Rezonans w hybrydowym zagadnieniu 3 ciał
|
|
- Kazimiera Popławska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rezonans w hybrydowym zagadnieniu 3 ciał Andrzej Odrzywołek Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 2d 2d HcL d 2d HaL d M, ΡHrL d M, ΡHrL m M, ΡHrL m d -d -d -2 d -2 d -d 0 A. Odrzywołek (ZTWiA) d 2d 3d HbL m -2 d -d 0 d 2d 3d -d Rezonans w hybrydowym zagadnieniu 3 ciał 0 d 2d 3d Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 1
2 Problem: czy hybrydowy układ podwójny jest stabilny? Rozważamy grawitujący układ podwójny: pierwsze z ciał to kula o masie M i promieniu R (np: gwiazda, księżyc) rozkład gęstości ρ(r) ma postać silnie skoncentrowaną dla r = 0, ale całkowita masa i rozmiar R otoczki znacznie przekracza masę i rozmiar obszaru centralnego (np: czerwony olbrzym) masę M traktujemy jak ciało sztywne, a jądro jako masę próbną drugie ciało traktujemy jako masę punktową m w odległości d R stosunek mas m/m dowolny, szczególności może być m M M, Ρ r R d Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 2
3 Motywacja: asymetryczne supernowe Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 3
4 Motywacja: asymetryczne supernowe Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 3
5 Motywacja: asymetryczne supernowe Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 3
6 Motywacja: asymetryczne supernowe Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 3
7 Motywacja: asymetryczne supernowe Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 3
8 Niecentralny wybuch Co mogłoby spowodować przesunięcie jądra gwiazdy względem środka masy? 1 niestabilności hydrodynamiczne podczas spalania Si Arnett & Meakin (2011): If there were a driving mechanism for core-mantle oscillation, here would be an asymmetry due to the displacement of the core and mantle relative to the center of mass. 2 rezonans pomiędzy częstością oscylacji jądra wewnątrz otoczki a częstością orbitalną w układzie podwójnym Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 4
9 Najprostsze modele Model szkolny M, Ρ 0 const R Μ Jeżeli m M porusza się po orbicie kołowej o promieniu R, a masa M jest kulą jednorodną, to: ω 2 ORB = GM R 3, ω2 OSC = 4 3 πgρ 0 = GM R 3 Ciało próbne jest w rezonansie ω ORB = ω OSC z masą m dla dowolnego promienia orbity d R. Dowolna zmiana ρ(r) lub odsunięcie masy m usuwa rezonans. Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 5
10 Najprostsze modele Model gimnazjalny M, Ρ 0 Jeżeli masa M jest kulą jednorodną, to: ω 2 ORB = G(M + m) R 3, ωosc 2 = 4 3 πgρ 0 = GM R 3 Ciało próbne jest w rezonansie ω ORB = ω OSC gdy: R Μ 1 + m M = ( d R ) 3 W tym modelu zestrojenie częstości jest możliwe także dla d > R oraz ρ(r) const. Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 6
11 Masa grawitacyjna i masa bezwładna Ciekawostka M, Ρ r R d m Jeżeli masa m porusza się wewnątrz masy M (d < R), to dla ruchu po orbitach kołowych mamy: ω 2 ORB = G M grav + m Mgrav M inert d 3. Jest to najprostszy fizyczny model ciała, dla którego M grav M inert! W przypadku ρ(r) = const możemy pokazać, że: ω 2 ORB = G(M + m) R 3, czyli ω ORB nie zależy od d. Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 7
12 Układ mechaniczny Przyjęta procedura badania stabilności Powyższe proste przykłady pokazują, że można doprowadzić do sytuacji ω OSC = ω ORB, ale: nie musi to oznaczać realnej niestabilności; w mechanicznym rezonansie pompujemy energię do układu, a tu mamy do czynienia z zachowawczym układem 3 ciał nie wiemy jaka jest szerokość ewentualnych rezonansów nie można nic powiedzieć o globalnej ewolucji takiego układu nie ma możliwości oceny wpływu rozmaitych źródeł oporów Jedyne sensowne podejście to analiza pełnego układu 3 ciał. Podejście numeryczne zawodzi, a próby trafienia w rezonanse metodą strzałów są metodą klasy zdesperowanej brutalnej siły. Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 8
13 Układ mechaniczny Założenia i uproszczenia Od tego momentu wszystkie wyniki dotyczą uproszczonego układu mechanicznego składającego się z trzech sztywnych, poruszających się ciał: 1 ciało sztywne o masie M, promień R, rozkład gęstości ρ(r); gęstość centralna ρ(0) = ρ 0 2 masa punktowa m w odległości d > R 3 ciało próbne o masie µ położone początkowo w geometrycznym środku masy M i współporuszające się z nią 4 podstawowy model to planar restricted circular three body problem, czyli: masy M i m poruszają się po orbitach kołowych, natomiast ciało próbne z µ = 0 porusza się tylko w płaszczyźnie orbitalnej Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 9
14 Planar restricted circular three body problem gdzie: ω 2 = G m (x d) ẍ 2 ω ẏ + k x+ [(x d) 2 + y 2 ] + G m 3/2 d 2 = 0, (1a) G m y ÿ + 2 ω ẋ + k y+ = 0, [(x d) 2 + y 2 3/2 ] (1b) G (m + M) d 3, k = 4 3 πgρ 0 ω 2, x 2 + y 2 R 2 Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 10
15 Liniowa stabilność położenia x = 0, y = 0 Wstawiam: x(t) = ɛ ζ(t), y(t) = ɛ ξ(t) rozwijam w szereg potęgowy po ɛ, odrzucam wyrazy rzędu ɛ 2 i wyższe, otrzymując układ liniowy: ζ 2 ω ξ + (k 2q) ζ = 0, (2a) ξ + 2 ω ζ + (k + q) ξ = 0, gdzie: k = 4 3 πgρ 0 ω 2, q = Gm d, ω 2 = G(M+m) 3 d. 3 Podstawiam ξ, ζ e λt i otrzymuję równanie charakterystyczne: ( ) λ Det 2 + k 2q 2ωλ 2ωλ λ 2 = 0. + k + q System uważam za niestabilny, jeżeli dla któregokolwiek λ mamy Re(λ) > 0. Niestabilność pojawia się dla: M d 3 < 4 3 πρ 0 < M + 3m d 3, lub 4 3 πρ 0 < 1 m M m/8 2 d 3 m + M (2b) Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 11
16 Sposoby rozwiązywania problemu stabilności Procedura eliminacji kwantyfikatorów Kwestię stabilności rozwiązań układu liniowego mozna zapisać w postaci kwantyfikatora: ( λ 2 M d 3 + 4πρ ) ( λ 2 M 3 d 3 3m d 3 + 4πρ ) + 4λ2 (m + M) 3 d 3 = 0 Re(λ)>0 pierszy algorytm eliminacji dla wyrażeń zawierających dowolne symbole interpretowane jako liczby rzeczywiste i kwantyfikatory podał Tarski obecnie istnieją szybsze metody, np: (algebraiczny) rozkład cylindryczny eliminacja kwantyfikatorów wymaga dużej pamięci i mocy obliczeniowej okazuje się bardzo skuteczna do badania stabilności Hong, Liska, Steinberg, Testing stability by quantifier elimination, Journal of Symbolic Computation, 24, 161, 1997 Resolve w Mathematice (zob. także: CylindricalDecomposition, Reduce, nowe Solve w wer. 8) Adam Strzeboński, Rozwiązywanie systemów równań i nierówności przy pomocy Matematyki 7, Poland Mathematica Conference, Kraków, May 2009 Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 12
17 Zachowana energia i region Hill a Dla rozważanego układu można podać wyrażenie na zachowaną energię w przypadku dowolnego rozkładu gęstości ρ(r): E = 1 2ẋ ẏ2 + U(x, y) (3a) U(x, y) = φ(r) 1 2 ω2 r 2 G m G m(x + d) + (x d)2 + y 2 d 2, r 2 = x 2 + y 2 (3b) φ(r) - potencjał grawitacyjny kuli przesunięty tak aby φ(0) = 0. Potencjał U(x, y) nadaje się do zbadania globalnego charakteru rozwiązań. rozwiązanie spoczywające w x = 0, y = 0 ma energię E = 0 dodajemy małą wartość δe i badamy zachowanie się obszaru Hill a U(x, y) < δe Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 13
18 Typowe przypadki 2 d a d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 14
19 Typowe przypadki 2 d b d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 14
20 Typowe przypadki 2 d c d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 14
21 Wpływ oporu 2 d d R R d 2 d 3 d x opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum) w przypadku niestabilnym potencjał jest typu tophill, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność numeryka potwierdza te wnioski dla oporów typu kv i kvv Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 15
22 Wpływ oporu 2 d d R R d 2 d 3 d x opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum) w przypadku niestabilnym potencjał jest typu tophill, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność numeryka potwierdza te wnioski dla oporów typu kv i kvv Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 15
23 Wpływ oporu 2 d d R R d 2 d 3 d x opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum) w przypadku niestabilnym potencjał jest typu tophill, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność numeryka potwierdza te wnioski dla oporów typu kv i kvv Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 15
24 Wpływ oporu 2 d d R R d 2 d 3 d x opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum) w przypadku niestabilnym potencjał jest typu tophill, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność numeryka potwierdza te wnioski dla oporów typu kv i kvv Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 15
25 Wpływ oporu 2 d d R R d 2 d 3 d x opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum) w przypadku niestabilnym potencjał jest typu tophill, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność numeryka potwierdza te wnioski dla oporów typu kv i kvv Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 15
26 Wpływ oporu 2 d d R R d 2 d 3 d x opór w płynie (lepki, falowy) staje się równy zeru dla zerowej prędkości w przypadku stabilnym spowoduje tłumienie oscylacji (stan spoczynku w centrum) w przypadku niestabilnym potencjał jest typu tophill, opory dynamiczne nie wpływają na stabilność numeryka potwierdza te wnioski dla oporów typu kv i kvv Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 15
27 Liniowa stabilność pełnego układu 3 ciał w 3D ciała początkowo na orbitach kołowych dziewięć niewiadomych funkcji, wielomian charakterystyczny 18 stopnia wyrażenia nie mieszczą się na ekranie, ale eliminacja kwantyfikatorów rozwiązuje problem system jest niestabilny dla: lub: M d 3 < 4 M + 3m (1 + µ/m) 1 πρ < 3 d πρ < 1 m M + µ m/8 2 d 3 M + µ + m (1 + µ/m) 1. wcześniejsze kryterium prawie nie zmienia się: dodatkowy czynnik to stosunek masy jądra µ do masy otoczki M: (1 + µ/m) Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 16
28 Pytania bez odpowiedzi 1 Czy model mechaniczny jest adekwatny do opisu oddziaływania gwiazda - masa punktowa? (symulacja numeryczna 3D, hydrodynamiczny model analityczny, model N-ciałowy ) 2 czy różnego typu opory, w tym opór falowy, wpływaja na niestabilność (wg. mnie nie, z powodu kształtu potencjału) 3 czy i jak opisana niestabilność dla ciągłego ρ(r) jest powiązana z niestabilnością Roche a 4 jeżeli niestabilność jest realna, jakie powoduje skutki po wyjściu z reżimu liniowego 5 w szczególności, czy jądro może zostać przemieszczone lub nawet wyrzucone z gwiazdy/planety itp. 6 jaki skutki hipotetyczne przemieszczenie jądra będzie miało dla wybuchu supernowej (symulacje 2D/3D w toku, redukcja czasu narastania niestabilności i wzrost energii eksplozji) 7 jaki jest zakres stosowalności modelu trójciałowego, dla centralnej czarnej dziury w gromadzie kulistej 8 czy dla orbit eliptycznych zmienia się kryterium niestabilności (dla ciasnych układów podwójnych gwiazd spodziewamy się jednak orbit kołowych!) Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 17
Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej
Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej Andrzej Odrzywołek Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ 14 maja, poniedziałek, 12:15 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie
Bardziej szczegółowoWykład 5 - całki ruchu zagadnienia n ciał i perturbacje ruchu keplerowskiego
Wykład 5 - całki ruchu zagadnienia n ciał i perturbacje ruchu keplerowskiego 20.03.2013 Układ n ciał przyciągających się siłami grawitacji Mamy n ciał przyciągających się siłami grawitacji. Masy ciał oznaczamy
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoPodstawy astrofizyki i astronomii
Podstawy astrofizyki i astronomii Andrzej Odrzywołek Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ 20 marca 2018 th.if.uj.edu.pl/ odrzywolek/ andrzej.odrzywolek@uj.edu.pl A&A Wykład 4 Standardowy
Bardziej szczegółowoA. Odrzywołek. Dziura w Statycznym Wszechświecie Einsteina
/28 A. Odrzywołek Dziura w Statycznym Wszechświecie Einsteina Seminarium ZTWiA IFUJ, Środa, 26..22 2/28 A. Odrzywołek 3-sfera o promieniu R(t): Równania Einsteina: Zachowanie energii-pędu: Równanie stanu
Bardziej szczegółowo14 POLE GRAWITACYJNE. Włodzimierz Wolczyński. Wzór Newtona. G- stała grawitacji 6, Natężenie pola grawitacyjnego.
Włodzimierz Wolczyński 14 POLE GRAWITACYJNE Wzór Newtona M r m G- stała grawitacji Natężenie pola grawitacyjnego 6,67 10 jednostka [ N/kg] Przyspieszenie grawitacyjne jednostka [m/s 2 ] Praca w polu grawitacyjnym
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoWykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)
Bardziej szczegółowoPrawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna
Prawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna G m m r F = r r F = F Schemat oddziaływania: m pole sił m Prawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna Masa M jest
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)
Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z fizyki i astronomii 5 Poziom podstawowy
Egzamin maturalny z fizyki i astronomii 5 Poziom podstawowy 14. Kule (3 pkt) Dwie małe jednorodne kule A i B o jednakowych masach umieszczono w odległości 10 cm od siebie. Kule te oddziaływały wówczas
Bardziej szczegółowoWstęp do astrofizyki I
Wstęp do astrofizyki I Wykład 10 Tomasz Kwiatkowski 8 grudzień 2010 r. Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 10 1/36 Plan wykładu Wyznaczanie mas ciał niebieskich Gwiazdy podwójne Optycznie
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa PRZESTRZEŃ I CZAS W FIZYCE NEWTONOWSKIEJ ORAZ SZCZEGÓLNEJ TEORII. 1 Grawitacja 3. 2 Geometria jako fizyka 14
Spis treści Przedmowa xi I PRZESTRZEŃ I CZAS W FIZYCE NEWTONOWSKIEJ ORAZ SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI 1 1 Grawitacja 3 2 Geometria jako fizyka 14 2.1 Grawitacja to geometria 14 2.2 Geometria a doświadczenie
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoUogólniony model układu planetarnego
Uogólniony model układu planetarnego Michał Marek Seminarium Zakładu Geodezji Planetarnej 22.05.2009 PLAN PREZENTACJI 1. Wstęp, motywacja, cele 2. Teoria wykorzystana w modelu 3. Zastosowanie modelu na
Bardziej szczegółowoI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne*
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne* Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha * Resnick, Halliday,
Bardziej szczegółowoZagadnienie dwóch ciał
Zagadnienie dwóch ciał Rysunek : Rysunek ilustrujący zagadnienie dwóch ciał. Wektor R określa położenie środka masy, wektor x położenie masy m, a wektor x 2 położenie masy m 2. Położenie masy m 2 względem
Bardziej szczegółowoObraz Ziemi widzianej z Księżyca
Grawitacja Obraz Ziemi widzianej z Księżyca Prawo powszechnego ciążenia Dwa punkty materialne o masach m 1 i m przyciągają się wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną
Bardziej szczegółowoGRAWITACJA MODUŁ 6 SCENARIUSZ TEMATYCZNY LEKCJA NR 2 FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA.
MODUŁ 6 SCENARIUSZ TEMATYCZNY GRAWITACJA OPRACOWANE W RAMACH PROJEKTU: FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA. PROGRAM NAUCZANIA FIZYKI Z ELEMENTAMI TECHNOLOGII
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne*
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne* Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha * Resnick, Halliday,
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoPraca. Siły zachowawcze i niezachowawcze. Pole Grawitacyjne.
PRACA Praca. Siły zachowawcze i niezachowawcze. Pole Grawitacyjne. Rozważmy sytuację, gdy w krótkim czasie działająca siła spowodowała przemieszczenie ciała o bardzo małą wielkość Δs Wtedy praca wykonana
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoObliczanie pozycji obiektu na podstawie znanych elementów orbity. Rysunek: Elementy orbity: rozmiar wielkiej półosi, mimośród, nachylenie
Obliczanie pozycji obiektu na podstawie znanych elementów orbity Rysunek: Elementy orbity: rozmiar wielkiej półosi, mimośród, nachylenie a - wielka półoś orbity e - mimośród orbity i - nachylenie orbity
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd
Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Siły - wektory Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoSztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym
Sztuczny satelita Ziemi Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Jest to obiekt, któremu na pewnej wysokości nad powierzchnią Ziemi nadano prędkość wystarczającą do uzyskania przez niego ruchu
Bardziej szczegółowoRuch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe
Ruch obrotowy bryły sztywnej Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy ruch po okręgu P, t 1 P 1, t 1 θ 1 θ Ruch obrotowy ruch po okręgu P,
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowoczyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada
Bardziej szczegółowoWykład Prawa Keplera Wyznaczenie stałej grawitacji Równania opisujące ruch planet
Wykład 9 3.5.4.1 Prawa Keplera 3.5.4. Wyznaczenie stałej grawitacji 3.5.4.3 Równania opisujące ruch planet 008-11-01 Reinhard Kulessa 1 3.5.4.1 Prawa Keplera W roku 140 n.e. Claudius Ptolemeus zaproponował
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowoKinematyka, Dynamika, Elementy Szczególnej Teorii Względności
Kinematyka, Dynamika, Elementy Szczególnej Teorii Względności Fizyka wykład 2 dla studentów kierunku Informatyka Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Politechnika Śląska 15 października 2007r.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoWykład 9 - Ewolucja przed ciągiem głównym. Ciąg główny wieku zerowego (ZAMS)
Wykład 9 - Ewolucja przed ciągiem głównym. Ciąg główny wieku zerowego (ZAMS) 30.11.2017 Masa Jeansa Załóżmy, że mamy jednorodny, kulisty obłok gazu o masie M, średniej masie cząsteczkowej µ, promieniu
Bardziej szczegółowoGrawitacja - powtórka
Grawitacja - powtórka 1. Oceń prawdziwość każdego zdania. Zaznacz, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub, jeśli jest A. Jednorodne pole grawitacyjne istniejące w obszarze sali lekcyjnej jest wycinkiem centralnego
Bardziej szczegółowoMiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej
Bardziej szczegółowoFizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule
Fizyka Kurs przygotowawczy na studia inżynierskie mgr Kamila Haule Grawitacja Grawitacja we Wszechświecie Planety przyciągają Księżyce Ziemia przyciąga Ciebie Słońce przyciąga Ziemię i inne planety Gwiazdy
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoPRACA Pracą mechaniczną nazywamy iloczyn wartości siły i wartości przemieszczenia, które nastąpiło zgodnie ze zwrotem działającej siły.
PRACA Pracą mechaniczną nazywamy iloczyn wartości siły i wartości przemieszczenia, które nastąpiło zgodnie ze zwrotem działającej siły. Pracę oznaczamy literą W Pracę obliczamy ze wzoru: W = F s W praca;
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 5
Podstawy fizyki wykład 5 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Grawitacja Pole grawitacyjne Prawo powszechnego ciążenia Pole sił zachowawczych Prawa Keplera Prędkości kosmiczne Czarne
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoMAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY
Włodzimierz Wolczyński 47 POWTÓRKA 9 MAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY Zadanie 1 W dwóch przewodnikach prostoliniowych nieskończenie długich umieszczonych w próżni, oddalonych od siebie o r = cm, płynie prąd.
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoRysunek 1: Potencjał wynikający z treści zadania 1. Zaznaczono także punkty powrotu dla ruchu z energią E. Kolokwium I
E x L 0 L Rysunek : Potencjał wynikający z treści zadania. Zaznaczono także punkty powrotu dla ruchu z energią E. Zadanie. Kolokwium I Zbadać szczegółowo ruch koralika o masie m poruszającego się po prostym
Bardziej szczegółowoLXVIII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
ZAWODY III STOPNIA CZĘŚĆ TEORETYCZNA Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 0 punktów. Zadanie. Dane są jednakowe oporniki i o stałym cieple właściwym oraz oporze zależnym od temperatury T według
Bardziej szczegółowo4π 2 M = E e sin E G neu = sin z. i cos A i sin z i sin A i cos z i 1
1 Z jaką prędkością porusza się satelita na orbicie geostacjonarnej? 2 Wiedząc, że doba gwiazdowa na planecie X (stała grawitacyjna µ = 500 000 km 3 /s 2 ) trwa 24 godziny, oblicz promień orbity satelity
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 V. Pęd, zasada zachowania pędu, zderzenia
Podstawy fizyki sezon 1 V. Pęd, zasada zachowania pędu, zderzenia Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha
Bardziej szczegółowoA. Odrzywoªek (IFUJ, 2005) Zagadnienia teorii rotuj cych gwiazd
1/22 Zagadnienia teorii rotuj cych gwiazd A. Odrzywoªek A. Odrzywoªek (IFUJ, 2005) Zagadnienia teorii rotuj cych gwiazd 2/22 Zagadnienia teorii rotuj cych gwiazd A. Odrzywoªek Mikołaj Kopernik De Revolutionibus,
Bardziej szczegółowoŁadunek elektryczny. Zastosowanie równania Laplace a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal. Wprowadzenie. Podstawowe cechy pól siłowych
6 czerwca 2013 Ładunek elektryczny Ciała fizyczne mogą być obdarzone (i w znacznej większości faktycznie są) ładunkiem elektrycznym. Ładunek ten może być dodatni lub ujemny. Kiedy na jednym ciele zgromadzonych
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Obrót wokół ustalonej osi Prawa ruchu Dla bryły sztywnej obracajacej się wokół ostalonej osi mement
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.
ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoPodstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika
Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Dynamika Prowadzący: Kierunek Wyróżniony przez PKA Mechanika klasyczna Mechanika klasyczna to dział mechaniki w fizyce opisujący : - ruch ciał - kinematyka,
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Astronomiczna 2016/2017 Zadania z zawodów III stopnia. S= L 4π r L
LX Olimpiada Astronomiczna 2016/2017 Zadania z zawodów III stopnia 1. Przyjmij, że prędkość rotacji różnicowej Słońca, wyrażoną w stopniach na dobę, można opisać wzorem: gdzie φ jest szerokością heliograficzną.
Bardziej szczegółowoTadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace
Bardziej szczegółowoELEMENTY GEOFIZYKI. Atmosfera W. D. ebski
ELEMENTY GEOFIZYKI Atmosfera W. D ebski debski@igf.edu.pl Plan wykładu z geofizyki - (Atmosfera) 1. Fizyka atmosfery: struktura atmosfery skład chemiczny atmosfery meteorologia - chmury atmosfera a kosmos
Bardziej szczegółowoy + p(t)y + q(t)y = 0. (1) Z rozwiązywaniem równań przez szeregi potęgowe związane są pewne definicje.
1 Szeregi potęgowe Poszukiwanie rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych w postaci szeregów potęgowych, zwane metodą Frobeniusa, jest bardzo ogólną metodą. Rozważmy równanie y + p(t)y + q(t)y = 0. (1)
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoFizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule
Fizyka Kurs przygotowawczy na studia inżynierskie mgr Kamila Haule Grawitacja Grawitacja we Wszechświecie Ziemia przyciąga Ciebie Planety przyciągają Księżyce Słońce przyciąga Ziemię i inne planety Gwiazdy
Bardziej szczegółowoWykład 2 Mechanika Newtona
Wykład Mechanika Newtona Dynamika jest nauką, która zajmuję się ruchem ciał z uwzględnieniem sił, które działają na ciało. Podstawą mechaniki klasycznej są trzy doświadczalne zasady, które po raz pierwszy
Bardziej szczegółowoZadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu
Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia
Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha F.Żarnecki Praca Rozważamy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoIII Zasada Dynamiki Newtona. Wykład 5: Układy cząstek i bryła sztywna. Przykład. Jak odpowiesz na pytania?
III Zasada Dynamiki Newtona 1:39 Wykład 5: Układy cząstek i bryła sztywna Matematyka Stosowana Ciało A na B: Ciało B na A: 0 0 Jak odpowiesz na pytania? Honda CRV uderza w Hondę Civic jak będzie wyglądał
Bardziej szczegółowoWykłady z Fizyki. Grawitacja
Wykłady z Fizyki 04 Zbigniew Osiak Grawitacja OZ ACZE IA B notka biograficzna C ciekawostka D propozycja wykonania doświadczenia H informacja dotycząca historii fizyki I adres strony internetowej K komentarz
Bardziej szczegółowoPrawda/Fałsz. Klucz odpowiedzi. Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zad 1.
Klucz odpowiedzi Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zad 1.1 Poprawna odpowiedź: 2 pkt narysowane wszystkie siły, zachowane odpowiednie proporcje
Bardziej szczegółowoFizyka 2 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
Fizyka w poprzednim odcinku Obliczanie natężenia pola Fizyka Wyróżniamy ładunek punktowy d Wektor natężenia pola d w punkcie P pochodzący od ładunku d Suma składowych x-owych wektorów d x IĄGŁY ROZKŁAD
Bardziej szczegółowodr inż. Paweł Szeptyński materiały pomocnicze do przedmiotu MECHANIKA TEORETYCZNA DYNAMIKA - ZADANIA
NAZEWNICTWO LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH d n u a n d x + a d n 1 u n n 1 d x +... + a d 2 u n 1 2 d x + a d u 2 1 d x + a u = b( x) Powyższe równanie o niewiadomej funkcji
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoAerodynamika I. wykład 3: Ściśliwy opływ profilu. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa A E R O D Y N A M I K A I
Aerodynamika I Ściśliwy opływ profilu transoniczny przepływ wokół RAE-8 M = 0.73, Re = 6.5 10 6, α = 3.19 Ściśliwe przepływy potencjalne Teoria pełnego potencjału Wprowadźmy potencjał prędkości (zakładamy
Bardziej szczegółowoPozorne orbity planet Z notatek prof. Antoniego Opolskiego. Tomasz Mrozek Instytut Astronomiczny UWr Zakład Fizyki Słońca CBK PAN
Pozorne orbity planet Z notatek prof. Antoniego Opolskiego Tomasz Mrozek Instytut Astronomiczny UWr Zakład Fizyki Słońca CBK PAN Początek Młody miłośnik astronomii patrzy w niebo Młody miłośnik astronomii
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Bardziej szczegółowoI zasada dynamiki Newtona
I zasada dynamiki Newtona Każde ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością po linii prostej dopóki nie zadziała na nie niezrównoważona siła z zewnątrz. Jeśli! F i = 0! i v = 0 lub
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoStrumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie
Problemy elektrodynamiki. Prawo Gaussa i jego zastosowanie przy obliczaniu pól ładunku rozłożonego w sposób ciągły. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 19 marca 2012 Nowe spojrzenie na prawo Coulomba
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA dr Mikolaj Szopa
dr Mikolaj Szopa 17.10.2015 Do 1600 r. uważano, że naturalną cechą materii jest pozostawanie w stanie spoczynku. Dopiero Galileusz zauważył, że to stan ruchu nie zmienia się, dopóki nie ingerujemy I prawo
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 206/207
Bardziej szczegółowoAktualizacja, maj 2008 rok
1 00015 Mechanika nieba C Dane osobowe właściciela arkusza 00015 Mechanika nieba C Arkusz I i II Czas pracy 120/150 minut Instrukcja dla zdającego 1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowoWydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska. Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni
Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne
Bardziej szczegółowo