1) Jakie są różnice pomiędzy analiza danych a wnioskowaniem statystycznym?

Transkrypt

1 Plaowaie Eksperymetów 1) Jakie są różice pomiędzy aaliza daych a wioskowaiem statystyczym? Celem aalizy daych jest prezetacja kokretego zbioru daych, w sposób ukazujący jego właściwości, w szczególości sytetyczy opis podstawowych jego cech. Otrzymujemy wówczas wioski, które dotyczą wyłączie aalizowaego zbioru daych. Otrzymujemy wyiki dokłade i pewe W przypadku wioskowaia statystyczego wioski a temat całej populacji wyciągae są a podstawie części daych, ie całej populacji. ) Podad i opisad dwa podstawowe typy daych Dae ilościowe są to dae w postaci liczb. (p. wysokośd stypedium). Dae jakościowe są to dae opisujące cechę jakościową (p. płed) 3) Podad miary (a) tedecji cetralej (b) rozproszeia dla daych ilościowych. Które z tych miar lepiej zastosowad, gdy podejrzewamy, iż wśród daych w wyiku błędu są obserwacje odstające? Miara tedecji cetralej: Średia -x = Mediaa wartośd środkowa Moda(domiata) - wartośd ajczęściej pojawiająca się w próbie Miary rozproszeo: Rozstęp: Max Mi Rozstęp międzykwatylowy IQR = Q 3 Q 1 Wariacja: S = 1 x 1 i x, Odchyleie stadardowe : S S Gdy podejrzewamy, iż dae obarczoe są błędami i występują w ich dae odstające lepiej zastosowad miarę tedecji cetralej. W tej mierze odrzucamy skraje wartości i kocetrujemy się a tym co dzieje się w cetralej części daych. 4) Wymieid i opisad (bez podawaia wzorów) miary kształtów zbioru daych ilościowych 1) skośośd (współczyik asymetrii) Obserwacje są symetryczie rozłożoe względem średiej (która w tej sytuacji rówa się mediaie) A = 0 ) kurtoza (współczyik spłaszczeia) Wskazuje a ile wykres rozkładu empiryczego badaej cechy jest płastszy (K<0) bądź bardziej stromy (K>0) względem rozkładu ormalego.

2 5) Co to zaczy że X!, X,, X jest prostą próbą losową X? X!, X,, X jest prostą próbą losową X ozacz to że X!, X,, X są iezależe i mają te sam rozkład co cecha populacji X 6) Stosując metodę mometów, wyzaczyd estymator parametru θ a podstawie próby losowej X!, X,, X (a) (a) z rozkładu trzypuktowego P X = 1 = θ 3θ, P X = 0 = 1 θ oraz P X = =, 4 4 gdzie θε 0, 1 (b) z rozkładu jedostajego a odciku 0, θ, gdzie θ > 0, czyli z rozkładu o gęstości f θ x = 1 θ dla x (0, θ) 0 dla x (0, θ) M = EX = 1 θ 4 + 3θ 4 = 3θ θ 4 = 5θ 4 M 1 = 1 M = M 1 = 1 X i 1 = x X i 1 = x (b) 5θ 4 = x => θ = 4 5 x θ M = EX = x 1 θ dx = 1 x θ 0 = 1 θ 1 θ θ = 1 θ 0 M = M 1 = x x = 1 θ => θ = x 7) Niech X!, X,, X będzie próba losową o rozkładzie Poissoa z parametrem θ > 0, tz. z rozkładu dyskretego o fukcji masy prawdopodobieostwa P X = x e Wyzaczyd estymator parametru θ, stosując metodę ajwiększej wiarygodości. θ θx x!, x = 0, 1,, α θ = θx θ P X = x e, x = 0,1,, x! i=0 e θ θ! = e (+1)θ θ 1!

3 lα θ = + 1 θ + lα θ = θ lα θ " = θ = lθ + ( l! = + 1 i=0 = x 1 θ = 0 1 θ = 0 + ( 1 θ ) θ = x 8) Niech X!, X,, X będzie prostą próbą losowa z rozkładu Pareto o gęstości daej wzorem a f a θ = xa+1 dla x 1. Wyzaczyd estymator parametru a, stosując metodę ajwiększej 0 dla x < 1 wiarygodości. α θ = a a+1 = a l α θ = l a a + 1 l α θ = a a = a = 1 a+1 i=0 = a 1 ( ) a+1 ) < 0 l = l a a + 1 l l l l = 0 l α θ = a < 0 9) Podad defiicję : Odp.: a = l (a) błąd średiokwadratowy estymatora; Fukcję MSE θ θ = E θ θ θ, gdzie θ Θ, azywamy błędem średiokwadratowym estymatora θ parametru θ (b) estymator ieobciążoy

4 Mówimy, żeθ = t X 1, X,, X jest ieobciążoym estymatorem parametru θ jeśli (c) obciążeia estymatora E θ = θ dla kazdego θ Θ Fukcję B θ = θ E θ θ, gdzie θ Θ azywamy obciążeiem estymatora (d) estymator ieobciążoy o miimalej wariacji Estymator T 0 = t X 1, X,, X azywamy estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji iezaej wielkości τ(θ), jeśli 1. T 0 jest ieobciążoy, tz. dla każdego θ Θ mamy E θ T 0 = τ(θ).. Var θ (T 0 ) Var θ (T) dla każdego θ Θ i dla każdego estymatora ieobciążoego T wielkości τ θ. (e) asymptotyczie ieobciążoego ciągu estymatorów Mówimy, że ciąg estymatorów θ = t X 1, X,, X parametru θ jest asymptotyczie ieobciążoy jeśli lim E θ θ = θdla każdego θ Θ (f) zgodego, moco zgodego i zgodego w sesie zbieżości średiokwadratowej ciągu estymatorów Mówimy, ze ciąg estymatorów θ = t X 1, X,, X, 1, parametru θ jest Zgody w sesie zbieżości średiokwadratowej jeśli błąd średiokwadratowy θ zbiega do zera wraz ze wzrostem liczebości próby do ieskooczoości lim (E θ θ θ ) = 0 dla wszystkic θ Θ moco zgody jeśli z prawdopodobieostwem 1 realizacjeθ dążą do θ, gdy liczośd próby wzrasta do ieskooczoości P( lim (θ = θ)) = 1 dla wszystkich θ Θ (słabo) zgody jeśli dla dostateczie dużych liczebości próby estymator θ z dużym prawdopodobieostwem przyjmuje wartości bliskie θ: lim P θ θ < ε = 1dla każdego ε > 0 i dla wszystkich θ Θ 10 Niech X 1, X,, X będzie próbą losową z rozkładu jedostajego a odciku 0, θ, gdzie θ > 0. Mamy dwa estymatory parametru θ θ 1 = θ = max X 1, X,, X Poadto wiadomo, że E θ 1 = θ, E θ = θ +1, MSE θ 1 (a)czy estymator θ 1 jest estymatorem: i. ieobciążoym E θ 1 = θ, więc jest ieobciążoy ii. zgody w sesie zbieżości średiokwadratowej lim (E θ θ 1 θ ) = 0 lim E(θ 1 θ 1 θ + θ ) lim [Eθ 1 Eθ 1 θ + θ ] θ = θ 3, MSE θ θ = θ (+1)(+)

5 lim [3 + 1 θ θ + θ ] 3 θ lim 3 = 0 więc jest zgody w sesie zbieżości średiokwadratowej iii. zgodym lim P θ θ < ε = 1 Każdy estymator zgody w sesie zbieżości średiokwadratowej jest zgody (b) Czy estymator θ jest estymatorem i. ieobciążoym ii. asymptotyczie ieobciążoy E θ = θ θ więc ie jest ieobciążoy +1 β θ = Eθ θ = θ θ = θ = θ lim β θ x 1.. x = lim θ + 1 = 0 Więc θ jest asymptotyczie ieobciążoy iii. zgody w sesie zbieżości średiokwadratowej lim E θ θ θ θ = lim = 0 Jest zgody w sesie zbieżości średiokwadratowej iv. zgodym? Tak bo jeśli jest zgody w sesie zbieżości średiokwadratowej to jest też zgody 11 Podad defiicję rodziy rozkładów typu wykładiczego. Czy rodzia (a) Rozkładu Pareto o gęstości f a x = xa+1 dla x 1 0 dla x < 1 x (b) Rozkładów o gęstości f θ x = θ dla x (0, θ) 0 dla x (0, θ) Jest rodzią typu wykładiczego? Odpowiedz uzasadij. Defiicja: Rodzia rozkładu wykładiczego P = {p o θεθ} jest k parametryczą wykładiczą rodzią rozkładu, jeżeli p θ ma postad: a p θ x = x exp k j =1 C j θ T j x B θ Gdzie fukcje T 1,.. T k są liowo iezależe (a)

6 f a x = Tak jest rodzią typu wykładiczego (b) Nie jest rodzią wykładiczą f a x = a dla x 1 xa+1 a x a+1 = 1 exp { a l x + l a} = x = 1 exp { a l x + l a} x x C 1 θ T 1 x B(θ) f θ x = x θ = x θ = exp l xθ = = exp l x l θ Brak C j (θ) 1 Sformułowad twierdzeie o estymatorze ieobciążoym o miimalej wartości dla modeli typu wykładiczego. Jeżeli 1. X 1, X,, X jest próbą losową z jedoparametrowej rodziy typu wykładiczego z k=1, gdzie θ Θ R i Θ jest przedziałem. Istieje ieobciążoy estymator wielkości τ θ To istieje jede ieobciążoy estymator wielkości τ θ będący fukcją to estymator te jest estymatorem ieobciążoym o miimalej wariacji. d 1 X i ; poad 13 Podaj defiicję przedziału ufości dla parametru θεθ Ra poziomie 1 α Przedziałem ufości dla parametru θ Θ R a poziomie ufości 1 α gdzie α 0,1, azywamy przedział θ 1, θ, gdzie θ 1 = θ 1 X 1, X,, X i θ = θ X 1, X,, X to mierzale fukcje próby takie, że θ 1 θ i P(θ 1 θ 1 X 1, X,, X, θ X 1, X,, X ) = 1 α dla każdego θ Θ 14 Niech X 1, X,, X będą próba losową z rozkładu ormalego N μ, σ o iezaej wartości oczekiwaej EX 1 = μ i zaej wariacji Var X 1 = σ ( 0, ). Wówczas (X u 1 α σ, X + u 1 α σ ) To przedział ufości dla wartości średiej μ a poziomie ufości 1 α. Wyprowadzid wzór a miimalą liczebośd próby potrzebą do skostruowaia w tym modelu przedziału ufości dla średiej o długości ie przekraczającej d u 1 α σ d

7 u α 1 σ d u α 1 σ d 15 Niech X 1, X,, X będą próba losową z rozkładu ormalego N μ, σ o iezaej wartości oczekiwaej EX 1 = μ i zaej wariacji Var X 1 = σ ( 0, ). Wówczas (X t 1 α, 1 S, X + t 1 α, 1 To przedział ufości dla wartości średiej μ a poziomie ufości 1 α. Wyprowadzid wzór a miimalą liczebośd próby potrzebą do skostruowaia w tym modelu przedziału ufości dla średiej o długości ie przekraczającej d Otrzymujemy : l = S t 1 α d S ) S S 0 t 1 α d t 1 α d Podejście przybliżoe, polegające a zastąpieiu zamieej losowej S przez wariację S 0 wyzaczoe a podstawie próby wstępej. S 0 = X w i X 0, gdzie X 0 = 1 w X i 0 Gdzie S 0 jest day wzorem powyżej, z tym że teraz ie wymagamy by o 30. Jeśli dla wyzaczoego mamy 0 to liczośd próby wstępej jest wystarczająca by otrzymad żądaą precyzję, estymacji przedziałowej, więc szukay przedział ufości kostruujemy a jej podstawie > 0 to do próby wstępej dolosowujemy tyle elemetów by po ich dołączeiu otrzymad próbę o liczebości ie miejszej iż. 16 Zdefiiuj błąd I-go rodzaju, błąd II-go rodzaju i moc testu Moc testu parametryczego to fukcja zmieej θ (gdzie θ to baday parametr) daa wzorem β θ = P(δ X 1, X,, X W θ) = = prawdopodobieostwo odrzuceia H 0 w sytuacji, gdy ie zay parametr przyjmuje wartośd θ Błąd I-go rodzaju: β θ = P δ X 1, X,, X W θ 0 ) = P(δ X 1, X,, X W H 0 ) =

8 =prawdopodobieostwo błędu pierwszego rodzaju Błąd II-go rodzaju: β θ = P δ X 1, X,, X W θ 1 ) = P(δ X 1, X,, X W H 1 ) = = 1 P(δ X 1, X,, X W H 1 ) = =1- prawdopodobieostwo błędu drugiego rodzaju 17 Zdefiiuj statystykę testową i zbiór krytyczy testu Statystyką testową azywamy fukcję próby δ X 1, X,, X, która służy do weryfikacji H 0 przeciwko H 1. Zbiór wszystkich wartości fukcji δ dzielimy a dwa rozłącze zbiory W i W takie że: Jeśli δ x 1, x,, x W to H 0 odrzucamy Jeśli δ x 1, x,, x W to H 0 przyjmujemy W azywamy zbiorem krytyczym testu (zbiorem odrzuceo H 0 ) 18 O czym iformuje współczyik zway p-value? Omów zasadę posługiwaia się tą wielkością. Najmiejszy poziom istotości, przy którym zaobserwowaa wartośd statystyki testowej prowadzi do odrzuceia H 0, azywamy p-wartością (p-value) przeprowadzoego testu. Tz p value α =>odrzucamy H 0 p value > α =>przyjmujemy H 0 19 Niech θ Θ i Θ 0 Θ. Jakie waruki musi spełid test by był to jedostajie ajmociejszy test a poziomie istotości α dla H o : θ Θ 0 przeciwko H 1 : θ Θ \Θ 0? Niech H o : θ Θ 0 i H 1 : θ Θ \Θ 0. Jedostajie ajmociejszym testem a poziomie istotości α dla H 0 przeciwko H 1 azywamy φ o astępujących własościach: 1. sup θ 0 Θ 0 β φ θ 0 = α Gdzie β φ θ 0 to prawdopodobieostwo błędu I-go rodzaju dla testu φ, gdy θ = θ 0 - waruek te ozacza, że test φ to test a poziomie istotości α w szczególości gwaratuje o, że dla każdego : θ 0 Θ 0 prawdopodobieostwo błędu I-go rodzaju dla testu φ ie przekracza α.. Dla każdego testu φa poziomie istotości α mamy : 1 β φ θ 1 1 β φ θ 1 dla każdego θ 1 Θ \Θ 0. Gdzie 1 β φ θ 1 to prawdopodobieostwo błędu II-go rodzaju dla testu φ gdy θ = θ 1 0 Przytocz lemat Neymaa-Pearsoa Niech X 1, X,, X będą próbą losową z rozkładu ciągłego o gęstości f θ (x) lub dyskretego o fukcji masy prawdopodobieostwa p θ x gdzie θ {θ 0, θ 1 } Ustalmy α (0,1), Wtedy test który odrzuca H 0, gdy L θ 0 ; X 1, X,, X L θ 1 ; X 1, X,, X k, Gdzie L ozacza fukcję wiarygodości zaś k spełia

9 P θ0 L θ 0; X 1, X,, X L θ 1 ; X 1, X,, X k = α Jest ajmociejszym testem a poziomie istotości α dla H 0 przeciwko H 1. 1 Sformułowad i opisad model jedoczyikowej aalizy wariacji. Podad założeia tego modelu. Jakie hipotezy w tym modelu weryfikujemy i co w praktyce ozacza ich przyjęcie bądź odrzuceie? Model jedoczyikowej aalizy wariacji jest astępujący Y ij = μ + α i + ε ij i = 1,,, k j = 1,,, k- liczba poziomów czyików liczba obserwacji a każdym poziomie czyików gdzie : Y ij - wartośd zmieej odpowiedzi dla j-tej obserwacji w i-tej grupie, μ + α i wartośd średia zmieej odpowiedzi w i tej grupie, α i - efekt i-tej grupy, ε ij - błąd losowy dla j-tej obserwacji w i-tej grupie W powyższym modelu zakładamy, że dla każdego poziomu czyika rozkład zmieej odpowiedzi jest ormaly z taką samą wariacją σ 1 = σ = = σ k oz. σ. założeie to jest rówoważe założeiu, że błędy losowe ε ij też mają rozkłady ormale o tej samej wariacji σ. Poieważ pomiar przeprowadzamy iezależie, tz. Y ij są iezależe, to także ε ij są iezależe Resumując ε ij są iezależe o tym samym rozkładzie N μ, σ Poadto założyliśmy, że przeprowadziliśmy doświadczeie z plaem zrówoważoym dla każdego poziomu czyika mamy taką samą liczbę obserwacji wyoszącą. Weryfikujemy astępujące hipotezy: H o : α 1 = α = α 3 =0 H 1 : istieją i takie, że α i 0 Poiższa tabela zawiera koszty produkcji (w PLN) pewego wyrobu, który może byd wytworzoy trzema metodami: A, B, C. Chcemy oceid czy koszty produkcji są takie same dla każdego z tych metod. Jakie arzędzie statystycze ależy użyd do rozwiązaia tego problemu, jakie zawożeia sprawdzid i jakie hipotezy postawid Metoda A Metoda B Metoda C

10 Jakie arzędzie statystycze ależy użyd do rozwiązaia tego problemu: arzędzie ANOVA Jakie założeia sprawdzid: 1) czy w każdej grupie rozkład zmieej odpowiedzi jest ormaly, ) czy wariacje zmieej odpowiedzi są w każdej grupie takie same. Model i hipotezy: H o : α 1 = α = α 3 =0 H 1 : α 1 =0 lub/i α =0 lub/i α 3 =0 Y ij = μ + α i + ε ij i = 1,, 3 j = 1,,,5 3 Na co ależ uważad podczas plaowaia eksperymetu ANOVA? 1). Na badaą cechę mogą mied wpływ zmiee ukryte, których wpływu ie kotrolujemy ( bo ie są w cetrum aszego zaiteresowaia lub ich istieia w ogóle ie podejrzewamy). Co gorsza, zmiee ukryte ie zawsze dają się podczas eksperymetu kotrolowad lub ich kotrolowaie wiąże się ze zaczym wysiłkiem i kosztami. ) Na badaą cechę może mied wpływ bardzo wiele czyików i ie jesteśmy w staie ich wszystkich kotrolowad 3) Bardzo często czyiki są w iterakcji. Iterakcja to łącze oddziaływaie czyików a zmieą odpowiedzi: jeśli średia wartośd zmiay odpowiedzi spowodowaa zmiaą jedego czyika zależy od wartości drugiego czyika, to wówczas istieje iterakcja między czyikami. 4 Co zaczy że pomiędzy dwoma czyikami (czyik A i czyik B) występują iterakcje, gdy baday ich wpływ a zmieą odpowiedzi? Jak w przypadku istieia iterakcji wyglądają wykresy średich wewątrzgrupowych? Sformułowad i opisad model dwuczyikowej aalizy wariacji z iterakcjami i podad założeia tego modelu Iterakcja to łącze oddziaływaie czyików a zmieą odpowiedzi. To zaczy oba czyiki oprócz swojego oddziaływaia, razem dodatkowo oddziałują a zmieą odpowiedzi.

11 Model iterakcji Y ijm = μ + α i + β j + γ ij + ε ijm,,..,k j=1,,..,l m=1,,.., gdzie Y ijm - wartośd zmieej odpowiedzi dla m-tej obserwacji w grupie, w której czyik A jest a i-tym poziomie a czyik B- aj-tym poziomie μ + α i + β j + γ ij wartośd średia zmieej odpowiedzi w grupie, której czyik A jest ma i- tym poziomie a czyik B a j-tym poziomie, α i efekt i-tego poziomu czyika A β j efekt j-tego poziomu czyika B γ ij iterakcja między i-tym poziomem czyika A i j-tym poziomem czyika B, ε ijm błąd losowy dla m-tej obserwacji w grupie, w której czyik A jest a i-tym poziomie a czyik B a j-tym poziomie Zakładamy że w każdej grupie ( tz. dla każdej z kl możliwych kombiacji czyików A i B) rozkład zmieej odpowiedzi jest ormaly z taką samą wariacją Założeie to moża zapisad astępująco: σ ij = σ dla każdego,,, k, j=1,,, l ε ijm są iezależe o tym samym rozkładzie N μ, σ

12 5 Co zaczy że pomiędzy dwoma czyikami (czyik A i czyik B) ie ma iterakcji, gdy baday ich wpływ a zmieą odpowiedzi? Jak w przypadku braku iterakcji wyglądają wykresy średich wewątrzgrupowych? Sformułowad i opisad model dwuczyikowej aalizy wariacji z iterakcjami i podad założeia tego modelu Iterakcja to łącze oddziaływaie czyików a zmieą odpowiedzi. W przypadku braku iterakcji średia wartośd zmiay odpowiedzi spowodowaa zmiaą jedego czyika ie zależy od tego jaki jest poziom drugiego czyika Model iterakcji Y ijm = μ + α i + β j + ε ijm,,..,k j=1,,..,l m=1,,.., gdzie Y ijm - wartośd zmieej odpowiedzi dla m-tej obserwacji w grupie, w której czyik A jest a i-tym poziomie a czyik B- aj-tym poziomie μ + α i + β j wartośd średia zmieej odpowiedzi w grupie, której czyik A jest ma i- tym poziomie a czyik B a j-tym poziomie, α i efekt i-tego poziomu czyika A β j efekt j-tego poziomu czyika B ε ijm błąd losowy dla m-tej obserwacji w grupie, w której czyik A jest a i-tym poziomie a czyik B a j-tym poziomie Zakładamy że w każdej grupie ( tz. dla każdej z kl możliwych kombiacji czyików A i B) rozkład zmieej odpowiedzi jest ormaly z taką samą wariacją

13 Założeie to moża zapisad astępująco: σ ij = σ dla każdego,,, k, j=1,,, l ε ijm są iezależe o tym samym rozkładzie N μ, σ 6 Podad i krótko opisad techiki stosowae przy plaowaiu eksperymetu. 1) Eksperymet czyikowy przeprowadzeie kompletego, całkowitego, eksperymetu czyikowego. Tz. mierzymy wartości odpowiedzi dla wszystkich kombiacji poziomów czyików ) Replikacja Mając tylko po jedej obserwacji dla każdej kombiacji poziomów czyików, ie jesteśmy w staie stwierdzid czy istieją iterakcje pomiędzy czyikami. Zatem, jeśli z góry ie wykluczymy istieia iterakcji między czyikami, to replikujemy pomiary. 3) Radomizacja a zmieą odpowiedzi bardzo często mogą wpływad zmiee ukryte. Zmiee te ie zawsze jesteśmy w staie podczas eksperymetów kotrolowad, może ich byd bardzo dużo, z iektórych możemy ie zdawad sobie sprawy. Aby zmiejszyd wpływ tych zmieych a wyik eksperymetu, stosujemy radomizację każdej jedostce eksperymetalej przypisujemy poziom czyików w sposób losowy i w sposób losowy ustalamy kolejośd przeprowadzeia doświadczeia 4) Eksperymet ślepy Polega a podawaiu czyika posiadającego wpływ a odpowiedz oraz czyika placebo. Wtedy grupa badaa ie wie czy została podaa kuracji przeprowadzamy wtedy eksperymet ślepy. Eksperymet podwójie ślepy jest wtedy gdy osoba zbierające dae także ie wiedzą kto dostał czyik kto placebo. Dzięki takiemu zabiegowi wyelimioway jest efekt placebo p. pacjetowi ie poprawia się dlatego że wie że dostaje lek. 5) Grupowe Aby ziwelowad wpływ zmieych ukrytych a wyik eksperymetu, możemy zastosowad grupowaie, pod warukiem że wiemy jakie to zmiee. 6) Ułamkowy eksperymet czyikowy gdy podczas przeprowadzeia eksperymetu pomiarów jest tak dużo że ie jesteśmy w staie wszystkich wykoad, wykouje się redukcje pomiarów. Jedak redukcje tą trzeba zrobid w kotroloway sposób, tak by po wykoaiu eksperymetu mied wyiki dla czyików które chcemy badad. 7 Iżyier techolog chce zbadad czy rodzaj farby podkładowej ( rozpatrujemy trzy rodzaje farby: A, B C) oraz sposób jej akładaia a detale ( malowaie zaurzeiowe lub malowaie atryskowe) mają istoty wpływ a siłę przylegaia właściwej farby awierzchiowej. Plauje przeprowadzid eksperymet czyikowy z czterema replikacjami. Ile pomiarów będzie musiał wykoad? Wymieid te pomiary. 3 Rodzaje farby techiki akładaia farby 4 replikacje Ilośd pomiarów 3**4=4 Pomiary : (AZ, BZ, CZ, AN, BN, CN)*4 gdzie Z malowaie zaurzeiowe. N malowaie atryskowe.