Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Transkrypt

1 Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl

2 Hipotezy i Testy statystyczne Każde badanie naukowe rozpoczyna się od sformułowania problemu oraz najbardziej prawdopodobnego rozwiązania czyli hipotezy badawczej, bądź wielu hipotez. Każda hipoteza statystyczna jest podzbiorem ( jedno lub wieloelementowym ) zbioru hipotez dopuszczalnych. Każda hipoteza jest zdaniem oznajmującym, powinna być tak sformułowana, by można ją ocenić i przyjąć lub odrzucić. Test statystyczny jest regułą postępowania, która każdej możliwej próbie przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub odrzucenia konkretnej hipotezy rozstrzygającą jakie wyniki próby pozwalają uznać sprawdzaną hipotezę za prawdziwą a jakie za fałszywą.

3 Hipotezy statystyczne Hipoteza zerowa i hipotezy alternatywne Hipoteza zerowa jest jedną wyróżnioną hipotezą, która podlega weryfikacji, pozostałe hipotezy ze zbioru hipotez dopuszczalnych stanowią zbiór hipotez alternatywnych. Hipotezie zerowej przypisujemy inną wagę niż hipotezie alternatywnej. Za hipotezę zerową przyjmuje się tę, której prawdziwość poddajemy w wątpliwość. Do weryfikacji hipotezy zerowej stosuje się testy statystyczne bazujące na funkcjach testowych, określających zmienne losowe, których rozkłady są znane. Zabieg posługiwania się zmienną losową o znanym rozkładzie odniesienia jest wspólny dla wszystkich zadań budowy przedziałów ufności i dla problemu testowania hipotez.

4 Proces weryfikacji hipotez statystycznych jest wieloetapowy 1. Sformułowanie hipotez H 0 i H 1 2. Przyjęcie odpowiedniego poziomu istotności α oraz liczebności próby 3. Określenie obszaru krytycznego i obszaru przyjęcia sprawdzanej hipotezy H 0 4. Wybór testu weryfikującego H 0 i wyliczenie wartości funkcji testowej 5. Podjęcie decyzji weryfikacyjnej

5 Rodzaje hipotez statystycznych Hipotezy statystyczne mogą dotyczyć: wartości analizowanych zmiennych: np. wartości średniej, wartości ekstremalnych ( mim, max); rozproszenia wartości, jednorodności (wariancji); różnicy pomiędzy wartościami określonej cechy w różnych grupach badawczych (różnych populacjach); siły i kierunku zależności pomiędzy badanymi zmiennymi (korelacja); rodzaju badanych zależności np zależność logarytmiczna, wykładnicza, liniowa (regresja) oceny charakteru rozkładu zmiennej losowej - dopasowanie rozkładu teoretycznego do rozkładu empirycznego

6 1. Formułowanie hipotez H 0 i H 1 H 0 :µ 1 = µ 2 ; H1: µ 1 µ 2 lub H 0 :µ 1 = µ 2 ; H1: µ 1 >µ 2 albo H 0 :σ 2 1 =σ 2 2 H1: σ 2 1 σ 2 2

7 Hipotezy dotyczące siły i kierunku zależności pomiędzy badanymi zmiennymi (korelacja);

8 Hipotezy dotyczące rodzaju zależności pomiędzy badanymi zmiennymi

9 Hipoteza dotycząca zgodności rozkładu w populacji z rozkładem normalnym

10 Formułowanie hipotez w parametrycznych testach istotności Testy dla wartości średniej w rodzinie rozkładów normalnych przypadek znanej wariancji Hipoteza sprawdzana (zerowa) dotyczy określonego parametru, np wartości oczekiwanej m: H 0 : m=m 0 przy jednej z hipotez alternatywnych: H 1 : m m 0 lub H 1 :m>m 0 lub H 1 : m<m 0 HipotezaH 0 : o równości średnich z n - elementowej próby i w populacjibędzie zweryfikowana na podstawie wyników próby losowej.

11 Formułowanie hipotez w parametrycznych testach istotności Pracujemy nad nową technologią produkcji określonego stopu, zapewniającą niższy średni poziom zanieczyszczeń niż w dotychczas stosowanej, w której średni poziom zanieczyszczeń wynosił µ 0 H 0 :µ = µ 0 ; H 1 : µ < µ 0 Hipotezę H 0 przyjmujemy albo odrzucamy na rzecz H 1. Nieodrzucenie (przyjęcie) hipotezy zerowej nie dowodzi jej prawdziwości, wynika jedynie z braku podstaw do jej odrzucenia Hipoteza H 1 jest w pewnym sensie ważniejsza, ponieważ test wykonujemy po to, by znaleźć podstawę do odrzucenia hipotezy zerowej i przyjęcia hipotezy alternatywnej. Hipoteza zerowa jest hipotezą prostą, bowiem jednoznacznie wyznacza rozkład prawdopodobieństwa, z którego jest losowana próba losowa. Hipotezą złożoną jest ta, która opisuje więcej niż jeden rozkład, w naszym przypadku jest to hipoteza alternatywna

12 Intuicyjna interpretacja hipotezy zerowej i alternatywnej Nasze postępowanie przypomina zachowanie prokuratora, w sytuacji gdy Sąd musi opierać się na domniemaniu niewinności podsądnego (hipoteza zerowa) Prokuratura skupia się na uzasadnieniu fałszywości tego domniemania i odrzucenia go na korzyść orzeczenia winy podsądnego ( hipotezy alternatywnej)

13 2. Przyjęcie odpowiedniego poziomu istotności α oraz liczebności próby Przy podejmowaniu decyzji weryfikującej hipotezy możemy popełnić dwa rodzaje błędów Decyzja odrzucić nie odrzucić Hipoteza H 0 prawdziwa fałszywa błąd I rodzaju decyzja trafna α 1-β decyzja trafna błąd II rodzaju 1-α β

14 Przykład H 0 - oskarżony jest niewinny H 1 - oskarżony jest winien Błąd I rodzaju : sąd skazał niewinnego: H 0 prawdziwa, ale ją odrzucono Błąd II rodzaju: sąd uwolnił winnego: H 1 prawdziwa, a przyjęto H 0, Tu błąd I rodzaju jest znacznie bardziej dotkliwy, dlatego należy zminimalizować prawdopodobieństwo jego popełnienia (czyli dostarczyć niezbitych dowodów)

15 Związek pomiędzy błędami I i II rodzaju: H 0 : µ=m 0 H 1 : µ >m 0 Przy przyjętym poziomie istotności α, obszar krytyczny obejmuje wartości średnie A, gdy P (x A)= α Dla określenia obszaru β przyjmiemy następujący zestaw hipotez H 0 : µ=m 0 H 1 : µ = m 1 >m 0 H 0 : µ=m 0 H 1 : µ=m 1 β α zmniejszanie wartości α pociąga wzrost wartości β

16 Błąd II rodzaju i moc testu Z przedstawionego rysunku widać, że nie jest możliwe jednoczesne minimalizowanie prawdopodobieństwa popełnienia obu błędów. Z wartością β związana jest moc testu, która jest określana jako prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowej, gdy jest ona fałszywa, czyli wynosi 1- β. Moc testu zależy od poziomu istotności α, a także od postaci hipotezy alternatywnej i liczebności próby W statystyce praktycznie postępuje się podobnie jak w sądzie przyjmując zasadę domniemania prawdziwości hipotezy zerowej, co oznacza, że chcemy aby błąd I rodzaju nie często miał miejsce. Określając poziom istotności określamy granicę błędu I rodzaju, pamiętając że przyjmując niższą wartość α uzyskujemy wyższą wiarygodność hipotezy alternatywnej (jej przyjęcie jest jakby mocniej uzasadnione), ale wtedy trudniej odrzucić hipotezę zerową.

17 3. Określenie obszaru krytycznego i obszaru przyjęcia sprawdzanej hipotezy H 0 Obszar krytyczny wyznacza jedno z następujących równań P( U u ) 1-α/2 = α dwustronny obszar krytyczny P(U u 1-α ) = α prawostronny obszar krytyczny P(U -u α ) = α lewostronny obszar krytyczny Jeśli prawdziwa jest hipoteza zerowa, to wartość statystyki U nie powinna przekraczać pewnej wartości krytycznej u α α oznacza obszar zbiór nietypowych wartości statystyki testowej pod warunkiem prawdziwości hipotezy zerowej

18 H 0 : m=m 0 H 1 : m<m 0 P(U u α ) = α lewostronny obszar krytyczny α u α 0

19 H 0 : m=m 0 H 1 : m>m 0 P(U u α ) = α prawostronny obszar krytyczny 1- α 0 u 1-α α

20 H 0 : m=m 0 H 1 : m m 0 P ( U u 1-α/2 ) = α dwustronny obszar krytyczny 1- α α/2 α/2 0 u 1- α/2

21 4. Wybór testu weryfikującego H 0 i wyliczenie statystyki testowej Rozważamy rozkład średnich z n - elementowej próby, jest to n rozkład N(m 0, σ/ ), o ile hipoteza H 0 jest prawdziwa Stąd statystyka U, określona wzorem U = x m σ o n ma rozkład N (0,1), Jeśli prawdziwa jest hipoteza zerowa, to obliczona z próby wartość statystyki U nie powinna przekraczać wartości krytycznej u α (kwantyla u α )

22 Funkcje testowe dla dużej próby i dla małej, gdy nieznana jest wartość wariancji w populacji Duża próba, wylosowana z populacji o rozkładzie N (m, σ) U = x s m o n Mała próba, wylosowana z populacji o rozkładzie N (m, σ) wtedy U, określone funkcją testową, jest zmienną losową o rozkładzie N(0;1) t x mo = n s 1 wtedy zmienna losowa t, określona wzorem ma rozkład Studenta o n-1 stopniach swobody, który jest niezależny od wartości wariancji w populacji

23 Inne funkcje testowe, określające zmienne o rozkładzie Studenta Jeśli z populacji mających taki sam rozkład normalny wylosujemy dwie próby o liczebnościach odpowiednio n 1 i n 2, średnich arytmetycznych x 1 i x 2 oraz wariancjach s 12 i s 22, obliczonych z próby, to zmienna t t x x = ( n n 2 2 n1s1 + n 2 s n n 2 n n 2 ) ma rozkład Studenta o n 1 +n 2-2 stopniach swobody Podobnie rozkład Studenta mają funkcje stosowane do testowania hipotezy o niezależności zmiennych (że współczynnik korelacji ρ =0), i funkcje do testowania istotności współczynników regresji: (H 0 : a i =0).

24 Przykład realizowany z pomocą pakietu STATISTICA Dane z badań przeprowadzonych w 1996 roku dotyczące zarobków Polaków. Ankiety wysłano do 5000 pracowników wylosowanych przez GUS. Ankiety zwróciło 1255 osób. Arkusz zawiera następujące informacje o badanych osobach Płeć Wykształcenie Wiek Staż pracy Płaca brutto Stawiam pod wątpliwość twierdzenie, że płeć nie ma wpływu na wysokość zarobków w Polsce, jeśli by tak było to nie powinno być różnic pomiędzy średnimi wartościami zarobków kobiet i mężczyzn. Hipotezą zerową jest zdanie: Zarobki mężczyzn i kobiet nie różnią się H 0 : m 1 =m 2 przy hipotezie alternatywnej H 1 : m 1 m 2,

25 Obliczenia w programie Statistica

26 Podstawa do podjęcia decyzji weryfikacyjnej Jeżeli obliczona wartość funkcji testowej znajdzie się w obszarze krytycznym hipotezę H 0 należy odrzucić co jest równoważne z przyjęciem hipotezy H 1 W programach komputerowych decyzję podejmuje się na podstawie obliczonej wartości prawdopodobieństwa p jeśli p< α H 0 odrzucamy, przyjmujemy H 1 jeśli p α nie ma podstaw do odrzucenia H 0 A α

27 Weryfikacja hipotezy o wariancji w rozkładzie normalnym H 0 : (σ 2 σ 2 0 ) przy H 1 : (σ 2 > σ 2 0 ) Przyjmujemy poziom istotności α ns σ 2 n 2 i wiemy, że statystyka ma rozkład chi-kwadrat o 0 n-1 stopniach swobody. Skoro, gdy H 0 jest prawdziwa, zachodzi równość, P ( ns σ Zatem hipotezę H 0 odrzucamy, na rzecz H 1, ilekroć stwierdzimy (na podstawie obliczeń), że zaszła nierówność ns σ 2 n n > χ ) α = > χ α 2 α

28 Weryfikacja hipotezy o wariancji w rozkładzie normalnym Błąd pomiaru odległości za pomocą radaru ma rozkład normalny. Przeprowadzono 10 pomiarów tej samej znanej odległości i otrzymano następujące wartości błędów k s k [km] 0,115-0,250 0,180-0,060-0,120 0,010-0,050 0,075-0,150-0,250 suma błędów -0,500 średni błąd -0,050 wariancja błędów 0,0216 Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że wariancja błędu nie przekracza 0,0125. Odczytane z tablic chi kwadrat dla n-1=9 stopni swobody =16,919 Obliczam wartość funkcji testowej ns σ 2 n 2 0 = 10 * 0,0216 0,0125 = 17,276 > 16,919 H 0 należy odrzucić

29 Tablice rozkładu χ 2 poziom istotności 0,99 0,95 0,9 0,1 0,05 0,01 l.ss 1 0,000 0,004 0,016 2,706 3,841 6, ,020 0,103 0,211 4,605 5,991 9, ,115 0,352 0,584 6,251 7,815 11, ,297 0,711 1,064 7,779 9,488 13, ,554 1,145 1,610 9,236 11,070 15, ,872 1,635 2,204 10,645 12,592 16, ,239 2,167 2,833 12,017 14,067 18, ,646 2,733 3,490 13,362 15,507 20, ,088 3,325 4,168 14,684 16,919 21, ,558 3,940 4,865 15,987 18,307 23, ,053 4,575 5,578 17,275 19,675 24, ,571 5,226 6,304 18,549 21,026 26, ,107 5,892 7,042 19,812 22,362 27, ,660 6,571 7,790 21,064 23,685 29, ,229 7,261 8,547 22,307 24,996 30,578

30 Etapy wnioskowania statystycznego obliczenia własne 1. postawienie hipotezy zerowej 2. wybór testu i sprawdzenie spełnienia założeń 3. obliczenie wartości funkcji testowej 4. ustalenie (odczytanie z tablic) wartości krytycznych dla danego poziomu istotności 5. podjęcie decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy H 0 6. interpretacja otrzymanych wyników z użyciem pakietu STATISTICA 1. postawienie hipotezy zerowej 2. wybór testu i sprawdzenie spełnienia założeń 3. wprowadzenie danych 4. podjęcie decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy H 0 5. interpretacja otrzymanych wyników