P O D S T A W Y E L E K T R O D Y N A M I K I Ć W I C Z E N I A Semestr zimowy r. ak. 2018/2019 PIERWSZE ZAJĘCIA ZADANIA

Transkrypt

1 P O D S T W Y E L E K T R O D Y N M I K I Ć W I C Z E N I Semestr zimowy r ak 8/9 PIERWSZE ZJĘCI Ukła kartezjański, wektory jenostkowe wersory Skalary, wektory, tensory Iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy 4 Konwencja sumacyjna Einsteina (KSE) 5 Delta Kroneckera (DK), sumowanie z eltą Kroneckera, śla, inne przykłay 6 Tensor Leviego-Civity (TLC), relacja sumacyjna la wóch tensorów 7 Graient, ywergencja, rotacja, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy zapis z wykorzystaniem KSE, DK, TLC Pokazać, że: ) iv rot =, ) rot gra f =, ) iv (gra f gra g) =, ZDNI gzie wektor i skalary f i g owolne funkcje różniczkowalne Wyznaczyć wartość wyrażenia B (B), gy B = y i x j + k, oraz gy B = y i + x j + k Poać inne przykłay B, takie że B (B) Niech (r) bęzie wektorem o stałym kierunku Uowonić, że rot jest wektorem ortogonalnym o 4 Wykazać tożsamości wektorowe (f, g oraz wektory, B owolne funkcje różniczkowalne): ) gra fg = f gra g + g gra f ) iv f = f iv + gra f ) rot f = f rot + (gra f) 4) iv B = B rot rot B 5) gra B = rot B + B rot + ( ) B + (B ) 6) gra iv = rot rot + iv gra 7) rot B = iv B B iv + (B ) ( ) B I 5 Wyrazić we współrzęnych kartezjańskich, cylinrycznych (walcowych) oraz sferycznych wektor wozący r oraz jego ługość, wykorzystując wektory jenostkowe określone w tych ukłaach współrzęnych 6 Wyznaczyć współczynniki Lamego U, V, W oraz element objętości la ukłaów: kartezjańskiego, cylinrycznego (walcowego), sferycznego 7 Obliczyć wektory jenostkowe wyrażone we współrzęnych kartezjańskich la ukłau cylinrycznego (walcowego) oraz sferycznego Wykazać ortogonalność tych wektorów Określić skrętność (parzystość) ukłau

2 P O D S T W Y E L E K T R O D Y N M I K I Ć W I C Z E N I Semestr zimowy r ak 8/9 8 Obliczyć gra f(r), gzie owolna różniczkowalna funkcja f(r) zależy tylko o ługości wektora r, we współrzęnych kartezjańskich, cylinrycznych (walcowych) oraz sferycznych 9 Sprawzić następujące operacje w różnych (kartezjańskim, cylinrycznym, sferycznym) ukłaach współrzęnych: gra r n = n r n- r, n=,+,+,, iv r=, rot r=, iv w = /r, rot w =, gzie w = r/r Obliczyć gra (er), gra(er/r ), (e ) r, iv(e r), rot(e r), e -stały wektor Obliczyć gra( B), iv(f), rot(f), gy, B i f zależą tylko o ługości wektora r Obliczyć we współrzęnych cylinrycznych i sferycznych: gra f(r), f(r), iv (r), rot (r), funkcje f(r) i (r) zależą tylko o r ( r = la współrzęnych cylinrycznych) Pokazać, że r r r r r r r 4 Wykazać, że la współrzęnych walcowych [z], ln = rot k, gzie k jest wersorem osi Z 5 Wykazać, że la owolnej zamkniętej powierzchni = 6 Posługując się twierzeniem Gaussa lub jego rozszerzeniami obliczyć całki I = r (n) S, I = (r) n S, gzie - stały wektor, oraz n S = S 7 Posługując się twierzeniem Gaussa wykazać la owolnych pól wektorowych i B, który związek jest prawziwy związek: B V B S czy B V B S gzie: B B i j i x j 8 W sferycznym ukłazie współrzęnych znaleźć rozwiązanie równania Laplace'a zależne jeynie o jenej współrzęnej r 9 Dana jest funkcja skalarna f=x + y + z oraz pole wektorowe = xi + yj + zk Obliczyć: f,, (f) Obliczyć całkę krzywoliniową, r wzłuż a) okręgu o promieniu a, la = xi yj + zk, b) boków kwaratu, którego wierzchołki znajują się w punktach (,), (,), (-,), (,-), la = i sin y + j (x cos y) W obu przypakach sprawzić, że rot = Znaleźć taką funkcję U, że gra U = Sprawzić wynik za pomocą twierzenia Stokesa

3 P O D S T W Y E L E K T R O D Y N M I K I Ć W I C Z E N I Semestr zimowy r ak 8/9 Niech wektor v = [a (x x) + b (z z)] j, gzie a, b, x, z stałe Wyznaczyć rotację wektora v Znaleźć ywergencję i rotację pola wektorowego: a) = (x + y )i + (y +x)j + (z +xy)k, b) = (xi + yj)/(x +y ), c) = yz i zx j + xy k, ) = sin x cosh y i cos x sinh y j + (x+y) k, e) = sin x sinh y i cos x cosh y j + xy k, f) = (z y) i + (x y) j + (x y) k Określić jakie są to wektory: biegunowy (polarny), osiowy (aksjalny), lub inne Obliczyć następujące całki: 6 a ( x x ) ( x ), b cos x ( x ), c x ( x ), ln( x ) ( x ) 5 II Wykazać, że ( kx) ( x) oraz k ( x) Obliczyć następujące całki: a x ( x ) b ( x ) (x), c ( x x ) ( x ), 9x (x ) e (x ax b) ( x b) 4 Wykazać, że (ε > ) a e k cos kx k x 5 Obliczyć granice (ε > ), gy x = albo x, oraz całkę ( x, ) exp( x / ) la ) ( x, ), ) ( x, ), x oraz granicę n, gy x = albo x la Stirlinga n! n n e - n (n )!! ( x, n) cosh n ( n )! n x Wykorzystać wzór

4 P O D S T W Y E L E K T R O D Y N M I K I Ć W I C Z E N I Semestr zimowy r ak 8/9 6 Korzystając z efinicji transformaty Fouriera (prostej i owrotnej) pokazać, że ikx sin kx ( x) e k, oraz korzystając z tej relacji wykazać, że ( x) lim k x 7 Wykorzystując rozwiązania równania falowego lemberta wyznaczyć relatywistyczny 4-potencjał (r,t) = [ (r,t), (r,t)] (potencjał Liénara-Wiecherta) wytwarzany przez jeen łaunek punktowy e wykonujący zaany ruch, określony równaniem r = r(t ) Najpierw przyjmując, że r(t) = r, wykazać związek: ( t t) t t c r r ( t) t t c r r ( t) t III Na postawie wzorów transformacji Lorentza określających przejście czterowektora μ w czterowektor μ wyznaczyć: ) zależności la ylatacji czasu, ) zależności la skrócenia oległości, tzw skrócenia Lorentza-Fitzgerala, ) relatywistyczne prawo skłaania prękości Wykazać, że element czaso-przestrzeni Ω = ctyz jest niezmiennikiem (inwariantem) transformacji Lorentza Wykonać transformacje Lorentza la: ) czterowektora prąu, ) czterowektora falowego 4 Wykazać, że łaunek q zawarty w przestrzeni V jest niezmiennikiem transformacji Lorentza 5 Czas własny rozpau mezonów π + wynosi tw =, -8 s Jakie są czasy rozpau tr tych cząstek poruszających się z prękościami (β = v/c) β =,6;,886;,99? Jakie rogi lr przelecą te cząstki w czasie tr? Jakie byłyby rogi ln, gyby nie uwzglęniać ylatacji czasu? 6 Ziemia krąży wokół Słońca z prękością v = 4 m/s Obliczyć o ile sekun ulega skrócenia czas ziemski po okrążeniach Ziemi wokół Słońca Przyjąć c = 8 m/s 7 Uwzglęniając, że transformacja obrotu C w 4-wymiarowej przestrzeni to transformacja liniowa taka, że: C i C inwariantem la transformacji obrotu ( ortogonalności: C C, oraz że kwarat 4-wektora 8 Na postawie poprzeniego zaania wykazać, że: C i kwarat 4-wektora jest ) wykazać, że spełniona jest relacja C jest inwariantem la transformacji obrotu ( że spełniona jest ruga relacja ortogonalności: C C 9 Uwzglęniając transformacje liniowe C, oraz relacje ortogonalności: oraz x C x C C oraz, oraz z faktu, że C, C, C C pokazać, że x ) wykazać, C C x 4

5 P O D S T W Y E L E K T R O D Y N M I K I Ć W I C Z E N I Semestr zimowy r ak 8/9 Wykazać, że wyrażenia postaci: Lorentza x czasoprzestrzeni, x j, oraz równanie ciągłości x i cechowanie są niezmiennicze wzglęem transformacji grupy obrotów w j 4-wektor prąu Sprawzić niezmienniczość wzglęem transformacji grupy obrotów w czasoprzestrzeni relatywistycznego równania Newtona (la nałaowanej cząstki w polu elektromagnetycznym, p e uwzglęniając siłę Lorentza) F u s c Wykazać niezmienniczość równań Maxwella wzglęem transformacji grupy obrotów w czasoprzestrzeni (zaanie 9) wykorzystując 4-wymiarową postać równań Maxwella: F 4 e F oraz j, x x c gzie F 4-tensor pola elektromagnetycznego, j 4-wektor prąu Wykazać niezmienniczość różniczkowych równań ciągłości la gęstości energii i gęstości pęu pola elektromagnetycznego wzglęem transformacji grupy obrotów w czasoprzestrzeni wykorzystując ich 4-wymiarowe postaci: T F j, x c gzie T 4-tensor energii i pęu pola elektromagnetycznego 4 Wykazać, że wyrażenia postaci: transformacji grupy obrotów 5 Wykazać, że równanie falowe lemberta F F i F F są niezmiennikami wzglęem 4 j, gzie µ = [, ] x x c jest niezmiennicze wzglęem transformacji grupy obrotów 6 Zakłaając, że obrót zachozi tylko w płaszczyźnie x x zefiniować postać tensora transformacji obrotu C, oraz wykorzystując relacje ortogonalności C C i C C wyznaczyć jawną postać szczególnej transformacji Lorentza Przyjąć, że C oraz zasaę, że zmiana znaku elementów tensora C ponoszeniu lub opuszczaniu ineksów przestrzennych (,,) C zachozi tylko przy IV Pokazać, że gy pole H = H k to = Hx j lub = - Hy i, oraz że gy E = E i to = - Ex, gzie pola H i E są stałe i jenorone 5

6 P O D S T W Y E L E K T R O D Y N M I K I Ć W I C Z E N I Semestr zimowy r ak 8/9 Znaleźć potencjały i rozważyć ich cechowanie we współrzęnych kartezjańskich i cylinrycznych a) H = Hz, H = const b) H = bt z, b = const Wyznaczyć energię potencjalną U jenoronie nałaowanej sfery o promieniu R i całkowitym łaunku Q (U = Q /R) 4 Wykorzystując wynik za wyznaczyć energię potencjalną ukłau wóch nałaowanych cząstek kul o promieniach r i R, i łaunkach q i Q, znajujących się w oległości ρ > r + R 5 Wykazać, że w nieskończonym ośroku (nieograniczonym) o skończonej (niezerowej) konuktywności nie może istnieć trwały i stały w czasie rozkła łaunków elektrycznych (wykorzystać j = E - prawo Ohma) 6 Wykazać, że la stałego pola magnetycznego H = Hz zamkniętego w nieskończonym solenoizie o promieniu R, potencjał we współrzęnych cylinrycznych wyraża się następująco: H R = z = oraz Y( R ) Y ( R), gzie Y(x) oznacza funkcję Heavisie'a Wyznaczyć natężenie pola magnetycznego wewnątrz i na zewnątrz solenoiu 7 Pokazać, że jeżeli wielkości fizyczne są określone za pomocą funkcji zespolonych np i t e t i E ( ) E oraz H ( t) H e t, gzie E i H są stałymi zespolonymi wektorami, to śrenia po czasie z iloczynu skalarnego ich części rzeczywistych wyraża się następująco: ReE( t ) ReH( t) ReE H *, w szczególności ReE( t ) ReE( t) E 8 Pole elektryczne w betatronie wyraża się wzorem E = z kt/, k stała, t czas, współrzęna cylinryczna Obliczyć pole magnetyczne Sprawzić, że H jest bezźrółowe i wirowe (iv H=, rot H ) Znaleźć potencjały la pól E i H 9 Określić ługość fali fotonu, którego energia opowiaa relatywistycznej energii spoczynkowej masy Ziemi Wyznaczyć potencjał i natężenie w punkcie P o jenoronie nałaowanego ocinka o zaanej ługości l Fala płaska o częstości rozchozi się w próżni w kierunku n: 4 n = (i + j + k )/ Wieząc, że E jest równoległe o płaszczyzny XY znaleźć równanie opisujące wektory fali E i H oraz Wypisać potencjał zespolony W jenoronego pola elektrycznego o natężeniu E Rozpatrzyć przypaek szczególny pola elektrycznego wytwarzanego przez powierzchnię o gęstości powierzchniowej łaunku Wykorzystując wzór m = er v wyznaczyć moment magnetyczny kołowej ramki o promieniu R, w której płynie prą o natężeniu I 4 Wypisać równanie różniczkowe, które spełnia potencjał V = q exp(-r/a)/r Wielkości q i a stałe 5 Znaleźć potencjał i siłę Coulomba w n-wymiarowej przestrzeni Objętość n-wymiarowej kuli wynosi n = R n n/ /(n/)!, powierzchnia jest równa Sn = n/r Ponato (½)! = 6 Rozwiązać równanie różniczkowe opisujące precesję Larmora M e ΩM, gzie Ω H jest częstością Larmora t mc Niech Y(x) oznacza funkcję Heavisie'a Obliczyć w sensie teorii ystrybucji: V 6

7 P O D S T W Y E L E K T R O D Y N M I K I Ć W I C Z E N I Semestr zimowy r ak 8/9 a) ( k) Y(x) e kx, b) ( + q )Y(x) sin (qx)/q, c) Obliczyć w sensie teorii ystrybucji wszystkie pochone Wykazać, że ( / x + i / y)/(x + iy) = π δ(x + iy) 4 Wykazać, że la n-wymiarowej przestrzeni R n : m m k k m x Y ( x) ( m )! x funkcji x n r 5 Wyznaczyć postać wyrażenia: la r, gzie oraz x ( n ) S ( r) n n r la n =, x n r x xn gzie S / ( n ) jest powierzchnią n-wymiarowej sfery n n 6 Przykłay z poręcznika III: rozz IX,, s 6, przykłay,,, 4 oraz rozz IX, 4, s 66, przykłay,, gzie t t c r r t) 7 Szereg trygonometryczny k x sin kx k ( jest zbieżny w klasycznym sensie o funkcji okresowej o okresie, określonej la < x < Wykorzystując funkcję Heavisie a Y(x) zapisz rezultat sumowania szeregu la owolnego x, < x < Znajź pochoną ystrybucyjną tej funkcji TEMTY DO OPRCOWNI Funkcje pola I 9 rozz 68, 69, 7, 7, 7, 7, 74 s 5-4 Funkcje pola we współrzęnych krzywoliniowych I 8 rozz 66, 67 s 9-9, I - 4 rozz, 4 s 5-9 Funkcje pola we współrzęnych krzywoliniowych c I 4 rozz5, 6, 7 s Funkcje pola we współrzęnych krzywoliniowych przykłay I 4 przykła,,, 4 s Dywergencja I rozz 78, 79, 8 s -6 i Wzory Greena i niezmienniki pola I rozz 8 i 8 s 6-7 i Rotacja (tylko na płaszczyźnie) I rozz i s 5-55 i Funkcja elta Diraca 7

8 P O D S T W Y E L E K T R O D Y N M I K I Ć W I C Z E N I Semestr zimowy r ak 8/9 II rozz 5 s 65-69, 7-7, III rozz s 4-9, III - oatek 6 s Równanie Poissona i jego rozwiązanie I 4 rozz s 88-9 Prękość światła IV par 4- s 4-47, V rozz 4 s Doświaczenie Michelsona i Morleya; przestrzeń czterowymiarowa III rozz, s 7-9, Interwał czasoprzestrzenny niezmiennik transformacji I II III IV VI rozz s 4-8 V rozz 5 s 6-64 (przykła) L I T E R T U R E Karaśkiewicz zarys teorii wektorów i tensorów DJ Griffiths Postawy elektroynamiki M Suffczyński elektroynamika D Holliay, R Resnick fizyka t II V W Bolton zarys fizyki, cz VI VII Uzupełnienia: VIII LD, Lanau, EM Lifszic teoria pola fizyka teoretyczna LD Lanau, EM Lifszic krótki kurs fizyki teoretycznej, tom mechanika, elektroynamika JD Jackson elektroynamika klasyczna IX B Konorski elementy teorii wzglęności, relatywistycznej mechaniki i elektroynamiki X XI XII XIII XIV XV XVI XVII J Górski, S Brychczy, T Czarliński, B Główczyńska, D Węglowska W Woźniak wybrane ziały matematyki stosowanej LG Grieczko, WI Sugarow, OF Tomasiewicz, M Fieorcienko zaania z fizyki teoretycznej Januszajtis fizyka la politechnik, t I cząstki Januszajtis fizyka la politechnik, t II pola F Rohrilch klasyczna teoria cząstek nałaowanych L Fetter, JD Walecka kwantowa teoria ukłaów wielu cząstek IN Bronsztejn, K Siemieniajew Matematyka poranik encyklopeyczny BF Schulz Wstęp o ogólnej teorii wzglęności XVIII K Meissner Klasyczna teoria pola XIX R Sikora teoria pola elektromagnetycznego Prowazący zajęcia: Prof r hab inż Ryszar Gonczarek 8