O liczbach niewymiernych
|
|
|
- Alina Stachowiak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 O liczbach niewymiernych Agnieszka Bier Spotkania z matematyką jakiej nie znacie ;) 8 stycznia 0
2 Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite p oraz q 0, że a = p q
3 Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite p oraz q 0, że a = p q Czy istnieją liczby, które nie są wymierne?
4 Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite p oraz q 0, że a = p q Czy istnieją liczby, które nie są wymierne? W jaki sposób można zapisać liczbę niewymierną?
5 Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite p oraz q 0, że a = p q Czy istnieją liczby, które nie są wymierne? W jaki sposób można zapisać liczbę niewymierną? Których liczb jest więcej: wymiernych czy niewymiernych?
6 Krótka historia liczb niewymiernych
7 Szkoła pitagorejska Pojęcie liczby Liczbą nazywano obiekt współmierny z jedynką lub z częścią jedynki (np,,, n, n N) Współmierność dwóch wielkości oznaczała fakt, że jedna z nich jest całkowitą wielokrotnością drugiej Pitagorejczycy każdy byt można utożsamić z odpowiadającymi mu wielkościami geometrycznymi: długością, polem powierzchni, objętością, a zatem z liczbami współmierność liczb współmierność odcinków Twierdzenie Pitagorasa i jego konsekwencje Pitagoras (80-0 pne)
8 Szkoła Pitagorejska Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości a i b oraz przeciwprostokątna ma długość c zachodzi równość: a + b = c Wniosek Niech x będzie dowolną liczbą dodatnią większą od oraz niech a = x, c = x + Wtedy, na podstawie Twierdzenia Pitagorasa mamy: ( ) x ( ) + b x + = x = b
9 Problematyczny przekątna kwadratu ma długość niewspółmierną z długością jego boku pierwiastek jest liczbą niewymierną dowody nie wprost : Dowód za pomocą parzystości Dowód geometryczny Dowód na arkuszach papieru inne dowody: rootshtml
10 Problematyczny Dowód geometryczny (Apostol)
11 Problematyczny Dowód geometryczny (Apostol)
12 Problematyczny Dowód geometryczny (Apostol) dowód nie wprost: jest liczbą wymierną
13 Problematyczny Dowód geometryczny (Apostol) dowód nie wprost: jest liczbą wymierną 0 trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnych długości
14 Problematyczny Dowód geometryczny (Apostol) dowód nie wprost: jest liczbą wymierną 0 trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnych długości trójkąt podobny do 0, o bokach całkowitej długości
15 Problematyczny Dowód geometryczny (Apostol) dowód nie wprost: jest liczbą wymierną 0 trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnych długości trójkąt podobny do 0, o bokach całkowitej długości konstrukcja kolejnych, coraz to mniejszych trójkątów podobnych i o bokach całkowitej długości
16 Problematyczny Arkusz normalny Arkusz hipernormalny a b = b a a+b b = b a b
17 Inne liczby niewspółmierne Hippasus z Metapanu (V w pne)- dowód niewspółmierności przekątnej pięciokąta foremnego z jego bokiem,, 6, 7, 8, 0, log średnica okręgu jest niewspółmierna z jego obwodem d a = +
18 Co dalej z niewymiernością? Michael Stifel,Arithmetica integra, Norymberga : numeris irrationalibus Isaac Newton, Arithmetica universalis, wyd II, Londyn 7: Przez liczbę rozumiemy nie tyle zbiór jedynek, ile abstrakcyjny stosunek dowolnej wielkości do innej wielkości tego samego rodzaju, przyjętej przez nas za jednostkę Liczby bywają trzech rodzajów: całkowite, ułamkowe i niewymierne Liczbą całkowitą jest to, co mierzy się jedynką; ułamkową wielokrotność części jedynki; liczba niewymierna jest niewspółmierna z jedynką
19 Jak zapisywać liczby niewymierne?
20 Rozwinięcia dziesiętne Rozwinięcie dziesiętne liczby Każdą liczbę (rzeczywistą) a możemy jednoznacznie przestawić w postaci sumy ułamków dziesiętnych, tj ułamków, w których mianowniki są potęgami liczby 0: a = a a 0 + a 0 + Rozwinięciem dziesiętnym liczby a nazywamy następującą postać: a 0, a a a Ciąg {a n } może być skończony lub nieskończony
21 Rozwinięcia dziesiętne Liczby wymierne mają skończone lub okresowe rozwinięcia dziesiętne 0 = 0, 06
22 Rozwinięcia dziesiętne Liczby wymierne mają skończone lub okresowe rozwinięcia dziesiętne 0 = 0, 06 = 8, 9
23 Rozwinięcia dziesiętne Liczby wymierne mają skończone lub okresowe rozwinięcia dziesiętne 0 = 0, 06 = 8, 9 =, =, ()
24 Rozwinięcia dziesiętne Liczby wymierne mają skończone lub okresowe rozwinięcia dziesiętne 0 = 0, 06 = 8, 9 =, =, () 9 7 =, (87)
25 Rozwinięcia dziesiętne Liczby wymierne mają skończone lub okresowe rozwinięcia dziesiętne 0 = 0, 06 = 8, =, =, () =, (87) = 0, 0(78)
26 Rozwinięcia dziesiętne Liczby niewymierne mają nieskończone nieokresowe rozwinięcia dziesiętne =,
27 Rozwinięcia dziesiętne Liczby niewymierne mają nieskończone nieokresowe rozwinięcia dziesiętne =, =,
28 Rozwinięcia dziesiętne Liczby niewymierne mają nieskończone nieokresowe rozwinięcia dziesiętne =, =, π =,
29 Ułamki łańcuchowe Skończony ułamek łańcuchowy [a 0, a, a,, a k ] := a 0 + a + a + a k + a k Nieskończony ułamek łańcuchowy [a 0, a, a, ] := a 0 + a + a + a 0 Z, a i N dla i > 0
30 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe
31 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8
32 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 =
33 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = [0,, 7]
34 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = [0,, 7] = [0,, 6, ]
35 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = [0,, 7] = [0,, 6, ]
36 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = = [0,, 7] = [0,, 6, ]
37 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = = = [0,, 7] = [0,, 6, ]
38 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = = = [0,, 7] = [0,, 6, ] =
39 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = = = [0,, 7] = [0,, 6, ] = =
40 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = [0,, 7] = [0,, 6, ] 67 0 = = = [,,, 6] = = =
41 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = [0,, 7] = [0,, 6, ] 67 0 = = = [,,, 6] = = =
42 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = [0,, 7] = [0,, 6, ] 67 0 = = = [,,, 6] = = = 0 = +
43 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = [0,, 7] = [0,, 6, ] 67 0 = = = [,,, 6] = = = = + 0 = + 0
44 Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = = = [0,, 7] = [0,, 6, ] 67 0 = = = [,,, 6] = = = 0 = + = + 0 = = [,, 0]
45 Ułamki łańcuchowe Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe = = [,,,, ]
46 Ułamki łańcuchowe Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe = = [,,,, ] Liczba złota : + = = [,,,, ]
47 Ułamki łańcuchowe Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe = = [,,,, ] Liczba złota : + = = [,,,, ] π = = [, 7,,, 9, ]
48 Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =,
49 Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, =,
50 Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, =, + =, +
51 Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, =, =, =, (6)
52 Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, =, π = =, =, (6) =,
53 Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, =, π = =, =, (6) π + 7 =, (87) =,
54 Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, =, π = =, =, (6) =, π + 7 =, (87) π + =, (09966) 7+
55 Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, =, π = =, =, (6) =, π + 7 =, (87) π + =, (09966) 7+ π =, 99
56 Liczby niewymierne w praktyce Zapis symboliczny najkrótsza forma zapisu reprezentacja wartości, ale niejawna przykłady:, log, π, π, e, e, Wartości przybliżone Do obliczeń używamy wartości przybliżonych liczb niewymiernych Uzyskany wynik jest przybliżony,, 7 π, e, 7
57 Których liczb jest więcej wymiernych czy niewymiernych?
58 Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów
59 Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa
60 Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa Zbiory nieskończone Zbiór nieskończony ma nieskończenie wiele elementów
61 Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa Zbiory nieskończone Zbiór nieskończony ma nieskończenie wiele elementów Na przykład, zbiorami nieskończonymi są: N - zbiór liczb naturalnych, P - zbiór liczb naturalnych parzystych, W - zbiór liczb wymiernych, Z - zbiór liczb całkowitych, R - zbiór liczb rzeczywistych
62 Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa Zbiory nieskończone Zbiór nieskończony ma nieskończenie wiele elementów Na przykład, zbiorami nieskończonymi są: N - zbiór liczb naturalnych, P - zbiór liczb naturalnych parzystych, W - zbiór liczb wymiernych, Z - zbiór liczb całkowitych, R - zbiór liczb rzeczywistych Moc zbioru liczb naturalnych Zbiór N = {,,, } wszystkich liczb naturalnych jest nieskończony Jego moc oznaczamy symbolem ℵ 0 (alef-zero) O zbiorze mocy ℵ 0 mówimy, że jest przeliczalny
63 Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa Zbiory nieskończone Zbiór nieskończony ma nieskończenie wiele elementów Na przykład, zbiorami nieskończonymi są: N - zbiór liczb naturalnych, P - zbiór liczb naturalnych parzystych, W - zbiór liczb wymiernych, Z - zbiór liczb całkowitych, R - zbiór liczb rzeczywistych Moc zbioru liczb naturalnych Zbiór N = {,,, } wszystkich liczb naturalnych jest nieskończony Jego moc oznaczamy symbolem ℵ 0 (alef-zero) O zbiorze mocy ℵ 0 mówimy, że jest przeliczalny Czy wszystkie zbiory nieskończone mają jednakową moc?
64 Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa Zbiory nieskończone Zbiór nieskończony ma nieskończenie wiele elementów Na przykład, zbiorami nieskończonymi są: N - zbiór liczb naturalnych, P - zbiór liczb naturalnych parzystych, W - zbiór liczb wymiernych, Z - zbiór liczb całkowitych, R - zbiór liczb rzeczywistych Moc zbioru liczb naturalnych Zbiór N = {,,, } wszystkich liczb naturalnych jest nieskończony Jego moc oznaczamy symbolem ℵ 0 (alef-zero) O zbiorze mocy ℵ 0 mówimy, że jest przeliczalny Czy wszystkie zbiory nieskończone mają jednakową moc? NIE!
65 Jak porównywać nieskończone zbiory? Równoliczność zbiorów Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie (bijekcja) ze zbioru A w zbiór B
66 Jak porównywać nieskończone zbiory? Równoliczność zbiorów Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie (bijekcja) ze zbioru A w zbiór B
67 Jak porównywać nieskończone zbiory? Równoliczność zbiorów Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie (bijekcja) ze zbioru A w zbiór B
68 Jak porównywać nieskończone zbiory? Równoliczność zbiorów Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie (bijekcja) ze zbioru A w zbiór B
69 Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Liczb naturalnych parzystych jest tyle samo co liczb naturalnych nieparzystych
70 Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Liczb naturalnych parzystych jest tyle samo co liczb naturalnych nieparzystych Konstruujemy funkcję ze zbioru P = {,, 6, } liczb parzystych w zbiór NP = {,,, } liczb nieparzystych: f (n) = n
71 Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Liczb naturalnych parzystych jest tyle samo co liczb naturalnych nieparzystych Konstruujemy funkcję ze zbioru P = {,, 6, } liczb parzystych w zbiór NP = {,,, } liczb nieparzystych: f (n) = n Ta funkcja jest wzajemnie jednoznaczna A zatem zbiory P i NP są równoliczne
72 Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Wszystkich liczb naturalnych jest tyle samo co liczb naturalnych parzystych
73 Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Wszystkich liczb naturalnych jest tyle samo co liczb naturalnych parzystych Konstruujemy funkcję ze zbioru N = {,,, } w zbiór P = {,, 6, } liczb parzystych: f (n) = n
74 Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Wszystkich liczb naturalnych jest tyle samo co liczb naturalnych parzystych Konstruujemy funkcję ze zbioru N = {,,, } w zbiór P = {,, 6, } liczb parzystych: f (n) = n Ta funkcja jest wzajemnie jednoznaczna A zatem zbiory P i N są równoliczne
75 Moc zbioru liczb wymiernych 0
76 Moc zbioru liczb wymiernych 0
77 Moc zbioru liczb wymiernych 0
78 Moc zbioru liczb wymiernych 0
79 Moc zbioru liczb wymiernych 0
80 Moc zbioru liczb wymiernych 0
81 Moc zbioru liczb wymiernych 0
82 Moc zbioru liczb wymiernych 0
83 Moc zbioru liczb wymiernych 0
84 Moc zbioru liczb wymiernych 0
85 Moc zbioru liczb wymiernych 0
86 Moc zbioru liczb wymiernych 0
87 Moc zbioru liczb wymiernych 0
88 Moc zbioru liczb wymiernych 0
89 Moc zbioru liczb wymiernych 0
90 Moc zbioru liczb wymiernych 0
91 Moc zbioru liczb wymiernych 0
92 Moc zbioru liczb wymiernych 0
93 Moc zbioru liczb wymiernych 0
94 Moc zbioru liczb wymiernych 0
95 Moc zbioru liczb wymiernych 0
96 Moc zbioru liczb wymiernych 0
97 Moc zbioru liczb wymiernych
98 Moc zbioru liczb wymiernych
99 Moc zbioru liczb wymiernych Podany schemat określa funkcję: f : N W Każdej liczbie naturalnej jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba wymierna Powyższa funkcja jest: różnowartościowa na A zatem, zbiór W liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych: W = ℵ 0
100 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny
101 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W
102 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny
103 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny
104 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny Dowód nie wprost metoda przekątniowa
105 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny Dowód nie wprost metoda przekątniowa Zakładamy, że istnieje bijekcja zbioru N w zbiór 0;
106 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny Dowód nie wprost metoda przekątniowa Zakładamy, że istnieje bijekcja zbioru N w zbiór 0; Liczby rzeczywiste z przedziału 0; można ponumerować liczbami naturalnymi
107 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny Dowód nie wprost metoda przekątniowa Zakładamy, że istnieje bijekcja zbioru N w zbiór 0; Liczby rzeczywiste z przedziału 0; można ponumerować liczbami naturalnymi Liczby niewymierne mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone, nieokresowe
108 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny Dowód nie wprost metoda przekątniowa Zakładamy, że istnieje bijekcja zbioru N w zbiór 0; Liczby rzeczywiste z przedziału 0; można ponumerować liczbami naturalnymi Liczby niewymierne mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone, nieokresowe Konstruujemy liczbę rzeczywistą, która nie ma numeru
109 Moc zbioru liczb niewymiernych Załóżmy, że ponumerowaliśmy wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału 0;, to znaczy ustawiliśmy je w pewnej kolejności, np: r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r 6 = 0,
110 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r w sposób następujący r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r 6 = 0, na n-tym miejscu po przecinku liczba r ma cyfrę, która jest równa n-tej cyfrze po przecinku liczby r n, zwiększonej o (oraz 0, jeśli na tym miejscu była cyfra 9)
111 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r w sposób następujący r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r 6 = 0,
112 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r w sposób następujący r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r 6 = 0,
113 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r w sposób następujący r = 0, 7 r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r 6 = 0,
114 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r w sposób następujący r = 0, 7 r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r 6 = 0,
115 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r w sposób następujący r = 0, 7 r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r 6 = 0,
116 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r w sposób następujący r = 0, 70 r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r = 0, r 6 = 0,
117 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70
118 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70 Liczba r różni się od każdej liczby w ciągu r n, ponieważ na n-tym miejscu po przecinku ma inną cyfrę niż r n
119 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70 Liczba r różni się od każdej liczby w ciągu r n, ponieważ na n-tym miejscu po przecinku ma inną cyfrę niż r n Liczba r leży w przedziale (0, )
120 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70 Liczba r różni się od każdej liczby w ciągu r n, ponieważ na n-tym miejscu po przecinku ma inną cyfrę niż r n Liczba r leży w przedziale (0, ) Otrzymujemy sprzeczność nie da się ponumerować wszystkich liczb rzeczywistych z przedziału (0, )
121 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70 Liczba r różni się od każdej liczby w ciągu r n, ponieważ na n-tym miejscu po przecinku ma inną cyfrę niż r n Liczba r leży w przedziale (0, ) Otrzymujemy sprzeczność nie da się ponumerować wszystkich liczb rzeczywistych z przedziału (0, ) Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału ( 0, ) jest nieprzeliczalny
122 Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70 Liczba r różni się od każdej liczby w ciągu r n, ponieważ na n-tym miejscu po przecinku ma inną cyfrę niż r n Liczba r leży w przedziale (0, ) Otrzymujemy sprzeczność nie da się ponumerować wszystkich liczb rzeczywistych z przedziału (0, ) Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału ( 0, ) jest nieprzeliczalny (0, ) = 0, }{{ W 0, }}{{ NW } przeliczalny nieprzeliczalny
123 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór (0, ) NW liczb niewymiernych z przedziału 0, jest nieprzeliczalny
124 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór (0, ) NW liczb niewymiernych z przedziału 0, jest nieprzeliczalny Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny
125 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór (0, ) NW liczb niewymiernych z przedziału 0, jest nieprzeliczalny Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny Moc zbioru R oznaczamy c (continuum)
126 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór (0, ) NW liczb niewymiernych z przedziału 0, jest nieprzeliczalny Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny Moc zbioru R oznaczamy c (continuum) NW = c
127 Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór (0, ) NW liczb niewymiernych z przedziału 0, jest nieprzeliczalny Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny Moc zbioru R oznaczamy c (continuum) NW = c Hipoteza continuum Nie istnieją zbiory nieskończone o mocy większej niż ℵ 0 i mniejszej niż c
128 Źródła Bibliografia H Steinhaus Kalejdoskop matematyczny, WSiP Warszawa 989 W Więsław Problemy z niewymiernością - stworzenie liczb rzeczywistych, M-S-N nr 9 (99) W Więsław Ułamki łańcuchowe, M-S-N nr 7 (996) rootshtml
Równoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R.
Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Liczby naturalne - to liczby całkowite, dodatnie: 1,2,3,4,5,6,... Czasami
Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę A n n a R a j f u r a, M a
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1 Liczby rzeczywiste: Uczeń otrzymuje ocenę ( jeśli rozumie i stosuje podpowiedź nauczyciela)oraz
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?
Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, (0 nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne
Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste
Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 0 nr programu DKOS-5002-7/07 I. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne. 1 Wykonalność
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA 1 Liczby rzeczywiste ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 10 2 2019 684 168 2 Dane
Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Aproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Ułamki łańcuchowe i liczby niewymierne. Ułamki łańcuchowe i liczby niewymierne
Wprowadzenie Niech x będzie liczbą niewymierną; oznaczając q 0 = x oraz {x} = x x mamy x = x + {x} = q 0 + {x} = q 0 + x, gdzie x = /(x q 0 ) będzie liczbą niewymierną, większą od (bo różnica x q 0 jest
ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3
ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY PIERWSZEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. LICZBY RZECZYWISTE DLA KLASY PIERWSZEJ 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
I V X L C D M. Przykłady liczb niewymiernych: 3; 2
1 LICZBY Liczby naturalne: 0; 1; 2; 3;.... Liczby całkowite:...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;.... Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać w postaci ułamka a b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi,
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny
Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA I 1.Liczby rzeczywiste 1. Podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz
1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć
Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015
Lista zadań nr 5 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 05 Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego
Wymagania dla kl. 1. Zakres podstawowy. podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych
Wymagania dla kl. 1 Zakres podstawowy Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej podaje przykłady
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM
Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLAS IA I IB NA ROK SZKOLNY 2014/2015
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLAS IA I IB NA ROK SZKOLNY 2014/2015 UŁAMKI ZWYKŁE I DZIESIĘTNE Rozpoznaje ułamki właściwe i niewłaściwe Rozszerza ułamek zwykły Skraca ułamek zwykły Zapisuje ułamek
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w
Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
I. LICZBY RZECZYWISTE I/1 1 Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne.
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: I 80 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI
Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie
Matematyka II - Organizacja zajęć. Egzamin w sesji letniej
Matematyka II - Organizacja zajęć Wykład (45 godz.): 30 godzin - prof. zw. dr hab. inż. Jan Węglarz poniedziałek godz.11.45 15 godzin - środa godz. 13.30 (tygodnie nieparzyste) s. A Egzamin w sesji letniej
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7
Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Wymagania z matematyki na poszczególne stopnie szkolne w klasie trzeciej gimnazjum
Wymagania z matematyki na poszczególne stopnie szkolne w klasie trzeciej gimnazjum I LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE podawanie przykładów liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i niewymiernych; porównywanie
MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania
MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,
Wymagania szczegółowe z matematyki klasa 7
Wymagania szczegółowe z matematyki klasa 7 Dział Szczegółowe wymagania Liczby całkowite (liczby dodatnie, ujemne i zero) - wyróżnia wśród liczb wymiernych liczby naturalne i całkowite oraz liczby pierwsze,
WYMAGANIA EDUKACYJNE rok szkolny 2018/2019
WYMAGANIA EDUKACYJNE rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciel uczący Poziom matematyka 1a Zuzanna Durlak rozszerzony 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia podstawowe ocena dopuszczająca ocena
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
wymagania programowe z matematyki kl. III gimnazjum
wymagania programowe z matematyki kl. III gimnazjum 1. Liczby i wyrażenia algebraiczne Zna pojęcie notacji wykładniczej. Umie zapisać liczbę w notacji wykładniczej. Umie porównywać liczy zapisane w różny
ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział
Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do
WYMAGANIA EDUKACYJNE
GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie II gimnazjum str. 1 Wymagania edukacyjne niezbędne
Kod ucznia: Wodzisław Śl., 11 kwietnia 2018r.
Kod ucznia: Wodzisław Śl., 11 kwietnia 018r. XVI POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH POD PATRONATEM STAROSTY POWIATU WODZISŁAWSKIEGO ORGANIZOWANY PRZEZ POWIATOWY OŚRODEK
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, jeśli nie opanował wiadomości i umiejętności na ocenę dopuszczającą, nie wykazuje chęci poprawy
Ułamki zwykłe i dziesiętne klasa I
Ułamki zwykłe i dziesiętne klasa I - Rozpoznaje ułamki właściwe i niewłaściwe. - Rozszerza ułamek zwykły. - Skraca ułamek zwykły. - Zapisuje ułamek niewłaściwy w postaci liczby mieszanej. - Sprowadza dwa
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 1LO i 1TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Matematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016 Dział Na ocenę dopuszczającą Na ocenę dostateczną Na ocenę dobrą POTĘGI PIERWIASTKI Uczeń: zna i rozumie pojęcie o
klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli
semestr I 2007 / 2008r. klasa I Liczby wymierne Dział Główne wymagania edukacyjne Forma Obliczenia procentowe Umiejętność rozpoznawania podzbiorów zbioru liczb wymiernych. Umiejętność przybliżania i zaokrąglania
Matematyka. - dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie pamięciowe
Matematyka KLASA IV 1. Liczby i działania - dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie pamięciowe - szacowanie wyników działań - porównywanie różnicowe i ilorazowe - rozwiązywanie równań I stopnia z
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 1a i 1n zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 1a i 1n zakres rozszerzony I Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia podstawowe. Stopień Wiadomości i umiejętności Uczeń:
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia KLASA I 1. Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne 1) Liczby naturalne, cechy podzielności stosuje cechy podzielności liczby przez 2, 3,
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać
Klasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI MATEMATYKA WOKÓŁ NAS NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE klasa 1 gimnazjum I.UŁAMKI ZWYKŁE I DZESIĘTNE
WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI MATEMATYKA WOKÓŁ NAS NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE klasa 1 gimnazjum I.UŁAMKI ZWYKŁE I DZESIĘTNE Rozpoznaje ułamki właściwe i niewłaściwe. Rozszerza ułamek zwykły. Skraca
ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU
Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne
Bukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
DZIAŁ II: PIERWIASTKI
Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z przedmiotu matematyka w II klasie gimnazjum w roku szkolnym 2016/2017 Wymagania edukacyjne dostosowane do obowiązującej
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
LISTA 5. C++ PETLE for, while, do while
WSTEP DO INFORMATYKI I PROGRAMOWANIA LISTA 5. C++ PETLE for, while, do while Zadanie. Przeanalizuj działanie poniższego programu. cout
Funkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
PLAN WYNIKOWY NAUCZANIA MATEMATYKI W LICEUM PLASTYCZNYM ZAKRES PODSTAWOWY 2017/2018
PLAN WYNIKOWY NAUCZANIA MATEMATYKI W LICEUM PLASTYCZNYM ZAKRES PODSTAWOWY 2017/2018 Wstęp Plan wynikowy kształcenia matematycznego jest opracowany na podstawie programu nauczania matematyki w liceach i
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2016/2017 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2) P podstawowy - ocena dostateczna (3) R rozszerzający -
Plan wynikowy z rozkładem materiału
Plan wynikowy z rozkładem materiału Plan wynikowy oraz rozkład materiału nauczania są indywidualnymi dokumentami nauczycielskimi związanymi z realizowanym programem nauczania. Uwzględniają specyfikę danej
Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02
Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa I Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. Liczby naturalne definicja dzielnika
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne śródroczne oceny klasyfikacyjne dla klasy VII w roku 2019/2020.
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne śródroczne oceny klasyfikacyjne dla klasy VII w roku 2019/2020. Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia wymagań edukacyjnych niezbędynych
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Wymagania i umiejętności ucznia na ocenę dopuszczającą: Rozpoznaje ułamki właściwe i niewłaściwe. Rozszerza ułamek zwykły. Skraca ułamek
Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych dla klasy 1b P R O C E N T Y
U Ł A M K I Z W Y K ŁE I D Z I E S I Ę T N E Rozpoznaje ułamki właściwe i niewłaściwe. Rozszerza ułamek zwykły. Skraca ułamek zwykły. Zapisuje ułamek niewłaściwy w postaci liczby mieszanej. Sprowadza dwa
Określenie wymagań edukacyjnych z matematyki w klasie II
Określenie wymagań edukacyjnych z matematyki w klasie II Potęgi Na ocenę dopuszczającą uczeń : Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym, zna wzory na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych