Teoria liczb. Wykład nr 1: Podzielność i algorytm Euklidesa Semestr letni 2018/2019

Transkrypt

1 Teoria liczb Wykład nr 1: Podzielność i algorytm Euklidesa Semestr letni 2018/2019 matpz@mat.ug.edu.pl

2 Wykłady ustalenia Podręczniki: W.M. & P.Z. Elementarna teoria liczb, PWN 2006 Hua Loo Keng Introduction to Number Theory, Springer 1982 Song Y. Yan Teoria liczb w informatyce, PWN 2006 Egzamin pisemny (teoria + zadania), a następnie ewentualnie ustny. Nieobecności (im więcej, tym mniej wyboru na egzaminie).

3

4 Rzut oka na historię TL Kość Ishango, odnaleziona w Kongo w latach 60-tych dwudziestego wieku (wygląd tej kości z dwóch stron przedstawiono na poniższej fotografii; kość strzałkowa pawiana, teraz w Muzeum Nauki w Brukseli). Liczby nacięć w poszczególnych grupach to m.in. liczby 11, 13, 17 i 19.

5 Rzut oka na historię TL Pitagoras (VI-V w.p.n.e.)

6 Rzut oka na historię TL Euklides (około 325 p.n.e. - około 265 p.n.e.)

7 Rzut oka na historię TL Diofantos (około około 284) Główne dzieło "Arytmetyka", składające się z 13 ksiąg, zachowało się tylko sześć. Diofantos rozwiązuje w nich równania do trzeciego stopnia włącznie, w zakresie szerszym niż Babilończycy, wprowadzając również więcej niewiadomych, które oznacza specjalnymi literami. Posługuje się już symbolem odejmowania i na szeroką skalę stosuje skróty słowne dla poszczególnych określeń i działań. W ten sposób jest autorem pierwszego, co prawda jeszcze niedoskonałego, języka algebraicznego. U Diofantosa znajdujemy również pierwsze ślady liczb ujemnych. Tu jest grobowiec, w którym złożono prochy Diofantosa. Przez jedną szóstą jego życia Bóg obdarzył go młodością, przez dalszą, dwunastą część życia jego policzki były pokryte brodą. Po siódmej dalszej części życia doświadczył szczęścia małżeńskiego, w którego piątym roku został ojcem syna. Nieszczęśliwie syn żył tylko połowę lat ojca, który pozostał w smutku przez cztery ostatnie lata swego życia. Przechodniu, oblicz długość jego życia!

8 Rzut oka na historię TL Sun Zi (około III wiek) Mistrza Suna matematyczny podręcznik chińskie twierdzenie o resztach

9 Twierdzenia z wykładu

10 Definicje i twierdzenia z wykładu Twierdzenie 1 (o dzieleniu z resztą; P: tw. 2.1). Definicja i własności relacji podzielności. Definicja NWD. (GCD) Twierdzenie 2 (P: tw. 2.6). Definicja liczb względnie pierwszych. (coprime numbers) Wnioski z tw.2: a c, b c, (a, b) = 1 ab c; a bc, (a, b) = 1 a c Opis algorytmu Euklidesa i uzasadnienie jego poprawności. Przykład: (12378,3054) =?,? = x y

11 Przykład (12378,3054) =? = = = = = = (12378,3054) = 6 6 = = 24 ( ) = = 6 ( ) 138 = = ( ) = = 132 ( ) = (-535) 3054

12 Kilka uwag o NWD W definicji NWD zamiast warunku c można wziąć warunek c a c b c d c a c b c d c NWD N N N działanie dwuargumentowe NWD jest łączne; NWD a, b, c = NWD(NWD a, b, c)

13 Gra nr 1

14 Gra nr 2: EUKLIDES Wybieramy dwie startowe różne liczby naturalne. (np. 13 i 5) Gracz rozpoczynający grę (A) od większej liczby startowej odejmuje niezerową wielokrotność liczby mniejszej, tak aby otrzymana różnica była nieujemna = 8 Gracz B (grający jako drugi) rozpatruje nową parę (w przykładzie 8 i 5) i od większej liczby odejmuje niezerową wielokrotność liczby mniejszej, tak aby otrzymana różnica była nieujemna. (8 5 1 = 3) Gracze A i B na zmianę wykonują swoje ruchy. Wygrywa ten, kto otrzyma różnicę równą 0.

15 Wizualizacja gry EUKLIDES Start: (13,5)

16 Zadania do egzaminu Dana jest liczba naturalna i liczba naturalna k nieparzysta. Udowodnij, że suma k-tych potęg wszystkich liczb naturalnych mniejszych od n, względnie pierwszych z n dzieli się przez n. Liczbę n nazywamy ambitną, jeśli dla każdej liczby naturalnej a liczba a n (dopisanie do liczby n z lewej strony liczby a) jest podzielna przez n. Znajdź wszystkie liczby ambitne. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi podzielność: n 2 n + 1 n 1.