Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej
|
|
- Artur Czajka
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej Andrzej Odrzywołek Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ 14 maja, poniedziałek, 12:15 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 1 / 18
2 Problem: czy hybrydowy układ podwójny jest stabilny? Rozważamy grawitujący układ podwójny: pierwsze z ciał to kula o masie M i promieniu R (np: gromada kulista gwiazd, R może być nieskończone) masę M traktujemy jak ciało sztywne drugie ciało traktujemy jako masę punktową (czarną dziurę) m w odległości d stosunek mas m/m dowolny, szczególności może być m M M, Ρ r R d m M, Ρ r R d m A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 2 / 18
3 Model analityczny i jego weryfikacja Zbadanie zagadnienia wymaga odpowiedzi na dwa pytania: 1 Jakie są warunki stabilności w ramach założonego modelu (zrobione dla d R) 2 Konfrontacja modelu analitycznego z symulacjami numerycznymi symulacja N-ciałowa (N ); astrofizyczny reprezentant to gromada kulista symulacja hydrodynamiczna 3D układu podwójnego gwiazd (w planach) A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 3 / 18
4 Układ mechaniczny Przyjęta procedura badania stabilności Na prostych przykładach można pokazać, że są sytuacje gdy ω OSC = ω ORB, ale: nie musi to oznaczać realnej niestabilności; w mechanicznym rezonansie pompujemy energię do układu, a tu mamy do czynienia z zachowawczym układem 3 ciał lub N-ciał nie wiemy jaka jest szerokość ewentualnych rezonansów nie można nic powiedzieć o globalnej ewolucji takiego układu nie ma możliwości oceny wpływu rozmaitych źródeł oporów czy masa M (a konkretnie jej astrofizyczny reprezentant ) jest stabilna A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 4 / 18
5 Układ mechaniczny Założenia i uproszczenia Od tego momentu wszystkie wyniki dotyczą uproszczonego układu mechanicznego składającego się z trzech sztywnych, poruszających się ciał: 1 ciało sztywne o masie M, promień R, rozkład gęstości ρ(r); gęstość centralna ρ(0) = ρ 0 2 masa punktowa m w odległości d > R 3 ciało próbne o masie µ położone początkowo w geometrycznym środku masy M i współporuszające się z nią 4 podstawowy model to planar restricted circular three body problem, czyli: masy M i m poruszają się po orbitach kołowych, natomiast ciało próbne z µ = 0 porusza się tylko w płaszczyźnie orbitalnej A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 5 / 18
6 Planar restricted circular three body problem gdzie: ω 2 = G m (x d) ẍ 2 ω ẏ + k x+ [(x d) 2 + y 2 ] + G m 3/2 d 2 = 0, (1a) G m y ÿ + 2 ω ẋ + k y+ = 0, [(x d) 2 + y 2 3/2 ] (1b) G (m + M) d 3, k = 4 3 πgρ 0 ω 2, x 2 + y 2 R 2 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 6 / 18
7 Liniowa stabilność położenia x = 0, y = 0 Wstawiam: x(t) = ɛ ζ(t), y(t) = ɛ ξ(t) rozwijam w szereg potęgowy po ɛ, odrzucam wyrazy rzędu ɛ 2 i wyższe, otrzymując układ liniowy: ζ 2 ω ξ + (k 2q) ζ = 0, (2a) ξ + 2 ω ζ + (k + q) ξ = 0, gdzie: k = 4 3 πgρ 0 ω 2, q = Gm d, ω 2 = G(M+m) 3 d. 3 Podstawiam ξ, ζ e λt i otrzymuję równanie charakterystyczne: ( ) λ Det 2 + k 2q 2ωλ 2ωλ λ 2 = 0. + k + q System uważam za niestabilny, jeżeli dla któregokolwiek λ mamy Re(λ) > 0. Niestabilność pojawia się dla: (2b) M d 3 < 4 3 πρ 0 < M + 3m d 3, lub 4 3 πρ 0 < 1 m M m/8 2 d 3 m + M A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 7 / 18
8 Sposoby rozwiązywania problemu stabilności Procedura eliminacji kwantyfikatorów Kwestię stabilności rozwiązań układu liniowego mozna zapisać w postaci kwantyfikatora: ( λ 2 M d 3 + 4πρ ) ( λ 2 M 3 d 3 3m d 3 + 4πρ ) + 4λ2 (m + M) 3 d 3 = 0 Re(λ)>0 pierszy algorytm eliminacji dla wyrażeń zawierających dowolne symbole interpretowane jako liczby rzeczywiste i kwantyfikatory podał Tarski obecnie istnieją szybsze metody, np: (algebraiczny) rozkład cylindryczny eliminacja kwantyfikatorów wymaga dużej pamięci i mocy obliczeniowej okazuje się bardzo skuteczna do badania stabilności Hong, Liska, Steinberg, Testing stability by quantifier elimination, Journal of Symbolic Computation, 24, 161, 1997 Resolve w Mathematice (zob. także: CylindricalDecomposition, Reduce, nowe Solve w wer. 8) Adam Strzeboński, Rozwiązywanie systemów równań i nierówności przy pomocy Matematyki 7, Poland Mathematica Conference, Kraków, May 2009 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 8 / 18
9 Zachowana energia i region Hill a Dla rozważanego układu można podać wyrażenie na zachowaną energię w przypadku dowolnego rozkładu gęstości ρ(r): E = 1 2ẋ ẏ2 + U(x, y) (3a) U(x, y) = φ(r) 1 2 ω2 r 2 G m G m(x + d) + (x d)2 + y 2 d 2, r 2 = x 2 + y 2 (3b) φ(r) - potencjał grawitacyjny kuli przesunięty tak aby φ(0) = 0. Potencjał U(x, y) nadaje się do zbadania globalnego charakteru rozwiązań. rozwiązanie spoczywające w x = 0, y = 0 ma energię E = 0 dodajemy małą wartość δe i badamy zachowanie się obszaru Hill a U(x, y) < δe A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 9 / 18
10 Typowe przypadki 2 d a d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 10 / 18
11 Typowe przypadki 2 d b d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 10 / 18
12 Typowe przypadki 2 d c d 0 M, Ρ r m d 2 d d 0 d 2 d 3 d A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 10 / 18
13 Liniowa stabilność pełnego układu 3 ciał w 3D ciała początkowo na orbitach kołowych dziewięć niewiadomych funkcji, wielomian charakterystyczny 18 stopnia wyrażenia nie mieszczą się na ekranie, ale eliminacja kwantyfikatorów rozwiązuje problem system jest niestabilny dla: lub: M d 3 < 4 M + 3m (1 + µ/m) 1 πρ < 3 d πρ < 1 m M + µ m/8 2 d 3 M + µ + m (1 + µ/m) 1. wcześniejsze kryterium prawie nie zmienia się: dodatkowy czynnik to stosunek masy jądra µ do masy otoczki M: (1 + µ/m) A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 11 / 18
14 Masa grawitacyjna i masa bezwładna Jeżeli masa m porusza się wewnątrz masy M (d < R), to dla ruchu po orbitach kołowych mamy: M, Ρ r R d m ω 2 ORB = G M grav + m Mgrav M inert d 3. Jest to najprostszy fizyczny model ciała, dla którego M grav M inert! W przypadku ρ(r) = const możemy pokazać, że: ω 2 ORB = G(M + m) R 3, czyli ω ORB nie zależy od d. A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 12 / 18
15 Przypadek d < R naiwna (błędna) intuicja fizyczna sugeruje, że zawsze M inert = M grav dla masy próbnej (punktowej) powyższe jest prawdą - wnioskujemy, że niemożliwa jest jej korotacja z obiektem, dla którego M grav M inert popularny model gromady kulistej, czyli sfera Plummera, ma rozkład gęstości rozciągający się do r : ρ(r) = formalnie zawsze jesteśmy wewnątrz ρ 0 (1 + r 2 /R 2 ) 5/2 ograniczny problem 3 ciał będzie miał jakościowo różne rozwiązania dla d < R oraz d > R, co można pokazać analizując położenie punktów libracyjnych (Lagrange a) wyniki zależą od funkcji ρ(r); rozważam następujące przykłady: 1 masa punktowa (jako klasyczny punkt odniesienia) 2 jednorodna kula o promieniu R 3 sfera Plummera o promieniu R A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 13 / 18
16 Przypomnienie: klasyczne punkty libracyjne 2 1 L 5 0 M m L 3 L 1 L 2 1 L 4 2 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 14 / 18
17 Przypomnienie: klasyczne punkty libracyjne 2 1 L 5 0 M m L 3 L 1 L 2 1 L 4 2 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 14 / 18
18 Przypomnienie: klasyczne punkty libracyjne x x CM d 1.0 L M L 1 m L 3 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 14 / 18
19 Rozkład punktów libracyjnych 4 2 L 5 0 M m L 3 L 0L 1 L 2 2 L 4 4 A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 15 / 18
20 Położenie punktów libracyjnych dla q = 2 d R L 2 L 0 L 1 CM m A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 16 / 18
21 Położenie punktów libracyjnych dla q = 2 d R L 2 L 0 L 1 CM m A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 16 / 18
22 Położenie punktów libracyjnych dla q = 2 d R L 2 L 0 L 1 CM m A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 16 / 18
23 Porównanie z symulacją N-ciałową A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 17 / 18
24 Porównanie z symulacją N-ciałową A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 17 / 18
25 Porównanie z symulacją N-ciałową A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 17 / 18
26 Pytania i odpowiedzi Czy model mechaniczny jest adekwatny do opisu oddziaływania obiekt rozciągły - masa punktowa? (symulacja numeryczna 3D, hydrodynamiczny model analityczny, model N-ciałowy ) TAK (w modelu N-ciałowym) ale: 1 dla d < R prawo Keplera jest zmodywfikowane 2 ilośc i położenie punktów libracyjnych Lagrange a zmienia się jakościowo 3 opór dynamiczny powoduje szybkie zmiany orbity; istotny jest czas narastania niestabilności Czy różnego typu opory, w tym opór falowy, wpływaja na niestabilność? TAK, ale poprzez inspiral (tłumienie nieistotne) Czy i jak opisana niestabilność dla ciągłego ρ(r) jest powiązana z niestabilnością Roche a? TAK, obiekt rozciągły ulega zniszczeniu zanim ujawni się niestabilność dla m/m > 9 Jeżeli niestabilność jest realna, jakie powoduje skutki po wyjściu z reżimu liniowego? Wymianę lżejszego obiektu centralnego na bardziej masywny A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 18 / 18
27 Pytania i odpowiedzi Czy model mechaniczny jest adekwatny do opisu oddziaływania obiekt rozciągły - masa punktowa? (symulacja numeryczna 3D, hydrodynamiczny model analityczny, model N-ciałowy ) TAK (w modelu N-ciałowym) ale: 1 dla d < R prawo Keplera jest zmodywfikowane 2 ilośc i położenie punktów libracyjnych Lagrange a zmienia się jakościowo 3 opór dynamiczny powoduje szybkie zmiany orbity; istotny jest czas narastania niestabilności Czy różnego typu opory, w tym opór falowy, wpływaja na niestabilność? TAK, ale poprzez inspiral (tłumienie nieistotne) Czy i jak opisana niestabilność dla ciągłego ρ(r) jest powiązana z niestabilnością Roche a? TAK, obiekt rozciągły ulega zniszczeniu zanim ujawni się niestabilność dla m/m > 9 Jeżeli niestabilność jest realna, jakie powoduje skutki po wyjściu z reżimu liniowego? Wymianę lżejszego obiektu centralnego na bardziej masywny A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 18 / 18
28 Pytania i odpowiedzi Czy model mechaniczny jest adekwatny do opisu oddziaływania obiekt rozciągły - masa punktowa? (symulacja numeryczna 3D, hydrodynamiczny model analityczny, model N-ciałowy ) TAK (w modelu N-ciałowym) ale: 1 dla d < R prawo Keplera jest zmodywfikowane 2 ilośc i położenie punktów libracyjnych Lagrange a zmienia się jakościowo 3 opór dynamiczny powoduje szybkie zmiany orbity; istotny jest czas narastania niestabilności Czy różnego typu opory, w tym opór falowy, wpływaja na niestabilność? TAK, ale poprzez inspiral (tłumienie nieistotne) Czy i jak opisana niestabilność dla ciągłego ρ(r) jest powiązana z niestabilnością Roche a? TAK, obiekt rozciągły ulega zniszczeniu zanim ujawni się niestabilność dla m/m > 9 Jeżeli niestabilność jest realna, jakie powoduje skutki po wyjściu z reżimu liniowego? Wymianę lżejszego obiektu centralnego na bardziej masywny A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 18 / 18
29 Pytania i odpowiedzi Czy model mechaniczny jest adekwatny do opisu oddziaływania obiekt rozciągły - masa punktowa? (symulacja numeryczna 3D, hydrodynamiczny model analityczny, model N-ciałowy ) TAK (w modelu N-ciałowym) ale: 1 dla d < R prawo Keplera jest zmodywfikowane 2 ilośc i położenie punktów libracyjnych Lagrange a zmienia się jakościowo 3 opór dynamiczny powoduje szybkie zmiany orbity; istotny jest czas narastania niestabilności Czy różnego typu opory, w tym opór falowy, wpływaja na niestabilność? TAK, ale poprzez inspiral (tłumienie nieistotne) Czy i jak opisana niestabilność dla ciągłego ρ(r) jest powiązana z niestabilnością Roche a? TAK, obiekt rozciągły ulega zniszczeniu zanim ujawni się niestabilność dla m/m > 9 Jeżeli niestabilność jest realna, jakie powoduje skutki po wyjściu z reżimu liniowego? Wymianę lżejszego obiektu centralnego na bardziej masywny A. Odrzywołek (ZTWiA) Ruch czarnej dziury w gromadzie kulistej 14 maja, poniedziałek, 12:15 18 / 18
Rezonans w hybrydowym zagadnieniu 3 ciał
Rezonans w hybrydowym zagadnieniu 3 ciał Andrzej Odrzywołek Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ Seminarium ZTWiA, 4 kwietnia,środa, 10:15 2d 2d HcL d 2d HaL d M, ΡHrL d M, ΡHrL
Bardziej szczegółowoPodstawy astrofizyki i astronomii
Podstawy astrofizyki i astronomii Andrzej Odrzywołek Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ 20 marca 2018 th.if.uj.edu.pl/ odrzywolek/ andrzej.odrzywolek@uj.edu.pl A&A Wykład 4 Standardowy
Bardziej szczegółowoWykład 5 - całki ruchu zagadnienia n ciał i perturbacje ruchu keplerowskiego
Wykład 5 - całki ruchu zagadnienia n ciał i perturbacje ruchu keplerowskiego 20.03.2013 Układ n ciał przyciągających się siłami grawitacji Mamy n ciał przyciągających się siłami grawitacji. Masy ciał oznaczamy
Bardziej szczegółowoA. Odrzywołek. Dziura w Statycznym Wszechświecie Einsteina
/28 A. Odrzywołek Dziura w Statycznym Wszechświecie Einsteina Seminarium ZTWiA IFUJ, Środa, 26..22 2/28 A. Odrzywołek 3-sfera o promieniu R(t): Równania Einsteina: Zachowanie energii-pędu: Równanie stanu
Bardziej szczegółowoUogólniony model układu planetarnego
Uogólniony model układu planetarnego Michał Marek Seminarium Zakładu Geodezji Planetarnej 22.05.2009 PLAN PREZENTACJI 1. Wstęp, motywacja, cele 2. Teoria wykorzystana w modelu 3. Zastosowanie modelu na
Bardziej szczegółowoPrawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna
Prawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna G m m r F = r r F = F Schemat oddziaływania: m pole sił m Prawo powszechnego ciążenia, siła grawitacyjna, pole grawitacyjna Masa M jest
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)
Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne*
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne* Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha * Resnick, Halliday,
Bardziej szczegółowoWstęp do astrofizyki I
Wstęp do astrofizyki I Wykład 10 Tomasz Kwiatkowski 8 grudzień 2010 r. Tomasz Kwiatkowski, Wstęp do astrofizyki I, Wykład 10 1/36 Plan wykładu Wyznaczanie mas ciał niebieskich Gwiazdy podwójne Optycznie
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z fizyki i astronomii 5 Poziom podstawowy
Egzamin maturalny z fizyki i astronomii 5 Poziom podstawowy 14. Kule (3 pkt) Dwie małe jednorodne kule A i B o jednakowych masach umieszczono w odległości 10 cm od siebie. Kule te oddziaływały wówczas
Bardziej szczegółowoGRAWITACJA MODUŁ 6 SCENARIUSZ TEMATYCZNY LEKCJA NR 2 FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA.
MODUŁ 6 SCENARIUSZ TEMATYCZNY GRAWITACJA OPRACOWANE W RAMACH PROJEKTU: FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA. PROGRAM NAUCZANIA FIZYKI Z ELEMENTAMI TECHNOLOGII
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa PRZESTRZEŃ I CZAS W FIZYCE NEWTONOWSKIEJ ORAZ SZCZEGÓLNEJ TEORII. 1 Grawitacja 3. 2 Geometria jako fizyka 14
Spis treści Przedmowa xi I PRZESTRZEŃ I CZAS W FIZYCE NEWTONOWSKIEJ ORAZ SZCZEGÓLNEJ TEORII WZGLĘDNOŚCI 1 1 Grawitacja 3 2 Geometria jako fizyka 14 2.1 Grawitacja to geometria 14 2.2 Geometria a doświadczenie
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoWykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)
Bardziej szczegółowo14 POLE GRAWITACYJNE. Włodzimierz Wolczyński. Wzór Newtona. G- stała grawitacji 6, Natężenie pola grawitacyjnego.
Włodzimierz Wolczyński 14 POLE GRAWITACYJNE Wzór Newtona M r m G- stała grawitacji Natężenie pola grawitacyjnego 6,67 10 jednostka [ N/kg] Przyspieszenie grawitacyjne jednostka [m/s 2 ] Praca w polu grawitacyjnym
Bardziej szczegółowoZagadnienie dwóch ciał
Zagadnienie dwóch ciał Rysunek : Rysunek ilustrujący zagadnienie dwóch ciał. Wektor R określa położenie środka masy, wektor x położenie masy m, a wektor x 2 położenie masy m 2. Położenie masy m 2 względem
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowoCo to jest promieniowanie grawitacyjne? Szymon Charzyński KMMF UW
Co to jest promieniowanie grawitacyjne? Szymon Charzyński KMMF UW Ogólna teoria względności Ogólna Teoria Względności Ogólna Teoria Względności opisuje grawitację jako zakrzywienie czasoprzestrzeni. 1915
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne*
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Pole grawitacyjne* Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha * Resnick, Halliday,
Bardziej szczegółowoWykład Prawa Keplera Wyznaczenie stałej grawitacji Równania opisujące ruch planet
Wykład 9 3.5.4.1 Prawa Keplera 3.5.4. Wyznaczenie stałej grawitacji 3.5.4.3 Równania opisujące ruch planet 008-11-01 Reinhard Kulessa 1 3.5.4.1 Prawa Keplera W roku 140 n.e. Claudius Ptolemeus zaproponował
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoRuch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe
Ruch obrotowy bryły sztywnej Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy ruch po okręgu P, t 1 P 1, t 1 θ 1 θ Ruch obrotowy ruch po okręgu P,
Bardziej szczegółowoWykład 9 - Ewolucja przed ciągiem głównym. Ciąg główny wieku zerowego (ZAMS)
Wykład 9 - Ewolucja przed ciągiem głównym. Ciąg główny wieku zerowego (ZAMS) 30.11.2017 Masa Jeansa Załóżmy, że mamy jednorodny, kulisty obłok gazu o masie M, średniej masie cząsteczkowej µ, promieniu
Bardziej szczegółowoELEMENTY GEOFIZYKI. Atmosfera W. D. ebski
ELEMENTY GEOFIZYKI Atmosfera W. D ebski debski@igf.edu.pl Plan wykładu z geofizyki - (Atmosfera) 1. Fizyka atmosfery: struktura atmosfery skład chemiczny atmosfery meteorologia - chmury atmosfera a kosmos
Bardziej szczegółowoAutomatyka i robotyka
Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowo4π 2 M = E e sin E G neu = sin z. i cos A i sin z i sin A i cos z i 1
1 Z jaką prędkością porusza się satelita na orbicie geostacjonarnej? 2 Wiedząc, że doba gwiazdowa na planecie X (stała grawitacyjna µ = 500 000 km 3 /s 2 ) trwa 24 godziny, oblicz promień orbity satelity
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoPraca. Siły zachowawcze i niezachowawcze. Pole Grawitacyjne.
PRACA Praca. Siły zachowawcze i niezachowawcze. Pole Grawitacyjne. Rozważmy sytuację, gdy w krótkim czasie działająca siła spowodowała przemieszczenie ciała o bardzo małą wielkość Δs Wtedy praca wykonana
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoczyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Obrót wokół ustalonej osi Prawa ruchu Dla bryły sztywnej obracajacej się wokół ostalonej osi mement
Bardziej szczegółowoKinematyka, Dynamika, Elementy Szczególnej Teorii Względności
Kinematyka, Dynamika, Elementy Szczególnej Teorii Względności Fizyka wykład 2 dla studentów kierunku Informatyka Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki Politechnika Śląska 15 października 2007r.
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoObraz Ziemi widzianej z Księżyca
Grawitacja Obraz Ziemi widzianej z Księżyca Prawo powszechnego ciążenia Dwa punkty materialne o masach m 1 i m przyciągają się wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
Bardziej szczegółowoSztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym
Sztuczny satelita Ziemi Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Jest to obiekt, któremu na pewnej wysokości nad powierzchnią Ziemi nadano prędkość wystarczającą do uzyskania przez niego ruchu
Bardziej szczegółowoI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoA. Odrzywoªek (IFUJ, 2005) Zagadnienia teorii rotuj cych gwiazd
1/22 Zagadnienia teorii rotuj cych gwiazd A. Odrzywoªek A. Odrzywoªek (IFUJ, 2005) Zagadnienia teorii rotuj cych gwiazd 2/22 Zagadnienia teorii rotuj cych gwiazd A. Odrzywoªek Mikołaj Kopernik De Revolutionibus,
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoStrumień Prawo Gaussa Rozkład ładunku Płaszczyzna Płaszczyzny Prawo Gaussa i jego zastosowanie
Problemy elektrodynamiki. Prawo Gaussa i jego zastosowanie przy obliczaniu pól ładunku rozłożonego w sposób ciągły. I LO im. Stefana Żeromskiego w Lęborku 19 marca 2012 Nowe spojrzenie na prawo Coulomba
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoPrawda/Fałsz. Klucz odpowiedzi. Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zad 1.
Klucz odpowiedzi Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zad 1.1 Poprawna odpowiedź: 2 pkt narysowane wszystkie siły, zachowane odpowiednie proporcje
Bardziej szczegółowoMiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd
Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Siły - wektory Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera
Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera Arkadiusz Syta A. Syta (Politechnika Lubelska) 1 / 19 Wstęp Przegląd wybranych pakietów oprogramowania i funkcji Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 6 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoObliczanie pozycji obiektu na podstawie znanych elementów orbity. Rysunek: Elementy orbity: rozmiar wielkiej półosi, mimośród, nachylenie
Obliczanie pozycji obiektu na podstawie znanych elementów orbity Rysunek: Elementy orbity: rozmiar wielkiej półosi, mimośród, nachylenie a - wielka półoś orbity e - mimośród orbity i - nachylenie orbity
Bardziej szczegółowoFIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań
FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B
Bardziej szczegółowoFizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule
Fizyka Kurs przygotowawczy na studia inżynierskie mgr Kamila Haule Grawitacja Grawitacja we Wszechświecie Planety przyciągają Księżyce Ziemia przyciąga Ciebie Słońce przyciąga Ziemię i inne planety Gwiazdy
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek
Bardziej szczegółowoTarcie poślizgowe
3.3.1. Tarcie poślizgowe Przy omawianiu więzów w p. 3.2.1 reakcję wynikającą z oddziaływania ciała na ciało B (rys. 3.4) rozłożyliśmy na składową normalną i składową styczną T, którą nazwaliśmy siłą tarcia.
Bardziej szczegółowoPotencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie
Potencjalne pole elektrostatyczne Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/indexhtm Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03pdf
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoRysunek 1: Potencjał wynikający z treści zadania 1. Zaznaczono także punkty powrotu dla ruchu z energią E. Kolokwium I
E x L 0 L Rysunek : Potencjał wynikający z treści zadania. Zaznaczono także punkty powrotu dla ruchu z energią E. Zadanie. Kolokwium I Zbadać szczegółowo ruch koralika o masie m poruszającego się po prostym
Bardziej szczegółowoTadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 5
Podstawy fizyki wykład 5 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Grawitacja Pole grawitacyjne Prawo powszechnego ciążenia Pole sił zachowawczych Prawa Keplera Prędkości kosmiczne Czarne
Bardziej szczegółowoZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.
ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją
Bardziej szczegółowoWydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska. Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni
Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne
Bardziej szczegółowoPodstawy astrofizyki i astronomii
Podstawy astrofizyki i astronomii Andrzej Odrzywołek Zakład Teorii Względności i Astrofizyki, Instytut Fizyki UJ 12 kwietnia 2016 Równowaga hydrostatyczna Wzór barometryczny Równanie równowagi hydrostatycznej
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:
. Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoPodstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika
Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Dynamika Prowadzący: Kierunek Wyróżniony przez PKA Mechanika klasyczna Mechanika klasyczna to dział mechaniki w fizyce opisujący : - ruch ciał - kinematyka,
Bardziej szczegółowoNasza Galaktyka
13.1.1 Nasza Galaktyka Skupisko ok. 100 miliardów gwiazd oraz materii międzygwiazdowej składa się na naszą Galaktykę (w odróżnieniu od innych pisaną wielką literą). Większość gwiazd (podobnie zresztą jak
Bardziej szczegółowoznak minus wynika z faktu, że wektor F jest zwrócony
Wykład 6 : Pole grawitacyjne. Pole elektrostatyczne. Prąd elektryczny Pole grawitacyjne Każde dwa ciała o masach m 1 i m 2 przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną do iloczynu mas,
Bardziej szczegółowoWykaz oznaczeń Przedmowa... 9
Spis treści Wykaz oznaczeń... 6 Przedmowa... 9 1 WPROWADZENIE... 11 1.1 Mechanika newtonowska... 14 1.2 Mechanika lagranżowska... 19 1.3 Mechanika hamiltonowska... 20 2 WIĘZY I ICH KLASYFIKACJA... 23 2.1
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Bardziej szczegółowoFeynmana wykłady z fizyki. [T.] 1.1, Mechanika, szczególna teoria względności / R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands. wyd. 7.
Feynmana wykłady z fizyki. [T.] 1.1, Mechanika, szczególna teoria względności / R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands. wyd. 7. Warszawa, 2014 Spis treści Spis rzeczy części 2 tomu I O Richardzie P. Feynmanie
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowoZasady oceniania karta pracy
Zadanie 1.1. 5) stosuje zasadę zachowania energii oraz zasadę zachowania pędu do opisu zderzeń sprężystych i niesprężystych. Zderzenie, podczas którego wózki łączą się ze sobą, jest zderzeniem niesprężystym.
Bardziej szczegółowoMetoda elementów brzegowych
Metoda elementów brzegowych Tomasz Chwiej, Alina Mreńca-Kolasińska 9 listopada 8 Wstęp Rysunek : a) Geometria układu z zaznaczonymi: elementami brzegu (czerwony), węzłami (niebieski). b) Numeracja: elementów
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. zbiór punktów materialnych utrzymujących stałą odległość między sobą. Deformująca się piłka nie jest bryłą sztywną!
Bryła sztywna Ciało złożone z cząstek (punktów materialnych), które nie mogą się względem siebie przemieszczać. Siły utrzymujące punkty w stałych odległościach są siłami wewnętrznymi bryły sztywnej. zbiór
Bardziej szczegółowoDynamika relatywistyczna
Dynamika relatywistyczna Fizyka I (B+C) Wykład XVIII: Energia relatywistyczna Transformacja Lorenza energii i pędu Masa niezmiennicza Energia relatywistyczna Dla ruchu ciała pod wpływem stałej siły otrzymaliśmy:
Bardziej szczegółowoLXVIII OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
ZAWODY III STOPNIA CZĘŚĆ TEORETYCZNA Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 0 punktów. Zadanie. Dane są jednakowe oporniki i o stałym cieple właściwym oraz oporze zależnym od temperatury T według
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Bardziej szczegółowoy + p(t)y + q(t)y = 0. (1) Z rozwiązywaniem równań przez szeregi potęgowe związane są pewne definicje.
1 Szeregi potęgowe Poszukiwanie rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych w postaci szeregów potęgowych, zwane metodą Frobeniusa, jest bardzo ogólną metodą. Rozważmy równanie y + p(t)y + q(t)y = 0. (1)
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. z fizyki dla klasy pierwszej liceum profilowanego
Plan wynikowy z fizyki dla klasy pierwszej liceum profilowanego Kurs podstawowy z elementami kursu rozszerzonego koniecznymi do podjęcia studiów technicznych i przyrodniczych do programu DKOS-5002-38/04
Bardziej szczegółowoGrawitacja - powtórka
Grawitacja - powtórka 1. Oceń prawdziwość każdego zdania. Zaznacz, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub, jeśli jest A. Jednorodne pole grawitacyjne istniejące w obszarze sali lekcyjnej jest wycinkiem centralnego
Bardziej szczegółowoIII Zasada Dynamiki Newtona. Wykład 5: Układy cząstek i bryła sztywna. Przykład. Jak odpowiesz na pytania?
III Zasada Dynamiki Newtona 1:39 Wykład 5: Układy cząstek i bryła sztywna Matematyka Stosowana Ciało A na B: Ciało B na A: 0 0 Jak odpowiesz na pytania? Honda CRV uderza w Hondę Civic jak będzie wyglądał
Bardziej szczegółowo