Ekonometria. Modele wielorównaniowe. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
|
|
- Dorota Janicka
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ekonometria Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 1 / 35
2 Outline 1 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych 2 Modele równań współzależnych (SEM) 3 4 Modele wektorowej autoregresji (VAR) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 2 / 35
3 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja Q E 3 E 2 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 3 / 35
4 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja Q E 3 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 2 Zależność wynikająca z obserwacji empirycznych: Q = β 0 + β 1 P + ε (1) Jakiego znaku jest β 1? E 1 P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 3 / 35
5 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja Q S E 3 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 E 2 Krzywa podaży (S) Q S = β 0 + β 1 P + ε s (1) gdzie ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 3 / 35
6 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja Q S Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 D 1 E 2 E 3 D 2 D 3 P Krzywa podaży (S) Q S = β 0 + β 1 P + ε s (1) gdzie ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) Krzywe popytu (D i ) dla różnych wartości Z Q D = α 0 + α 1 P + α 2 Z + ε d (2) gdzie Z to obserowalna determinanta popytu (observable demand shifter), a ε d to nieobserowalna determinanta popytu (unobservable demand shifter). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 3 / 35
7 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja Q Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 3 S 3 Krzywe podaży (S i ) dla różnych wartości X: Q S = β 0 + β 1 P + β 2 X + ε s (1) S 1 E 1 D 1 E 2 S 2 D 2 D 3 P gdzie X to obserowalna determinanta podaży (observable demand shifter), a ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) Krzywe popytu (D i ) dla różnych wartości Z Q D = α 0 + α 1 P + α 2 Z + ε d (2) gdzie Z to obserowalna determinanta popytu (observable demand shifter), a ε d to nieobserowalna determinanta popytu (unobservable demand shifter). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 3 / 35
8 Współprzyczynowość I Przykład: (Keyensowski) model konsumpcji: c = α + βy + ε (3) y = c + i (4) gdzie c to konsumpcja, yodpowiada zagregowanemu produktowi, i to inwestycje a ε to składnik losowy, t.j., ε N (0, σ 2 ε). W powyższym systemie równań mamy dwie zmienne endogeniczne (c oraz y) i jedną zmienną egzaogeniczną (i). Postać zredukowana (reduced form) to taka postać modelu, w której zmienne endogeniczne są determinowane jedynie przez zmienne egzogeniczne oraz zaburzenia losowe. W naszym przypadku: y = c + i y = α + βy + ε + i (1 β)y = αi + ε y = α (1 β) + 1 (1 β) i + 1 (1 β) ε. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 4 / 35
9 Współprzyczynowość II Ogólny zapis estymatora MNK dla krańcowej skłonności do konsumpcji (β) można wyprowadzić korzystając z tożsamości (3): (y ȳ) ε ˆβ OLS = β + (y ȳ) 2. (5) }{{} =0 jezeli E(y ε)=0 Ale z formy zredukowanej naszego modelu wiemy, że y zależy od ε. W takim przypadku ˆβ OLS β, a więc estymator MNK będzie niezgodny. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 5 / 35
10 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Modele wielorównaniowe pozwalają na uwzględnienie skomplikowanych (współzależności) pomiędzy zmiennymi ekonomicznymi. Modele wielorównaniowe mogą w różnym stopniu bazować na teorii ekonomii. Przykładowy podział: Modele czysto teoretyczne bazujące na teorii ekonomii. Np. model wzrostu Solowa, model endogenicznego wzrostu Romera, model konkurencji monopolistycznej. Stosowane modele teoretyczne, np. stosowane modele równowagi ogólnej, modele RBC. Modele hybrydowe. Np. Model NECMOD. Stosowane modele empiryczne. Np. strukturalne modele VAR. Modele czysto empiryczne. Np. Modele wektorowej autoregresji VAR. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 6 / 35
11 Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2) 1 Liczba równań: modele jednorównaniowe modele wielorównaniowe 2 Postać funkcyjna: modele liniowe modele nieliniowe 3 Charakter dynamiczny modeli: modele statyczne modele dynamiczne 4 Walory poznawcze modelu: modele przyczynowo-skutkowe modele symptomatyczne 5 Zakres analizy: modele makroekonomiczne modele mikroekonomiczne 6 Powiązania między zmiennymi: modele proste modele rekurencyjne modele o równaniach współzależnych Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 7 / 35
12 Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2) 1 Liczba równań: modele jednorównaniowe modele wielorównaniowe 2 Postać funkcyjna: modele liniowe modele nieliniowe 3 Charakter dynamiczny modeli: modele statyczne modele dynamiczne 4 Walory poznawcze modelu: modele przyczynowo-skutkowe modele symptomatyczne 5 Zakres analizy: modele makroekonomiczne modele mikroekonomiczne 6 Powiązania między zmiennymi: modele proste modele rekurencyjne modele o równaniach współzależnych Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 7 / 35
13 Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2) 1 Liczba równań: modele jednorównaniowe modele wielorównaniowe 2 Postać funkcyjna: modele liniowe modele nieliniowe 3 Charakter dynamiczny modeli: modele statyczne modele dynamiczne 4 Walory poznawcze modelu: modele przyczynowo-skutkowe modele symptomatyczne 5 Zakres analizy: modele makroekonomiczne modele mikroekonomiczne 6 Powiązania między zmiennymi: modele proste modele rekurencyjne modele o równaniach współzależnych Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 7 / 35
14 Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2) 1 Liczba równań: modele jednorównaniowe modele wielorównaniowe 2 Postać funkcyjna: modele liniowe modele nieliniowe 3 Charakter dynamiczny modeli: modele statyczne modele dynamiczne 4 Walory poznawcze modelu: modele przyczynowo-skutkowe modele symptomatyczne 5 Zakres analizy: modele makroekonomiczne modele mikroekonomiczne 6 Powiązania między zmiennymi: modele proste modele rekurencyjne modele o równaniach współzależnych Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 7 / 35
15 Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2) 1 Liczba równań: modele jednorównaniowe modele wielorównaniowe 2 Postać funkcyjna: modele liniowe modele nieliniowe 3 Charakter dynamiczny modeli: modele statyczne modele dynamiczne 4 Walory poznawcze modelu: modele przyczynowo-skutkowe modele symptomatyczne 5 Zakres analizy: modele makroekonomiczne modele mikroekonomiczne 6 Powiązania między zmiennymi: modele proste modele rekurencyjne modele o równaniach współzależnych Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 7 / 35
16 Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2) 1 Liczba równań: modele jednorównaniowe modele wielorównaniowe 2 Postać funkcyjna: modele liniowe modele nieliniowe 3 Charakter dynamiczny modeli: modele statyczne modele dynamiczne 4 Walory poznawcze modelu: modele przyczynowo-skutkowe modele symptomatyczne 5 Zakres analizy: modele makroekonomiczne modele mikroekonomiczne 6 Powiązania między zmiennymi: modele proste modele rekurencyjne modele o równaniach współzależnych Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 7 / 35
17 Outline 1 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych 2 Modele równań współzależnych (SEM) 3 4 Modele wektorowej autoregresji (VAR) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 8 / 35
18 Modele równań współzależnych (SEM) - postać strukturalna Postać strukturalna (structural form) to postać modelu wynikająca z teorii ekonomii. Dla układu M równań γ 11y 1t γ 1M y Mt + β 11x 1t β 1K x Kt = ε 1t γ 21y 2t γ 2M y Mt + β 21x 2t β 2K x Kt = ε 2t. γ M1 y 1t γ MM y Mt + β M1 x Mt β MK x Kt = ε Mt M zmiennych endogenicznych: y 1t, y 2t,..., y Mt. K zmiennych egzogenicznych: x 1t, x 2t,..., x Kt. M strukturalnych zaburzeń losowych: ε 1t, ε 2t,..., ε Mt. Przyjmując, że ε = [ε 1t, ε 2t,..., ε Mt ] E(ε) = 0 oraz E(εε T ) = Σ, gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy zaburzeniami strukturalnymi. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 9 / 35
19 Modele równań współzależnych (SEM) - postać strukturalna Postać strukturalna (structural form): przy pomocy zapisu macierzowego dla każdej obserwacji (t): [y 1 y 2... y M ] t + [x 1 x 2... x K ] t γ 11 γ γ 1M γ 21 γ γ 2M. γ M1 γ M2... γ MM β 11 β β 1M β 21 β β 2M. β M1 β M2... β MM + = [ε1... ε2 ε M] t Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 10 / 35
20 Modele równań współzależnych (SEM) - postać strukturalna Postać strukturalna (structural form) zapis macierzowy: YΓ + XB = ε, (6) gdzie (przyjmując T jako liczbę obserwacji): Y to macierz zmiennych endogenicznych o wymiarach T M. X to macierz zmiennych egzogenicznych o wymiarach T K. ε to macierz struturalnych zaburzeń losowych o wymiarach T M. Γ macierz parametrów przy zmiennych endogenicznych o wymiarach M M. B macierz parametrów przy zmiennych egzogenicznych o wymiarach K M. Ponadto: E(ε) = 0 oraz E(εε T ) = Σ, gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy zaburzeniami strukturalnymi. Zatem na postać strukturalną składają się: Γ, B, ale i Σ. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 11 / 35
21 Modele równań współzależnych (SEM) - postać zredukowana Postać zredukowana (reduced form): Y = XΠ + ν, (7) gdzie Π = BΓ 1 (8) oraz ν to macierz zaburzeń formy zredukowanej: ν = εγ 1 (9) oraz E(νν T ) = ( Γ 1) T ΣΓ 1 = Ω. (10) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 12 / 35
22 Modele równań współzależnych (SEM) - postać zredukowana Postać zredukowana (reduced form): Y = XΠ + ν, (7) gdzie Π = BΓ 1 (8) oraz ν to macierz zaburzeń formy zredukowanej: ν = εγ 1 (9) oraz E(νν T ) = ( Γ 1) T ΣΓ 1 = Ω. (10) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 12 / 35
23 Outline 1 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych 2 Modele równań współzależnych (SEM) 3 4 Modele wektorowej autoregresji (VAR) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 13 / 35
24 Problem Identyfikacji parametrów ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q S E 3 E 2 E 1 P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 14 / 35
25 Problem Identyfikacji parametrów ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q Q S E 3 E 3 S E 2 E 2 D 3 E 1 P E 1 D 1 D 2 P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 14 / 35
26 Problem Identyfikacji parametrów ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q Q S E 3 E 3 S Q E S 3 3 E 2 E 2 D 3 E S 2 2 D 3 E 1 P E 1 D 1 D 2 P E S 1 1 D 1 D 2 P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 14 / 35
27 I Postać strukturalna (structural form): YΓ + XB = ε (11) Postać zredukowana (reduced form): Y = XΠ + ν (12) Π = BΓ 1 (13) Intuicyjnie, kluczowy jest przypadek, gdy jedna postać zredukowana odpowiada dokładnie jednej postaci strukturalnej. W przypadku, gdy kilka postaci strukturalnych może prowadzić do tej samej postaci zredukowanej pojawia się problem braku identyfikowalności parametrów. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 15 / 35
28 Przykład I Przykład (q d popyt; q s podaż, p cena; z inna zmienna egzogeniczna): q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d (14) q s = β 0 + β 1p + β 2z + ε s (15) q d = q s (16) Po drobnej manipulacji postać zredukowana oraz przy złożeniu, że α 1 β 1: q = α 1β 0 α 0 β 1 p = α 1 β 1 + α 1β 2 α 2 β 1 α 1 β 1 z + α 1ε s α 2 ε d α 1 β 1 = π 11 + π 21z + ν q, (17) β 0 α 0 α 1 β 1 + β 1 α2 α 1 β 2 z + εs ε d α 1 β 1 = π 12 + π 22z + ν p, (18) Postać zredukowana zawiera zaledwie cztery parametry (π 11, π 12, π 21 i π 22), a postać strukturalna aż sześć parametrów (α 0, α 1, α 2, β 0, β 1 i β 2). Oczywistym zatem jest fakt, że nie ma kompletnego rozwiązania dla wszystkich sześciu parametrów postaci strukturalnej w zależności od parametrów postaci zredukowanej. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 16 / 35
29 Przykład II I Modyfikacja: w rówaniu popytowym zamienimy z na x Postać strukturalna [ [q p] q d = α 0 + α 1p + α 2x + ε d (19) q s = β 0 + β 1p + β 2z + ε s (20) q d = q s (21) ] [1 x z] α 1 β 1 [ α0 β 0 α β 2 ] = [ε d ε s] (22) Postać zredukowana: [q p] = [1 x z] [ (α1β 0 α 0β 1) /γ (β 0 α 0) /γ α 2β 1/γ α 2/γ α 1β 2/γ β 2/γ ] + [ν 1 ν 2] (23) gdzie γ = α 1 β 1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 17 / 35
30 Przykład II II rozwiązaniem dla postaci strukturalnej jest zatem α 0 = π 11 π 12 ( π31 π 32 ), α1 = π 31 π 32, β 0 = π 11 π 12 ( π21 π 22 ), β1 = π 21 π 22, α 2 = π 22 ( π21 π 22 π 31 π 32 ), β 2 = π 32 ( π31 π 32 π 21 π 22 ). Uwaga. Należy pokazać, że jest to rozwiązanie unikalne. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 18 / 35
31 a liczba parametrów Postać strukturalna: Γ jest nieosobliwą macierzą o wymariach M M = M 2 parametrów. B jest wymiarów K M = KM parametrów. Σ jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać strukturalna posiada M 2 + KM + 1 M (M + 1). 2 Postać zredukowana Π jest wymiarów K M = KM parametrów. Ω jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać zredukowana posiada KM + 1 M (M + 1). 2 Różnica w liczbie parametrów to M 2. Dlatego, kluczowe jest wykrozystanie informacji z poza próby (non-sample information). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 19 / 35
32 a liczba parametrów Postać strukturalna: Γ jest nieosobliwą macierzą o wymariach M M = M 2 parametrów. B jest wymiarów K M = KM parametrów. Σ jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać strukturalna posiada M 2 + KM + 1 M (M + 1). 2 Postać zredukowana Π jest wymiarów K M = KM parametrów. Ω jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać zredukowana posiada KM + 1 M (M + 1). 2 Różnica w liczbie parametrów to M 2. Dlatego, kluczowe jest wykrozystanie informacji z poza próby (non-sample information). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 19 / 35
33 a źródła restrykcji Normalizacja (Normalization) w każdym równaniu jeden współczynnik powinien mieć wartość 1. Zazwyczaj, jest to parametr przy zmiennej endogenicznej. Wtedy liczba restrykcji redukuje się do M(M 1) (z M 2 ). Tożsamości (Identities). Wykluczenia (Exclusion) zerowe restrykcje na macierze Γ i B. Liniowe restrykcje (Linear restrictions). Aczkolwieks liniowe restykcje mogą czasem prowadzić do błędnej postaci strukturalnej. Przykładowym problem jest brak możliwości zidenyfikowania efektów korzyści skali przy identyfikacji postępu technologicznego dla zagregowanej funkcji produkcji. Restrykcje na macierz wariancji kowariancji zaburzeń losowych Σ. Współczesne badania makroekonomiczne wykorzystują modele wektorowej autoregresji VAR w celu zidentyfikowania wpływu (strukturalnych) szoków makroekonomicznych. Kluczowym założeniem jest tutaj sferyczność macierzy Σ. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 20 / 35
34 I Rozważamy jedną zmienną endogeniczną y j (tj. j-te równanie). Zmienne endogeniczne Zmienne egzogeniczne Włączone Y j X j M j zmiennych K j zmiennych Pominięte Yj X j Mj zmiennych Kj zmiennych Liczba równań (zmiennych endogenicznych): M = M j + M j + 1 Liczba zmiennych egzogenicznych: K = K j + K j Postać zredukowana: [ ] [ yj Y j Yj = Xj X j ] [ π j Πj Πj π j Π j Π j ] + [ ] v j V j Vj (24) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 21 / 35
35 Warunek konieczny (order condition) i wystarczający (rank condition) Warunek konieczny (order condition) dla j tego równania K j M j. (25) Liczba zmiennych egzogenicznych wyłączonych/pomiętych z równania j-tego nie może być mniejsza od liczby zmiennych endogenicznych w równaniu j- tym. Warunek ten gwarantuje, że równanie πj jedno rozwiązanie. = Π j γ j posiada przynajmniej Warunek wystarczający (rank condition) dla j tego równania rank [ ] [ ] πj, Π j = rank Π j = Mj (26) Spełnienie tego warunku gwarantuje dokładnie jedno rozwiązanie. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 22 / 35
36 Warunek konieczny (order condition) i wystarczający (rank condition) Warunek konieczny (order condition) dla j tego równania K j M j. (25) Liczba zmiennych egzogenicznych wyłączonych/pomiętych z równania j-tego nie może być mniejsza od liczby zmiennych endogenicznych w równaniu j- tym. Warunek ten gwarantuje, że równanie πj jedno rozwiązanie. = Π j γ j posiada przynajmniej Warunek wystarczający (rank condition) dla j tego równania rank [ ] [ ] πj, Π j = rank Π j = Mj (26) Spełnienie tego warunku gwarantuje dokładnie jedno rozwiązanie. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 22 / 35
37 Problem identyfikacji Szczególne przypadki identyfikowalności dla j-tego równania: 1 Dokładnie identyfikowalne (exactly identified) jeżeli Mj = K j. 2 Nadmiernie identyfikowalne (overidentified) jeżeli Mj > K j. 3 Brak identyfikowalności (underidentified) będzie równoznaczny sytuacji, gdy M j < K j. gdzie Kj to liczba zmiennych egzogenicznych pominiętych z równania j-tego; M j to liczba zmiennych endogenicznych w równaniu j-tym. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 23 / 35
38 - praktyczna metoda Praktycznym sprawdzeniem warunku koniecznego (order condition) i wystarczającego rank condition jest metoda sprawdzająca rząd odpowiedniej podmacierzy. [Krok #1] Zapisujemy w tabeli parametry postaci strukturalnej, a więc: y 1 y 2... y M 1 x 1 x 2... x k Γ B [Krok #2] Dla każdego j-tego równania rozważamy macierz pozbawioną: j-tego wiersza; kolumn, ze zmiennymi występującymi w j-tym równaniu. Parametry j-tego równania będą identyfikowalne jeżeli macierz ta będzie miała pełny rząd (liczba wektorów niezależnych liniowo powinna odpowiadać liczbie wierszy). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 24 / 35
39 Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α β 0 β Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 25 / 35
40 Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α β 0 β równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 25 / 35
41 Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α β 0 β równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności. równanie drugie: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 25 / 35
42 Praktyczna metoda przykład II q d q s 1 p z q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 α β 0 β Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 26 / 35
43 Praktyczna metoda przykład II q d q s 1 p z q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 α β 0 β równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 26 / 35
44 Praktyczna metoda przykład II q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s q d q s 1 p z 1 0 α 0 α 1 α β 0 β równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności. równanie drugie: dwa wektory [1 1] T oraz [ α 2 0] T. Co więcej, [ ] 1 α2 rank = = parametry drugie równania identyfikowalne. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 26 / 35
45 Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α β 0 β 1 0 β Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 27 / 35
46 Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α β 0 β 1 0 β równanie pierwsze: dwa wektory wektor [1 1] T oraz [ β 2 0] T. Ważniejsze, że [ ] 1 β2 rank = = parametry pierwszego równania identyfikowalne. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 27 / 35
47 Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α β 0 β 1 0 β równanie pierwsze: dwa wektory wektor [1 1] T oraz [ β 2 0] T. Ważniejsze, że [ ] 1 β2 rank = = parametry pierwszego równania identyfikowalne. równanie drugie: dwa wektory [1 1] T oraz [ α 2 0] T. Co więcej, [ ] 1 α2 rank = = parametry drugie równania identyfikowalne. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 27 / 35
48 Outline 1 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych 2 Modele równań współzależnych (SEM) 3 4 Modele wektorowej autoregresji (VAR) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 28 / 35
49 Modele wektorowej autoregresji (VAR) Modele wektorowej autoregresji VAR (Vector AutoRegression) to modele czysto empiryczne o ateoretycznym charakterze. Wszystkie zmienne w modelu są endogeniczne (można jednak dodatkowo wprowadzić zmienne egzogeniczne). Model VAR są odporne na krytykę Lucasa. Model wektorowej autoregresji VAR pierwszego rzędu dla K zmiennych: y t = A 0 + A 1 y t 1 + ε t, (27) gdzie y t to wektor zmiennych endogenicznych w momencie t, A 0 wektor wyrazów wolnych, A 1 macierz współczynników przy opóźnionych (o jeden okres) zmiennych endogenicznych. ε to wektor składników losowych, oraz ε N (0, Σ), gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy składnikami losowymi. Alternatywny zapis: y 1t y 2t. y Kt = a 01 a 02. a 0K a 11 a a K1 a 12 a a K a 1K a 2K... a KK y 1,t 1 y 2,t 1. y K,t 1 + (28) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 29 / 35 ε 1t ε 2t. ε Kt.
50 Modele wektorowej autoregresji (VAR) Modele wektorowej autoregresji VAR (Vector AutoRegression) to modele czysto empiryczne o ateoretycznym charakterze. Wszystkie zmienne w modelu są endogeniczne (można jednak dodatkowo wprowadzić zmienne egzogeniczne). Model VAR są odporne na krytykę Lucasa. Model wektorowej autoregresji VAR pierwszego rzędu dla K zmiennych: y t = A 0 + A 1 y t 1 + ε t, (27) gdzie y t to wektor zmiennych endogenicznych w momencie t, A 0 wektor wyrazów wolnych, A 1 macierz współczynników przy opóźnionych (o jeden okres) zmiennych endogenicznych. ε to wektor składników losowych, oraz ε N (0, Σ), gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy składnikami losowymi. Alternatywny zapis: y 1t y 2t. y Kt = a 01 a 02. a 0K a 11 a a K1 a 12 a a K a 1K a 2K... a KK y 1,t 1 y 2,t 1. y K,t 1 + (28) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 29 / 35 ε 1t ε 2t. ε Kt.
51 Modele wektorowej autoregresji (VAR) Model wektorowej autoregresji VAR P-tego rzędu dla K zmiennych: P y t = A 0 + A i y t i + ε t, (29) gdzie i=1 y t to wektor zmiennych endogenicznych w momencie t, A 0 wektor wyrazów wolnych, A 1, A 2,..., A P macierze współczynników przy opóźnionych zmiennych endogenicznych. ε t to wektor składników losowych, Model wektorowej autoregresji VAR P-tego rzędu dla K zmiennych z zmiennymi egzogenicznymi: P y t = A 0 + A i y t i + FX t + ε t, (30) i=1 gdzie X t to wektor zmiennych egzogenicznych w momencie t,a macierz F opisuje jednoczesny wpływ zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 30 / 35
52 Modele wektorowej autoregresji (VAR) Model wektorowej autoregresji VAR P-tego rzędu dla K zmiennych: P y t = A 0 + A i y t i + ε t, (29) gdzie i=1 y t to wektor zmiennych endogenicznych w momencie t, A 0 wektor wyrazów wolnych, A 1, A 2,..., A P macierze współczynników przy opóźnionych zmiennych endogenicznych. ε t to wektor składników losowych, Model wektorowej autoregresji VAR P-tego rzędu dla K zmiennych z zmiennymi egzogenicznymi: P y t = A 0 + A i y t i + FX t + ε t, (30) i=1 gdzie X t to wektor zmiennych egzogenicznych w momencie t,a macierz F opisuje jednoczesny wpływ zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 30 / 35
53 Modele wektorowej autoregresji (VAR) stabilność oraz reprezentacja VMA I Stabilność procesu (modelu) VAR oznacza, że wpływ zaburzeń losowych (ε t) na zmienne egzogeniczne wygasa w czasie. [Przykład] model VAR(1) bez wyrazu wolnego: y t = A 1y t 1 + ε t, (31) iterując o jeden okres wstecz, tj. y t 1 = A 1y t 2 + ε t 1: lub ogólniej y t = A 2 1y t 2 + ε t + A 1ε t 1, (32) y t = y 0 + ε t + t A i 1ε t i, (33) i przyjmując y 0 = 0 uzależnić zmienne endogeniczne wyłącznie od zaburzeń losowych. W ogólnym przypadku: y t = i=1 t A i 1ε t i, (34) i=0 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 31 / 35
54 Modele wektorowej autoregresji (VAR) stabilność oraz reprezentacja VMA II co jest zapisem procesu wektorowej średniej ruchomej o nieskończonym rzędzie VMA( ), tj. t y t = Ξ iε t i, (35) i=0 gdzie Ξ i = A i 1 opisuje wpływ zaburzeń losowych opóźnionych o i okresów. Intuicyjnie, aby wpływ zaburzeń losowych wygasał w czasie musi być spełniony warunek: lim t A1t = 0. (36) Zatem moduł z największej wartości własnej musi być mniejszy od jedności. Alternatywnie rozwiązania następującego wielomianu charkterystycznego: I A 1z = 0, (37) muszą leżeć poza kołem jednostkowym (być większe co do modułu od 1). Dla modelu VAR P-tego rzędu wielomian charakterystyczny: I A 1z A 2z 2... A P z P = 0 (38) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 32 / 35
55 Modele wektorowej autoregresji (VAR) IRF Reprezentacja VMA( ) jest kluczowa dla analizy zachowania zmiennych. Wszystkie zmienne wektora y t są endogeniczne i zależą od przeszłych wartości zaburzeń losowych: t y t = Ξ iε t i, (39) i=0 Uzasadniona jest zatem interpretacja w kategoriach dynamicznych mnożników. Wpływ zaburzenia i tego zaburzenia losowego na j-tą zmienną po s okresów można odczytać elementu znajdującego się w i-tym wierzu j-tej kolumny macierzy Ξ s. Funkcją reakcji na impuls (IRF) (dynamicznym możnikiem) będzie zatem zbiór elementów macierzy Ξ 0, Ξ 1,... opisujących reakcję pewnego zaburzenia losowego na zmienną endogeniczną. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 33 / 35
56 Jak interpretować zaburzenia losowego? W postaci zredukowanej założono, że ε t N (0, Σ), a Σ nie jest diagonalna. Zaburzenia strukturalne: u t:, gdzie u t N (0, I ). Zależność pomiedzy szokami strukturalnymi a zaburzeniami losowymi w postaci zredukowanej możemy zapisać jako: Aε t = Bu t. (40) Problem identyfikowalności. Macierze A i B mają po K 2 elementów. Tymczasem mamy K(K + 1)/2 układów równań (wymiar macierzy Σ). Konieczne jest zatem przynajmniej 2K 2 K(K + 1)/2 restrykcji. Dekompozycja Choleskiego: Σ = PP. Macierz P jest trójkątna dolna. Zatem restrykcją na macierz B jest P, podczas gdy macierz A jest jednostkowa. Analiza wykorzystująca dekompozycję Cholskiego jest wrażliwa na kolejność zmiennych w modelu VAR. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 34 / 35
57 Jak interpretować zaburzenia losowego? W postaci zredukowanej założono, że ε t N (0, Σ), a Σ nie jest diagonalna. Zaburzenia strukturalne: u t:, gdzie u t N (0, I ). Zależność pomiedzy szokami strukturalnymi a zaburzeniami losowymi w postaci zredukowanej możemy zapisać jako: Aε t = Bu t. (40) Problem identyfikowalności. Macierze A i B mają po K 2 elementów. Tymczasem mamy K(K + 1)/2 układów równań (wymiar macierzy Σ). Konieczne jest zatem przynajmniej 2K 2 K(K + 1)/2 restrykcji. Dekompozycja Choleskiego: Σ = PP. Macierz P jest trójkątna dolna. Zatem restrykcją na macierz B jest P, podczas gdy macierz A jest jednostkowa. Analiza wykorzystująca dekompozycję Cholskiego jest wrażliwa na kolejność zmiennych w modelu VAR. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 34 / 35
58 Jak interpretować zaburzenia losowego? W postaci zredukowanej założono, że ε t N (0, Σ), a Σ nie jest diagonalna. Zaburzenia strukturalne: u t:, gdzie u t N (0, I ). Zależność pomiedzy szokami strukturalnymi a zaburzeniami losowymi w postaci zredukowanej możemy zapisać jako: Aε t = Bu t. (40) Problem identyfikowalności. Macierze A i B mają po K 2 elementów. Tymczasem mamy K(K + 1)/2 układów równań (wymiar macierzy Σ). Konieczne jest zatem przynajmniej 2K 2 K(K + 1)/2 restrykcji. Dekompozycja Choleskiego: Σ = PP. Macierz P jest trójkątna dolna. Zatem restrykcją na macierz B jest P, podczas gdy macierz A jest jednostkowa. Analiza wykorzystująca dekompozycję Cholskiego jest wrażliwa na kolejność zmiennych w modelu VAR. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 34 / 35
59 Jak interpretować zaburzenia losowego? W postaci zredukowanej założono, że ε t N (0, Σ), a Σ nie jest diagonalna. Zaburzenia strukturalne: u t:, gdzie u t N (0, I ). Zależność pomiedzy szokami strukturalnymi a zaburzeniami losowymi w postaci zredukowanej możemy zapisać jako: Aε t = Bu t. (40) Problem identyfikowalności. Macierze A i B mają po K 2 elementów. Tymczasem mamy K(K + 1)/2 układów równań (wymiar macierzy Σ). Konieczne jest zatem przynajmniej 2K 2 K(K + 1)/2 restrykcji. Dekompozycja Choleskiego: Σ = PP. Macierz P jest trójkątna dolna. Zatem restrykcją na macierz B jest P, podczas gdy macierz A jest jednostkowa. Analiza wykorzystująca dekompozycję Cholskiego jest wrażliwa na kolejność zmiennych w modelu VAR. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 34 / 35
60 Strukturalna funkcją reakcji na impuls (SIRF) będzie zatem funckją reakcji na impuls skorygowaną o schemat identyfikacji strukturalnych szoków: y t = t Θ iu t i, (41) i=0 gdzie Θ i = ΞA 1 B. (42) Alternatywne popularne schematy identyfikacji szoków strukturalnych: Restrykcje długookresowe; Restrykcji znakowe. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 35 / 35
61 Strukturalna funkcją reakcji na impuls (SIRF) będzie zatem funckją reakcji na impuls skorygowaną o schemat identyfikacji strukturalnych szoków: y t = t Θ iu t i, (41) i=0 gdzie Θ i = ΞA 1 B. (42) Alternatywne popularne schematy identyfikacji szoków strukturalnych: Restrykcje długookresowe; Restrykcji znakowe. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 35 / 35
Metody Ekonometryczne Modele wielorównaniowe
Metody Ekonometryczne Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Modele wielorównaniowe 1 / 47 Wprowadzenie Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Modele
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe
Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 1 / 47 Outline 1 2 3 4 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów
Bardziej szczegółowoModele wielorownaniowe
Część 1. e e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej
Bardziej szczegółowoEkonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe (forma strukturalna)
Modele wielorównaniowe (forma strukturalna) Formę strukturalna modelu o G równaniach AY t = BX t + u t, gdzie Y t = [y 1t,..., y Gt ] X t = [x 1t,..., x Kt ] u t = [u 1t,..., u Gt ] E (u t ) = 0 Var (u
Bardziej szczegółowoMetody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 4 Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów (GLS) 1 / 19 Outline 1 2 3 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne
Bardziej szczegółowoEkonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Bardziej szczegółowoEkonometria. Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 2 Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego 1 / 28 Agenda 1 Estymator
Bardziej szczegółowoEndogeniczność i Metoda Zmiennych Instrumentalnych (IV)
Endogeniczność i (IV) Endogeniczność i IV Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 5 Endogeniczność i IV 1 / 26 Outline Istota problemu 1 Istota problemu Błąd pomiaru
Bardziej szczegółowoEkonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Ćwiczenia nr 3 Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 3 Własności składnika losowego 1 / 18 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4 Jakub Mućk
Bardziej szczegółowoK wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.
Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.
Bardziej szczegółowoEkonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 1 / 23 Agenda 1 2 3 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.
EKONOMETRIA Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar egatnar@mail.wz.uw.edu.pl Sprawy organizacyjne Wykłady - prezentacja zagadnień dotyczących: budowy i weryfikacji modelu ekonometrycznego, doboru zmiennych, estymacji
Bardziej szczegółowo1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej
1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między
Bardziej szczegółowoMetody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Goodness of fit i wprowadzenie do wnioskowania statystycznego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 2 Goodness of fit i wprowadzenie do wnioskowania
Bardziej szczegółowoEkonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej. Modele nieliniowe Funkcja produkcji
Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 1 / 19 Agenda Modele nieliniowe 1 Modele
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 1
Ekonometria - ćwiczenia 1 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 5 października 2012 1 Sprawy organizacyjne 2 Czym jest
Bardziej szczegółowoModele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Bardziej szczegółowoJEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY
JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model
Bardziej szczegółowoDr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski
Dr Łukasz Goczek Uniwersytet Warszawski Wykłady do końca: Niezależność polityki pieniężnej w długim okresie 2 wykłady Wzrost długookresowy w gospodarce otwartej 2 wykłady Egzamin 12.06.2013, godz. 17 sala
Bardziej szczegółowoPrzyczyny wahań realnego kursu walutowego w Polsce wyniki badań z wykorzystaniem bayesowskich strukturalnych modeli VAR
Przyczyny wahań realnego kursu walutowego w Polsce wyniki badań z wykorzystaniem bayesowskich strukturalnych modeli VAR dr Marek A. Dąbrowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Katedra Makroekonomii marek.dabrowski@uek.krakow.pl
Bardziej szczegółowo1. Ekonometria jako dyscyplina naukowa (przedmiot, metodologia, teorie ekonomiczne). Model ekonometryczny, postać modelu, struktura, klasyfikacja.
1. Ekonometria jako dyscyplina naukowa (przedmiot, metodologia, teorie ekonomiczne). Model ekonometryczny, postać modelu, struktura, klasyfikacja. Zadanie 1. Celem zadania jest oszacowanie modelu opisującego
Bardziej szczegółowoEkonometria. Własności składnika losowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Własności składnika losowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 1 / 31 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoMetody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Metoda Najmniejszych Kwadratów Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 1 1 / 45 Outline Literatura Zaliczenie przedmiotu 1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoKalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1
Kalibracja Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na wyznaczeniu 0C i 100C tak by oznaczały punkt zamarzania
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA prowadzący: Piotr Piwowarski
EKONOMETRIA prowadzący: Piotr Piwowarski Termin konsultacji: poniedziałek 13:15 14:45 wtorek 13:15 14:45 pokój 1101/1102 jedenaste piętro e-mail: piotr.piwowarski@poczta.umcs.lublin.pl strona internetowa:
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoMetoda Johansena objaśnienia i przykłady
Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian
Bardziej szczegółowoAnaliza tworzenia i podziału dochodów na podstawie modelu wielosektorowego
UNIWERSYTET ŁÓDZKI PRACE DOKTORSKIE Z ZAKRESU EKONOMII I ZARZĄDZANIA 1/ JAKUB BORATYNSKI Analiza tworzenia i podziału dochodów na podstawie modelu wielosektorowego B 372130 UU WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU
Bardziej szczegółowoUogólniona Metoda Momentów
Uogólniona Metoda Momentów Momenty z próby daż a do momentów teoretycznych (Prawo Wielkich Liczb) plim 1 n y i = E (y) n i=1 Klasyczna Metoda Momentów (M M) polega na szacowaniu momentów teoretycznych
Bardziej szczegółowoEkonometria. Modelowanie zmiennej jakościowej. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Modelowanie zmiennej jakościowej Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 8 Zmienna jakościowa 1 / 25 Zmienna jakościowa Zmienna ilościowa może zostać zmierzona
Bardziej szczegółowoMetody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Bardziej szczegółowoMAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu Uwzględnienie dynamiki w modelu AD/AS. Modelowanie wpływu zakłóceń lub zmian polityki gospodarczej
Bardziej szczegółowoModele Wielorównaniowe
Rozdział 8 Modele Wielorównaniowe Modele wielorównaniowe o równaniach współzależnych (Simultaneus Equations Model) stosuje się do opisu zależności między zmiennymi, które wzajemnie i równocześnie wpływają
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 9 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Ekonometria (Gładysz B., Mercik J., Modelowanie ekonometryczne. Studium przypadku, Wydawnictwo PWr., Wrocław 2004.) 2
Bardziej szczegółowoSpis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla
Bogumiła Koprowska Elżbieta Kukla 1 Wstęp Czym są efekty losowe? Przykłady Model mieszany 2 Estymacja Jednokierunkowa klasyfikacja (ANOVA) Metoda największej wiarogodności (ML) Metoda największej wiarogodności
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowo0.1 Modele Dynamiczne
0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoANALIZA PORÓWNAWCZA WYBRANYCH PROCEDUR MODELOWANIA EKONOMETRYCZNEGO DLA MODELU GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO
Józef Biolik Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ANALIZA PORÓWNAWCZA WYBRANYCH PROCEDUR MODELOWANIA EKONOMETRYCZNEGO DLA MODELU GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO Wprowadzenie Jednym z narzędzi analizy
Bardziej szczegółowoEkonometria. Przepływy międzygałęziowe. Model Leontiefa. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej. Przepływy międzygałęziowe Model Leontiefa
Ekonometria Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 1 / 22 Outline 1 2 Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 2 / 22 Oznaczenia i definicje Numeracja gałęzi: i, j = 1, 2,,
Bardziej szczegółowox x 1. Przedmiot identyfikacji System x (1) x (2) : x (s) a 1 a 2 : a s mierzone, a = zestaw współczynników konkretyzujacych F ()
. Przedmiot identyfikacji System () x (2) x * a z y ( s ) x y = F (x,z)=f(x,z,a ),gdziex = F () znane, a nieznane x () x (2) x (s) mierzone, a = a a 2 a s zestaw współczynników konkretyzujacych F () informacja
Bardziej szczegółowoNatalia Neherbecka. 11 czerwca 2010
Natalia Neherbecka 11 czerwca 2010 1 1. Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 2. Uogólniona MNK 3. Stosowalna Uogólniona MNK 4. Odporne macierze wariancji i kowariancji b 2 1. Konsekwencje
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Bardziej szczegółowo0.1 Modele Dynamiczne
0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb
Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę
Bardziej szczegółowoStosowane modele równowagi. Wykład 1
Stosowane modele równowagi ogólnej (CGE) Wykład 1 Literatura Horridge M., MINIMAL. A Simplified General Equilibrium Model, 2001, http://www.copsmodels.com/minimal.htm dowolny podręcznik do mikroekonomii
Bardziej szczegółowoWst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Modelowanie ekonometryczne
1.1. Istota modelu ekonometrycznego i jego elementy składowe Istotą modelowania ekonometrycznego jest budowa modelu wyjaśniającego mechanizm zmian zachodzących w badanym wycinku rzeczywistości. Przedmiotem
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 0/0/0. Egzamin trwa 90 minut.. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu. Złamanie
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ekonometria 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 5 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP PRZEDMIOTU
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoHeteroscedastyczność. Zjawisko heteroscedastyczności Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów Stosowalna Metoda Najmniejszych Kwadratów
Formy heteroscedastyczności Własności estymatorów MNK wydatki konsumpcyjne 0 10000 20000 30000 40000 14.4 31786.08 dochód rozporz¹dzalny Zródlo: Obliczenia wlasne, dane BBGD 2004 Formy heteroscedastyczności
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoModelowanie danych hodowlanych
Modelowanie danych hodowlanych 1. Wykład wstępny 2. Algebra macierzowa 3. Wykorzystanie różnych źródeł informacji w predykcji wartości hodowlanej 4. Kowariancja genetyczna pomiędzy spokrewnionymi osobnikami
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13
Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Zajęcia 13 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych
Bardziej szczegółowoEkonomia monetarna - wprowadzenie. Michał Brzoza-Brzezina Katedra Polityki Pieniężnej
Ekonomia monetarna - wprowadzenie Michał Brzoza-Brzezina Katedra Polityki Pieniężnej Spis treści 1. Co to jest ekonomia monetarna? 2. Krótkie wprowadzenie do polityki pieniężnej 3. Stopy procentowe, produkcja
Bardziej szczegółowo6. Identyfikacja wielowymiarowych systemów statycznych metodanajmniejszychkwadratów
6. Identyfikacja wielowymiarowych systemów statycznych metodanajmniejszychkwadratów . Przedmiot identyfikacji System () x (2) x * a z y ( s ) x y = F (x,z)=f(x,z,a ),gdziex = F () znane, a nieznane x ()
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
Bardziej szczegółowoWykład 3 - model produkcji i cen input-output (Model 2)
Wykład 3 - model produkcji i cen input-output (Model 2) 1 Wprowadzenie W ramach niniejszego wykładu opisujemy model 2, będący rozszerzeniem znanego z poprzedniego wykładu modelu 1. Rozszerzenie polega
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo1 Modele ADL - interpretacja współczynników
1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoTomasz Stryjewski Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe 6 8 września 5 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Bardziej szczegółowoStosowana Analiza Regresji
Stosowana Analiza Regresji Wykład VIII 30 Listopada 2011 1 / 18 gdzie: X : n p Q : n n R : n p Zał.: n p. X = QR, - macierz eksperymentu, - ortogonalna, - ma zera poniżej głównej diagonali. [ R1 X = Q
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
round Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 13 grudnia 2014 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 3. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 3 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.hedonic.dta przygotuj model oszacowujący wartość kosztów zewnętrznych rolnictwa 1. Przeprowadź regresję objaśniającą
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek
Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoDynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej
Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej mgr Anna Sulima Instytut Matematyki UJ 8 maja 2012 mgr Anna Sulima (Instytut Matematyki UJ) Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej 8 maja 2012
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 01/02/2019 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoMAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu Uwzględnienie dynamiki w modelu AD/AS. Modelowanie wpływu zakłóceń lub zmian polityki gospodarczej
Bardziej szczegółowoEkonometria egzamin 06/03/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 06/03/2019 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 1
Ekonometria - wykªad 1 0. Wprowadzenie Barbara Jasiulis-Goªdyn 28.02.2014 2013/2014 Ekonometria Literatura [1] B. Borkowski, H. Dudek, W. Szczesny, Ekonometria. Wybrane Zaganienia, PWN, Warszawa 2003.
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Bardziej szczegółowo