EKONOMETRIA prowadzący: Piotr Piwowarski
|
|
- Barbara Szczepaniak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 EKONOMETRIA prowadzący: Piotr Piwowarski
2 Termin konsultacji: poniedziałek 13:15 14:45 wtorek 13:15 14:45 pokój 1101/1102 jedenaste piętro strona internetowa: serwisy.umcs.lublin.pl/piotr.piwowarski
3 Zaliczenie ćwiczeń: 2 kolokwia 3-4 zadania otwarte do rozwiązania można mieć do dyspozycji wzory i kalkulator
4 Zakres realizowanego materiału: 1. Dobór zmiennych objaśniających do modelu liniowego metoda analizy macierzy współczynników korelacji, metoda wskaźników pojemności informacyjnej, korelacja wieloraka; 2. Szacowanie parametrów modeli liniowych klasyczną metodą najmniejszych kwadratów, weryfikacja modeli liniowych; 3. Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych, estymacja parametrów modeli; 4. Testy istotności składnika losowego; 5. Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów; 6. Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych; 7. Modele wielorównaniowe;
5 BIBLIOGRAFIA: Nowak E., Zarys metod ekonometrii. Zbiór zadań, PWN, Warszawa 2007; Podgórska M., Ekonometria, SGH, Warszawa 2008; Kukuła K., Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2007; Sobczyk M., Statystyka Matematyczna, C.H. Beck, 2010.
6 Dobór zmiennych objaśniających do modelu liniowego
7 Procedura doboru zmiennych objaśniających: 1. Na podstawie posiadanej wiedzy sporządzenie zestawu tzw. potencjalnych zmiennych objaśniających, którymi są wszystkie najważniejsze wielkości oddziałujące na zmienną objaśnianą. 2. Zebranie danych statystycznych będących realizacjami zmiennej objaśnianej i potencjalnych zmiennych objaśniających. Otrzymuje się wektor y obserwacji zmiennej objaśnianej i macierz X obserwacji zmiennych objaśniających. 3. Eliminacja potencjalnych zmiennych objaśniających odznaczających się zbyt niskim poziomem zmienności. 4. Obliczenie współczynnika korelacji pomiędzy wszystkimi rozpatrywanymi zmiennymi. 5. Przeprowadzenie redukcji zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających za pomocą wybranej metody statystycznej.
8 Eliminacja potencjalnych zmiennych objaśniających odznaczających się zbyt niskim poziomem zmienności Miarą poziomu zmienności jest współczynnik zmienności: v i = S i x i gdzie x i - średnia arytmetyczna zmiennej X i ; S i - odchylenie standardowe zmiennej X i ; n x ti, t=1 x i = n = n x ti x i 2 t=1 S i n. Należy wybrać krytyczną wartość v *. Zmienne spełniające nierówność v i v *, uznaje się za zmienne o niskim poziomie zmienności i eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających.
9 Przykład: Lata Produkcja (Y) Zatrudnienie (X 1 ) Wartość maszyn (X 2 ) Czas przestoju (X 3 ) Nakłady inwestycyjne (X 4 ) Przy założonej wartości krytycznej v * = 0,15 sprawdzić czy potencjalne zmienne objaśniające odznaczają się odpowiednio wysoką zmiennością
10 Należy w pierwszej kolejności obliczyć średnią dla każdej zmiennej objaśniającej: x 1 =10, x 2 =12, x 3 =20, x 4 =12. Lata x t1 -x 1 x t2 -x 2 x t3 -x 3 x t4 -x 4 (x t1 -x 1 ) 2 (x t2 -x 2 ) 2 (x t3 -x 3 ) 2 (x t4 -x 4 ) Σ
11 Odchylenia standardowe każdej ze zmiennych: S 1= =2,530, S 2= =3,688, S 3= 192 = 10 =4,382, S =1,265 Współczynniki zmienności przyjmują następujące wartości: v 1 = 2, =0,253, v 2 = 3, =0,307, v 3 = 4, =0,219, v 4 = 1, =0,105 Współczynnik zmienności dla zmiennej X 4 jest mniejszy od przyjętej wartości krytycznej w związku z tym odrzucamy ją ze zbioru potencjalnych zmiennych.
12 Zadanie 1. Dane są następujące obserwacje zmiennych X 1, X 2, X 3 : t x t x t2 4 4,1 4 4,1 4,1 4 x t Przy krytycznej wartości współczynnika zmienności 0,10 ocenić przydatności poszczególnych zmiennych ze względu na stopień zróżnicowania ich wartości.
13 Obliczenie współczynnika korelacji pomiędzy wszystkimi rozpatrywanymi zmiennymi Do oceny siły zależności pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi oblicza się współczynnik korelacji: r i = n y t y x ti x i t=1 n n y t y 2 x ti x i 2 t=1 t=1 Współczynniki te przedstawiane są w postaci wektora korelacji: R 0 =[r1 r 2.. r m]
14 Do oceny siły zależności pomiędzy zmiennymi objaśniającymi oblicza się współczynniki korelacji według wzoru: r ij = n t=1 n x ti x i x tj x j t=1 n x ti x i 2 x tj x j 2 t=1 Współczynniki te przedstawiane są w postaci macierzy korelacji: r 12 r 1m R=[1 r 21 1 r 2m 1] r m1 r m2
15 Zadanie 2. Na podstawie następujących danych dla zmiennej objaśnianej Y oraz zmiennych objaśniających X 1, X 2 : t y t 2 2,1 2,5 2,7 3,2 x t x t2 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 obliczyć współczynniki korelacji zmiennej Y ze zmiennymi X 1, X 2 oraz zmiennej X 1 ze zmienną X 2.
16 Przeprowadzenie redukcji zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających za pomocą wybranej metody statystycznej Metoda analizy macierzy współczynników korelacji sprowadza się do wyboru takich zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i zarazem słabo skorelowane między sobą. Dla zadanego poziomu istotności γ oraz dla n-2 stopni swobody wyznacza się krytyczną wartość współczynnika korelacji: I * 2 r *= I * 2 n 2 gdzie I * - wartość statystyki odczytanej z tablicy t-studenta dla danego γ oraz dla n-2 stopni swobody. (krytyczna wartość r * może również być z góry podana przez badacza)
17 Procedura doboru zmiennych jest następująca: 1. Ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się te zmienne, dla których prawdziwa jest nierówność: r i r * ponieważ są to zmienne za słabo skorelowane ze zmienną objaśnianą; 2. Z pozostałych zmiennych wybiera się taką zmienną objaśniającą X h dla, której: r h = max { r i i } 3. Ze zbioru pozostałych potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się te zmienne, dla których: r hi r * ponieważ są to zmienne zbyt silnie skorelowane ze zmienną objaśniającą X h. Kroki 2 i 3 kontynuuje się aż do wyczerpania zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających.
18 Przykład: Dla podanej macierzy i wektora współczynników korelacji obliczonych na podstawie danych dla 28 lat wybrać zmienne objaśniające do liniowego modelu ekonometrycznego. 0,06 0,08 R 0 =[ 0,59 ] 1,00 0,09 0,35 0,17 0,62 0,40 0,16 0,55 0,13 0,54, 0,15 0,10 R=[ ] 0,09 1,00 0,06 0,38 0,00 0,15 0,22 0,11 0,35 0,06 1,00 0,33 0,11 0,20 0,45 0,02 0,17 0,38 0,33 1,00 0,20 0,07 0,44 0,07 0,62 0,00 0,11 0,20 1,00 0,22 0,17 0,11 0,40 0,15 0,20 0,07 0,22 1,00 0,19 0,47 0,16 0,22 0,45 0,44 0,17 0,19 1,00 0,05 0,72 0,55 0,11 0,02 0,07 0,11 0,47 0,05 1,00 γ = 0,10. Z tablic testu t-studenta dla założonego poziomu istotności i n-2=26 I * = 1,706 zatem: r *= 1, , =0,318
19 Najpierw ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminujemy te zmienne, które są słabiej skorelowane ze zmienną objaśnianą niż 0,318. Są to zmienne X 2,X 3,X 4,X 6,X 7. Teraz wybieramy zmienną najsilniej skorelowaną ze zmienną objaśnianą jest to X 8, na koniec eliminujemy wszystkie z pozostałych zmiennych zbyt silnie skorelowane ze zmienną X 8, w tym przypadku jest to zmienne X 1. Powtarzamy 2 i 3 krok jedyną potencjalną zmienną, która pozostała jest jeszcze tylko zmienna X 5, więc ją obok zmiennej X 8 bierzemy do modelu.
20 Zadanie 3. Dla podanej macierzy i wektora współczynników korelacji obliczonych na podstawie danych dla 25 zakładów wybrać zmienne objaśniające do liniowego modelu ekonometrycznego, przy poziomie istotności γ= 0,05. =[ 0,43 R 0 ] 0,53 0,28 0,54 0,58 0,04 0,59, R=[ 1,00 0,40 0,25 0,26 0,49 0,28 0,08 0,40 1,00 0,74 0,62 0,84 0,31 0,62 0,25 0,74 1,00 0,53 0,64 0,14 0,41 0,26 0,62 0,53 1,00 0,69 0,16 0,43 0,49 0,84 0,64 0,69 1,00 0,13 0,55 0,28 0,31 0,14 0,16 0,13 1,00 0,03 0,08 0,62 0,41 0,43 0,55 0,03 1,00]
21 Zadanie 4. Dla podanej macierzy i wektora współczynników korelacji obliczonych na podstawie danych dla 15 lat wybrać zmienne objaśniające do liniowego modelu ekonometrycznego, przy poziomie istotności γ= 0,05. 0,82 0,57 0,90 0,93 0,37 0,29 0,47 0,72 0,82 1,00 0,51 0,74 0,21 0,44 0,60 0,53 0,97 0,57 0,51 1,00 0,19 0,13 0,79 0,56 0,24 R 0 =[0,90 0,88 0,37, R=[1,00 0,90 0,74 0,19 1,00 0,89 0,23 0,41 0,82 0,93 0,21 0,13 0,89 1,00 0,48 0,38 0,77 0,91 0,37 0,44 0,79 0,23 0,48 1,00 0,64 0,35 0,72 0,29 0,60 0,56 0,41 0,38 0,64 1,00 0,58 0,48] 0,47 0,53 0,24 0,82 0,77 0,35 0,58 1,00]
22 Metoda wskaźników pojemności informacyjnej polega na takim doborze zmiennych objaśniających, żeby były silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą, a jednocześnie słabo skorelowane pomiędzy sobą. Rozpatruje się wszystkie kombinacje zmiennych objaśniających: L = 2 m -1 Dla każdej z tych L kombinacji oblicza się wskaźniki pojemności informacyjnej: indywidualne i integralne.
23 Indywidualne wskaźniki pojemności informacyjnej: h lj = r j 2 m l 1 r, (l = 1, 2,, L, j = 1, 2,, m ij l) i=1 i j Integralne wskaźniki pojemności informacyjnej: H l = j=1 m l h lj, (l = 1, 2,, L) Indywidualne i integralne wskaźniki pojemności informacyjnej są unormowane w przedziale [0; 1]. Przyjmują one większe wartości gdy zmienne objaśniające są silniej skorelowane ze zmienną objaśnianą i słabiej skorelowane pomiędzy sobą. Jako zmienne objaśniające należy wybrać taką kombinację, w której wartość wskaźnika integralnej pojemności informacyjnej jest największa.
24 Przykład: Podany jest wektor i macierz współczynników korelacji: R 0 =[ 0,43 ] 0,80 0,18 0,63, R=[ 1 0,64 0,14 0,41 ] 0,64 1 0,13 0,55 0,14 0,13 1 0,03 0,41 0,55 0,03 1 Za pomocą metody wskaźników pojemności informacyjnej wybrać zmienne objaśniające.
25 Ponieważ są cztery zmienne objaśniające należy rozpatrzeć L = 15 kombinacji tych zmiennych: C 1 = (X 1 ), C 5 = (X 1, X 2 ), C 11 = (X 1, X 2, X 3 ), C 2 = (X 2 ), C 6 = (X 1, X 3 ), C 12 = (X 1, X 2, X 4 ), C 3 = (X 3 ), C 7 = (X 1, X 4 ), C 13 = (X 1, X 3, X 4 ), C 4 = (X 4 ), C 8 = (X 2, X 3 ), C 14 = (X 2, X 3, X 4 ), C 9 = (X 2, X 4 ), C 15 = (X 1, X 2, X 3, X 4 ). C 10 = (X 3, X 4 ), I tak dla kombinacji jednoelementowych: H 1 = h 11 = r 1 2 = (0,43) 2 = 0,185 H 2 = h 22 = r 2 2 = (-0,80) 2 = 0,640 H 3 = h 33 = r 32 = (0,18) 2 = 0,032 H 4 = h 44 = r 42 = (0,63) 2 = 0,370
26 Dla kombinacji dwuelementowych wskaźnik integralny jest sumą dwóch wskaźników indywidualnych: 2 H 5 =h 51 h 52 = r 1 1 r 12 r 2 1 r 21 =0,113 0,390=0,503 2 H 6 =h 61 h 62 =0,162 0,028=0,190 H 7 =h 71 h 74 =0,131 0,281=0,412 H 8 =h 82 h 83 =0,566 0,029=0,595 H 9 =h 92 h 94 =0,413 0,255=0,668 H 10 =h 10,3 h 10,4 =0,031 0,385=0,416 Dla kombinacji trójelementowych wskaźnik integralny jest sumą trzech wskaźników indywidualnych: r H 11 =h 11,1 h 11,2 h 11,3 = 1 r 12 r 13 r 2 1 r 21 r 23 r 3 1 r 31 r 32 =0,104 0,362 0,026=0,492 H 12 =h 12,1 h 12,2 h 12,4 =0,090 0,292 0,202=0,584 H 13 =h 13,1 h 13,3 h 13,4 =0,119 0,028 0,276=0,423 H 14 =h 14,2 h 14,3 h 14,4 =0,381 0,028 0,251=0,660 Dla ostatnie kombinacji wskaźnik integralny jest sumą czterech wskaźników indywidualnych: r 1 2 H 15 =h 15,1 h 15,2 h 15,3 h 15,4 = 1 r 12 r 13 r 14 r 2 1 r 21 r 23 r 24 r 3 1 r 31 r 32 r 34 r 4 1 r 41 r 42 r 43 =0,
27 Maksymalna wartość wskaźnika integralnej pojemności informacyjnej wynosi 0,668 i dotyczy kombinacji C 9, do której należą zmienne X 2 i X 4. Oznacza to, iż w modelu liniowym opisującym zmienną objaśnianą Y zmiennymi objaśniającymi będą powyższe zmienne. Model będzie miał postać: Y =α 0 α 1 X 2 α 2 X 4 ε.
28 Zadanie 5. Wektor współczynników korelacji pomiędzy zmienną Y i zmiennymi X 1, X 2, X 3 oraz macierz współczynników korelacji między zmiennymi X 1, X 2, X 3 przedstawiają się następująco: R 0 =[ 0,01 0,76 0,89], R= [ 1 0,05 0,01 ] 0,05 1 0,80 0,01 0,80 1 Stosując metodę wskaźników pojemności informacyjnej wybrać zmienne objaśniające do modelu. Zadanie 6. Współczynniki korelacji pomiędzy zmiennymi Y, X 1, X 2 wynoszą: r 1 = -0,8, r 2 = -0,7, r 12 = 0,6 Za pomocą wskaźnika pojemności informacyjnej wybrać zmienne objaśniające modelu.
29 Zadanie 7. Współczynnik korelacji między zmienną Y i zmiennymi X 1, X 2 wynoszą: r 1 = 0,6, r 2 = 0,3. Wskaźnik integralnej pojemności informacyjnej kombinacji C 3 = (X 1, X 2 ) wynosi: H 3 = 0,3. Ile wynosi współczynnik korelacji między zmiennymi X 1 i X 2?
30 Współczynnik korelacji wielorakiej mierzy siłę związku liniowego zmiennej objaśnianej Y ze zmiennymi objaśnianymi X 1, X 2,, X k. Współczynnik ten zdefiniowany jest w następujący sposób: det W 1 R= det R gdzie: det(r) wyznacznik macierzy współczynników korelacji zmiennych objaśniających X 1, X 2,, X k łączonych parami, det(w) wyznacznik macierzy: W = [ 1 R T ] 0 R 0 R Współczynnik korelacji wielorakiej jest unormowany w przedziale [0; 1]. Przyjmuje większe wartości gdy związek zmiennej objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi jest silniejszy.,
31 Przykład: Podany jest wektor i macierz współczynników korelacji: R 0 =[0,7 0,9 0,1 0,5] R=[1,0 0,8 0,2 0,4, 0,8 1,0 0,1 0,6 0,2 0,1 1,0 0,3 0,4 0,6 0,3 1,0]. Za pomocą współczynnika korelacji wielorakiej wybrać optymalną kombinację zmiennych spośród dwuelementowych kombinacji zmiennych objaśniających.
32 Rozpatrujemy wszystkie dwuelementowe kombinacje zmiennych objaśniających: C 1 =(X 1, X 2 ), C 2 =(X 1, X 3 ), C 3 =(X 1, X 4 ), C 4 =(X 2, X 3 ), C 5 =(X 2, X 4 ), C 6 =(X 3, X 4 ). Dla pierwszej kombinacji: R 01 = [ 0,7 0,9], R 1= [ 1,0 0,8 0,8 1,0], zatem macierz W ma następującą postać dla pierwszej kombinacji: W 1 =[ 1,0 0,7 0,9 0,7 1,0 0,8 0,9 0,8 1,0]. det(r 1 ) = 0,360, det(w 1 ) = 0,068 otrzymujemy więc R 1 = 0,901.
33 W analogiczny sposób należy rozpatrzeć pozostałe kombinacje dwuelementowe: det(r 2 ) = 0,960, det(w 2 ) = 0,508 otrzymujemy więc R 2 = 0,686, det(r 3 ) = 0,840, det(w 3 ) = 0,380 otrzymujemy więc R 3 = 0,740, det(r 4 ) = 0,990, det(w 4 ) = 0,188 otrzymujemy więc R 4 = 0,900, det(r 5 ) = 0,640, det(w 5 ) = 0,120 otrzymujemy więc R 5 = 0,902, det(r 6 ) = 0,910, det(w 6 ) = 0,680 otrzymujemy więc R 6 = 0,503. Maksymalna wartość współczynnika korelacji wielorakiej to 0,902; odnosi się to do kombinacji C 5 zawierającej zmienne X 2 i X 4. Zatem model liniowy będzie wyglądał następująco: Y =α 0 α 1 X 2 α 2 X 4 ε
34 Zadanie 8. Wektor współczynników korelacji pomiędzy zmienną Y i zmiennymi X 1, X 2, X 3 oraz macierz współczynników korelacji między zmiennymi X 1, X 2, X 3 przedstawiają się następująco: R 0= [ 0,6 0,9 0,8], [ 1,0 0,5 0,3 ] R= 0,5 1,0 0,9 0,3 0,9 1,0 Zbudować liniowy model ekonometryczny opisujący zmienną Y w zależności od dwóch zmiennych objaśniających stosując współczynnik korelacji wielorakiej. Zadanie 9. Wektor współczynników korelacji pomiędzy zmienną Y i zmiennymi X 1, X 2, X 3, X 4 oraz macierz współczynników korelacji między zmiennymi X 1, X 2, X 3, X 4 przedstawiają się następująco: R 0 =[0,4 0,5 0,7, 0,6] R=[1,0 0,5 0,4 0,6 0,5 1,0 0,2 0,3 0,4 0,2 1,0 0,8 0,6 0,3 0,8 1,0]
35 Zbudować liniowy model ekonometryczny opisujący zmienną Y w zależności od dwóch zmiennych objaśniających stosując współczynnik korelacji wielorakiej. Zadanie 10. Współczynniki korelacji pomiędzy zmiennymi Y, X 1, X 2 wynoszą: r 1 = -0,7, r 2 = -0,8, r 12 = 0,5 Ile wynosi współczynnik korelacji wielorakiej pomiędzy zmienną Y a zmiennymi X 1, X 2.
36 Szacowanie parametrów modeli liniowych klasyczną metodą najmniejszych kwadratów
37 Liniowy model ekonometryczny z jedną zmienną objaśniającą ma postać ogólną: Y = β + αx + ε Wartość a jest oceną parametru α, natomiast wartość b jest oceną parametru β. Oceny a i b otrzymuje się stosując następujące wzory: a= n t=1 y t y x t x n t=1 x t x 2 ; b= y a x, gdzie x i y oznaczają średnie arytmetyczne zmiennych Y oraz X.
38 Ocenę wariancji odchyleń losowych modelu liniowego z jedną zmienną objaśniającą otrzymujemy ze wzoru: S e 2 = n t=1 e t 2 n 2 gdzie e t jest różnicą pomiędzy wartością empiryczną, a teoretyczną zmiennej objaśnianej w okresie t. Standardowe błędy szacunku parametrów α i β wyznacza się ze wzorów: S S a = e n 2 x t n t=1, x t x 2 S b =S e. n t=1 n x t x 2 t=1,
39 Zadanie 11. Cena jednostkowa sprzedaży produktu (Y) oraz koszt jednostkowy zakupu (X) pewnego półproduktu w latach kształtował się następująco: lata y t x t Oszacować parametry strukturalne, odchylenia standardowe reszt oraz standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu liniowego opisującego zależność ceny jednostkowej sprzedaży od koszt jednostkowego zakupu. Zadanie 12. Zmienna Y w siedmiu kolejnych latach przyjęła wartości: t y t Oszacować parametry strukturalne, odchylenie standardowe składnika resztowego oraz standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych.
40 Zadanie 13. Cena pewnego produktu w latach była następująca: lata y t Oszacować parametry strukturalne, odchylenie standardowe reszt oraz standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu liniowego opisującego zależność ceny produktu w danym roku od ceny produktu w roku poprzednim. Zadanie 14. Udział braków w ogólnej ilości wyprodukowanych wyrobów wyrażony w promilach w pewnym zakładzie produkcyjnym w 7 kolejnych latach kształtował się następująco: lata y t Oszacować parametry strukturalne, odchylenie standardowe składnika losowego oraz standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych trendu liniowego udziału braków w ilości wytworzonych wyrobów.
41 Liniowy model ekonometryczny z wieloma zmiennymi objaśniającymi ma postać ogólną: Y =α 0 +α 1 X 1 +α 2 X 2 ++α k X k +ε. W dalszych rozważaniach zastosujemy poniższą symbolikę: y=[ y 1 y 2 y n] - wektor obserwacji zmiennej objaśnianej, x 11 x 12 x 1k X =[1 1 x 21 x 22 x 2k. 1 x n1 x n2 x nk] - macierz obserwacji zmiennych objaśniających,
42 - a 1 a=[a0 k] a 2 a - e=[e 1 e 2 e n] wektor ocen parametrów strukturalnych, wektor reszt modelu. Dla tak zdefiniowanych wektorów kryterium najmniejszych kwadratów może być zapisane następująco: gdzie: e = y Xa. S=e T e min,
43 Wzór na wyznaczenie wektora a ocen parametrów strukturalnych modelu jest następujący: a=( X T X ) 1 X T y. Wariancje odchyleń losowych szacuje się przy wykorzystaniu wzoru: n 2 e t S 2 e = et e n k 1 = t=1 n k 1 = yt y a T X T y n k 1.
44 Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych szacuje się na podstawie wzoru: D 2 (a)=s e 2 ( X T X ) 1, w macierzy tej elementy znajdujące się na przekątnej są wariancjami V(a i ) ocen parametrów strukturalnych. S (a i )= V (a i ), natomiast wielkości S(a i ) są standardowymi błędami szacunku parametrów strukturalnych.
45 Zadanie 15. Mając następujące dane dotyczące zmiennych Y, X 1, X 2 : t y t x t1 2,5 2 2,5 4 4 x t oszacować parametry strukturalne, wariancję odchyleń losowych oraz standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych model liniowego opisującego zależności zmiennej Y od zmiennych X 1 i X 2. Zadanie 16. Na podstawie poniższych danych (t=1, 2, 3, 4, 5): ŷ=4,5+2x 1 +2,5 x 2, ( X T X ) 1 =[ 2 1 0,5 1 1,5 0 0,5 0 ], X T 0,5 y=[ ], yt y=129. a) oszacować średnie błędy szacunku parametrów strukturalnych, b) ocenić dopasowanie modelu do danych empirycznych.
46 Zadanie 17. Na podstawie następujących obserwacji zmiennych Y, X 1, X 2, X 3 : t y t x t x t x t Oszacować parametry strukturalne modelu liniowego
47 Weryfikacja modeli liniowych
48 Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych sprawdzenie czy stworzony model w wystarczającym stopniu wyjaśnia zachowanie zmiennej objaśnianej. Oprócz odchylenia standardowego reszt modelu, podstawowymi miarami są, współczynnik zmienności losowej, współczynnik zbieżności i współczynnik determinacji.
49 Współczynnik zmienności losowej jest zdefiniowany następująco: W e = S e y 100 ;(wyrażony w procentach). Współczynnik ten zawiera informację, jaki procent średniej arytmetycznej zmiennej objaśnianej modelu stanowi odchylenie standardowe reszt. Jeśli dla założonego wcześniej poziomu krytycznego W * zachodzi nierówność: W e W *, to model może być uznany za dostatecznie dobrze dopasowany do danych empirycznych.
50 Współczynnik zbieżności: φ 2 = n t=1 n t=1 e t 2 ( y t y) 2, zawiera się on w przedziale [0;1], przekazuje informacje jaka część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej nie jest wyjaśniana przez model. Współczynnik determinacji: R 2 = n t=1 n t=1 ( ŷ t y) 2 a T X T y 1 n (1T y) 2 = ( y t y) 2 y T y 1, n (1T y) 2 zawiera się on w przedziale [0;1], przekazuje informacje jaka część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej jest opisana przez wartości teoretyczne tej zmiennej.
51 Pomiędzy współczynnikiem determinacji i zbieżności ma miejsce następująca równość: φ 2 +R 2 =1. Natomiast pierwiastek ze współczynnika determinacji, R jest współczynnikiem korelacji wielorakiej. Aby stwierdzić czy dopasowanie modelu do danych empirycznych jest dostatecznie duże, można poddać analizie hipotezę o istotności współczynnika korelacji wielorakiej. Hipotezy są postaci: H 0 :[R=0]; H 1 :[R 0]; Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka: F = R2 n k 1 2 ( ), 1 R k Statystyka ta ma rozkład F Fishera-Snedecora o m 1 = k oraz m 2 = n k 1, stopniach swobody.
52 Z tablicy testu F dla zadanego poziomu istotności γ oraz dla m 1 i m 2 stopni swobody odczytuje się wartość krytyczną F *. Jeśli F F *, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Oznacza to, iż współczynnik korelacji wielorakiej jest nieistotnie różny od zera, a dopasowanie modelu do danych jest zbyt niskie. Jeśli F > F *, to hipotezę H 0 należy odrzucić na rzecz hipotezy H 1. Oznacza to, iż współczynnik korelacji wielorakiej jest istotny, a stopień dopasowania modelu ekonometrycznego do danych jest dostatecznie wysoki.
53 Zadanie 18. Na podstawie danych na temat przychodów (Y), kosztów zatrudnienia (X 1 ), i zysków (X 2 ) z okresu pięciu lat: t y t x t x t oszacowano model liniowy: Ŷ =2,5 0,5 X 1 +2 X 2. Obliczyć współczynnik zmienności losowej, zbieżności i determinacji.
54 Zadanie 19. Zmienne Y 1, Y 2 przyjęły w 6 latach wartości: t y t y t e t e t Dla zmiennej Y 1, Y 2 oszacowano modele w zależności od zmiennych odpowiednio X 1, X 2 oraz X 3, X 4 : Y 2 =32+1,3 X 3 +0,54 X 4. Y 1 =15+0,18 X 1 +3,7 X 2 Który model jest lepiej dopasowany do danych empirycznych. Zadanie 20. Na podstawie rocznych danych z okresu oszacowano parametry liniowego modelu kosztów (Y) względem wielkości produkcji (X 1 ) oraz ilości maszyn produkcyjnych (X 2 ): Ŷ =13+2,5 X 1 +0,4 X 2. Współczynnik korelacji wielorakiej wynosi 0,7. Przy poziomie istotności γ = 0,05 zweryfikować hipotezę o istotności tego współczynnika.
55 Badanie istotności parametrów strukturalnych α 1,α 2,,α k dla liniowego modelu ekonometrycznego ma na celu sprawdzenie, czy zmienne objaśniające mają istotny wpływ na zmienną objaśnianą. Dla każdego i = 1,2,,k weryfikuje się hipotezę zerową H 0 :[α i =0] wobec hipotezy alternatywnej H 1 :[α i 0]. Sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka: I i = a i S (a i ). Z tablic testu t-studenta dla przyjętego poziomu istotności γ oraz n-k-1 stopni swobody odczytuje się wartość krytyczną I *. Jeśli zachodzi nierówność I i I * - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0; Jeśli zachodzi nierówność I i > I * - hipotezę H 0 odrzucamy na rzecz H 1.
56 Zadanie 21. Na podstawie obserwacji zmiennych Y, X 1, X 2 na przestrzeni 5 lat oszacowano parametry strukturalne modelu: Ŷ = 0,25+1,25 X 1 +0,25 X 2, oraz macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych: D (a)=[ 0, ,031 0,094 0,031 0,156 0,156 0,094 0,156 0,219 ]. Przyjmując poziom istotności γ = 0,10 zbadać istotność parametrów strukturalnych przy zmiennych X 1, X 2. Zadanie 22. Na podstawie 30-elementowej próby oszacowano parametry strukturalne oraz standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych następującego modelu: Ŷ = X 1 +6 X 2 9 X 3, S(a 0 ) = 10, S(a 1 ) = 3, S(a 2 ) = 10, S(a 3 ) = 1. Na poziomie istotności γ = 0,01 zbadać istotność parametrów strukturalnych powyższego modelu.
57 Badanie własności odchyleń losowych badanie losowości Weryfikacja hipotezy o losowości rozkładu odchyleń losowych ma na celu ocenę trafności doboru postaci modelu. Do weryfikacji hipotezy: H 0 :[Ŷ = f(x 1, X 2,, X k )] wobec hipotezy alternatywnej H 1 :[Ŷ f(x 1, X 2,, X k )] służy test liczby serii. Ciąg reszt jest uporządkowany względem rosnących wartości jednej ze zmiennych objaśniających (lub jednostek czasu) modelu. Dla tak uporządkowanego ciągu oblicza się liczbę serii S reszt modelu. Serią jest każdy podciąg złożony wyłącznie z reszt niedodatnich lub nieujemnych.
58 Z tablic testu serii dla danej liczby reszt dodatnich i ujemnych n 2 i n 1 oraz przyjętego poziomu istotności γ, odczytuje się krytyczne wartości serii S 1 * i S 2*. Jeśli S 1 * < S < S 2 * to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 wpp. Odrzucamy hipotezę H 0 na rzecz hipotezy H 1. W przypadku zachowanie hipotezy H 0 postać modelu została dobrana poprawnie. W przypadku wybrania hipotezy H 1 postać modelu została dobrana błędnie
59 Zadanie 23. Na podstawie danych kwartalnych z lat oszacowano model zmiennej Y względem zmiennych X 1, X 2 : Ŷ =110+0,25 X X 2. Reszty modelu przyporządkowane poszczególnym kwartałom wynoszą: t e t Przy poziomie istotności γ = 0,05 zweryfikować hipotezę o liniowości modelu opisującego zależności zmiennej Y od zmiennych X 1, X 2.
60 Badanie własności odchyleń losowych badanie normalności rozkładu Sprowadza się ono do weryfikacji hipotezy, że dystrybuanta odchyleń jest równa dystrybuancie rozkładu normalnego. Weryfikujemy więc hipotezę: H 0 :[F(ε) = F N (ε)] wobec hipotezy alternatywnej H 1 :[F(ε) F N (ε)]. Do weryfikacji hipotezy służy np. test Hellwiga i test Shapiro-Wilka
61 Procedura testu Hellwiga jest następująca: 1. Przeprowadza się standaryzację reszt według wzoru: u t = e t e, (t = 1, 2,, n); Ŝ e S e e średnia arytmetyczna reszt, ze wzoru: S e = - odchylenie standardowe reszt obliczane n t=1 (e t e) 2 2. Zestandaryzowane reszty porządkuje się według wartości niemalejących tak, że u (1) u (2) u (n) 3. Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego odczytuje się wartości dystrybuanty Φ(u (t) ) = P(u < u (t) ). n.
62 4.Wyznacza się tzw. cele I t (t = 1, 2,, n), którymi są przedziały o rozpiętości 1/n powstałe po podzieleniu odcinka [0, 1] na n równych części. 5. Wartości dystrybuanty Φ(u (t) ) przyporządkowuje się odpowiednim celom i określa się liczbą cel pustych K. 6. Z tablic testu zgodności Hellwiga dla danej liczby obserwacji n oraz dla przyjętego poziomu istotności γ odczytuje się wartości krytyczne K 1 i K Jeśli K 1 K K 2 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Odchylenia losowe mają wówczas rozkład normalny. Natomiast w przeciwnym przypadku hipotezę H 0 należy odrzucić na rzecz hipotezy H 1. Odchylenia losowe nie mają wówczas rozkładu normalnego.
63 Procedura testu Shapiro-Wilka: 1. Porządkuje się reszty według wartości niemalejących. 2. Oblicza się wartość statystyki: W = [n/ 2] [ t=1 a n t +1 (e (n t+1) e (t) )] 2 n t=1 (e t e) 2. gdzie: a n-t+1 = współczynnik Shapiro-Wilka. 3. Z tablic testu Shapiro-Wilka dla przyjętego poziomu istotności γ odczytuje się wartość krytyczną W *. 4. Jeśli W W *, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Odchylenia losowe mają wówczas rozkład normalny. Natomiast w przeciwnym przypadku hipotezę H 0 należy odrzucić na rzecz hipotezy H 1. Odchylenia losowe nie mają wówczas rozkładu normalnego.
64 Zadanie 24. Dane są reszty pewnego modelu 1, 3, -4, 0, -3, -2, 5, -3, 1, 2. Za pomocą wybranego testu zweryfikować hipotezę o normalności rozkładu odchyleń losowych. Przyjąć poziom istotności γ =0,1.
65 Badanie własności odchyleń losowych badanie autokorelacji Autokorelacja odchyleń losowych oznacza liniową zależność między odchyleniami z różnych jednostek czasu. Miarą siły i kierunku autokorelacji odchyleń losowych ε t z okresu t i odchyleń losowych ε t-τ z okresu t-τ jest współczynnik korelacji: ρ τ = ρ(ε t,ε t τ ), nazywany współczynnikiem korelacji rzędu τ. Oszacowaniem tego współczynnika jest współczynnik autokorelacji reszt określony wzorem: r τ = n t=τ+1 n t=τ+1 (e t e t )(e t τ e t τ ), n (e t e t ) 2 (e t τ e t τ ) 2 t=τ+1 Do weryfikowania hipotezy H 0 :[ρ 1 = 0], wobec hipotezy alternatywnej H 1 :[ρ 1 0] służy test Durbina-Watsona.
66 Sprawdzeniem tej hipotezy w wypadku autokorelacji dodatniej (r 1 > 0) jest statystyka: d= n t=2 (e t e t 1 ) 2 n t=1 Z tablicy testu Durbina-Watsona dla przyjętego poziomu istotności γ i danej liczby obserwacji n oraz liczby zmiennych objaśniających k odczytuje się dwie wartości krytyczne d l i d u. Jeśli d > d u to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 ; współczynnik autokorelacji jest nieistotny. Natomiast jeśli d < d l, to hipotezę H 0 odrzucamy na rzecz hipotezy H 1 ; współczynnik autokorelacji jest istotny. Jeśli natomiast d l d d u to przy pomocy testu Durbina-Watsona nie można podjąć żadnej decyzji. W przypadku autokorelacji ujemnej (r 1 < 0) oblicza się wartość statystyki: d ' =4 d, i dalej postępuje się analogicznie jak poprzednio. e t 2,
67 Badanie autokorelacji odchyleń losowych dowolnego rzędu można przeprowadzić także wykorzystując test istotności współczynnika korelacji. Dzięki temu można zweryfikować hipotezę H 0 :[ρ τ = 0], wobec hipotezy alternatywnej H 1 :[ρ τ 0], sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka: I τ = r τ n τ 2 1 r τ 2 Natomiast z tablicy t-studenta dla poziomu istotności γ i m = n τ -2 stopni swobody odczytuje się wartość krytyczną I *. Jeśli I τ I *, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 : współczynnik autokorelacji rzędu τ jest nieistotny, wpp. Hipotezę H 0 odrzucamy na rzecz hipotezy H 1 : współczynnik autokorelacji rzędu τ jest istotny.
68 Zadanie 25. Dla modelu: Ŷ =32+0,35 X 1 0,46 X 2, którego parametry oszacowano metodą najmniejszych kwadratów, otrzymano ciąg reszt: t e t Obliczyć wspólczynnik autokorelacji reszt pierwszego rzędu. Przy poziomie istotności γ = 0,05 zbadać za pomocą testu Durbina-Watsona, czy występuje autokorelacja między odchyleniami ε t i ε t-1. Współczynnik autokorelacji reszt r1= -0,67.
69 Badanie własności odchyleń losowych badanie stałości wariancji Weryfikujemy hipotezę o równości wariancji odchyleń dwóch skrajnych grup obserwacji. H 0 :[σ 2 ε.1 = σ 2 ε.2], wobec hipotezy alternatywnej H 1 :[σ 2 ε.1 < σ 2 ε.2]. Do sprawdzenia tej hipotezy wykorzystujemy test F (Fischera-Snedecora). Sprawdzianem tej hipotezy jest test: F= S 2 e.2 2, S e.1 gdzie S 2 e.1, S 2 e.2 wariancja resztowa n 1 pierwszych elementów i wariancja resztowa n 2 ostatnich elementów. n 1 (e t e 1 ) 2 S 2 t=1 e.1 = n 1 k 1, S e.2 n 2 t=n n = 2 +1 (e t e 2 ) 2 n 2 k 1.
70 Z tablicy test F dla poziomu istotności γ oraz m1 = n2 - k 1 i m2 = n1 k 1 odczytuje się wartość krytyczną F*. Jeśli F F* nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Wariancja odchyleń losowych jest stała w czasie. Jeśli F > F* hipotezę H 0 należy odrzucić na rzecz hipotezy H 1. W miarę upływu czasu wariancja odchyleń losowych wzrasta.
71 Zadanie 26. Dane są następujące wartości reszt liniowego modelu tendencji rozwojowej: t e t Przy poziomie istotności γ = 0,05 zweryfikować za pomocą testu F hipotezę o równości wariancji odchyleń losowych w 7 pierwszych i 7 ostatnich okresach.
72 Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów
73 Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów ma zastosowanie do szacowania parametrów modeli liniowych przy niespełnieniu założenia o stałości wariancji odchyleń losowych lub założenia o braku autokorelacji odchyleń. Macierz wariancji i kowariancji odchyleń losowych może być określona jako: D 2 (ε)=σ 2 V, gdzie: V dowolna dodatnio określona macierz symetryczna stopnia n; σ 2 nieznany stały parametr. Wektor ocen parametrów strukturalnych ma postać: a=( X T V 1 X ) 1 X T V 1 y
74 Wektor a można także otrzymać dwuetapowo. Najpierw wyznaczając macierz wagową P: V 1 =P T P, i oblicza się ważone obserwacje zmiennych: y * =Py, X * =PX, następnie wyznacza się wektor ocen parametrów strukturalnych: a=( X * T X * ) 1 X * T y *. Praktyczne zastosowanie UMNK jest uwarunkowane znajomością macierz V. Macierz tę należy oszacować.
75 W wypadku niestałości wariancji odchyleń losowych macierz V jest macierzą diagonalną o postaci: V =[v 0 v 2 0 n] n], v v v P=[ =[ V 1 1 v Odpowiadająca im macierz wagowa ma postać: v n] v 2, v gdzie za v t można przyjąć: v t = x t lub v t = e t.
76 W wypadku autokorelacji odchyleń losowych najczęściej zakłada się, że ciąg {ε t }: ε t = ρε t 1 +η t, gdzie ρ <1. Wtedy ρ t = ρ τ, a macierz V jest macierzą współczynników autokorelacji odchyleń losowych postaci: =[ 1 V 2 ρ ρ ρ n 1 1] ρ 1 ρ ρ n 2 ρ n 1 ρ n 2 ρ n 3, 2[ V 1 = 1 1 ρ 1 ρ ρ 1+ ρ 2 ρ ρ 1+ ρ ρ ρ 2 ρ 0 ] 0 0 ρ 1,
77 a macierz wagowa P ma postać: ρ ρ P=[ ρ ρ ρ ]
78 Ocena r współczynnika autokorelacji ρ można wyznaczyć według wzoru: n 1 (n k 1) e t e t+1 t=1 r= n 2 (n 1) e t t=1 gdzie e t reszty modelu oszacowanego MNK. Wariancję odchyleń losowych szacuje się według wzoru: S e 2 = et V 1 e n k 1, a macierz wariancji i kowariancji według wzoru: D 2 (a)=s e 2 ( X T V 1 X ) 1, w dwóch powyższych wzorach e oznacza wektor reszt modelu oszacowanego UMNK.,
79 Zadanie 27. Sformułowano liniowy model o postaci : Ŷ =α 0 +α 1 X +ε, Zaobserwowane wartości zmiennych są następujące: t y t x t Wiadomo, że wariancja odchyleń losowych w czasie nie jest stała, a macierz V jest podana: V =[0, , , ,25], Uogólnioną metodą najmniejszych kwadratów oszacować parametry strukturalne modelu. Zadanie 28. Dla pewnego modelu oszacowanego klasyczną metodą najmniejszych kwadratów na podstawie 6 obserwacji otrzymano współczynnik autokorelacji reszt pierwszego rzędu r = 0,6. Wyznaczyć macierz wagową P w celu zastosowania uogólnionej metody najmniejszych kwadratów przy istnieniu autokorelacji odchyleń losowych.
80 Zadanie 29. Na podstawie danych: t y t Oszacowano metodą najmniejszych kwadratów trend liniowy: Ŷ =3,857+4,286 t Reszty tego trendu wynoszą: t e t 1,86-1,43 3,28-6 4,71-8,57 6,14 Za pomocą uogólnionej metody najmniejszych kwadratów oszacować parametry strukturalne trendu liniowego zmiennej Y przyjmując za elementy macierzy V wartości bezwzględne reszt trendu oszacowanego klasyczną metodą najmniejszych kwadratów. Zadanie 30. Na podstawie danych z 5 kolejnych lat oszacowano KMNK model: Ŷ =30+21 X, dla którego otrzymano następujące reszty: t e t Obliczyć współczynnik autokorelacji reszt oraz wyznaczyć elementy macierzy P w celu zastosowania UMNK przy istnieniu autokorelacji odchyleń losowych pierwszego rzędu.
81 Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych
82 Wyboru postaci analitycznej dla modelu opisującego zależność między zjawiskami ekonomicznymi można dokonać na podstawie wiedzy ekonomicznej o badanych prawidłowościach: Przykład 1. Jeśli na podstawie wiedzy o badanych zależnościach wiadomo, że przyrosty zmiennej objaśnianej względem zmiennych objaśniających są stałe to sugeruje to postać liniową modelu: Ŷ =α 0 +α 1 X 1 +α 2 X 2 ++α k X k. W modelu tym przyrost krańcowy zmiennej objaśnianej Y jest stały względem zmiennej X i i równy parametrowi strukturalnemu. Przykład 2. Jeśli wiadomo, że elastyczność zmiennej objaśnianej względem zmiennych objaśniających jest stała, to model powinien mieć postać potęgową: Ŷ =α 0 X 1 α 1 X 2 α 2 X k α k.
83 Przykład 3. Jeśli na podstawie wiedzy o badanych zależnościach wnioskujemy, że jednostkowemu przyrostowi zmiennej objaśniającej towarzyszą coraz mniejsze przyrosty zmiennej objaśnianej, to należy zastosować model o postaci: Ŷ =α 0 +α 1 logx. Przykład 4. Jeśli wiadomo, że jednostkowemu przyrostowi zmiennej objaśniającej odpowiadają coraz większe przyrosty zmiennej objaśnianej, to model może mieć postać wykładniczą: Ŷ =α 0 α 1 X 1. Tego typu zależność spotykamy często w badaniach kosztów całkowitych produkcji w zależności od wielkości produkcji.
84 Zadanie 31. Zaproponować postać analityczną modelu tendencji rozwojowej produkcji globalnej (P) pewnej gałęzi gospodarki narodowej przy założeniu, że stosunek przyrostu produkcji do wielkości produkcji z roku poprzedniego oscyluje wokół pewnej stałej liczby. Zadanie 32. Zaproponować postać analityczną modelu opisującego zależność poziomu produkcji (Y) zakładu przemysłowego od wartości produkcyjnego majątku trwałego (X 1 ) i zatrudnienia robotników (X 2 ) przy założeniu, że krańcowe wydajności majątku trwałego i zatrudnienia są stałe. Zadanie 33. Wiadomo, że wydatki na żywność na jednego członka rodziny (W) wzrastają wolniej niż dochód na jednego członka rodziny (D). Zaproponować postać analityczną modelu wydatków na żywność względem dochodów.
85 Wybór postaci analitycznej modelu na podstawie wykresu rozrzutu punktów empirycznych. Najczęstsze postaci analityczne modelu: liniowa: Ŷ i =β i +α i X i, hiperboliczna: Ŷ i = β i +α i 1 X i, logarytmiczna: Ŷ i =β i +α i logx i, wielomianowa: Ŷ i =α 0i +α 1i X i +α 2i X i 2 ++α pi X i p.
86 W celu stworzenia modelu ekonometrycznego z wieloma zmiennymi objaśniającymi dla każdej zmiennej objaśniającej sporządza się oddzielny wykres rozrzutu punktów (X ij, Y i ) (dla i=1,2,,n). Następnie nadaje się postać analityczną funkcjom regresji zmiennej objaśnianej względem pojedynczych zmiennych objaśniających dbając jednocześnie o to, aby były to funkcje liniowe względem parametrów strukturalnych i ewentualnie nieliniowe względem zmiennych objaśniających. Te cztery zaproponowane powyżej postacie analityczne spełniają ten postulat. Ostateczny model ekonometryczny powstaje przez zsumowanie poszczególnych funkcji regresji, które są przy zmiennych objaśniających, oraz wyrazu wolnego. Można to zapisać w następujący sposób: k Ŷ = i=1 f i ( X i )+α 0. Jest to model liniowy względem parametrów strukturalnych i ewentualnie nieliniowy względem zmiennych objaśniających.
87 Przykład. Zaproponować postać analityczną modelu opisującego zależność wydajności pracy robotników - % wykonania normy (Y) od stażu pracy w latach (X 1 ) i wieku w latach (X 2 ). t Y X 1 X 2 t Y X 1 X , , , , , , Na podstawie tych informacji możemy stworzyć wykresy dla zmiennej Y oraz X 1, a także dla zmiennej Y oraz X 2.
88 Y Y X 1 Rozmieszczenie punktów empirycznych na wykresach wskazuje, że do opisu związku wydajności pracy ze stażem pracy można zastosować funkcję regresji logarytmicznej: Ŷ =α 01 +α 1 logx 1, a do opisu związku wydajności pracy z wiekiem kwadratową funkcję regresji: Ŷ =α 02 +α 2 X 2 +α 3 X 2 2, Postać analityczna modelu ma więc postać: Ŷ =α 0 +α 1 logx 1 +α 2 X 2 +α 3 X 2 2 Jest to model nieliniowy względem zmiennych objaśniających i liniowy względem parametrów strukturalnych. X 2
89 Zadanie 34. Zaproponować postać analityczną modelu Ŷ = f ( X ) mając następujące dane: t y t x t 2,2 2,2 2,3 2,4 2,6 2,9 3,2 3,6 4 Zadanie 35. Zaproponować postać analityczną trendu zmiennej Y mając następujące jej obserwacje w 15 kolejnych okresach: t y t Zadanie 36. Zaproponować postać analityczną modelu Ŷ = f ( X ) mając następujące dane: t y t x t 11,2 11,3 12, ,3 15,7 16,7 17,6 17,6 18,1 Zadanie 37. Mając obserwacje zmiennych Y, X 1, X 2, X 3 stworzyć model opisujący zależność zmiennej Y od zmiennych X 1, X 2, X 3 t y t x t x t2 7 4,4 4,1 2,7 2,2 2,6 1,8 1,6 2,3 1,6 x t
90 Dobór zmiennych objaśniających do modelu nieliniowego względem zmiennych objaśniających, a jednocześnie liniowego względem parametrów strukturalnych może być przeprowadzony na podstawie wektora i macierzy współczynników korelacji pomiędzy zmienną objaśnianą i liniowymi przekształceniami potencjalnych zmiennych objaśniających. Podobny dobór zmiennych objaśniających może być przeprowadzony dla potęgowego modelu ekonometrycznego: Ŷ =α 0 X 1 α 1 X 2 α 2 X k α k. Model ten sprowadza się do postaci liniowej przez jego zlogarytmowanie: log Ŷ =logα 0 +α 1 logx 1 +α 2 logx 2 ++α k logx k. Po podstawieniach: V =log Ŷ, β=logα 0, Z 1 =log X 1, Z 2 =log X 2,, Z k =log X k, otrzymujemy model liniowy zmiennej V względem zmiennych Z 1,Z 2,,Z k : V = β+α 1 Z 1 +α 2 Z 2 ++α k Z k. W tym wypadku wektor i macierz współczynników korelacji obliczamy w oparciu o liniowe przekształcenia wszystkich zmiennych.
91 Zadanie 38. Wyniki pomiarów zmiennej Y oraz potencjalnych zmiennych objaśniających X 1, X 2, X 3 są następujące: t y t 3,2 3,4 3,4 3,6 3,9 x t x t x t ,5 3,33 2 Wyznaczyć wektor i macierz współczynników korelacji dla zmiennej Y i transformat zmiennych X 1, X 2, X 3. Stosując metodę wskaźników pojemności informacyjnej zbudować model. Mamy podane następujące postaci zależności: Y 1 =α 01 +α 11 logx 1, Y 2 =α 02 +α 12 X 2, Y 1 3 =α 03 +α 13 X 3.
92 Zadanie 39. Funkcje regresji zmiennej Y względem potencjalnych zmiennych objaśniających X 1, X 2, X 3, X 4 są następujące: Y 1 =α 01 +α 11 X 1 +α 21 X 1 2 +α 31 X 1 3, Y 1 2 =α 02 +α 12 X 2, Y 3 =α 03 +α 13 X 3 +α 23 X 3 2, Y 4 =α 04 +α 14 logx 4. Współczynniki korelacji pomiędzy zmienną Y oraz liniowymi transformatami zmiennych X 1, X 2, X 3, X 4 oraz współczynniki korelacji pomiędzy transformatami zmiennych X 1, X 2, X 3, X 4 są następujące: 0,93 R 0 =[0,81 0,41, 0,33 0,63 0,17] R=[ 1,00 0,81 0,82 0,40 0,25 0,59 0,22 0,81 1,00 0,86 0,45 0,45 0,38 0,14 0,82 0,86 1,00 0,51 0,42 0,44 0,12 0,40 0,45 0,51 1,00 0,05 0,28 0,23 0,25 0,45 0,42 0,05 1,00 0,04 0,22 0,59 0,38 0,44 0,28 0,04 1,00 0,38 0,22 0,14 0,12 0,23 0,22 0,38 1,00] Przeprowadzić redukcję zbioru transformat liniowych potencjalnych zmiennych objaśniających za pomocą metody analizy macierzy współczynników korelacji, przyjmując krytyczną wartość współczynnika korelacji r * = 0,5; zbudować model dla zmiennej Y
93 Szacowanie parametrów modeli nieliniowych. Model nieliniowy należy sprowadzić do postaci liniowej, tak aby przekształcone równanie miało postać liniową względem parametrów strukturalnych lub i funkcji. Najpierw za pomocą KMNK szacuje się parametry modelu przekształconego, następnie oblicza się wartości ocen parametrów modelu pierwotnego. Zadanie 40. Jednostkowe koszty produkcji w mln zł (Y) oraz wielkości produkcji w sztukach (X) w 8 zakładach produkujących ten sam wyrób kształtują się następująco: Zakład y t x t , Do opisu tej zależności zaproponowano model hiperboliczny Y = β+α 1 X +ε. Oszacować parametry strukturalne, odchylenie standardowe składnika losowego oraz standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych.
94 Zadanie 41. Na podstawie następujących obserwacji zmiennych Y i X: t y t x t Oszacować parametry strukturalne dwóch typów modeli opisujących zależność zmiennej Y od zmiennej X: a) potęgowego, b) wykładniczego. Zadanie 42. Na podstawie następujących obserwacji zmiennych Y i X: t y t x t Oszacować parametry strukturalne modelu: Y =α 0 +α 1 X +α 2 X 2 +ε. Zadanie 43. Na podstawie następujących obserwacji zmiennych Y, X 1 i X 2 : t y t x t x t Oszacować parametry strukturalne modelu: Y =α 0 +α 1 X 1 X 2 +ε
95 Zadanie 44. Zbudowano model: Y =α 0 +α 1 1 X 1 +α 2 X 2 +α 3 X 2 2 +ε. Mając następujące obserwacje zmiennych X 1 i X 2 : t x t x t Zbudować macierz obserwacji X potrzebną do oszacowania parametrów strukturalnych powyższego modelu KMNK. Zadanie 45. Zbudowano model: Y =α 0 +α 1 X 2 X 1 +α 2 X 3 +ε. Mając następujące obserwacje zmiennych X 1 i X 2 : t x t x t x t Zbudować macierz obserwacji X potrzebną do oszacowania parametrów strukturalnych powyższego modelu KMNK.
96 Badanie dopasowania modelu do danych empirycznych W przypadku modeli liniowych oraz modeli nieliniowych ze względu na zmienne objaśniające, a jednocześnie liniowych ze względu na parametry strukturalne mają zastosowanie wzory oceny dopasowania przedstawione dla modeli linowych. Ocena dopasowania dla modeli nieliniowych ze względu zarówno na zmienne objaśniające jak i na parametry strukturalne może być przeprowadzana za pomocą wskaźnika średniego względnego poziomu reszt o postaci: P= 1 n e t. n t=1 ŷ t Im mniejsze są wartości wskaźnika P, tym lepsze jest dopasowanie modelu do danych empirycznych
97 Zadanie 46. Na podstawie następujących danych: t y t x t Oszacowano model: Ŷ = 0,0616+0,1346 X,oblicz wskaźnik średniego względnego poziomu reszt. Zadanie 47. Na podstawie następujących danych: t y t x t 0,1 0,2 0,5 0,5 1 Oszacowano model: Ŷ = 8,17 X X +0,359,oblicz wskaźnik średniego względnego poziomu reszt.
98 Modele wielorównaniowe
99 Postać strukturalna modelu wielorównaniowego Postać strukturalna modelu wielorównaniowego jest następująca: BY +ΓZ =ε, gdzie: - wektor zmiennych endogenicznych bez opóźnień czasowych, Y =[Y 1 Y 2 Y m] B=[ 1 β 21 β 12 1 β m1 β m2 β 1m β 2m 1 - ] macierz param. dla zmiennych endogenicznych,
100 - 1 Z =[Z Z 2 k] Z Γ =[ γ 11 γ 21 wektor zmiennych z góry ustalonych, γ 12 γ 22 γ m1 γ m2 - ε=[ε 1 ε 2 ε m] γ 1k γ 2k γ mk] - macierz param. przy zmiennych z góry ustalonych, wektor odchyleń losowych.
101 Postać zredukowana modelu wielorównaniowego Postać zredukowana modelu wielorównaniowego jest następująca: Y = Π T Z +η, gdzie: 11 Π =[π T π 21 π m1 - η=[η 1 η 2 η m] π 12 π 22 π m2 π 1k π 2k π mk] - macierz param. przy zmiennych z góry ustalonych, wektor odchyleń losowych postaci zredukowanej.
102 Między parametrami postaci zredukowanej i postaci strukturalnej istnieją następujące zależności: Π T = B 1 Γ, η=b 1 ε. Zadanie 48. Dany jest następujący model: W t =α 1 P t +α 2 W t 1 +α 3 S t 1 +α 4 +ε 1, P t = β 1 W t +β 2 W t 1 + β 3 S t 1 + β 4 +ε 2. a) Napisać postać strukturalną modelu, b) Napisać postać zredukowaną modelu, c) Wyrazić parametry i odchylenia losowe postaci zredukowanej jako funkcje tych wielkości z postaci strukturalnej.
103 Klasyfikacja modeli wielorównaniowych Ze względu na powiązania pomiędzy zmiennymi endogenicznymi nieopóźnionymi w czasie modele wielorównaniowe klasyfikuje się na: modele proste, modele rekurencyjne, modele o równaniach współzależnych. Rozpoznanie klasy modelu wielorównaniowego dokonuje się poprzez badanie macierzy B. Jeśli macierz B: jest macierzą diagonalną lub może okazać się taką po przenumerowaniu równań modelu to model nazywamy prostym, jest macierzą trójkątną lub może okazać się taką macierzą po przenumerowaniu równań lub zmianie miejsc zmiennych w równaniach to model nazywamy rekurencyjnym; jeśli macierz B nie jest macierzą diagonalną lub trójkątną to model jest modelem o równaniach współzależnych.
104 Zadanie 49. Rozpoznać klasę poniższych modeli: a) Y 1 =γ 11 Z 1 +γ 12 Z 2 +γ 1 +ε 1, Y 2 =β 21 Y 1 +γ 22 Z 2 +γ 2 +ε 2 ; b) Y 1 =α 1 Y 2 +γ 11 Z 1 +γ 12 Z 2 +γ 1 +ε 1, Y 2 =γ 21 Z 1 +γ 23 t+γ 2 +ε 2, Y 3 = β 31 Y 1 + β 32 Y 2 +γ 3 +ε 3 ; c) Y 1 = β 12 Y 2 +γ 11 Z 1 +γ 1 +ε 1, Y 2 =β 21 Y 1 +γ 22 Z 2 +γ 2 +ε 2 ; d) X t =α 1 X t 1 +α 2 X t 2 +α 3 X t 3 +α 4 +ε 1, Y t =β 1 Y t 1 + β 2 X t 2 +β 3 +ε 2 ; e) Y 1 =α 1 logx +α 2 +ε 1, Y 2 = β 1 Y β 2 X 2 +β 3 +ε 2, Y 3 =γ 1 1 Y 2 +γ 2 X 3 +γ 3 +ε 3 ;
105 Szacowanie parametrów modeli prostych i rekurencyjnych W tych dwóch rodzajach modeli nie występuje sprzężenie zwrotne pomiędzy nieopóźnionymi w czasie zmiennymi endogenicznymi. Dlatego każde równanie może być rozpatrzone osobno i traktowane jako model jednorównaniowy. Parametry każdego równania mogą zostać oszacowane osobno za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów. Zadanie 50. Zbudowano model dwurównaniowy: Y 1 =α 1 t+α 2 +ε 1, Y 2 =β 1 Y 1 + β 2 +ε 2. Mając następujące dane: t y t y t Oszacować parametry strukturalne, standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych oraz wariancję odchyleń losowych poszczególnych równań.
106 Zadanie 51. Dany jest model dwurównaniowy: Y 1 =α 11 Z 1 +α 12 Z 2 +α 13 +ε 1, Y 2 =α 21 Z 1 +α 22 Z 2 +α 23 +ε 2. Oszacować parametry strukturalne, wariancję odchyleń losowych poszczególnych równań i standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych mając następujące dane: t y t y t z t z t Zadanie 52. Zbudować następujący model: Y 1 =α 1 Z +α 2 +ε 1, Y 2 = β 1 Y 1 + β 2 +ε 2, Y 3 =γ 1 Y 2 +γ 2 +ε 3. Oszacować parametry strukturalne, standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych oraz wariancję odchyleń losowych poszczególnych równań modelu mając następujące dane: t y t y t y t z t
107 Identyfikowalność modeli o równaniach współzależnych Przed przystąpieniem do szacowania parametrów modeli o równaniach współzależnych należy zbadać identyfikowalność poszczególnych równań. Jeśli równanie jest identyfikowalne, to można oszacować jego parametry. Jeśli równanie nie jest identyfikowalne, to nie można oszacować jego parametrów. Cały model o równaniach współzależnych jest identyfikowalny, jeśli wszystkie jego równania są identyfikowalne.
108 Twierdzenie. Warunkiem koniecznym i dostatecznym tego, aby i-te równanie wchodzące w skład modelu o m równaniach współzależnych było identyfikowalne, jest by macierz A i parametrów znajdujących się przy zmiennych, które są w modelu, a nie występują w równaniu, którego identyfikowalność jest badana, była rzędu m-1. Niech k i oznacza liczbę zmiennych, które znajdują się w modelu a nie występują w równaniu, którego identyfikowalność jest badana. Jeśli: k i = m 1, to równanie jest jednoznacznie identyfikowalne; k i > m 1, to równanie jest niejednoznacznie indentyfikowalne; k i < m 1, to równanie jest nieidentyfikowalne. Rozróżnienie to jest istotne z punktu widzenia metody szacowania parametrów modelu o równaniach współzależnych.
Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego
Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych
Bardziej szczegółowoK wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.
Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.
EKONOMETRIA Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar egatnar@mail.wz.uw.edu.pl Sprawy organizacyjne Wykłady - prezentacja zagadnień dotyczących: budowy i weryfikacji modelu ekonometrycznego, doboru zmiennych, estymacji
Bardziej szczegółowoPrzykład 2. Stopa bezrobocia
Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
Bardziej szczegółowoTEST STATYSTYCZNY. Jeżeli hipotezę zerową odrzucimy na danym poziomie istotności, to odrzucimy ją na każdym większym poziomie istotności.
TEST STATYSTYCZNY Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania rozstrzygająca, przy jakich wynikach z próby hipotezę sprawdzaną H 0 należy odrzucić, a przy jakich nie ma podstaw do jej odrzucenia.
Bardziej szczegółowoparametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,
诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów
Bardziej szczegółowoJEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY
JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 2 i 3 EKONOMETRIA dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Ekonometria podstawowe definicje II. Etapy budowy modelu ekonometrycznego III. Wybrane metody doboru zmiennych do modelu
Bardziej szczegółowoStatystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ekonometria 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 5 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP PRZEDMIOTU
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Bardziej szczegółowo3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa
Bardziej szczegółowoAnaliza autokorelacji
Analiza autokorelacji Oblicza się wartości współczynników korelacji między y t oraz y t-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników.
Bardziej szczegółowoEkonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 9 marca 2007
, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pawel@cibis.pl 9 marca 2007 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności Skorygowany R
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34
Statystyka Wykład 9 Magdalena Alama-Bućko 24 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia 2017 1 / 34 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia
Bardziej szczegółowoEkonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006
, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pcibis@o2.pl 23 marca 2006 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności 2 3 Etapy transformacji
Bardziej szczegółowoEkonometria. Zajęcia
Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
Bardziej szczegółowoRegresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna
Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować
Bardziej szczegółowoWspółczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ
Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia IV
Ćwiczenia IV - 17.10.2007 1. Spośród podanych macierzy X wskaż te, których nie można wykorzystać do estymacji MNK parametrów modelu ekonometrycznego postaci y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ε 2. Na podstawie
Bardziej szczegółowo2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Sprawdzanie założeń przyjętych o modelu (etap IIIC przyjętego schematu modelowania regresyjnego) 1. Szum 2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowo1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej:
Metoda analizy macierzy współczynników korelacji Idea metody sprowadza się do wyboru takich zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i równocześnie słabo skorelowane
Bardziej szczegółowoRegresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych (X1, X2, X3,...) na zmienną zależną (Y).
Statystyka i opracowanie danych Ćwiczenia 12 Izabela Olejarczyk - Wożeńska AGH, WIMiIP, KISIM REGRESJA WIELORAKA Regresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych
Bardziej szczegółowoEkonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Ćwiczenia nr 3 Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 3 Własności składnika losowego 1 / 18 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4 Jakub Mućk
Bardziej szczegółowoREGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ MODEL REGRESJI WIELORAKIEJ. Analiza regresji i korelacji
Statystyka i opracowanie danych Ćwiczenia 5 Izabela Olejarczyk - Wożeńska AGH, WIMiIP, KISIM REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ MODEL REGRESJI WIELORAKIEJ MODEL REGRESJI LINIOWEJ Analiza regresji
Bardziej szczegółowoKorelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych
Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA WYKŁAD. Maciej Wolny
EKONOMETRIA WYKŁAD Maciej Wolny mwolny@chorzow.wsb.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/mwolny/default.aspx AGENDA. Wprowadzenie (informacje organizacyjne, czym jest ekonometria, zakres wykładu).. Model ekonometryczny
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
round Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 13 grudnia 2014 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoprzedmiotu Nazwa Pierwsza studia drugiego stopnia
Nazwa przedmiotu K A R T A P R Z E D M I O T U ( S Y L L A B U S ) O p i s p r z e d m i o t u Kod przedmiotu EKONOMETRIA UTH/I/O/MT/zmi/ /C 1/ST/2(m)/1Z/C1.1.5 Język wykładowy ECONOMETRICS JĘZYK POLSKI
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 ceny mieszkań
Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie
Bardziej szczegółowoPrognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego
Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Przykład. Firma usługowa świadcząca usługi doradcze w ostatnich kwartałach (t) odnotowała wynik finansowy (yt - tys. zł), obsługując liczbę klientów (x1t)
Bardziej szczegółowoProjekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2017/2018
Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2017/2018 Nr indeksu... Imię i Nazwisko... Nr grupy ćwiczeniowej... Imię i Nazwisko prowadzącego... 1. Specyfikacja modelu
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoKORELACJE I REGRESJA LINIOWA
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Zależność przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna), funkcyjna stochastyczna
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoEkonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis 12 maja 2007
Weryfikacja modelu Paweł Cibis pawel@cibis.pl 12 maja 2007 1 Badanie normalności rozkładu elementu losowego Test Hellwiga dla małej próby Test Kołmogorowa dla dużej próby 2 Testy Pakiet Analiza Danych
Bardziej szczegółowoWielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna
Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna
Bardziej szczegółowoZależność. przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna),
Zależność przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna), funkcyjna stochastyczna Korelacja brak korelacji korelacja krzywoliniowa korelacja dodatnia korelacja ujemna Szereg korelacyjny numer
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych
Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania
Bardziej szczegółowoProjekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015
Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2014/2015 Nr indeksu... Imię i Nazwisko... Nr grupy ćwiczeniowej... Imię i Nazwisko prowadzącego... 1. Specyfikacja modelu
Bardziej szczegółowoAnaliza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817
Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817 Zadanie 1: wiek 7 8 9 1 11 11,5 12 13 14 14 15 16 17 18 18,5 19 wzrost 12 122 125 131 135 14 142 145 15 1 154 159 162 164 168 17 Wykres
Bardziej szczegółowoAnaliza współzależności zjawisk
Analiza współzależności zjawisk Informacje ogólne Jednostki tworzące zbiorowość statystyczną charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą wielu cech zmiennych, które nierzadko pozostają ze sobą w pewnym związku.
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych
Bardziej szczegółowoNiestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie
Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 28 listopada 2018 Plan zaj eć 1 Rozk lad estymatora b 2 3 dla parametrów 4 Hipotezy l aczne - test F 5 Dodatkowe za lożenie
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność
Bardziej szczegółowo3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu
3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 1. Metody analizy własności szeregu czasowego obserwacji 1.1. Analiza wykresu szeregu czasowego 1.2. Analiza statystyk opisowych zmiennej prognozowanej
Bardziej szczegółowoPDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoEkonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model
Bardziej szczegółowoEkonometria. Robert Pietrzykowski.
Ekonometria Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info Na dziś Sprawy bieżące Prowadzący Zasady zaliczenia Konsultacje Inne 2 Sprawy ogólne czyli co nas czeka Zaliczenie
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoStatystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Bardziej szczegółowoPodstawy ekonometrii. Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar prof. WSBiF
Podstawy ekonometrii Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar prof. WSBiF Cele przedmiotu: I. Ogólne informacje o przedmiocie. - Opanowanie podstaw teoretycznych, poznanie przykładów zastosowań metod modelowania
Bardziej szczegółowoNarzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski
Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Bardziej szczegółowoEkonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoEkonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota
Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych
Bardziej szczegółowoTESTY NIEPARAMETRYCZNE. 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa.
TESTY NIEPARAMETRYCZNE 1. Testy równości średnich bez założenia normalności rozkładu zmiennych: Manna-Whitney a i Kruskala-Wallisa. Standardowe testy równości średnich wymagają aby badane zmienne losowe
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoNatalia Neherbecka. 11 czerwca 2010
Natalia Neherbecka 11 czerwca 2010 1 1. Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 2. Uogólniona MNK 3. Stosowalna Uogólniona MNK 4. Odporne macierze wariancji i kowariancji b 2 1. Konsekwencje
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoe) Oszacuj parametry modelu za pomocą MNK. Zapisz postać modelu po oszacowaniu wraz z błędami szacunku.
Zajęcia 4. Estymacja i weryfikacja modelu model potęgowy Wersja rozszerzona W pliku Funkcja produkcji.xls zostały przygotowane przykładowe dane o produkcji, kapitale i zatrudnieniu dla 27 przedsiębiorstw
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 10 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia / 31
Statystyka Wykład 8 Magdalena Alama-Bućko 10 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia 2017 1 / 31 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia
Bardziej szczegółowo5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej
5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej 1. Model Sezonowości kwartalnej i autoregresji zmiennej prognozowanej (rząd istotnej autokorelacji K = 1) Szacowana postać: y = c Q + ρ y, t =
Bardziej szczegółowoEkonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006
Weryfikacja modelu Paweł Cibis pcibis@o2.pl 6 kwietnia 2006 1 Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu Testy Pakiet Analiza Danych Uwagi 2 Test dla małej próby Test dla dużej próby 3 Test Durbina-Watsona
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowo1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej
1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między
Bardziej szczegółowoWykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu
Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów
Bardziej szczegółowoSzymon Bargłowski, sb39345 MODEL. 1. Równania rozpatrywanego modelu: 1 PKB t = a 1 a 2 E t a 3 Invest t 1
Szymon Bargłowski, sb39345 MODEL 1. Równania rozpatrywanego modelu: 1 PKB t = a 1 a 2 E t a 3 Invest t 1 2 C t = b 1 b 2 PKB t b 3 Invest t 1 b 4 G t 2 3 Invest t = d 1 d 2 C t d 3 R t 3 gdzie: G - wydatki
Bardziej szczegółowoMetoda Johansena objaśnienia i przykłady
Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian
Bardziej szczegółowoREGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe (forma strukturalna)
Modele wielorównaniowe (forma strukturalna) Formę strukturalna modelu o G równaniach AY t = BX t + u t, gdzie Y t = [y 1t,..., y Gt ] X t = [x 1t,..., x Kt ] u t = [u 1t,..., u Gt ] E (u t ) = 0 Var (u
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoEkonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007
Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowo