Ćwiczenia nr 9. TEMATYKA: Triangulacja i triangulacja Delaunay a

Transkrypt

1 TEMATYKA: Triangulacja i triangulacja Delaunay a Ćwiczenia nr 9 DEFINICJE: Triangulacja (w geodezji i astronomii): metoda wyznaczania w terenie współrzędnych punktów, wykorzystująca taką własność trójkąta, że znajomość jednego boku i dwóch kątów wystarczy do pomiaru całej figury. Triangulację stosuje się do dokładnego pomiaru terenu kraju, przy konstrukcji map topograficznych itp. Została wynaleziona w 1615 przez W. Snella van Royena. Obecnie w triangulacji wykorzystuje się najnowsze techniki, np. połączenia satelitarne (system GPS). Sieć triangulacyjna: w geodezji sieć trójkątów w terenie (o bokach km), których wierzchołkami są punkty triangulacyjne (z każdego powinny być widoczne sąsiednie punkty, aby umożliwić pomiar kątów między nimi). Rys

2 Triangulacja (w matematyce): podział figury geometrycznej na trójkąty lub czworościany w taki sposób, by wspólną częścią każdych dwóch trójkątów był co najwyżej bok, wierzchołek bądź zbiór pusty. Rys. 9.2 Triangulacja (w grafice komputerowej): technika polegająca na rozbiciu złożonych obiektów (każdej figury geometrycznej prócz koła) na trójkąty. Rys

3 Triangulacja Delaunay a: trójkąty tworzone są w ten sposób aby żaden z punktów nie należących do niego nie był położony wewnątrz okręgu opisanego na trójkącie. Ilustrację zasady przedstawiono na poniższym rysunku. Rys. 9.4 Na kolejnym rysunku przedstawiono konstrukcję diagramu (poligonu, obszaru) Voronoi, bezpośrednio związaną z triangulacją Delaunay a. Obszar Voronoi stanowi zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których odległość do punktu centralnego jest mniejsza od odległości do pozostałych punktów. Jak widać ograniczenia tego obszaru stanowią odcinki symetralnych do boków triangulacji Delaunay a. Rys. 9.5 Zagadnienie tworzenia nieregularnej siatki trójkątów było przedmiotem licznych badań, w wyniku których opublikowano szereg algorytmów konstrukcji triangulacji Delaunay a: a) Radial sweep A. Mirante, N. Weingarten 1982 b) Recursive split B. A. Lewis, J. S. Robinson 1978 c) Divide and conquer D. T. Lee, B. J. Schachter 1980 d) Step by step opublikowany m.in. przez M. J. McCullagh, C. G. Ross 1980 e) Hierarchical L. De Floriani, B. Falcidieno, C. Pienovi, 1985 f) Incremental opublikowany m.in. przez D. T. Lee, B. J. Schachter 1980 g) Incremental delete and build D. F. Watson

4 Mając model w postaci nieregularnej siatki trójkątów możemy interpolować wysokość punktu P powierzchni terenowej, którego rzut P na płaszczyznę poziomą leży w trójkącie A B C. Rys. 9.6 Aproksymując powierzchnię terenową płaszczyzną przechodzącą przez punkty ABC otrzymujemy wzór interpolacyjny w postaci: z p = z A w A + z B w B + z C w C w A + w B + w C gdzie z A, z B, z C są wysokościami w punktach A, B, C a wagi w A, w B, w C są polami przeciwległych trójkątów, powstających przez podział trójkąta A B C odcinkami łączącymi wierzchołki tego trójkąta z punktem P. Zastosowanie triangulacji w inżynierii: Numeryczny Model Terenu definiuje się jako "numeryczną reprezentację powierzchni terenowej, utworzonej poprzez zbiór odpowiednio wybranych punktów leżących na tej powierzchni oraz algorytmów interpolacyjnych umożliwiających jej odtworzenie w określonym obszarze". Idealne odtworzenie powierzchni terenu przez model nie jest możliwe, ponieważ ze względów ekonomicznych, czasowych i wielkości zbiorów danych, nie da się pomierzyć ani wyrazić całej złożoności powierzchni terenu. Podstawowymi problemami związanymi z numerycznym modelem terenu są: a) problem odpowiedniego doboru charakterystycznych punktów powierzchni (ang. sampling problem) w celu uzyskania jak najlepszego efektu przy minimalizacji ilości danych, 4

5 b) problem odtworzenia (przedstawienia) powierzchni na podstawie istniejących danych (ang. representation problem). W praktyce podstawowe znaczenie mają dwa modele: Model GRID - regularny w postaci siatki kwadratów uzupełnione charakterystycznymi punktami i liniami szkieletowymi Model TIN - w postaci nieregularnej siatki trójkątów. Rys. 9.7 Metoda Elementów Skończonych albo Metoda Elementu Skończonego (MES, ang. FEM, finite-element method) zaawansowana metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych, opierająca się na podziale dziedziny (tzw. dyskretyzacja) na skończone elementy, dla których rozwiązanie jest przybliżane przez konkretne funkcje, i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału. Za pomocą tej metody bada się w mechanice komputerowej (CAE) wytrzymałość konstrukcji, symuluje odkształcenia, naprężenia, przemieszczenia, przepływ ciepła, przepływ cieczy. Bada się również dynamikę, kinematykę i statykę maszyn, jak również odziaływania elektrostatyczne, magnetostatyczne i elektromagnetyczne. Obliczenia MES mogą być przeprowadzane w przestrzeni dwuwymiarowej (2D), gdzie dyskretyzacja sprowadza się najczęściej do podziału obszaru na trójkąty. Rozwiązanie takie pozwala na obliczenie wartości pojawiających się w przekroju danego układu. Związane są z tym jednak pewne ograniczenia wynikające ze specyfiki rozwiązywanego problemu (np. kierunek przepływu tylko przenikający modelowaną powierzchnię, itp.) Z uwagi na postęp techniki komputerowej w ostatnich latach większość pakietów symulacyjnych wyposażona jest w możliwość rozwiązywania zagadnień w przestrzeni trójwymiarowej (3D). Dyskretyzacja zazwyczaj polega na podziale obszaru na czworościany. Modelowanie takie pozbawione jest fundamentalnych ograniczeń technologii 2D, ale jest znacznie bardziej wymagające pod względem pamięci i mocy obliczeniowej komputera. 5

6 Rys. 9.8 Rys. 9.9 Rys

7 ZADANIA: 1. W terenie wyznaczono współrzędne punktów: A(0km; 0km), B(5km; 0km) oraz miary kątów α = 82.87, β = Wyznaczyć współrzędne niedostępnego punktu C(x C ; y C ) stosując zasady triangulacji geodezyjnej. Rys Stosując zasady triangulacji geodezyjnej wyznaczyć współrzędne punktu H. Przyjąć założenie, że punkt H leży na przecięciu dwusiecznych kątów wierzchołkowych trójkąta ABC. Rys

8 3. Wykorzystując jeden z algorytmów triangulacji Delaunay a połączyć punkty zgodnie z rysunkiem poniżej. Rys

9 ROZWIĄZANIA ZADAŃ: 1. W terenie wyznaczono współrzędne punktów: A(0km; 0km), B(5km; 0km) oraz miary kątów α = 82.87, β = Wyznaczyć współrzędnie niedostępnego punktu C(x C ; y C ) stosując zasady triangulacji geodezyjnej. Rys W rozwiązaniu wykorzystano formy obliczeniowe Hausbrandt a: y A f = x A 1 ctgβ x B y B 1 ctgα (1,2) { f 1 = x A ctgβ y A ( 1) + x B ctgα y B 1 f 2 = x A ( 1) + y A ctgβ + x B 1 + y B ctgα x C = y C = f 1 ctgα + ctgβ f 2 ctgα + ctgβ f 1 = 0 ctg( ) 0 ( 1) + 5km ctg( ) 0 1 = km f 2 = 0 ( 1) + 0 ctg( ) + 5km ctg( ) = 5km x C = y C = km ctg( ) + ctg( ) = km = 1km 5km ctg( ) + ctg( ) = 5km = 8km Odp. Współrzędne punktu niedostępnego C wynoszą x C = 1km oraz y C = 8km. 9

10 2. Stosując zasady triangulacji geodezyjnej wyznaczyć współrzędne punktu H. Przyjąć założenie, że punkt H leży na przecięciu dwusiecznych kątów wierzchołkowych trójkąta ABC. Rys Trójkąt ABC jest trójkątem egipskim o długości boków AB = 3km, AC = 4km, BC = 5km. Wyznaczenie kątów wierzchołkowych: BAC = 90 tg( ACB) = 3/4 ACB = arctg(3/4) = ABC = = Wyznaczenie współrzędnych x H i y H punktu H: f = 1km 1km 4km 1km 1 ctg( ) 1 ctg( ) (1,2) f 1 = 1km ctg( ) 1km ( 1) + 4km ctg(45 ) 1km 1 = 2km + 4km = 6km f 2 = 1km ( 1) + 1km ctg( ) + 4km 1 + 1km ctg(45 ) = 6km x H = y H = 6km ctg( ) + ctg(45 ) = 6km = 2km 6km ctg( ) + ctg(45 ) = 6km = 2km Wyznaczenie długości odcinków: AH = (2km 1km) 2 + (2km 1km) 2 = 2km CH = (2km 1km) 2 + (2km 5km) 2 = 10km BH = (2km 4km) 2 + (2km 1km) 2 = 5km 10

11 Obliczenie pól poszczególnych trójkątów składowych: P AHB = 1 2 AH AB sin( BAH) = sin(45 ) = 1. 5km2 2 P AHC = 1 2 AH AC sin( CAH) = sin(45 ) = 2km2 2 P BHC = 1 2 BH BC sin( CBH) = sin( ) = 2. 5km2 2 Sprawdzenie: P ABC = 1 2 CA AB = 1 2 3km 4km = 6km2 = P AHB + P AHC + P BHC = ( )km 2 = 6km 2 Wyznaczenie wysokości z H punktu H: z H = z A P BHC + z B P AHC + z C P AHB P ABC = 300m 2. 5km m 2km m 1. 5km 2 6km 2 = m Odp. Współrzędne punktu H wynoszą x H = 2km, y H = 2km oraz z H = m m km2 6km 2 11

12 3. Wykorzystując jeden z algorytmów triangulacji Delaunay a połączyć punkty zgodnie z rysunkiem poniżej. Rys Poniżej omówiono algorytm krok po kroku - step by step. Polega on na konstrukcji triangulacji od jednego z narożników obszaru, utworzenia początkowego boku i poszukiwaniu trzeciego punktu trójkąta. Następnie nowe dwa boki traktowane są jako boki początkowe. W ten sposób dodaje się kolejne punkty, aż do włączenia do triangulacji wszystkich punktów. Oto kolejne etapy: a) Wybiera się pierwszy bok, w ten sposób, aby żaden punkt nie znalazł się we wnętrzu okręgu, którego średnicą jest dany bok. Można to osiągnąć wybierając dwa najbliższe punkty w danym miejscu. Jeśli to możliwe początkowy bok powinien znajdować się najbliżej jednej z granic obszaru. b) Poszukuje się następnego punktu. W kole, które przechodzi przez końce odcinka początkowego i trzeci punkt, nie powinien się znaleźć żaden inny punkt. Cel ten osiąga się poprzez obliczanie odpowiednich kątów α. Jako punkt tworzący trójkąt wybiera się ten dla którego kąt α jest największy. c) Odcinki łączące wybrany punkt i końce odcinka początkowego stanowią drugi i trzeci bok trójkąta. d) Nowe boki zostają bokami początkowymi do poszukiwania następnych punktów. Powtarzanie operacji spowoduje zabudowę trójkątami całego obszaru opracowania. 12

13 Niekiedy przy konstruowaniu triangulacji można znaleźć dwa lub więcej punktów, dla których kąty są jednakowe. Wówczas przez cztery punkty przechodzi jeden okrąg (np. cztery punkty tworzące prostokąt). Należy wybrać jeden z wariantów analizując dodatkowe informacje. Krok 1: Rys Krok 2: Rys Krok 3: Rys Rys

14 Krok 4: Rys Krok 5: Rys Krok 6: Rys Krok 7: Rys

15 Który układ siatki trójkątów jest poprawny?: Uzasadnienie: Rys Rys Odp. Poprawnym układem siatki trójkątów jest układ lewy bez boku BE, ale z bokiem CF. 15