P O D S T A W Y E L E K T R O D Y N A M I K I Ć W I C Z E N I A Semestr zimowy r. ak. 2016/2017 ZADANIA

Transkrypt

1 Semestr zimowy r ak 6/7 ZDNI I Pokazać, że iv rot =, rot gra f =, iv (gra f gra g) =, gzie wektor i skalary f i g owolne funkcje różniczkowalne Wykazać tożsamości wektorowe (f, g wektory, B owolne funkcje różniczkowalne): - gra fg = f gra g + g gra f - iv f = f iv + gra f - rot f = f rot + (gra f) - iv B = B rot rot B - gra B = rot B + B rot + ( ) B + (B ) - gra iv = rot rot + iv gra - rot B = iv B B iv + (B ) ( ) B Wyrazić we współrzęnych kartezjańskich, cylinrycznych (walcowych) sferycznych wektor wozący r jego ługość, wykorzystując wektory jenostkowe określone w tych ukłaach współrzęnych 4 Obliczyć gra f(r), gzie owolna różniczkowalna funkcja f(r) zależy tylko o ługości wektora r, we współrzęnych kartezjańskich, cylinrycznych (walcowych) sferycznych 5 Obliczyć wektory jenostkowe wyrażone we współrzęnych kartezjańskich la ukłau cylinrycznego (walcowego) sferycznego Wykazać ortogonalność tych wektorów Określić skrętność (parzystość) ukłau 6 Sprawzić następujące operacje w różnych (kartezjańskim, cylinrycznym, sferycznym) ukłaach współrzęnych: gra r n = n r n- r, n=,+,+,, iv r=, rot r=, iv w = /r, rot w =, gzie w = r/r 7 Obliczyć gra (er), gra(er/r ), (e ) r, iv(e r), rot(e r), e -stały wektor 8 Obliczyć gra( B), iv(f), rot(f), gy, B i f zależą tylko o ługości wektora r 9 Obliczyć we współrzęnych cylinrycznych i sferycznych: gra f(r), f(r), iv (r), rot (r), funkcje f(r) i (r) zależą tylko o r ( r = la współrzęnych cylinrycznych) Pokazać, że r r r r r r Niech (r) bęzie wektorem o stałym kierunku Uowonić, że rot jest wektorem ortogonalnym o r Wyznaczyć wartość wyrażenia (B) B, gy B = y i x j + k Poać inne przykłay B Wykazać, że la współrzęnych walcowych [z], ln = rot k, gzie k jest wersorem osi Z

2 Semestr zimowy r ak 6/7 4 Posługując się twierzeniem Gaussa lub jego rozszerzeniami obliczyć całki I = r (n) S, I = (r) n S, gzie - stały wektor, n S = S 5 Posługując się twierzeniem Gaussa wykazać la owolnych pól wektorowych i B, który związek jest prawziwy związek: B V B S czy B V B S 6 W sferycznym ukłazie współrzęnych znaleźć rozwiązanie równania Laplace'a zależne jeynie o jenej współrzęnej r 7 Dana jest funkcja skalarna f=x +y +z pole wektorowe = xi+yj+zk Obliczyć: f,, (f) 8 Obliczyć całkę krzywoliniową, r wzłuż okręgu o promieniu a, gy: a) = xi yj + zk, b) = i sin y + j(x cos y) Sprawzić, że rot = Znaleźć taką funkcję U, że gra U = Sprawzić wynik za pomocą twierzenia Stokesa 9 Wykazać, że la owolnej zamkniętej powierzchni = Znaleźć ywergencję i rotację pola wektorowego: a) =(x + y )i + (y +x)j + (z +xy)k, b) =(xi + yj)/(x +y ) c) = yz i zx j + xy k, ) = sin x cosh y i cos x sinh y j + (x+y) k, e) = sin x sinh y i cos x cosh y j + xy k f) = (z y) i + (x y) j + (x y) k Określić jakie są to wektory Obliczyć następujące całki: 6 a ( x x ) ( x ), b cos x ( x ), c x ( x ), ln( x ) ( x ) Wykazać, że ( kx) ( x) k Obliczyć następujące całki: 5 II ( x) a x ( x ) b ( x ) (x), c ( x x ) ( x ), 9x (x ) e (x ax b) ( x b) 4 Wykazać, że (ε > ) a

3 Semestr zimowy r ak 6/7 e k cos kxk x 5 Obliczyć całkę (ε > ) ( x, ) la ( x, ) x exp( x ( x, ) / ) ikx sin kx 6 Korzystając ze związku ( x) e k wykazać, że ( x) lim k x 7 Wykorzystując rozwiązania równania falowego lemberta wyznaczyć relatywistyczny 4-potencjał (r,t) = [ (r,t), (r,t)] (potencjał Liénara-Wiecherta) wytwarzany przez jeen łaunek punktowy e wykonujący zaany ruch, określony równaniem r = r(t ) Najpierw przyjmując, że r(t) = r, wykazać związek: ( t t) t t c r r ( t) t t c r r ( t) t III Wykorzystując transformację Galileusza fakt, że o lagranżjanu można oać funkcję f(r,t)/t wykazać, że la klasycznej cząstki swobonej (w przestrzeni jenoronej i izotropowej) lagranżjan ma postać L(r,v,t) = L(v) = v, gzie stała, v prękość cząstki Na postawie transformacji wzorów Lorentza określających przejście czterowektora μ w czterowektor μ wyznaczyć zależności la ylatacji czasu i skrócenia Lorentza-Fitzgerala, relatywistyczne prawo skłaania prękości Wykazać, że element czaso-przestrzeni Ω = ctyz jest niezmiennikiem (inwariantem) transformacji Lorentza 4 Wykazać, że łaunek q zawarty w przestrzeni V jest niezmiennikiem transformacji Lorentza (Konorski) 5 Wykonać transformacje Lorentza la a) czterowektora prąu, b) czterowektora falowego (Konorski) 6 Konorski (VI) cz rozz 7 98 s 87-9 przykła: 96, 9, 9 7 Wykazać, że jeżeli w ukłazie istnieją wa strumienie cząstek różnoimiennych o różnych wartościach gęstości cząstek w spoczynku > i < ( < ) poruszające się: pierwszy z v =, rugi z v >, to istnieje taki ukła oniesienia poruszający się z prękością u, w którym znika pole elektryczne Przyjąć, że v = u i ustalić wartość natężenia pola E 8 Uwzglęniając, że transformacja obrotu C w 4-wymiarowej przestrzeni to transformacja liniowa taka, że: C i C inwariantem la transformacji obrotu ( ortogonalności: C C, że kwarat 4-wektora jest ) wykazać, że spełniona jest relacja

4 Semestr zimowy r ak 6/7 9 Na postawie poprzeniego zaania wykazać, że: C i C, z faktu, że kwarat 4-wektora jest inwariantem la transformacji obrotu ( ) wykazać, że spełniona jest ruga relacja ortogonalności: C C Uwzglęniając transformacje liniowe C, relacje ortogonalności: x C x x C Wykazać, że wyrażenia postaci: Lorentza x C C x x C, C, C C C pokazać, że j, równanie ciągłości x i cechowanie są niezmiennicze wzglęem transformacji grupy obrotów w czasoprzestrzeni, j 4-wektor prąu Sprawzić niezmienniczość wzglęem transformacji grupy obrotów w czasoprzestrzeni relatywistycznego równania Newtona (la nałaowanej cząstki w polu elektromagnetycznym, p e uwzglęniając siłę Lorentza) F u s c Wykazać niezmienniczość równań Maxwella wzglęem transformacji grupy obrotów w czasoprzestrzeni (zaanie 7) wykorzystując 4-wymiarową postać równań Maxwella: F 4 e F j, x x c gzie F 4-tensor pola elektromagnetycznego, j 4-wektor prąu 4 Wykazać niezmienniczość różniczkowych równań ciągłości la gęstości energii i gęstości pęu pola elektromagnetycznego wzglęem transformacji grupy obrotów w czasoprzestrzeni wykorzystując ich 4-wymiarowe postaci: T F j, x c gzie T 4-tensor energii i pęu pola elektromagnetycznego 5 Wykazać, że wyrażenia postaci: F F i F F są niezmiennikami wzglęem transformacji grupy obrotów 6 Wykazać, że przekształcenia ortogonalne: C C i C C tworzą grupę obrotów 7 Zakłaając, że obrót zachozi tylko w płaszczyźnie x x zefiniować postać tensora transformacji obrotu C, wykorzystując relacje ortogonalności C C i C C wyznaczyć jawną postać szczególnej transformacji Lorentza Przyjąć, że C zasaę, że zmiana znaku elementów tensora C ponoszeniu lub opuszczaniu ineksów przestrzennych (,) IV C zachozi tylko przy Pokazać, że gy pole H = H k to = Hx j lub = - Hy i, że gy E = E i to = - Ex, gzie pola H i E są stałe i jenorone 4

5 Semestr zimowy r ak 6/7 Znaleźć potencjały i rozważyć ich cechowanie we współrzęnych kartezjańskich i cylinrycznych a) H = Hz, H = const b) H = bt z, b = const Wyznaczyć energię potencjalną U jenoronie nałaowanej sfery o promieniu R i całkowitym łaunku Q (U = Q /R) 4 Wykorzystując wynik za wyznaczyć energię potencjalną ukłau wóch nałaowanych cząstek kul o promieniach r i R, i łaunkach q i Q, znajujących się w oległości ρ > r + R 5 Wykazać, że la stałego pola magnetycznego H = Hz zamkniętego w nieskończonym solenoizie o promieniu R, potencjał we współrzęnych cylinrycznych wyraża się następująco: H R = z = Y( R ) Y( R), gzie Y(x) oznacza funkcję Heavisie'a Wyznaczyć natężenie pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz solenoiu 6 Pokazać, że jeżeli wielkości fizyczne są określone za pomocą funkcji zespolonych np i t e t i E ( ) E H ( t) H e t, gzie E i H są stałymi zespolonymi wektorami, to śrenia po czasie z iloczynu skalarnego ich części rzeczywistych wyraża się następująco: Re E( t ) Re H( t) Re E H, w szczególności * Re E( t ) Re E( t) E 7 Wykazać, że w nieskończonym ośroku (nieograniczonym) o skończonej (niezerowej) konuktywności nie może istnieć trwały i stały w czasie rozkła łaunków elektrycznych (wykorzystać j = E - prawo Ohma) 8 Pole elektryczne w betatronie wyraża się wzorem E = z kt/, k stała, t czas, współrzęna cylinryczna Obliczyć pole magnetyczne Sprawzić, że H jest bezźrółowe i wirowe (iv H=, rot H ) Znaleźć potencjały la pól E i H 9 Określić ługość fali fotonu, którego energia opowiaa relatywistycznej energii spoczynkowej masy Ziemi Wyznaczyć potencjał i natężenie w punkcie P o jenoronie nałaowanego ocinka o zaanej ługości l Fala płaska o częstości rozchozi się w próżni w kierunku n: n = (i + j + k )/ 4 Wieząc, że E jest równoległe o płaszczyzny XY znaleźć równanie opisujące wektory fali E i H Wypisać potencjał zespolony W jenoronego pola elektrycznego o natężeniu E Rozpatrzyć przypaek szczególny pola elektrycznego wytwarzanego przez powierzchnię o gęstości powierzchniowej łaunku Wykorzystując wzór m = er v wyznaczyć moment magnetyczny kołowej ramki o promieniu R, w której płynie prą o natężeniu I 4 Wypisać równanie różniczkowe, które spełnia potencjał V = q exp(-r/a)/r Wielkości q i a stałe 5 Znaleźć potencjał i siłę Coulomba w n-wymiarowej przestrzeni Objętość n-wymiarowej kuli wynosi n = R n n/ /(n/)!, powierzchnia jest równa Sn = n/r Ponato (½)! = 6 Rozwiązać równanie różniczkowe opisujące precesję Larmora M e ΩM, gzie Ω H jest częstością Larmora t mc Niech Y(x) oznacza funkcję Heavisie'a Obliczyć w sensie teorii ystrybucji: V 5

6 Semestr zimowy r ak 6/7 a) ( k) Y(x) e kx, b) ( + q )Y(x) sin (qx)/q, c) m m m x Y( x) ( m )! k Obliczyć w sensie teorii ystrybucji wszystkie pochone x funkcji x k Wykazać, że ( / x + i / y)/(x + iy) = π δ(x + iy) 4 Wykazać, że la n-wymiarowej przestrzeni R n : n r 5 Wyznaczyć postać wyrażenia: la r, gzie x ( n ) S ( r) n n r la n =, n gzie S / ( n ) jest powierzchnią n-wymiarowej sfery n x n r x x n 6 Przykłay z poręcznika III: rozz IX,, s 6, przykłay,,, 4 rozz IX, 4, s 66, przykłay,, gzie t t c r r( t) 7 Szereg trygonometryczny k x sin kx k jest zbieżny w klasycznym sensie o funkcji okresowej o okresie, określonej la < x < Wykorzystując funkcję Heavisie a Y(x) zapisz rezultat sumowania szeregu la owolnego x, < x < Znajź pochoną ystrybucyjną tej funkcji TEMTY DO OPRCOWNI Funkcje pola I 9 rozz 68, 69, 7, 7, 7, 7, 74 s 5-4 Funkcje pola we współrzęnych krzywoliniowych I 8 rozz 66, 67 s 9-9, I - 4 rozz, 4 s 5-9 Funkcje pola we współrzęnych krzywoliniowych c I 4 rozz5, 6, 7 s Funkcje pola we współrzęnych krzywoliniowych przykłay I 4 przykła,,, 4 s Dywergencja I rozz 78, 79, 8 s -6 i Wzory Greena i niezmienniki pola 7 Rotacja I rozz 8 i 8 s 6-7 i 4-4 I rozz i s 5-55 i Funkcja elta Diraca XVI rozz 5 s 65-69, 7-7, 6

7 Semestr zimowy r ak 6/7 II rozz s 4-9, II - oatek 6 s Równanie Poissona i jego rozwiązanie I 4 rozz s 88-9 Prękość światła XI par 4- s 4-47, XIII rozz 4 s Doświaczenie Michelsona i Morleya; przestrzeń czterowymiarowa II rozz, s 7-, XIII rozz 5 s 6-64 Interwał czasoprzestrzenny niezmiennik transformacji VII rozz s 4-8 Moel Lonona naprzewonictwa XIV 49 s 97-4 I II III IV V L I T E R T U R E Karaśkiewicz zarys teorii wektorów i tensorów M Suffczyński elektroynamika J Górski, S Brychczy, T Czarliński, B Główczyńska, D Węglowska W Woźniak wybrane ziały matematyki stosowanej JD Jackson elektroynamika klasyczna LG Grieczko, WI Sugarow, OF Tomasiewicz, M Fieorcienko zaania z fizyki teoretycznej VI B Konorski elementy teorii wzglęności, relatywistycznej mechaniki i elektroynamiki VII VIII IX X XI XII LD, Lanau, EM Lifszic teoria pola fizyka teoretyczna LD Lanau, EM Lifszic krótki kurs fizyki teoretycznej, tom mechanika, elektroynamika Januszajtis fizyka la politechnik, t I cząstki Januszajtis fizyka la politechnik, t II pola D Holliay, R Resnick fizyka t II F Rohrilch klasyczna teoria cząstek nałaowanych XIII W Bolton zarys fizyki, cz XIV XV XVI Uzupełnienia: XVII L Fetter, JD Walecka kwantowa teoria ukłaów wielu cząstek IN Bronsztejn, K Siemieniajew Matematyka poranik encyklopeyczny DJ Griffiths Postawy elektroynamiki BF Schulz Wstęp o ogólnej teorii wzglęności XVIII K Meissner Klasyczna teoria pola XIX R Sikora teoria pola elektromagnetycznego Prowazący zajęcia: Prof r hab inż Ryszar Gonczarek 7