Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I
|
|
- Tadeusz Kozieł
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I Bazyli Klockiewicz 22 czerwca Rugownik pary wielomianów oraz wyróżnik wielomianu. Poniższe stwierdzenia opisują ideę rugownika pary wielomianów. Stwierdzenie 1. Niech F będzie ciałem i niech f(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x + a 0 oraz g(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 będą wielomianami z F [x], a n 0, b m 0. Wówczas f(x) i g(x) mają wspólny nietrywialny dzielnik w F [x] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją: niezerowy wielomian a(x) F [x] stopnia co najwyżej m 1 oraz niezerowy wielomian b(x) F [x] stopnia co najwyżej n 1 takie, że a(x)f(x) = b(x)g(x). Dowód. Załóżmy, że f(x) i g(x) mają wspólny nietrywialny dzielnik w(x) F [x]. Innymi słowy, w F [x] zachodzą równości f(x) = w(x)b(x) oraz g(x) = w(x)a(x) dla pewnych a(x), b(x) F [x] przy czym deg w(x) 1. Wtedy, deg a(x) = m deg w(x) m 1 oraz deg b(x) = n deg w(x) n 1 (bo F [x] jest dziedziną całkowitości) i mamy f(x)a(x) = w(x)b(x)a(x) = g(x)b(x). Na odwrót, niech f(x)a(x) = g(x)b(x) dla a(x), b(x) F [x] w treści stwierdzenia. Gdyby f(x) i g(x) nie miały wspólnego nietrywialnego dzielnika, to ponieważ F [x] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, otrzymalibyśmy f(x) b(x) (analogicznie g(x) a(x)) w F [x]. Jest to sprzeczność, ponieważ deg b(x) n 1 < deg f(x). Równoważnie można powiedzieć, że istnienie wyżej opisanych wielomianów a(x) i b(x) jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby wielomiany f(x) i g(x) miały wspólny pierwiastek w F (albo po prostu w pewnym rozszerzeniu F). 1
2 Stwierdzenie 2 (Rugownik wielomianów f i g). Niech F będzie ciałem i niech f(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 oraz g(x) = b m x m +b m 1 x m b 1 x + b 0 będą wielomianami z F [x]. Wówczas f(x) i g(x) mają wspólny nietrywialny dzielnik w F [x] (równoważnie - wspólny pierwiastek w F ) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik a n a n 1... a a n a n 1... a a n a n 1... a R(f, g) = 0 a n a n 1 a n 2... a 0 b m b m 1... b b m b m 1... b b m b m 1... b b m b m 1... b 0 jest równy zero. Dowód. Korzystając z Stwierdzenia 1. istnienie wspólnego nietrywialnego dzielnika wielomianów f(x) oraz g(x) jest równoważnie istnieniu niezerowych wielomianów a(x) = c m 1 x m 1 + c m 2 x m c 1 x + c 0 oraz b(x) = d n 1 x n 1 + d n 2 x n d 1 x + d 0 z F [x] takich, że f(x)a(x) = (a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 )(c m 1 x m 1 + c m 2 x m c 1 x + c 0 ) = (b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 )(d n 1 x n 1 + d n 2 x n d 1 x + d 0 ) = g(x)b(x). Porównując współczynniki przy potęgach x, otrzymujemy zatem następujący układ równań liniowych jednorodnych, w którym współczynniki c i, d i są zmiennymi: a n c m 1 b m d n 1 = 0 a n 1 c m 1 + a n c m 2 b m 1 d n 1 b m d n 2 = 0... a 0 c 0 b 0 d 0 = 0 Podstawiając d i w miejsce d i oraz transponując macierz powyższego jednorodnego układu równań liniowych (co może skutkować jedynie zmianą znaku wyznacznika) stwierdzamy, że układ ten ma nietrywialne rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy R(f, g) się zeruje. 2
3 Z dowodów stwierdzeń wynika, że zamiast rozważać wielomiany nad ciałem, można ogólniej wymagać tylko, by f(x), g(x) A[x], gdzie A[x] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Definicja 1. (Rugownik pary wielomianów) Wyznacznik R(f, g) z powyższego stwierdzenia nazywamy rugownikiem wielomianów f oraz g. Zauważmy, że rugownik jest wyznacznikiem macierzy (n + m) (n + m), w której pierwszych n wierszy pochodzi ze współczynników wielomianu f, a kolejnych m wierszy pochodzi od współczynników wielomianu g. Samą macierz nazywamy macierzą Sylvestera. Zachodzi następujące kluczowe: Twierdzenie 1. Przy dotychczasowych oznaczeniach, niech x 1, x 2,..., x n będą pierwiastkami f(x) oraz y 1, y 2,..., y m niech będą pierwiastkami g(x) (niekoniecznie różnymi i ogólnie zawartymi w F ). Wówczas 1 R(f, g) = a m n b n m (x i y j ) = a m n g(x i ) = ( 1) nm b n m f(y j ) i,j i j Dowód. Ponieważ f(x) = a n (x x 1 )... (x x n ) oraz g(x) = b m (x y 1 )... (x y m ), ze wzorów Viete a wnioskujemy, że a k = ±a n σ k (x 1,..., x n ), gdzie σ k jest elementarną funkcją symetryczną. Podobnie b k = ±b m σ k (y 1,..., y m ). Rozwijając wyznacznik definiujący rugownik stwierdzamy, że jest on wielomianem jednorodnym stopnia m względem współczynników a i oraz stopnia n względem współczynników b i (na przykład dla a i rozwijając wyznacznik zawsze względem pierwszego wiersza). Stąd: R(f, g) = a m n b n mp (x 1, x 2,..., x n, y 1,..., y m ), gdzie P jest wielomianem symetrycznym, który - z własności rugownika - zeruje się, jeśli x i = y j dla pewnych i, j. Z tożsamości: x k i = (x i y j )x k 1 i + y j x k 1 i zastosowanej k razy wynika, że wielomian P możemy zapisać następująco: P (x 1, x 2,..., x n, y 1,..., y m ) = (x i y j )Q(x 1,..., y m )+U(x 1,..., ˆx i,..., y m ), gdzie wielomian U nie zawiera współczynnika x i. Podstawiając x i = y j wnioskujemy, że wielomian U jest zerowy. Stosując podobny argument dla każdej z 1 W książce Prasolova brakuje wyrażenia ( 1) nm, pewnie dlatego, że autor zadowolił się w dowodzie frazą the arguments are similar.... 3
4 par x i, y j stwierdzamy, że R(f, g) dzieli się przez S = a m n b n m (xi y j ). Chcemy pokazać, że zachodzi równość R(f, g) = S. Ponieważ g(x) = b m mj=1 (x y j ), więc n i=1 g(x i ) = b n m (xi y j ). Zatem: S = a m n n n g(x i ) = a m n i=1 i=1 (b m x m i + b m 1 x m 1 i b 0 ). Z postaci tej widać (stosując znów wzory Viete a), że zarówno R(f, g) oraz S są wielomianami stopnia nm względem x i, y j, a ponieważ S R, stąd R(f, g) = λs dla pewnego λ 0, przy czym λ nie zależy od współczynników a i ani b i (bo możemy podzielić obustronnie przez a m n b n m). Zauważamy teraz, że współczynnik przy n i=1 x m i w wielomianie S jest równy a m n b n m, podobnie w wielomianie R(f, g) stąd λ = 1, a więc S = R(f, g). Pozostaje dowieść drugą z równości. Otóż mamy f(x) = a ni=1 n (x x i ), więc m i=1 f(y i ) = (yj x i ) = ( 1) nm a m n (xi y j ) i stwierdzamy, że a m n m m S = ( 1) nm b n m f(y j ) = ( 1) nm b n m j=1 j=1 (a n y n j + a n 1 y n 1 j a 0 ). Pojęcie rugownika jest ściśle związane z wyróżnikiem wielomianu. Definicja 2. (Wyróżnik wielomianu) Niech x 1, x 2,... x n będą pierwiastkami wielomianu f = a n x n +a n 1 x n a 0 F [x], gdzie a n 0. Wyróżnikiem wielomianu f nazywamy liczbę: D(f) = a 2n 2 n (x i x j ) 2 i<j Czasami wyróżnik definiuje się za pomocą rugownika wielomianu oraz jego pierwszej pochodnej. Zachodzi bowiem następujące: Twierdzenie 2. Dla wielomianu powyżej zachodzi R(f, f ) = ( 1) n(n 1)/2 a 2n 1 n D(f) ni=1 f (x i ). Ponadto, Dowód. Z Twierdzenia 1. otrzymujemy R(f, f ) = a n 1 n różniczkując f łatwo zauważyć, że f (x i ) = a n j i (x i x j ). Stąd: R(f, f ) = a 2n 1 n n i=1 j i (x i x j ) = ( 1) n(n 1)/2 a 2n 1 n (x i x j ) 2. i<j Współczynnik ( 1) n(n 1)/2 pochodzi stąd, że każda para x i, x j dla i j, występuje dwa razy: raz jako (x i x j ), a drugi raz jako (x j x i ). Wyróżnik wielomianu znajduje zastosowanie przy obliczaniu wyróżników ciała liczbowego, o których traktuje następna część pracy. 4
5 2 Wyróżnik ciała liczbowego. Przypomnijmy definicję (bezwzględnego) wyróżnika ciała liczbowego. Definicja 3. (Bezwzględny wyróżnik ciała liczbowego) Niech K będzie ciałem liczbowym stopnia n i niech O K będzie pierścieniem jego liczb algebraicznych całkowitych. Niech α 1, α 2,..., α n będzie bazą całkowitą O K oraz niech σ 1, σ 2,..., σ n będzie zbiorem zanurzeń zespolonych ciała K. Wyróżnikiem ciała K nazywamy liczbę:. σ 1 (α 1 ) σ 1 (α 2 )... σ 1 (α n ) K = det σ 2 (α 1 ) σ 2 (α 2 )... σ 2 (α n )..... σ n (α 1 ) σ n (α 2 )... σ n (α n ) 2 Definicja jest poprawna, bowiem można łatwo pokazać, że wyróżnik ciała nie zależy od wyboru bazy całkowitej O K (i taka baza zawsze istnieje). Co ważne, wyróżnik jest liczbą całkowitą. Twierdzenie 3. W przypadku, gdy O K posiada potęgową bazę całkowitą 1, α, α 2,..., α n 1, wyróżnik K jest równy wyróżnikowi wielomianu minimalnego elementu α: K = D(min(α)) Q Dowód. Niech x 1, x 2,..., x n będą pierwiastkami wielomianu minimalnego f elementu α. Oczywiście z założenia wynika w szczególności, że K = Q(α). Możemy przyjąć, że σ i (α) = x i oraz σ i są homomorfizmami pierścieni, a więc w tym przypadku macierzą definiującą K jest macierz typu Vendermonde a: 1 x 1... x n 1 1 K = det 1 x 2... x n x n... xn n 1 której kwadrat wyznacznika jest równy: K = i<j (bo wielomian f jest unormowany). (x i x j ) 2 = D(f) = D(min(α)) Q 2, 5
6 Wyróżnik ciała zajmuje niezwykle ważne miejsce w Algebraicznej Teorii Liczb. Głównym celem niniejszego krótkiego opracowania będzie udowodnienie następującego twierdzenia: Twierdzenie 4. Niech K i L będą ciałami liczbowymi stopni m i n odpowiednio takimi, że ( K, L ) = 1.Wówczas KL = n K m L. Powyższe twierdzenie pozwala na przykład wyrazić wyróżnik ciała cyklotomicznego w jawnej postaci. Przypomnijmy, że: Definicja 4. Niech ciała K i L będą podciałami ciała M. Wówczas iloczyn ciał KL to z definicji najmniejsze podciało ciała M zawierające zarówno K oraz L. Dla ciał liczbowych bierzemy M = Q. Definicja 5. (Iloczyn Kroneckera macierzy) Niech będą dane macierze kwadratowe A = [a ij ] M m,m (K) oraz B = [b ij ] M n,n (K) o współczynnikach w ciele K. Definiujemy iloczyn tensorowy (Kroneckera) A B M mn,mn (K) macierzy A i B jako macierz blokową: Ab 11 Ab Ab 1n Ab 21 Ab Ab 2n..... Ab n1 Ab n2... Ab nn Lemat 1. det(a B) = (det A) n (det B) m Dowód. Przeprowadzamy proces eliminacji Gaussa traktując bloki wierszy: [ Abi1 Ab i2... Ab in ] jak pojedyncze wiersze. Otrzymamy macierz blokową: Ax Ax Ax nn, w której współczynniki x ii są elementami macierzy diagonalnej otrzymanej z B za pomocą metody eliminacji Gaussa (a więc w szczególności det B = ni=1 x ii ). Z twierdzenia Cauchy ego dla macierzy blokowych: n det(a B) = det(ax ii ) = (det A) n n (x ii ) m = (det A) n (det B) m i=1 i=1 6
7 W dalszym ciągu będziemy potrzebowali kilku nowych definicji (spolszczenia angielskich terminów należą do autora tekstu i mogą nie odpowiadać ogólnie przyjętym). Definicja 6. (Relatywny ślad elementu) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych stopnia n oraz niech σ i dla i = 1, 2,..., n będą wszystkimi F liniowymi zanurzeniami ciała K w F (inaczej F -izomorfizmami K). Relatywnym śladem w K/F elementu α K nazywamy liczbę: n T K/F (α) := σ i (α) i=1 Definicja 7. (Relatywny stopień ideału) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych, p będzie ideałem pierwszym w O F, który w O K rozkłada się następująco: p = g j=1 P e j j, gdzie P j są różnymi ideałami pierwszymi w O K (mówimy, że P j leżą nad p).liczbę f K/F (P j ) := O K /P j : O F /p nazywamy relatywnym stopniem P j w O K. Definicja 8. (Relatywna norma ideału) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych i niech P będzie ideałem pierwszym w O K leżącym nad (jednoznacznie wyznaczonym, co można udowodnić) ideałem pierwszym w O F, a więc p = P O F. Definiujemy relatywną normę ideału P następująco: N K/F (P) = p f K/F (P). Definicję tę przedłużamy na ideały ułamkowe I następująco: N K/F (I) := n j=1 p f K/F (P j ) k, gdzie I = n j=1 P a k j jest iloczynem potęg różnych ideałów pierwszych w O K takich, że P j O F = p j. W szczególności N K/Q (I) = (N(I)) jako ideał główny w Z generowany przez klasyczną normę ideału. 7
8 Definicja 9. (Kodyfrent) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych i niech I będzie ideałem ułamkowym w O F. Kodyfrentem nazywamy zbiór: I = {β K : T K/F (βi) O F }, gdzie T K/F (βi) O F oznacza, że T K/F (βα) O F dla każdego α I. Można wykazać, że I jest ideałem ułamkowym. Definicja 10. (Dyfrent) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych i niech I będzie ideałem ułamkowym w O K. Ideał (I ) 1 nazywamy dyfrentem I nad F i oznaczamy D K/F (I). W przypadku, gdy I = O K, dyfrent D K/F (I) nazywamy dyfrentem rozszerzenia K/F i oznaczamy D K/F Definicja 11. (Relatywny wyróżnik rozszerzenia ciał) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych. Wyróżnikiem relatywnym rozszerzenia K/F nazywamy: K/F = N K/F (D K/F ) W szczególności, K/Q = ( K ) jako ideał w Z. Uwzględniając powyższe definicje, można wykazać następujące własności, które będą kluczowe w dowodzie głównego twierdzenia. Lemat 2. Jeśli F K L jest wieżą rozszerzeń ciał liczbowych, wówczas: L/F = [L:K] K/F N K/F ( L/K ). Lemat 3. Niech F K L będzie wieżą rozszerzeń ciał liczbowych, gdzie L jest najmniejszym rozszerzeniem ciała F zawierającym K takim, że L jest rozszerzeniem normalnym nad F. Wówczas K/F oraz L/F mają te same dzielniki (ideały) pierwsze. Przytoczymy ponadto następujące lematy, które okażą się przydatne. Lemat 4. Jeśli F jest podciałem ciała liczbowego K, to F K. Lemat 5. (Twierdzenie Minkowskiego) Jeśli K jest ciałem liczbowym, K Q, to K > 1. Lemat 6. Dziedzina całkowitości będąca skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem także jest ciałem. 8
9 Dowód. Niech R będzie taką skończenie wymiarową dziedziną całkowitości nad ciałem F. Niech x R będzie niezerowym elementem. Z założenia istnieje najmniejsza liczba naturalna t taka, że zbiór {1, x, x 2,..., x t } jest liniowo zależny. Niech a 0 + a 1 x a t x t = 0, gdzie a i F nie wszystkie są równe 0. Gdyby a 0 = 0 lub a t = 0, to mielibyśmy odpowiednio x(a 1 + a 2 x a t x t 1 ) = 0 lub a 0 + a 1 x a t 1 x t 1 = 0, co przy x 0 przeczy minimalności t. Stąd x 1 = ( a 0 ) 1 (a 1 + a 2 x a t x t 1 ). W końcu możemy przystąpić do dowodu głównego twierdzenia: Twierdzenie 5. Niech K i L będą ciałami takimi, że [K : Q] = n, [L : Q] = m oraz {α 1, α 2,..., α n } i {β 1, β 2,..., β m } są bazami całkowitymi odpowiednio O K i O L. Jeżeli ( K, L ) = 1, to dla ciała M = KL zachodzą następujące fakty: a) [M : Q] = nm, b) O M = O K O L oraz {α i β j } 1 i n,1 j m jest bazą całkowitą O M, c) M = m K n L. Dowód. Z multyplikatywności stopnia rozszerzenia: [M : Q] = [M : L][L : Q] = [M : L]m Załóżmy, że [M : Q] < nm. Wówczas [M : L] < n (*). Niech α będzie takim elementem, że K = Q(α) (taki element zawsze istnieje z twierdzenia o elemencie prymitywnym). Z (*) wynika, że wtedy min L (α) min Q (α) w sposób właściwy oraz, że jeśli F jest podciałem L generowanym przez współczynniki wielomianu min L (α), to F Q (i stąd z Twierdzenia Minkowskiego F > 1 (**)). Z lematu 4 mamy F L. Ponieważ (ze wzorów Viete a) współczynniki min L (α) są wartościami elementarnych funkcji symetrycznych na pierwiastkach tego wielomianu, więc min L (α) N[x], gdzie N jest najmniejszym rozszerzeniem Galois ciała Q zawierającym K. Stąd, F N i znów otrzymujemy F N. Jeśli p F jest liczbą pierwszą, to mamy teraz p L oraz p N. Z lematu 2. wnioskujemy, że także p K. Ponadto z (**) wynika, że taka liczba pierwsza p zawsze istnieje, co przeczy założeniu, że ( K, L ) = 1. Z drugiej strony zauważmy, że na mocy Lematu 6., M = span Q {α k β l }, bo ciało to zawiera zarówno K jak i L, a więc [M : Q] nm. To dowodzi a). Z definicji, O K O L to najmniejszy podpierścień O M zawierający zarówno O K jak O L. Zatem {α k β l } dla 1 k n, 1 l m jest bazą całkowitą O K O L. Ponadto: 9
10 M/Q ({α k β l }) = det(σ i (α k )θ j (β l )) 2 (1) gdzie po lewej mamy wyróżnik układu elementów algebraicznych, σ i są zanurzeniami zespolonymi ciała K, a θ j są zanurzeniami zespolonymi ciała L. Zatem jest to poprawne, ponieważ każde z nm zanurzeń τ ciała M indukuje zanurzenia τ K = σ i oraz τ L = θ j oraz wartość zanurzenia na dowolnym elemencie ciała M jest wyznaczona jednoznacznie przez wartości na {α k β l }, zbiorze generatorów M/Q. Powyższy wyróżnik jest kwadratem wyróżnika macierzy Kroneckera: Aθ 1 (β 1 ) Aθ 1 (β 2 )... Aθ 1 (β m ) Aθ 2 (β 1 ) Aθ 2 (β 2 )... Aθ 2 (β m )....,. Aθ m (β 1 ) Aθ m (β 2 )... Aθ m (β m ) gdzie A = [σ i (α k )] 1 i n,1 k n. Na mocy lematu 1 otrzymujemy M/Q ({α k β l }) = m K n L. (2) Z lematu 2 oraz multyplikatywności stopnia rozszerzeń ciał: i podobnie: M/Q = [M:K] K/Q N K/Q ( M/K ) = m K/QN K/Q ( M/K ) M/Q = n L/QN L/Q ( M/L ). Są to równości ideałów głównych w Z, a zatem zarówno n L jak i m K dzielą M, a ponieważ z założenia ( K, L ) = 1, więc w Z zachodzi podzielność: m K n L M. Zauważmy jednak, że z (2) wynika podzielność odwrotna: M m K n L = M/Q ({α k β l }). Z tych dwóch faktów wynika po pierwsze, że {α j β k } jest bazą całkowitą O M oraz, że M = m K n L, co kończy dowód podpunktów b) i c) oraz całego twierdzenia. 10
11 Literatura [1] David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra. Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., [2] Victor V. Prasolov, Polynomials, Springer, [3] C. Musili, Algebraic Geometry for Beginners, Hindustan Book Agency, [4] Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CHAPMAN & HALL/CRC, [5] Juergen Neukirch, Algebraic Number Theory, Springer, [6] James Milne, Algebraic Number Theory, Version 3.06, May 28, [7] David Hilbert, The Theory of Algebraic Number Fields, Springer,
Skończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoAlgebraiczna Teoria Liczb
Algebraiczna Teoria Liczb Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze letnim roku 2008r. (niekompletne- pominięto ostatnie wykłady o szeregach Diricheta) 08.05.2008r. W tej części rozważań wszystkie
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoCO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowociałem F i oznaczamy [L : F ].
11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoBaza i stopień rozszerzenia.
Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoKrzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoWyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowo5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoRozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoRównania wielomianowe
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoV. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach
V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat 1 potrzebny w
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoPojęcia wstępne. Piotr P. Karwasz. Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Uniwersytet Gdański
Piotr P. Karwasz Uniwersytet Gdański Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Redukcja Niech p Z będzie liczbą pierwszą oraz π p kanonicznym homomorfizmem: π p : Z F p. Twierdzenie (wersja dla studentów) Niechaj w(x)
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoWielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy
Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowo