Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
|
|
- Zbigniew Krupa
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść pierwsza Anna Romanowska 26 marca Pó lgrupy i monoidy 1.1 W lasności podstawowe Definicja Pó lgrupa nazywamy pare (P, ), gdzie P jest zbiorem, a : P P P ; (a, b) a b jest określonym w P dzia laniem l acznym, tzn. a, b, c P, (a b) c = a (b c). Definicja Monoidem nazywamy trójke (P,, 1), gdzie (P, ) jest pó lgrupa a 1 jest elementem neutralnym (jednościa monoidu), tzn. a P, a 1 = 1 a = a. W dalszym ciagu zarówno pó lgrupe (P, ) (monoid (P,, 1)), jak i zbiór P oznaczać bedziemy czasem tym samym symbolem P. Jedność monoidu P oznaczać bedziemy czasem symbolem 1 P. Pó lgrupa (monoid) P jest przemienna (przemienny), jeśli dzia lanie jest przemienne, tj Przyk lady pó lgrup a, b P, a b = b a. (a) Dla niepustego zbioru X, zbiór wszystkich funkcji X X := {f : X X} wraz ze sk ladaniem funkcji. (b) Zbiór wszystkich macierzy wymiaru n k o elementach w pierścieniu R wraz z dodawaniem macierzy. (c) Zbiór wszystkich macierzy wymiaru n n o elementach w pierścieniu R wraz z mnożeniem macierzy. 1
2 PÓ LGRUPY I MONOIDY 2 (d) Rodzina zbiorów zamkni eta na przeci ecia z przeci eciem zbiorów. (e) Każdy ze zbiorów N, Z, Q, R, C ze zwyk lym dodawaniem. (f) Każdy ze zbiorów N, Z, Q, R, C ze zwyk lym mnożeniem. Każdy z wyżej wymienionych przyk ladów jest również przyk ladem monoidu. (Czym sa jedności?) Definicja Podpó lgrupa (podmonoidem) pó lgrupy (P, ) (monoidu (P,, 1)) nazywamy podzbiór R P taki, że a, b R, a b R (w przypadku monoidu, również 1 R), z mnożeniem określonym, jak w P. Jeśli R jest podpó lgrupa (podmonoidem) pó lgrupy (monoidu) P, to piszemy R P. Stwierdzenie Jeśli P i, gdzie i I, jest rodzina podpó lgrup (podmonoidów) pó lgrupy (monoidu) P, to i I P i jest również podpó lgrupa (podmonoidem). Jeśli A P, to {P i P i P i A P i } =: A i I jest najmniejsza podpó lgrupa (podmonoidem) P zawierajac a A. Mówimy, że A generuje A. W przypadku, gdy P = A, mówimy, że A generuje P. Jeśli A = {a} i P = a := {a}, to P jest pó lgrupa (monoidem) cyklicznym. W przypadku, gdy P jest skończona, najmniejsza liczbe q, dla której istnieje takie r N, że a q = a q+r nazywamy indeksem P i oznaczamy symbolem i. Jeśli a i = a i+r, to dla każdego j i, mamy a j = a j+r. Najmniejsza liczbe q taka, że a i = a i+q nazywamy okresem P i oznaczamy przez p. Zauważmy, że j N, a i = a i+pj. Ponadto, k = i + jp + q, gdzie j 0, 0 q p 1, mamy a k = a i+jp+q = a i+jp+q = a i a q = a i+q.
3 PÓ LGRUPY I MONOIDY 3 Stad a w przypadku monoidu, a = {a, a 2,..., a i+p 1 }, a = {1, a, a 2,..., a i+p 1 }. Definicja Produktem (lub iloczynem) prostym pó lgrup (monoidów) P i, gdzie i I, nazywamy pó lgrup e (monoid) ( i I P i, )(( i I P i,, 1)), gdzie dla wszystkich f, g i I P i a w przypadku monoidów, ponadto (f g)(i) := f(i) g(i), 1 P i (j) := 1 Pj Definicja Niech P i R bed a pó lgrupami (monoidami). Przekszta lcenie h : P R nazywamy homomorfizmem pó lgrup (monoidów), jeśli a, b P, h(a b) = h(a) h(b), a w przypadku monoidów, dodatkowo h(1 P ) = 1 R. Zauważmy, że obraz homomorficzny h(p ) jest podpó lgrupa (podmonoidem) pó lgrupy (monoidu) P. Jeśli h jest bijekcja, homomorfizm h nazywa sie izomorfizmem, a o pó lgrupach P i R mówimy, że sa izomorficzne, co zapisujemy symbolem P = R. Jeśli przekszta lcenie h jest różnowartościowe, homomorfizm h nazywa sie monomorfizmem lub zanurzeniem. Automorfizm P jest to izomorfizm P na P. Endomorfizm P jest to homomorfizm P w P. Stwierdzenie Niech (P,, 1) b edzie monoidem cyklicznym. Jeśli zbiór P jest nieskończony, to (P,, 1) = (N, +, 0). Jeśli zbiór P jest skończony, to monoid (P,, 1) jest wyznaczony jednoznacznie przez swój indeks i okres. Definicja Niech P bedzie pó lgrupa (monoidem). Relacje równoważności α EqP na zbiorze P nazywamy kongruencja pó lgrupy (monoidu) P, jeśli α P P.
4 PÓ LGRUPY I MONOIDY 4 Niech CgP oznacza zbiór wszystkich kongruencji pó lgrupy P. Niech α EqP. Wtedy (α CgP ) ( a, b, a, b P, a α a, b α b ab α a b ). W zbiorze ilorazowym P/α określamy dzia lanie a/α b/α := (ab)/α. Zauważmy, że dzia lanie jest dobrze określone, ponadto (P/α, ) jest pó lgrupa. (A w przypadku, gdy P jest monoidem również (P/α,, 1 P/α ), gdzie 1 P/α := 1/α, jest monoidem.) Stwierdzenie Niech P i R bed a pó lgrupami (monoidami). (a) Jeśli α CgP, to nat α : P P/α; a a/α jest homomorfizmem pó lgrup (monoidów). (b) Jeśli h : P R jest homomorfizmem pó lgrup (monoidów), to relacja ker h określona nastepuj aco (a, b) ker h : h(a) = h(b), jest kongruencja pó lgrupy (monoidu)p. Twierdzenie (o izomorfizmie) Niech h : P R b edzie homomorfizmem pó lgrup (monoidów). Istnieje wtedy izomorfizm i : P/ ker h h(p ) taki, że i (nat ker h) = h. Inaczej mówiac diagram poniżej jest przemienny. P nat ker h h R P/ker h i h(p ) Niech P bedzie pó lgrupa (monoidem) i niech x P. Przekszta lcenia R x : P P ; a ax, L x : P P ; a xa nazywamy odpowiednio prawym i lewym mnożeniem P przez x.
5 PÓ LGRUPY I MONOIDY 5 Twierdzenie (o reprezentacji dla monoidów)niech P b edzie monoidem. Wtedy przekszta lcenie R : P P P ; x R x jest zanurzeniem monoidu P w monoid przekszta lceń zbioru P w siebie. Twierdzenie to pozostaje prawdziwe, jeśli przekszta lcenie R zastapić przekszta lceniem L : P P P ; x L x. Niech P be dzie pó lgrupa i niech 1 bedzie elementem nie należa cym do zbioru P. Wtedy zbiór P := P {1}, w którym dodatkowo określamy x 1 = 1 x = x dla każdego x P, tworzy monoid. Twierdzenie (o reprezentacji dla pó lgrup)niech P b edzie pó lgrupa. Wtedy przekszta lcenie R : P (P ) P ; x R x : P P jest zanurzeniem pó lgrupy P w pó lgrupe przekszta lceń zbioru P w siebie. Wniosek Każdy monoid jest izomorficzny z pewnym monoidem przekszta lceń. Podobnie, każda pó lgrupa jest izomorficzna z pewna pó lgrupa przekszta lceń. 1.2 Wolne monoidy i kody Definicja Pó lgrupe (monoid) P nazywamy wolna w klasie wszystkich pó lgrup (wolnym w klasie wszystkich monoidów), jeśli istnieje taki zbiór X generatorów P (tzw. zbiór generatorów wolnych), że każde przekszta lcenie h : X R, gdzie R jest zbiorem elementów dowolnej pó lgrupy (monoidu), może być rozszerzone do homomorfizmu pó lgrup (monoidów) h : P R. Pó lgrupe wolna o zbiorze generatorów wolnych X w klasie wszystkich pó lgrup nazywamy też krótko pó lgrupa wolna nad X, a monoid wolny o zbiorze generatorów wolnych X w klasie wszystkich monoidów nazywamy monoidem wolnym nad X. Twierdzenie Jeśli P i P sa dwiema pó lgrupami wolnymi, a ich zbiory X i X wolnych generatorów sa równoliczne, to pó lgrupy P i P sa izomorficzne.
6 PÓ LGRUPY I MONOIDY 6 Analogiczne twierdzenie zachodzi dla monoidów. Pó lgrupe wolna nad X oznaczamy czasem symbolem F P (X), a monoid wolny nad X symbolem F M (X). Konstrukcja wolnej pó lgrupy Niech X bedzie zbiorem. Niech X + := {x 1... x n x 1,..., x n X}, przy czym elementy ciagu x 1... x n moga sie powtarzać. W zbiorze X + określamy dzia lanie binarne nastepuj aco x 1... x m y 1... y n := x 1... x m y 1... y n. Takie dzia lanie nazywamy konkatenacja. Stwierdzenie Zbiór X + z określonym wyżej dzia laniem jest pó lgrupa. Twierdzenie Pó lgrupa (X +, ) jest wolna w klasie wszystkich pó lgrup. Elementy zbioru X tworza zbiór generatorów wolnych. W szczególności, pó lgrupy X + i F P (X) sa izomorficzne. Niech teraz Λ bedzie ciagiem pustym, niech X := X + {Λ}. Rozszerzymy dzia lanie na ca ly zbiór X przyjmujac Λ x 1... x n = x 1... x n Λ = x 1... x n, Λ Λ = Λ. Twierdzenie Monoid (X,, Λ) jest wolny w klasie wszystkich monoidów. Elementy zbioru X tworza zbiór generatorów wolnych. A zatem, monoidy F M (X) oraz M sa izomorficzne. Przyk lad Wolny monoid nad zbiorem X = {0, 1} sk lada sie z Λ i wszystkich skończonych ciagów zero-jedynkowych. Zbiór X nazywamy czasem również alfabetem, a elementy pó lgrupy X + i monoidu X s lowami w alfabecie X. Przyk lad Przyk ladami bed acych w użyciu alfabetów sa: alfabet binarny {0, 1}, alfabet Morse a {,, }, alfabet RNA {U, C, A, E} używany w genetyce, alfabet laciński {A, B,..., U, W, Z} itp. (Niepustymi) s lowami w tych alfabetach sa elementy pó lgrup wolnych nad tymi alfabetami, np {0, 1} +, {,, } +, S LOWO {A, B,..., U, W, Z} +.
7 PÓ LGRUPY I MONOIDY 7 Definicja Podzbiór C zbioru A nazywamy kodem nad alfabetem A, jeśli m,n Z +, c 1,..., c m, d 1,..., d n C, c 1... c m = d 1... d m m = n, c 1 = d 1,..., c m = d m. Jeśli C jest kodem nad A, to każde s lowo w C + może być jednoznacznie odczytane jako konkatencja c 1... c n s lów kodowych c 1,..., c n ze zbioru C Przyk lady i ćwiczenia (a) Zbiór {0, 01, 10} nie jest kodem nad alfabetem {0, 1}, bo 010 = 01 0 = (b) Dla każdego n Z +, A n jest kodem nad alfabetem A, zwanym kodem jednorodnym d lugości n nad A. W biologii molekularnej duża role odgrywaja kody jednorodne d lugości 3 nad alfabetem RNA. (c) Wyróżnijmy pewien element alfabetu A (np. element ) i nazwijmy go przecinkiem. Kodem przecinkowym C nad A nazywamy podzbiór A z lożony ze s lów, w których przecinek wystepuje dok ladnie raz, na końcu s lowa. Wykazać, że C jest kodem. (d) S lowo v A nazywamy w laściwym przyrostkiem w s lowie w, jeśli istnieje s lowo u A + takie, że w = uv. Podzbiór C zbioru A nazywamy kodem przyrostkowym, jeśli żaden element C nie jest w laściwym przyrostkiem w innym s lowie C. Wykazać, że kod przyrostkowy jest kodem. Stwierdzenie Podzbiór C zbioru A jest kodem wtedy i tylko wtedy, gdy zanurzenie e : C A ; c c rozszerza si e do izomorfizmu e : (C,, 1) ( C,, 1) z wolnego monoidu C nad C na podmonoid C monoidu A generowany przez C. Inaczej mówia c, podzbiór C zbioru A jest kodem, gdy podmonoid generowany przez C jest monoidem wolnym nad C. Wniosek Niech C A. Jeśli istnieje alfabet B i taki monomorfizm k : (B,, 1) (A,, 1), że k(b) = C, to C jest kodem. Homomorfizm k nazywamy homomorfizmem kodujacym. Przyk lad Homomorfizm koduj acy k z alfabetu angielskiego do alfabetu Morse a ma wartości: k(a) =, k(b) =,, k(z) =, k( ) =.
8 PÓ LGRUPY I MONOIDY Monoidy cykliczne i uk lady dynamiczne Uk ladem dynamicznym nazywamy pare (X, T ), gdzie X jest zbiorem, zwanym zbiorem stanów, a T : X X przekszta lceniem zbioru X w zbiór X, zwanym funkcja zmiany stanów. Każdy x X przedstawia stan uk ladu. Przekszta lcenie T opisuje rozwój uk ladu w czasie. Jeśli uk lad znajduje sie w pewnej chwili w stanie x, to w chwili o jednostke czasu późniejszej znajduje sie w stanie T (x). Element T generuje monoid cykliczny T = {T } = {T n n N}. Latwo zauważyć, że przekszta lcenie R : T X X ; T n (T n : X X; x T n (x) = T (... (T (x))...) jest homomorfizmem monoidu T w monoid X X. Obraz R( T ) =: T N jest oczywiście podmonoidem monoidu X X i jest również monoidem cyklicznym (generowanym przez funkcje T : X X). Definicja Dzia laniem monoidu M na zbiorze X nazywamy homomorfizm monoidów h : M X X ; m (h m : X X; x h m (x)). W szczególności, prawym dzia laniem M na X nazywamy homomorfizm zapisywany nastepuj aco: R : (M,, 1) (X X,, 1 X ); m (R m : X X; x R m (x) =: xm), a lewym dzia laniem M na X nazywamy homomorfizm zapisany jako: L : (M,, 1) (X X,, 1 X ); m (L m : X X; x L m (x) =: mx). Zauważmy, że monoid T jest monoidem wolnym {T } nad {T }. A zatem uk lad dynamiczny (X, T ) wyznacza dzia lanie wolnego monoidu {T } nad {T } na zbiorze X. Podobnie określamy dzia lanie pó lgrupy M na zbiorze X. Na dzia lanie h monoidu M na zbiorze X można również patrzeć jako na pare (X, M) z lożona ze zbioru X i rodziny M operacji unarnych (tzn. jednoargumentowych) h m : X X dla m M. Otrzymujemy w ten sposób tzw. algebre unarna. W podobny sposób, jak to zrobiliśmy dla pó lgrup, można określić w algebrze unarnej pojecia podalgebry, produktu prostego, homomorfizmu i kongruencji (ćwiczenie!).
9 PÓ LGRUPY I MONOIDY 9 Jeśli (X, M) jest dzia laniem M na X, to (X, M) nazywamy czasem również M-zbiorem. Orbita elementu x X w M-zbiorze (X, M) nazywamy zbiór Orbx := {h m (x) m M}. W przypadku dzia lania lewego piszemy również a w przypadku dzia lania prawego Mx := {mx = L m (x) m M}, xm := {xm = R m (x) m M}. Dla uk ladu dynamicznego (X, T ) i x X, orbita x X jest zbiór T N (x) := {T n (x) n N}. Każda orbita wyznacza uk lad dynamiczny (T N (x), T T N (x)). Orbity uk ladu (X, T ) sa uporza dkowane wzgle dem relacji inkluzji. Maksymalne elementy tego zbioru uporza dkowanego nazywamy orbitami maksymalnymi. Strukture uk ladu dynamicznego (X, T ) można analizować wyznaczajac jego maksymalne orbity i badajac ich wzajemne zależności. Przyk lad Orbitami uk ladu dynamicznego (N, T ), gdzie T : N N; n 2n sa zbiory T N (k) = {k, 2k, 2 2 k,..., 2 n k,...} dla k 0 i T N (0) = {0}. Orbity maksymalne maja postać T N (2i + 1) dla i = 0, 1,... lub {0}. Każda z orbit jest podalgebra algebry (N, T ). Zbiór N jest roz l aczn a suma zbiorów T N (2i + 1) oraz {0}. Przyk lad Element x X jest punktem sta lym dzia lania M na X, jeśli {x} jest podalgebra algebry (X, M). Zbiór F ix(x, M) wszystkich punktów sta lych (X, M) jest podalgebra (X, M). 1.4 Pó lgrupy i automaty Rozważać bedziemy matematyczne modele skończonych maszyn sekwencyjnych. Sa to maszyny akceptujace skończone ciagi symboli wejściowych. W określonej jednostce czasu maszyna taka znajdować sie może w jednym ze skończonej ilości stanów. Istnieje również skończony zbiór symboli wyjściowych. Stan maszyny, jak i symbol wyjściowy zależa od wprowadzonego symbolu wejściowego i stanu, w jakim by la maszyna poprzednio. Maszyny cyfrowe, i ich cześci sa takimi skończonymi maszynami sekwencyjnymi. Dla uproszczenia rozważymy najpierw jedynie maszyny ze skończonym zbiorem symboli wejściowych i skończonym zbiorem stanów, i pominiemy symbole wyjściowe.
10 PÓ LGRUPY I MONOIDY 10 Definicja Automatem nazywamy trójke (S, X, δ), gdzie S = {s 1,..., s n } jest skończonym zbiorem niepustym, zwanym zbiorem stanów, X = {x 1,..., x k } jest skończonym zbiorem niepustym zwanym zbiorem symboli wejściowych, a δ : S X S jest funkcja zwana funkcja zmiany stanów. Przyk lad (Pu lapka na myszy). Niech X = {x 1, x 2 } oraz S = {s 1, s 2 }. Symbol x 1 oznacza mysz w zasi egu pu lapki, natomiast x 2 oznacza brak myszy w zasi egu pu lapki. Pu lapka jest w stanie s 1, jeśli jest nastawiona, a w stanie s 2, jeśli nie jest nastawiona. Funkcj e zmiany stanów przedstawia poniższa tabelka. δ x 1 x 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 2 s 2 Definicja Algebra automatu (S, X, δ) nazywamy (unarna) algebre (S, (f x ) x X ), gdzie x X, f x : S S; s δ(s, x). Algebre automatu można uważać za uogólnienie systemu dynamicznego. Zamiast jednej operacji unarnej T, mamy tu rodzine operacji unarnych (f x ) x X. Podobnie, jak system dynamiczny (X, T ) wyznacza {T } -zbiór (X, {T } ), tak algebra automatu (S, (f x ) x X ) wyznacza X -zbiór (S, X ). Przypomnijmy, że X = F M (X) jest wolnym monoidem nad X. Dzia lanie X na S określone jest nastepuj aco. Przekszta lcenie f : X S S, x (f x : S S; s f x (s) =: sx) rozszerza si e jednoznacznie do homomorfizmu monoidów f : X S S ; x 1... x n (f x1...x n : S S; s f x1...x n (s) = sf x1 f x2... f xn =: sx 1 x 2... x n ). Homomorfizm f jest dzia laniem X na zbiorze S. (Uwaga: f(λ) = id.) Funkcje f x, dla x X, nazywamy operatorami elementarnymi, funkcje postaci f x1...x n operatorami z lożonymi. Definicja Monoidem automatu (S, X, δ) nazywamy obraz homomorficzny f(x ), gdzie f : X S S jest (jednoznacznym) rozszerzeniem przekszta lcenia f : X S S do homomorfizmu f z wolnego monoidu X nad X w monoid S S.
11 PÓ LGRUPY I MONOIDY 11 Twierdzenie Dla każdego skończonego monoidu M istnieje automat, którego monoid jest izomorficzny z M. Uwaga. Dowolny monoid może być monoidem wi ecej niż jednego automatu. W tzw. algebraicznej teorii automatów dowodzi sie, że wiele podstawowych w lasności automatów znajduja swój obraz w odpowiednich w lasnościach monoidów. Niżej podane sa przyk lady takich odpowiedniości. Definicja (a) Automat A = (S, X, δ ) nazywany podautomatem automatu A = (S, X, δ) i piszemy A A, jeśli S S i δ = δ S X, tzn. jeśli (S, (f x ) x X ) (S, (f x ) x X ). (b) Przekszta lcenie h : S S nazywa si e homomorfizmem automatu (S, X, δ) w automat (S, X, δ ), jeśli h : (S, (f x ) x X ) (S, (f x ) x X ) jest homomorfizmem. (c) Automat (S, X, δ) nazywamy iloczynem prostym automatów (S, X, δ ) i (S, X, δ ), jeśli S = S S, X = X X i δ : S S X X S S ; (s, s, x, x ) (δ (s, x ), δ (s, x )) = (f x (s ), f x (s )) =: f (x,x )(s, s ). Uwaga. W teorii automatów rozważa sie również pojecie homomorfizmu ogólniejsze od wyżej zdefiniowanego. Niech (S, X, δ) i (S, X, δ ) bed a automatami i ϕ : S S, ψ : X X funkcjami. Pare (ϕ, ψ) nazywamy homomorfizmem, jeśli x X, s S, ϕ(δ(s, x)) = δ (ϕ(s), ψ(x)) lub równoważnie, jeśli ϕ(f x (s)) = f ψ(x) (ϕ(s)). Twierdzenie Jeśli (S, X, δ) (S, X, δ ), to monoid (S, X, δ) jest obrazem homomorficznym monoidu (S, X, δ ). Uwaga. Iloczyn dwóch automatów nazywa sie również ich uk ladem równoleg lym. W teorii automatów rozważa sie również automaty zwane uk ladami szeregowymi automatów. Maja one jednak znacznie naturalniejsza interpretacje po do la czeniu zbioru symboli wyjściowych.
12 PÓ LGRUPY I MONOIDY 12 Uzupe lniajac trójke (S, X, δ) o zbiór Y symboli wyjściowych otrzymamy piatk e (S, X, δ, Y, λ), gdzie Y jest niepustym, skończonym zbiorem, zwanym zbiorem symboli wyjściowych, a λ : S X Y jest funkcja, zwana funkcja wyjścia. Uk lad szeregowy automatów A 1 i A 2 definiuje sie wtedy jako automat oraz (S 1 S 2, X 1, Y 2, δ, λ), gdzie X 2 = Y 1 δ((s 1, s 2 ), x 1 ) := (δ 1 (s 1, x 1 ), δ 2 (s 2, λ 1 (s 1, x 1 ))), λ((s 1, s 2 ), x 1 ) := λ 2 (s 2, λ 1 (s 1, x 1 )). W algebraicznej teorii automatów istnieja metody konstruowania automatów z uk ladów równoleg lych i szeregowych automatów o szczególnie prostej postaci. Z drugiej strony, istnieje twierdzenie (Krohna Rodesa) mówiace o tym, że każdy automat można roz lożyć używajac tych dwóch konstrukcji na automaty takiej prostej postaci. W wymienionych konstrukcjach i rozk ladach duża role odgrywaja pewne metody rozk ladu pó lgrup na pó lgrupy prostszej postaci. Wprowadzone wyżej pojecia i w lasności dotyczace trójek (S, X, δ) daje sie na ogó l przenieść na pia tki (S, X, δ, Y, λ). Istotna role odgrywa pojecie równoważności automatu. (Te same wejścia określaja w obu automatach te same wyjścia). Jedno z ważnych twierdzeń teorii automatów mówi, że dla każdego automatu istnieje dok ladnie jeden (z dok ladnościa do izomorfizmu) równoważny mu automat minimalny (tzn. z minimalna liczba stanów).
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia 2006 1 Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly
Bardziej szczegółowoALGEBRA 1 Skrypt do wyk ladu A. Roman Wencel
ALGEBRA 1 Skrypt do wyk ladu A Roman Wencel Wroc law, wrzesień 2008 Spis treści Wst ep 2 Rozdzia l 0. Liczby naturalne, ca lkowite i wymierne 3 Rozdzia l 1. Dzia lania i systemy algebraiczne. Pojecie pó
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoWybrane Zagadnienia Algebry
Wybrane Zagadnienia Algebry Anna Romanowska 20 października 2016 Konspekt wyk ladu Spis Treści 1. Dzia lania monoidów i grup na zbiorach 2. Pó lgrupy, monoidy i grupy wolne 3. P-grupy i twierdzenia Sylova
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowo5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe
22 5 Podgrupy normalne i grupy ilorazowe Niech ϕ : G H be dzie homomorfizmem Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych G/ ker ϕ grupy G wzgle dem podgrupy ker ϕ Latwo zauważyć, że ϕ(x) = ϕ(y) x 1 y ker ϕ x
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowo1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.
Algebra I Bardzo dobrym źród lem zadań (ze wskazówkami do rozwia zań) jest M Bryński, J Jurkiewicz - Zbiór zadań z algebry, doste pny w bibliotece Moje zadania dla studentów z *: https://wwwmimuwedupl/%7eaweber/zadania/algebra2014/grupyzadpdf
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowo1. Zadania z Algebry I
1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoLiteratura: Oznaczenia:
Literatura: 1. R.R.Andruszkiewicz,,,Wyk lady z algebry ogólnej I, Wydawnictwo UwB, Bia lystok 2005. 2. Cz. Bagiński,,,Wst ep do teorii grup, Wydawnictwo Script, Warszawa 2002. 3. M. Bryński i J. Jurkiewicz,,,Zbiór
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoUproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany W. Rytter Dla uproszczenia rozważamy tylko teksty binarne. S lowa Lyndona sa zwartymi reprezentacjami liniowymi s lów cyklicznych. Dla s lowa x niech
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowoUzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoCzęść wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich
Bardziej szczegółowoSystemy algebraiczne. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Systemy algebraiczne Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Struktury danych struktury algebraiczne Przykład Rozważmy następujący
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoArchitektura systemów komputerowych
Architektura systemów komputerowych Grzegorz Mazur Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii Uniwersytet Jagielloński 12 kwietnia 2011 Grzegorz Mazur (ZMOCh UJ) Architektura systemów komputerowych 12 kwietnia
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoPrzykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowoTopologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoim = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.
61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,
Bardziej szczegółowoAlgebra I B ALGEBRA I B. W ladys law Narkiewicz
ALGEBRA I B W ladys law Narkiewicz Notatki do wyk ladu dla II roku matematyki w semestrze zimowym 2005/2006 0 1 I. Poje cia wste pne 1.1. Dzia lania 1. Dzia laniem w niepustym zbiorze X nazywamy każde
Bardziej szczegółowoAlgebra I. A. Bojanowska P. Traczyk
Algebra I A Bojanowska P Traczyk 2 Istnieje bardzo dużo podre czników algebry o różnym stopniu zaawansowania Poniższy tekst powsta l dla bardzo prostej przyczyny: chcieliśmy dostarczyć studentom WMIM opracowanie
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
Bardziej szczegółowoOptymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej.
Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Zagadnienie diety. Jak wymieszać wymieszać pszenice, soje i maczk e rybna by uzyskać najtańsza
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 10 Zbiory cze ściowo uporza dkowane 17 maja 2012 W rozdziale tym omówimy jedno z fundamentalnych poje ć kombinatoryki, jakim jest zbiór cze ściowo uporza dkowany. Pokażemy w jaki
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja
Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoLogika. Materia ly pomocnicze do wyk ladu dla pierwszego roku informatyki UW. Pawe l Urzyczyn 25 sierpnia 2005
Logika Materia ly pomocnicze do wyk ladu dla pierwszego roku informatyki UW Pawe l Urzyczyn urzy@mimuw.edu.pl 25 sierpnia 2005 Wnioskowanie o prawdziwości rozmaitych stwierdzeń jest powszednim zajeciem
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoSYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowo