Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania

Transkrypt

1 Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania 1. Każda karta z jednej strony jest czerwona albo niebieska, z drugiej zaś ma narysowane kółko albo trójkąt. Na stole widzimy cztery takie karty, widoczna strona jest w nich kolejno czerwona, niebieska, trójkątem i kółkiem. Jacek twierdzi, że karty niebieskie mają na odwrocie kółko. Które karty Placek musi odwrócić, aby sprawdzić, czy Jacek mówi prawdę? 2. Zbadaj, które z poniższych formuł są tautologiami: a) (p p) p; b) p ( p q); c) (p q) [( p) ( q)]; d) (p q) (p q); e) (p q) [ p) ( q)]; f) (p q) [( p) ( q)]; g) [(p (q r)] [(p q) (p r)]; h) [(p q) r] [p (q r)]; i) [p (q r)] [(p q) (p r)]; j) [p (q r)] [( (p q) (p r)]; k) [p (q r)] [( q r) p]; l) [(p q) r)] [( p (q r)]. 3. Przyjmijmy, że gdy Jacek chrapie, to Agata śni. Które z poniższych zdań są prawdziwe przy tym założeniu? a) Gdy Agatka nie śni, to Jacek nie chrapie. b) Gdy Jacek nie chrapie, to Agatka nie śni. c) Gdy Agatka śni, to Jacek chrapie. d) Jacek nie chrapie lub Agatka śni. e) Nie jest możliwe, aby Jacek chrapał, a Agatka nie śniła. 4. Zapisz formułę korzystając wyłącznie ze wskazanych spójników: a) p q za pomocą koniunkcji i negacji; b) p q za pomocą alternatywy i negacji; c) p q za pomocą implikacji i negacji; d) p q za pomocą implikacji i negacji; 5. Zapisz za pomocą alternatywy, koniunkcji i negacji spójnik albo (alternatywę wykluczającą). 6. Zapisz formułę: p 1 (p 2 (p 3... (p n q))...) używając znak implikacji: a) tylko raz; b) ani razu. 7. Spójnik Pierce a (operator NOR) jest zdefiniowany wzorem (p q) (( p) ( q)). Kreska Sheffera, (operator NAND) jest zdefiniowana wzorem p q (( p) (( q)). Wyraź: a) alternatywę, implikację oraz równoważność za pomocą negacji oraz koniunkcji; b) koniunkcję, implikację oraz równoważność za pomocą negacji oraz alternatywy; c) negację, koniunkcję, alternatywę oraz implikację za pomocą spójnika Pierce a. d) negację, koniunkcję, alternatywę oraz implikację za pomocą kreski Sheffera. 8. Przyjmijmy oznaczenia: N p negacja p, Cpq implikacja, Apq alternatywa, Kpq koniunkcja, Epq równoważność. System ten (tzw. notacja polska) pozwala zapisywać formuły rachunku zdań bez użycia nawiasów. a) Zapisz w zwykłej notacji KCpNqp. b) Zapisz w notacji polskiej zasady sprzeczności i wyłączonego środka oraz prawa de Morgana.

2 9. Zbadaj, czy poniższe schematy wnioskowania są poprawne: ( p) q, p (p q) r, q p (q r), r a) ; b) ; c) ; q p r p q p q, ( p) q (p q) r, q p q,p ( q) d) ; e) : f). q p r p 10. Zbadaj poprawność każdego z poniższych wnioskowań. Jeżeli jest poprawne, daj pełne wyprowadzenie ze wskazaniem stosowanych reguł wnioskowania. Jeżeli jest niepoprawne, wyjaśnij dlaczego. a) Jeśli płyta jest głośna lub monotonna, to nie jest długa. Płyta jest monotonna. Wniosek: Płyta nie jest długa. b) Jeśli Rybin jest nudny, to trudno go znaleźć. Jeżeli Rybin nie jest mały, to nietrudno go znaleźć. Rybin jest nudny. Wniosek: Rybin jest mały. c) Nieprawda, ze Franek gra zarówno na gitarze jak i na flecie. Jeżeli Franek nie gra ani na gitarze, ani na flecie, to gra na organach i na harfie. Jeżeli gra na harfie, to gra na organach. Wniosek: Franek gra na organach. d) Jeżeli napadniesz na bank, trafisz do więzienia. Jeśli trafisz do więzienia, nie spędzisz czasu miło. Jeśli wyjedziesz na wakacje, to spędzisz czas miło. Napadasz na bank lub jedziesz na wakacje. Wniosek: Trafisz do więzienia lub spędzisz miło czas. e) Jeśli Jones nie spotkał tej nocy Smitha, to Smith jest mordercą lub Jones kłamie. Jeżeli Smith nie jest mordercą, to Jones nie spotkał tej nocy Smitha i morderstwo nastąpiło po północy. Jeżeli morderstwo miało miejsce po północy, to Smith jest mordercą lub Jones kłamie. Wniosek: Smith jest mordercą. 11. Zbadaj, czy podany zestaw informacji jest niesprzeczny: a) Jeśli wieczór nudny, to Ala płacze lub Anatol opowiada śmieszne historie. Jeżeli wieczorem zjawia się Sylwester, to wieczór jest nudny lub Ala płacze. Jeżeli Anatol opowiada śmieszne historie, to Ala nie płacze. Sylwester zjawia się wieczorem wtedy i tylko wtedy, gdy Anatol nie opowiada śmiesznych historii. Jeśli Ala płacze, to Anatol opowiada śmieszne historie. b) Jeżeli kurs papierów wartościowych rośnie lub stopa procentowa maleje, to ceny akcji spadają lub podatki nie rosną. Ceny akcji spadają wtedy i tylko wtedy, gdy idzie w górę kurs papierów wartościowych i rosną podatki. Jeżeli stopa procentowa maleje, to ceny akcji nie spadają lub kurs papierów wartościowych nie rośnie. Podatki rosną lub ceny akcji maleją i maleje stopa procentowa. 12. W czasie kampanii wyborczej panowie Alfa, Beta i Gamma złożyli oświadczenia: Alfa: Beta zawsze kłamie. Beta: Gamma zawsze kłamie. Gamma: Alfa zawsze kłamie. Uzasadnij, że przynajmniej dwa z tych oświadczeń są fałszywe. 13. W czasie kampanii wyborczej panowie Alfa, Beta, Gamma i Delta złożyli następujące oświadczenia: Alfa: Beta zawsze kłamie. Beta: Gamma przynajmniej czasem mówi prawdę. Gamma: Delta przynajmniej czasem kłamie. Delta: Alfa zawsze mówi prawdę. Wykaż, że dokładnie dwa z tych zdań są prawdziwe.

3 Lista 2 - Kwantyfikatory 1. Niech d(x,y) oznacza x jest dzieckiem y, m(x) x jest mężczyzną. Zapisz formuły: a) x jest bratem y; b) x jest dziadkiem y; c) x jest stryjkiem y; d) x oraz y są przyrodnim rodzeństwem. 2. Przyjmijmy, że w języki arytmetyki liczb naturalnych mamy stałe 0, 1, 2,... oraz symbole + i. Zapisz w tym języku: a) n jest liczbą parzystą; b) m > n; c) n jest liczbą złożoną; d) n jest liczba pierwszą; e) każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwu liczb pierwszych (hipoteza Goldbacha); f) istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. 3. Kwantyfikatory ograniczone określamy wzorami x A P(x) ( x(x A P(x)), x A P(x) ( x(x A P(x)). Sformułuj i udowodnij prawa de Morgana dla kwantyfikatorów ograniczonych. 4. Wykaż, że nie zachodzi wynikanie: a) x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x)); b) ( xa(x) B(x)) ( x(a(x) B(x))); c) x yr(x, y) y xr(x, y); d) [ xa(x) B(x))] ( x(a(x) B(x))). 5. Wykaż, wskazując odpowiedni kontrprzykład, że reguła wnioskowania x(p(x) Q(x)), xm(x) x(p(x) M(x)) jest błędna. Uzupełnij komentarze przy przejściach poprawnych i wskaż błąd (błędy) w poniższym dowodzie poprawności tej reguły: 1. x(p(x) Q(x)) 2. xm(x) 3. P(a) Q(a) 4. P(a) 5. M(a) 6. P(a) M(a) 7. (P(x) M(x). 6. Wyprowadź poniższe reguły wnioskowania: x(p(x) Q(x)), x(p(x) M(x)) a) ; x(q(x) M(x) b) c) x((a(x) (R(x)) T(x))), x(t(x) P(x)), x(a(x) P(x)) ; xr(x) x(r(x) C(x)), x(t(x) R(x)). x( C(x) T(x)) 7. Wiadomo, że: a) jeżeli wielkie twierdzenie Fermata jest fałszywe, to krzywa Freya nie jest modularna; b) krzywa Freya jest krzywą eliptyczną; c) każda krzywa eliptyczna jest modularna. Wywnioskuj z tych przesłanek, że wielkie twierdzenie Fermata jest prawdziwe. Wskaż wykorzystywane reguły wnioskowania. Zauważ, że nie musisz rozumieć żadnego z terminów! 8. Przyjmijmy, że zakresem zmienności wszystkich zmiennych są liczby naturalne. Niech k l oznacza k dzieli l. Wykaż, że za pomocą 0, 1, + oraz można zdefiniować predykat z = xy. Wsk.: Zdefiniuj najpierw predykat y(x = y 2 ). Przydadzą się tożsamości: (x + y) 2 = x 2 + xy + xy + y 2 ; NWD(x,x + 1) = 1 oraz x 2 + x = NWW(x,x + 1), gdzie NWD oznacza największy wspólny dzielnik, NWW najmniejszą wspólną wielokrotność.

4 Lista ekstra e = 2, Typowe techniki dowodzenia Poniższe zadania pokazują charakter zadań, jakie mogą pojawić się na I minikolokwium w charakterze zadań na redagowanie dowodów. Nie są przeznaczone do rozwiazywania na ćwiczeniach. Niestety, czasem wymagana jest samodzielność! 1. Wykaż, że: a) suma dwu liczb nieparzystych jest parzysta; b) jeżeli iloczyn dwu liczb całkowitych jest parzysty, to przynajmniej jeden z czynników jest parzysty. 2. Wykaż, że: a) suma trzech kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 3; b) iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych dzieli sie przez Czy prawdą jest, że: a) iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 8; b) iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 24; c) pośród trzech kolejnych nieparzystych liczb naturalnych występuje liczba złożona; d) suma trzech liczb pierwszych jest liczbą złożoną; e) suma dwu sześcianów różnych dodatnich liczb naturalnych jest liczbą złożoną. Odpowiedź dokładnie uzasadnij, dając krótkie rozumowanie bądź kontrprzykład. 4. Podaj kontrprzykłady dla ponizszych zdań: a) kwadrat liczby niewymiernej jest liczba niewymierną; b) suma liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną; c) iloczyn liczby niewymiernej przez liczbe wymierną jest liczba niewymierną. 5. Wiadomo, że dla liczby naturalnej n jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy n jest kwadratem liczby naturalnej. Korzystając z tego faktu wykaż, że liczbami niewymiernymi są: a) 2 3; b) 1+ 5; c) 2+ 3; d) 4 2. Możesz korzystać z faktu, że suma, różnica i iloczyn liczb wymiernych jest liczba wymierną. 6. Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że: a) n = 3n+1 1 ; 2 b) 7 n 1 dzieli się przez 6; c) dla n N zachodzi nierówność 4 n > n Wiadomo, że liczby e oraz π są niewymierne. Wywnioskuj stąd, że któraś z liczb e+π lub e π jest niewymierna. Czy wiadomo która?

5 Lista 3 - Rachunek zbiorów 1. Czy dla dowolnych zbiorów A,B i C prawdziwe są następujące równości: a) A (B C) = (A B) C; b) (A B) B = (A B) B; c) A (B C) = (A B) C; d)a (B C) = (A B) (A C); e) A (B C) = (A B) (A C); f) (A\B)\C = A\(B \C); g) (A\B) C = (A C)\(B C); h) (A\B) C = (A C)\(B C); i) (A B) C = (A C) (B C); j) (A B) C = (A C) (B C); k) (A B) C = (A C) (B C); l) (A B) C = (A C) (B C)? Uzasadniając odpowiedź pozytywną wskazuj, przy których przejściach korzystasz z definicji, a przy których z praw rachunku zdań (jakich?). 2. Czy dla dowolnych zbiorów A,B,C i D prawdziwe są następujące zdania: a) (A B) (B C) A C; b) (A B) (A\C B \C); c) (A C) (B C) A B C; d) (A B) (A C) A B C; e) (A B) (C D) A C B D; f) (A B) (C D) A C B D? 3. Wykaż, że A B = B A wtedy i tylko wtedy, gdy A = B lub A = lub B =. 4. Znajdź sumę n=0 oraz iloczyn n=0 dla poniższych rodzin zbiorów: a) A n = [n, ); b) B n = (0,1/n); c) C n = [0,1 1/n]; d) A n = ( n,1/n). 5. Znajdź sumę t T oraz iloczyn t T dla poniższych rodzin zbiorów: a) A t = (,t], T = R + ; b) B t = R\{t}, T = Q; c) C t = [t,1] [0,t], T = (0,1). 6. Które z ponizszych ciągów są elementami n=0 A n, gdzie A n = (n, ): a) a n = 1; b) b n = n+1; c) c n = 2n; d) d n = n 2 +1; e) e n = n+1+sinn? 7. Które z ponizszych funkcji są elementami t R A t, gdzie A t = [0, 1+ t ]: a) a(t) = 1; b) b(t) = t ; c) c(t) = sint; d) d(t) = t 2 ; e) e(t) = t 1?

6 Lista 4 - Funkcje 1. Dla funkcji f : R R znajdź f(a), f 1 (f(a)), f 1 (C), f(f 1 (C)): a) f(x) = e x, A = (0, ), C = [0,1]; b) f(x) = sinx, A = [0,π/2], C = {1}; c) f(x) = lnx, A = (0,1], C = [0,1]; d) f(x) = x +1, A = [ 1,2], C = R. 2. Niech f : R 2 R 2 będzie funkcją zadaną wzorem f((x,y)) = (x+y,x y). a) Czy odwzorowanie f jest injekcją? b) Czy f jest surjekcją? c) Znajdźf(R {0}), f(l) orazf 1 (L), gdzieljest prostą zadaną równaniemy = x Dla funkcji f(x) = x 2 oraz A = [ 2,0], B = [0,2] wyznacz: a) f(a B), f(a) f(b); b) f(a B), f(a) f(b); c) f(a\b), f(a)\f(b). 4. Niech f : X Y, A,B X, C Y. Wykaż, że a) f(a B) f(a) f(b); b) f(a)\f(b) f(a\b); c) A f 1 (f(a)); d) f(f 1 (C)) = C. 5. Wykaż, że jeżeli f jest różnowartościowa, to każdą z inkluzji w poprzednim zadaniu można zastąpić równoscią. 6. Niech f : X Y, g : Y X. Wykaż, że: a) jeżeli g f = id X, to f jest injekcją; b) jeżeli f g = id Y, to f jest surjekcją. 7. Inwolucją nazywamy taką funkcję f : X X, że f f jest identycznością. Wykaż, że każda inwolucja jest bijekcją. Podaj przykłady nieidentycznościowych inwolucji w algebrze i geometrii. 8. Inwersją względem okręgu x 2 +y 2 = 1 o środku O = (0,0) nazywamy przekształcenie, które punktowi P O przyporządkowuje punkt P leżący na półprostej OP, taki że OP OP = 1. a) Uzasadnij, że inwersja jest inwolucją na R 2 \{O}. b)* Znajdź obraz i przeciwobraz prostej x = 1/2 przez inwersję.