Baza i stopień rozszerzenia.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Baza i stopień rozszerzenia."

Transkrypt

1 Baza i stopień rozszerzenia.

2 Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F.

3 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar przestrzeni liniowej L nad ciałem F nazywamy stopniem rozszerzenia ciała L nad ciałem F i oznaczamy rl : F s. 2. Bazę przestrzeni liniowej L nad ciałem F nazywamy bazą rozszerzenia.

4 Przykłady: 1. Rozważmy ciało R i jego rozszerzenie C. Wówczas rc : Rs 2 i bazą rozszerzenia jest t1, iu. 2. Rozważmy dowolne ciało F. Wówczas rf : F s 1 i bazą jest t1u. 3. Rozważmy dowolne ciało F. Wówczas rf pxq : F s 8.

5 Twierdzenie (o stopniu rozszerzeń w wieży ciał) Niech F, L, M będą ciałami. Niech F Ă L Ă M i niech rl : F s n ă 8, rm : Ls m ă 8. Wówczas rm : F s nm.

6 Dowód: Niech pα 1,..., α n q będzie bazą rozszerzenia F Ă L, zaś pβ 1,..., β m q bażą rozszerzenia L Ă M. Pokażemy, że pα 1 β 1,..., α 1 β m, α 2 β 1,..., α 2 β m,..., α n β 1,..., α n β m q jest liniowo niezależny nad ciałem F. Ustalmy x 11,..., x 1m, x 21,..., x 2m,..., x n1,..., x nm P F i niech x 11 α 1 β 1`...`x 1m α 1 β m`x 21 α 2 β 1`...`x 2m α 2 β m`...`x n1 α n β 1`...`x

7 Wówczas px 11 β 1`...`x 1m β m qα 1`px 21 β 1`...`x 2m β m qα 2`...`px n1 β 1`...`x nm i wobec liniowej niezaleźności α 1,..., α n otrzymujemy x 11 β 1 `... ` x 1m β m 0,..., x n1 β 1 `... ` x nm β m. Korzystając z liniowej niezależności β 1,..., β m otrzymujemy teraz x 11 0,..., x 1m 0, x 21 0,..., x 2m 0,..., x n1 0,..., x nm 0.

8 Pozostaje pokazać, że układ pα 1 β 1,..., α 1 β m, α 2 β 1,..., α 2 β m,..., α n β 1,..., α n β m q jest generujący. Ustalmy element γ P M. Wówczas γ ř m j 1 y jβ j, dla pewnych y 1,..., y m P L. Ponadto y j ř n i 1 x ijα i, dla pewnych x 1j,..., x nj P F, j P t1,..., mu. Wobec tego: γ x 11 α 1 β 1`...`x 1m α 1 β m`x 21 α 2 β 1`...`x 2m α 2 β m`...`x n1 α n β 1`.

9 Wniosek Niech F 1,..., F r będą ciałami. Niech F 1 Ă F 2 Ă... Ă F r i niech rf 2 : F 1 s n 1,..., rf r : F r 1 s n r 1. Wówczas rf r : F 1 s n 1... n r 1.

10 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, niech L 1 i L 2 będą rozszerzeniami ciała F i niech rl 1 : F s r 1, rl 2 : F s r 2. Załóżmy ponadto, że NW Dpr 1, r 2 q 1. Wówczas rl 1 L 2 : F s rl 1 : F s rl 2 : F s.

11 Dowód. Ponieważ F Ă L 1 Ă L 1 L 2 oraz F Ă L 2 Ă L 1 L 2, więc r 1 rl 1 L 2 : F s i r 2 rl 1 L 2 : F s. Zatem r 1 r 2 rl 1 L 2 : F s. Ponieważ baza L 2 nad F generuje rozszerzenie L 1 L 2 nad L 1, więc rl 1 L 2 : F s ď rl 2 : F s. Zatem rl 1 L 2 : F s rl 1 L 2 : L 1 s rl 1 : F s ď rl 2 : F s rl 1 : F s r 1 r 2, skąd rl 1 L 2 : F s r 1 r 2.

12 Elementy algebraiczne i przestępne.

13 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L. 1. Element α nazywamy algebraicznym nad F, jeżeli istnieje wielomian 0 f P F rxs taki, że fpαq Element α nazywamy przestępnym nad F, jeżeli nie jest algebraiczny.

14 Przykłady: 1. Rozważmy ciało Q i jego rozszerzenie C. Element? 2 P C. Wówczas? 2 jest algebraiczny nad Q. 2. Rozważmy ciało F i jego rozszerzenie F pxq. Element f P F pxqzf jest przestępny nad F.

15 Uwaga Niech F, L, M będą ciałami i niech F Ă L Ă M. Wówczas 1. jeżeli α P F, to α jest algebraiczny nad F ; 2. jeżeli α P M jest algebraiczny nad F, to jest też algebraiczny nad L.

16 Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L będzie elementem algebraicznym nad F. 1. Zbiór I α tf P F rxs : fpαq 0u jest ideałem maksymalnym. 2. Ideał I α jest ideałem głównym.

17 Dowód. 1. Z łatwością sprawdzamy, że I α istotnie jest ideałem. Pokażemy, że jest ideałem pierwszym. Ustalmy f, g P F rxs i niech fg P I α. Wówczas fgpαq 0. Wobec tego fpαq 0 lub gpαq 0, a więc f P I α lub g P I α. Ponieważ F rxs jest pierścieniem ideałów głównych, więc ideał I α jest maksymalny. 2. Oczywiste.

18 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L będzie elementem algebraicznym nad F. Wielomian f P F rxs taki, że pfq I α nazywamy wielomianem minimalnym elementu α, a deg f stopniem elementu algebraicznego.

19 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L będzie elementem algebraicznym nad F. Następujące warunki są równoważne: 1. f P F rxs jest wielomianem minimalnym elementu α P L; 2. f P F rxs jest wielomianem unormowanym, nierozkładalnym i fpαq 0; 3. f P F rxs jest wielomianem unormowanym i najmniejszego stopnia spośród tych wielomianów, które zerują się w α.

20 Dowód. p1q ñ p3q : Ustalmy g P F rxs, unormowany i taki, że gpαq 0. Wówczas g P I α. Zatem f g, a więc deg f ď deg g. p3q ñ p2q : Przypuśćmy, że f jest rozkładalny. Niech f gh, g, h P F rxs. Możemy założyć, że g i h są unormowane. Ponieważ fpαq 0, więc gpαq 0 lub hpαq 0 i deg g ă deg f oraz deg h ă deg f sprzeczność. p2q ñ p1q : Oczywiście f P I α, więc pfq Ă I α. Ponieważ F rxs jest pierścieniem ideałów głównych i f jest nierozkładalny, więc pfq jest maksymalny. Stąd pfq I α.

21 Przykłady: 3. Rozważmy ciało Q, jego rozszerzenie C i element? 2 P C. Wówczas x 2 2 jest wielomianem minimalnym elementu? 2. Stopień? 2 jest więc równy Rozważmy ciało Q, jego rozszerzenie C i element ξ p cos 2π p ` i sin 2π p, gdzie p P P jest liczbą pierwszą. Wówczas x p 1 ` x p 2 `... ` x ` 1 jest wielomianem minimalnym elementu ξ p. Stopień ξ p jest więc równy p 1.

22 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L będzie elementem algebraicznym nad F stopnia n. Wówczas: 1. F pαq trpαq : r P F rxs, deg r ď n 1u; 2. p1, α,..., α n 1 q jest bazą rozszerzenia F Ă F pαq; 3. rf pαq : F s n.

23 Dowód: 1. Niech f P F rxs będzie wielomianem minimalnym elementu α. Niech γ P F pαq. Wówczas γ hpαq gpαq, dla pewnych h, g P F rxs, gpαq 0. Ponieważ gpαq 0, więc f g. Ponieważ f jest nierozkładalny, więc g f. Wobec tego 1 NW Dpf, gq i tym samym istnieją elementy u, v P F rxs takie, że uf ` vg 1. Zatem upαqfpαq ` vpαqgpαq 1, skąd vpαqgpαq 1 i tym samym vpαq 1 hpαq gpαq. Wobec tego γ gpαq hpαqvpαq. Dzieląc hv przez f otrzymujemy hv fq ` r oraz deg r ď degf 1 n 1.

24 Ponadto hpαqvpαq fpαqgpαq ` rpαq rpαq, więc γ rpαq i deg r ď n To, że układ p1, α,..., α n 1 q generuje F pαq. Pozostaje wykazać, że jest to układ liniowo niezależny. Przypuśćmy, że istnieją elementy c 0, c 1,..., c n 1 P F takie, że c 0 ` c 1 α `... ` c n 1 α n 1 0. Wówczas wielomian gpxq c 0 ` c 1 x `... ` c n 1 x n 1 jest unormowany, gpαq 0 oraz deg g n 1 ă n deg f, co stanowi sprzeczność.

25 2. Wynika natychmiast z części (1).

26 Przykład: 5. Rozważmy ciało Q i jego rozszerzenie C oraz element 3? 5 P C. Wówczas Qp 3? 5q ta 0 ` a 1 3? 5 ` a 2 3? 25 : a 0, a 1, a 2 P Qu.

27 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L będzie elementem algebraicznym nad F stopnia n. Bazę p1, α,..., α n 1 q rozszerzenia F Ă F pαq nazywamy bazą potęgową.

28 Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L. Wówczas α jest algebraiczny nad F wtedy i tylko wtedy, gdy rf pαq : F s ă 8.

29 Dowód. pñq: wynika wprost z Twierdzenia 0.4. pðq: Załóżmy, że rf pαq : F s n ă 8. Wówczas elementy 1, α, α 2,..., α n są liniowo zależne, więc istnieją elementy a 0, a 1,..., a n P F takie, że a 0 ` a 1 α `... ` a n α n 0, a więc α jest algebraiczny.

30 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α 1,..., α n P L będą elementami algebraicznymi nad F. Wówczas 1. rf pα 1,..., α n q : F s ă 8; 2. F pα 1,..., α n q trpα 1,..., α n q : r P F rx 1,..., x n su.

31 Rozszerzenia algebraiczne i skończone.

32 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Rozszerzenie to nazywamy rozszerzeniem algebraicznym, gdy każdy element ciała L jest algebraiczny nad F. Rozszerzenie nazywamy skończonym, gdy rl : F s ă 8.

33 Twierdzenie Każde rozszerzenie skończone jest algebraiczne.

34 Dowód. Załóżmy, że F Ă L jest rozszerzeniem skończonym, rl : F s n ă 8. Niech α P L. Wówczas F Ă F pαq Ă L, więc rf pαq : F s ď rl : F s ă 8. Zatem α jest algebraiczny nad F.

35 Przykład: 1. Rozważmy ciało Q i jego rozszerzenie Qp? 2, 3? 2, 4? 2,...q. Wówczas jest to rozszerzenie algebraiczne, ale nie jest skończone.

36 Twierdzenie Każde rozszerzenie skończone jest skończenie generowane.

37 Dowód. Załóżmy, że F Ă L jest rozszerzeniem skończonym, a pα 1,..., α n q bazą tego rozszerzenia. Wówczas L F pα 1,..., α n q.

38 Przykład: 2. Rozważmy dowolne ciało F i jego rozszerzenie F pxq. Wówczas jest to rozszerzenie skończenie generowane, ale nie jest skończone.

39 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α 1,..., α n P L. Następujące warunki są równoważne: 1. α 1,..., α n P L są elementami algebraicznymi nad F ; 2. F Ă F pα 1,..., α n q jest rozszerzeniem skończonym; 3. F Ă F pα 1,..., α n q jest rozszerzeniem algebraicznym.

40 Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Niech S Ă L będzie zbiorem elementów algebraicznych nad ciałem F. Wówczas F Ă F psq jest rozszerzeniem algebraicznym.

41 Twierdzenie Niech F, L, M będą ciałami i niech F Ă L Ă M. Wówczas F Ă M jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy F Ă L i L Ă M są skończone.

42 Twierdzenie Niech F, L, M, N będą ciałami i niech F Ă L Ă M. Niech ponadto N Ă L. Wówczas jeżeli F Ă M jest skończone, to NF Ă NM jest skończone i rnm : NF s ď rm : F s.

43 Dowód. Niech pα 1,..., α n q będzie bazą rozszerzenia F Ă M. Wówczas M F pα 1,..., α n q. Wobec tego NM NF pα 1,..., α n q. Ponieważ rm : F s ă 8 więc α 1,..., α n są algebraiczne nad F, a więc także nad NF. Zatem dla γ P NM, γ gpα 1,..., α n q, gdzie g P NF rx 1,..., x n s. Ponadto α k 1 1,..., αkn n P M, dla k 1,..., k n ě 0, więc α k αkn n c 1 α 1 `... ` c n α n, dla pewnych c 1,..., c n P F. Zatem dla dowolnego g P NF rx 1,..., x n s zachodzi gpα 1,..., α n q d 1 α 1 `... ` d n α n, dla pewnych d 1,..., d n P NF. Stąd rnm : NF s ď n rm : F s.

44 Wniosek Niech F będzie ciałem, niech L 1 i L 2 będą rozszerzeniami skończonymi ciała F. Wówczas F Ă L 1 L 2 jest rozszerzeniem skończonym oraz rl 1 L 2 : F s ď rl 1 : F s rl 2 : F s.

45 Dowód. Wobec Twierdzenia 0.10 rl 1 L 2 : L 1 s ď rl 2 : F s, więc rl 1 L 2 : F s rl 1 L 2 : L 1 srl 1 : F s ď rl 1 : F s rl 2 : F s.

46 Twierdzenie Niech F, L, M będą ciałami i niech F Ă L Ă M. Wówczas F Ă M jest algebraiczne wtedy i tylko wtedy, gdy F Ă L i L Ă M są algebraiczne.

47 Dowód. pñq : oczywiste. pðq : Ustalmy γ P M. Ponieważ rozszerzenie L Ă M jest algebraiczne, więc istnieją elementy b 0, b 1,..., b n P L takie, że b 0 ` b 1 γ `... ` b n γ n 0. Niech gpxq b 0 ` b 1 x `... ` b n x n. Wówczas g P F pb 0, b 1,..., b n qrxs i γ jest algebraiczny nad ciałem F pb 0, b 1,..., b n q. Wobec tego rozszerzenie F pb 0, b 1,..., b n q Ă F pb 0, b 1,..., b n qpγq jest skończone. Ponieważ rozszerzenie F Ă L jest algebraiczne, więc elementy b 0, b 1,..., b n P L są algebraiczne nad F i wobec tego rozszerzenie F Ă F pb 0, b 1,..., b n q jest skończone. Zatem i rozszerzenie F Ă F pb 0, b 1,..., b n qpγq jest skończone, a więc i algebraiczne. Tym samym element γ jest algebraiczny nad ciałem F.

48 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α, β P L będą algebraiczne nad ciałem F. Wówczas elementy α β, α β oraz α β (o ile β 0) są algebraiczne nad F.

49 Dowód. Ponieważ α i β są algebraiczne nad ciałem F, więc rozszerzenie F Ă F pα, βq jest skończone, a więc i algebraiczne. Oczywiście α β, α β oraz α β są elementami ciała F pα, βq.

50 Wniosek Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Niech F alg plq tα P L : α jest algebraiczny nad F u. Wówczas F alg plq jest ciałem.

51 Wniosek Niech F będzie ciałem, niech L 1 i L 2 będą rozszerzeniami algebraicznymi ciała F. Wówczas rozszerzenie F Ă L 1 L 2 też jest algebraiczne.

52 Dowód. Niech L będzie rozszerzeniem ciała F zawierającym ciała L 1 i L 2. Ponieważ rozszerzenia F Ă L 1 oraz F Ă L 2 są algebraiczne, więc L 1, L 2 Ă F alg plq. Wobec tego L 1 L 2 Ă F alg plq i rozszerzenie F Ă L 1 L 2 jest algebraiczne.

53 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Ciało F alg plq nazywamy domknięciem algebraicznym ciała F w ciele L. 2. Jeżeli F F alg plq to mówimy, że F jest algebraicznie domknięte w L.

54 Przykład: 3. Rozważmy ciało Z 2 i ciało czteroelementowe L zawierająze Z 2 jako podciało proste, a więc w szczególności rozszerzenie ciała Z 2. Wówczas Z 2 jest algebraicznie domknięte w L, ale oczywiście Z 2 nie jest algebraicznie domknięte.

55 Algebraiczne domknięcie ciała.

56 Twierdzenie Niech F będzie ciałem. Następujące warunki są równoważne: 1. F jest algebraicznie domknięte, 2. jeżeli L jest ciałem i rozszerzenie F Ă L jest skończone, to F L, 3. jeżeli L jest ciałem i rozszerzenie F Ă L jest algebraiczne, to F L.

57 Dowód. p1q ñ p3q : Załóżmy, że F jest algebraicznie domknięte i F Ă L jest rozszerzeniem algebraicznym. Niech α P L. Wówczas α jest algebraiczne nad F. Niech f P F rxs będzie wielomianem minimalnym elementu α. Wówczas f jest nierozkładalny w F rxs, a więc liniowy. Zatem α P F. p3q ñ p2q : Każde rozszerzenie skończone jest algebraiczne. p2q ñ p1q : Niech f P F rxs i niech L będzie ciałem, w którym f ma pierwiastek, przy czym F Ă L. Niech α P L będzie pierwiastkiem wielomianu f. Wówczas α jest algebraiczny nad F. Zatem F Ă F pαq jest skończone, a więc F pαq F i α P F.

58 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Jeżeli 1. L jest ciałem algebraicznie domkniętym, 2. F Ă L jest rozszerzeniem algebraicznym, to L nazywamy algebraicznym domknięciem ciała F i oznaczamy F.

59 Przykład: 1. Rozważmy ciało R. Wówczas C jest algebraicznym domknięciem ciała R.

60 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech ponadto L będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wówczas F alg plq jest algebraicznym domknięciem ciała F.

61 Dowód. Niech f P F alg plqrxs. Wówczas również f P Lrxs, więc f ma pierwiastek α P L. Wobec tego α jest algebraiczny nad ciałem F alg plq, więc rozszerzenie F alg plq Ă F alg plqpαq jest algebraiczne. Ponadto F Ă F alg plq jest algebraiczne, więc F Ă F alg plqpαq jest algebraiczne. Zatem α jest algebraiczny nad F, a więc α P F alg plq.

62 Wniosek Niech F będzie ciałem. Wówczas istnieje algebraiczne domknięcie F ciała F.

63 Dowód. Wobec Twierdzenia?? istnieje ciało algebraicznie domknięte L takie, że F Ă L. Z kolei wobec Twierdzenia 0.14 F F alg plq.

64 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, niech L 1, L 2 będą algebraicznymi domknięciami ciała F. Wówczas istnieje F izomorfizm φ : L 1 Ñ L 2.

65 Dowód poprzedzimy dwoma lematami.

66 Lemat Niech F, F 1, F 2 będą ciałami i niech F Ă F 1 Ă F 2 będą rozszerzeniami algebraicznymi. Niech φ 1 : F 1 Ñ F będzie F -zanurzeniem. Wówczas istnieje zanurzenie φ 2 : F 2 Ñ F takie, że φ 2 F1 φ 1.

67 Dowód: Niech R tpl, φq : L jest ciałem, F 1 Ă L Ă F 2, φ : L Ñ F jest F -zanurzeniem W rodzinie R definiujemy relację ă wzorem: pl, φq ă pl 1, φ 1 q wtedy i tylko wtedy, gdy L Ă L 1 oraz φ 1 L φ. Bez trudu sprawdzamy, że jest to relacja częściowego porządku. Ponadto pf 1, φ 1 q P R, a więc R H. Łatwo jest również sprawdzić, że każdy łańcuch w rodzinie R ma ograniczenie górne. Wobec lematu Kuratowskiego-Zorna w rodzinie R istnieje element maksymalny pl 0, φ 0 q. Pokażemy, że F 2 L 0.

68 Przypuśćmy, że F 2 L 0. Wówczas istnieje element a P F 2 zl 0. Ponieważ rozszerzenie F Ă F 2 jest algebraiczne, więc a jest algebraiczny nad F, a tym samym jest też algebraiczny nad L 0. Niech f P L 0 rxs będzie wielomianem minimalnym elementu a. Niech ponadto φ 0 : L 0 rxs Ñ F rxs będzie przedłużeniem zanurzenia φ 0 : L Ñ F na pierścień wielomianów. Wówczas wielomian φ 0 pfq jest nierozkładalny w pierścieniu φ 0 pl 0 qrxs, jako obraz elementu nierozkładalnego. Ponieważ ciało F jest algebraicznie domknięte, więc wielomian φ 0 pfq ma pierwiastek b P F. Wobec Twierdzenia?? istnieje przedłużenie izomorfizmu φ 0 : L 0 Ñ φ 0 pl 0 q do zanurzenia φ 1 0 : L 0paq Ñ φ 0 pl 0 qpbq Ă F. Wówczas pl 0, φ 0 q ă pl 0 paq, φ 1 0 q oraz L 0 Ĺ L 0 paq, więc element pl 0, φ 0 q nie może być maksymalny w rodzinie R, co daje sprzeczność.

69 Lemat Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem algebraicznym ciała F. Wówczas istnieje F -zanurzenie φ : L Ñ F.

70 Dowód. W poprzednim lemacie wystarczy przyjąć F 2 L, F 1 F oraz φ 1 id F.

71 Przechodzimy do dowodu Twierdzenia 0.15:

72 Dowód. Wobec poprzedniego lematu istnieje F -zanurzenie φ : L 1 Ñ L 2. Ciało φpl 1 q jest algebraicznie domknięte. Ponadto rozszerzenie φpl 1 q Ă L 2 jest algebraiczne, a więc φpl 1 q L 2.

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.

Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.

Bardziej szczegółowo

Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.

Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Pojęcie pierścienia.

Pojęcie pierścienia. Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to

Bardziej szczegółowo

Algebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.

Algebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1. Algebra II Wykład 1 0. Przypomnienie Zbiór R z działaniami +, : R R R, wyróżnionymi elementami 0, 1 R i operacją : R R nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) a, b, c R : a +

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

Wielomiany i rozszerzenia ciał

Wielomiany i rozszerzenia ciał Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Wielomiany

Maciej Grzesiak. Wielomiany Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I

Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I Bazyli Klockiewicz 22 czerwca 2014 1 Rugownik pary wielomianów oraz wyróżnik wielomianu. Poniższe stwierdzenia opisują

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

jest przemienny. h f J.

jest przemienny. h f J. 12. Wykład 12: Moduły injektyne. Deinicja 12.1. Niec będzie pierścieniem, leym -modułem. eżeli dla każdego -modułu M i omomorizmu : M Ñ zacodzi następujący arunek: dla każdego leego -modułu N idlakażdego

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ;

(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ; 10. Wykład 10: Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. 10.1. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Definicja 10.1. Niech P, R będą pierścieniami. (1) Odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Ę ľü ď Ż Ż ć Ż ď ż ď ď Ą Ż ć Ą Ą í Ą ý Ź Ź ŕ Ą Ą Ą Ą Ż ż Ż Ą ď ż ľ Ż Ż

Ę ľü ď Ż Ż ć Ż ď ż ď ď Ą Ż ć Ą Ą í Ą ý Ź Ź ŕ Ą Ą Ą Ą Ż ż Ż Ą ď ż ľ Ż Ż Ę ľ ľ Ł ż Ą í Ą Ą í í Í Ź ż ż Ę ľü ď Ż Ż ć Ż ď ż ď ď Ą Ż ć Ą Ą í Ą ý Ź Ź ŕ Ą Ą Ą Ą Ż ż Ż Ą ď ż ľ Ż Ż ď Ź Ę ż ż Ę Ą Í Ł Ł Ę í ż ď Ą ď Ź ý Ż Ż Ż Ź ż ż Ć ď ÁĄ ď ď Ą ď ď Ą ď Ż ď Ą ŕ Ł Ł Ę í í ż ż ý ý ć á Ż

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Hipoteza Grothendiecka dla równania Rischa y = ay + b M. van der Put

Hipoteza Grothendiecka dla równania Rischa y = ay + b M. van der Put Hipoteza Grothendiecka dla równania Rischa y = ay + b M. van der Put A. Nowel kwiecień 2017 Marius van der Put, Grothendieck s conjecture for the Risch equation y = ay + b. Indag. Math. (N.S.) 12 (2001),

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Wniosek Niech R będzie pierścieniem, niech I R. WówczasI R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest jądrem pewnego homomorfizmu.

Wniosek Niech R będzie pierścieniem, niech I R. WówczasI R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest jądrem pewnego homomorfizmu. 11. Wykład 11: Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Ideały pierwsze i maksymalne. 11.1. Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Definicja i Uwaga 11.1. Niech R będzie pierścieniem,

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. pgladki/

Paweł Gładki. Algebra.  pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie, algebry

1 Pierścienie, algebry Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Piotr Pokora 22.02.2009 1 Wprowadzenie do struktur o-minimalnych i pojęcia wstępne Na początku lat 80-tych Pillay i Steinhorn wprowadzili pojęcie o-minimalności bazując

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Ż Ż Ż Ż ś ď ő ő ĺ ś ĺ ď ś ś Ż ď ś Ę ć Ż ć ś đ ĺ ć ś ĺ ś ś ć Ż Ż Ż Ż ď ś đ ĺ ĺ ć ć ś ś ć ĺ ć Ż

Ż Ż Ż Ż ś ď ő ő ĺ ś ĺ ď ś ś Ż ď ś Ę ć Ż ć ś đ ĺ ć ś ĺ ś ś ć Ż Ż Ż Ż ď ś đ ĺ ĺ ć ć ś ś ć ĺ ć Ż ś Ę Ż ő ń ś ő í ő ĺ ď őźĺ ő ď Ż ĺ ś ď ĺ Ż ś ś ď Żĺ Ż Ż Ż Ż ś ď ő ő ĺ ś ĺ ď ś ś Ż ď ś Ę ć Ż ć ś đ ĺ ć ś ĺ ś ś ć Ż Ż Ż Ż ď ś đ ĺ ĺ ć ć ś ś ć ĺ ć Ż ĺ ś ĺ ś ś Í ś ĺ ś Í Ż ő Ę Ś Í ść Ż ś đ ťĺ ń ś ś ő ő ś ĺ

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Dekompozycje prostej rzeczywistej

Dekompozycje prostej rzeczywistej Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Nierówności symetryczne

Nierówności symetryczne Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Hipoteza Riemanna dla ciał funkcji algebraicznych

Hipoteza Riemanna dla ciał funkcji algebraicznych Uniwersytet Śląski Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Instytut Matematyki Paweł Gładki Hipoteza Riemanna dla ciał funkcji algebraicznych Praca magisterska napisana pod kierunkiem prof. dra hab. Kazimierza

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

ľ ľ ż ľ ż ľ ż ť ŕ ľ ľ ľ ľ ľ ý ľ ľ ľ ľ ľ ń ľ ý

ľ ľ ż ľ ż ľ ż ť ŕ ľ ľ ľ ľ ľ ý ľ ľ ľ ľ ľ ń ľ ý Ł ľ ľ ľ ľ ľ ľ ľ ľ ľ ń ľ ń ľ ľ ľ ľ ć ć ľ ż ľ ľ ľ ż ľ ľ ľ ń Ł ľí ć ő ż ľ ż Ł đ ľ ľ ż ľ ż ľ ż ť ŕ ľ ľ ľ ľ ľ ý ľ ľ ľ ľ ľ ń ľ ý Ł Í Ź ń ń á ľ Ä Ž ń ń Ą ń ż Ą Ż ď ż Ż ď ń ć ż Ż Ż Ę Ę Ń Í Ł Ż ć ń Ź Ł ń Ó á

Bardziej szczegółowo

4. Systemy algebraiczne i wielomiany nad ciałami zastosowania Rodzaje systemów algebraicznych ciała, grupy, pierścienie

4. Systemy algebraiczne i wielomiany nad ciałami zastosowania Rodzaje systemów algebraicznych ciała, grupy, pierścienie Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

LICZBY RZECZYWISTE AKSJOMATYKA I KONSTRUKCJA DEDEKINDA

LICZBY RZECZYWISTE AKSJOMATYKA I KONSTRUKCJA DEDEKINDA [O]dwoływanie się do intucji geometrycznych w pierwszej prezentacji rachunku różniczkowego uważam za niezmiernie użyteczne z dydaktycznego punktu widzenia, a nawet za niezastąpione, gdy nie chcemy tracić

Bardziej szczegółowo

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek

6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek 6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo