3. Pokazać z definicji, że iloczyn wektorowy dwóch wektorów ma postać:

Transkrypt

1 Wyział PPT; kierunek Inż. Biomeyczna. Lisa nr o kursu Fizyka.3A, r. ak. 04/5. Lisa po koniec zawiera zaania przeznaczone o samozielnego rozwiązania Suia. sopnia na kierunku Inżynieria Biomeyczna obywają się zgonie z Krajowymi Ramami Kwalifikacji; więcej na sronie hp:// Kara przemiou osępna po aresem hp:// zawiera m.in. wymagania wsępne w zakresie wiezy, umiejęności oraz innych kompeencji uczesników kursu, cele przemiou, przemioowe efeky kszałcenia w zakresie: wiezy, umiejęności oraz kompeencji społecznych, reści wykłaów i ćwiczeń rachunkowych, lisę sosowanych narzęzi yakycznych, spis lieraury oraz macierz powiązań przemioowych z kierunkowymi efekami kszałcenia. Zasay zaliczenia ćwiczeń rachunkowych określa szczegółowo okumen osępny po aresem hp:// Zasay zaliczenia egzaminu są opisane w okumencie hp:// Tabele wzorów maemaycznych i fizycznych są osępne na sronach hp:// i hp:// a obecna lisa zaań po aresem hp:// Kolejne lisy zaań o kursu bęą osępne na sronie wykłaowcy (np. lisa nr w pliku hp:// i) i sronach nauczycieli akaemickich prowazących ćwiczenia. Suenka/suen jes zobowiązana(y) o wyrukowania ww. abel, lis zaań i przynoszenia abel i lis na zajęcia w porfolio. Lisa nr ma za zaanie zobycie przez suenów wiezy z zakresu posaw rachunku wekorowego, różniczkowocałkowego oraz przypomnienie posawowych wielkości kinemaycznych.. Zefiniować, za pomocą rzech orogonalnych wersorów, prawo- i lewoskręny prosokąny ukła współrzęnych. Narysować na ablicy oba ukłay.. Pokazać z efinicji, że iloczyn skalarny wóch wekorów ma posać w karezjańskim ukłazie współrzęnych: 3. Pokazać z efinicji, że iloczyn wekorowy wóch wekorów ma posać: 4. Samozielnie zapoznaj się z uzasanieniami zamieszczonymi na końcu lisy, równości: a) a ( b c ) = b ( c a) = c ( a b), a b c = b c a c a b. b) Zauważ, że cykliczne przesawianie symboli wekorów znacznie pomaga i uławia zapamięywaniu powyższych wzorów.

2 5. [zaanie 38 z rozziału 3. poręcznika HRW] Dwa wekory a i b mają skłaowe (w merach): ax = 3,, a y =,6, b x = 0,5, b y = 4,5. Znajź ką mięzy kierunkami wekorów a i b. Na płaszczyźnie XY można znaleźć wa wekory, kóre są prosopałe o wekora a i mają ługość równą 5 m. Jeen z nich c ma oanią skłaową x, a rugi ma skłaową x ujemną. Wyznacz skłaowe x i y wekora c oraz skłaowe x i y wekora. 6. Poać graficzną inerpreację pochonej na wykresie funkcji f(). 7. Samozielnie korzysając z abeli wzorów maemaycznych. Wyznaczyć pochone nasępujących funkcji, gzie x 0, A, ω są sałymi: v ( x0 3 6 ) v ( A ) v ( A sin ( ω )), = +, a v( ) v A sin ω = ( ), = ( ), v = (( A sin ω ) ), = sin ( ω ), v = A cos ( ω), v ( ) A sin ( ω) f = =, sin ( ω) cos( ω), f ( ω) ( ω) = = ( sin cos ), n f ( ) ( ω ) =, gzie n jes liczbą całkowią. 8. Poać graficzną inerpreację całki oznaczonej na wykresie funkcji f(). 9. Samozielnie korzysając z abeli wzorów maemaycznych. Wyznaczyć całki nieoznaczone, gzie v 0, a, ω są sałymi, n jes liczbą całkowią ( v 0 ± a ), ( ±a), sin ( ω), różne przypaki n) (rozparzyć cos ω, ( v n 0 ± a ) 0. Samozielnie korzysając z abeli wzorów maemaycznych. Wyznaczyć całki oznaczone, gzie v 0, a, ω są sałymi, n jes liczbą całkowią ( v0 ± a ), ( ±a), sin ( ω ), n cos ω, ( v0 ± a ) n jes liczbą całkowią; rozparzyć różne warości n.. A. Oszacować: a) liczbę aomów miezi w jenym merze sześciennym ego mealu, b) liczbę aomów azou i lenu w sali, w kórej obywają się zajęcia, c) liczbę cząseczek woy, liczbę proonów i liczbę neuronów we własnym ciele, zakłaając, że ciało skłaa się w 00% z woy, ) całkowią liczbę oechów człowieka, kóry przeżył 9 la, e) całkowią liczbę skurczów serca człowieka w wieku 50 la..b. Soisz na wieży wiokowej Sky Tower. Pogoa jes iealna. Powierze jes przeźroczyse. Oszacuj jak aleko o Ciebie znajuje się winokrąg, jeśli soisz na wys. 00 m o ziemi plus Twoja wysokość oczu na parkieem plaformy wiowiskowej? Pożyeczne maeriały w Inernecie hp://pl.wikibooks.org/wiki/meoy_maemayczne_fizyki hp://pl.wikibooks.org/wiki/meoy_maemayczne_fizyki/działania_na_wekorach#iloczyn_mieszany Wrocław, paźziernika 04 Oprac. W. Saleja

3 Dowó ze srony: hp://pl.wikibooks.org/wiki/meoy_maemayczne_fizyki/działania_na_wekorach#iloczyn_mieszany Iloczyn mieszany Pierwsza równość w (.3) jes iloczynem skalarnym wekorów c i a b. Tożsamości (.4) są nasępswem właściwości wyznacznika z (.3). Przesawiając pierwszy wiersz kolejno z rugim i rzecim orzymujemy pierwszą równość (.4), j. a a a b b b x y z c c c. Poobnie przesawiając osani wiersz kolejno z rugim i pierwszym osajemy rugą równość w (.4), j. b b b c c c. x y z a a a 3

4 Zaania przeznaczone o samozielnego rozwiązania. Rowerzyści w czasie wycieczki rejesrowali swoją prękość. a) Rowerzysa A gozinę jechał z prękością v = 5 km/h poczas rugiej na skuek zmęczenia jechał z prękością v = 5 km/h. b) Rowerzysa B pierwsze 0 km jechał z prękością v = 5 km/h a kolejne 0 km z prękością v = 5 km/h. c) Rowerzysa C gozinę jechał z prękością v = 5 km/h a nasępne 0 km z prękością v = 5 km/h. Oblicz prękości śrenie rowerzysów.. Inianin Sokole oko przejechał na koniu oległość S zielącą jego wigwam o źróła woy pinej z prękością V = 0 km/h. Z jaką prękością powinien wrócić o obozu, aby jego prękość śrenia była równa: a) V/3; b) V? Uzasanij, że w przypaku b) nie isnieje skończona prękość powrou. 3. Rybak płynie łóką w górę rzeki. Przepływając po mosem gubi zapasowe wiosło, kóre wpaa o woy. Po gozinie rybak sposrzega brak wiosła. Wraca z powroem i ogania wiosło w oległości 6 km poniżej mosu. Jaka jes prękość rzeki, jeśli rybak poruszając się zarówno w górę, jak i w ół rzeki wiosłuje jenakowo? 4. Prękość łóki wzglęem woy wynosi v. Jak należy skierować łóź, aby przepłynąć rzekę w kierunku prosopałym o brzegu? Woa w rzece płynie z prękością u. 5. Krople eszczu spaają na ziemię z chmury znajującej się na wysokości 700 m. Oblicz, jaką warość prękości (w km/h ) miałyby e krople w chwili upaku na ziemię, gyby ich ruch nie był spowalniany w wyniku oporu powierza. 6. Dwóch pływaków A i B skacze jenocześnie o rzeki, w kórej woa płynie z prękością v. Prękość c (c > v) każego pływaka wzglęem woy jes aka sama. Pływak A przepływa z prąem oległość L i zawraca o punku saru. Pływak B płynie prosopale o brzegów rzeki (pomimo znoszącego go prąu) i oala się na oległość L, po czym zawraca o punku saru. Kóry z nich wróci pierwszy? 7. Cząska rozpoczyna ruch przyspieszony z zerową prękością począkową. Zależność przyspieszenia o czasu przesawia wykres. Wyznaczyć: (a) prękość cząski w chwilach = 0 s i = 0 s; (b) śrenią prękość w czasie o o ; (c) rogę przebyą przez nią po czasie. 8. Oblicz prękość uzyska ciało poruszające się rok prosoliniowo z przyspieszeniem g = 9,8m/s. 9. Kulka swobonie spaając z wysokości H pokonuje H/ w osaniej sekunzie ruchu. Oblicz H? 0. Moocyklisa rusza ze sałym przyspieszeniem a = 0.5 m/s. Po 0,6 min o chwili rozpoczęcia ruchu zarzymuje go policjan. Czy moocyklisa bęzie płacił mana z powou przekroczenia ozwolonej prękości 60 km/h?. Aby móc oerwać się o powierzchni loniska samolo musi osiągnąć prękość v = 00m s. Znaleźć czas rozbiegu i przyspieszenie samolou, jeżeli ługość rozbiegu wynosi = 600 m. Założyć, że ruch samolou jes jenosajnie zmienny.. Samochó jaący z prękością v0 = 36 km h w pewnej chwili zaczął hamować i zarzymał się po upływie = s. Zakłaając, że ruch samochou był jenosajnie zmienny, wyznacz jego przyspieszenie a oraz rogę s, jaką przebył poczas hamowania. 3. W chwili, gy zapala się zielone świało, samochó osobowy rusza z miejsca ze sałym przyspieszeniem a równym, m/s. W ej samej chwili wyprzeza go ciężarówka, jaąca ze sałą prękością 9,5 m/s. (a) 4

5 W jakiej oległości o sygnalizaora samochó osobowy ogoni ciężarówkę? (b) Ile wynosić bęzie wówczas jego prękość? 4. Wysokość szybu winy w hoelu Marquis Marrio w Nowym Jorku wynosi 90 m. Maksymalna prękość kabiny jes równa 305 m/min. Przyspieszenie winy w obu kierunkach jazy ma warość, m/s. (a) Na jakiej roze ruszający z miejsca wagonik osiąga maksymalną prękość jazy? (b) Jak ługo rwa pełny, 90-merowy przejaz wagonika bez zarzymania po roze? 5. W biegu na 00 merów Ben Johnson i Carl Lewis przecinają linię mey na osanim wyechu równocześnie w czasie 0, s (bo wiar był przeciwny). Przyspieszając jenosajnie, Ben porzebuje s, a Carl 3 s, aby osiągnąć maksymalne prękości, kóre nie zmieniają się o końca biegu. (a) Jakie są maksymalne prękości oraz przyspieszenia obu sprinerów? (b) Jaka jes ich maksymalna prękość wzglęna? (c) Kóry z nich prowazi w 6. sekunzie biegu? 6. Dane są wa wekory: a = 3î + 4ĵ 5k oraz b = -î +ĵ +6k. Wyznaczyć: a) ługość każego wekora, b) iloczyn skalarny a b, c) ką pomięzy wekorem (a b) a wekorem (a + b). 7. Wekory a i b spełniają relacje: a + b = î - ĵ +5k ; a 5b = -5î +ĵ +9k. Wyznaczyć wekory a i b. Czy wekory e są o siebie prosopałe? 8. Dany jes wekor a = 7î + ĵ. Wyznaczyć wekor jenoskowy, prosopały o ego wekora. 9. Dane są wa wekory: a = 3î + 4ĵ oraz b = 6î + 6ĵ. Rozłożyć wekor b na skłaowe: równoległą i prosopałą o wekora a. 0. W punkach o współrzęnych (,) oraz (3,7) karezjańskiego ukłau współrzęnych umieszczono po jenej cząsce. Wyznaczyć ką, jaki worzą wekory wozące ych cząsek.. Dany jes wekor A = 3î + 5ĵ. Wyznaczyć jego ługość i ką, jaki worzy z osią 0X.. Wekor siły A o ługości 5 N ziała w płaszczyźnie XY i jes nachylony po kąem 30 wzglęem osi 0X. Zapisać wekor w posaci A = A x î + A y ĵ. 3. Dane są wa wekory: A = î + 5ĵ oraz B = î - 4ĵ. Wyznaczyć: a) ługość każego z wekorów; b) ługość wekora C = A + B oraz ką jaki worzy on z wekorem A. 4. Wekory a oraz b spełniają relacje: a + b = î ĵ; a 5b = -5î + ĵ. Wyznaczyć e wekory. Czy są one o siebie prosopałe? 5. Wekory a oraz b spełniają relację: a + b = 0. Co możemy powiezieć o ych wekorach? 6. Długość wekora A wynosi 5 jenosek, a wekora B 7 jenosek. Jaka może być największa i najmniejsza ługość wekora R = A + B? 7. A i B o wielkości fizyczne mające określone wymiary. Kóre z poanych ziałań mają sens fizyczny: A- B, A+B, A/B, A B, jeśli wymiary A i B są: a) ienyczne, b) różne? 8. Położenie cząski zależy o czasu jak: x()=asin(ω). Jaki wymiar mają w ukłazie SI wielkości A i ω? 9. Przyspieszenie ośrokowe a ciała w ruchu po okręgu o promieniu R zależy o prękości ego ciała v i promienia R jak a =v α R β. Wyznaczyć, za pomocą analizy wymiarowej warości wykłaników α i β. Wskazówka: wymiar przyspieszenia: ługość/(czas), wymiar prękości: ługość/czas. 30. a)kropla oleju o masie 900 µg (mikrogramów) i o gęsości 98 kg rozpłynęła się na powierzchni woy worząc kolisą, szarą plamę o śrenicy 4 cm, uworzoną z jenej warswy (monowarswy) cząseczek oleju, Oszacować rzą wielkości śrenicy molekuły oleju. B)Ziarnko piasku o kuleczka kwarcu o śrenicy 50 µm (mikromerów) i gęsości 650 kg/m 3, a gęsość piasku wynosi 600 kg/m 3. Oszacować rzą liczby ziarenek piasku w jenym merze sześciennym. 3. Miliarer oferuje ci przekazanie miliara złoych w moneach jenozłoowych, ale po warunkiem, że przeliczysz je osobiście. Czy można przyjąć ę propozycję, jeśli przeliczenie jenej money rwa ylko sekunę? Wrocław, paźziernika 04 Oprac. W. Saleja 5