O pewnym modelu cyklu koniunkturalnego z oczekiwaniami

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O pewnym modelu cyklu koniunkturalnego z oczekiwaniami"

Jan Dziedzic
6 lat temu
Przeglądów:

1 O pewnym modelu cyklu koniunkturalnego z oczekiwaniami Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szko a G ówna Handlowa w Warszawie Zakopane, 12 września 2016

2 Plan 1 Cel 2 Model Kaldora 3 Funkcja konsumpcji 4 Inwestycje 5 Równowaga, stabilność, bifurkacje 6 Atraktory okresowe i quasi-okresowe. Wielostabilność 7 Podsumowanie

3 Cel G ównym celem opracowania jest zbadanie wp ywu prostego mechanizmu oczekiwań heterogenicznych na dynamik ¾e modelu Kaldora.

4 Model Kaldora Dyskretna wersja modelu Kaldora Yt+1 = Y t + α(i t (Y t C t )), α > 0 K t+1 = I t + (1 δ)k t, 0 < δ < 1 Y t - produkt krajowy w okresie t K t - kapita w okresie t I t - inwestycje w okresie t C t - konsumpcja w okresie t

5 Konsumpcja Konsumpcja C t = C 0 + ce [Y t ], 0 < c < 1, C 0 > 0 W literaturze najcz ¾eściej C t = C π arctan( πc 2 2c 1 (Y t Y )), C 0, c 1, c 2 > 0 gdzie Y oznacza egzogeniczny, po zadany (normalny) poziom produktu krajowego. Herman (1985), Lorenz (1992, 1993), Dotani (1996), Agliari i Dieci (2006)

6 Oczekiwania Zagregowane oczekiwania E [Y t ] s ¾a średni ¾a wa zon ¾a oczekiwań pierwszego E 1 [Y t ] i drugiego E 2 [Y t ] typu: E [Y t ] = w t E 1 [Y t ] + (1 w t )E 2 [Y t ], 0 < w t 1. Oczekiwania powstaj ¾a w odniesieniu do egzogenicznego (po z ¾adanego) poziomu produkcji Y. Oczekiwania pierwszego typu E 1 [Y t ] = Y t + µ 1 (Y t Y ), µ 1 > 0 Oczekiwania drugiego typu E 2 [Y t ] = Y t + µ 2 (Y Y t ), 0 < µ 2 < 1 Waga przypisywana oczekiwaniom pierwszego typu w t = γ 2 (Y t Y ) 2, γ > 0

7 Inwestycje Inwestycje s ¾a liniow ¾a funkcj ¾a kapita u i produktu krajowego I t = b(kt d K t ) + δk t, 0 < b < 1 gdzie Kt d = ky t (k > 0) jest po z ¾adanym poziomem kapita u w okresie t Zatem I t = bky t (b δ)k t Zak adam, ze b > δ.

8 Model Kaldora z oczekiwaniami Yt+1 = (1 α + αbk)y t + αc 0 + αce [Y t ] α(b δ)k t K t+1 = b(ky t K t ) + K t (1) Po z ¾adany (normalny) poziom produktu krajowego ( Y = C 0 1 c δk K = ky = kc 0 1 c δk

9 Model Kaldora z oczekiwaniami Dla uproszczenia analizy badany model (1) zapisuj ¾e przy pomocy zmiennych xt = K t ky y t = Y t Y wyra zaj ¾acych odchylenia od równowagi (Y, K ) W nowych wspó rz ¾ednych rozwa zany model przyjmuje postać: xt+1 = (1 b)x t + bky t y t+1 = (1 α + αbk)y t + α(δ b)x t + αce [y t ] αcc 0 1 c δk (2)

10 Po o zenia równowagi Badany model (2) posiada jeden punkt sta y F = (0, 0), jeśli 0 < c < 1 1 δk < 0 δk 1+µ lub 1 trzy punkty sta e: F = (0, 0) i dwa dodatkowe punkty sta e F1 oraz F 2 symetryczne wzgl ¾edem F, jeśli 1 δk > 0 i 1 δk 1+µ < c < minf1, 1 δk 1 1 µ g 2

11 Stabilność lokalna i bifurkacje Macierz Jacobiego modelu (2) " 1 b bk J(x, y) = de [y ] α(δ b) 1 α + δbk + αc dy # Macierz linearyzacji dla F J(0, 0) = 1 b bk α(δ b) 1 α + δbk + αc(1 + µ 1 ) Równowaga F jest blokalnie asymptotycznie stabila, jeśli 1 + trj(0, 0) + det J(0, 0) > 0 1 trj(0, 0) + det J(0, 0) > 0 1 det J(0, 0) > 0

12 Bifurkacja widelcowa (pitchfork)

13 Bifurkacja Neimarka-Sackera

14 Atraktory i ich obszary przyci ¾agania Wielostabilność czyli wspó istnienie kilku atraktorów dla tej samej kon guracji parametrów

15 Atraktory okresowe i quasi-okresowe

16 Podsumowanie Uwzgl ¾ednienie elementów behawioralnych Inne spojrzenie na dynamik ¾e produktu krajowego, które jest zbie zne z klasycznym nieliniowym modelem Kaldora Niestabilność równowagi stacjonarnej nie oznacza niestabilności modelu Model nieliniowy oprócz równowagi stacjonarnej posiada tak ze atraktory okresowe i quasi-okresowe (wielostabilność)

17 Dzi ¾ekuj ¾e za uwag ¾e!

Podobne dokumenty

Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.

Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych