STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2"

Aleksander Olszewski
5 lat temu
Przeglądów:

1 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND Finanse i Rachunkowość rok 2

2 Analiza dynamiki Szereg czasowy: y 1 y 2... y n 1 y n. y t poziom (wartość) badanego zjawiska w okresie lub chwili t. Szeregi czasowe momentów dotyczą zasobów. Szeregi czasowe okresów dotyczą strumieni. Strumienie możemy agregować: na przykład dane miesięczne do kwartalnych lub rocznych. Zasobów nie możemy agregować w ten sposób. Szereg czasowy powinien zawierać wielkości jednorodne i porównywalne.

3 Składniki szeregu czasowego Dekompozycja wyodrębnianie składowych szeregu czasowego: tendencja rozwojowa (trend) T wahania okresowe (sezonowe koniunkturalne) S wahania przypadkowe P. Składowe mogą się łączyć poprzez: dodawanie szereg addytywny: Y = T + S + P mnożenie szereg multiplikatywny Y = T S P.

4 Średnia ruchoma arytmetyczna (SMA) krocząca o długości 2q + 1: ȳ t = 1 2q + 1 q r= q y t+r t = q + 1 q n q scentrowana (chronologiczna) o długości 2q: ȳ t = 1 1 2q 2 y t q + q 1 r= q+1 y t+r y t+q t = q +1 q n q

5 Prognozy naiwne Jeżeli: nie występują zmiany w mechanizmie kształtowania zjawiska występują niewielkie wahania przypadkowe prognoza jest krótkookresowa dysponujemy krótkim szeregiem danych historycznych możemy stosować metody naiwne sporządzania prognoz: y n+1 = y n yn+1 = y n + (y n y n 1 ) yn+1 = y y n n y n 1 yn+1 = y n + 1 nt=1 (y t+1 y t ) = y n + y n y 1 n 1 n 1 yn+1 = y n+1 d dla wahań sezonowych o okresie d wokół stałego poziomu

6 Średnia ruchoma wykładnicza (EMA) α (0 1) parametr wygładzania; zwykle α [ ] S 1 = y 1 S t = αy t + (1 α)s t 1 dla t = 2... n t 2 S t = α(1 α) j y t j + (1 α) t 1 y 1. j=0

7 Rekurencyjne modele prognoz oparte o wyrównanie wykładnicze model Browna: model Holta: y t+1 = y t + (1 α)(y t y t ) = = αy t + (1 α)y t = = αy t + α(1 α)y t 1 + α(1 α)y t y 1 = y 1 F 1 = y 1 S 1 = 0 F t = αy t + (1 α)(f t 1 + S t 1 ) S t = β(f t F t 1 ) + (1 β)s t 1 y t = F t 1 + S t 1 dla t n. Prognoza: y T = F n + (T n)s n dla T > n.

8 Wskaźniki wahań okresowych y (i) t t = 1... n i = 1... d t bieżący numer obserwacji i numer podokresu cyklu N i = {t : t {1... n} t = i + kd k = } n i = #N i Dla szeregu bez trendu: ȳ (i) = 1 t N n i y (i) t średnia w i-tym podokresie i O i = ȳ (i) i = 1... d wskaźniki wahań okresowych ȳ zachodzi warunek: d i=1 O i = d

9 Wskaźniki wahań okresowych Dla wahań addytywnych: ȳ t wartości trendu (wyznaczonego dowolną metodą) y t ȳ t indywidualne odchylenia O i = 1 n i t N i (y t ȳ t ) i = 1... d wskaźniki wahań okresowych eliminujemy wahania okresowe odejmując od obserwacji y t odpowiednie wskaźniki wahań okresowych. Dla wahań multiplikatywnych: y t /ȳ t indywidualne wskaźniki sezonowości O i = 1 y t t N n i i = 1... d wskaźniki surowe i ȳ t O i = d O i (oczyszczone) wskaźniki wahań okresowych i=1 O i eliminujemy wahania okresowe dzieląc obserwacje y t przez odpowiednie wskaźniki wahań okresowych.

10 Addytywny model tendencji rozwojowej Jeśli zjawisko Y t zmienia się liniowo w czasie oraz brak jest wahań okresowych to model ma postać Y t = at + b + ε t t = 1... n. składniki losowe spełniają te same założenia co w modelu Gaussa-Markowa jest to klasyczny model regresji parametry modelu szacujemy KMNK

11 Model dla wahań kwartalnych Y t = at + b + c 1 X t1 + c 2 X t2 + c 3 X t3 + ε t t = 1... n. gdzie X ti i = reprezentują podokresy cyklu { 1 dla obserwacji dotyczacych i-tego kwartału X ti = 0 dla obserwacji dotyczacych pozostałych kwartałów. kwartał 4 będzie dla nas kwartałem bazowym parametry c i i = charakteryzują odchylenia występujące w kolejnych kwartałach względem kwartału 4 składniki losowe spełniają te same założenia co w modelu Gaussa-Markowa

12 Model dla wahań kwartalnych c.d. Zapisujemy model w postaci macierzowej: gdzie (X = (t 1 X t1 X t2 X t3 )): y = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y n 3 y n 2 y n 1 y n y = Xa + ε X = n n n n a b a = c 1 c 2 c 3 ε = ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ε n 3 ε n 2 ε n 1 ε n

13 Model dla wahań kwartalnych c.d. Oszacowania parametrów wyznaczamy z wzoru: â = (X T X) 1 X T y. Wartości teoretyczne możemy również obliczyć za pomocą macierzy: Wektor reszt: e = y ŷ ŷ = Xâ. Wariancja resztowa (5 parametrów): S 2 e = et e n 5 Wariancje oszacowań parametrów odczytujemy z przekątnej macierzy: S 2 e (X T X) 1.

14 Przyrosty względne i absolutne przyrosty absolutne (bezwzględne) o podstawie stałej: y 1 y 2 y 3... y n 1 y n gdzie podstawą jest okres t 0 przyrosty absolutne (bezwzględne) łańcuchowe: y 2 y 1 y 3 y 2 y 4 y 3... y n 1 y n 2 y n y n 1 przyrosty względne o podstawie stałej w okresie t 0 : y 1 y 2 y 3... y n 1 y n przyrosty względne łańcuchowe: y 2 y 1 y 1 y 3 y 2 y 2 y 4 y 3 y 3... y n 1 y n 2 y n 2 y n y n 1 y n 1

15 Wskaźniki dynamiki (indeksy) stosunek wielkości badanego zjawiska w danym okresie (momencie) badanym sprawozdawczym do wielkości tego samego zjawiska w innym okresie (momencie) bazowym podstawowym przyjętym za podstawę porównań indeksy jednopodstawowe o podstawie stałej w okresie t 0 : y 1 y 2... y n 1 y n indeksy łańcuchowe: y 2 y 1 y 3 y 2... y n 1 y n 2 y n y n 1 na indeksach wygodniej wykonuje się operacje algebraiczne

16 Zamiany indeksów przyrosty względne na indeksy: łańcuchowe: jednopodstawowe: y i = y i y i y i 1 y i 1 y i = y i + 1 indeksy na przyrosty względne: łańcuchowe: jednopodstawowe: y i y i 1 = y i 1 y i 1 y i 1 y i = y i 1

17 Zamiana podstawy indeksu jednopodstawowego należy wszystkie indeksy podzielić przez wskaźnik wyrażający zmianę zjawiska między okresem starej (s) a nowej podstawy (n): y i y n = y i y s ys y n = y i y s : y n y s. zmiana indeksu jednopodstawowego na łańcuchowy: y i : y i 1 = y i y i 1

18 Zamiana indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe w okresie bazowym indeks jednopodstawowy wynosi: y t 0 = 1 w okresie następującym bezpośrednio po okresie bazowym indeks jednopodstawowy jest równy łańcuchowemu: y t 0 +1 kolejne indeksy po okresie bazowym otrzymujemy mnożąc poprzedni indeks jednopodstawowy przez bieżący indeks łańcuchowy: y i = y i 1 y i y i 1 indeksy przed okresem bazowym obliczamy dzieląc poprzedni indeks jednopodstawowy przez bieżący indeks łańcuchowy: 1 = 1 : y t 0 2 = y t 0 1 : y t y i = y i+1 : y i y i inaczej jest to odwrotność iloczynu indeksów między okresem bazowym a badanym: y i = 1/ [ yi+1 y i yi+2 yt 0 1 y i ].

19 Średnie tempo zmian interesuje nas średnie tempo zmian zjawiska w okresie od chwili 1 do chwili n (za n 1 okresów) jest to tempo r które będąc stałe w całym rozważanym okresie przyniosłoby taką samą zmianę całkowitą odpowiada mu taki średni indeks ḡ = 1 + r że y n = (ḡ) n 1 y 1 = (1 + r) n 1 y 1. zatem średni indeks możemy obliczamy jako: pierwiastek (n 1)-tego stopnia z ilorazu badanej wielkości na końcu i początku badanego okresu: ḡ = n 1 yn y 1. pierwiastek (n 1)-tego stopnia z ilorazu ostatniego i pierwszego indeksu jednopodstawowego: ḡ = n 1 yn : y 1.

20 Średnie tempo zmian c.d. najczęściej średni indeks obliczamy jako średnią geometryczną indeksów łańcuchowych które są indeksami ilustrującymi dynamikę zmian w kolejnych okresach ḡ = n 1 y2 y 1 y3 y 2 yn 1 y n 2 y n = n 1 n y n 1 i=2 y i y i 1. średnie tempo zmian obliczamy wówczas jako r = ḡ 1 średnie tempo zmian możemy wykorzystać do sporządzania prognozy (naiwnej): y n+1 = y n (1 + r). Uwaga: porównaj z wzorem na oprocentowanie przeciętne przy kapitalizacji złożonej: r = n (1 + r 1 )(1 + r 2 ) (1 + r n ) 1.

21 Indeksy indywidualne i agregatowe p cena q ilość w = p q wartość 0 okres bazowy 1 okres badany indywidualny indeks cen indywidualny indeks ilości indywidualny indeks wartości i p = p 1 p 0 i q = q 1 q 0 i w = w 1 w 0 = p 1 q 1 p 0 q 0 = i p i q agregatowy indeks wartości: w1 p1 q 1 I w = = w0 p0 q 0

22 Indeksy agregatowe agregatowy indeks ilości Laspeyresa: I L q = q1 p 0 q0 p 0 agregatowy indeks ilości Paaschego: I P q = q1 p 1 q0 p 1 agregatowy indeks cen Laspeyresa: I L p = p1 q 0 p0 q 0 agregatowy indeks cen Paaschego: Ip P p1 q 1 = p0 q 1

23 Indeksy agregatowe c.d. Laspeyresa Paaschego ilości I L q = q1 p 0 q0 p 0 I P q = q1 p 1 q0 p 1 cen I L p = p1 q 0 I P p1 q 1 p = p0 q 0 p0 q 1 agregatowy indeks ilości Fishera: Iq F = Iq L Iq P agregatowy indeks cen Fishera: zachodzą związki: I F p = I L p I P p I w = I L p I P q = I P p I L q = I F p I F q

24 Indeksy agregatowe c.d. Gdy nie dysponujemy szczegółowymi danymi możemy zauważyć że: I w = w0 i w w0 = w1 w 1 i w I L q = w0 i q w0 I P q = w1 w 1 i q I L p = w0 i p w0 I P p = w1 w 1 i p

25 Indeksy dla wielkości stosunkowych indywidualnie: x = a b a = bx b = a x zespołowo: X = A a xb a B = = = b b a x indeksy agregatowy wszechstronny (o zmiennej strukturze): I X = X 1 a1 a0 x1 b 1 x0 b 0 = : = : = X 0 b1 b0 b1 b0 a1 a 1 x 1 : a0 a 0 x 0

26 Indeksy dla wielkości stosunkowych c.d. indeksy o stałej strukturze: a0 a0 I x/a0 = a 0 : a 0 I x/b0 = x 1 x 0 I x/a1 = a1 a 1 x 1 : a1 indeksy zmian strukturalnych: a 1 x 0 I x/b 1 = x1 b 0 x0 b 0 : b0 b0 x1 b 1 x0 b 1 : b1 b1 bi x/x0 = bi x/x1 = x0 b 1 b1 : x0 b 0 b0 ai x/x0 = x1 b 1 x1 b 0 : ai x/x1 = b1 b0 a1 a0 a 1 : a 0 x 0 x 0 a1 a0 a 1 : x 1 a 0 x 1 I x = I x/a1 ai x/x0 = I x/a0 ai x/x1 = I x/b1 bi x/x0 = I x/b0 bi x/x1

Podobne dokumenty

Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie

Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie Szkolenie dla pracowników Urzędu Statystycznego nt. Wybrane metody statystyczne w analizach makroekonomicznych dr