Liczby pierwsze Fermata
|
|
|
- Grażyna Tomczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Liczby pierwsze Fermata Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki l skiej Witold.Tomaszewski@polsl.pl
2 Pierre de Fermat Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 2 / 13
3 Pierre de Fermat Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 3 / 13
4 Pierre de Fermat ur. 17 sierpnia 1601 w Beaumont-de-Lomagne Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 3 / 13
5 Pierre de Fermat Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 4 / 13
6 Pierre de Fermat zm. 12 stycznia 1665 w Castres Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 4 / 13
7 Pierre de Fermat Wikipedia: itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
8 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
9 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
10 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
11 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
12 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
13 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod wspóªrz dnych w geometrii itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
14 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod wspóªrz dnych w geometrii Wykazaª,»e wszystkie krzywe drugiego stopnia da si uzyska przez odpowiednie przecinanie pªaszczyzn powierzchni sto»ka itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
15 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod wspóªrz dnych w geometrii Wykazaª,»e wszystkie krzywe drugiego stopnia da si uzyska przez odpowiednie przecinanie pªaszczyzn powierzchni sto»ka Podaª metod znajdowania ekstremum funkcji Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
16 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s du) w Tuluzie Wi kszo± jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod wspóªrz dnych w geometrii Wykazaª,»e wszystkie krzywe drugiego stopnia da si uzyska przez odpowiednie przecinanie pªaszczyzn powierzchni sto»ka Podaª metod znajdowania ekstremum funkcji Jego prace stworzyªy te» podstawy pod pó¹niejszy rozwój rachunku prawdopodobie«stwa Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 5 / 13
17 Osi gni cia Fermata liczby Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
18 Osi gni cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
19 Osi gni cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
20 Osi gni cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata zasada Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
21 Osi gni cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata zasada Fermata Maªe twierdzenie Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
22 Osi gni cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata zasada Fermata Maªe twierdzenie Fermata Wielkie twierdzenie Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 6 / 13
23 Liczby pierwsze Denicja Liczb naturaln p nazywamy pierwsz je±li ma dokªadnie 2 dzielniki 1 i p. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 7 / 13
24 Liczby pierwsze Denicja Liczb naturaln p nazywamy pierwsz je±li ma dokªadnie 2 dzielniki 1 i p. Przykªady 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 s liczbami pierwszymi, a 4, 6, 8, 9, 12 nie. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 7 / 13
25 Liczby pierwsze Denicja Liczb naturaln p nazywamy pierwsz je±li ma dokªadnie 2 dzielniki 1 i p. Przykªady 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 s liczbami pierwszymi, a 4, 6, 8, 9, 12 nie. Stwierdzenie Je±li liczba 2 n + 1 jest pierwsza to n = 2 m. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 7 / 13
26 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
27 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
28 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
29 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = = = 3 - pierwsza itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
30 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = = = 3 - pierwsza m = 1, F 1 = = = 5 - pierwsza itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
31 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = = = 3 - pierwsza m = 1, F 1 = = = 5 - pierwsza m = 2, F 2 = = = 17 - pierwsza Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
32 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = = = 3 - pierwsza m = 1, F 1 = = = 5 - pierwsza m = 2, F 2 = = = 17 - pierwsza m = 3, F 3 = = = pierwsza Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
33 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = = = 3 - pierwsza m = 1, F 1 = = = 5 - pierwsza m = 2, F 2 = = = 17 - pierwsza m = 3, F 3 = = = pierwsza m = 4, F 4 = = = pierwsza Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
34 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 2m + 1 nazywamy liczbami Fermata Oznaczmy F m = 2 2m + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F 0 = = = 3 - pierwsza m = 1, F 1 = = = 5 - pierwsza m = 2, F 2 = = = 17 - pierwsza m = 3, F 3 = = = pierwsza m = 4, F 4 = = = pierwsza m = 5, F 5 = = = Fermat nie wiedziaª Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 8 / 13
35 Przypuszczenie Fermata Fermat wysnuª takie przypuszczenie: Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 9 / 13
36 Przypuszczenie Fermata Fermat wysnuª takie przypuszczenie: Dla ka»dego m liczba F m = 2 2m + 1 jest pierwsza. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 9 / 13
37 Rozwi zanie Eulera itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 10 / 13
38 Rozwi zanie Eulera Rozwi zanie podaª matematyk szwajcarski Leonhard Euler ( ) Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 10 / 13
39 Rozwi zanie Eulera Twierdzenie (L. Euler) Liczba F 5 = = = nie jest pierwsza. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 11 / 13
40 Rozwi zanie Eulera Twierdzenie (L. Euler) Liczba F 5 = = = nie jest pierwsza. F 5 = = Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 11 / 13
41 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
42 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 n + 1 jest podzielna przez F m. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
43 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 n + 1 jest podzielna przez F m. Przykªad We¹my liczb F 2 = = = 17. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
44 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 n + 1 jest podzielna przez F m. Przykªad We¹my liczb F 2 = = = 17. Obliczmy n = Fm 1 2 = 16 2 = 8. itold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
45 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 n + 1 jest podzielna przez F m. Przykªad We¹my liczb F 2 = = = 17. Obliczmy n = Fm 1 2 = 16 2 = = = 6562 = Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
46 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n = Fm 1 2 = 2 2m 1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 n + 1 jest podzielna przez F m. Przykªad We¹my liczb F 2 = = = 17. Obliczmy n = Fm 1 2 = 16 2 = = = 6562 = A wi c zgodnie z kryterium T. Pépine'a liczba F 2 jest pierwsza. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 12 / 13
47 Pytanie otwarte Wiadomo,»e dla 5 m 19 liczby F m nie s pierwsze. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 13 / 13
48 Pytanie otwarte Wiadomo,»e dla 5 m 19 liczby F m nie s pierwsze. Nieznane s»adne liczby pierwsze Fermata oprócz F m dla m = 0, 1, 2, 3, 4. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 13 / 13
49 Pytanie otwarte Wiadomo,»e dla 5 m 19 liczby F m nie s pierwsze. Nieznane s»adne liczby pierwsze Fermata oprócz F m dla m = 0, 1, 2, 3, 4. Pytanie Czy liczb pierwszych Fermata jest sko«czenie czy niesko«czenie wiele? Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczby l skiej pierwsze Fermata Witold.Tomaszewski@polsl.pl) 13 / 13
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
O układzie współrzędnych. Kinga Kolczyńska - Przybycień
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Każdy z was na pewno w swoim życiu widział mapę W naturalny sposób powstaje pytanie po co w ogóle są mapy? Najbardziej prostą odpowiedzią jest to, że pomagają w przemieszczaniu
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Spis treści: 3. Geometrii innych niż euklidesowa.
Matematyka Geometria Spis treści: 1. Co to jest geometria? 2. Kiedy powstała geometria? 3. Geometrii innych niż euklidesowa. 4. Geometrii różniczkowej. 5. Geometria. 6. Matematyka-konieckoniec Co to jest
Grupy generowane przez mep-pary
Grupy generowane przez mep-pary Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Szaszkowskiego i Marka Żabki) Zakład Algebry Instytut Matematyki Politechnika Śląska e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Algorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos
Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Równanie Pella Sławomir Cynk
Równanie Pella Sławomir Cynk 22 listopada 2001 roku John Pell ur. 1 marca 1611 w Southwick, Sussex, Anglia zm. 12 grudnia 1685 w Londynie. Matematyk oraz astronom brytyjski, podobno główny (współ-)autor
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji
Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
Wygra Polska czy Brazylia, czyli o tym jak zwięźle zapisywać informacje
Wygra Polska czy Brazylia, czyli o tym jak zwięźle zapisywać informacje Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl Je n ai fait celle-ci plus longue
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.
Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb
Co i czym mo»na skonstruowa
Co i czym mo»na skonstruowa Jarosªaw Kosiorek 5 maja 016 Co mo»na skonstruowa? Maj c dany odcinek dªugo±ci 1 mo»na skonstruowa : 1. odcinek dªugo±ci równej dowolnej liczbie wymiernej dodatniej;. odcinek
ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów
ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów Popularne denicje algorytmu przepis opisuj cy krok po kroku rozwi zanie problemu lub osi gni cie jakiego± celu. (M. Sysªo, Algorytmy, ±ci±lejszej denicji w ksi»ce
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Wyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Wielokąty foremne. (Konstrukcje platońskie)
Wielokąty foremne (Konstrukcje platońskie) 1 Definicja 1. Wielokąt wypukły nazywa się foremny, jeżeli ma wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe. Przykładami wielokątów foremnych są trójkąt równoboczny,
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Polska-Brazylia 5:0, czyli o poprawianiu błędów w przekazywanych informacjach
Polska-Brazylia 5:0, czyli o poprawianiu błędów w przekazywanych informacjach Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl Witold Tomaszewski (Instytut
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Fraktale i ich zastosowanie
WFAIS UJ w Krakowie 20 listopada 2008 Denicja Wst p Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny Fraktal to obiekt, który speªnia wi kszo± z poni»szych warunków: jest samopodobny; jego wymiar fraktalny jest
Semestr letni 2014/15
Wst p do arytmetyki modularnej zadania 1. Jaki dzie«tygodnia byª 17 stycznia 2003 roku, a jaki b dzie 23 sierpnia 2178 roku? 2. Jaki dzie«tygodnia byª 21 kwietnia 1952 roku? 3. W jaki dzie«odbyªa si bitwa
Strategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Liczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:
Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich
Tajemnice liczb pierwszych i tych drugich Barbara Roszkowska-Lech MATEMATYKA DLA CIEKAWYCH ŚWIATA Liczby całkowite stworzył dobry Bóg, wszystko inne wymyślili ludzie Leopold Kronecker (1823-1891) Liczby
Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
ZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Stereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw
Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Uczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB
MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB PAWEŠ GŠADKI Teoria liczb, mogªoby si wydawa, jest gaª zi matematyki zajmuj c si histori i lozo poj cia liczby, jego rozwojem i uogólnieniami. W rzeczywisto±ci
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH
OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój
Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011
Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi.
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego
Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego Iwona Malinowska, Zbigniew Šagodowski 25 maja 2015 I. Malinowska, Z. Lagodowski Geometria 25 maja 2015 1 / 30 Rozwa»my dwie proste przecinaj ce si pod k tem α, 0
Leonhard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei zm. 18 września 1783 w Petersburgu uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii
Leonhard Euler Leonhard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei zm. 18 września 1783 w Petersburgu uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii Dzieciństwo i młodość przeprowadzka
ANALIZA EGZAMINU MATURALNEGO. w LVI Liceum Ogólnokształcącym im. Leona Kruczkowskiego w Warszawie
ANALIZA EGZAMINU MATURALNEGO w LVI Liceum Ogólnokształcącym im. Leona Kruczkowskiego w Warszawie ROK SZKOLNY 7/8 WSTĘP Egzamin maturalny w roku szkolnym 7/8 w LVI Liceum Ogólnokształcącym im. Leona Kruczkowskiego
Rozmaitości matematyczne. dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS
Rozmaitości matematyczne dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS Liczby i zbiory Liczby naturalne Liczby pierwsze Liczby złożone Liczby doskonałe I i II Liczby bliźniacze Liczby zaprzyjaźnione Liczby
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Kompresja punktów na krzywych eliptycznych
R. Dryªo (IMPAN) Kompresja na krzywych eliptycznych KBBS 2015 1 / 21 Kompresja punktów na krzywych eliptycznych Robert Dryªo IMPAN II Konferencja Naukowo Przemysªowa KBBS Zielona Góra, 17-18 marzec 2015
W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,
2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna
Wielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Model obiektu w JavaScript
16 marca 2009 E4X Paradygmat klasowy Klasa Deniuje wszystkie wªa±ciwo±ci charakterystyczne dla wybranego zbioru obiektów. Klasa jest poj ciem abstrakcyjnym odnosz cym si do zbioru, a nie do pojedynczego
Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy