Ubezpieczenia na życie
|
|
- Teodor Nowicki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ROZDZIAŁ 4 Ubezpieczenia na życie Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub w ratach), a w zamian za to ubezpieczyciel zobowiązuje się do wypłacenia pewnej kwoty (zwanej sumą ubezpieczenia) w razie określonego zdarzenia związanego z życiem lub śmiercią ubezpieczonego. 1. Rodzaje ubezpieczeń na życie Ze względu na moment płatości świadczenia ubezpieczenia na życie dzielimy na: ciągłe, tzn. płatne w chwili śmierci; dyskretne, tzn. płatne na koniec roku lub podokresu śmierci ubezpieczonego; na dożycie, tzn. płatne na koniec okresu objętego ubezpieczeniem; inaczej mówiąc ubezpieczony otrzyma świadczenie jeżeli dożyje ustalonego momentu czasu Ze względu na okres ważności polisy ubezpieczenia życiowe dzielimy na: bezterminowe, tzn. ważne przez całe przyszłe życie ubezpieczonego; terminowe, tzn. ważne przez do ustalonego z góry momentu czasu; odroczone, tzn. ważne od pewnego momentu czasu (terminowo lub bezterminowo). W dalszym ciągu przez i będziemy oznaczać tzw. techniczną stopę procentową. Jest ona ustalana przez ubezpieczyciela na bezpiecznym niskim poziomie (od 3% do 5%). W najprostszym bezterminowym ubezpieczeniu na życie ubezpieczycial zobowiązuje się, że w razie śmierci ubezpieczonego wypłaci uposażonym (rodzinie lub innym osobom wskazanym przez ubezpieczonego) określonej kwoty pieniędzy. Dla uproszczenia zakładamy, że suma ubezpieczenia wynosi 1. Jest to tzw. przypadek znormalizowany. Pytamy teraz ile wynosi wartość takiej polisy, tzn. jaką opłatę (składkę) należy pobrać za sprzedaż takiej polisy. Gdyby czas T, który pozostał do śmierci ubezpieczonego był z góry znany, to należałoby pobrać opłatę w wysokości obecnej wartości sumy ubezpieczenia, czyli w wysokości v T, gdzie v = 1 1+i jest czynnikiem dyskonta. Oczywiście vt < 1, co powoduje że ubezpieczony ubezpieczony może liczyć na zysk z ubezpieczenia. 31
2 32 4. UBEZPIECZENIA NA życie Ale T jest zmienną losową, a więc OW świadczenia, którą na razie oznaczamy przez Z jest również zmienną losową. Ponieważ nie możemy pobierać składki w losowej wysokości, to miarą wartości polisy jest wartość oczekiwana EZ obecnej wartości świadczenia. Nazywana jest ona jednorazową składką netto lub wartością aktuarialną świadczenia. W praktyce składka netto nie jest stosowana, gdyż nie uwzględnia żadnych kosztów prowadzenia działalności ubezpieczeniowej, ani ewentualnych zysków. Jednak wyznaczenie składki netto jest pierwszym krokiem przy wyznaczaniu rzeczywistej wartości zawieranej polisy. Zauważmy, że przyjęcie średniej składki netto naraża ubezpieczyciela na ryzyko, gdyż faktyczna wysokość świadczenia może przekroczyć swoją wartość oczekiwaną, co powoduje stratę ubezpieczyciela. Jedną z miar tego ryzyka jest wariancja zmiennej losowej Z, czyli Var Z = E(Z E(Z)) 2 = EZ 2 (EZ) 2. Liczbę σ(z) = Var Z nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej losowej Z. Zauważmy, że Var(aZ) = a 2 Var(Z), a więc dla a mamy σ(az) = aσ(z). Przypomnijmy, że dla dowolnych zmiennych losowych X i X mamy E(X + Y ) = E(X) + E(Y ), ale podobna równość dla wariancji nie zawsze zachodzi. Aby wyznaczyć wariancję sumy X + Y wprowadzamy wielkość zwaną kowariancją zmiennych X i Y Cov(X, Y ) = E(X EX)(Y EY ) = E(XY ) EX EY. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to EXY = EX EY, a więc Cov(X, Y ) =. Mamy teraz dla dowolnych zmiennych losowych X i Y Var(X + Y ) = E [(X + Y ) E(X + Y )] 2 = E [(X EX) + (Y EY )] 2 = E(X E(X)) 2 + E(Y E(Y )) 2 + 2E(X EX)(Y EY ). Zatem zawsze Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 Cov(X, Y ), a w szczególności dla niezależnych zmiennych losowych Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ). Uwaga. W dalszym ciągu będziemy zawsze zakładać, że spełniona jest jedna z hipotez agregacyjnych: hipoteza jednorodnej populacji HJP lub hipoteza agregacji HA.
3 2. UBEZPIECZENIA P ATNE W CHWILI śmierci Ubezpieczenia płatne w chwili śmierci Wyznaczymy teraz wartości aktuarialne i ryzyko różnych ubezpieczeń płatnych w chwili śmierci (przypadek ciągły). Chociaż w praktyce takie ubezpieczenia występują rzadko, to jest to dobry przypadek modelowy. Wzory dla przypadku ciągłego przenoszą się niemal automatycznie na przypadek ubezpieczeń dyskretnych. Zakładamy, że znany jest rozkład przyszłego czasu życia T x. Jego gęstość wyraża się wzorem f x (t) = t p x µ x+t. Będziemy korzystać z następującego wzoru, prawdziwego dla dowolnej funkcji h E(h(T x )) = h(t)f x (t)dt = h(t) t p x µ x+t dt. Ponadto zawsze zakładamy, że suma ubezpieczenia wynosi Ubezpieczenie na całe życie. Ubezpieczenie takie gwarantuje wypłatę sumy 1 w chwili śmierci, to znaczy po upływie T x czasu od chwili wykupienia polisy. Zatem obecna wartość takiej polisy wynosi a składka netto wynosi Z = v Tx, Ā x = E ( ) v Tx = v t f x (t)dt = Dalej, drugi moment zmiennej losowej Z wynosi v t tp x µ x+t dt. 2 Ā x = EZ 2 = E ( ) 2 ( ) v Tx = E v 2T x = v 2t tp x µ x+t dt. Zatem 2 Ā x jest równe Āx obliczonemu przy kwadracie danego czynnika dyskonta (lub przy podwojonym natężeniu oprocentowania 2δ). Mamy zatem Var Z = 2 Ā x (Āx) 2. Przykład 11. Obliczyć wysokość składki w bezterminowym ubezpieczeniu na życie 5-latka na sumę 1 PLN, jeżeli przyszły czas życia ma stałe natężenie śmiertelności µ 5+t =.2 oraz δ =.5. Rozwiązanie. Wtedy T 5 ma rozkład wykładniczy z parametrem.2, o gęstości Ponadto v = e δ = e.5. Zatem Ā 5 =.2 f 5 (t) =.2e.2t, t. e.5t e.2t =.2.7 = Stąd szukana składka wynosi 1 Āx = PLN.
4 34 4. UBEZPIECZENIA NA życie Definicja 4. Niech A będzie zdarzeniem losowym. Indykatorem zdarzenia A nazywamy zmienną losową 1(A) określoną wzorem 1, jeśli A zaszło, 1(A) =, jeśli A nie zaszło. Zauważmy, że jeżeli P(A) = p, to 1(A) przyjmuje wartości 1 i z prawdopodobieństwami p i 1 p. Zatem E(1(A)) = 1 P(A) + P(A ) = P(A) oraz a więc E(1(A)) 2 = 1 2 P(A) + 2 P(A ) = P(A), Var(1(A)) = P(A) (P(A)) 2 = P(A)P(A ) Ubezpieczenie terminowe. Ubezpieczenie terminowe n-letnie gwarantuje wypłatę świadczenia tylko, jeżeli śmierć ubezpieczonego nastąpi w ciągu najbliższych n lat (w przypadku ubezpieczeń płatnych w chwili śmierci n nie musi być całkowite). Jeżeli ubezpieczony przeżyje n lat, nie otrzymuje żadnego świadczenia. Obecna wartość tego świadczenia wynosi v Tx, jeżeli T n, Z = v Tx 1(T x q) =, jeżeli T n. Jednorazowa składka netto wynosi Ā 1 x:n = EZ = n v t f x (t)dt = Dalej, drugi moment zmiennej losowej Z wynosi 2 Ā 1 x:n = EZ 2 = n v 2t tp x µ x+t dt. v t tp x µ x+t dt Ubezpieczenie na dożycie. Czyste ubezpieczenie na dożycie długości n gwarantuje wysłatę sumy ubezpieczenia w chwili n, pod warunkiem że ubezpieczony dożył tej chwili. Zatem obecna wartość tego świadczenia wynosi Stąd JSN tego ubezpieczenia wynosi Wariancja obecnej wartości wynosi Z = v n 1(T x n). Ā 1 x:n = v n np x. Var(Z) = v 2n np xn q x.
5 2. UBEZPIECZENIA P ATNE W CHWILI śmierci Ubezpieczenie na życie i dożycie. Ubezpieczenie to gwarantuje wypłatę sumy ubezpieczenia w chwili śmierci, jeżeli nastąpi ona w cigu n lat, w przeciwnym razie na koniec tego kresu. Jest to zatem ubezpieczenie terminowe połączone z ubezpieczeniem na dożycie. Obecna wartość tego ubezpieczenia wynosi v Tx, jeżeli T x n, Z = = v Tx 1(T x n) + v n 1(T x > n). v n, jeżeli T x > n Zatem obecna wartość jest równa sumie obecnych wartości ubezpieczenia terminowego Z 1 i ubezpieczenia na dożycie Z 2. Stąd JSN wynosi Natomiast Ā x:n = E(Z 1 + Z 2 ) = E(Z 1 ) + E(Z 2 ) = Ā1 x:n + Ā 1 x:n. Var(Z) = Var(Z 1 + Z 2 ) = Var(Z 1 ) + Var(Z 2 ) + 2 Cov(Z 1, Z 2 ). Mamy E(Z 1 Z 2 ) =, a więc Cov(Z 1, Z 2 ) = E(Z 1 )E(Z 2 ). Zatem Oczywiście Var(Z) = Var(Z 1 ) + Var(Z 2 ) Ā1 x:n Ā 1 x:n. Var(Z) Var(Z 1 ) + Var(Z 2 ), a więc ubezpieczyciel ponosi mniejsze ryzyko sprzedając jednej osobie ubezpieczenie na życie i dożycie niż sprzedając oddzielnie dwie polisy: jedną, x-latkowi terminową n-letnią, a drugą, innemu x-latkowi n-letnią na dożycie Odroczone ubezpieczenie na całe życie. W ubezpieczeniu takim suma ubezpieczenia jest wypłacana tak jak w zwykłym ubezpieczeniu na całe życie, ale nie wcześniej niż m lat od chwili zawarcia umowy (wykupienia polisy). Zatem obecna wartość tego świadczenia wynosi v Tx, jeżeli T x m, Z =, jeżeli T x < m. Zauważmy, że Z = Z 1 Z 2, gdzie Z 1 jest obecną wartości ubezpieczenia na całe życie, a Z 2 obecną wartością m-letniego ubezpieczenia terminowego. Stąd m Āx = E(Z) = Āx Ā1 x:m = Twierdzenie 9. Przy założeniu HJP m m Āx = m p x v m Ā x+m. v t tp x µ x+t dt.
6 36 4. UBEZPIECZENIA NA życie Dowód. Mamy na mocy HJP tp x = m p xt m p x+m. Zatem m Āx = m = m v t tp x µ x+t dt v t mp x t m p x+m µ x+m+(t m) dt = v m mp x v s sp x+m µ x+m+s ds = m p x v m Ā x+m. 3. Ubezpieczenia płatne na koniec roku śmierci Rozważymy teraz przypadek ubezpieczeń płatnych dyskretnie, tzn. nie w chwili śmierci, ale na koniec roku śmierci (koniec roku, w którym ubezpieczony umiera). Chodzi tu o pełne lata (lub później podokresy takie jak miesiące, kwartały itp.) liczone od dnia zawarcia umowy, a nie o lata czy miesiące kalendarzowe. Jeżeli ubezpieczany ma obecnie x-lat, to jego przyszły czas życia oznaczamy przez T x, a obcięty przyszły czas życia przez K x. Zatem chwilą wypłaty jest K x +1. Będziemy korzystać z następujących wzorów P(K x = k) = k 1 q x = k q x = k p x q x+k, k =, 1, 2,..., a więc dla dowolnej funkcji h Eh(K x ) = h(k)p(k x = k) = h(k) k p x q x+k. Uwaga. Inaczej niż w przypadku ubezpieczeń ciągłych, jeśli mówimy o okresie n lat, to n musi być liczbą całkowitą Ubezpieczenie na całe życie. Ubezpieczenie takie gwarantuje wypłatę sumy 1 na koniec roku śmierci ubezpieczonego. Zatem OW takiej polisy wynosi Z = v Kx+1, a JSN wynosi A x = E ( v Kx+1) = v k+1 P(K x = k) = v k+1 kp x q x+k. Drugi moment i wariancję Z można policzyć ze wzoru 2 A x = v 2(k+1) kp x q x+k. Przykład 12. Obliczmy składkę netto w ubezpieczeniu na całe życie 5-latka, jeżeli v =.9, a przyszły czas życia spełnia prawo de Moivre a z ω = 1.
7 3. UBEZPIECZENIA P ATNE NA KONIEC ROKU śmierci 37 Rozwiązanie. T 5 ma rozkład jednostajny na przedziale [, 5], a więc P(K 5 = k) = 1, k =, 1,..., Stąd 49 A 5 = 1 v k+1 = v v 51 1 v = Ubezpieczenie terminowe. Ubezpieczenie takie gwarantuje wypłatę sumy ubezpieczenia tylko, jeśli śmierć nastąpi w ciągu najbliższych n lat. Jego obecna wartość, JSN oraz drugi moment wynoszą odpowiednio v Kx+1, jeżeli K Z = v Kx+1 x < n, 1(K x < n) =, jeżeli K x k, A 1 x:n = 2 A 1 x:n = n 1 n 1 v k+1 kp x q x+k. v 2(k+1) kp x q x+k. Jest to często spotykane ubezpieczenie. Powodem do wykupienia takiego ubezpieczenia może być wzięcie dużego kredytu (np. na dom) i chęć zabezpieczenia jego spłaty w razie przedwczesnej śmierci Ubezpieczenie na dożycie. Ubezpieczenie takie gwarantuje wypłatę sumy 1 po upływie n lat od zawarcia umowy, pod warunkiem, że ubezpieczony dożyje tej chwili. Przy zastrzeżeniu, że n jest liczbą całkowitą, sytuacja jest dokładnie taka sama jak w modelu ciągłym. Zatem A 1 x:n = Ā 1 x:n = v n np x. Ubezpieczenie takie jest formą oszczędzania. Różni się ona od lokaty w banku tym, że w razie śmierci ubezpieczenie ustaje, wpłacone składki przepadają ubezpieczonemu. Wytworzony w ten sposób dochód ulega rozłożeniu na pozostałych ubezpieczonych, którzy przeżyją okres ubezpieczenia. Ale można w ten sposób zarobić więcej niż na lokacie Ubezpieczenie na życie i dożycie. Jest to połączenie ubezpieczenia terminowego z ubezpieczeniem na dożycie. Obecna wartość ubezpieczenia n-letniego wynosi Zatem, tak jak w przypadku ciągłym Z = v Kx+1 1(K x < n) + v n 1(K x n) = Z 1 + Z 2. A x:n = A 1 x:n + A 1 x:n,
8 38 4. UBEZPIECZENIA NA życie oraz Var(Z) = Var(Z 1 ) + Var(Z 2 ) 2A 1 x:n A 1 x:n. Ubezpieczenie takie jest typowym ubezpieczeniem z uwzględnieniem efektu oszczędnościowego. Celem jest utrzymanie standardu finansowego rodziny po śmierci jednego z jej członków, a ponadto w razie dożycia określonego wieku, pewnej wypłaty, np. emerytury. Typowe ubezpieczenie kończy się po uzyskaniu przez ubezpieczonego 6 lub 65 lat. 4. Związki między modelem ciągłym i dyskretnym Zastanówmy się teraz jak obliczać wartości aktuarialne ubezpieczeń płatnych w chwili śmierci mając dane tablice trwania życia. Problem polega na tym, że z tablic można jedynie odczytać rozkład zmiennej K x, a nie T x. Szukamy zatem zależności pomiędzy A x i Ā x. Będziemy zakładać hipotezę jednostajności HU. Niech S x = T x K x oznacza ułamkowy czas życia. Przypomnijmy, że przy założeniu HU, zmienne S x i K x są niezależne oraz S x ma rozkład jednostajny na [, 1]. Twierdzenie 1. Przy założeniu HU Ā x = i δ A x. Dowód. Mamy Ā x = E(v Kx+Sx ) = E(v Kx+1 v Sx 1 ) = E(v Kx+1 )E(v Sx 1 ) = A x E(e δ(sx 1) ) Ale E(e δ(sx 1) ) = 1 e δ(t 1) dt = eδ 1 δ = i δ. Podobnie pokazujemy, że Ā 1 x:n = i δ A1 x:n. Uwaga. Ā x:n i δ A x:n, bo A 1 x:n = Ā 1 x:n.
9 5. FUNKCJE KOMUTACYJNE Funkcje komutacyjne Jest to tradycyjna metoda obliczania wartości ubezpieczeń dyskretnych, i w dobie komputerów zachowała znaczenie jedynie dydaktyczne. Przypomnijmy, że P(K x = k) = k 1 q x = k p x k+1 p x = +k +k+1 = d x+k. Zatem a więc oraz A x = v k+1 d x+k, A x = d x+k v k+1 v x A x = d x+k v x+k+1. (*) Składniki sumy po prawej stronie zależą teraz nie od x, czy k a jedynie od x + k. Przyjmijmy następujące oznaczenia = v x, C x = v x+1 d x oraz M x = C x+k Twierdzenie 11. Zachodzą następujące wzory oraz A x = M x A 1 x:n = M x M x+n A 1 x:n = +k Dowód. Z (*) mamy A x:n = M x M x+n + +k. A x = C x+k = M x.
10 4 4. UBEZPIECZENIA NA życie Dalej Ax:n 1 = v k+1 d x+k = M x 1 = M x 1 k=n v k+1 d x+k v n+k+1 d x+n+k v x+n+k+1 d x+n+k Zatem = M x M x+n A x:n = A 1 x:n + A 1 x:n = M x M x+n + +k 6. Inne typy ubezpieczeń 6.1. Ubezpieczenia płatne na koniec podokresu śmierci. Ustalmy m 2 i podzielmy każdy rok na m podokresów. Na przykład, jeśli m = 4, to podokresem jest kwartał, a jeśli m = 12, to podokresem jest miesiąc. Oprócz ubezpieczeń płatnych na koniec roku śmierci można rozważać ubezpieczenia płatne na koniec pod okresu śmierci. Zatem chwilą płatności świadczenia jest K x + S x (m), gdzie S (m) x = ms x + 1 m oraz S x = T x K x. Istotnie, jeżeli śmierć nastąpi w k-tym podokresie roku śmierci, to Stąd a więc k 1 m S x < k, k = 1, 2,..., m. m k ms x + 1 < k + 1, S x (m) = ms x + 1 = k, k = 1, 2,..., m. m m Zauważmy teraz, że przy założeniu hipotezy jednostajności HU zmienne losowe K x i S x (m) są niezależne. Ponadto, S x ma rozkład jednostajny na przedziale [, 1], a więc dla dowolnych a < b 1 mamy P(a < S x < b) = b a. W szczególności mamy ( P S x (m) = k ) ( k 1 = P m m S x < k ) = 1, k = 1, 2,..., m. m m Rozważmy teraz szczegółowo ubezpieczenie na całe życie płatne na koniec podokresu śmierci. Wartość obecna takiego świadczenia wynosi Z = v Kx+S(m) x.
11 Jeżeli oznaczymy A (m) x Ale E(v Kx+1 ) = A x oraz 6. INNE TYPY UBEZPIECZEŃ 41 = EZ, to przy założeniu hipotezy HU mamy A (m) x Ostatecznie, przy założeniu HU, E(v S(m) x 1 ) = = E(v Kx+1 ) E(v S(m) x 1 ). m j=1 v j m 1 1 m = A (m) x = i i (m) A x. i i (m) Zmienna funkcja korzyści. Do tej pory zakładaliśmy, że suma ubezpieczenia wynosi 1, i nie zależy od chwili śmierci ubezpieczonego. Możliwe są jednak ubezpieczenia, w których suma ubezpieczenia zależy od chwili śmierci. Jako pierwszy przykład rozważmy ubezpieczenie na życie z rosnącą sumą ubezpieczenia, płatne na koniec roku śmierci. Mianowicie ubezpieczenie takie gwarantuje wypłatę w wysokości k + 1 na koniec roku śmieci, jeśli ubezpieczony przeżyje dokładnie k pełnych lat. Zatem wartość obecna takiego świadczenia wynosi Z = (K x + 1)v Kx+1 a jednorazowa składka netto dla takiej polisy wynosi to lub (IA) x = E(Z) = (k + 1)v k+1 kp x q x+k. Jeżeli określimy kolejną funkcję komutacyjną R x = M x+k, (IA) x = R x. Jednorazowa składka netto dla takiej samej polisy, ale terminowej na n lat wynosi n 1 (IA) x:n 1 = (k + 1)v k+1 kp x q x+k = R x R x+n nm x+n. Możliwe są również wersje powyższych polis wypłacane w chwili śmierci. Na przykład (ĪĀ) x = (IĀ) x = tv t tp x µ x+t dt t + 1 v t tp x µ x+t dt. Na zakończenie omówimy jeszcze polisę terminową z malejącą sumą ubezpieczenia wypłacaną na koniec roku śmierci. Na przykład, jeśli ważność polisy trwa 15 lat, to
12 42 4. UBEZPIECZENIA NA życie w przypadku śmierci w pierwszym roku świadczenie wynosi 15, w drugim roku 14,..., a w piętnastym 1. W przypadku dożycia do wieku x + 15, żadne świadczenie nie przysługuje. Ogólnie obecna wartość takiego ubezpieczenia na okres n lat wynosi a jego wartość aktuarialna wynosi Z = (n K x )v Kx+1 1(K x < n), n 1 (DA) x:n 1 = (n k)v k+1 kp x q x+k.
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 4: UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt (zwany polisą), w którym ubezpieczony zobowiązuje się do opłacenia składki (jednorazowo lub
Bardziej szczegółowo3 Ubezpieczenia na życie
3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając
Bardziej szczegółowoSkładki i rezerwy netto
ROZDZIAŁ 6 Składki i rezerwy netto 1 Składki netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową Polisa taka zawiera szczegółowe warunki
Bardziej szczegółowo1. Ubezpieczenia życiowe
1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoElementy teorii przeżywalności
Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 8 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 3 lat 3. P-two, że noworodek
Bardziej szczegółowoTablice trwania życia
ROZDZIAŁ 3 Tablice trwania życia 1 Przyszły czas życia Osobę, która ukończyła x lat życia, będziemy nazywać x-latkiem i oznaczać symbolem x Jej przyszły czas życia, tzn od chwili x do chwili śmierci, będziemy
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia życiowe
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ubezpieczenia życiowe 1. Z historii ubezpieczeń W uproszczeniu mówiąc mamy dwa tradycyjne modele ubezpieczeń. Pierwszy ma źródło w towarzystwach
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5. Renty życiowe
ROZDZIAŁ 5 Renty życiowe Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy czy osoba której przyszły czas
Bardziej szczegółowo= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1
1. W populacji B natężenie wymierania µ ( B ) x jest większe od natężenia wymierania ( A) µ x w populacji A, jednostajnie o µ > 0, dla każdego wieku x tzn. ( B) ( A) µ µ x = µ. Niech ponadto x M( s) oznacza
Bardziej szczegółowo1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza
1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych r.
. W populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo de Moivre a z wiekiem granicznym ω = 50, dzieckiem jest się do wieku d. W wieku d rozpoczyna się pracę i pracuje się do wieku p.w wieku p przechodzi
Bardziej szczegółowoXLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoOGÓLNE RENTY ŻYCIOWE
OGÓLNE RENTY ŻYCIOWE M. BIENIEK Rentą życiową nazywamy kontrakt między ubezpieczycielem a ubezpieczonym, w którym ubezpieczony w zamian za określoną opłatę, zwaną składką, otrzymuje ciąg z góry określonych
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoXXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 28
Bardziej szczegółowoXLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe
Bardziej szczegółowo1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: =
. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: ~ 0,9g( t) 0 t < 50 g ( t) =,2 g( t) 50 t. opisuje ona śmiertelność
Bardziej szczegółowoLXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoXXXX Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXX Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 31
Bardziej szczegółowoLXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:...klucz odpowiedzi... Czas egzaminu:
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - Ubezpieczenia Ŝyciowe 2 Składki netto w ubezpieczeniach Ŝyciowych Zakład ubezpieczeniowy pobiera za ubezpieczenia składkę brutto, składającą się ze składki netto
Bardziej szczegółowoLXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA
KARIERA MATEMATYKĄ KREŚLONA UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA Ryzyko i ubezpieczenie Możliwość zajścia niechcianego zdarzenia nazywamy ryzykiem. Ryzyko prawie zawsze wiąże się ze stratą. Ryzyko i ubezpieczenie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r.
1. Niech oznacza przeciętne dalsze trwanie życia w ciągu najbliższego roku obliczone przy założeniu hipotezy interpolacyjnej o stałym natężeniu wymierania między wiekami całkowitymi. Podobnie niech oznacza
Bardziej szczegółowoLXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoXXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudniaa 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudniaa 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski
Matematyka ubezpieczeń na życie Piotr Kowalski 27 stycznia 212 Spis treści 1 Elementy matematyki finansowej 1 1.1 Oznaczenia.............................. 1 1.2 Związki................................
Bardziej szczegółowoXLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoJednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.
Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,
Bardziej szczegółowo1. Przyszła długość życia x-latka
Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której
Bardziej szczegółowoLXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych r.
1. W danej populacji intensywność śmiertelności zmienia się skokowo w rocznicę narodzin i jest stała aż do następnych urodzin. Jaka jest oczekiwana liczba osób z kohorty miliona 60-latków, które umrą po
Bardziej szczegółowo1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci
1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci + t µ + t A + B 2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że z grupy tej nikt nie umrze w ciągu najbliższych 5 lat, jeśli
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoLXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoXXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowo1 Elementy teorii przeżywalności
1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat 3. P-two, że noworodek
Bardziej szczegółowoLXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie
Bardziej szczegółowoMetody aktuarialne - opis przedmiotu
Metody aktuarialne - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Metody aktuarialne Kod przedmiotu 11.5-WK-MATP-MA-W-S14_pNadGenEJ6TV Wydział Kierunek Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Bardziej szczegółowo1 Elementy teorii przeżywalności
1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat 3. P-two, że noworodek
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoMatematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na Życie
Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Ubezpieczenia na Życie Rafał Kucharski rafal.kucharski@ue.katowice.pl Literatura [1] B. Błaszczyszyn, T. Rolski, Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie, WNT Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ
UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ Krzysztof Janas Michał Krzeszowiec Koło Nauk Aktuarialnych Politechniki Łódzkiej Warszawa, 09-11.06.2008 r. Plan Założenia wstępne: Teoria oprocentowania
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoElementy teorii przeżywalności
Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Przyjmijmy, że funkcja przeżycia s(x) = ax + b dla 0 x ω. Znaleźć medianę zmiennej X, jeśli wiadomo, że wartość oczekiwana E(X) = 60. Zadanie 1.2 Mając funkcje
Bardziej szczegółowoLXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio
Bardziej szczegółowoXXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoImmunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych
Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka
Bardziej szczegółowoFunkcja tworząca Funkcja charakterystyczna. Definicja i własności Funkcja tworząca momenty
momenty Oprócz omówionych już do tej pory charakterystyk rozkładów bardzo wygodnym i skutecznym narzędziem badanie zmiennej losowej są tzw. transformaty jej rozkładu: funkcje tworzące i funkcje charakterystyczne.
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 80...... Zadanie 1. (8 punktów) Załóżmy, że w diploidalnej populacji kojarzącej się w sposób losowy, w loci o dwóch allelach A i a 36% osobników tej populacji ma genotyp aa. (a) Jaka cześć
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowo1 Gaussowskie zmienne losowe
Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoMUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss)
MUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss) 1. (6p.) Niech X oznacza ryzyko (zmienn a losow a o własności P (X 0) = 1), a H( ) niech oznacza formułȩ kalkulacji składki (przyporz adkowuj ac a każdemu ryzyku
Bardziej szczegółowo