Niech R n oznacza n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa ze standardowym iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem x, y = Σ n i=1 x iy i, gdzie x = (x 1, x 2,..., x n ) R n i y = (y 1, y 2,..., y n ) R n. Iloczyn ten pozwala zdefiniować norme wektorów x = x, y = Σ n i=1 x2 i i naturalna metryke d(x, y) = x y = Σ n i=1 (x i y i ) 2. Definicja 1.1 Odwzorowanie f : R n R n nazywamy izometria, jeżeli dla dowolnych x, y R n mamy d(x, y) = d(f(x), f(y)). Poniższe stwierdzenie jest bezpośrednia konsekwencja definicji i jego dowód zostawiamy czytelnikowi. Stwierdzenie 1.1 Zbiór wszystkich izometrii przestrzeni R n wraz z operacja sk ladania przekszta lceń jest grupa. Grupe wszystkich izometrii przestrzeni R n bedziemy oznaczać symbolem E(n). W celu opisu jej podstawowych w lasności przypomnijmy definicje dwóch typów przekszta lceń: translacji i przekszta lcenia ortogonalnego. Definicja 1.2 Niech a bedzie ustalonym elementem przestrzeni R n. Translacja przestrzeni R n o element a nazywamy przekszta lcenie t a : R n R n określone wzorem t a (x) = a + x.
7 Poj ecia wst epne 7 Stwierdzenie 1.2 Zbiór wszystkich translacji przestrzeni R n jest podgrupa normalna grupy E(n). Przyporzadkowanie a t a jest izomorfizmem addytywnej grupy R n na grupe wszystkich translacji przestrzeni R n. Grup e wszystkich translacji przestrzeni R n b edziemy oznaczać symbolem R n. Definicja 1.3 Przekszta lcenie liniowe A przestrzeni euklidesowej R n w R n nazywamy ortogonalnym, jeśli dla dowolnych x, y R n, zachodzi równość x, y = A(x), A(y). Stwierdzenie 1.3 Przekszta lcenie liniowe A przestrzeni euklidesowej R n jest ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje norm e dowolnego wektora, tzn. dla dowolnego x R n, x = A(x). Dowód: Implikacja wynika bezpośrednio z definicji przekszta lcenia ortogonalnego. W celu dowodu implikacji w strone przeciwna za lóżmy, że A jest przekszta lceniem liniowym, takim że x = A(x), dla dowolnego x R n. Wtedy oczywiście A zachowuje forme kwadratowa Q, zdefiniowana wzorem Q(x) = x 2, a to z kolei oznacza, że A zachowuje forme dwuliniowa f, zdefiniowana wzorem f(x, y) = 1 (Q(x + y) Q(x) Q(y)). Bezpośredni 2 rachunek dowodzi, że f jest identyczna z iloczynem skalarnym przestrzeni R n. Stwierdzenie 1.4 Zbiór wszystkich przekszta lceń ortogonalnych przestrzeni R n wraz z operacja sk ladania przekszta lceń jest grupa. Grupe opisana w powyższym stwierdzeniu nazywamy grupa ortogonalna przestrzeni R n i oznaczamy symbolem O(n). W przysz lości elementy tej grupy bedziemy traktowali jako macierze, a także jako odwzorowania liniowe przestrzeni R n i C n.
8 8 Rozdzia l 1 Rozważmy ortonormalna baze e 1, e 2,..., e n przestrzeni R n. Z podstawowego wyk ladu algebry liniowej wynika, że macierz A dowolnego przekszta lcenia ortogonalnego w tej bazie jest ortogonalna, tzn. A 1 = A T, gdzie A T jest macierza transponowana do A. Przyporzadkowanie, które każdemu przekszta lceniu ortogonalnemu przypisuje jego macierz w tej ustalonej bazie, jest izomorfizmem grupy ortogonalnej na grupe macierzy ortogonalnych (z operacja mnożenia macierzy). Ze wzgledu na ten izomorfizm, pod pojeciem grupy ortogonalnej O(n) bedziemy rozumieć te w laśnie grupe macierzy ortogonalnych. Stwierdzenie 1.5 Każda izometria przestrzeni R n jest superpozycja przekszta lcenia ortogonalnego i translacji. Innymi s lowy, jeżeli f : R n R n jest izometria przestrzeni R n, to istnieje translacja t a i przekszta lcenie ortogonalne A tej przestrzeni, takie że f = A t a. Dowód: Niech a = f(0) i A = f t a. Wtedy oczywiście A jest izometria i A(0) = 0. W myśl stwierdzenia 1.3, do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że A jest przekszta lceniem liniowym. Niech x, y R n bed a dowolnymi wektorami i C p laszczyzna rozpiet a na tych wektorach. Ponieważ A jest izometria, wiec obrazem równoleg loboku o bokach x, y i przekatnej x + y jest równoleg lobok o bokach f(x), f(y) i przekatnej f(x) + f(y). Obrazem przekatnej równoleg loboku jest przekatna obrazu, wiec f(x + y) = f(x) + f(y). To dowodzi liniowości A. Zatem A jest przekszta lceniem ortogonalnym i f = A f a. Wprowadzimy teraz bardzo ważne poj ecie z teorii grup. Definicja 1.4 Niech H i K bed a dowolnymi grupami z operacjami, odpowiednio, i. Za lóżmy ponadto, że H jest podgrupa grupy automorfizmów grupy K. Produktem pó lprostym grup H i K nazywamy grupe H K, której elementami sa wszystkie uporzadkowane pary (h, k), h H, k K, z operacja (h 1, k 1 )(h 2, k 2 ) = (h 1 h 2, h 1 (k 2 ) k 1 ). Przyk lad 1.1 Na mocy stwierdzenia 1.5 b edziemy przyjmować, że E(n) = O(n) R n.
9 Poj ecia wst epne 9 Jest to zbiór wszystkich par (A, t a ) = (A, a) O(n) R n z dzia laniem danym wzorem (A, a)(b, b) = (AB, Ab + a), gdzie (B, b) O(n) R n. W powyższym przyk ladzie pierwsza wspó lrzedna nazywana jest obrotem, a druga translacja. Symbol oznacza produkt pó lprosty grupy R n, z dzia laniem dodawania, i grupy ortogonalnej O(n). Przyk lad 1.2 Grupa A(n) = GL(n, R) R n. Jest to produkt pó lprosty grupy R n z grupa GL(n, R). Stwierdzenie 1.6 Mamy nastepuj acy ciag podgrup E(n) A(n) GL(n + 1, R). Dowód: Niech (A, a) E(n). Wówczas jest to także element grupy [ A(n). ] A a Ponadto, jeżeli zapiszemy go jako macierz (n+1) (n+1) w postaci, 0 1 jest on elementem grupy GL(n + 1, R). Ostatnie stwierdzenie pozwala nam określić topologie na grupie E(n) jako indukowana z R (n+1)2. Definicja 1.5 Podzbiór X przestrzeni euklidesowej jest dyskretny, jeżeli każdy jego punkt x ma otoczenie otwarte U x, takie że cześci a wspólna zbioru U x i X jest tylko punkt x. Definicja 1.6 Niech Γ bedzie podgrupa grupy izometrii przestrzeni euklidesowej R n. Nazywamy ja podgrupa dyskretna, jeżeli jako podzbiór przestrzeni euklidesowej R (n+1)2 jest dyskretna. Mówimy, że Γ dzia la w laściwie dyskretnie na R n, jeśli dla każdego x R n istnieje takie jego otoczenie otwarte U x, że zbiór {γ Γ γu x U x } jest skończony. Ponadto b edziemy mówili, że Γ dzia la wolno, jeśli dla każdego x R n zbiór {γ Γ γx = x} zawiera tylko element neutralny (I, 0) grupy Γ.
10 10 Rozdzia l 1 Lemat 1.1 Jeżeli Γ jest dyskretna podgrupa grupy E(n) i V 0 R n jest kula otwarta o środku w punkcie 0 i promieniu r, to {γ Γ γv 0 V 0 } Γ (O(n) V 0), gdzie V 0 jest kul a o środku w punkcie 0 i promieniu 2r. (Tutaj O(n) V 0 jest rozumiany jako podzbiór grupy E(n).) Dowód: Niech γ = (A, a) Γ bedzie takim elementem, że γv 0 V 0. Wówczas istnieja x, x V 0, takie że γx = Ax + a = x. Stad na mocy nierówności trójkata a = x Ax x + Ax 2r. Zatem γ O(n) V 0. Stwierdzenie 1.7 Niech Γ E(n) bedzie podgrupa grupy E(n). Nastepuj ace warunki sa równoważne: (i) Γ dzia la w laściwie dyskretnie na przestrzeni R n, (ii) Γx nie ma punktu skupienia dla każdego x R n, (iii) Γ jest dyskretna podgrupa grupy E(n). Dowód: Za lóżmy, że grupa Γ dzia la w laściwie dyskretnie na R n. Udowodnimy, że jest ona dyskretna. Niech ciag elementów {γ n } n=1 n= grupy Γ bedzie zbieżny do identyczności. Rozpatrzmy otoczenie 0 U 0 R n i zbiór {γ i U 0 γ i U 0 }, który z definicji dzia lania jest skończony. Stad γ i = (I, 0) od pewnego n i grupa Γ jest dyskretna. Aby udowodnić wynikanie przeciwne, wykorzystamy lemat 1.1. Niech x R n bedzie dowolnym punktem, V x kula o środku w x i promieniu r, a t x translacja o x. Wówczas z definicji dzia lania w laściwie dyskretnego i lematu 1.1 mamy {γ Γ γv x V x } = {γ Γ t x γt x V 0 V 0 } t x Γt x (O(n) V 0 ). Ponieważ grupa Γ jest dyskretna, wi ec powyższy zbiór jest skończony i grupa Γ dzia la w laściwie dyskretnie na R n. Udowodniliśmy równoważność (i) oraz (iii). Za lóżmy warunek (i). Udowodnimy, że dla każdego x R n zbiór Γx nie ma punktu skupienia. Przypuśćmy przeciwnie, że taki punkt y R n istnieje. To znaczy, że istnieje ciag elementów {γ i x = A i x+a i } i=1 i= zbieżny do punktu
11 Poj ecia wst epne 11 y. Ponieważ grupa O(n) jest zwarta, wiec możemy za lożyć, że ciag {A i } i= i=1 jest zbieżny do pewnego A O(n). Stad ciag elementów {a i } i= i=1 jest zbieżny do punktu Ax + y. Istotnie wyrażenie a i + Ax y a i + A i x y + A i x Ax może być dowolnie ma le dla dostatecznie dużego i. Pokazaliśmy zatem, że ciag izometrii {γ i } i= i=1 jest zbieżny do γ = (A, Ax + y) w grupie E(n). St ad ciag izometrii {γ i γi+1 1 }i= i=1 jest zbieżny do identyczności. A to jest sprzeczne z dyskretnościa grupy Γ. Odwrotnie zak ladajac, że dla każdego x R n zbiór Γx nie ma punktów skupienia, udowodnimy, że Γ dzia la w laściwie dyskretnie. Niech x 0 R n bedzie taki, że dla każdej kuli U x0 o środku w x 0 zbiór {γ Γ γu x0 U x0 } jest nieskończony. A to oznacza, że zbiór Γx 0 ma punkt skupienia. Dostaliśmy sprzeczność. Stwierdzenie 1.8 Dyskretna podgrupa grupy E(n) dzia la wolno na R n wtedy i tylko wtedy, gdy jest beztorsyjna (nie ma elementów skończonego rz edu). Dowód: Jeżeli grupa Γ ma element γ skończonego rzedu k, to dla każdego x R n punkt x + γx + γ 2 x + + γ k 1 x nie zmienia sie, gdy dzia lamy na nim elementem γ. To oznacza, że dzia lanie grupy izometrii Γ nie jest wolne. W przeciwna strone stwierdzenie wynika z nastepuj acej równości zbiorów {γ Γ γa = a} = Γ t a (O(n) 0)t a, gdzie a R n, a t a oznacza translacj e o a. Ponieważ grupa O(n) jest zwarta, a grupa Γ dyskretna, wi ec zbiór po prawej stronie jest zawsze skończony. Kolejna definicja dotyczy bardzo ważnego poj ecia. Definicja 1.7 Przestrzeń topologiczna Hausdorffa M nazywamy rozmaitościa odpowiedniej klasy, jeżeli spe lnione sa poniższe warunki:
12 12 Rozdzia l 1 1. Istnieje pokrycie M rodzina zbiorów otwartych U i, i I, z których każdy jest odwzorowywany za pomoca homeomorfizmu ϕ i na otwarty podzbiór R n. 2. Jeżeli U i U j 0, to odwzorowanie (tzw. funkcja przejścia) jest odpowiedniej klasy. ϕ j ϕ 1 i : ϕ i (U i U j ) ϕ j (U i U j ) Para (U i, ϕ i ) jest nazywana mapa rozmaitości M, a zbiór wszystkich map jej atlasem. Przyk lad 1.3 Przestrzenie liniowe R n, C n oraz ich przestrzenie rzutowe RP n i CP n sa rozmaitościami. n-wymiarowa sfera oraz n-wymiarowy torus S n = {x R n+1 x = 1} T n = S 1 S 1 S 1 = R n /Z n sa rozmaitościami. Pokazanie tego jest prostym ćwiczeniem [60]. Definicja 1.8 Grupa Liego G nazywamy rozmaitość różniczkowa, która jest jednocześnie grupa. Ponadto dzia lania mnożenia G G G i brania elementu odwrotnego G G sa odwzorowaniami różniczkowalnymi rozmaitości. Przyk lad 1.4 Sfera S 1 C z dzia laniem mnożenia liczb zespolonych jest abelowa grupa Liego. Iloczyn kartezjański grup S 1, tzn. n-wymiarowy torus T n = (S 1 ) n, jest grupa Liego. Grupy macierzy U(n), O(n), SL(n, R), SL(n, C) a grupami Liego. s Zaczniemy od obserwacji, która bedziemy wykorzystywać wielokrotnie i w wielu innych miejscach. Lemat 1.2 [11, lemat 8.4, s. 98] Niech G bedzie grupa Liego, a Γ jej podgrupa. Jeżeli istnieje otwarte otoczenie U elementu neutralnego e, takie że U Γ = {e}, to Γ jest przeliczalnym, domknietym, dyskretnym podzbiorem grupy G.
13 Poj ecia wst epne 13 Dowód: Niech e V bedzie otwartym otoczeniem elementu neutralnego, takim że V V 1 U. Jego istnienie wynika z ciag lości odwzorowania G G G, opisanego wzorem (g 1, g 2 ) g 1 g2 1, i tego, że w tym odwzorowaniu obrazem pary (e, e) jest e. Jeżeli ciag elementów {h n } grupy Γ jest zbieżny do h, to z definicji wynika, że istnieje liczba naturalna N, taka że n > N, h n V g. Zbiór V g jest otoczeniem otwartym punktu g. Niech h n = v n g i h m = v m g dla pewnych v n, v m V. Mamy h n h 1 m = v nvm 1 U. Ponieważ U Γ = {e}, wiec h n h 1 m = e i h n = h m, n, m > N i g = h N Γ. Ponadto dla każdego h Γ, hu jest otwartym otoczeniem h, którego przeciecie z Γ jest równe h. To dowodzi dyskretności zbioru Γ. W końcu rodzina zbiorów {hv h Γ} jest indeksowana rodzina parami roz l acznych podzbiorów grupy Γ. Istotnie, jeżeli h 1 V h 2 V, to h 1 v 1 = h 2 v 2 dla pewnych v 1, v 2 V i h 1 2 h 1 = v 2 v1 1 V V 1 U. Stad h 1 = h 2 i gdyby Γ nie by la przeliczalna, to oznacza loby nieistnienie przeliczalnej bazy zbiorów otwartych. Lemat 1.3 Jeżeli Γ jest podgrupa grupy E(n), to odwzorowania π 1 : E(n) E(n)/Γ rzutowania na grupe ilorazowa oraz π 2 : R n R n /Γ rzutowania na przestrzeń orbit dzia lania grupy izometrii Γ na R n sa otwarte i domkniete. Dowód: Jest to bezpośrednia konsekwencja definicji topologii na przestrzeniach ilorazowych (zob. np. [23]). Stwierdzenie 1.9 Niech Γ bedzie podgrupa grupy E(n). Wówczas przestrzeń orbit R n /Γ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń warstw E(n)/Γ jest zwarta. Dowód: Na podstawie lematu 1.3, rzutowanie π : E(n) R n na druga wspó lrzedn a indukuje ciag le i domkniete odwzorowanie φ : E(n)/Γ R n /Γ, określone wzorem φ((a, r)γ) = Γr. Z ćwiczenia 1.3 wynika, że jest to poprawna definicja. Stad zwartość przestrzeni E(n)/Γ indukuje zwartość przestrzeni R n /Γ. W druga strone zauważmy, że dla każdego punktu r R n /Γ, φ 1 (r) = (O(n) r)/γ jest zbiorem zwartym. Stad i z za lożenia o zwartości przestrzeni orbit R n /Γ
14 14 Rozdzia l 1 oraz domkni etości odwzorowania φ wynika zwartość przestrzeni E(n)/Γ (zob. ćwiczenie 1.6). Drugi dowód stwierdzenia 1.9 opiera si e na poniższym lemacie. Lemat 1.4 Przestrzeń E(n)/Γ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zwarty podzbiór D E(n), taki że E(n) = γ Γ γd = ΓD. Dowód: Grupe E(n), jako podzbiór R (n+1)2, można pokryć nieskończonym zbiorem zbiorów otwartych U k E(n), gdzie U k jest kula otwarta o środku w zerze i promieniu k. Ich obrazy π 1 (U k E(n)) w naturalnym epimorfizmie π 1 : E(n) E(n)/Γ tworza otwarte pokrycie przestrzeni zwartej E(n)/Γ. Stad istnieje k 0, takie że π 1 (U k0 E(n)) = E(n)/Γ. Niech D bedzie domknieciem zbioru (U k0 E(n)), tzn. D = (U k0 E(n)). Jest teraz oczywiste, że E(n) = γ Γ γd = ΓD. Dowód lematu w odwrotna strone wynika z definicji. Lemat pozostaje prawdziwy, z analogicznym dowodem, jeśli E(n) zastapimy przestrzenia R n. Możemy teraz zakończyć drugi dowód stwierdzenia 1.9. Wystarczy zauważyć, że istnienie zwartego obszaru z lematu 1.4 dla przestrzeni R n i E(n) jest równoważne. Niech D bedzie takim zbiorem dla E(n). Z definicji mamy E(n) = ΓD. Ponieważ E(n)(0) = R n, wiec ΓD(0) = R n i D(0) staje sie zwartym podzbiorem z lematu 1.4 dla przestrzeni R n. Odwrotnie, niech D bedzie zbiorem z lematu 1.4 dla grupy Γ i przestrzeni R n. Wówczas zbiór C = {x E(n) x(0) D} = O(n) D jest tym zbiorem dla E(n), gdyż ΓC = E(n) i C R n = D. Definicja 1.9 Podgrup e Γ grupy E(n) nazywamy kozwart a, jeżeli przestrzeń ilorazowa E(n)/Γ jest zwarta.
15 Poj ecia wst epne 15 Definicja 1.10 Niech X b edzie G zbiorem. Domkni ety podzbiór F X nazywamy obszarem fundamentalnym dzia lania grupy G na zbór X, jeżeli X = g G gf i gf g F =, dla g g G. Uwaga: Rozważany powyżej zbiór D nie zawsze jest obszarem fundamentalnym. Przyk lady obszarów fundamentalnych sa rozważane w rozdziale 3. Ćwiczenie 1.1 Opisać wszystkie izometrie przestrzeni R 2. Ćwiczenie 1.2 Przeprowadzić brakujace powyżej dowody stwierdzeń i lematów. Ćwiczenie 1.3 Niech Γ bedzie podgrupa grupy E(n). Niech γ 1 = (A 1, r 1 ), γ 2 = (A 2, r 2 ) bed a takimi elementami grupy E(n), że γ 1 Γ = γ 2 Γ. Udowodnić, że istnieje γ Γ, takie że γr 1 = r 2. Ćwiczenie 1.4 Niech f : R n R n b edzie odwzorowaniem liniowym, a g O(n). Udowodnić, że wówczas gf = f = fg. Ćwiczenie 1.5 Niech G bedzie grupa Liego. Udowodnić, że w G istnieje przeliczalna baza zbiorów otwartych. Ćwiczenie 1.6 Niech f : X Y bedzie ciag lym i domknietym odwzorowaniem przestrzeni topologicznej X na przestrzeń topologiczna Y. Za lóźmy ponadto, że dla dowolnego y Y, f 1 (y) jest przestrzenia zwarta. Udowodnić, że przetrzeń X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń Y jest zwarta. Wskazówka [23, s. 50]: Pokazać, że f jest domkniete wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu y Y i zbioru otwartego U, zawierajacego przeciwobraz f 1 (y) punktu y, istnieje otoczenie V punktu y Y, takie że f 1 (V ) U.
16 2. Twierdzenia Bieberbacha Definicja 2.1 Dyskretna i kozwarta podgrupe grupy E(n) nazywamy grupa krystalograficzna wymiaru n. Uwaga: Pierwsza cześć 18 problemu Hilberta dotyczy la opisania dyskretnych grup izometrii R n, majacych zwarty obszar fundamentalny, a zatem n-wymiarowych grup krystalograficznych. Przyk lad ( 2.1 Jeśli ) (B, t (1/2,0) ) i (I, t (0,1) ) sa elementami grupy E(2), gdzie 1 0 B =, to najmniejsza podgrupa Γ grupy E(2), zawierajaca 0 1 te elementy, jest grupa krystalograficzna wymiaru dwa, a przestrzeń orbit R 2 /Γ jest butelka Kleina. Cześć problemu Hilberta, dotyczaca grup krystalograficznych, zosta la rozwia- zana przez matematyka niemieckiego L. Bieberbacha. Twierdzenie 2.1 (Bieberbacha) 1. Jeżeli Γ E(n) jest grupa krystalograficzna, to jej zbiór translacji Γ (I R n ) jest maksymalna i normalna podgrupa abelowa o skończonym indeksie. 2. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje skończona liczba klas izomorfizmu grup krystalograficznych wymiaru n. 3. Dwie grupy krystalograficzne wymiaru n sa izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy sa sprzeżone w grupie A(n). Uwaga: Oryginalny dowód Bieberbacha pochodzi z roku 1910 (zob. [9] i [10]). W nastepnych latach pojawi ly sie inne dowody: w roku 1911 G. Frobeniusa [27], w roku 1938 H. Zassenhausa [61]. Wspomnijmy także o późniejszych dowodach: L. Auslandera [3] (1960, 1961), J. Wolfa [60] (1970), M. Gromowa [29] (1978). Dowód Gromowa dotyczy grup wirtualnie nilpotentnych, a na użytek grup krystalograficznych zosta l opracowany przez P. Busera i H. Karchera [13-15] (zob. dodatek). W cytowanych tutaj pracach Busera i Karchera można znaleźć także omówienia, porównania niektórych z tych dowodów. Dowód: Na dowód sk lada si e seria lematów. Dowód, w dużej cz eści, bazuje na [60].
17 Twierdzenia Bieberbacha 17 Lemat 2.1 W grupie ortogonalnej O(n) istnieje otoczenie U elementu neutralnego I, takie że dla dowolnych g, h U spe lniony jest warunek: jeżeli g jest przemienne z komutatorem [g, h] = ghg 1 h 1, to g jest przemienne z h. Dowód: Niech λ 1, λ 2,..., λ r bed a wartościami w lasnymi odwzorowania g : C n C n, a C n = V 1 V 2 V r odpowiadajacym im rozk ladem na podprzestrzenie niezmiennicze. Ponieważ g[g, h] = [g, h]g, wiec ghg 1 h 1 = hg 1 h 1 g. Ponadto dla i = 1, 2,..., r oraz x V i mamy gx = λ i x. Stad ghg 1 h 1 x = hg 1 h 1 gx = hg 1 h 1 λ i x = λ i hg 1 h 1 x i hg 1 h 1 V i V i. Ponieważ h i g sa izomorfizmami, wiec h 1 V i = g 1 h 1 V i. Mamy h 1 V i = (h 1 V i V 1 ) (h 1 V i V 2 )... (h 1 V i V r ), gdzie h 1 V i V j = {x h 1 V i gx = λ j x}. Niech x, v C n sa takie, że x = v = 1 i x v. Stad mamy z definicji x v = 2. Ponadto niech h 1 I < ɛ = 2 1, i j oraz x (h 1 V i V j ). (Jeżeli x 0, to możemy przyjać, że ma norme jeden.) Inaczej mówiac, istnieje y V i, takie że h 1 y = x. Ale x V j, a to oznacza, że < x y >= 0. Mamy zatem sprzeczność, gdyż 2 = x y = h 1 y y h 1 y + y = 1+ h 1 < 2. Stad h 1 V i V j = 0, dla i j, h 1 V i = V i, dla i = 1, 2,..., r, i macierze odwzorowań g, h obciete do V i sa przemienne, gdyż macierz odwzorowania g jest diagonalna. Ponieważ każdy element przestrzeni C n jest suma elementów z podprzestrzeni V i, wiec g i h sa przemienne. Jako szukane otoczenie przyjmijmy U = {h O(n) I h 1 < ɛ}. Lemat 2.2 Dla pewnego otoczenia U elementu neutralnego w grupie ortogonalnej O(n) i dowolnych jego elementów g, h ciag [g, h], [g, [g, h]], [g, [g, [g, h]]],... Korzystamy z faktu, że wektory w lasne różnych wartości w lasnych sa prostopad le. Istotnie λ i x y = Ax y = x A T y = λ 1 j x y. Stad λ i λj = 1. Ponieważ i, λ i λi = 1, wiec λ i = λ j, co jest sprzeczne z za lożeniem, i x, y = 0.
18 18 Rozdzia l 2 jest ciagiem, elementów z U, zbieżnym do identyczności. Dowód: Niech U b edzie otoczeniem otwartym identyczności o promieniu ɛ < 1/4. Z definicji (por. ćwiczenie 1.4) mamy [g, h] I = gh hg = gh g h + I hg + h + g I = (g I)(h I) (h I)(g I) 2 g I h I < i g, h U. Stad [g, h] U i z indukcji h I 2 [g, [g, [g,..., [g, h]... ]]] I }{{} n h I 2 n. Definicja 2.2 Otoczeniem stabilnym elementu neutralnego grupy O(n) nazywamy otoczenie spe lniajace warunki powyższych lematów. Niech G bedzie grupa topologiczna, to znaczy przestrzena topologiczna z taka struktura grupy, że wszystkie dzia lania sa odwzorowaniami ciag lymi. Przez G 0 bedziemy oznaczać jej sk ladowa spójności identyczności. Lemat W grupie ortogonalnej O(n) istnieje otoczenie V elementu neutralnego, takie że g O(n), gv g 1 = V. 2. Jeżeli G jest dowolna grupa topologiczna, to G 0 jest jej podgrupa normalna. 3. Jeżeli G O(n) jest spójna podgrupa, a U otwartym otoczeniem identyczności, to grupa generowana przez zbiór G U jest tożsama z G. Dowód: 1. Niech ɛ bedzie dowolna liczba dodatnia i niech V bedzie kula otwarta B(I, ɛ). g O(n) i h V z definicji (por. ćwiczenie 1.4) mamy ghg 1 I = g(h I)g 1 = h I < ɛ. I odwrotnie, jeżeli h = gh 1 g 1 gv g 1, to mamy h I = gh 1 g 1 I = h 1 I < ɛ.
19 Twierdzenia Bieberbacha Niech f : G 0 G bedzie funkcja określona wzorem f(g) = g 1. Ponieważ f jest ciag la, wiec f(g 0 ) jest spójna i wobec tego, że f(i) = I, mamy f(g 0 ) G 0. Analogicznie, jeżeli f h : G 0 G jest funkcja zdefiniowana wzorem f h (g) = gh, g G 0, to oczywiście f h jest ciag la, a dla h G 0 mamy h 1 G 0 i dlatego z równości f h (h 1 ) = I G 0 dostajemy f h (G 0 ) G 0. Podsumowujac otrzymujemy, że G 0 jest podgrupa grupy G. Podobne argumenty zastosowane do funkcji f h, określonej wzorem f h (g) = hgh 1, h G, g G 0, pokazuja, że f h (G 0) G 0 dla dowolnego h G. Zatem G 0 jest podgrupa normalna grupy G. 3. Niech < G U > oznacza podgrupe generowana przez zbiór G U. Zawieranie < G U > G jest oczywiste. Udowadniajac inkluzje w strone przeciwna, pokażemy najpierw, że < G U > jest zbiorem otwartym. Niech x < G U > i niech B(x, ɛ) bedzie dowolna kula otwarta o środku w punkcie x i promieniu ɛ zawarta w U. Wówczas dla dowolnego y B(x, ɛ) G mamy ( ) yx 1 I = yx 1 xx 1 = y x < ɛ. Stad yx 1 B(I, ɛ) G U G i y = yx 1 x < U G >. W konsekwencji zbiór S = G\ < G U > jest domkniety. Ponadto jeśli y S, to mamy zawieranie zbiorów B(y, ɛ) G G\ < U G >= S. W przeciwnym wypadku, dla x B(y, ɛ) G, x < U G > i z ( ), mielibyśmy y < U G >, co jest niemożliwe. Podsumowujac otrzymujemy, że zbiory S i < U G > sa jednocześnie otwarte i domkniete. Ponieważ U jest niepusty, a G spójny, wiec S =. Lemat 2.4 Niech Γ bedzie grupa krystalograficzna. Niech Ψ : E(n) O(n) bedzie rzutowaniem na pierwsza wspó lrzedn a. Wówczas Ψ(Γ) 0 jest grupa abelowa. Dowód: Niech U = B(I, ɛ), gdzie ɛ < 1/4, i γ 1 = (A 1, a 1 ), γ 2 = (A 2, a 2 ) (Ψ 1 (U) Γ). Zdefiniujmy rekurencyjnie ciag dla i 2 γ i+1 = [γ 1, γ i ]. Z defincji można zauważyć, że U jest otoczeniem stabilnym.
20 20 Rozdzia l 2 Mamy γ i+1 = ([A 1, A i ], (1 A 1 A i A 1 1 )a 1 + A 1 (1 A i A 1 1 A 1 i )a i ). Stad A i+1 = [A 1, A i ] oraz a i+1 1 A i a a 4 i. Z lematu 2.2 mamy lim i A i = I, a stad lim i a i = 0. Ponieważ Γ jest dyskretna, wiec γ i = (I, 0) dla dostatecznie dużych i. Z lematu 2.1 mamy A 1 A 2 = A 2 A 1. Z dowolności wyboru mamy przemienność elementów w zbiorze Ψ(Γ) 0 U, a to na podstawie punktu 3 lematu 2.3 dowodzi przemienności grupy Ψ(Γ) 0. Definicja 2.3 Niech T b edzie torusem. Generatorem T nazywamy taki element g T, że T = < g >. Lemat 2.5 Każdy torus grupy ortogonalnej ma generator. Dowód: Jeżeli T = R n /Z n, to g = (g 1, g 2,..., g n ), gdzie g 1, g 2,..., g n (0, 1) sa liniowo niezależne nad Q i podprzestrzeń rozpieta na nich (nad Q) ma zerowy przekrój ze zbiorem Q. Odpowiadajacym mu generatorem w grupie ortogonalnej jest element z lożony z obrotów o katy 2πg 1, 2πg 2,..., 2πg n dooko la odpowiednich osi. Jako przestrzeń topologiczna grupa E(n) jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych O(n) i R n. Stad O(n) i R n można traktować jako podprzestrzenie przestrzeni E(n), dzieki utożsamieniu pierwszej z nich z O(n) {0}, a drugiej z {I} R n. Niech Γ E(n) bedzie podgrupa i niech ΓR n = {γ(i, r) γ Γ, r R n }. Oznaczmy przez Λ(Γ) zbiór Γ (ΓR n ) 0. Jest jasne, że (ΓR n ) = Ψ(Γ) R n oraz (ΓR n ) 0 = Ψ(Γ) 0 R n. Lemat 2.6 Niech Γ bedzie dyskretna podgrupa grupy E(n). Wówczas: 1. Λ(Γ) jest abelowa podgrupa normalna i grupa ilorazowa Γ/Λ(Γ) jest skończona. 2. Istnieje torus T O(n) i podprzestrzeń W R n, takie że (i) T dzia l a trywialnie na W, (ii) Λ(Γ) T W, (iii) Λ(Γ) = A B, gdzie A jest skończona grupa abelowa, a B dyskretna i kozwarta podgrupa W.
21 Twierdzenia Bieberbacha 21 Dowód: 1. Mamy ΓR n /(ΓR n ) 0 = Ψ(Γ) R n /Ψ(Γ) 0 R n Ψ(Γ)/Ψ(Γ) 0. Ponieważ grupa Ψ(Γ) O(n) jest zwarta, wiec grupa Ψ(Γ)/Ψ(Γ) 0 jest skończona. Wystarczy teraz zauważyć, że grupa Γ/Λ(Γ) jest podgrupa, z dok ladnościa do monomorfizmu, grupy ΓR n /(ΓR n ) 0. Abelowość grupy Λ(Γ) dowodzimy poniżej. 2. Niech U O(n) bedzie otoczeniem stabilnym. Z rozważań poprzedzajacych lemat 2.2 i z lematu 2.3 (3) wnioskujemy, że Ψ(Γ) 0 =< U Ψ(Γ) 0 > jest pewnym torusem T. Niech W = {x R n g T, gx = x}, = Γ R n. Twierdzimy, że W. Niech δ. Ponieważ Λ(Γ) Γ, wiec [Γ, δ] Γ. Ponadto dla każdego γ Γ i a R n mamy [γt a, δ] = [γ, δ]. Stad [ΓR n, δ] [Γ, δ]. Po domknieciu mamy zawieranie [T, δ] [Γ, δ]. Ponieważ zbiór [T, δ] jest jednocześnie dyskretny i spójny, wiec [T, δ] = id. Stad dla każdego g T, gδ = δg i po ewaluacji w zerze gδ(0) = δ(0). Otrzymaliśmy zawieranie W. Kontynuujac, oznaczmy przez g generator torusa T. Ponadto niech W bedzie ortogonalnym dope lnieniem przestrzeni W w R n. Oczywiście odwzorowanie (g I) jest injekcja na przestrzeni W. Ponieważ zbiór odwzorowań różnowartościowych jest otwarty w zbiorze wszystkich odwzorowań liniowych, wiec istnieje element h Ψ(Γ), taki że h W = id W. Niech γ 0 = (h, x) Λ(Γ) jest takie, że x W (tzn. h(x) = x). Przypuśćmy, że dla każdego (h, y) Λ(Γ), y W. Pokażemy, że istnieje b R n, takie że (I, b)(h, y)(i, b) = (h, y+b hb) i h(y+b hb) = y+b hb. Proste wyliczenie pokazuje, że b = (h I) 1 (y). Stad, ewentualnie po sprzeżeniu przez odpowiednia translacje, istnieje element γ 0. Bedzie on wykorzystany do pokazania, że γ = (A, a) Λ(Γ), a W. Przypuśćmy, że element a nie należy do podprzestrzeni W. Wówczas [γ 0, γ] = (id, ha a) Γ R n = W. Ponieważ (ha a) W, wiec otrzymaliśmy sprzeczność. Stad Λ(Γ) T W. Jeżeli (h I)a W, to (h I) 2 a = 0. Ale z wyboru (h I) jest różnowartościowe, otrzymujemy wi ec sprzeczność.
22 22 Rozdzia l 2 W dowodzie punktu 2(iii), niech Φ : T W W oznacza rzutowanie na druga wspó lrzedn a. Z definicji Φ(Λ(Γ)) = Γ R n jest grupa dyskretna i Λ(Γ) A Z n. Tutaj A = Λ(Γ) T. Zakończymy teraz dowód pierwszego twierdzenia Bieberbacha. Z lematu 2.6 (2), zastosowanego do grupy krystalograficznej Γ, wystarczy udowodnić, że W = R n. Wykorzystamy w tym celu za lożenie o zwartości przestrzeni orbit R n /Γ. Ponieważ [Γ : Λ(Γ)] <, wiec także przestrzeń R n /Λ(Γ) jest zwarta. Stad istnieje zwarty obszar fundamentalny 0 F R n, taki że Λ(Γ)(F ) = R n. Z definicji oznacza to, że x R n, γ x Λ(Γ), takie że γ x (x) F. W szczególności x R n, m N, takie że γ x (x) < m. Niech 0 x W. Możemy za lożyć, że x = 2m. Niech γ x = (A, a) Λ(Γ). Z za lożenia < a, x >= 0. Ponadto γ x (x) 2 = γ x (x), γ x (x) = = Ax + a, Ax + a = ( x, x + a, a ) > x. Otrzymaliśmy sprzeczność. Stad W = R n, T = {I} i Λ(Γ) = Γ R n. Zanim udowodnimy drugie i trzecie twierdzenie Bieberbacha, przedstawmy ważny rezultat H. Zassenhausa z roku Twierdzenie 2.2 (Zassenhausa) Grupa Γ jest izomorficzna z grupa krystalograficzna wymiaru n wtedy i tylko wtedy, gdy ma normalna wolna i maksymalna podgrupe abelowa Z n skończonego indeksu. Dowód: Jeżeli Γ jest grupa krystalograficzna wymiaru n, to trzeba tylko udowodnić, że podgrupa translacji jest maksymalna. Niech dowolny element (A, a) Γ E(n) bedzie przemienny z dowolna translacja grupy Γ. Jest m = sup x,y F x y. T dzia la trywialnie na R n.
23 Twierdzenia Bieberbacha Z n Γ H 0 0 R n Γ H 0 h Γ 0 R n A(n) GL(n, R) 0 Diagram 2.1 oczywiste, że wówczas A = I. Zak ladamy teraz, że mamy dowolna abstrakcyjna grupe Γ, definiujac a krótki ciag dok ladny grup 0 Z n Γ H 0, ze skończona grupa H. Grupe abelowa Z n można rozpatrywać jako podgrupe przestrzeni wektorowej R n. Stad otrzymujemy diagram 2.1, w którym wszystkie pionowe strza lki sa monomorfizmami. Ponadto środkowy poziomy ciag grup jest rozszczepialny. Do definicji środkowego pionowego ciagu grup, Γ Γ A(n) = GL(n, R) R n, wykorzystujemy w lasności grupy Γ, które definiuja reprezentacje holonomii h Γ : H GL(n, Z) GL(n, R). g H, h Γ (g)(e i ) = ge i g 1. Tutaj e i Z n jest baza standardowa, a g oznacza dowolny element grupy Γ odwzorowywany na g. Ponieważ podgrupa abelowa Z n jest maksymalna, wiec reprezentacja holonomii jest monomorfizmem. Do zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że dowolna skończona grupa macierzy kwadratowych rzeczywistych wymiaru n, w odpowiedniej bazie, jest grupa macierzy ortogonalnych. Definicja 2.4 Grupe H z powyższego twierdzenia nazywamy grupa holonomii grupy krystalograficznej Γ. H 2 (H, R n ) = 0.
24 24 Rozdzia l 2 Przedstawimy teraz dowód drugiego twierdzenia Bieberbacha. Z twierdzenia Zassenhausa-Jordana (zob. [21]) wynika, że dla dowolnej grupy skończonej H, istnieje skończona liczba parami nieizomorficznych H-modu lów Z n. Udowodnimy silniejszy rezultat. Twierdzenie 2.3 Dla danego n, istnieje skończona liczba klas sprz eżoności skończonych podgrup grupy GL(n, Z). Dowód ([17, cz. 6, rozdz. I, s ]): Niech ρ : Z n Z n Z bedzie forma dwuliniowa, symetryczna, niezdegenerowana i dodatnio określona, o macierzy B w pewnej bazie. Niech G ρ = {g GL(n, Z) B = gbg T }, gdzie, przypomnijmy, g T oznacza macierz transponowana macierzy g. Nietrudno zauważyć, że podgrupa G grupy GL(n, Z) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pewna dwuliniowa, symetryczna, niezdegenerowana i dodatnio określona forma α na Z n, taka że G G α. Dwuliniowa forme definiujemy jako Σ g G g T g. Z drugiej strony, dyskretna podgrupa grupy ortogonalnej, która jest zbiorem odwzorowań liniowych zachowujacych dodatnia, symetryczna i niezdegenerowana forme kwadratowa, jest skończona (zob. [17, stwierdzenie 6.2, s. 37]). Niech L R n bedzie kozwarta, dyskretna podgrupa (krata), generowana przez elementy b 1, b 2,..., b n, i niech P = {Σ i=n i=1 r ib i 0 r i 1}. Z definicji vol(p ) = dx P 1dx 2... dx n = vol(l). Ponadto z algebry liniowej mamy vol(l) = det(b 1, b 2,..., b n ) = det( b i, b j ). Można pokazać, że każda pare (Z n, ρ), gdzie ρ jest odpowiednia forma, możemy traktować jak krate w R n o objetości jeden, a ρ jako iloczyn skalarny, w R n Z n R n. Potrzebny nam bedzie fakt, którego dowód bedzie konsekwencja poniższego lematu, nazywanego w literaturze twierdzeniem Minkowskiego. Lemat 2.7 Niech K R n bedzie wypuk lym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, takim że jeżeli x K, to x K. Niech L bedzie dowolna krata w R n. Wówczas, jeżeli vol(k) > 2 n vol(l),
25 Twierdzenia Bieberbacha 25 to K zawiera niezerowy punkt kraty L. Dowód: Rozważmy rzutowanie p : R n R n /L. Niech K/2 = {(x/2) x K}. Ponieważ vol(k/2) = 1 2 n vol(k), wi ec z za lożenia mamy vol(k/2) > vol(l). Stad obciecie p do K/2 nie jest odwzorowaniem różnowartościowym. Oznacza to istnienie elementów (x/2), (y/2) K/2, takich że p(x/2) = p(y/2). W konsekwencji 0 (x/2) (y/2) L. Jednocześnie punkt (x/2 y/2) jest środkiem odcinka l acz acego punkt x z punktem y i, co wynika z w lasności zbioru K, jego elementem. To kończy dowód lematu. Oznaczmy przez B(r) domkniet a kule o promieniu r. Niech ω n = vol(b(r)) r n. Z ostatniego lematu mamy, że dla r n > 2n ω n i kraty L o objetości jeden, zbiór B(r) L jest niepusty. Stad dla c n określonego równościa ma miejsce poniższy fakt. c n = 4 (ω n ) 2 n Fakt: Istnieje liczba c n, taka że każda krata L R n o objetości jeden zawiera punkt x 0 0, spe lniajacy nierówność < x 0, x 0 > c n. Do sformu lowania nast epnego lematu b edzie nam potrzebna definicja. Definicja 2.5 Niech ρ, ρ : Z n Z n Z oznaczaja symetryczne odwzorowania dwuliniowe (formy kwadratowe). Mówimy, że ρ i ρ sa izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm grup f : Z n Z n, taki że m, n Z n, ρ(m, n) = ρ (f(m), f(n)).
26 26 Rozdzia l 2 Lemat 2.8 (twierdzenie Eisensteina, Hermite, Jordana) Istnieje tylko skończenie wiele, z dok ladnościa do izomorfizmu, symetrycznych, niezdegenerowanych i dodatnio określonych odwzorowań dwuliniowych z Z n Z n do Z. Dowód: B edziemy stosować indukcj e. Dla n = 1 dowód jest oczywisty. Ponadto, z tego co powiedzieliśmy powyżej, wystarczy udowodnić nasz lemat dla krat o objetości jeden. Za lóżmy, że lemat jest prawdziwy dla wymiarów < n. Niech L R n bedzie dowolna krata o objetości jeden i L 0 = {y L x 0, y 0mod x 0, x 0 }, gdzie x 0 jest elementem z powyższego faktu. Dla y L 0, mamy y, x 0 / x 0, x 0 Z. Stad element y ( y, x 0 / x 0, x 0 )x 0 należy do L 0 i jest ortogonalny do x 0. Zatem L 0 jest ortogonalna suma prosta podprzestrzeni X = gen< x 0 > i X = {x L 0 x, x 0 = 0} = X 1. Tutaj gen< x 0 > oznacza podprzestrzeń generowana przez element x 0. Z za lożenia indukcyjnego wynika, że lemat jest prawdziwy dla X i X 1. Stad jest tylko skończona ilość izomorficznych form kwadratowych na L 0. Ponieważ indeks L : L 0 spe lnia nierówność L : L 0 x 0, x 0 < c n, wi ec liczba form kwadratowych na kracie L jest także ograniczona. Aby zakończyć dowód drugiego twierdzenia Bieberbacha, zauważmy, że dla danego H modu lu Z n ilość krótkich ciagów dok ladnych 0 Z n Γ H 0 jest ograniczona (zob. [5, wniosek 10.12, s. 373]) liczba elementów grupy skończonej H 2 (H, Z n ). To kończy dowód drugiego twierdzenia Bieberbacha. W celu przeprowadzenia dowodu trzeciego twierdzenia Bieberbacha za lóżmy, że mamy izomorfizm h : Γ Γ dwóch grup krystalograficznych wymiaru n.
27 Twierdzenia Bieberbacha 27 Obci ecie h (Γ R n ) tego izomorfizmu do podgrupy translacji jednoznacznie wyznacza odwzorowanie liniowe reprezentowane przez macierz A GL(n, R). Niech (γ, a) Γ. Po lóżmy h(γ, a) = (r, c) Γ. Mamy h((γ, a)(i, e i )(γ 1, γ 1 a)) = (I, Aγ(e i )). Z definicji raγ(e i ) = Aγ(e i ), dla i = 1, 2,..., n. Stad r = AγA 1. Sprzegaj ac izomorfizm h, przez odpowiednia macierz z grupy GL(n, R), możemy przyjać, że macierz A jest identycznościa. Niech h(γ, a) = (γ, a ) Γ. Zwykle a a. Po lóżmy γ = (γ, a a ). Latwo udowodnić, że odwzorowanie h : Γ A(n), zdefiniowane wzorem h(γ, a) = γ, jest homomorfizmem i kerh = Γ R n. Stwierdzenie 1.8 zapewnia istnienie punktu sta lego x 0 R n, dzia lania skończonej grupy liniowej h(γ) na przestrzeni R n. Mamy x 0 = γ (x 0 ) = γ(x 0 ) + a a. Stad a = γ(x 0 ) + a + x 0, dla wszystkich γ Γ. W końcu, dla dowolnego x R n, otrzymujemy (I, x 0 )(γ, a )(I, x 0 )x = (I, x 0 )(γ(x x 0 ) + a ) = γ(x) γ(x 0 ) + a + x 0 = (γ, a)x. Zatem (I, x 0 )Γ (I, x 0 ) = Γ (por. [62, s. 123]). Stad izomorfizm h ma adane w lasności, tzn. jest sprzeżeniem w grupie A(n). ż Jako dodatek do twierdzeń Bieberbacha, udowodnimy dwa stwierdzenia o w lasnościach skończonych grup macierzowych. Chociaż drugie jest latwym wnioskiem z lematów w dowodzie drugiego twierdzenia Bieberbacha, przytaczamy je ze wzgledu na interesujacy dowód. Stwierdzenie 2.1 (twierdzenie Jordana) Istnieje liczba ν(n), taka że dowolna podgrupa skończona F grupy ortogonalnej O(n) ma normalna podgrupe abelowa A(F ) indeksu mniejszego od ν(n). Dowód: Niech U = B(I, ɛ) bedzie stabilnym otoczeniem identyczności grupy O(n) i U = B(I, ɛ ). Po lóżmy ν(n) tak, aby µ(u ) > 1. Tutaj µ() oznacza 2 ν(n) miare Haara na O(n). Ponadto niech A(F ) =< U F >. Z lematu 2.3(1) wynika, że podgrupa A(F ) jest normalna, a z lematu 2.4 że jest także abelowa. Z za lożenia F/A(F ) = {[f 1 ], [f 2 ],..., [f m ]}, gdzie [f] oznacza klase
28 28 Rozdzia l 2 abstrakcji elementu f F. Z definicji, jeżeli [f i ] [f j ], to f i U f j U = 0. Stad mµ(u ) = Σ m i=1µ(f i U ) 1 i F/A(F ) = m 1 µ(u ) < ν(n). Stwierdzenie 2.2 Istnieje tylko skończona liczba parami nieizomorficznych, skończonych podgrup grupy GL(n, Z). Dowód [24]: Niech p oznacza nieparzysta liczbe pierwsza. Udowodnimy, że adro naturalnego homomorfizmu j φ : GL(n, Z) GL(n, Z/pZ) jest beztorsyjne. Niech macierz A I należy do kerφ. Mamy A = I + pb, gdzie B M(n, Z). Przypuśćmy, że istnieje liczba pierwsza q, taka że ( ) q A q = (I + pb) q = I + pqb + p 2 B p q B q = I. 2 Po redukcji otrzymujemy ( ) q qb + pb ( ) q p 2 B p q 1 B q = 0. 3 Niech α bedzie maksymalna liczba o takiej w lasności, że p α dzieli wszystkie wspó lczynniki macierzy B. Ponieważ każdy wyraz macierzy pb 2 jest podzielny przez p 2α+1, wiec elementy macierzy qb sa podzielne przez p 2α+1. Stad jeżeli p q, to z maksymalności α mamy 2α + 1 α, co jest niemożliwe. Jeżeli natomiast p = q, to 2α α i α = 0. Ponadto mamy ( ) ( ) p p B + B 2 + pb p p 2 B p = Ponieważ liczba pierwsza p jest nieparzysta, wiec p ( p 2) i p dzieli pozosta le sk ladniki ostatniej sumy. Stad p dzieli wyrazy macierzy B i α 1. Otrzymana sprzeczność dowodzi beztorsyjności jadra kerφ. W szczególności, każda skończona podgrupa grupy GL(n, Z) ma trywialny przekrój z jadrem φ i jest izomorficzna z pewna podgrupa grupy skończonej GL(n, Z 3 ). M(n, Z) oznacza zbiór macierzy kwadratowych stopnia n o wyrazach ca lkowitych.
29 Twierdzenia Bieberbacha 29 Przyk lad 2.2 Niech Γ E(n) bedzie beztorsyjna grupa krystalograficzna. Przestrzeń orbit R n /Γ jest rozmaitościa. Jeżeli pominiemy za lożenie beztorsyjności, to przestrzeń orbit R n /Γ nazywamy orbifoldem. Rozmaitości (orbifoldy)zdefiniowane w powyższym przyk ladzie nazywaja sie p laskimi. Nazwa ma zwiazek z geometria Riemanna, w której przestrzeń euklidesowa R n ma krzywizne sekcyjna zero, co potocznie nazywa sie p laskościa (zob. [60]). W algebrze liniowej orientacja przestrzeni wektorowej nazywamy wybór bazy. Dwie orientacje sa zgodne, jeśli macierz przejścia z jednej bazy do drugiej ma dodatni wyznacznik. Definicja 2.6 Rozmaitość nazywamy orientowalna, jeżeli istnieje atlas, w którym wszystkie funkcje przejścia zachowuja wybrana orientacje przestrzeni R n. Rozma- Przyk lad 2.3 Rozmaitości R n, C n, CP n, S n, T n sa orientowalne. itość RP n oraz butelka Kleina nie sa orientowalne. Kończac te cześć wprowadźmy jeszcze jedno kluczowe określenie. Definicja 2.7 Beztorsyjna grupe krystalograficzna nazywamy grupa Bieberbacha. Ćwiczenie 2.1 Udowodnić, że jeżeli ciag le odwzorowanie f : X Y pomiedzy przestrzeniami topologicznymi jest domkniete i na, to X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy Y jest zwarta. Ćwiczenie 2.2 Udowodnić, że jeżeli Γ jest beztorsyjna grupa krystalograficzna wymiaru n, to odwzorowanie rzutowania (ilorazowe) R n R n /Γ jest nakryciem. Ponadto przestrzeń orbit R n /Γ jest rozmaitościa. Ćwiczenie Udowodnić, że jeśli G O(n) jest podgrup a, to jej domkni ecie G jest także podgrup a grupy O(n). 2 (por. ćwiczenie 2.4 (5)). Opisać dyskretne podgrupy grupy R n. Kiedy taka podgrupa jest kozwarta?
30 30 Rozdzia l 2 Ćwiczenie Udowodnić, że maksymalna spójna abelowa podgrupa grupy O(n) jest torusem, tzn. (S 1 ) k, dla pewnego k N. 2. Udowodnić, że jeżeli G jest domkniet a podgrupa grupy ortogonalnej O(n), to G 0 jest jej dzielnikiem normalnym o skończonym indeksie (por. [1, twierdzenie ]). 3. Niech Γ E(n) bedzie podgrupa grupy izometrii przestrzeni R n. Udowodnić, że (ΓR n ) = Ψ(Γ) R n, gdzie Ψ : E(n) O(n), jest rzutowaniem na pierwsza wspó lrzedn a. 4. Udowodnić, że dla dowolnego elementu (A, a) E(n) istnieje b R n, takie że t b (A, a)t b = (A, c) i A(c) = c. 5. Udowodnić, że dyskretna i kozwarta podgrupa R n jest izomorficzna z Z n. Ćwiczenie Niech G 1 G E(n) bedzie ciagiem podgrup. Udowodnić, że jeżeli G jest kozwarta, G 1 G o skończonym indeksie, to G 1 jest kozwarta podgrupa grupy E(n). 2. Niech Γ bedzie podgrupa grupy E(n). Udowodnić, że funkcja F : R n /Γ R, zdefiniowana wzorem F ([x]) = inf γ Γ { γx }, jest dobrze zdefiniowana i ciag la. Ćwiczenie 2.6 Udowodnić, że w twierdzeniu Zassenhausa maksymalność podgrupy Z n w grupie Γ jest równoważna wierności reprezentacji holonomii h Γ, zdefiniowanej w dowodzie twierdzenia. Ćwiczenie 2.7 [17, ćwiczenie 6.7, s. 38] Pokazać, że każda pare (Z n, ρ), gdzie ρ jest odpowiednia forma, możemy traktować jak krate w R n o objetości jeden, a ρ jako iloczyn skalarny, w R n. Ćwiczenie 2.8 [17, ćwiczenie 6.8, s. 38] Niech L i L 0 bed a kratami z lematu 2.8, a x 0 punktem z L zdefiniowanym przed definicja 2.5. Pokazać, że L : L 0 < x 0, x 0. Ćwiczenie 2.9 Udowodnić, że powyżej (w dowodzie trzeciego twierdzenia Bieberbacha) zdefiniowane odwzorowanie h : Γ A(n) jest homomorfizmem i ker h = Γ R n. Ćwiczenie 2.10 Uzupe lnić dowód twierdzenia Jordana.
31 3. Metody klasyfikacji Opiszemy teraz beztorsyjne grupy krystalograficzne, wymiaru dwa i trzy. Sa tylko dwie dwuwymiarowe p laskie rozmaitości torus i butelka Kleina (zob. przyk lad 2.1). W wymiarze trzy mamy dziesieć p laskich rozmaitości. Bedziemy opisywać je kolejno. Jest sześć grup Bieberbacha wymiaru trzy z cyklicznymi grupami holonomii (zob. na przyk lad [60, s. 125]) trzy (jedna orientowalna) z grupa holonomii Z 2 i po jednej (wszystkie orientowalne) z grupa holonomii, odpowiednio, Z 3, Z 4, Z 6. Ponadto mamy orientowalny torus i trzy grupy Bieberbacha wymiaru trzy z grupa holonomii Z 2 Z 2 (jedna orientowalna) Niech A 1 = Definiujemy Γ 1 =< (A 1, (1/2, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Orientowalny platycosm R 3 /Γ 1, z grupa holonomii Z 2, jest nazywany dicosm (zob. [22]). Odpowiada on rozmaitości oznaczonej G 1 w [60]. Niech A 2 = Definiujemy Γ 2 =< (A 2, (1/2, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Nieorientowalny platycosm R 3 /Γ 2, z grupa holonomii Z 2, jest nazywany first amphicosm ([22]; B 1 w [60]). Niech A 3 = Definiujemy Γ 3 =< (A 3, (1/2, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Wed lug J. Conwaya [22], nasz wszechświat (cosmos) zbudowany jest z 3-rozmaitości p laskich, tzw. platycosms.
32 32 Rozdzia l 3 Nieorientowalny platycosm R 3 /Γ 3, z grupa holonomii Z 2, jest nazywany second amphicosm ([22]; B 2 w [60]). Niech C 1 = , C 2 = Definiujemy Γ 4 =< (C 1, (1/2, 0, 0)), (C 2, (0, 0, 1/2)), (I, (0, 1, 0)) > E(3). Nieorientowalny platycosm R 3 /Γ 4, z grupa holonomii Z 2 Z 2, jest nazywany first amphidicosm ([22]; B 3 w [60]). Niech D 1 = , D 2 = Definiujemy Γ 5 =< (D 1, (1/2, 1/2, 0)), (D 2, (0, 0, 1/2)), (I, (0, 1, 0)) > E(3). Nieorientowalny platycosm R 3 /Γ 5, z grupa holonomii Z 2 Z 2, jest nazywany second amphidicosm ([22]; B 4 w [60]). Niech A 6 = Definiujemy Γ 6 =< (A 6, (1/3, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Orientowalny platycosm R 3 /Γ 6, z grupa holonomii Z 3, jest nazywany tricosm ([22]; G 3 w [60]). Niech A 7 = Definiujemy Γ 7 =< (A 7, (1/4, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Orientowalny platycosm R 3 /Γ 7, z grup a holonomii Z 4, jest nazywany tetracosm ([22]; G 4 w [60]).
33 Metody klasyfikacji 33 Niech A 8 = Definiujemy Γ 8 =< (A 8, (1/6, 0, 0)), (I, (0, 1, 0)), (I, (0, 0, 1)) > E(3). Orientowalny platycosm R 3 /Γ 8, z grupa holonomii Z 6, jest nazywany hexacosm ([22]; G 5 w [60]). Niech B 1 = , B 2 = Definiujemy Γ 9 =< (B 1, (1/2, 1/2, 0)), (B 2, (0, 1/2, 1/2)) > E(3). Orientowalny platycosm R 3 /Γ 9, z grupa holonomii Z 2 Z 2, jest nazywany didicosm ([22]; G 6 w [60]). Niech Γ 10 = Z 3. R 3 /Γ 10 jest torusem nazywanym cubical torocosm [22]. Wprowadzimy teraz pojecie pierwszej grupy kohomologii. Niech G bedzie dowolna grupa, M zaś G-modu lem. Zdefiniujmy grupe HS(G, M) homomorfizmów skrzyżowanych jako zbiór {f : G M g 1, g 2 G, f(g 1 g 2 ) = g 1 f(g 2 ) + f(g 1 )}, z dzia laniem dodawania. skrzyżowanych g lównych Ma ona podgrup e HSG(G, M) homomorfizmów {f : G M a M, g G, f(g) = ga a}. Definiujemy H 1 (G, M) = HS(G, M)/HSG(G, M). Z d lugiego ciagu dok ladnego dla kohomologii, który pochodzi od krótkiego ciagu dok ladnego G-modu lów 0 Z n R n R n /Z n 0, mamy izomorfizm H 1 (G, R n /Z n ) H 2 (G, Z n ) (zob. [5, s. 364]).
34 34 Rozdzia l 3 Przypomnijmy, że z dowolna grupa krystalograficzna Γ jest zwiazany krótki ciag dok ladny grup (zob. twierdzenie 2.2) 0 Z n Γ p G 0, gdzie podgrupa Z n jest maksymalna podgrupa abelowa, a G skończona. Powyższy ciag definiuje tak zwana reprezentacje holonomii Jest ona dana wzorem h Γ : G GL(n, Z). g G, h Γ (g)(e i ) = ge i g 1, gdzie e i Z n, i = 1, 2,..., n, jest standardowa baza, a p(g) = g, dla g Γ. Stwierdzenie 3.1 Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomi edzy grupami krystalogarficznymi wymiaru n, o danej reprezentacji holonomii grupy skończonej G, a elementami grupy kohomologii H 1 (G, R n /Z n ). Dowód ([5, s. 338, twierdzenie 10.7]): Niech Γ E(n) bedzie grupa krystalograficzna wymiaru n, rozważana powyżej. Latwo zobaczyć, że jest ona zbiorem par {(A, s(a) + t)}, gdzie A Ψ(Γ), a t Γ R n. Z twierdzenia 2.2, z dok ladnościa do sprzeżenia w grupie GL(n, R), Ψ(Γ) możemy utożsamić z obrazem reprezentacji holonomii h Γ. Ponadto s(a) {(a 1, a 2,..., a n ) Q n i {1, 2,..., n}, 0 a i < 1}. Stad grupie Γ przyporzadkowaliśmy element [s()] H 1 (G, R n /Z n ). I odwrotnie, każdy element [s()] H 1 (G, R n /Z n ) definiuje zbiór elementów Π = {(A, s(a) + z)} E(n), gdzie z Z n. Udowodnienie, że Π jest grupa krystalograficzna pozostawiamy jako ćwiczenie. Podamy teraz bardzo proste kryterium beztorsyjności grupy krystalograficznej. Twierdzenie 3.1 Niech Γ bedzie n-wymiarowa grupa krystalograficzna, a α H 2 (G, Z n ) kocyklem odpowiadajacym grupie Γ. Wówczas Γ jest grupa beztorsyjna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej grupy cyklicznej rzedu pierwszego p, Z p G, wartość homomorfizmu obciecia res G Z p (α) H 2 (Z p, Z n ) jest różna od zera.
35 Metody klasyfikacji 35 Dowód: Homomorfizm res G Z p : H 1 (G, R n /Z n ) H 1 (Z p, R n /Z n ) oznacza homomorfizm obciecia. Klasie kocyklu przyporzadkowujemy klase rozpatrywana tylko na podgrupie Z p G. Wykorzystujemy tutaj utożsamienie H 1 (G, R n /Z n ) H 2 (G, Z n ). Niech Γ bedzie grupa beztorsyjna. Przypuśćmy, że istnieje element g G, rzedu pierwszego p, taki że res G <g>(α) = 0. Jest to równoważne temu, że nastepuj acy krótki ciag dok ladny grup 0 Z n p 1 (< g >) < g > Z p 0 si e rozszczepia. Z definicji oznacza to istnienie homomorfizmu grup h :< g > Z p p 1 (< g >), takiego że ph = id (<g> Zp), gdzie < g > G jest podgrupe cykliczna rzedu p generowana przez element g. Stad grupa Γ jest torsyjna. Otrzymaliśmy sprzeczność. Dowód w przeciwna strone jest podobny. Niech n oznacza liczbe naturalna. Z drugiego twierdzenia Bieberbacha wiemy, że istnieje tylko skończona liczba n-wymiarowych grup krystalograficznych, z dok ladnościa do izomorfizmu. Stad problem klasyfikacji ma sens. Przedstawimy teraz trzy metody klasyfikacji i ich kolejne kroki. Pierwsza metoda klasyfikacji algorytm Zassenhausa [60]: 1. Opisać wszystkie skończone podgrupy grupy GL(n, Z). 2. Opisać wszystkie G-modu ly wierne Z n. 3. Obliczyć H 2 (G, Z n ) = H 1 (G, R n /Z n ) dla wszystkich grup skończonych G z punktu 1 i G-modu lów Z n z punktu Określić, które grupy krystalograficzne z punktu 3, zdefiniowane przez elementy z grupy kohomologii, sa izomorficzne. Druga metoda klasyfikacji metoda indukcyjna Calabiego [60], dla grup beztorsyjnych: 1. Sklasyfikować wszystkie beztorsyjne grupy krystalograficzne wymiaru < n. 2. Opisać wszystkie beztorsyjne grupy krystalograficzne Γ wymiaru n, których abelianizacja Γ/[Γ, Γ] jest skończona. Modu l nazywamy wiernym, jeśli odpowiadajaca mu reprezentacja grupy G GL(n, Z) jest wierna, czyli różnowartościowa.
36 36 Rozdzia l 3 3. Opisać wszystkie beztorsyjne grupy krystalograficzne Γ wymiaru n, zdefiniowane przez krótki ciag dok ladny grup 0 Γ n 1 Γ Z 0, gdzie Γ n 1 jest dowolna beztorsyjna grupa krystalograficzna wymiaru (n 1). Trzecia metoda klasyfikacji metoda niezmiennika Vasqueza [51], dla grup beztorsyjnych, z dana skończona grupa holonomii G: 1. Wyznaczyć wartość niezmiennika Vasqueza n(g) i zwiazanych z nim grup(y) Bieberbacha Γ G wymiaru n(g). 2. Opisać wszystkie beztorsyjne grupy krystalograficzne Γ wymiaru n n(g), wystepuj ace w ciagu dok ladnym grup 0 Z (n n(g)) Γ Γ G Sklasyfikować wszystkie grupy Bieberbacha wymiaru n(g) z grupa holonomii G. Jeśli chodzi o pierwsza metode, to jest ona w pewnym sensie najbardziej efektywna. Stosujac ja, sklasyfikowano grupy krystalograficzne wymiaru mniejszego lub równego 5 (zob. [18]). Jeśli chodzi o wyższe wymiary, to znana jest (zob. [18]) lista grup beztorsyjnych wymiaru 6. Wiadomo (zob. [41, s. 16]), że grupa kohomologii H 2 (G, Z 6 ) może mieć rzad 2 30 = , dla pewnej podgrupy skończonej, grupy GL(6, Z). Stad już w wymiarze 6 ilość grup krystalograficznych jest tak duża, że ich klasyfikacja nie jest możliwa bez pomocy komputera. W istocie pierwsza metoda jest pewnym algorytmem. Jej punkt 1 jest realizowalny w wymiarach mniejszych niż 30. Jeśli chodzi o punkt 3, to znany jest algorytm na wyznaczenie drugiej grupy kohomologii. W programie GAP [28] istnieje pakiet Carat, bazujacy na algorytmie Zassenhausa, który pozwala znaleźć liste grup krystalograficznych, ma lych wymiarów, z dana grupa holonomii. Dok ladniejsze omówienie tej metody można znaleźć w pracy W. Pleskena [43] (zob. także [18]). Druga metoda klasyfikacji ma swoje źród lo w poniższym stwierdzeniu E. Calabiego. Korzystajac z niej uda lo mu sie opisać wszystkie p laskie rozmaitości wymiaru cztery (por. [16] i [31]). Stwierdzenie 3.2 (Calabiego) Niech Γ bedzie beztorsyjna grupa krystalograficzna wymiaru n. Ponadto niech bedzie dany epimorfizm f : Γ Z.
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoO centralizatorach skończonych podgrup
O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe
Bardziej szczegółowoP. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF
29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów
Wyk lad 6 Przyk lady hooorfizów Przyk lad 6.1. Dla dowolnych grup (G 1, 1, e 1 ), (G 2, 2, e 2 ) przekszta lcenie f: G 1 G 2 dane wzore f(x) = e 2 dla x G 1 jest hooorfize grup, bo f(a) 2 f(b) = e 2 2
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowoGrupa klas odwzorowań powierzchni
Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowo1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.
Algebra I Bardzo dobrym źród lem zadań (ze wskazówkami do rozwia zań) jest M Bryński, J Jurkiewicz - Zbiór zadań z algebry, doste pny w bibliotece Moje zadania dla studentów z *: https://wwwmimuwedupl/%7eaweber/zadania/algebra2014/grupyzadpdf
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowo5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe
22 5 Podgrupy normalne i grupy ilorazowe Niech ϕ : G H be dzie homomorfizmem Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych G/ ker ϕ grupy G wzgle dem podgrupy ker ϕ Latwo zauważyć, że ϕ(x) = ϕ(y) x 1 y ker ϕ x
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoROZDZIA l 13. Zbiór Cantora
ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoZadania o transferze
Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść pierwsza Anna Romanowska 26 marca 2014 1 Pó lgrupy i monoidy 1.1 W lasności podstawowe Definicja 1.11. Pó lgrupa nazywamy pare (P, ), gdzie P jest zbiorem,
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoLiteratura: Oznaczenia:
Literatura: 1. R.R.Andruszkiewicz,,,Wyk lady z algebry ogólnej I, Wydawnictwo UwB, Bia lystok 2005. 2. Cz. Bagiński,,,Wst ep do teorii grup, Wydawnictwo Script, Warszawa 2002. 3. M. Bryński i J. Jurkiewicz,,,Zbiór
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoZadania o grupach Zadania zawieraja
Zadania o grupach 18112014 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [BT] A Bojanowska, P Traczyk, Algebra I (skrypt) http://wwwmimuwedupl/%7eaboj/algebra/algfinv1pdf [Br] J Browkin, Teoria cia, BiblMat49,
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Bardziej szczegółowo1. Zadania z Algebry I
1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0
Bardziej szczegółowo1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoUproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany W. Rytter Dla uproszczenia rozważamy tylko teksty binarne. S lowa Lyndona sa zwartymi reprezentacjami liniowymi s lów cyklicznych. Dla s lowa x niech
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoWyk lady z topologii I
Wyk lady z topologii I Wies law Kubiś Akademia Świȩtokrzyska ul. Świȩtokrzyska 15, 25-406 Kielce, Poland E-mail: wkubis@pu.kielce.pl 1 maja 2006 Spis treści 1 Przestrzenie metryczne 3 1.1 Definicje........................................
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowo