Stąd do nieskończoności. Stanisław Bajtlik Centrum Astronomiczne im. M. Kopernika, PAN, Warszawa

Transkrypt

1 Stąd do nieskończoności Stanisław Bajtlik Centrum Astronomiczne im. M. Kopernika, PAN, Warszawa

2 Lemniskata symbol zaproponowany przez Johna Wallisa w De sectionibus conicis 1655 i konsekwentnie używany przez niego w późniejszych pracach (np. Arithmetica infinitorum lub 1656).

3 HOTEL HILBERTA (PARADOKS HILBERTA) David Hilbert (ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu - zm. 14 lutego 1943 w Getyndze) Liczb parzystych jest tyle samo co całkowitych

4 Zero i nieskończoność nie musi być związana z czymś wielkim Można dzielić coś małego na nieskończoną liczbę części To wiąże nieskończoność z zerem

5 Paradoks Achillesa i żółwia Zenon z Elei (gr. Ζήνων ὁ Ἐλεάτης Zenon ho Eleates; ok. 490 p.n.e. - ok. 430 p.n.e.), Rozwiązanie w XVII wieku Suma nieskończenie wielu liczb może być skończona!

6 Problem nieskończoności Wszechświata Giordano Bruno (ur. w styczniu 1548 w Noli, zm. 17 lutego 1600 w Rzymie Nieskończoność atrybutem Boga Bóg się rodzi, moc truchleje, Pan niebiosów obnażony; Ogień krzepnie, blask ciemnieje, Ma granice nieskończony. (Franciszek Karpiński ) Johannes Kepler ( ) Wszechświat skończony bo inaczej paradoks fotometryczny

7 Eschatologia i egzystencja: Cierpienie jest wieczne, mroczne, ciemne I ma naturę nieskończoności William Wordsworth ( ) Zobaczyć świat cały w ziarenku piasku Niebiosa w jednym kwiecie z lasu W ściśniętej dłoni zamknąć bezmiar W godzinie nieskończoność czasu. (tłum. Z. Kubiak) William Blake ( )

8 Koniec XIX wieku Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (ur. 3 marca 1845 w Sankt Petersburgu, zm. 6 stycznia 1918 w sanatorium w Halle)

9 LICZB WYMIERNYCH JEST TYLE SAMO CO CAŁKOWITYCH ½ 1 1/3 ¼ 1/5 1/6 1/7. 1/3 2/3 1 4/3 5/3 6/3 7/3. ¼ 1/2 ¾ 1 5/4 6/4 7/4.

10 LICZBY RZECZYWISTE: Pitagoras (gr. Πυθαγόρας, Pythagoras), (ur. ok. 572 p.n.e. na Samos, zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie) 2 = 1,41, π = 3,14 ( Kuć i orać w dzień zawzięcie bo pracy nie ma bez trudu, kołyszesz szczęścia okręcie, robota to potęga ludu ) Jak pisze neoplatończyk Jamblich (ok ), w O życiu pitagorejskim, (rozdz. XXXIV): [Pitagorejczycy] nie chcieli tak mówić ani pisać, by sens ich myśli jawił się jasno każdemu; powiadają, że tego właśnie jako pierwszy nauczył Pitagoras swych towarzyszy, tak by wolni od niepowściągliwości w języku strzegli dzięki sztuce myślenia tego, czego się nauczyli. Mówi się, że ten, który pierwszy ujawnił ludziom niegodnym uczestniczenia w naukach naturę symetrii i asymetrii, został tak znienawidzony, że nie tylko wyłączono go ze wspólnego obcowania i wspólnego stołu, lecz także wzniesiono mu [symboliczny] grobowiec jako temu, który rozstał się z życiem człowieczym i stał się kimś innym, niż był przedtem. Inni powiadali, że dajmon gniewa się na tych, którzy ujawnili nauki Pitagorasa. Zginął bowiem na morzu jako świętokradca ten, który przekazał naukę o niepoliczalnym i niewymierzalnym (tłum. Janina Gajda-Krynicka).

11 Załóżmy, że możemy ponumerować wszystkie liczby rzeczywiste liczbami naturalnymi, a następnie ustawić je jedna za drugą, na przykład w ten sposób: 0, , , , , , , Pamiętajmy założyliśmy, że powyższy ciąg zawiera wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału. Skonstruujemy teraz liczbę rzeczywistą, która jednak w powyższym ciągu na pewno nie wystąpi. Mianowicie, nasza liczba ma na k-tym miejscu po przecinku cyfrę o 1 większą niż ma na k-tym miejscu liczba stojąca w powyższym ciągu na miejscu k-tym, lub 0 jeżeli tą cyfrą była 9. W naszym przykładzie wyglądałaby ona tak: 0, Ponieważ założyliśmy, że zbiór zawiera wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału to znaczy, że nowo skonstruowana liczba musi być równa którejś z liczb już tam występujących. Załóżmy, że jest równa n-tej liczbie - wtedy, w szczególności, powinna mieć na n-tym miejscu po przecinku taką samą cyfrę - dochodzimy więc do sprzeczności ponieważ skonstruowaliśmy liczbę tak, że na n-tym miejscu ma inną cyfrę. Z dowolności wyboru n mamy, że liczba ta nie występowała wcześniej w naszym zbiorze. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych z przedziału [0,1] nie są równoliczne.

12 LICZB RZECZYWISTYCH JEST ISTOTNIE WIĘCEJ NIŻ WYMIERNYCH Odcinek zawiera tyle punktów, co cała prosta Płaszczyzna (dwuwymiarowa) zawiera tyle samo punktów, co linia ciągła (jednowymiarowa:

13 Hipoteza continuum Nie ma największej nieskończoności

14 Nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów Paradoks Russella brzmi następująco: Rozważmy zbiór V zawierający wszystkie zbiory X takie (i tylko takie), że X nie jest elementem X: Zadajmy teraz pytanie - czy V jest elementem V? Jeśli tak, to wtedy V nie spełnia własności elementów zbioru V, więc nie jest elementem V. Jeśli zaś założymy, że V nie jest elementem V, to wtedy (zgodnie z definicją V) V musi być elementem V. W ten sposób dochodzimy do sprzeczności. 'paradoks fryzjera : Fryzjer, mieszkaniec pewnego miasta, goli wszystkich mieszkańców, którzy sami się nie golą, i tylko ich. Czy fryzjer goli się sam?

15 Nieskończoności: potencjalna aktualna absolutna Platon ( pne) nie tak nie Tomasz z Akwinu ( ) nie nie tak David Hilbert ( ) tak nie nie Bertrand Russell ( ) tak tak nie Kurt Gödel ( ) tak nie tak Georg Kantor ( ) tak tak tak

16 Problem zapalonej lampy: Zapalona przez pół godziny Zgaszona przez 15 min. Zapalona przez 7,5 min. Zgaszona przez 3,75 min. Zapalona przez 1,875 min. Zgaszona. Czy po 1 godzinie lampa będzie zapalona czy zgaszona? Czy można zbudować komputer, który wykona nieskończoną liczbę operacji w skończonym czasie? Jeśli tak, to jaka jest ostatnia cyfra w rozwinięciu liczby π?

17 Czy zdarzenie może nastąpić, jeśli jego prawdopodobieństwo a priori jest równe 0?

18 Nieskończoności aktualne, np.: Nieskończona gęstość w osobliwości Nieskończoności potencjalne, np..: Nieskończony rozmiar (wiek) Wszechświata

19 Niezależnie od wieloletnich zmagań z pojęciem nieskończoności, od jego definicji filozoficznej, teologicznej i fizycznej, dla każdego z nas nieskończoność powinna oznaczać to samo: nasze własne życie jest skończone i nieskończoność dla każdego z nas polega na tym, co w tym skończonym czasie zdołamy zdziałać. A tych, którzy aspirują do osiągnięcia nieskończoności warto przestrzec: nieskończoności jest wiele, a ta największa nie istnieje! Za to stąd do wieczności jest bliżej niż się nam wydaje. Burt Lancaster and Deborah Kerr.

20 Monty Hall problem